自然主义与数学本体论

自然主义与数学本体论

叶峰（北京大学哲学系）

摘要：自然主义是一种一般的哲学世界观。它蕴含着对本体论、认识论等哲学问题的答案。本文将从说明什么是自然主义的基本信念开始，然后阐述它蕴含的对关于抽象数学对象的本体论问题的回答。它将是反

实在论的回答，即它否认抽象数学对象客观存在。最后，本文将说明这种反实在论的自然主义将如何回答它

所面临的两个重要问题，即解释数学语言的意义在于什么、数学知识是关于什么的知识，还有解释数学在科

学中的可应用性。这是作者本人提出的一种彻底的自然主义的数学哲学的一个部分。

1 自然主义的基本信念

这里所说的“自然主义”，指的是在二十世纪的分析哲学传统中的自然主义倾向。可以说，某种一般性的自然主义倾向已经被分析哲学传统中的多数哲学家接受。但即使在分析哲学传统之中，在“自然主义”这个标签下也有种种不同的哲学观点与派别。甚至在数学哲学中，自然主义也有多种形式1。比如，蒯因是自然主义的主要倡导者之一，但他同时又是数学实在论者。与他相反Penelope Maddy在最近十年来也以倡导一种形式的自然主义为己任，但她似乎更倾向于数学反实在论2。在数学哲学中，以前的种种自然主义更多地强调，我们应该尊重科学家们与数学家们的科学实践与数学实践。这些自然主义强调，没有所谓的在科学之上的“第一哲学”。它们认为，哲学家的任务仅仅是对科学与数学实践作解释，而不是从所谓的“第一哲学”出发，指导科学与数学实践，或者为数学与科学提供基础。这是以前自称为“自然主义”的各种数学哲学的共同点与标志。但在此之下他们又得出了实在论或反实在论的不同的结论。在分析哲学传统中的心灵哲学中也有各种形式的自然主义。在那里，“自然主义”主要指的是与心-物二元论相对立的一种基本哲学态度3，其中包括各种形式的“物理主义”4。因此，“自然主义”可能是一个已经被用得太滥的标签。

但是，我们认为，对“自然主义”的各种理解其实都包含了一个共同的核心，即各种形式的自然主义者都公开地承认的一些基本信念。在此基础之上，有些自然主义者可能加上了其它的信念。但就数学哲学而言，我们相信，各种形式的自然主义都公开地认可的这些基本信念，就足以确定一种真正自然主义的数学哲学。至于那些在“自然主义”这个标签之下的种种不同的数学哲学，我们认为，要么它们隐含地违背了自己公开宣示的一些自然主义基本信念，要么它们没有将自己公开宣示的一些自然主义基本信念贯彻到底。因此，它们不是彻底地自我一致的自然主义。所以，尽管“自然主义”这个标签已经被用得太滥，我们还是将我们所提出的这种数学哲学称为自然主义数学哲学，或者称为彻底的自然主义的数学哲学，以强调它是彻底地贯彻了自然主义的基本信念。

1Maddy （2005）讨论了数学哲学中的自然主义的三种形式，但还不包括我们这里提出这种自然主义数学哲学。

2见Maddy （2007）。

3当然也与唯心论相对立，但今天似乎没哲学家认真看待唯心论了。

本小节将提出并讨论我们所理解的、作为自然主义的核心的，自然主义的基本信念。它们是各种形式的自然主义都公开地承诺的基本信念。这里我们不打算为自然主义的基本信念作辩护。我们只是从这些基本信念出发，考察它们的推论。我们的目的在于说明它们蕴含着关于数学的本体论问题的怎样的回答。

自然主义的基本信念也就是现代科学的基本世界观，是许多人（至少表面上）承认的。另一方面，当然也有许多人反对自然主义。本书不打算反驳那些反自然主义的观点。就数学哲学来说，我们相信，反自然主义的数学哲学，也应该首先尝试提出一个自身协调一致的数学哲学理论，回答关于数学的哲学问题。

我们将自然主义的基本信念概括为如下正、反两个方面的要点：

（1）人类是自然进化的产物，是自然世界的一部分；人的心灵，心灵的属性、认知能力与过程等等，原则上可归约为大脑神经元的结构、属性、活动过程或功能，而且也是自然进化的产物。

（2）没有超自然的、独立于物质的认知主体；哲学问题的提出不应该预设一个超自然的、独立于物质的心灵或认知主体，我们也不应该从这样一个心灵或认知主体的角度去回答哲学问题。

（1）中的“原则上可归约”的确切涵义，是目前分析哲学中的心灵哲学中各种自然主义理论之间正在争论的问题。这里我们不假设对它的任何一种具体的回答，而只强调这些回答的共同的一面，即断言没有独立于物质世界的心灵，没有在任何意义上都不可归约为神经元的、只属于心的、特殊的心灵属性、能力等等。这将在下面的自然主义的基本信念的推论（3）、（4）、（5）、（6）等等中得到具体化。基于这种对“原则上可归约”的宽泛的理解，（1）应该是所有自称是自然主义者的哲学家都能接受的。否认它直接意味着接受某种形式的心-物二元论甚至唯心论等等。比如，蒯因就称人类是“物质世界中的物质性的居民”5。因此他应该接受这个自然主义的基本信念。

（2）其实是（1）的推论。既然人的心灵是自然进化的产物，原则上可归约为大脑神经元的活动与功能，他们就不是超自然的、独立于物质的。因此，我们的涉及心灵的哲学问题，都应该是关于作为自然世界的一部分的人的问题，尤其是关于大脑的问题，而不是关于一个假设的、超自然的认知主体的问题。比如，考虑一个怀疑论者提出的问题“你如何知道眼前的这些事物存在”或“我如何知道我的手存在”。怀疑论者的“你”、“我”显然不是指作为自然世界的一部分的某个大脑。如果它们指的是作为自然世界的一部分的某个大脑，那么对这些问题的回答应该是自然主义的回答，应该是描述那个大脑（以及与之相连接的身体）如何从一个受精卵由基因控制发育而成，如何在与环境中的相互作用中（即学习中）成熟，如何特别地从环境通过感官获得某种相关的信息而认识到大脑之外的某个事物，比如，通过眼睛接收眼前的事物发出的光波而认识到那个事物，或者通过神经系统直接感受到与大脑相联接的手，等等等等。这些显然不是怀疑论者所期待的回答。显然，怀疑论者引诱听众假设，“你”、“我”是指某个不属于这个自然世界的超自然的认知主体。怀疑论者首先预设存在这样一个超自然的认知主体，然后设想这个超自然的认知主体与某个“外部世界”相隔离、相对立，然后在这些预设前提之下问，那个超自然的认知主体如何能够认识那个“外部世界”。而在怀疑论者那里，这个超自然的认知主体的存在性，似乎比大脑、手、眼前的事物等等的存在性更确定得多。所谓“更确定的多”，当然还是指相对于那个超自然的认知主体更确定得多，而不是相对于那个大脑更确定得多。自然主义者不接受怀疑论者的问题中的关于超自然的认知主体的预设。在自然主义者看来，是怀疑论者的大脑在“引诱”听众的大脑去假设，在自己的大脑背后还有一个不属于这个物质世界的、与这个物质世界相对立的“自我”。自然主义者当然承认他们自己也是这个自然世界的一部分。他们对怀疑论者与怀疑论者的听众的描述，是一些大脑对另外一些大脑的观察与描述。如果拒绝预设在自己的这个大脑背后还有一个超自然的“自我”，怀疑论者的问题就无法被提出来。

