昌乐县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1. 如果随机变量ξ~N (﹣1,σ2),且P (﹣3≤ξ≤﹣1)=0.4,则P (ξ≥1)等于( )
A .0.1
B .0.2
C .0.3
D .0.4
2. 已知椭圆,长轴在y 轴上,若焦距为4,则m 等于( ) A .4 B .5
C .7
D .8
3. 若()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数,[)()1212,0,x x x x ?∈+∞≠,有()()
2121
0f x f x x x -<-,则
( )
A .()()()213f f f -<<
B .()()()123f f f <-<
C .()()()312f f f <<
D .()()()321f f f <-<
4. 设1m >,在约束条件,,1.y x y mx x y ≥??
≤??+≤?
下,目标函数z x my =+的最大值小于2,则m 的取值范围为( )
A
.(1,1 B
.(1)+∞ C. (1,3) D .(3,)+∞ 5. 把函数y=cos (2x+φ)(|φ|
<
)的图象向左平移
个单位,得到函数y=f (x )的图象关于直线
x=
对称,则φ的值为( ) A
.﹣
B
.﹣
C
.
D
.
6. “a >0”是“方程y 2=ax 表示的曲线为抛物线”的( )条件.
A .充分不必要
B .必要不充分
C .充要
D .既不充分也不必要
7. 如图,
已知平面
=,
.是直线上的两点,是平面
内的两点,且
,
,,.是平面
上的一动点,且有
,则四棱锥
体积的最大值是( )
A .
B .
C .
D .
8. 某几何体的三视图如图所示(其中侧视图中的圆弧是半圆),则该几何体的表面积为( )
A .20+2π
B .20+3π
C .24+3π
D .24+3π
9. 某班有50名学生,一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N (105,102),已知P (95≤ξ≤105)=0.32,估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为( ) A .10 B .9
C .8
D .7
10.复数的虚部为( )
A .﹣2
B .﹣2i
C .2
D .2i
11.设向量,满足:||=3,||=4, =0.以,,﹣的模为边长构成三角形,则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为( )
A .3
B .4
C .5
D .6
12.已知集合},052|{2
Z x x x x M ∈<+=,},0{a N =,若?≠N M ,则=a ( ) A .1- B . C .1-或 D .1-或2-
二、填空题
13.如图,在平面直角坐标系xOy 中,将直线y=与直线x=1及x 轴所围成的图形旋转一周得到一个圆锥,
圆锥的体积V 圆锥=
π()2dx=x 3|=
.
据此类推:将曲线y=x 2
与直线y=4所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体,该旋转体的体积V= .
14.已知点A (2,0),点B (0,3),点C 在圆x 2+y 2
=1上,当△ABC 的面积最小时,点C 的坐标为 .
15.已知数列{}n a 的首项1a m =,其前n 项和为n S ,且满足2132n n S S n n ++=+,若对n N *?∈,1n n a a +< 恒成立,则m 的取值范围是_______.
【命题意图】本题考查数列递推公式、数列性质等基础知识,意在考查转化与化归、逻辑思维能力和基本运算能力.
16.【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】在平面直角坐标系xOy 中,直线l 与函数
()()2220f x x a x =+>和()()3220g x x a x =+>均相切(其中a 为常数),切点分别为()11,A x y 和
()22,B x y ,则12x x +的值为__________.
17.在等差数列{a n }中,a 1=7,公差为d ,前n 项和为S n ,当且仅当n=8时S n 取得最大值,则d 的取值范围为 .
18.已知函数y=log (x 2
﹣ax+a )在区间(2,+∞)上是减函数,则实数a 的取值范围是 .
三、解答题
19.(本小题满分12分)某市拟定2016年城市建设,,A B C 三项重点工程,该市一大型城建公司准备参加这三个工程的竞标,假设这三个工程竞标成功与否相互独立,该公司对,,A B C 三项重点工程竞标成功的概率分别为a ,b ,
14()a b >,已知三项工程都竞标成功的概率为124,至少有一项工程竞标成功的概率为34
. (1)求a 与b 的值;
(2)公司准备对该公司参加,,A B C 三个项目的竞标团队进行奖励,A 项目竞标成功奖励2万元,B 项目竞标成功奖励4万元,C 项目竞标成功奖励6万元,求竞标团队获得奖励金额的分布列与数学期望.
