The generalised Dirichlet to Neumann map for moving initial-boundary value problems

Latent Dirichlet Allocation note

Latent dirichlet allocation note By: Zhou Li (smzlkimi@https://www.wendangku.net/doc/de1515389.html,) Blog: https://www.wendangku.net/doc/de1515389.html, Code&Doc: https://www.wendangku.net/doc/de1515389.html,/p/lsa-lda/ July 31, 2009 1 基础知识：贝叶斯统计 假设有两个箱子，每个箱子装了8个球，A箱子3个红球5个白球，B箱子6个红球2个白球。如果问从A箱子摸出一个红球的概率，那么答案是3/8，如果问从B箱子摸出一个白球的概率，那么为2/8。这样的正向推理很简单。但是如果问摸出一个红球，它是从A箱子中摸出的概率是多少，这又如何求呢？贝叶斯方法正是用来求这种”逆”概率。 P(X,Y)表示X,Y的联合概率，有如下公式P(X,Y)=P(Y|X)P(X)，由于P(X,Y)=P(Y,X)，于是我们得到P(Y|X)P(X)=P(X|Y)P(Y)，将左边P(X)移到右边得到： 这就是贝叶斯公式，其中P(Y|X)称为后验分布，P(X)称为先验分布，P(X|Y)称为似然函数。贝叶斯问题的详细描述可以参考Pattern Recognition and Machine Learning[1].该书第一章对 贝叶斯方法做了详细的解释。 下面讨论一个概率问题，一对夫妇有两个孩子，已知其中一个是男孩，问另一个也是男孩的概率？ 令A=另一个也是男孩B=已知其中一个是男孩 由贝叶斯：P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B) 其中P(B|A) = 1 ，因为另一个也是男孩，表示两个都是男孩。 P(A) = 0.25 即如果有两个孩子，两个都是男孩的概率0.25 P(B) = 0.75 即如果有两个孩子，那么其中一个是男孩的概率为0.75 因此P(A|B) = 1*0.25/0.75=1/3 1.1 基础知识：Dirichlet distribution 假设我们在和一个不老实的人玩掷骰子游戏。按常理我们觉得骰子每一面出现的几率都是 1/6，但是掷骰子的人连续掷出6，这让我们觉得骰子被做了手脚，而这个骰子出现6的几率更高。而我们又不确定这个骰子出现6的概率到底是多少，所以我们猜测有50%的概率是：6出现的概率2/7，其它各面1/7；有25%的概率是：6出现的概率3/8，其它各面1/8；还有25%的概率是：每个面出现的概率都为1/6，也就是那个人没有作弊，走运而已。用图表表示如下：

第一章 先验分布与后验分布

第一章 先验分布与后验分布 1.1 解：令120.1,0.2θθ== 设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则 2 2618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ== 从而有 1111122()() ()0.4582()()()() P A A P A P A θπθπθθπθθπθ==+ 2221122()() ()0.5418()()()() P A A P A P A θπθπθθπθθπθ= =+ 1.2 解：令121, 1.5λλ== 设X 为一卷磁带上的缺陷数，则()X P λ ∴3(3)3! e P X λ λλ-== 1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从而有 111222(3)() (3)0.2457 (3)(3)() (3)0.7543 (3) P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ========== 1.3 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则 33 58()(1)P A C θθθ=- （1） 由题意知 ()1,01πθθ=<< 从而有 351 ()() ()504(1),01()()P A A P A d θπθπθθθθθπθθ = =-<

1 (),102010πθθ= << 11.611.51()0.0110 m x d θ==? 从而有 ()()()10,11.511.6() P x x m x θπθπθθ==<< 1.6 证明：设随机变量()X P λ ，λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知，则 (),0 ! x e P x x λ λλλ-= > 1(),0 () e ααβλ βπλλλα--=>Γ 因此 11(1) ()()()x x x P x e e e λαβλαβλπλλπλλλλ---+--+∝?∝= 所以 (,1) x G a x λαβ++ 1.7 解：（1）由题意可知 ()1,01πθθ=<< 因此 1 2 2()12(1)x x m x d x θθ =?=-? 因此 2()()1(),1 ()1P x x x x m x x θπθπθθθ==<<- （2） 由题意可知 1 22 2()36x m x d x θθθ=?=? 因此 ()() ()1,01 () P x x m x θπθπθθ= =<< 1.8 解：设A 为100个产品中3个不合格，则 3 397100()(1)P A C θθθ=- 由题意可知 199(202) ()(1),01(200) πθθθθΓ= -≤≤Γ 因此 3971994296()()()(1)(1)(1)A P A πθθπθθθθθθθ∝?∝--=- 由上可知 (5,297)A Be θ