在自然主义者看来，人类的大脑容易产生一种普遍的幻觉，即将自己视为这个自然世界之外的、不属于这个世界的、

与这个世界相对立的、也在本质上不同于这个物质世界中的事物的一个“主体”6。因此，包括一些自称是自然主义者的哲学家，也常常还是不自觉地从一个超自然的、独立于物质的认知主体的角度，去提出或尝试回答哲学问题，常常还是不自觉地处处预设一个超自然的认知主体，而不是将问题理解为相对于作为自然世界一部分的人或大脑的问题。也就是说，他们常常不自觉地忘记了（2），而采纳了上面所描述的怀疑论者的提出与尝试回答问题的视角或预设。我们认为，这尤其包括了蒯因，而且那就是为什么他从自然主义出发，会得出数学实在论而不是反实在论7。从自然主义的基本信念（1）与（2）出发会得出一些重要的推论。其中的一些推论似乎没有得到一些自认的自然主义者的重视，尤其是当他们忘记了（2）的时候。这就是他们的哲学理论与他们自己公开承认的自然主义的基本信念潜在地相冲突的根源，或者是他们未能彻底地贯彻自然主义的基本信念的原因。

首先，从自然主义的基本信念（1）与（2）出发会得出关于认识论的一个推论。在自然主义者看来，既然我们人类是自然进化的产物，既然没有超自然的认知主体，认识论问题，即关于一个认知主体如何认识事物的问题，就只能是关于作为自然世界的一部分的人的大脑如何认识事物的问题。因此，自然主义的基本信念有这样的关于认识论的推论：（3）认识论问题，是关于大脑有怎样的由基因决定的内在结构，如何在学习中成熟，如何通过感官接受环境的信息，如何在大脑中表示、处理这些信息等等的问题。

（4）回答认识论问题，不应假设一个与所谓的“外部世界”相对立的、超自然的认知主体；也不应假设认知主体有任何不可在原则上归约为大脑的内在结构与功能的认知能力。

蒯因曾经从自然主义的立场说过，认识论是心理学的一个分支。（3）是这一说法的一种表达8。从今天的心理学发展的角度看，与认识论问题相关的是认知心理学，因此应该说，认识论是认知心理学的一个分支。当然，作为一种哲学理论的认识论，它所感兴趣的问题与普通心理学家所感兴趣的问题会有所不同。比如，如何从大脑的认知功能的角度说明数学知识的内容在于什么，数学知识的内容如何与数学的可应用性相关联，数学知识的规范性与客观性是基于什么等等。这些是哲学家们感兴趣的问题，但可能都不是普通心理学家感兴趣的问题。所以，真正重要的不是认识论的学科归属问题。真正重要的是：在自然主义的框架下，认识论问题是关于大脑的问题，而不是关于一个超自然的心灵的问题；对认识论问题的回答应该以现代科学对大脑的认知结构与功能的认识为基础，这包括认知心理学、脑科学等等对大脑的认知结构与功能的认识，也包括试图模拟大脑的认知结构与功能的人工智能研究所提示的对大脑的认知结构与功能的认识。

这里还要预先说明一下，称认识论是心理学的一个分支并不否认认知过程中的规范性。相反，从自然主义的角度看，既然一切都是自然进化的产物，没有超自然的主体，因此，各种规范性，包括真理、语义指称、意义、逻辑规则的逻辑有效性、乃至于伦理规范性等等，都应该可以在自然主义的框架下得到解释，即通过归约为某种自然规律性得到解释，也就是说，都应该可以被自然化。这将是自然主义哲学的最主要的任务。本小节后面将要讨论真理、语义指称、以及逻辑规则的逻辑有效性的自然化问题。这里只是要指出，一些哲学家，如弗雷格，对所谓的心理主义的批评并不适用于这种自然主义。比如，这些批评认为，心理主义混淆了一个推理规则的客观上的逻辑有效性，与一个推理规则常常被人使用这一心理事实。但是，自然主义哲学的主要任务之一就是要在自然主义的框架下解释它们之间的区别。这也就是将其中的规范性自然化。

（4）同样是（3）的推论，是从反面表达（3）。在自然主义看来，没有传统意义上的所谓“内在于心的东西”与“外部世界中的事物”之间的绝对区别。所谓“内在的”只能是指脑腔中的，或属于神经元的，而神经元本身是自然世界的一部分，

6这应该也就是佛教哲学中说的“我执”。

7见Ye（2007e）。

是从其它自然事物进化或发育产生的，而且是通过感觉器官，通过光波、声波等等，与其他事物直接相联系的。自然主义者拒绝将认知主体与外部世界隔离开的那种认识论图景。认知主体就是自然世界中的大脑。而且，在自然主义者看来，认知主体，即大脑，与其他事物之间的联系，最终都是物理性的联系，比如，通过光波、声波等物理作用而建立起来的联系。换句话说，“认识”是作为自然事物的大脑与其它自然事物之间的自然联系，就像两个物理系统之间通过物理上的相互作用建立起来的联系。我们还会继续使用“内部”、“外部”这些词汇，如“外部事物”、大脑中的“内在表征”等等9。但它们将是相对于一个大脑而言的。而且，一个大脑也可以通过一些间接的手段观察、认识自己，或自己的一部分。因此，“外部事物”只是指一个大脑的认识对象，不一定是“脑壳之外的”。用数学术语来说，认识关系，作为自然事物之间的关系，对某些事物可以是自反的10。

这也意味着，自然主义者拒绝关于心灵如何认识（或称“把握”）独立于心灵、也独立于物质世界的抽象对象或概念的那些思辨。这些思辨都假设心灵有一种在原则上不可还原为大脑与环境中的事物的相互作用的，神秘的直觉能力，使得心灵能够以某种方式直接地“把握”那些独立于心灵、也独立于物质世界的抽象对象或概念，即与那些抽象对象或概念建立起某种非物质性的“认识”关系。这与（4）相冲突。这同时意味着，自然主义拒绝以这种思辨为基础来解释人类心灵如何认识抽象数学对象的那种形式的数学实在论。这实际上是将上数学哲学中所熟知的数学实在论的认识论难题11，以自然主义的方式表达出来。它蕴涵着，自然主义应该是与数学实在论相冲突的。