【命题意图】本题考查相互独立事件、离散型随机变量分布列与期望等基础知识,意在考查学生的运算求解能力、审读能力、获取数据信息的能力,以及方程思想与分类讨论思想的应用.
20.在平面直角坐标系xOy 中,F 1、F 2分别为椭圆C : =1(a >b >0)的左、右焦点,B 为短轴的一
个端点,E 是椭圆C 上的一点,满足,且△EF
1F 2的周长为
.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)设点M 是线段OF 2上的一点,过点F 2且与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点,若△MPQ 是以M 为顶点的等腰三角形,求点M 到直线l 距离的取值范围.
21.设集合{}
()(
){
}
2
2
2
|320,|2150A x x x B x x a x a =-+==+-+-=.
(1)若{}2A B =,求实数的值;
(2)A B A =,求实数的取值范围.1111]
22.已知数列{a n }与{b n },若a 1=3且对任意正整数n 满足a n+1﹣a n =2,数列{b n }的前n 项和S n =n 2+a n . (Ⅰ)求数列{a n },{b n }的通项公式;
(Ⅱ)求数列{}的前n 项和T n .
23.如图,已知椭圆C:+y2=1,点B坐标为(0,﹣1),过点B的直线与椭圆C另外一个交点为A,且
线段AB的中点E在直线y=x上
(Ⅰ)求直线AB的方程
(Ⅱ)若点P为椭圆C上异于A,B的任意一点,直线AP,BP分别交直线y=x于点M,N,证明:OM?ON 为定值.
24.如图,正方形ABCD中,以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F,连接CF并延长交AB于点E.
(Ⅰ)求证:AE=EB;
(Ⅱ)若EF?FC=,求正方形ABCD的面积.
昌乐县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(参考答案)
一、选择题
1.【答案】A
【解析】解:如果随机变量ξ~N(﹣1,σ2),且P(﹣3≤ξ≤﹣1)=0.4,
∵P(﹣3≤ξ≤﹣1)
=
∴
∴P(ξ≥1)=.
【点评】一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似的服从正态分布,正态分布在概率和统计中具有重要地位.
2.【答案】D
【解析】解:将椭圆的方程转化为标准形式为,
显然m﹣2>10﹣m,即m>6,
,解得m=8
故选D
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质.要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系要明了.
3.【答案】D
4.【答案】A
【解析】
考点:线性规划.
【方法点晴】本题是一道关于线性规划求最值的题目,采用线性规划的知识进行求解;关键是弄清楚的几何意义直线z x my =+截距为
z
m
,作0my x :L =+,向可行域内平移,越向上,则的值越大,从而可得当直线直线z x my =+过点A 时取最大值,??
?==+00001m x y y x 可求得点A 的坐标可求的最大值,然后由z 2,>解不等式可求m
的范围.
5.【答案】B
【解析】解:把函数y=cos(2x+φ)(|φ|<)的图象向左平移个单位,
得到函数y=f(x)=cos[2(x+)+φ]=cos(2x+φ+)的图象关于直线x=对称,
则2×+φ+=kπ,求得φ=kπ﹣,k∈Z,故φ=﹣,
故选:B.
6.【答案】A
【解析】解:若方程y2=ax表示的曲线为抛物线,则a≠0.
∴“a>0”是“方程y2=ax表示的曲线为抛物线”的充分不必要条件.
故选A.
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用抛物线的定义是解决本题的关键,比较基础.
7.【答案】A
【解析】【知识点】空间几何体的表面积与体积
【试题解析】由题知:是直角三角形,又,所以。
因为,所以PB=2PA。
作于M,则。
令AM=t,则
所以即为四棱锥的高,
又底面为直角梯形,
所以
故答案为:A
8.【答案】B
【解析】由已知中的三视图,可知该几何体是一个以侧视图为底面的柱体(一个半圆柱与正方体的组合体),
其底面面积S=2×2+=4+,
底面周长C=2×3+=6+π,高为2,
故柱体的侧面积为:(6+π)×2=12+2π,
故柱体的全面积为:12+2π+2(4+)=20+3π,
故选:B
【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图,其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键.
