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第一章 函数 内容 高数

第一章

函数

函数的概念

函数y=f(x),称x为自变量,y为因变量,x的值的数集称为定义域,y 的值的数集称为值域。

自变量x取任意值,y都有唯一的值与它对应。

可以x取多个值对应y的一个值

1.求函数的定义域:

解:里的数≥0,,-4 ≤ x ≤ 4

分母不为0,x-3 ≠ 0,x ≠ 3

定义域为X∈[ -4,3) ∪( 3,4]

2. 求函数的定义域:

解:ln后面真数>0,3x -2 >0,

y=arccos x的定义域为y=cos x的值域,[-1,1]

定义域为

3.求函数的定义域和值域:

定义域D=(-∞,+∞),值域W= [ -1, 1]

4. 已知,则f (x) = ____。

解:

5.已知函数f (x) 的定义域是[ 0, 1] ,则函数的定义域是____, f( sin x) 的定义域是____。

解:∵f (x) 的定义域是[ 0, 1],0 ≤ x ≤ 1

∴的定义域为,-1 ≤ x ≤ 1

f( sin x) 的定义域为0 ≤ sin x ≤ 1,

X∈[ 2kπ , (2k+1) π ]

函数的基本性质函数的奇偶性

设函数f (x) 的定义域D关于原点对称,若?x∈D,

恒有f ( -x) = f ( x) ,则称f (x)为偶函数,偶函数关于y轴对称

恒有f ( -x) = - f( x),则称f (x)为奇函数,奇函数关于原点对称

1.判断函数奇偶性:

解:= f (x)

故f(x)为偶函数

2.判断函数奇偶性:

解:= f (x) 故f(x)为偶函数

奇函数

3.判断函数奇偶性:

解:

故f (x) 为奇函数

4.设函数f (x) 为奇函数,g (x) 为偶函数,则复合函数()是奇函数。

(A) f [f (x) ]; (B) g [f (x) ]; (C) f [g (x) ]; (D) g [g (x) ] 解:令φ (x) = f [f (x) ],

φ (-x) = f [f (-x) ] = f [-f (x) ] = -f [f (x) ]= -φ (x)

故选A

函数的单调性

f (x) 的定义域为D,区间I?D,如果区间I上任意两点和,当,恒有,

则称函数f (x) 在区间I上是单调递增函数

当,恒有,

则称函数f (x) 在区间I上是单调递减函数

函数的有界性

设函数f (x) 的定义域为D ,数集X ?D ,若存在一个正数M ,使得一切x ∈X ,恒有︱f ( x)︱≤ M ,

则称函数 f (x) 在X 上有界,否则称无界

函数的周期性

设函数

f (x) 的定义域为D ,如果存在常数T>0,使得对一切x ∈D ,有(x ±T) ∈D , 且f (x +T) = f (x),

则称f (x) 为周期函数,T 称为f (x) 的周期

例如,sin x ,cos x 都是以2π为周期的周期函数,tan x 是以π为周期的周期函数

在 ( 0 , 1) 内无界, 因为可以取无限靠近0的数, 使大于正数M , 但易见该函数在 [ 1,+∞ )上有界

1.判断是否为周期函数,如果是,指出其周期:y=cos(x-1)

解:y=cos (x-1) 是y=cos x向x轴正方向平移1得到,是周期函数,周期为2π

2.判断是否为周期函数,如果是,指出其周期:

解:∵y = sinx是周期函数,周期为2π

∴也是周期函数

∵≥ 0,

∴周期为π

3.判断是否为周期函数,如果是,指出其周期:y=sin 2x

解:y=sin 2x是y=sin x在x轴方向上压缩为原来的,

是周期函数,周期为

初等函数

基本初等函数

幂函数

y=(μ为任意实数)

y= y=

指数函数y=(a>0,且a≠1)

定义域为(-∞, +∞) ,图形都在x轴上方且过点(0,1)若a>1 ,则函数y=单调递增

若0

对数函数y=(a>0,且a≠1)

对数函数y=与指数函数y=互为反函数,它们的图形关于直线y=x对称

若a>1,则对数函数是单调递增的

在区间(0 ,1) 内函数值为负,在区间(1, +∞) 内函数值为正

若0

在区间(0 ,1) 内函数值为正,在区间(1, +∞) 内函数值为负

以e为底的对数函数,称为自然对数,简记为y=ln x,

e=2.71828181…

当a=10时,称为常用对数,记为lg x,即lg x=

三角函数y=sin x,y=cos x,y=tan x等

正弦函数y=sin x,x∈(-∞, +∞);

余弦函数y=cos x,x∈(-∞, +∞);

正切函数y=tan x,x∈;余切函数y=cot x,x∈;

正割函数y=sec x,x∈;余割函数y=csc x,x∈

反三角函数y=arcsin x,y=arcos x等

反正弦函数y= arcsin x,

定义域为[-1 ,1] ,值域为[]; 反余弦函数y= arccos x,

定义域为[-1 ,1] ,值域为[0,π];

反正切函数y= arctan x,

定义域为( -∞, +∞) ,值域为(); 反余切函数y= arccot x,

定义域为( -∞, +∞) ,值域为(0, π)