最后，这些并不排除，在回答认识论问题的时候，我们可以利用我们通过自己的大脑的内省所获得的关于大脑如何工作的知识。自然主义只是强调，我们不应该将自己视为一个超自然的主体，我们应该时时意识到自己是这个物质世界的一部分，是进化、生理发育、与学习（即与环境的交互作用）的结果，而且，我们与其它事物之间的联系最终都是物质性的联系，是神经元通过光波等等与其它物质性的事物之间的联系。这样，我们就不会将心灵与“外部世界”隔离开，然后幻想心灵如何“把握”那个“外部世界”中的非物质性的抽象实体。这种幻想是当一个人采纳了主观的视角，将自己当作这个世界之外的、处于这个世界的对立面的“主体”的时候，很自然地产生的。一个客观的科学观察者，在观察一个大脑如何工作、如何与环境中的其它事物相互作用的时候，不会去问那个大脑如何“把握”独立于那个大脑、又独立于物质世界的抽象对象或概念。那是没有科学意义的。

关于语义指称问题，自然主义也有类似的推论。首先，语词不会自己指称事物。只有通过大脑（或心灵）理解并解释语词，才能将语词与语词所指称的事物相联结。一般将大脑（或心灵）中能够表示外部事物或事物的状态的，称为内在表征（inner representation），它们包括大脑（或心灵）中能够表示外部事物的概念，能够表示事物的状态的思想等等。概念用语词表达。比如，普通名词“狗”表达一个概念，这个概念又表示狗这一类事物。这里所说的概念、思想，都是指在一个个体大脑（或心灵）中具体地存在着的内在表征。它们本身是具体事物，不是指实在论者所设想的、作为一个独立于心灵的抽象实体的、公共的概念或思想。比如，一个大脑（或心灵）中表示狗的概念，有可能包含了这个大脑（或心灵）对一些狗的样例的形象的知觉记忆，或关于狗的一些特征的描述，它们决定了这个概念表示狗这一类事物。这个意义上的概念是当前的认知心理学与心灵哲学研究的对象12。

大脑（或心灵）中也有表示语词本身的概念。比如，一个人学习了“狗”这个词以后，就有了表示“狗”这个词的一个概念，它可能包含了关于“狗”这个词的形状的记忆，由此决定了它表示所有“狗”这个文字符号的具体例子。因此，假设

9见下面关于语义指称关系的讨论。

10当然一般不是对称的。

11见Benacerraf（1973），参见叶峰（2005）。

我们用〈“狗”〉代表表示“狗”这个文字符号的例子的一个概念，而用〈狗〉代表表示狗这一类事物的概念13，那么语词与事物的联系是这样的：

文字“狗”的例子?〈“狗”〉?〈狗〉?狗的类

其中，箭头?表示概念与所表示的对象之间的表示关系，〈“狗”〉与〈狗〉都是存在于一个个体大脑（或心灵）中的概念，?则表示大脑（或心灵）的记忆中两个概念之间的联结。这里，大脑（或心灵）中的概念与外部事物之间的表示关系，是语义关系中真正重要的环节。

然后，从自然主义的角度看，既然心灵原则上可归约为大脑，概念、思想等内在表征也原则上是由大脑中的神经元结构实现的，而且

（5）概念等内在表征与它们所表示的外部事物之间的表示关系，是自然事物之间的关系，即大脑中的实现概念的神经元结构与环境中的事物之间的联系，它们最终只能通过大脑与环境中的事物之间的物理联系来实现。

（6）心灵没有什么原则上不可归约为物理联系的所谓意向性能力，使得心灵中的概念能够神秘地表示独立于物质世界、也独立于心灵的事物，或使得语言中的词项能够神秘地指称那些事物。

既然语词与事物之间的语义指称关系是通过概念与事物之间的表示关系来实现的，它也在根本上是自然世界中作为物质对象的具体的语音文字与其它物质对象之间的关系。是大脑通过眼睛、耳朵识别具体的语音文字，将语音文字与大脑中由神经元实现的概念等内在表征相联系，再通过身体，将概念与它们所表示的事物相联系，才使得语词指称事物。这种联系，也最终只能由自然世界中的物理联系来实现。

在现代心灵哲学中，在自然主义的框架下描述这种概念与外部事物之间的表示关系的理论，称为意向性自然化或概念内容自然化（naturalizing intentionality, naturalizing content）理论。它意味着用普通的科学语言，特别地，不用“指称”、“意指”、“表示”、“关于”、乃至“相信”等等这些所谓的意向性词汇（intentional terms），来描述、刻画概念与它们所表示的对象之间的这种表示关系，也就是将表示关系处理为自然事物之间的自然关系，就像普通的科学理论所研究的那些自然事物之间的关系。表示关系自然化也蕴涵着语词与事物之间的指称关系的自然化。

将概念的表示关系自然化，也就是将表示关系中的规范性自然化。一个人很可能在行为上多次地将不是狗的东西，比如远处草丛中的黄鼠狼，或者一个外表像狗但内部是机器的机器狗，归入他的表示狗的概念之下。但我们认为那是犯错误。一个概念有它所谓的“真正地表示”的事物，它们不一定是事实上常常被归入这个概念的事物。这是表示关系中的规范性。将意向性自然化，就是要用自然化的、不含意向性词汇的语言，来说明所谓的一个概念“真正地表示”的事物是什么，也就是将表示关系中的规范性自然化。

已经有数种意向性自然化理论被提出来，但它们也都存在着一些问题14。对此，我们也提出了一种新的意向性自然化理论，它似乎能够解决现有的理论中的主要问题15。但意向性自然化还是一个需要更深入地研究的课题，我们的新理论也只涉及了一部分类型的内在表征，包括一些类型的可用简单词项表达的概念。这里不能详细介绍这种新理论或其它理论。但是，我们将假设，意向性自然化是可能的。这包括假设一种关于概念的结构的理论，以及一些自然化的、决定概念如何依其结构表示

13英文文献中习惯上用全部由大写字母构成的词，比如DOG，代表相应的词“dog”在大脑中所表达的概念。中文里没有大小写之分。我们这里用尖括弧将一个词括起来以代表相应的概念。

14见Adams (2003)，Neander (2004)。

事物的语义规则16。

这里要注意的是，意向性自然化理论只考虑那些可以表示与大脑有物质性的联系的具体事物的概念。而且，既然心灵没有什么原则上不可归约为物理联系的意向性能力，使得心灵中的概念能够表示独立于物质世界、也独立于心灵的抽象事物，那么，不表示具体事物的那些概念，如数学概念，就不表示任何对象。这是在自然主义的框架中看数学实在论的指称难题。它也应该蕴涵着，自然主义是与数学实在论相冲突的。