9. 【答案】B
【解析】解:∵考试的成绩ξ服从正态分布N (105,102
). ∴考试的成绩ξ关于ξ=105对称, ∵P (95≤ξ≤105)=0.32,
∴P (ξ≥115)=(1﹣0.64)=0.18,
∴该班数学成绩在115分以上的人数为0.18×50=9 故选:B .
【点评】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义,是一个基础题,解题的关键是考试的成绩ξ关于ξ=105对称,利用对称写出要用的一段分数的频数,题目得解.
10.【答案】C
【解析】解:复数=
=
=1+2i 的虚部为2.
故选;C .
【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义,属于基础题.
11.【答案】B
【解析】解:∵向量ab=0,∴此三角形为直角三角形,三边长分别为3,4,5,进而可知其内切圆半径为1,
∵对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆,此时只有三个交点, 对于圆的位置稍一右移或其他的变化,能实现4个交点的情况,
但5个以上的交点不能实现.
故选B
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系.可采用数形结合结合的方法较为直观.
12.【答案】D 【解析】
试题分析:由{
}
{}1,2,025
,0522
--=?
?????∈<<-
=∈<+=Z x x x Z x x x x M ,集合{}a N ,0=, 又φ≠N M ,1-=∴a 或2-=a ,故选D .
考点:交集及其运算.
二、填空题
13.【答案】8π.
【解析】解:由题意旋转体的体积V===8π,
故答案为:8π.
【点评】本题给出曲线y=x2与直线y=4所围成的平面图形,求该图形绕xy轴转一周得到旋转体的体积.着重考查了利用定积分公式计算由曲边图形旋转而成的几何体体积的知识,属于基础题.
14.【答案】(,).
【解析】解:设C(a,b).则a2+b2=1,①
∵点A(2,0),点B(0,3),
∴直线AB的解析式为:3x+2y﹣6=0.
如图,过点C作CF⊥AB于点F,欲使△ABC的面积最小,只需线段CF最短.
则CF=≥,当且仅当2a=3b时,取“=”,
∴a=,②
联立①②求得:a=,b=,
故点C的坐标为(,).
故答案是:(,).
【点评】本题考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
15.【答案】
15 (,)
43
16.【答案】56 27
【解析】
17.【答案】(﹣1,﹣).
【解析】解:∵S n
=7n+,当且仅当n=8时S n 取得最大值,
∴
,即
,解得:
,
综上:d 的取值范围为(﹣1
,﹣).
【点评】本题主要考查等差数列的前n 项和公式,解不等式方程组,属于中档题.
18.【答案】 a ≤4 .
【解析】解:令t=x 2
﹣ax+a ,则由函数f (x )=g (t )
=log
t 在区间[2,+∞)上为减函数,
可得函数t 在区间[2,+∞)上为增函数且t (2)>0,
故有
,解得a ≤4,
故实数a 的取值范围是a ≤4, 故答案为:a ≤4
【点评】本题主要考查复合函数的单调性,二次函数的性质,体现了转化的数学思想,属于中档题.
三、解答题
19.【答案】
【解析】(1)由题意,得1
1424
131(1)(1)(1)44ab a b ?=????----=??,因为a b >,解得1213a b ?=????=
??
