初等数论试卷1.

初等数论试卷 一、 单项选择题:(1分/题×20题=20分) 1.设x 为实数,[]x 为x 的整数部分,则( ) A.[][]1x x x ≤<+; B.[][]1x x x <≤+; C.[][]1x x x ≤≤+; D.[][]1x x x <<+. 2.下列命题中不正确的是( )

A.整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数; B.整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 C.整数a 与它的绝对值有相同的倍数 D.整数a 与它的绝对值有相同的约数

3.设二元一次不定方程ax by c +=(其中,,a b c 是整数,且,a b 不全为零)有一整数解()00,,,x y d a b =,则此方程的一切解可表为( )

A.00,,0,1,2,;a

b

x x t y y t t d d =-=+

=±± B.00,,0,1,2,;a

b

x x t y y t t d d =+=

-=±±

C.00,,0,1,2,;b

a

x x t y y t t d d =+=

-=±±

D.00,,0,1,2,;b

a

x x t y y t t d

d =-=

-=±±

4.下列各组数中不构成勾股数的是( )

A.5,12,13; B.7,24,25; C.3,4,5; D.8,16,17 5.下列推导中不正确的是( )

A.()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ B.()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ C.()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ D.()()112211mod mod .a b m a b m ≡?≡ 6.模10的一个简化剩余系是( )

A.0,1,2,,9; B.1,2,3,,10; C.5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;----- D.1,3,7,9.

7.()mod a b m ≡的充分必要条件是( ) A.;m a b - B.;a b m - C.;m a b + D..a b m +

8.设()43289f x x x x =+++,同余式()()0mod5f x ≡的所有解为( ) A.1x =或1;- B.1x =或4; C.1x ≡或()1mod5;- D.无解.

9、设f(x)=10n n a x a x a +++ 其中()0,mod i a x x p ≡是奇数若为f(x)()0mod p ≡的一个解,则:( )

A .()()

mod ()0mod ,1p f x p χχ?≡≡?>一定为的一个解 B .()()

0mod ,1,()0mod p f x p χχ??≡?>≡一定为的一个解 C

()()()00(),()0mod mod ,mod p f x f x p x x p x x p ααα≡≡≡当不整除时一定有解其中

D .()()

()00mod ()0mod ,mod x x p f x p x x p ααα≡≡≡若为的一个解则有 10.()10(),,0mod ,,n n i n f x a x a x a a a p n p =+++≡>/ 设其中为奇数则同余式 ()()0mod f x p ≡的解数:

( ) A .有时大于p 但不大于n; B .可超过p

C .等于p

D .等于n

11.若2为模p 的平方剩余,则p 只能为下列质数中的 :( )

A .3

B .11

C .13

D .23 12.若雅可比符号1a m ??

=

???

,则 ( ) A .()2mod ,x a m ≡同余式一定有解

B .()()2,1,mod a m x a p =≡当时同余式有解;

C .()2(,mod m p x a p =≡当奇数)时同余式有解;

D .()2(),mod a p x a p =≡当奇数时同余式有解.

13.()

()2mod 2,3,2,1,x a a αα≡≥=若同余式有解则解数等于( )

A . 4

B . 3

C . 2

D . 1 14. 模12的所有可能的指数为;( )

A .1,2,4

B .1,2,4,6,12

C .1,2,3,4,6,12

D .无法确定

15. 若模m 的单根存在,下列数中,m 可能等于: ( ) A . 2 B . 3 C . 4 D . 12 16.对于模5,下列式子成立的是: ( )

A .322ind =

B . 323ind =

C . 350ind =

D . 3331025ind ind ind =+ 17.下列函数中不是可乘函数的是: ( ) A .茂陛鸟斯(mobius)函数w(a) ; B . 欧拉函数()a φ;

C .不超过x 的质数的个数()x π;

D .除数函数()a τ;

18. 若x 对模m 的指数是ab ,a >0,ab >0,则x α对模m 的指数是( ) A .a B .b C .ab D .无法确定 19.()f a ,()g a 均为可乘函数,则( )