另一方面，数学概念不表示事物不意味着它们没有意义或没有认知功能。表示大脑之外的事物仅仅是大脑中的概念的认知功能中的一种。那些不表示事物的概念，包括数学概念，还有其它的认知功能。描述数学语言的意义，恰恰在于描述数学概念的这些不同于表示事物的认知功能。特别地，那些不直接表示具体事物的概念，包括数学概念，还可以通过与其它直接表示具体事物的概念相结合，来与大脑之外的具体事物产生联系。因此，可以直接表示具体事物的概念与它们所表示的事物之间的表示关系，是数学概念与其它具体事物之间的联系的基础。数学概念与其它具体事物之间的这种间接的联系，恰恰是我们的自然主义数学哲学要描述的。

所以，大脑中的概念可分为两类：可直接表示具体事物的概念与不直接表示具体事物的概念。前者将称作实际概念（realistic concepts），后者将称为抽象概念（abstract concepts）。所以，数学概念是抽象概念。要注意的是，这里的抽象概念仍旧指大脑之中的由神经元结构实现的内在表征，是具体地存在于大脑之中的事物。与之相对应，我们将称实在论者所相信存在的，独立于心灵的概念为“作为抽象实体的概念”。注意，实在论者可能相信，有一个作为抽象实体的、公共的、可同时被不同的心灵“把握”的、名词“狗”所表达的概念〈狗〉。这样一个概念本身是一个抽象实体，但它表示的是具体事物。所以，作为抽象实体的概念也可以是实际概念或抽象概念。我们当然不认为有这样的公共的概念。限于篇幅这里不能讨论不必承认这样的作为抽象实体的概念的理由17。

如果意向性能够自然化，那么“真”作为大脑中的思想与其它事物的状态之间的对应关系也可以被自然化。大脑中的思想可以由概念构成，由陈述句表达。比如，“狗是哺乳动物”表达由两个概念〈狗〉与〈哺乳动物〉构成的一个思想。这两个概念分别表示两类事物，即狗的类与哺乳动物的类。因此，这个思想是真的，假如这两类事物客观上有着包含关系。既然概念〈狗〉和〈哺乳动物〉与狗和哺乳动物这两类事物之间的表示关系可以被刻画为自然事物之间的自然关系，即可以被自然化，这里的“真”，作为大脑中的一个思想的属性，或作为一个思想与环境中的事物的状态之间的关系，也是自然化的属性或关系。这是真理的自然化。也就是说，在自然主义的框架下，“真”作为一个属性或关系，是自然事物的自然属性或自然事物之间的关系，就像一般科学理论研究的其他自然事物的属性或关系。而且，这实际上是对应论式的真理论（correspondence truth），不过其中的对应关系是自然事物之间一个自然关系，是基于大脑中的概念与它们所表示的事物之间的自然化的表示关系。

这里只是以最简单的包含两个概念的思想来说明一个自然化的、对应式的真理论，如何可以由关于概念的自然化的表示理论导出。一个完备的自然化的真理论，就像一个完备的自然化的概念理论一样还有待进一步探索。这里我们也假设这是可能的。它应该包括对思想的结构的描述。一个一般的思想是由概念及其它思想用逻辑概念构造而成的。所以，一个自然化的真理论应该包括以自然化的方式描述逻辑概念的意义，它们对复杂的思想的自然化的“真”属性的影响等等。

同样地，这个自然化的“真”属性只适用于那些由可以直接表示具体事物的实际概念构成的思想。特别地，既然数学概念不直接表示任何事物，由数学概念构成的数学思想也不直接表示任何事物的状态。这个自然化的“真”属性不适用于数学思想。同时，这也不意味着数学思想没有意义。数学思想同样可以间接地与具体事物的状态相联系。这也是我们的自然主义数

16参见Ye (2007a, 2007b, 2007c)。

学哲学要研究的。

我们同样将可依自然化的对应关系对应于具体事物的事态的思想称为实际思想（realistic thoughts），而将那些不表示具体事物的事态的思想，如数学思想，称为抽象思想（abstract thoughts）。自然化的“真”属性只适用实际思想。同样地，这里的抽象思想本身还是大脑中的具体事物。实在论者则是相信有作为抽象实体的、公共的、可被不同的心灵“把握”的思想。一般所说的一个语句表达的命题，如果字面意义上存在的话，应该是这样的公共的思想。与前面提到的作为抽象实体的概念一样，自然主义者不认为我们有必要承认这种作为抽象实体的、公共的、可被不同的心灵“把握”的思想存在。

“真”被自然化以后，逻辑有效性也可随之被自然化。一个推理规则是大脑对思想作从前提到结论的推理变换的一个模式。它是有效的，假如对同一模式的推理变换，当作为前题的思想都是真的时候，作为结论的思想也是真的。这是普通的，基于对应论的真理论的，对有效性的刻画。显然，这种对逻辑有效性的解释不是心理主义的解释。一个大脑中很可能常常发生不有效的推理变换。逻辑有效性中的规范性来源于自然化的“真”关系中的规范性，而它又来源于自然化的概念与事物之间的表示关系中的规范性。

这个关于推理规则的有效性的刻画假设了“真”属性可以被用于前提和结论，因此这些前提和结论应该是能够直接表示具体事物的事态的实际思想。但是，一个对数学思想作的推理，可以与一个对实际思想作的推理具有相同的模式。所以我们常常也说一个对数学思想的作推理是有效的。

关于意义问题，我们最后还要说明一下，这里我们侧重于谈论概念和思想，而不是语词和语句。由前面所述，语词或句子是先与概念或思想相联系，然后才与它们所表示的事物或事态相联系。但是，由于同一个语词或句子可以被不同的大脑理解，可以在不同的大脑中与不同的概念或思想象联系，所以，讨论语词和句子的指称、真值的时候，还还考虑另外一些因素，即一些社会性的因素。一个语词的指称，应该由该语词在语言共同体中的各个大脑中所表达的概念共同地决定。这是语言哲学中应该考虑的因素。由于我们这里感兴趣的是数学哲学，我们将忽略这一点。比如，假设在经历了一个地球上的大灾难以后，地球上只有一个数学家与科学家活着，那么当这个人做数学研究或将数学应用于科学的时候，就没有因一个词或句子在不同的大脑可以与不同的概念或思想象联结而导致的一些问题。或者我们可以假设，一个共同体中的大脑之间有着最充分的交流，使得各个大脑永远是将具有非常相似的结构的概念或思想与同一个语词或句子相联结。这样，也没有因一个词或句子在不同的大脑可以与不同的概念或思想象联结而导致的问题。对于一般的语言，这可能是太理想化的假设，但恰恰对于数学语言来说这并不太过分，因为我们发明数学语言的目的之一就是要避免由于对词义的不同理解所可能带来的概念上混乱。

