广东省佛山一中2017届高三上学期期中考试 数学(理)(含答案)word版

广东省佛山一中2017届高三上学期期中考试

数学（理科）

一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1 ．若集合{},{}x A x x B x

x

-2

=-1≤2+1≤3=≤1，则B A = A. {}x x -1≤<0 B. {}x x 0<≤1 C. {}x x 0≤≤2 D. {}x x 0≤≤1 2．下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是

A ．1a b +＞

B ．1a b -＞

C ．22a b ＞

D ．33a b ＞ 3.已知函数??

?≤>=)0(2

)

0(log )(2x x x x f x

，若2

1

)(=

a f ，则实数a 的值为 A ．－1 B.2 C ．－1或2 D ．1或2-

4．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为

A ．12

B ．8

C ．6

D ．4

5．函数y ＝ln 1

|2x －3|

的大致图象为(

)

6．在平行四边形ABCD 中，AE →＝13AB →，AF →＝14

AD →，CE 与BF 相交于G 点．若AB →

＝a ，

AD →＝b ，则 AG →

＝

A.27a ＋17b

B.27a ＋37b

C.37a ＋1

7

b

D.47a ＋2

7

b 7.设,x y 满足约束条件0

4312

x y x x y ≥??

≥??+≤?

，则221y x ++的最大值是

A. 5

B. 6

C. 8

D. 10

8．函数11

x

y x +=-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于

A ．2

B ． 4

C ． 6

D ．8

二.填空题：本大题共6小题，考生做答6小题，每小题5分, 共30分．

（一）必做题（9～12题）

9．不等式212-<-x x 的解集为 .

10．若6

2x x ??

- ? ???

展开式的常数项为60，则常数a 的值为 .

11 ．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m =（1,3-），

n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ，且C c A b B a sin cos cos =+，则角B ＝ .

12．已知8,0,0=++>>ab b a b a ，，则b a +的最小值是 . 13．如图，M 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，给出下列四个命题：

①过M 点有且只有一条直线与直线AB ，B 1C 1都相交； ②过M 点有且只有一条直线与直线AB ，B 1C 1都垂直； ③过M 点有且只有一个平面与直线AB ，B 1C 1都相交； ④过M 点有且只有一个平面与直线AB ，B 1C 1都平行． 其中真命题是是 _______.（填写真命题的序号） （二）选做题：（14～15题，考生只能从中选做一题）

14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 的极坐标

方程为3)6sin(=-π

θρ，点)3

, 2(π

A 到曲线C 上点的距离的最小值 ．

15.如图，EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上

两点，如果∠E ＝460，∠DCF ＝320

，则∠A 的大小为 ．

三．解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．(本题满分12分)

在ABC ?中，内角,,A B C 所对的边长分别是,,a b c , 已知4

A π

=，4

cos 5

B =

. （I ）求cos C 的值；

（II ）若10,BC D =为AB 的中点，求CD 的长.

17．(本题满分12分)

图乙

图甲

M 已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8= -10 （I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）求数列12n n a -??

?

???

的前n 项和.

18. (本题满分14分)

如图甲，直角梯形ABCD 中，//AB CD ，2

DAB π

∠=

，点M 、N 分别在AB ，CD

上，且MN AB ⊥，MC CB ⊥，2BC =，4MB =，现将梯形ABCD 沿MN 折起，使平面AMND 与平面MNCB 垂直（如图乙）.

（Ⅰ）求证：//AB 平面DNC ；

（Ⅱ）当DN 的长为何值时，二面角D BC N --的大小为30?

？

19. （(本题满分14分)

本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标

准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）。有甲乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为2

141，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为4

121，；两人租车时间都不会超过四小时。 （Ⅰ）求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率；

（Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望ξE ；

20. (本题满分14分)

已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的一个焦点F 与抛物线24y x =的焦点重合，且截抛

45 的直线l 过点F . （Ⅰ）求该椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆的另一个焦点为1F ，问抛物线x y 42=上是否存在一点M ，使得M 与1

F 关于直线l 对称，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，说明理由. 21．（本题满分14分）

设函数)1ln()(2x a x x f ++=有两个极值点12x x 、，且12x x <. （I ）求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性； （II ）求)(2x f 的取值范围。

佛山一中2017届高三数学上学期期中考试试题答案

一．选择题：

BACB ACDB

二．填空题： 9．}11|{<<-x x .10． 4 ；11 ．

6

π

；12．4； 13．①②④

14． 2 15. 99

三．解答题：

16． （满分12分）解：（1）

4cos ,5B = 且(0,)B π∈，

∴3

sin 5

B ==．…2分

∴3cos cos()cos(

)4

C A B B π

π=--=- …………………4分

3343cos

cos sin sin 442525B B ππ=+=-+

10

=-

．…………………6分

（2）由（1

）可得sin C === ………………8分 由正弦定理得

sin sin BC AB A C =

7AB

=，解得14AB =．………………10分

在BCD ?中，7BD =， 2

2

2

4

7102710375

CD =+-???

=，

∴CD =…………………12分

16．（满分12分）

解;(Ⅰ)设等差数列}{n a 的公差为d ，由已知条件可得??

?-=+=+10

1220

11d a d a 2分

解得?

??-==111d a 4分

故数列}{n a 的通项公式为n a n -=2 5分 （Ⅱ）设数列?

??

??

?-12n n a 的前n 项和为n S ，即12122-+++=n n n a a a S ① 故11=S 6分

n n n a

a a S 2

42221+++= ② 当n ≥2时 ①-② 得

n

n n n n n a a a a a a S 2222111

21--++-+=-- 8分 n n n 22)21212

1

(112--+++

-=- n n n

22)211(11----=- 10

12

-=n n 所以12-=n n n

S

综上，数列?