简单函数:由初等函数加减乘除而得的单项式函数和多项式函数

反函数:y= f (x) 计算出x= g (y),

y=g (x) 为y= f (x) 的反函数,

y= f (x) 的反函数记作y=,

反函数y= 与y= f (x) 的图像关于直线y=x对称

1.求反函数:y=2x+1

解:∵y= 2x +1化简为x =

∴反函数为y =

2.求反函数:y=

解:∵y=化简为

∴反函数为

复合函数:对于函数y= f (u) ,u= φ (x) ,函数φ (x)的值全部或部分包含在函数f (u)的定义域内,那么y通过u的联系构成x的函数,

y= f [φ (x) ],称为x的复合函数

1.求由所给函数复合而成的函数:y=tan u,u=2x

解:y=tan 2x

2.求由所给函数复合而成的函数:y=,u=sin v,v=+1

解:y=

3.分解复合函数:y=

解:y=,u=3x+2

4.分解复合函数:y=lglglg x

解:y=lg u,u=lg v,v=lg x

分段函数

例如

练习:

1.函数的反函数是( )。

(A); (B) ;

(C) ; (D)

2.设

3.

1.C

2.D

3.C

第一章函数与极限复习提纲

第一章函数与极限复习提纲 一、函数 知识点:1、函数的定义域、性质的判断(有界性、奇偶性、单调性、周期性) 2、基本初等函数的表示形式 3、复合函数的分解必须会!! 4、函数关系的建立 如1、下列函数中属于偶函数的是( D. ) A. x x y sin +=; B. x x y sin 2+=; C . x x y cos +=; D. x x y cos 2+=。 2、下列复合函数由哪些基本初等函数构成? (1)x x f 2ln )(= 解:u y ln =,x u 2= (2)x y 2cos = 解:2u y = ,x u cos = (3)5)13(+=x y 解:5u y =, 13+=x u (4)3 2 1-= x y 解:3 1u y =,12-=x u (5)x y 2cos ln = 解:u y ln =,v u cos =,x v 2= 3、旅客乘坐火车时,随身携带物品,不超过20公斤免费;超过20公斤部分,每公斤收费0.20元;超过50公斤部分再加收50%。试列出收费与物品重量的函数关系式。 解 0, 0.2(20), 2050 0.3(50)6, 50 x y x x x x ≤≤?? =-<≤??-+>? 4、某公司生产某种产品,总成本为C 元,其中固定成本为200元,每多生产一单位产品,成本增加10元,又设该产品价格P 与需求量x 之间的关系为2 25x P -=,求x 为多少时公司总利润最大? 解 成本函数C (x )=固定成本+可变成本 所以x x C 10200)(+= 收入函数x x x x x p x R 2521 )225()(2+-=?- =?= 利润函数200152 1)10200(2521)()()(2 2-+-=+-+-=-=x x x x x x C x R x L 令015)('=+-=x x L 得15=x 因为驻点唯一,又根据01)("<-=x L 可知函数最大值存在,所以当15=x 时,() L x

大学高等数学第一章函数(习题精讲)

第1章 函 数 §1.1 函数的概念与性质 1. 绝对值与不等式(0>a ,0b >) (1)x x x -≤≤;x y x y x y -≤±≤+ (2 )2 112 a b a b +≤+(调和平均值≤几何平均值≤算术平均值) 一般地,1212111n n x x x n n x x x +++≤≤ +++ (3){}max ,22a b a b a b -+=+;{}min ,22 a b a b a b -+=- 2. 函数概念与性质 对变量D x ∈的每一个确定值,变量y 按某确定规则f ,都有且只有一确定值与之对应,则称变量y 是变量x 的函数,记为()y f x =,D x ∈。 注意:定义域D 和对应规则f 是函数相等的两要素。 (1)无关性 ()()y f x f t == D t x ∈, (2)单调性 1212,,x x I x x ?∈< 1212()()()()()()f x f x f x f x f x f x ≤???≥? ?单调递增单调递减;1212()()()()()()f x f x f x f x f x f x ??严格单增严格单减 (3)奇偶性 ()() ()()()()f x f x f x y f x f x f x -=???-=-??为偶函数,对称于轴为奇函数,对称于原点 注意:函数的奇偶性是相对于对称区间而言,若定义域关于原点不对称,则不是奇/偶函数。 (4)周期性 若()()f x T f x +=,0T >,则称为)(x f 的周期。 (5)有界性 若D x ∈?,M x f ≤)(,()0>M ,则称)(x f 在D 上有界。 常用有界函数:sin 1x ≤,cos 1x ≤,(,)-∞+∞;

同济第六版《高等数学》教案WORD版-第01章 函数与极限

第一章函数与极限 教学目的: 1、理解函数的概念,掌握函数的表示方法,并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念,以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质(有 界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质。 教学重点: 1、复合函数及分段函数的概念; 2、基本初等函数的性质及其图形; 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则; 4、两个重要极限; 5、无穷小及无穷小的比较; 6、函数连续性及初等函数的连续性; 7、区间上连续函数的性质。 教学难点: 1、分段函数的建立与性质; 2、左极限与右极限概念及应用; 3、极限存在的两个准则的应用; 4、间断点及其分类; 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为