更进一步，由于我们将尽可能地忽略心理学上的细节，我们将假设大脑中的一个数学概念或思想的结构，就如同语言中的一个数学词项或语句的逻辑结构。所以，以后我们有时可能将大脑中的数学概念与思想就当作语言中的词项与语句，也就是说，我们有时假设这些词项、语句等等就在大脑之中。这种假设在直观上是合理的。它也许在心理学上是极不准确的。但我们这里关心的是关于数学的那些哲学问题，这种假设似乎不影响我们对那些问题的分析与回答。

最后，作为自然化的认知关系、语义指称关系、与“真”关系的推论，我们有

（7）真正存在着的事物都是这个物质性的自然世界之中的事物，即宇宙之中与大脑有直接或间接的物理联系的事物。

（8）没有所谓独立于物质世界的抽象对象、抽象概念；即使有，它们也是不可能被物质的大脑认识到或指称到。

因此我们相信，彻底的自然主义蕴涵数学反实在论。换句话说，假如抽象数学对象客观地存在，那么，从自然主义的角度，关于它们的认识论问题与指称问题将是不可解的。这是自然主义蕴含的对数学的本体论问题的回答。

从人是自然世界的一部分，到认知过程是大脑与环境的交互活动，语义关系也是大脑与环境中的事物之间的自然关系，再到关于抽象实体的反实在论的结论，这些是自然主义的基本信念及其推论。自然主义数学哲学就是要在这个背景下描述与解

2 自然主义数学哲学的任务

由于数学概念与思想不表示任何事物或它们的事态，在大脑中构造数学概念，考虑数学思想，对它们进行推理等等，类似于想象一些事物，编织关于想象中的事物的故事等等。在这个意义上，我们也常说数学对象是虚构的对象、数学思维活动是想象事物的活动等等。将数学理论与虚构的故事相比拟的想法很早就被人提出过18。它意味着，数学公理是我们关于想象中的事物的基本假设；数学证明是从这些基本假设出发，推导它们逻辑地蕴涵的结论；数学应用则是用虚构的事物模拟真实的事物。将数学对象视为虚构的事物，也是对关于数学对象的本体论问题的一种反实在论的回答。

从另一个角度说，针对实在论者对抽象数学对象的客观存在性的信念我们可以问，我们能不能想象抽象数学对象，就像我们想象像孙悟空那样的事实上不存在但如果存在的话则应该是具体对象的事物，或者像我们想象像外星人那样的可能存在的具体事物。似乎我们应该承认，我们也可以想象一些抽象数学对象，而不论它们是否真的存在。换句话说，即使抽象数学对象真的存在，我们也可以不谈论它们，而谈论我们自己想象中的抽象数学对象，就像我们可以不谈论真的外星人，而谈论我们自己想象中的外星人。然后，一个自然的想法是，数学理论就是描述这些我们自己想象出来的抽象数学对象，而数学应用就是用想象的对象模拟真实的事物。用想象的对象模拟真实的事物，就像人们所说的用虚构的故事中的人物来揭示真实的人性。这似乎是可行的，而且，能够成功地用一个故事来揭示真实的人性，并不需要故事中的人物真实存在。故事依旧仅仅是虚构的故事。

这样，实在论者所面临的认识论难题、指称难题等等就似乎都不存在了。既然故事是我们自己编的，当然不存在关于故事中的陈述的认识论问题；既然故事中的对象是我们虚构的，也不存在如何指称到它们的问题。这是一个数学反实在论者针对数学实在论的信念的一个最自然、最容易想到的回应。

这种对数学实践的解释，与一种朴素的数学反实在论或形式主义在本质上是一致的。说数学对象是我们的想象，数学公理是关于我们的想象的假设，与说数学只是从公理推导定理没有实质性的差别。所以，它也应该面临着一样的问题，即如何解释数学的可应用性。困难主要在于，数学故事中的虚构的对象并非准确地模拟了真实的事物。特别地，在数学应用中，我们常常是用无穷、连续的数学模型来模拟宇宙中的有限、离散的事物，而无穷的数学对象并非准确地模拟了有限、离散的真实事物。自然主义的数学哲学当然需要解决这个问题。但另一方面，如果我们将这个具体的问题暂时放在一边，这种对数学实践的直观描述还是有吸引力的，尤其是假如我们注意到了这个事实：一个故事确实可以有用，且以某种形式包含了真理，而同时故事中提到的事物又不必在字面意义上存在，故事中的陈述不必是字面意义上的真理。这似乎就是我们作为一个反实在论者所需要的。下面，一方面我们要澄清一些关于这种对数学实践的疑虑；另一方面，我们也要指出这种直观的描述的不足之处，由此引出一个自然主义的数学哲学所应该做的。

很自然地，对于将数学理论与故事作比拟会有些疑虑，但大部分直观的疑虑是容易澄清的。比如，一种疑虑是，抽象数学对象是不属于时空的、是永恒的，因此不能是生活于时空历史中的人虚构出来的。这当然是假设了抽象数学对象是真正地独立于我们的心灵存在的。假设抽象数学对象客观存在，当然它们不是我们虚构的。但是，我们应该可以想象某些事物是不属于时空的、是永恒的。如果我们甚至不能想象任何事物是不属于时空的、永恒的，那么显然更谈不上我们可以认识那些事物。一个相关的疑虑是，有无穷多的、乃至不可数的抽象数学对象，我们不可能虚构出无穷多的对象来。这当然也是循环论证。如

果无穷多的抽象数学对象都独立于我们的心灵真实存在，我们作为有限的人当然不能一个个地想象完它们，但我们只是在想象有无穷多的抽象数学对象。事实上，我们在想象一个无穷序列的时候，仅仅是在想象一个尾巴变得模糊的序列，或仅仅是用“如此等等”这些词来表达我们的想象。

还有一个相关的疑虑是这样的19：关于具体事物的判断，我们知道在什么情况下它是真的，在什么情况下它仅仅是想象，比如，对一个侦探的关于某人作了案的判断，我们知道在什么情况下它是真的，在什么情况下它仅仅是想象；但对于数学判断，似乎没有这样的区别，因为数学判断如果是真的就必然是真的。然而，假如对数学对象没有“一个想象是真的”与“一个想象仅仅是想象（或仅仅是一致的想象）”之间的差别，那么结果只能是：（1）只要能逻辑上一致地想象数学对象，那些想象就自动地是真的；或者，（2）关于数学对象的想象只能仅仅是想象的，说它是真的是无意义的。第三种情形，即数学对象存在（且可以被认识）但我们不能想象数学对象，似乎是自相矛盾的。（2）当然与数学对象是虚构的对象的说法是一致的。（1）事实上也与这种说法不相冲突，因为（1）意味着，对于数学对象来说，可想象就已经蕴涵“真”，那么，再说数学想象是“真的”其实就是多余的。