A .()()f a g a 为可乘函数;

B .()

()

f a

g a 为可乘函数

C .()()f a g a +为可乘函数;

D .()()f a g a -为可乘函数 20.设()a μ为茂陛乌斯函数,则有( )不成立

A .()11μ=

B .()11μ-=

C .()21μ=-

D .()90μ= 二.填空题:(每小题1分,共10分)

21. 3在45!中的最高次n = ____________________;

22. 多元一次不定方程:1122n n a x a x a x N +++= ,其中1a ,2a ,…,n a ,N 均

为整数,2n ≥,有整数解的充分必要条件是___________________; 23.有理数

a

b

,0a b <<,)(,1a b =,能表成纯循环小数的充分必要条件是_______________________;

24. 设()0mod x x m ≡为一次同余式()mod ax b m ≡,a ≡()0mod m 的一个解,则

它的所有解为_________________________;

25. 威尔生(wilson )定理:________________________________________; 26. 勒让德符号5031013??

???

=________________________________________; 27. 若)(

,1a p =,则a 是模p 的平方剩余的充分必要条件是_____________(欧拉判别条件);

28. 在模m 的简化剩余系中,原根的个数是_______________________; 29. 设1α≥,g 为模p α的一个原根,则模2p α的一个原根为_____________; 30. ()48?=_________________________________。 三.简答题:(5分/题×4题=20分)

31.命题“任意奇数的平方减1是8的倍数”对吗?说明理由。

32.“若)(

,1a m =,x 通过模m 的简化剩余系,则ax 也通过模m 的简化剩余系”这命题是否正确?正确请证明,不正确请举反例。

33.求模17的简化剩余系中平方剩余与平方非剩余。

34.设12

12k k

a p p p ααα= 为a 的标准分解式,记()S a 为a 的正因数的和,()a τ为a 的正因数的个数,则()S a =? ()a τ=? 为什么? 四.计算题。(7分/题×4题=28分)

35. 求不定方程6x+93y=75的一切整数解。

36. 解同余方程组()()()1mod 53mod 62mod 7x y z ≡??

≡??≡?

37.解同余式2x ≡11(mod125) 38.求模13的所有原根。 五、证明题:(7分/题×2题=14分)

39、试证: 2222x y z +=,(x ,y )=1 y 是偶数的整数解可写成:

22(2)x a b =±- 2y ab = 222z a b =+

这里0a b >>,(),1a b =,并且一为奇数,一为偶数。

40、设a 为正整数,试证:

||()()d a

d a

a

d a d

φφ==∑∑

其中

|d a

表示展布在a 的一切正因数上的和式。

六、应用题:(8分)

41、求30!中末尾0的个数。

参考答案:一.单项选择:ABCDD ;DACCB ;DCAAD ;BCBAB 。 二.填空题:21.21;22.()12,,,|n a a a N

;23.

(),101

b =;

24.()

0,0,1,2,,m

x t

t a m +=±± ;25.()1p -!+1()0mod ,p p ≡为素数;26.1; 27.()12

1mod p a

p -≡;28.()()m φφ;29.g 与g p α+中的单数;30.16

三.简答题:31.答:命题正确。 ()()2

211211m m +-=++????()211m +-????

()()22241m m m m =?+=+ 而()1m m +必为2的倍数。

86页

32.正确.证明见教材47P 。

33.在摸p 的简化剩余系中与2

2211,2,,2p -?? ???

同余的数是数p 的平方剩余,

()1

17,

182

p p =-=,222211,24,39,416≡≡≡≡,222258,62,715,813≡≡≡≡ 故1,2,4,8,9,13,15,16为摸17的平方剩余,而3,5,6,7,10,11,12,14为摸17的平方非剩余。 34.()()

121

11

11i i

k

k

i

i

i

i i i

p s a p p

p p αα+==-=

++++=-∏∏ ()()()()12111k a τααα=+++ 证明:若()f a 为可乘函数,则

()()()()|1

1i

k

i

i

a i f f p f p αα

α==++∑∏ . 分别令()().1f a a f a ==,它们为可乘函数,即得出。 四.计算题

35.解:因为()6,933|75=,故原不定方程有解。

又原方程即 23125x y +=,而易见方程2311x y +=有解

''