高等数学(同济五版)第一章 函数与极限知识点

第一章函数与极限 一、对于函数概念要注意以下几点: (1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素:定义域和对应法则。定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件,无此条件,函数就没意义。对应法则是正确理解函数概念的关键。函数关系不同于一般的依赖关系,“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。函数关系也不同于因果关系。例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系,但时间变化并不是气温变化的实际原因。y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则,“f”是一个记号,不是一个数,不能把f(x)看作f乘以x。如果函数是用公式给出的,则“f”表示公式里的全部运算。 (2) 函数与函数表达式不同。函数表达式是表示函数的一种形式,表示函数还可以用其他的形式,不要以为函数就是式子。 (3) f(x)与f(a)是有区别的。f(x)是函数的记号,f(a)是函数值的记号,是f(x)当x=a时的函数值。 (4)两个函数,当其定义域相同,对应法则一样时,此二函数才是相同的。 二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性: 对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点: (1) 并不是函数都具有这些特性,而是在研究函数时,常要研究函数是否具有这些特性。 (2) 函数是否“有界”或“单调”,与所论区间有关系。 (3) 具有奇、偶性的函数,其定义域是关于原点对称的。如果f(x)是奇函数,则f(0)=0。存在着既是奇函数,又是偶函数的函数,例f(x)=0。f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。 (4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期,但不是任何周期函数都有最小周期。

第一章 函数与极限的练习解答

一、P21:1;5 1.设),(),(∞+∞=55--A ,) ,【310-B =,写出 B A B A B A -=\,A B ,及)()\(\B A A B A A --=的表达式。 解:),5()3,(+∞-∞= B A )5,10[-=B A ),5)10,(\+∞--∞=-=( B A B A )5,10[)()\(\--=--=B A A B A A 5.下列各题中,函数)(x f 和)x g (是否相同?为什么? (1) x x g x x f lg 2)(,lg )(2== 解:不同。定义域不同,),0()0,(+∞-∞= f D ),0(+∞=g D 。 (2) 2 )(,)(x x g x x f == 解:不同。对应法则不同,即:值域不同。),0[,+∞==g f R R R 。 (3) 3 3 4 )(x x x f -=, 3 1)(-?=x x x g 解:相同。因为定义域和对应法(或值域)则相同。 (4) x x x g x f 2 2tan sec )(,1)(-== 解:不同。定义域不同,R D f = },1,0,2 { ±=+ ≠=k k x x D g π π。 二、P21:4(1)、(3)、(5)、(7)、(9);6;7(2); P22:10(1)、(4)、(5);11(1)、(3)、(5);15(1)、(3);16. 4.求下列函数的自然定义域:

(1) 23+=x y ; 解:32023-≥?≥+x x 。即:),3 2 [+∞-=D 。 (3)211x x y --=; 解:???≤≤-≠????≥-≠1 10 0102 x x x x 。即:]1,0()0,1[ -=D 。 (5) x y sin =; 解:0≥x 。即:),0[+∞=D (7))3arcsin(-=x y ; 解:42131≤≤?≤-≤-x x 。即:]4,2[=D 。 (9))1ln(+=x y 解:101->?>+x x 。即:),1(+∞-=D 6.设,3 ,3,0,sin )(ππ?≥

高等数学中常用的初等数学知识(第一章)

第一章 函数、极限与连续 第一节 函数及其特性 (一)集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。 我们通常用大字拉丁字母A 、B 、C 、……表示集合,用小写拉丁字母a 、b 、c ……表示集合中的元素。 如果a 是集合A 中的元素,就说a 属于A ,记作:a ∈A ,否则就说a 不属于A ,记作:a ?A 。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作 N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z 。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q 。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R 。 集合的表示方法 ⑴、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合 ⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合中元素的个数 有限集:我们把含有有限个元素的集合叫做有限集,含有无限个元素的集合叫做无限集。 (二)常量与变量 ⑴、变量的定义:我们在观察某一现象的过程时,常常会遇到各种不同的量,其中有的量在过程中不起变化,我们把其称之为常量;有的量在过程中是变化的,也就是可以取不同的数值,我们则把其称之为变量。 ⑵、变量的表示:如果变量的变化是连续的,则常用区间来表示其变化范围。在数轴上来说,区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。 区间的名称 区间的满足的不等式 区间的记号 区间在数轴上的表示。 闭区间 a ≤x ≤b [a ,b] 开区间 a <x <b (a ,b ) 半开区间 a <x ≤b 或a ≤x <b (a ,b]或[a ,b ) 以上我们所述的都是有限区间,除此之外,还有无限区间: [a ,+∞):表示不小于a 的实数的全体,也可记为:a ≤x <+∞; (-∞,b):表示小于b 的实数的全体,也可记为:-∞<x <b ; (-∞,+∞):表示全体实数,也可记为:-∞<x <+∞ 注:其中-∞和+∞,分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。 ⑶、邻域:00000{}(, (,) )-----x x x x x U x x δδδδδ=-<-+=一维 以为中心,以为半径的邻域 0000000{}(, )(, )------x 0(,)x x x x x x x U x δδδδδ=-<=-?+<以为中心,以为半径的空心邻域 00(),()U x U x -----0x 的某个邻域、某个空心邻域