另一种疑虑提出，故事是随意的虚构而数学则应该不是随意的；数学在学科分类中是与科学同类，而不是与虚构作品（fiction）同类20。事实上，虚构作品也能够表达关于真实事物的真理。人们有时说，一个虚构的文学作品能够比历史实录更深刻地揭示关于社会与人性的真理。在科学中我们也谈论一些虚构的事物，比如，在一本物理学教科书中谈论的质点、理想气体等等，或者在一本经济学教科书中谈论的虚构的工厂、公司等等。一篇文章或一本书是被归类为虚构作品（fiction）还是被归类为非虚构作品（non-fiction）作品，应该是基于文章或书的主要目的是否在于表达某种真理，而不是基于其中所直接谈论的对象是真实的还是虚构的。我们对一些最基本的数学对象的想象是有明确的目的的。比如，自然数是被用来与离散的物体（或相对于一个单位的物理量）作一一对应，以此表示事物的数量与其它物理属性；初等几何中的几何图形则是为了直接模拟物理世界中的各种形状；抽象的集合则是为了模拟具体事物的聚合体。因此，数学不是随意编撰的故事。将数学与虚构的故事相比拟，是为了强调它们在本体论与认识论方面的共同性，即它们不是直接地谈论客观存在的对象，不是字面意义上的真理。当然，也是由于在想象无穷数学对象的时候，那些想象可能超出了这个真实的世界，不能对应于这个世界中的任何东西，因此只能仅仅是想象。这些都不排除数学与其它虚构的故事在许多方面有重要的区别。

数学理论与一般的故事的区别在于两个方面。一是上面已经提到的，即数学想象有直接模拟具体事物的目的。二是数学“故事”中的概念是最大可能地精确、严密的。它从最简单的概念，即从对最简单的事物的想象开始，比如，从想象集合开始，用严密的逻辑构造编织出其它复杂的概念、思想，编织出整个极其复杂的数学故事。集合也许是我们所能想象的事物中最简单又具有一定的结构的东西。它剔除了具体事物的任何物理、化学、生物等等方面的属性，只保留了最简单的个体事物之间的等同性关系与个体事物与类的归属关系。数学就是用这种简单的想象中的事物，来精确严密地构造其它复杂的想象中的事物，来模拟真实的事物。这好比用一些精确、简单的小砖块来构造一个复杂但严密的大厦。这使得数学既可以模拟相当复杂的事物，又可以保持所想象、构造的东西的精确性、严密性。

将数学对象视为虚构的对象并不降低数学的重要性。想象能力是人类最重要的智能上的能力之一。在规划我们的所有的未来的行动的时候，我们都会想象虚构的场景。用精确的数学中的想象的事物来模拟真实事物，使得我们能够对数学模型作精确、严密的计算与推理，更是人类的重要发明。对将数学与虚构故事比拟的这些疑虑，都是基于这样一个直观的想法：我们的思想必须是字面意义上真的，必须对应于某种客观实在，才能对我们有认知价值；仅仅是虚构的思想是没有价值的。但事实

19见Burgess (2004)。

上，我们在日常生活、工作中，谈论虚构的事物的时候可能要远远多于直接谈论真实的事物的时候。比如，在物理学课堂中我们谈论质点、理想气体等等虚构的事物；在心理学课堂中我们可能谈论一个虚构的、理想化的人物的心理发展，等等。在多数情况下我们并不直接地谈论这个世界中的真实事物。正是这种谈论虚构的事物的能力，使得我们能够表达我们关于这个世界中的真实事物的一般性的知识、一般性的规律。我们可以谈论虚构的事物来表达我们的一般性的理论，然后将理论应用于具体的事物。

以上是对数学反实在论的一些直观的解释与辩护。它们有一定的说服力，但很可能不足以说服持有数学实在论信念的人。数学实在论者可能会承认，质点、理想气体、或一个虚构的、理想化的人物都不真正存在，但认为数学对象与它们不同。因此，数学实在论者的任务就是要说明究竟不同在哪里，究竟为何数学对象必须是真实的存在，而不能仅仅是虚构的。这里我们不打算反驳数学实在论，也不打算论证数学实在论者的任务不可能完成。相反，我们要指出，上面的对数学反实在论的直观的解释与辩护还是不够的。由此，我们将引出自然主义的数学反实在论自身应该解决的问题。

首先，将数学与虚构的故事相比拟，将数学对象视为“虚构的对象”、“想象的事物”等等，仅仅是一种比喻式的说法。这种比喻式的说法也许可以帮助我们认识到，数学实在论的信念并不像它初看起来的那样自明，但是，一种比喻式的说法本身还不是对数学的本性的真实的解说。比如，这种比喻式的说法一方面说数学对象不存在，一方面又说我们用虚构的数学对象模拟真实的事物。我们如何能够用不存在的东西来模拟真实的东西？能否说既然我们能够用数学对象模拟其它事物，数学对象就在某种意义上存在了？换一个角度来考虑，当科学家们用“虚构的”数学对象来模拟真实事物的时候，他们做的判断是字面意义上的真判断吗？如果是，那么它是否意味着数学对象必须至少在某种意义上存在？如果不是，那么为什么科学家们最终得出关于真实事物的判断是字面意义上的真判断？这些都是这种直观的、比喻式的说法还未回答的问题。

最根本的问题是，我们要追求的是对人类的数学实践的字面意义上真的描述与解释。既然抽象数学对象不存在，不论它们是虚构的还是别的什么，我们在描述、解释人类的数学实践的时候就不应该继续谈论抽象数学对象。比如，如果我们认为神话的对象或宗教信仰的对象是虚构的，那么，当我们科学地描述、解释人类的神话创造活动或宗教信仰活动的时候，就不应该像神话或宗教信仰的传播者那样，继续像谈论真实事物那样谈论神话中的人物或宗教信仰中的神。在描述宗教信仰的社会功能的时候，我们不应该说，“神帮助了世人建立起一套社会规范”。类似地，描述数学的应用时，我们也不应该说“科学家们使用了数学对象来模拟物理对象”。我们应该说明，在数学实践中究竟什么真正存在，然后，我们应该谈论那些真正存在着的东西，对它们作字面意义上真的、科学的描述与解释。

显然，我们的大脑不会创造出“虚构的事物”。所谓“虚构的事物”只是一种非字面意义的说法。我们的大脑只能创造出在大脑中存在的概念、思想、知觉形象等等内在表征。在大脑的想象活动中真正存在着的是想象活动本身。既然“虚构的事物”不存在，真正存在的应该是大脑在进行虚构活动的时候，大脑中的概念、思想、推理等等。同样地，既然数学对象不存在，在人类的数学实践中真正存在的，应该是大脑在进行数学思维活动的时候，大脑中的数学概念、思想、及推理等等。因此，对人类的数学实践的字面意义上真的描述与解释，应该是描述与解释人类大脑的数学思维活动及其与环境中的事物之间的关系，也就是将人类的数学实践，当作包括人类大脑的数学思维活动及其与环境中的事物之间的联系的自然现象，来作科学的描述与解释。这就是在自然主义的框架下描述、解释数学实践所要做的。