0016,1x y ==-。所以原方程的一个解是00400,25x y ==-

所以,原方程的一切整数解是:( )

40031252x t

r t

=+=-- t 是整数

36.解:因为模5,6,7两两互质,由孙子定理得所给同余方程组关于模

5×6×7=210有唯一解,分别解同余方程:

()421mod5x ≡,()351mod6x ≡,()301mod7x ≡,得

()3mod5x ≡, ()1m o d 6x ≡-,()4mod7x ≡ 因此所给同余方程组的解是:

()()423135133042mod210x ≡??+?-?+??

即:()26151mod210x ≡≡

37.解:从同余方程()()211mod51mod5x x ≡≡得,

()()()

2

22

111511mod5,1010mod5t t +≡≡再从得,

()()

2111mod 5,16mod 5t t ≡+≡因此于是, 是()()

()2

22232

11mod5,6511mod5t χ≡+≡的解又从

得()

()32230025mod 5,121mod 5t t ≡-≡-因此

即()222mod5,65256t x ≡=+?=所以 是所给方程的一个解,于是所解为: ()56m o d 125x ≡± 解毕。

38.解:()2131223,φ==? 122,3g g == 为其质因数

()

()1313

6,

42

3

φφ==,故g 为模13的原根的主要条件是:

()61m o d 13g ≡/,()41mod13g ≡/

用 g=1,2,……12逐一验证,得:2,6,7,11为模13的原根, 因为()124φ=,故模13原根只有4个,即为所求。

五、证明题:

39.证明:易验证所给的解为原方程的解,因y 为偶数,原方程可化为:

2

222z x z x r

+-???= ???

但 ,|,2222z x z x z

x z x

z +-+-????=

? ?????

,|,2

222z x z x z

x z x

x +-+-????=

? ?????

,所以(

2z x +,2

z x

-)=1 由书中引理,我们可假设

2z x +=2a , 2

z x -=b 2

显然a >b , (a ,b)=1, 于是

X=2a -b 2, z=2a +2b ,y=2ab

因子为奇数,所以a ,b 一定是一为奇,一为偶,证毕 40.证明:假定1d ,---, k d 为a 的所有正约数,那末

1a d ,---,k

a d 也是a 的所有正约数,于是

()d a

d φ∑=()d a

a

d

φ∑

再因为在a 的完全剩余系中任一数a 的最大公约数

必定是1d ,---, k d 中某一个数,而完全剩余系中与a 的最 大公约数为i d 的数有(

)i

m

d φ ,所以: ()d a

m d

φ∑= m 证毕

六.应用题:

41.解:5在30!中的最高次幂=305???

???+2305??????+3305??

????

=6+1+0=7 2在30!的最高次幂=302???

???+2302??????+3302??????+4302??????+5302??

????

=15+7+3+1+0=26

10=2×5,故 30!的末尾有7个零。

2007年4月广东省高等教教育育自学考试

初等数论试卷

一、 单项选择题。(本大题共15小题,每小题2分,共30分) 1.-36,420,48三个数的公因数是( )

A .±1,±3,±4,±5,±6,±12 B. ±1,±2,±3,±4,±6,±,12 C. ±2,±3,±4,±6 D1,2,3,4,5,6,12 2.设a,b Z ?(整数集),p 是素数,且p ab 。则( )

A a,b 中恰有一个是p 的倍数 B.a,b 中没有p 的倍数 C.a,b 中必有一个是p 的倍数 D. a,b 都是p 的倍数 3.设a,b 是非零整数,d=(a,b),则下列成立的是( ) A ,

a b ab d d ??=????、 B. ,ab

a b d d d ??=????、 C.2,

a b ab d d d ??=????、 D. 2,ab a b d d d

??=????、 4. 设且,,,1,a b c v Z au

bv ?=则对于任意d Z +?(正整数集)( )

A. (,)ad bd d =

B. (,)ad bd abd =

C.(,)ad bd ab =

D. [],ad bd d =、 5.对任意实数a ,必有( ) A.

[][]1αα-=-+ B.