LDA模型

LDA(主题模型)算法 &&概念： 首先引入主题模型(Topic Model)。何谓“主题”呢？望文生义就知道是什么意思了，就是诸如一篇文章、一段话、一个句子所表达的中心思想。不过从统计模型的角度来说，我们是用一个特定的词频分布来刻画主题的，并认为一篇文章、一段话、一个句子是从一个概率模型中生成的。 LDA可以用来识别大规模文档集（document collection）或语料库（corpus）中潜藏的主题信息。它采用了词袋（bag of words）的方法，这种方法将每一篇文档视为一个词频向量，从而将文本信息转化为易于建模的数字信息。 LDA(Latent Dirichlet Allocation)是一种文档主题生成模型，也称为一个三层贝叶斯概率模型，包含词、主题和文档三层结构。所谓生 注：每一篇文档代表了一些主题所构成的一个概率分布，而每一个主题又代表了很多单词所构成的一个概率分布。 备注： 流程（概率分布）：→→ 许多（单）词某些主题一篇文档 /**解释：LDA生成过程 *对于语料库中的每篇文档，LDA定义了如下生成过程(generativeprocess): *1.对每一篇文档，从主题分布中抽取一个主题; *2.从上述被抽到的主题所对应的单词分布中抽取一个单词; *3.重复上述过程直至遍历文档中的每一个单词。 **/ 把各个主题z在文档d中出现的概率分布称之为主题分布，且是一个多项分布。把各个词语w在主题z下出现的概率分布称之为词分布，这个词分布也是一个多项分布。

&&深入学习： 理解LDA，可以分为下述5个步骤： 1.一个函数：gamma函数 2.四个分布：二项分布、多项分布、beta分布、Dirichlet分布 3.一个概念和一个理念：共轭先验和贝叶斯框架 4.两个模型：pLSA、LDA（在本文第4 部分阐述） 5.一个采样：Gibbs采样 本文便按照上述5个步骤来阐述，希望读者看完本文后，能对LDA有个尽量清晰完整的了解。同时，本文基于邹博讲LDA的PPT、rickjin的LDA数学八卦及其它参考资料写就，可以定义为一篇学习笔记或课程笔记，当然，后续不断加入了很多自己的理解。若有任何问题，欢迎随时于本文评论下指出，thanks。 1 gamma函数 整体把握LDA 关于LDA有两种含义，一种是线性判别分析（Linear Discriminant Analysis），一种是概率主题模型：隐含狄利克雷分布（Latent Dirichlet Allocation，简称LDA），本文讲后者（前者会在后面的博客中阐述）。 另外，我先简单说下LDA的整体思想，不然我怕你看了半天，铺了太长的前奏，却依然因没见到LDA的影子而显得“心浮气躁”，导致不想再继续看下去。所以，先给你吃一颗定心丸，明白整体框架后，咱们再一步步抽丝剥茧，展开来论述。 按照wiki上的介绍，LDA由Blei, David M.、Ng, Andrew Y.、Jordan于2003年提出，是一种主题模型，它可以将文档集中每篇文档的主题以概率分布的形式给出，从而通过分析一些文档抽取出它们的主题（分布）出来后，便可以根据主题（分布）进行主题聚类或文本分类。同时，它是一种典型的词袋模型，即一篇文档是由一组词构成，词与词之间没有先后顺序的关系。此外，一篇文档可以包含多个主题，文档中每一个词都由其中的一个主题生成。 LDA的这三位作者在原始论文中给了一个简单的例子。比如假设事先给定了这几个主题：Arts、Budgets、Children、Education，然后通过学习的方式，获取每个主题Topic对应的词语。如下图所示：