人类大脑的数学思维活动这种自然现象包括许多方面。其中有一些方面应该是属于心理学领域的，比如，大脑如何习得数学概念等等。自然主义数学哲学，作为一个哲学理论，关心的是其中的一些哲学家与逻辑学家们感兴趣的问题。这些问题可以且目前只能用概念分析、逻辑分析的手段，基于我们对自己的大脑中的数学思维活动的内省的知识来回答。因为，目前我们对大脑的认识还极其有限，我们不可能像其它科学领域中那样，用实验的手段和构造数学模型的方式来回答这些问题。另一

方面。这不可避免地使得我们对人类的数学实践的描述与解释不是非常精确的。但是，对所研究的对象进行一定程度的简单化，忽略一些细节，是所有科学研究的共同特点。比如，经济学描述、解释人类的经济行为的时候同样要忽略许多方面的细节。

从哲学与逻辑的角度，我们感兴趣的问题包括关于数学语言，或大脑中的数学概念与思想的意义问题。既然数学概念与思想不表示任何事物或事态，描述它们的意义就应该是描述它们在大脑中在其他方面的认知功能。我们感兴趣的问题包括关于数学的认识论问题。既然数学知识不是关于大脑之外的抽象数学对象的知识，我们应该解释一个大脑的数学知识体现在哪些方面，是关于什么事物的知识，如何在大脑的认知活动中起作用等等。数学实践中的客观性与数学的先天性等问题，可能也是典型的只被哲学家们感兴趣的问题。心理学家们也许不会关心这些问题。从自然主义的角度回答客观性问题，是要指出数学实践中的各种客观性的表现，说明承认客观性不蕴涵着任何与自然主义的基本信念相矛盾的东西，比如，不蕴涵着承认独立于物质世界的抽象对象、抽象概念等等。还有关于数学的先天性问题，则首先要求在自然主义的框架下解释先天性的意义，然后要回答人类的数学知识是否还是先天的，而且，不论这个答案是肯定还是否定，还要回答为什么人类有关于数学的先天性的强烈的直觉。

最后，要以这种自然主义的方式解释数学的可应用性，就是要对“大脑成功地应用了数学”这种自然现象作科学的解释。大脑成功地应用了数学，这是已知的、正在发生的自然现象。要解释这种现象，就是要描述其中的规律、机制，用我们已知的、更具一般性的概念、原理等等，去说明这种现象如何发生。当然，这首先需要将数学的可应用性问题，更清晰地表达为关于一类自然现象的规律性的问题。这里我们要强调的是，它与其它科学领域对自然现象的解释应该在原则上是一样的，应该是字面意义上真的，对真实的自然事物的规律性的解释。

这些是自然主义的数学哲学的具体任务。在回答这些问题的时候，我们可以假设大脑中的数学概念与思想有一些结构，假设大脑有一些基本的认知功能，包括构造、处理概念与思想的功能。这些假设可能只能是非常抽象的、不可被实验验证的。但是，作为一种哲学理论，只要它们符合现代认知心理学中有限的关于大脑的知识，只要它们符合我们通过内省获得的关于大脑如何工作的知识，而且，只要它们能够解释关于人类的数学实践的现象，那么我们就认为它们是值得考虑的。

限于篇幅，我们不能详细描述自然主义的数学哲学将如何完成这些任务21。本文下一小节将描述如何在自然主义的框架下回答数学语言的意义问题，然后最后一小节将描述其中最重要的一点，即如何在自然主义的框架下解释数学的可应用性。

这里我们最后要说明，从自然主义的角度对人类的数学实践所作的正面描述与解释，应该是持有任何哲学观点的哲学家都可以接受的。一个哲学家可能认为，真正存在着的不仅仅是自然主义者谈论着的这些东西，比如，除了这些东西应该还有无穷的抽象数学对象，独立于心灵的抽象概念，独立于物质的心灵等等。但是，也许除了一些极端的唯心论者之外，这些哲学家也会承认，自然主义者所谈论的大脑、大脑中的概念、思想等等，是真实的事物，只要这些哲学家还接受科学的基本论断。也许除了大脑之外还有独立于大脑的、有着特殊能力的心灵，但基于现代认知科学家们对大脑的已有的认识，我们都会承认，大脑有着极其复杂的结构与功能。我们在描述数学实践的时候对大脑中的数学概念与思想的结构与功能的假设，也应该是可接受的，至少没有先天的不可接受的理由。因此，自然主义所正面地做的，是仅仅依赖于哲学上的一些极小的、谨慎的假设。自然主义所不能被其他人接受的，仅仅是它的反面的论断，即断言除了它所正面地肯定的，没有别的东西存在。

这样，自然主义数学哲学的策略可以这样来理解：自然主义者在极小的、谨慎的哲学假设之下，作细致的、甚至可能是很繁琐的、但可以被大家接受的分析、研究工作，试图描述与解释人类的数学实践的各个方面。假设这最终能够成功，假设自然主义者能够提出一个就其自身来说争论的双方都可以接受的，对人类的数学实践的完整自洽的描述与解释，而且它是一个科学的解释，即它只论及自然主义认可的这个物质世界中存在着的事物。那么然后自然主义者就可以问对方，“你们坚信除此

之外还有其它的东西的依据是什么？动机又是什么？是有真实的依据还是仅仅是出于心理上的习惯或喜好？”假设自然主义者的这种研究不能最终成功，那么它也应该能够更真切地找到自然主义不能成立的理由，可以更明确地指出自然主义不能解释的某一点。所以，不论一个人的哲学立场如何，从自然主义的角度尝试对人类的数学实践作描述与解释，应该都是有意义的。

这当然不排除从某种反自然主义的前提出发的研究也可以是有意义的。比如，即使实在论者不能直接地指出自然主义不能解释数学实践的地方，但假设实在论者自身可以完整地解释数学实践，包括回答关于数学语言的意义、指称问题，关于数学的认识论问题，解释数学的可应用性等等，而假设自然主义者不能做到这一点，那么我们也应该承认，实在论的确优于自然主义。

3 数学语言的意义与数学知识

既然自然主义认为抽象数学对象不存在，它面临的一个直接的问题，就是解释数学语言的意义在于什么，及我们的数学知识是关于什么的知识，因为它们不能如直观上所理解的，是在于描述一些客观存在着的抽象数学对象，或是关于那些数学对象的知识。本小节将回答这些问题。