[]{}

ααα-=-

C.

[][]

αα-=- D. {}{}a a -=-

6.下列不定方程中,有整数解的是( )

A. 27753348x y z ++=

B. 27756572x y z ++=

C. 42701433x y z -+=

D. 100204532x y z ++= 7.设a,b

,,(mod )

Z m Z a b m +

∈∈≡则( )

A.(a,b)=(a,m)

B.(a,b)=(b,m)

C.(a,m)=(m,b)

D.(a-b,m)=(a,m) 8.下列集合中,是模15的简化剩余系的是( )

A. {}1,2,3,5,7,8,11,13

B. {}1,2,37,8

C. {}1,4,8,7,11,13,14

D. {}29,14,2,2,19,,19,7,8-- 9.下列同余式中成立的是( )

A.48361(mod 49)≡、

B. 20271(mod 25)≡、

C. 7244(mod72)≡、

D. 41351(mod 41)≡、 10.设同余式(mod )ax b m o有解,则下述断语中正确的是( )

A. 该同余式有模m 的m-1个解

B. 在模m 的一组完全剩余系中,有(b,m)个数满足该同余式

C. 在模m 的一组完全剩余系中,有(a,m)个数满足该同余式

D. 在模m 的一组完全剩余系中,有(ab,m)个数满足该同余式

11.设素数p>2,a,b 分别是模p 的平方剩余和平方非剩余,则下列成的是( ) A.ab 是模p 的平方非剩余 B.2ab 是模p 的平方非剩余 C 2a b 是模p 的平方剩余 D. 22a b 是模p 的平方非剩余 12.设对模m 的指数为k.,则( )

A.k m

B. m k 、

C. k a D, ()k m ?、 13.若模m 的原根存在,则m 可能是( )

A.15的倍数

B.16的倍数 B.81的2倍 D.42的倍数 14.若x 对模m 的指数是ab,a>0,b>0,则b x 对模m 的指数是( ) A.

ab

m

B.b

C. a b -

D.a

15.设g 是模m 的一个原根, ()c m j =.K 是模c 的一个非负完全剩余系,则L=

{},t g t K ∈、是( )

A.模m 的一个完全剩余系 B 模m 的一个简化全剩余系 C 模c 的一个完全剩余系 D 模c 的一个简化全剩余系 二. 填空题(本大题共10,每小题2分,共2分)

16.设4532264223511,25713,a b =???=???、353

35713c =???、,[],,a b c 、则=

17.若a,b,是两个整数,b>0,设,a a m r b b ????==????????

、,则用m,r 表达的b 除a 的带余式是

. 18.

100!

32!

的标准分解中7的指数为 .

19.有理数(0,(,)1)a a b a b b

<<=能表示成纯循环小数的充分必要条件是 .

20.设1212k a a k m p p p α= 、,12,,k p p p 、是m 的互不相同的素数,则()m j = .

21.设a,b,c,m 都是整数,(mod )ab ac m ≡、,则当 时,

(mod )b c m ≡、.

22.设1212k a a k m p p p α= 、,i p 为互异的奇素数(i=1,2….,k), (,)1a m =,则同余式

2(mod )x a m ≡、有解时,解数为 .

23.设m 是偶数,则模m 有原根的充分必要条件是 .

24.设a 对模m 的指数为t,则1(mod )k a m ≡、成立的充分必要条件是 .

25.若12,,,t a a a 、是与m 互素的t 个整数,则12(,,,)t ind a a a ≡ 、

(m o d ())

m ?、 三、计算题。(本大题共4题,第26,27小题各5分,第28,29小题各7分,共24分) 26.解不定方程的整数解12357531.x y += 27.求3对模52的指数.

28.解同余方程组2(mod 3)

3(mod 4)3(mod 5)x x x ≡??

≡??≡?

29.对哪些奇素p,3是模p 的二次剩余? 四、应用题(本题10分)

30.今天是星期三,试求经过20031001999(20012)t =+天后是星期几? 五、证明题(本大题共2题,每小题8分,共30分) 31.求证3是模17的原根.