高等数学多元函数微分法

第 八 章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 多元函数的基本概念 教学目的:学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数 概念,掌握多元函数的连续性定理,能够判断多元函数的连续性,能够求出连续函数在连续点的极限。 教学重点:多元函数概念和极限,多元函数的连续性定理。 教学难点:计算多元函数的极限。 教学内容: 一、 区域 1. 邻域 设),(000y x p 是xoy 平面上的一个点,δ是某一正数。与点),(000y x p 距离小于δ的点(,)p x y 的全体,称为点0P 的δ邻域,记为),(0δP U ,即 ),(0δP U =}{0δδ为半径的圆内部的点),(y x P 的全体。 2. 区域 设E 是平面上的一个点集,P 是平面上的一个点。如果存在点P 的某一邻域E P U ?)(,则称P 为E 的内点。显然,E 的内点属于E 。 如果E 的点都是内点,则称E 为开集。例如,集合 }41),{(221<+<=y x y x E 中每个点都是E 1的内点,因此E 1为开集。

如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点,也有不属于E 的点(点P 本身可以属于E ,也可以不属于E ),则称P 为E 的边界点。E 的边界点的全体称为E 的边界。例如上例中,E 1的边界是圆周12 2 =+y x 和 22y x +=4。 设D 是点集。如果对于D 内任何两点,都可用折线连结起来,且该折线上的点都属于D ,则称点集D 是连通的。 连通的开集称为区域或开区域。例如,}0),{(>+y x y x 及 }41),{(22<+0}是无界开区域。 二、多元函数概念 在很多自然现象以及实际问题中,经常遇到多个变量之间的依赖关系,举例如下: 例1 圆柱体的体积V 和它的底半径r 、高h 之间具有关系 h r V 2 π=。 这里,当r 、h 在集合}0,0),{(>>h r h r 内取定一对值),(h r 时,V 的对应值就随之确定。

(完整版)大一高数第一章函数、极限与连续

第一章 函数、极限与连续 由于社会和科学发展的需要,到了17世纪,对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应,数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代,这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点,认识到“数”的研究比“形”更重要,以积极的态度开展对“无限”的研究,由常量数学发展为变量数学,微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法,而连续性则是函数的一种重要属性.因此,本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念,其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质,以及与极限概念密切相关的,并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外,还给出了两个极其重要的极限.随后,运用极限的概念引入函数的连续性概念,它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节 变量与函数 一、变量及其变化范围的常用表示法 在自然现象或工程技术中,常常会遇到各种各样的量.有一种量,在考察过程中是不断变化的,可以取得各种不同的数值,我们把这一类量叫做变量;另一类量在考察过程中保持不变,它取同样的数值,我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的,如自然数由小到大变化、数列的变化等,而更多的则是在某个范围内变化,即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间,记为,a b ????,即 ,{|}a b x a x b =≤≤????; 满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间,记为(,)a b ,即 (,){|}a b x a x b =<<; 满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间,记为 (,a b ?? (或),a b ??),即 (,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤

1第一章 函数与极限答案

第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 1.填空题: (1)函数)(x f y =与其反函数)(x y ?=的图形关于 x y = 对称. (2 )函数 2 1 ()1f x x = +-的定义域为__________________________; (3)若)(x f 的定义域是[0,1],则)1(2+x f 的定义域是 {0} . (4)设b ax x f +=)(,则=-+= h x f h x f x ) ()()(? a . (5)若,11)(x x f -=则=)]([x f f x x 1- ,=)]}([{x f f f x . (6)函数2 x x e e y --=的反函数为 。 (7 )函数y =: x ≥0,值域: 0≤y <1 ,反函数: x =-ln(1-y 2), 0≤y <1 2. 选择题: (1)下列正确的是:(B ,C ) A.2 lg )(x x f =与x x g lg 2)(=是同一函数. B.设)(x f 为定义在],[a a -上的任意函数,则)()(x f x f -+必为偶函数,)()(x f x f --必为奇函数. C.?? ? ??<-=>==0,10,00,1sgn x x x x y 是x 的奇函数. D.由任意的)(u f y =及)(x g u =必定可以复合成y 为x 的函数. . (2))sin()(2 x x x f -=是( A ). A.有界函数; B. 周期函数; C. 奇函数; D. 偶函数. (3)设54)(2 ++=bx x x f ,若38)()1(+=-+x x f x f ,则b 为( B ). A.1; B.–1; C.2; D.–2. (4)函数 2 1 arccos 1++-=x x y 的定义域是( )

高等数学(复旦大学版)第十章-多元函数积分学(一)