??

???-12n n a 的前n 项和为12-=n n n S .

12分

17. （满分14分）

17.法一：（Ⅰ）MB//NC ，MB ?平面DNC ，NC ?平面DNC ，

∴MB//平面DNC. …………………2分

同理MA//平面DNC ，又MA MB=M, 且MA,MB ?平面MAB. ∴

MAB//NCD AB//DNC AB MAB ?

????

平面平面平面平面. (6分)

（Ⅱ）过N 作NH BC ⊥交BC 延长线于H ，连HN ，

z

C

B

M A

N x

y

D

平面AMND ⊥平面MNCB ，DN ⊥MN, …………………8分 ∴DN ⊥平面MBCN ，从而DH BC ⊥,

DHN ∴∠为二面角D-BC-N 的平面角. DHN ∴∠=o

30 …………………10分

由MB=4，BC=2，MCB 90∠= 知M BC ∠=60o，

42cos603CN =-= . NH 3∴=?sin60o =

2

3

3 …………………12分

由条件知：DN 3

tan NHD DN NH .NH 2

∠=

=∴=== …………………14分 解法二：如图，以点N 为坐标原点，以NM ，NC ，ND 所在直线分别作为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系.N xyz -易得NC=3，

，

设DN a =

，则D(0,0,a),. （I ）(0,0,),(0,3,0),(0,4,)ND a NC AB a ===-

.

∴4

4(0,0,)(0,3,0)33

AB a ND NC =-+=-+ ，

∵,ND NC DNC ND NC N ??=平面，且，

∴AB

与平面DNC 共面，又AB DNC ?平面，//AB DNC ∴平面.

(6分)

（II ）设平面DBC 的法向量1

n (,,)x y z =

，(0,3,),,0)DC a CB =-=

则11300

DC n y az CB n y ??=-=???+=?? ，令1x =-

，则y =

z a

=

∴1

n (=-. （8分） 又平面NBC 的法向量2n (0,0,1)=. （9分）

cos

∴1212

12=n n n ,n |n ||n |

== …………………12分

即：

269a ,a 4=∴=

又3a 0,a .2>∴=即3

DN .2

= …………………14分 18.解：（1）所付费用相同即为0,2,4元。设付0元为8

1

21411=?=P ，…………………2分

付2元为8141212=?=

P ， 付4元为16

1

41413=?=P (4)

分

则所付费用相同的概率为16

5

221=

++=P P P P ……………6分 （2）设甲，乙两个所付的费用之和为ξ，ξ可为0,2,4,6,8

1

(0)8

11115(2)442216

1111115(4)4424241611113(6)442416111(8)4416P P P P P ξξξξξ

====?+?=

==?+?+?=

==?+?=

==?=

…………………10分

分布列

5591784822E ξ=

+++=

…………………14分

19(满分14分) 解：（1）抛物线x y 42

=的焦点为)0,1(F ，准线方程为1-=x ，……………

2分

∴ 12

2=-b a ① …………………3分

又椭圆截抛物线的准线1-=x ∴ 得上交点为)2

2,

1(-， ∴ 1211

2

2=+b a ②…………………4分

由①代入②得01224=--b b ，解得12

=b 或2

1

2-

=b （舍去）， 从而212

2=+=b a …………………6分

∴ 该椭圆的方程为该椭圆的方程为

22

121

x y += …………………7分 （2）∵ 倾斜角为45 的直线l 过点F ，

∴ 直线l 的方程为)1(45tan -=x y ，即1-=x y ，…………………8分

由（1）知椭圆的另一个焦点为)0,1(1-F ，设),(00y x M 与1F 关于直线l 对称，…………9分

则得???????--+=+-=?+-1

2)1(2

0111

0000x y x y ......10分 解得???-==2100y x ，即)2,1(-M (11)

分

又)2,1(-M 满足x y 42=，故点M 在抛物线上。 …………………13分

所以抛物线x y 42=上存在一点)2,1(-M ，使得M 与1F 关于直线l 对称。……14分

20． (满分14分)解: （I ）()2222(1)11a x x a

f x x x x x

++'=+=>-++ 令2

()22g x x x a =++，其对称轴为1

2

x =-。由题意知12x x 、是方程()0g x =的两个均大于1-的不相等的实根，

其充要条件为480(1)0a g a ?=->??-=>?

，得1

02a << …………………2分

⑴当1(1,)x x ∈-时，()0,()f x f x '>∴在1(1,)x -内为增函数；…………………4分

⑵当12(,)x x x ∈时，()0,()f x f x '<∴在12(,)x x 内为减函数；

⑶当2,()x x ∈+∞时，()0,()f x f x '>∴在2,()x +∞内为增函数；……………6分 （II ）由（I ）21

(0)0,02

g a x =>∴-

<<，222(2)a x x =-+2 ()()()22222222221(2)1f x x aln x x x x ln x ∴=++=-++2

设()()2

2

1(22)1()2

h x x x x ln x x =-++>-， …………………8分

则()()()22(21)122(21)1h x x x ln x x x ln x '=-++-=-++

…………………10分

⑴当1(,0)2x ∈-

时，()0,()h x h x '>∴在1

[,0)2

-单调递增； ⑵当(0,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 在(0,)+∞单调递减。…………………12分

()1112ln 2

(,0),()224

x h x h -∴∈->-=当时

故()22122

()4

In f x h x -=>．…………………14分