伽马先验分布的草案

1先验分布服从伽马-逆伽马分布 1：取形状参数先验分布为伽马分布： )exp() (),(~)(1 bm m a b b a Ga m a a -= -Γπ， 其中a 为形状参数，b 为尺度参数。 2:尺度参数的先验分布为逆伽马分布： ??? ? ??- ??? ? ??=+ηη ηπv u v v u IGa u u exp 1 )(),(~)(1 Γ， 其中u 为形状参数，v 为尺度参数。 则两参数的联合验前分布为： ??? ? ??- ???? ??? -= ?=+-ηηηπv u v bm m a b v u IGa b a Ga m u u a a exp 1)()exp() (),(),(),(1 1 ΓΓ )(?Γ为伽马函数： dx e x a x a -∞+-? = 1 )(Γ 0>a 2 超参数确定方法 上面给出的先验分布中，除了两参数数都取无信息先验分布，其它先验分布都含有未知的超参数。超参数可以根据经验专家给出，但是更多的时候要利用先验数据确定。通常利用先验矩可以确定超参数。这时，首先要获得参数θ(对于Weibull 而言，就是m 和η）的样本，然后才能去估计参数的样本矩。然而，已知的先验数据与参数的样本并没有明显的对应关系。在工程应用中，常用自助法（Bootstrap ）获得参数的样本。自助法的核心是利用自助样本（或称为再生样本）来估计未知概率测度的某种统计量的统计特性。设),,(21n t t t T ???=是得到的一组数控系统无故障工作时间样本。通过其运用自助法便可获得m 和η的样本。具体步骤如下： 1）对),,(21n t t t T ???=进行有放回抽样，可得到自助样本； 2）利用自助样本),,(* *2*1*n t t t T ???=进行最大似然估计，得到m ?，η?； 3）重复上述两个步骤N 次，得到估计参数样本)}?,?(,),?,?(),?,?{(2211N N m m m ηηη???； 4）利用得到的估计参数样本即可求未知参数m ,η的期望和方差。 通过得到的N 组参数样本，分别计算其期望与方差，可以得到验前分布的超参数。当假设先验分布为二元正态时： ∑ == N i i m m N 1 ?1μ，∑ ==N i i N 1 ?1ημη，∑=--= N i m i m m N 1 2 2 ?1 1）（μσ，

先验概率后验概率及贝叶斯公式

先验概率、后验概率及全概率公式、贝叶斯公式2011-11-15 16:04:24| 分类：数理统计|举报|字号订阅 先验概率与后验概率 事情还没有发生,要求这件事情发生的可能性的大小,是先验概率. 事情已经发生,要求这件事情发生的原因是由某个因素引起的可能性的大小,是后验概率. 一、先验概率是指根据以往经验和分析得到的概率，如全概率公式，它往往作为“由因求果”问题中的“因”出现。后验概率是指在得到“结果”的信息后重新修正的概率，如贝叶斯公式中的，是“执果寻因”问题中的“因”。先验概率与后验概率有不可分割的联系，后验概率的计算要以先验概率为基础。 二、A prior probability is a marginal probability, interpreted as a description of what is known about a variable in the absence of some evidence. The posterior probability is then the conditional probability of the variable taking the evidence into account. The posterior probability is computed from the prior and the likelihood function via Bayes' theorem. 三、先验概率与后验概率通俗释义 事情有N种发生的可能，我们不能控制结果的发生，或者影响结果的机理是我们不知道或是太复杂超过我们的运算能力。新发一个物种，到底是猫,还是小老虎呢（朱道元的经典例子）？是由于我们的无知才不能确定判断。 先验概率 ( Prior probability) 先验概率是在缺乏某个事实的情况下描述一个变量；而后验概率是在考虑了一个事实之后的条件概率。先验概率通常是经验丰富的专家的纯主观的估计。比如在法国大选中女候选罗雅尔的支持率 p,在进行民意调查之前, 可以先验概率来表达这个不确定性。