第十章 多元函数积分学(Ⅰ) 一元函数积分学中,曾经用和式的极限来定义一元函数()f x 在区间[a,b]上的定积分,并且已经建立了定积分理论,本章我们将推广到多元函数,建立多元函数积分学理论。 第一节 二重积分 教学目的: 1、熟悉二重积分的概念; 2、了解二重积分的性质和几何意义,知道二重积分的中值定理; 3、掌握二重积分的(直角坐标、极坐标)计算方法; 4、能根据积分区域和被积函数正确选择积分顺序 教学重点: 1、二重积分的性质和几何意义; 2、二重积分在直角坐标系下的计算 教学难点: 1、二重积分的计算; 2、二重积分计算中的定限问题 教学内容: 一、二重积分的概念 1. 曲顶柱体的体积 设有一立体, 它的底是xOy 面上的闭区域D , 它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面, 它的顶是曲面z =f (x , y ), 这里f (x , y )≥0且在D 上连续. 这种立体叫做曲顶柱体. 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积. 首先, 用一组曲线网把D 分成n 个小区域?σ 1, ?σ 2, ? ? ? , ?σ n .分别以这些小闭区域的边界曲线为准线, 作母线平行于z 轴的柱面, 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体. 在每个?σ i 中任取一点(ξ i , η i ), 以f (ξ i , η i )为高而底为?σ i 的平顶柱体的体积为 f (ξ i , η i ) ?σi (i =1, 2, ? ? ? , n ). 这个平顶柱体体积之和 i i i n i f V σηξ?≈=∑),(1 . 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值. 为求得曲顶柱体体积的精确值, 将分割加密, 只需取极限, 即 i i i n i f V σηξλ?==→∑),(lim 1 0. 其中λ是个小区域的直径中的最大值.

高数第一次课随堂练习函数与极限

随堂练习 一 第一章 函数与极限 一、填空题 1、43 2lim 23=-+-→x k x x x ,则k= 。 2、函数x x y sin = 有间断点 ,其中 为其可去间断点。 3、若当0≠x 时 ,x x x f 2sin )(= ,且0)(=x x f 在处连续 ,则=)0(f 。 4、=++++∞→3 52352) 23)(1(lim x x x x x x 。 5、3) 2 1(lim -∞ →=+e n kn n ,则k= 。 6、函数2 31 22+--=x x x y 的间断点是 。 7、当+∞→x 时, x 1 是比 3-+x 8、当0→x 时,无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。 9、函数x e y 1=在x=0处是第 类间断点。 10、设1 1 3 --= x x y ,则x=1为y 的 间断点。 11、已知33=?? ? ??πf ,则当a 为 时,函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。 12、设?? ???>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0 x f x →存在 ,则a= 。 13、设? ??>≤+=0,cos 0 ,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ,则常数a= 。 二、计算题 1、计算下列极限 (1))2141211(lim n n ++++ ∞ → ; (2)2)1(321lim n n n -++++∞→ ;

(3)35lim 22-+→x x x ; (4)1 1 2lim 221-+-→x x x x (5))12)(11(lim 2x x x -+ ∞ → ; (6)x x x 1 sin lim 20→ ; (7)x x x x +---→131lim 21 ; (8))1(lim 2 x x x x -++∞ → ; 2、计算下列极限 (1)x wx x sin lim 0→ ; (2)x x x 5sin 2sin lim 0→ ; (3)x x x cot lim 0→ ; (4)x x x x )1( lim +∞→ ; (5)1 )11(lim -∞→-+x x x x ; (6)x x x 1 )1(lim -→ ; 3、比较无穷小的阶 (1)32220x x x x x --→与,时 ; (2))1(2 1 112 x x x --→与,时 ; (3)当0→x 时 , 232-+x x 与x 。 4、利用等价无穷小性质求极限 (1)30sin sin tan lim x x x x -→ ; (2)),()(sin ) sin(lim 0是正整数m n x x m n x → ; 5、讨论函数的连续性 。 在? ??=>-≤-=11,31 ,1)(x x x x x x f 6、利用函数的连续性求极限 (1))(lim 22 x x x x x -- ++∞ →; (2)x x x sin ln lim 0 → (3)x x x 2)11(lim + ∞→; (4))1 1 (lim ,)1(lim )(1 --=+ →∞→t f n x x f t n n 求设 (5))1(lim 2 x x x x -++∞ → ; (6)1)1232( lim +∞→++x x x x ; (7)3 0sin tan lim x x x x -→ ; 7、设函数???≥+<=0 ,0 ,)(x x a x e x f x 应当怎样选择a ,使得) ()(∞+-∞,成为在x f 内的连续函数。 8、证明方程135 =-x x 至少有一个根介于1和2之间。 9、设????? ≤+>=0 ,0,1sin )(2 x x a x x x x f 要使),()(∞+-∞在x f 内连续, 应当怎样选择数a ?

成人高考教材高数(一)

理工类专业需要考高数一 高数一内容如下: 第一章:函数定义,定义域的求法,函数性质。 第一章:反函数、基本初等函数、初等函数。 第一章:极限(数列极限、函数极限)及其性质、运算。 第一章:极限存在的准则,两个重要极限。 第一章:无穷小量与无穷大量,阶的比较。 第一章:函数的连续性,函数的间断点及其分类。 第一章:闭区间上连续函数的性质。第二章:导数的概念、几何意义,可导与连续的 关系。 第二章:导数的运算,高阶导数(二阶导数的计算) 第二章:微分 第二章:微分中值定理。 第二章:洛比达法则1 第二章:曲线的切线与法线方程,函数的增减性与单调区间、极值。 第二章:最值及其应用。 第二章:函数曲线的凹凸性,拐点与作用。第三章:不定积分的概念、性质、基本公式,直接积分法。 第三章:换元积分法 第三章:分部积分法,简单有理函数的积分。 第三章:定积分的概念、性质、估值定理应用。 第三章:牛一莱公式 第三章:定积分的换元积分法与分部积分法。 第三章:无穷限广义积分。 第三章:应用(几何应用、物理应用)第四章:向量代数 第四章:平面与直线的方程 第四章:平面与平面,直线与直线,直线与平面的位置关系,简单二次曲面。第五章:多元函数概念、二元函数的定义域、极限、连续、偏导数求法。 第五章:全微分、二阶偏导数求法 第五章:多元复合函数微分法。 第五章:隐函数微分法。 第五章:二元函数的无条件极值。 第五章:二重积分的概念、性质。 第五章:直角坐标下的计算。1 第五章:在极坐标下计算二重积分、应用。第六章:无穷级数、性质。 第六章:正项级数的收敛法。 第六章:任意项级数。 第六章:幂级数、初等函数展开成幂级数。第七章:一阶微分方程。 第七章:可降阶的微分方程。 第七章:线性常系数微分方程