32.已知383是素数,求证2219(mod383)x ≡、有解。

2007年4月广东省高等教教育育自学考试

初等数论试题答案及评分参考

一、 单项选择题

1—5BCDAB 6—10ACDBC 11—15ADCDB 二、填空题 16. 45

652323571113创创

17.()a a a b b a bm br b b ????=+=+????????

、或

18.12

19.或存在一个正整数t,(,10)1b =使得成立101(mod )t b o。 20.11121111122()()()k k k k p p p p p p αααααα------ 、或12111(1)(1)(1)k

m p p p --- 、 21(a,m )=1 22. 2k

23.m=2,4或2p a ,其中a 为正整数,p 为素数 24.t k

25.12t inda idna idna +++ 、 三、计算题

26.解:(123,57)=3531,所以方程有整数解。

化简方程得 411917

7y +=

. (1分) 解得 411923=?+、

19361=?+、

于是1193619(41192)6=-?=--??、 41(6)191=?-+?、 故41(6177)1916177177?-?+??=、

知方程有特解 006177,13177x y =-?=?、(3分)

一般解为6177191317741x t

y t =-?+??

=?-?

、(0,1,2,t =±± 、)(5分) 27、解:5224?=、(),24的正因数为

1,2,3,4,6,8,12,24 (2分)

依次检验:12343339327329mod52)≡≡≡≡、,,,(

631(mod52)≡、 (4分) 故3对模52的指数是6 (5分) 28、 解:1233,4,5,60m m m m ====、 12320,15,1

2M M M ===、 而'''1232,3,3M M M ===、 (3分) 故此同余组的解为

220231533123(m o x ≡??+??+??、 23(m o d 60≡、 (7分) 29、解:显然5p 3,由二次互反律,有

3111

22

23/(()33p p p p p ---???????=-=- ? ? ???

???? (1分)

由于{

1,13p ≡-≡??

=

???

如p 1(mod3),如p 2(mod3)

{

1

1,2

1(1)

p -≡-≡-≡

如 p 1(mod4),如 p 3(mod4)

、 (3分)

所以 1

2

31(

3p p p -????=?=- ? ?????

、 {

1(m o d 3)

1(m o d 4)

p p oo?

或{

21(mod 3)31(mod 4)

p p 汉-汉-?

(5分)

1(m o d 12

p 酆 所以只有当(mod 12)p 罕时,3是模p 的二次剩余 (7分) 四、应用题

30、解: 要求t 模7的余数 2004(m o d 7),125(m

汉 由欧拉定理 6641(mod 7),51(mod 7)汉 (2分) 于是20032003

33365

520044442(mod 7)′汉春 (5分)

100100616

4

4

12555

52(m o

d 7)′?

春 (7分)

于是1999663331

4444(mod 7)t ′?春 (9分)

于是再过t 天就是星期日 (10分) 五 证明题

31、证:求得4(17)162j == ,其不同素因数只有2 (2分)

(17)

82

j = (4分) 而(17)82

3

316

1(mod17)j =汗 (6分)

所以3是模17的一个原根 (8分) 32、证:219373= ,于是

219373383383383

骣骣骣鼢 珑 鼢 =珑 鼢 珑 鼢 桫桫桫 (1分) 由二次互转律

31383

1

2

2

3383383(1)3833

2

--·骣骣骣鼢

珑 鼢 =-=-珑 鼢 珑 鼢 桫桫桫 21

(1)133骣骣-鼢珑鼢=-=-=--=珑鼢

珑鼢桫

(4分) 2733831823238373737373骣骣骣骣骣·÷鼢鼢?珑珑÷鼢鼢====?珑珑÷鼢鼢?珑珑÷鼢鼢?桫桫桫桫桫

2

731

8

(1)

1-=-= (7分)

所以 2191383骣÷?÷=?÷?÷桫

故同余方程2

219(mod 383)x o 有解 (8分)

相关推荐
相关主题
热门推荐