先验概率与后验概率的区别-1

先验概率与后验概率的区别（老迷惑了） 此为Bayesian先生，敬仰吧，同志们！ 先验（A priori；又译：先天）在拉丁文中指“来自先前的东西”，或稍稍引申指“在经验之前”。近代西方传统中，认为先验指无需经验或先于经验获得的知识。它通常与后验知识相比较，后验意指“在经验之后”，需要经验。这一区分来自于中世纪逻辑所区分的两种论证，从原因到结果的论证称为“先验的”，而从结果到原因的论证称为“后验的”。 先验概率是指根据以往经验和分析得到的概率，如全概率公式 中的，它往往作为“由因求果”问题中的“因”出现。后验概 率是指在得到“结果”的信息后重新修正的概率，是“执果寻因”问题中的“因” 。后验概率是基于新的信息，修正原来的先验 概率后所获得的更接近实际情况的概率估计。先验概率和后验概

率是相对的。如果以后还有新的信息引入，更新了现在所谓的后验概率，得到了新的概率值，那么这个新的概率值被称为后验概率。 先验概率的分类： 利用过去历史资料计算得到的先验概率，称为客观先验概率；当历史资料无从取得或资料不完全时，凭人们的主观经验来判断而得到的先验概率，称为主观先验概率。 后验概率是指通过调查或其它方式获取新的附加信息，利用贝叶斯公式对先验概率进行修正，而后得到的概率。 先验概率和后验概率的区别： 先验概率不是根据有关自然状态的全部资料测定的，而只是利用现有的材料(主要是历史资料)计算的；后验概率使用了有关自然状态更加全面的资料，既有先验概率资料，也有补充资料； 先验概率的计算比较简单，没有使用贝叶斯公式；而后验概率的计算，要使用贝叶斯公式，而且在利用样本资料计算逻辑概率时，还要使用理论概率分布，需要更多的数理统计知识。

贝叶斯统计_先验分布的确定

第三章先验分布的确定 3.1 主观概率 3.1.1概率的公理化定义 定义：设Ω为一个样本空间，F 为Ω的某些子集组成的一个事件域，如果对任一事件A ∈F ，定义在F 上一个实值函数P(A)满足下列条件： (1)非负性公理：对于每一事件A ，有P(A)≥0； (2)正则性(规范性)公理：P(Ω)=1； (3)可列可加性(完全可加性)公理：设A 1，A 2，…是互不相容的事件，即对于i≠j ，A i A j =?，i ，j=1，2，…，则有 11()()i i i i P A P A ∞∞ ===∑U 则称P （A ）为事件A 的概率(Probability)，称三元素(Ω，F ，P)为概率空间(Probability space)。 概率是定义在σ-域F 上的一个非负的、正则的、可列可加的集函数。 3.1.2主观概率 在经典统计中，概率是用三条公理定义的：1）非负性；2）正则性；3）可加性。概率确定方法有两种：1）古典方法；2）频率方法。 实际中大量使用的是频率方法，所以经典统计的研究对象是能大量重复的随机现象，不是这类随机现象就不能用频率的方法去确定其有关事件的概率。这无疑把统计学的应用和研究领域缩小了[1]。在经典统计中有一种习惯，对所得到的概率都要给出频率解释，这在有些场所是难于做出的。譬如，天气预报：“明天下雨的概率是0.8”。 贝叶斯统计中要使用先验信息，而先验信息主要是指经验和历史资料。因此如何用人们的经验和过去的历史资料确定概率和先验分布是贝叶斯学派要研究