(完整版)高等数学第一章函数与极限试题2

高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”,则必有 (A ) F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. (B ) F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. (C ) F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. (D ) F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2.设函数,1 1 )(1 -= -x x e x f 则 (A ) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. (B ) x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 (C ) x=0是f(x)的第一类间断点,x=1是f(x)的第二类间断点. (D ) x=0是f(x)的第二类间断点,x=1是f(x)的第一类间断点. 3.设f (x)=x x 1-,x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( D ) A ) 1-x B ) x -11 C ) X 1 D ) x 4.下列各式正确的是 ( C ) A ) lim 0 + →x )x 1 +1(x =1 B ) lim 0 + →x )x 1 +1(x =e C ) lim ∞ →x )x 1 1-(x =-e D ) lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e

5.已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ,则=a ( C )。 A.1; B.∞; C.3ln ; D.3ln 2。 6.极限:=+-∞→x x x x )1 1(lim ( C ) A.1; B.∞; C.2-e ; D.2e 7.极限:∞ →x lim 332x x +=( A ) A.1; B.∞; C.0; D.2. 8.极限:x x x 11lim 0 -+→ =( C ) A.0; B.∞; C 2 1; D.2. 9. 极限:)(lim 2x x x x -+∞ +→=( D ) A.0; B.∞; C.2; D. 2 1 . 10.极限: x x x x 2sin sin tan lim 30-→=( C ) A.0; B.∞; C. 16 1; D.16. 二. 填空题 11.极限1 2sin lim 2+∞ →x x x x = 2 . 12. lim 0 →x x arctanx =_______________. 13. 若)(x f y =在 点 x 连续,则 f )]()([lim 0→-0 x f x f x x =______f ’(xo)_________; 14. =→x x x x 5sin lim 0_________0.2__; 15. =-∞→n n n )2 1(lim _______e*e__________; 16. 若函数2 31 22+--=x x x y ,则它的间断点是___________2___1_____

(完整版)(考研高数)基本初等函数图像与性质

(高数)基本初等函数图像与性质 1.函数的五个要素:自变量,因变量,定义域,值域,对应法则 2.函数的四种特性:有界限,单调性,奇偶性,周期性 3.每个函数的图像很重要 一、幂函数 a x =y (a 为常数) 最常见的几个幂函数的定义域及图形 1.当a 为正整数时,函数的定义域为区间(,)x ∈-∞+∞,他们的图形都经过原点,并当a>1时在原点处与x 轴相切。且a 为奇数时,图形关于原点对称;a 为偶数时图形关于y 轴对称; 2.当a 为负整数时。函数的定义域为除去x =0的所有实数。 3.当a 为正有理数m n 时,n 为偶数时函数的定义域为(0,)+∞,n 为奇数时函数的定义域为(,)-∞+∞。函数的图形均经过原点和(1,1); 如果m n >图形于x 轴相切,如果m n <,图形于y 轴相切,且m 为偶数时,还跟y 轴对

称;m,n均为奇数时,跟原点对称。 4.当a为负有理数时,n为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数;n为奇数时,定义域为去除x=0以外的一切实数。 二、指数函数 x a y=(a是常数且01 a a >≠ ,),) , (+∞ -∞ ∈ x 图形过(0,1)点,a>1时,单调增加;0≠ ,),(0,) x∈+∞;

四、三角函数 正弦函数 x y sin =,),(+∞-∞∈x ,]1,1[-∈y , 余弦函数 x y cos =,),(+∞-∞∈x ,]1,1[-∈y , 正切函数 x y tan =,2ππ+≠k x ,k Z ∈,),(+∞-∞∈y , 余切函数 x y cot =,πk x ≠,k Z ∈,),(+∞-∞∈y ; 五、反三角函数 反正弦函数 x y arcsin =, ]1,1[-∈x ,]2,2[ππ-∈y , 反余弦函数 x y arccos =,]1,1[-∈x ,],0[π∈y ,

