九年级中考一轮复习导学案：16课时二次函数解析式的求法及其简单应用
第16课时 二次函数解析式的求法及其简单应用
【基础知识梳理】
在二次函数的问题中，经常会遇到求二次函数解析式的问题。用待定系数法求二次函数的解
析式有三种常用的方法：
1．顶点式，即设
2．一般式，即设
3．交点式：即设
同学们自己思考一下，分别在什么情况下设哪种解析式？
【注意】求二次函数解析式，要根据具体图象特征灵活设不同的关系式，除上述常用方法
以外，还有：如抛物线顶点在原点可设 ；以y 轴为对称轴，可
设 ；顶点在x 轴上，可设 ；抛物线过原点可设
等。
【基础诊断】
1． 若抛物线y=ax 2
+bx+c 的顶点是A （2，1），且经过点B （1，0），则抛物线的函数关系
式为 ．
2．抛物线与x 轴的交点横坐标为1和5，并且经过点（0，5），这个函数解析式为_________ ___．
3．一个二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状与抛物线y= - 2x 2相同，这个函数解析
式为____________．
4．对称轴是y 轴且过点A （1，3）、点B （－2，－6）的抛物线的解析式为 ．
5．如图，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，
如果他的出手处A 距地面的距离OA 为1 m ，球路的最高点B (8，9)，则这个二次函数的表
达式为____ __，小孩将球抛出了约____ __米(精确到0.1 m) ．
6. 已知抛物线2y x bx c =-++经过点A （3，0），B （－1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
【精典例题】
例1. 如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O 点打出一球向球洞A 点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米 ．已知山坡OA 与水平方向OC 的夹角为30o
，O 、A 两点相距83米．请你判断小明这一杆能否把高尔夫球从O 点直接打入球洞A 点 ．
例2．（2014?浙江宁波）如图，已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象过A （2，0），B （0，﹣1）
和C （4，5）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与x 轴的另一个交点为D ，求点D 的坐标；
（3）在同一坐标系中画出直线y =x +1，并写出当x 在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
例3．如图①，已知抛物线y=ax 2
+bx+c 经过点A （0，3），B （3，0），C （4，3）．
（1）求抛物线的函数表达式； 例1题图
（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条
抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．
【自测训练】
一、选择题（每小题有四个选项，只有一个选项是正确的.）
1. 已知抛物线y=ax2+bx+c，经过A(4，－2)，B(12,－2)两点，那么它的对称轴是（）
A.直线x=7
B.直线x=8
C.直线x=9
D.无法确定
2. 已知函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么函数解析式为（）
A. y=－x2+2x+3
B. y=x2－2x－3
C. y=－x2－2x+3
D. y=－x2－2x－3
3．把抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是( )．
A. y=(x+2)2+2
B. y=(x+2)2-2
C. y=x2+2
D. y=x2-2
4. 抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y=（x﹣1）2﹣4，则b、c的值为（）
二、填空题
1. 有一个抛物线拱桥形，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的
示意图放在平面直角坐标系中（如图），则此抛物线解析式为。
2. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（0，1），B（－1，0），C（1，0），那么函数解析式
是，如果y随x的增大而减少，那么x的变化范围是
。
3. 已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－7x+12形状相同，顶点在直线x=1上，且顶点到x轴的距离为3，则此抛物线解析式为。
4. 已知抛物线y=x 2－(a+2)x+9的顶点在坐标轴上，同a= 。
6. 如图，已知二次函数c
bx x y ++=2的图象经过点（-1，0），（1，-2），当y 随x 的增大而增大时，x 的取值范围是 ．．
7．把二次函数y=（x-1）2
+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为 ．
8. 某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x 棵橘子树，果园橘子总个数为y 个，则果园里增种 棵橘子树，橘子总个数最多.
9．已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ，与x 轴的正半轴交于B 、C 两点，
且BC=2，S △ABC =3，则b = ，c = ．
10．如图，线段AB 的长为2，C 为AB 上一个动点，分别以AC 、BC 为斜边
在AB 的同侧作两个等腰直角三角形△ACD 和△BCE ，那么DE 长的最小值
是 ．
三、解答题
1. 已知抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A （1，0），B （3，0），且过点C （0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=﹣x 上，
并写出平移后抛物线的解析式．
2．（2014?德州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标是（4，0），并且OA =OC =4OB ，动点P 在过A ，B ，C 三点的抛物线上．求抛物线的解析式；
3. （2014?呼和浩特）如图，已知直线l 的解析式为y =x ﹣1，抛物线y =ax 2+bx +2经过点A （m ，0），B （2，0），D （1，）三点．求抛物线的解析式及A 点的坐标，并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象；
4．（2013贵州省）已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（1，4），它与直线y2=x+1的一个交点的横坐标为2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在给出的坐标系中画出抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）及直线y2=x+1的图象，并根据图象，直接写出使得y1≥y2的x的取值范围；
（3）设抛物线与x轴的右边交点为A，过点A作x轴的垂线，交直线y2=x+1于点B，点P 在抛物线上，当S△PAB≤6时，求点P的横坐标x的取值范围．