的问题。 贝叶斯学派是完全同意概率的公理化定义，但认为概率也是可以用经验确定。这是与人们的实践活动一致。这就可以使不能重复或不能大量重复的随机现象也可谈及概率。同时也使人们积累的丰富经验得以概括和应用。 贝叶斯学派认为：一个事件的概率是人们根据经验对该事件发生可能性所给出个人信念。这样给出的概率称为主观概率。下面举几个例子：一个企业家认为“一项新产品在未来市场上畅销”的概率是0.8，这里的0.8是根据他自己多年的经验和当时一些市场信息综合而成的个人信念。 一位医生要对一位病人动手术，他认为成功的概率是0.9，这是他根据手术的难易程度和自己的手术经验而对“手术成功”所给出的把握程度。 这样的例子在我们生活，生产和经济活动中也是常遇见的，他们观察的主观概率绝不是随意的，而是要求当事人对所考察的事件有较透彻的了解和丰富的经验，甚至是这一行的专家。并能对周围信息和历史信息进行仔细分析，在这个基础上确定的主观概率就能符合实际。所以应把主观概率与主观臆造，瞎说一通区别开来。 主观概率要受到实践检验，要符合概率的三条公理，通过实践检验和公理验证，人们会接受其精华，去其糟粕。 主观概率是频率方法和经典方法的一种补充，有了主观概率至少使人们在频率观点不适用时也能谈论概率，使用概率和统计方法。 主观概率并不反对用频率方法确定概率，但也要看到它的局限性。 3.1.3 确定主观概率的方法 （1）用对立事件的比较来确定主观概率（最简单的方法） 例3.1 一位出版商要知道一本新书畅销（事件A）的概率是多少，以决定是否与作者签订出版合同。他在了解这本新书的内容后，根据他自己多年出书的经验认为该书畅销的可能性较大，畅销（A）比畅销（A）的可能性要高出一倍，即 P A=，即 +=，可以推得()2/3 P A P A P A P A ()2() =，由此根据概率的性质()()1

主观概率与先验分布

第二章主观概率和先验分布 Subjective Probability and Prior Distribution 本章主要参考文献：60，52，上帝怎样掷骰子 §2-1 基本概念 一、概率（probability） 1. 频率 f n(A)==N a/N P (A)==lim f n(A)…古典概率的定义 n 2. Laplace在《概率的理论分析》(1812)中的定义 P(A)==k/N 式中，k为A所含基本事件数， N为基本事件总数 适用条件 1.基本事件有限 2.每个基本事件等可能 3.公理化定义 E是随机试验,S是E的样本空间,对E的每一事件A,对应有确定实数P(A),若满足: ①非负性：0≤P(A)≤1 ②规范性：P(S)=1 ③可列可加性：对两两不相容事件A k (k=1,2…) (A i∩A j=φ) P(∪A k)=∑P(A k) 则称P(A)为事件A发生的概率

二、主观概率(subjective probability, likelihood) 1. 为什么引入主观概率 。有的自然状态无法重复试验 如：明天是否下雨 新产品销路如何 明年国民经济增长率如何 能否考上博士生 。试验费用过于昂贵、代价过大 例：洲导弹命中率 战争中对敌方下一步行动的估计 2.主观概率定义：合理的信念的测度 某人对特定事件会发生的可能的度量。 即他相信(认为)事件将会发生的可能性大小的程度。 这种相信的程度是一种信念，是主观的，但又是根据经验、各方而后知识，对客观情况的了解进行分析、推理、综合判断而设定(Assignment)的，与主观臆测不同。 例：考博士生、掷硬币、抛图钉 三、概率的数学定义 对非空集Ω，元素ω，即Ω=｛ω｝，F是Ω的子集A所构成的σ-域(即Ω∈F； 若A∈F则A∈F； 若A i∈F i=1,2,…则∪A i∈F) 若P(A)是定在F上的实值集函数，它满足 ①非负性P(A)≥0 ②规范性P(Ω)=1

Latent Dirichlet Allocation(LDA)

2009-12-30 Latent Dirichlet Allocation - [paper] 版权声明：转载时请以超链接形式标明文章原始出处和作者信息及本声明 https://www.wendangku.net/doc/de1515389.html,/logs/55583713.html zz 自https://www.wendangku.net/doc/de1515389.html,/wForum/boardcon.php?bid=298&id=2530&ftype=6 发信人: hmily821224 (笨笨猫), 信区: PR_AI 标题: [导读]文本处理、图像标注中的一篇重要论文Latent Dirichlet Allocation 发信站: 北邮人论坛 (Tue Jul 1 21:56:16 2008), 站内 [论文导读][教程][介绍]文本处理、图像标注中的一篇重要论文Latent Dirichlet Allocation 原文信息 Latent Dirichlet Allocation David.M.Blei Andrew.Y.Ng Michael.I.Jordan JMLR2003 （可google到） 原文的主要内容