考研数学高数公式:函数与极限解读

考研数学高数公式:函数与极限 第一章:函数与极限 第一节:函数 函数属于初等数学的预备知识,在高数的学习中起到铺垫作用,直接考察的内容比较少,但是如果这章节有所缺陷对以后的学习都会有所影响。 基础阶段: 1.理解函数的概念,能在实际问题的背景下建立函数关系; 2.掌握并会计算函数的定义域、值域和解析式; 3.了解并会判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等性质; 4.理解复合函数和反函数的概念,并会应用它们解决相关的问题; 强化阶段: 1.了解函数的不同表现形式:显式表示,隐式表示,参数式,分段表示; 2.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。 冲刺阶段: 1.综合应用函数解决相关的问题; 2.掌握特殊形式的函数(含极限的函数,导函数,变上限积分,并会讨论它们的相关性质。 第二节:极限

极限可以说是高等数学的基础,极限的计算也是高等数学中最基本的运算。在考试大纲中明确要求考生熟练掌握的基本技能之一。虽在考试中站的分值不大。但是在其他的试题中得到广泛应用。因此这部分学习直接营销到整个学科的复习结果 基础阶段 1.了解极限的概念及其主要的性质。 2.会计算一些简单的极限。 3.了解无穷大量与无穷小量的关系,了解无穷小量的比较方法,记住常见的等价无穷小量。 强化阶段: 1.理解极限的概念,理解函数左右极限的概念及其与极限的关系(数一数二/了解数列 极限和函数极限的概念(数三; ▲2.掌握计算极限的常用方法及理论(极限的性质,极限的四则运算法则,极限存在的两个准则,两个重要极限,等价无穷小替换,洛必达法则,泰勒公式; 3.会解决与极限的计算相关的问题(确定极限中的参数; 4.理解无穷大量和无穷小量的概念及相互关系,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用(数一数二/理解无穷小量的概念,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用,了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系(数三。 冲刺阶段: 深入理解极限理论在微积分中的中心地位,理解高等数学中其它运算(求导,求积分与极限之间的关系,建立完整的理论体系。

答案高等数学第一章函数与极限试题

答案: 一.选择题 1.A 【分析】 本题可直接推证,但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案. 【详解】 方法一:任一原函数可表示为 ?+=x C dt t f x F 0 )()(,且).()(x f x F =' 当F(x)为偶函数时,有)()(x F x F =-,于是)()1()(x F x F '=-?-',即 )()(x f x f =--,也即)()(x f x f -=-,可见 f(x)为奇函数; 反过来,若f(x)为奇函数,则? x dt t f 0 )(为偶函数,从而 ?+=x C dt t f x F 0 )()(为偶函数,可见(A)为正确选项. 方法二:令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=2 2 1x , 排除(D); 故应选(A). 【评注】 函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系? 2. D 【分析】 显然x=0,x=1为间断点,其分类主要考虑左右极限. 【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义,因此是间断点. 且 ∞=→)(lim 0 x f x ,所以 x=0为第二类间断点; 0)(lim 1=+ →x f x ,1)(lim 1 -=- →x f x ,所以x=1为第一类间断点,故 应选(D).

【评注】 应特别注意:+∞=-+ →1 lim 1x x x ,.1 lim 1-∞=-- →x x x 从而 +∞=-→+ 1 1lim x x x e ,.0lim 1 1 =-→- x x x e 3 C 4 A 5 C 6 C 7 A 8 C ∵x →∞时,分母极限为令,不能直接用商的极限法则。先恒等变形,将函数“有理化”: 原式 = 2 1111lim )11() 11)(11(lim 0 =++=++++-+→→x x x x x x x . (有理化法) 9 D 10 C 解 原式 16 1821lim )2()cos 1(tan lim 32 030=?=-=→→x x x x x x x x . ▌ 注 等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极 的每项作等价替换,则 原式0)2(l i m 3 =-=→x x x x .

第一章函数和极限答案

第一章 函数与极限 一 函数(见§1.1) Ⅰ 内容要求 (ⅰ)在中学已有函数知识的基础上,加深对函数概念的理解和函数性质(奇偶性、单调 性、周期性和有界性)的了解。 (ⅱ)理解复合函数的概念,了解反函数的概念,了解分段函数的概念。 (ⅲ)记忆基本初等函数的图象,了解初等函数的概念,自学双曲函数及反双曲函数。 (ⅳ)学会建立简单实际问题中的函数关系式。 Ⅱ 基本题型 (ⅰ)有关确定函数定义域的题型 1.(4分)1 )2ln()(+-= x x x f 的定义域为 21<<-x 2.(4分)) 2ln(1 )(x x x f -+= 的定义域为 [))2,1(1,1Y - 3.(4分))32arcsin(-=x y 的定义域为--------------- ( D ) A )2,1( B )2,1[ C ]2,1( D ]2,1[ 4.设)(x f 的定义域D = ]1,0[,求下列各函数的定义域: (1)(6分))(2 x f []1,1-∈x (2)(6分))2(x f (]0,∞-∈x (3)(7分))31 ()31(-++x f x f ?? ????∈32,31x (ⅱ)有关确定函数(反函数)表达式的题型 5.(4分)已知: x x f cos 1)2 (sin +=,则)(x f =)1(22 x - 6.(4分)设???????>=<-=0,10,00,1)(x x x x f ,则=)]([x f f ??? ? ???>=<-=0,10,00,1)(x x x x f 7.求下列函数的反函数 (1)(4分)31+=x y 1,13 3-=-=x y y x (2)(4分)x x y +-= 11 x x y y y x +-=+-=11,11 )1(-≠x