.…………………4分
(Ⅱ)由题意,令竞标团队获得奖励金额为随机变量X , 则X 的值可以为0,2,4,6,8,10,12.…………5分 而4
1
433221)0(=??=
=X P ;1231(2)2344P X ==??=;
1131(4)2348P X ==??=; 1211135
(6)23423424P X ==??+??=;
1211(8)23412P X ==??=; 1111
(10)23424P X ==??=;
1111
(12)23424
P X ==??=.…………………9分
所以X 的分布列为:
于是,11()012345644824122424E X =?+?+?+?+?+?+?12
=.……………12分 20.【答案】
【解析】(本小题满分12分)
解:(1)由已知F 1(﹣c ,0),设B (0,b ),即=(﹣c ,0),
=(0,b ),
∴=(﹣c ,
),即E (﹣c ,
),
∴
,得
,①…
又△PF
1F 2的周长为2(),
∴2a+2c=2+2
,②…
又①②得:c=1,a=
,∴b=1,
∴所求椭圆C 的方程为:
=1.…
(2)设点M (m ,0),(0<m <1),直线l 的方程为y=k (x ﹣1),k ≠0,
由
,消去y ,得:(1+2k 2)x 2﹣4k 2x+2k 2
﹣2=0,
设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),PQ 中点为N (x 0,y 0),
则,∴y 1+y 2=k (x 1+x 2﹣2)=
,
∴, =
,
即N (
),…
∵△MPQ 是以M 为顶点的等腰三角形,∴MN ⊥PQ ,
即
=﹣1,
∴m=∈(0,),…
设点M 到直线l :kx ﹣y ﹣k=0距离为d ,
则d 2
=
=
<
=,
∴d ∈(0
,),
即点M 到直线距离的取值范围是(0
,).…
【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查点到直线的距离的取值范围的求法,解题时要认真审题,注意韦达定理、中点坐标公式、点到直线的距离公式的合理运用.
21.【答案】(1)1a =或5a =-;(2)3a >. 【解析】
(2){}{}1,2,1,2A A B == .
①()()
22
,2150B x a x a =?+-+-=无实根,0?<, 解得3a >; ② B 中只含有一个元素,()()
22
2150x a x a +-+-=仅有一个实根,
{}{}0,3,2,2,1,2a B A B ?===-=-故舍去;
③B 中只含有两个元素,使 ()()
22
2150x a x a +-+-= 两个实根为和,
需要满足()2
212121=a 5
a ?+=--??
?-??方程组无根,故舍去, 综上所述3a >https://www.wendangku.net/doc/df1637534.html,]
考点:集合的运算及其应用. 22.【答案】
【解析】解:(Ⅰ)由题意知数列{a n}是公差为2的等差数列,
又∵a1=3,∴a n=3+2(n﹣1)=2n+1.
列{b n}的前n项和S n=n2+a n=n2+2n+1=(n+1)2
当n=1时,b1=S1=4;
当n≥2时,.上式对b1=4不成立.
∴数列{b n}的通项公式:;
(Ⅱ)n=1时,;
n≥2时,,
∴.
n=1仍然适合上式.
综上,.
【点评】本题考查了求数列的通项公式,训练了裂项法求数列的和,是中档题.
23.【答案】
【解析】(Ⅰ)解:设点E(t,t),∵B(0,﹣1),∴A(2t,2t+1),
∵点A在椭圆C上,∴,
整理得:6t2+4t=0,解得t=﹣或t=0(舍去),
∴E(﹣,﹣),A(﹣,﹣),
∴直线AB的方程为:x+2y+2=0;
(Ⅱ)证明:设P(x0,y0),则,
直线AP方程为:y+=(x+),
联立直线AP与直线y=x的方程,解得:x M=,
直线BP的方程为:y+1=,
联立直线BP与直线y=x的方程,解得:x N=,
∴OM?ON=|x M||x N|
=2?||?||
=||
=||
=||
=.
【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题,考查求直线的方程、线段乘积为定值等问题,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.
24.【答案】
【解析】证明:(Ⅰ)∵以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径半圆交于点F,
且四边形ABCD为正方形,
∴EA为圆D的切线,且EB是圆O的切线,
由切割线定理得EA2=EF?EC,
故AE=EB.
(Ⅱ)设正方形的边长为a,连结BF,
∵BC为圆O的直径,∴BF⊥EC,
在Rt△BCE中,由射影定理得EF?FC=BF2=,
∴BF==,解得a=2,
∴正方形ABCD的面积为4.
【点评】本题考查两线段相等的证明,考查正方形面积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.