有两种方法设计分类器： 1. discriminative model，就是由样本直接设计判别函数，例如SVM； 2. generative model，就是先从样本恢复概率模型——例如我们熟悉的参数方法：混合高斯模型GMM;非参数方法Parzen窗。然后再充分挖掘模型，用以分类。例如Bayes最大后验概率准则；或者将模型中的参数当作提取的特征（参数一般都比较少，所以这么做实际上是在降维），在这些新特征上设计分类器（例如又用SVM）。 恢复的模型可生成新的样本，所以得名generative。 原文就是讲了一种建立generative model的方法，用于文本处理。 对文本（document）中各单词（word）的出现频率（简称词频）建立概率模型通常是文本处理的第一步。 开始讨论前，先做如下约定： - 仅考虑文本的词频，而不考虑单词在文本中出现的先后顺序及其约束关系 - 文本中的单词来自大小为|V|的词汇表。例 如： V = {FILM, MUSIC, TAX, MILLION, STUDENT, TEACHER, SCHOOL}. |V| = 7 - 每篇文本有N个单词 - 文本来自k个主题（topic）。例如: T = {Arts, Budgets, Education}. k = 3 一种简单直观的词频概率模型——unigram model（原文Figure 3(a)）这样描述某一文本中单词的“发生方式”： For each of the N words w_n: Choose a word w_n ～ p(w); 其中，w是离散随机变量，在词汇表V中取|V|个离散的值。p(w)是w的分布，可由训练样本通过机器学习或其它方法获得。这个模型就是每个单词的词频，没有考虑文本的主题，过于简单。于是我们引出考虑了文本主题的模型—— Mixture of unigram(原文中Figure 3(b)). 它这样描述某一文本中单词的“发生方式”：

先验概率与后验概率的区别-1

此为先生，敬仰吧，同志们！ 先验（；又译：先天）在拉丁文中指“来自先前地东西”，或稍稍引申指“在经验之前”.近代西方传统中，认为先验指无需经验或先于经验获得地知识.它通常与后验知识相比较，后验意指“在经验之后”，需要经验.这一区分来自于中世纪逻辑所区分地两种论证，从原因到结果地论证称为“先验地”，而从结果到原因地论证称为“后验地”.文档来自于网络搜索 先验概率是指根据以往经验和分析得到地概率，如全概率公式中地，它往往作为“由因求果”问题中地“因”出现.后验概率是指在得到“结果”地信息后重新修正地概率，是“执果寻因”问题中地“因” .后验概率是基于新地信息，修正原来地先验概率后所获得地更接近实际情况地概率估计.先验概率和后验概率是相对地.如果以后还有新地信息引入，更新了现在所谓地后验概率，得到了新地概率值，那么这个新地概率值被称为后验概率.文档来自于网络搜索 先验概率地分类： 利用过去历史资料计算得到地先验概率，称为客观先验概率； 当历史资料无从取得或资料不完全时，凭人们地主观经验来判断而得到地先验概率，称为主观先验概率. 后验概率是指通过调查或其它方式获取新地附加信息，利用贝叶斯公式对先验概率进行修正，而后得到地概率.文档来自于网络搜索 先验概率和后验概率地区别： 先验概率不是根据有关自然状态地全部资料测定地，而只是利用现有地材料(主要是历史资料)计算地；后验概率使用了有关自然状态更加全面地资料，既有先验概率资料，也有补充资料；文档来自于网络搜索 先验概率地计算比较简单，没有使用贝叶斯公式；而后验概率地计算，要使用贝叶斯公式，而且在利用样本资料计算逻辑概率时，还要使用理论概率分布，需要更多地数理统计知识.文档来自于网络搜索 先验概率与后验概率 "概率就是无知, 而不是事务本身是随机地". 事情有种发生地可能,我们不能控制结果地发生,或者影响结果地机理是我们不知道或是太复杂超过我们地运算能力. 新发一个物种, 到底是猫,还是小老虎

基于狄利克雷DirichletProcesses聚类的协同过滤推荐算法实现(输出聚类计算过程,分布图展示)