绘制函数图象的五种技法

绘制函数图象的五种技法 如今的社会真的是靠脸吃饭的么?小编我却不以为然,还是觉得靠技术吃饭比较重要,技术不压身!现代教学是多媒体教学,那就离不开教学软件的支撑,几何画板就是其中之一。在用几何画板辅助数学教学的过程中,常常涉及到函数图象的绘制。熟练掌握绘制函数图象的方法,对提高数学教学效率很有帮助。下面小编通过实例来系统总结绘制函数图象的五种技法,如果你get以下几个新技能,离超级学霸就不远啦! 一、直接法 例1 画函数y=sinx在R上的图象。 操作步骤:单击“图表”菜单下“绘制新函数”f(x)=sinx(如图1)。 二、轨迹法 例2 画函数y=(1/4)x^2在区间[-2,3]上的图象。 操作步骤: (1)单击“绘图”菜单下“绘制点”C(-2,0),D(3,0),构造线段CD;

(2)选中线段CD,单击“构造”菜单下“线段上的点”构造点E; (3)选中点E,单击“度量”菜单下“横坐标”得点E的横坐标xE; (4)单击“数据”菜单下“计算”,计算y值; (5)依次选中xE、y值,单击“绘图”菜单下“绘制(x,y)”,得点F; (6)选中点E与F,单击“构造”菜单下“轨迹”,得函数在区间[-2,3]的图象(如图2)。 三、参数法 例3 绘制二次函数y=-x2+2x+3的图象。 操作步骤: (1)单击“数据”菜单下“新建参数”a=-1,b=2,c=3; (2)单击“绘图”菜单下“绘制新函数”f(x)= =-x2+2x+3(如图3)。

改变参数a、b、c的值(可在选中后按“+”或“-”键),可以动态地探索与发现抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴的变化过程. 四、辅助函数法 例4画下面函数的图象。 操作步骤: (1)单击“数据”菜单下“新建函数”f(x)=sinx,g(x)=cosx; (2)单击“绘图”菜单下“绘制新函数”。(如图4)

第一章 函数与极限知识点

第一章函数与极限 区间 [a,+∞):表示不小于a的实数的全体,也可记为:a≤x<+∞; (-∞,b):表示小于b的实数的全体,也可记为:-∞<x<b; (-∞,+∞):表示全体实数R,也可记为:-∞<x<+∞ 注:其中-∞和+∞,分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。 邻域 设α与δ是两个实数,且δ>0.满足不等式│x-α│<δ的实数x的全体称为点α的δ邻域,点α称为此邻域的中心,δ称为此邻域的半径。 函数 x (D为非空实数集) 函数y=f(x)、y=F(x) D D为函数的定义域。通常x叫做自变量,y叫做因变量。 函数的有界性 如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立,其中M是一个与x无关的常数,那么我们就称f(x)在区间I有界,否则便称无界。 注意:一个函数,如果在其整个定义域内有界,则称为有界函数 例题:函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的. 函数的单调性 如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大,即:对于(a,b)内任意两点x1及x2,当x1<x2时,有 , 则称函数在区间(a,b)内是单调增加的。 如果函数在区间(a,b)内随着x增大而减小,即:对于(a,b)内任意两点x1及x2,当x1<x2时,有 , 则称函数在区间(a,b)内是单调减小的。 函数的奇偶性 如果函数对于定义域内的任意x都满足=,则叫做偶函数; 如果函数对于定义域内的任意x都满足=-,则叫做奇函数。注意:偶函数的图形关于y轴对称,奇函数的图形关于原点对称,若奇函数定义

域中含有0,则F(0)=0。f(0)=-f(0),2f(0)=0,所以f(0)=0。 函数的周期性 对于函数,若存在一个不为零的数l ,使得关系式 对于定义域内任何x 值都成立,则叫做周期函数,l 是的周期。 注:我们说的周期函数的周期是指最小正周期。 反函数 反函数的定义: 设函数)(x f y =,其定义域为D ,值域为M. 如果对于每一个M y ∈,有惟一的一个D x ∈与之对应,并使)(x f y =成立,则得到一个以y 为自变量,x 为因变量的函数,称此函数为y=f(x)的反函数,记作 )(1y f x -= 显然,)(1 y f x -=的定义域为M ,值域为D. 由于习惯上自变量用x 表示,因变量用y 表示, 所以)(x f y =的反函数可表示为 )(1x f y -= 反函数的存在定理 若在(a ,b)上严格增(减),其值域为 R ,则它的反函数必然在R 上确定,且严格增(减). 注:严格增(减)即是单调增(减) 反函数的性质 在同一坐标平面内, 与 )(1 x f y -=的图形是关于直线y=x 对称。 关于直线y=x 对称的。如右图所示: 复合函数的定义 若y 是u 的函数: ,而u 又是x 的函数: ,且 的函数值的全部或部分在 的定义域内,那末,y 通过u 的联系也是x 的函数,我们称后一个函数是由函数 及 复合而成的函数,简称复合函数,记作,其中u 叫做中间变量。 注:并不是任意两个函数就能复合;复合函数还可以由更多函数构成。 分段函数:????

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