基于狄利克雷DirichletProcesses聚类的协同过滤推荐算法代码实现（输出聚类计算 过程，分布图展示） 聚类(Clustering)就是将数据对象分组成为多个类或者簇(Cluster)，它的目标是：在同一个簇中的对象之间具有较高的相似度，而不同簇中的对象差别较大。所以，在很多应用中，一个簇中的数据对象可以被作为一个整体来对待，从而减少计算量或者提高计算质量。 一、DirichletProcesses聚类算法实现原理 狄利克雷聚类（Dirichlet Processes Clustering）是一种基于概率分布模型的聚类算法。 首先我们先简要介绍一下基于概率分布模型的聚类算法（后面简称基于模型的聚类算法）的原理：首先需要定义一个分布模型，简单的例如：圆形，三角形等，复杂的例如正则分布，泊松分布等；然后按照模型对数据进行分类，将不同的对象加入一个模型，模型会增长或者收缩；每一轮过后需要对模型的各个参数进行重新计算，同时估计对象属于这个模型的概率。所以说，基于模型的聚类算法的核心是定义模型，对于一个聚类问题，模型定义的优劣直接影响了聚类的结果，下面给出一个简单的例子，假设我们的问题是将一些二维的点分成三组，在图中用不同的颜色表示，图 A 是采用圆形模型的聚类结果，图 B 是采用三角形模型的聚类结果。可以看出，圆形模型是一个正确的选择，而三

角形模型的结果既有遗漏又有误判，是一个错误的选择。 狄利克雷聚类算法是按照如下过程工作的：首先，我们有一组待聚类的对象和一个分布模型。使用 ModelDistribution 生成各种模型。初始状态，我们有一个空的模型，然后尝试将对象加入模型中，然后一步一步计算各个对象属于各个模型的概率。 本文主要是java语言实现，1000个点（本文是二维向量，也可以是多维，实现原理和程序一样），程序运行过程中会输出每一次遍历点的簇中心，和簇中包含的点，并将最终结果通过插件在html中显示。 二、DirichletProcesses聚类算法实现部分步骤 将本地文件读取到点集合中：

先验分布的确定

幻灯片67 其步骤如下： （1）写出样本的对数似然函数 ∑∏===??? ???=n i i n i i x p x p x l 1 1) |(ln )|(ln )|(θθθ （2）求样本的信息阵 p j i l E I j i x ,...,2,1,, )(2|=??? ????????-=θθθθ 2 |2(),x l I E θ θθ???=-????? 在单参数(p=1)场合, (3)Θ的无信息先验密度为 2 /1)] ([det )(θθπI = 1/2 ()[()] I πθθ= 在单参数(p=1)场合, 幻灯片68 2122(,,...,)(,),(,). n X x x x N Jeffreys μσθμσ==设是来自正态分布的一组样本试求的先验

2211 :()ln[] 2i x n i l x e μ σθπσ--==∑写出样本的对数似然函数 2 2 1 11 (,)ln(2)ln ().22n i i l n x μσπσμσ=?=-- -∑ 2222 2222() ()0:(,);20()()l l n E E Fisher I n l l E E μμσσμσσμσσ?????? -- ? ????? ?==?? ?????- - ?? ??? ???? ?其信息阵 42),(det -=?σσμn I 22,(,):(,)2.Jeffreys n μσπμσσσ--=∝所以的先验为 幻灯片69 2 2 1 1 :,(),:()1; ,()2,();,(,); n I I n σμπμσ μσσπσσμσπμσσ---= ∝=∝∝注当已知当已知当和独立 幻灯片70 例3.22 关于成功概率的无信息先验分布至今已有4种 π1(θ)=1 ——正常 π2(θ)=θ-1(1-θ)-1 ——不正常 π3(θ)=θ-1/2(1-θ)-1/2 ——正则化后可成为正常 π4(θ)=θθ(1-θ)(1-θ) ——正则化后可成为正常

先验概率、后验概率与似然估计

先验概率、后验概率与似然估计 本文假设大家都知道什么叫条件概率了（P(A|B)表示在B事件发生的情况下，A事件发生的概率）。 先验概率和后验概率 教科书上的解释总是太绕了。其实举个例子大家就明白这两个东西了。 假设我们出门堵车的可能因素有两个（就是假设而已，别当真）：车辆太多和交通事故。堵车的概率就是先验概率。 那么如果我们出门之前我们听到新闻说今天路上出了个交通事故，那么我们想算一下堵车的概率，这个就叫做条件概率。也就是P(堵车|交通事故)。这是有因求果。 如果我们已经出了门，然后遇到了堵车，那么我们想算一下堵车时由交通事故引起的概率有多大， 那这个就叫做后验概率（也是条件概率，但是通常习惯这么说）。也就是P(交通事故|堵车)。这是有果求因。 下面的定义摘自百度百科： 先验概率是指根据以往经验和分析得到的概率,如全概率公式,它往往作为"由因求果"问题中的"因"出现. 后验概率是指依据得到"结果"信息所计算出的最有可能是那种事件发生,如贝叶斯公式中的,是"执果寻因"问题中的"因". 那么这两个概念有什么用呢？ 最大似然估计 我们来看一个例子。 有一天，有个病人到医院看病。他告诉医生说自己头痛，然后医生根据自己的经验判断出他是感冒了，然后给他开了些药回去吃。 有人肯定要问了，这个例子看起来跟我们要讲的最大似然估计有啥关系啊。 关系可大了，事实上医生在不知不觉中就用到了最大似然估计（虽然有点牵强，但大家就勉为其难地接受吧^_^）。 怎么说呢？ 大家知道，头痛的原因有很多种啊，比如感冒，中风，脑溢血...（脑残>_<这个我可不知道会不会头痛，还有那些看到难题就头痛的病人也不在讨论范围啊！）。 那么医生凭什么说那个病人就是感冒呢？哦，医生说这是我从医多年的经验啊。 咱们从概率的角度来研究一下这个问题。 其实医生的大脑是这么工作的， 他计算了一下 P(感冒|头痛)（头痛由感冒引起的概率，下面类似） P(中风|头痛) P(脑溢血|头痛) ... 然后这个计算机大脑发现，P(感冒|头痛)是最大的，因此就认为呢，病人是感冒了。看到了吗？这个就叫最大似然估计（Maximum likelihood estimation，MLE）。 咱们再思考一下，P(感冒|头痛)，P(中风|头痛)，P(脑溢血|头痛)是先验概率还是后验概率呢？ 没错，就是后验概率。看到了吧，后验概率可以用来看病（只要你算得出来，呵呵）。 事实上，后验概率起了这样一个用途，根据一些发生的事实（通常是坏的结果），分析结果产生的最可能的原因，然后才能有针对性地去解决问题。

贝叶斯法则,先验概率,后验概率,最大后验概率

1.贝叶斯法则 机器学习的任务：在给定训练数据D时，确定假设空间H中的最佳假设。 最佳假设：一种方法是把它定义为在给定数据D以及H中不同假设的先验概率的有关知识下的最可能假设。贝叶斯理论提供了一种计算假设概率的方法，基于假设的先验概率、给定假设下观察到不同数据的概率以及观察到的数据本身。 2.先验概率和后验概率 用P(h)表示在没有训练数据前假设h拥有的初始概率。P(h)被称为h 的先验概率。先验概率反映了关于h是一正确假设的机会的背景知识如果没有这一先验知识，可以简单地将每一候选假设赋予相同的先验概率。类似地，P(D)表示训练数据D的先验概率，P(D|h)表示假设h 成立时D的概率。机器学习中，我们关心的是P(h|D)，即给定D时h 的成立的概率，称为h的后验概率。 3.贝叶斯公式 贝叶斯公式提供了从先验概率P(h)、P(D)和P(D|h)计算后验概率P(h|D)

的方法 p(h|D)=P(D|H)*P(H)/P(D) P(h|D)随着P(h)和P(D|h)的增长而增长，随着P(D)的增长而减少，即如果D独立于h时被观察到的可能性越大，那么D对h的支持度越小。 4.极大后验假设 学习器在候选假设集合H中寻找给定数据D时可能性最大的假设h，h被称为极大后验假设（MAP）确定MAP的方法是用贝叶斯公式计算每个候选假设的后验概率，计算式如下: h_map=argmax P(h|D)=argmax (P(D|h)*P(h))/P(D)=argmax P(D|h)*p(h) (h属于集合H) 最后一步，去掉了P(D)，因为它是不依赖于h的常量。 5.极大似然假设 在某些情况下，可假定H中每个假设有相同的先验概率，这样式子