前面已经提到，语言中的语词与语句是先与大脑中的概念、思想等相联系，然后才与它们所表示的事物或事物的事态相联系。所以，意义问题主要是概念与思想的意义问题。在自然主义者看来，既然数学概念与思想不表示环境中的具体事物与它们的事态，它们就不直接表示任何事物或事态，但这不等于说大脑中的数学概念与思想没有意义，或不与环境中的具体事物产生任何联系。概念与思想的意义在于它们在大脑中的认知功能。直接表示环境中的具体事物是某一类概念的主要认知功能。它们使得大脑能够识别那些事物，将事物分类等等。但是大脑中的概念一般还可以有其它方面的认知功能，包括以间接的方式与环境中的具体事物相联系。而且，对那些不直接表示环境中的具体事物的概念，如数学概念，这些其它方面的认知功能才是它们在大脑中的主要认知功能。类似地，不直接表示环境中的具体事物的事态的思想，也还可以以间接的方式与环境中的具体事物相联系。描述数学概念与思想的这些认知功能，就是一个自然主义的意义理论所要做的。本小节将尝试描述数学概念与思想的这些认知功能22。

这里的描述还远远不是完备的，但希望它足以展示什么才是在自然主义的框架下对数学语言的意义的描述。与此相反，一些数学实在论的对数学语言的意义的描述，其实是从一个超自然的认知主体（或超自然的语言使用者）的角度，试图将语言中的词项投射到处于这个超自然的认知主体（或语言使用者）的对立面的所谓“外部世界”。它们不是从一个科学的、客观的观察者的角度，去观察、描述大脑中的概念的认知功能，包括它们与其它概念或事物的联系。它们一个人是从主观的角度去想象自己的概念表示的对象，并将想象投射到所谓的“外部世界”，当作客观实在。而一些反实在论的意义理论，比如Dummett 的所谓的使用理论，也是从一个超自然的认知主体（或超自然的语言使用者）的角度去描述语言的意义，虽然它们拒绝实在论者的投射，而仅仅描述主体对语言的使用。它们也不是从一个科学的、客观的观察者的角度，去描述一个大脑如何使用语言，如何在使用中将语词及大脑中的概念与环境中的事物相联系，又如何与其它大脑交换信息。它们同样假设了一个超自然的认知主体，或超自然的语言使用者，而且是从这个超自然的主体的角度去思辨主体如何“把握”意义，才得出一些相对于那个超自然的主体的反实在论的本体论结论。

回到数学概念与思想的认知功能。首先，数学概念和思想与其它概念和思想一样，有着推理角色功能（inferential role

functions）。概念与思想有逻辑结构。基于它们的逻辑结构，它们能够在逻辑有效的推理中扮演一些角色，即从包含它们的前提能够有效地推导出一些结论，而且从一些前提可以有效地推导出包含它们的结论等等。这是所有概念与思想都可以有的认知功能。比如，依照我们提出的概念理论23，一个概念可以以另外一个概念为必要条件。比如，〈单身汉〉这个概念以〈男性〉这个概念为它的一个必要条件。基于这种概念的内在结构，可以有包含这些概念的有效推理，比如，从“张三是单身汉”推出“张三是男性”。同样地，一些数学概念也有内在结构，它们也允许一些有效的推理。在公理化的数学中，数学概念与其它概念有所不同。公理化数学中的概念完全由公理确定。公理与其它数学陈述作为思想有它们的逻辑结构，因此有基于思想的逻辑结构的有效推理。上一节已经提到，我们假设数学概念与思想的结构就是数学词项与数学陈述的逻辑结构。所以，这些基于思想的逻辑结构的有效推理也就是一般的命题逻辑、一阶逻辑中的有效推理。数学陈述或思想的认知功能部分地在于它们可以构成这样的有效推理。

这种推理角色功能仅仅是数学概念与思想的部分认知功能。如果数学概念与思想的认知功能仅只于此，那它们甚至不能称作是认知功能，因为这还未与真实世界中的具体事物相联系，因此也就不能帮助大脑认识世界。数学概念与思想的重要认知功能之一就是以各种方式与具体事物相产生间接的联系。

比如，数词“3”所表达的概念不直接表示任何对象，但它可以与量词所表达的概念结合，构成可以表示具体事物的属性的概念，如〈3个〉、〈3尺〉、〈3斤〉等等24。它们与它们所表示的具体事物的属性，如具体事物的个体数量、长度、重量等等属性之间的表示关系，也是可以被自然化的表示关系。与此相应，纯算术的思想，比如“3+2=5”所表达的思想，则可以与量词、名词所表达的概念结合，构成可以直接表示关于具体事物的事态的思想，如“3个苹果加2个苹果是5个苹果”、“3斤面粉加2斤水是5斤面团”等等。这些应该理解为直接表示了关于具体事物的物理属性的事态。纯算术的思想不直接表示任何关于事物的事态，但这些由纯算术的思想与其它概念结合而构成的思想，则可以依上一节提到的自然化的对应关系，对应于具体事物的事实，即它们有自然化的“真”属性。因此可以说，纯算术的思想“3+2=5”概括了这些关于具体事物的真理。大脑记住了“3+2=5”，也就是记住了许许多多与之相应的关于具体事物的真理，也使得大脑有一种一般性的能力，可以将这种纯算术的思想与新学习到的概念结合，推断出关于具体事物的真理。比如，某人刚学到“原子”这个概念，就可以依着已经掌握的这种结合模式，得到“3个原子加2个原子是5个原子”这个关于原子的真理。这节省了大脑的记忆资源，提高了大脑的认知能力。这是纯算术思想的重要的认知功能之一。

这里要注意的是，描述这种认知功能，或实现这种认知功能，都不需要假设“3”、“2”等等这些词指称所谓的抽象对象，也不需要假定“3+2=5”等这种纯算术思想本身表示了关于抽象对象的事实。这种功能之所以能够实现，仅仅在于大脑中的算术概念、思想等等本身具有一定的结构，使得它们可以与其它概念结合以构成一些新的思想，而这些新的思想则是依着其中的概念与具体事物之间的自然化的表示关系，对应于关于具体事物的事实。这个对算术思想的认知功能的描述中提到的都是具体事物，包括大脑中的概念与思想，以及一些概念和思想与其它具体事物之间的自然化的表示关系。在其中，纯算术思想的认知功能在于它们基于它们的结构与其它概念相结合构成新的思想的能力，而不在于它们自身对应于任何外部事物的事态。换句话说，有些概念或思想是直接通过自然化的表示关系或对应关系，与具体事物或具体事物的事态相联系，有些则是间接地通过与其它概念相结合再与具体事物产生联系。对于后者，它们在大脑中的认知功能在于它们能够如此地与其它概念相结合，而不在于它们自身也以某种神秘的方式对应于一个独立于物质世界的数学世界中的东西。因此，这是反实在论的意义描述。它说明了，实在论者的假设，即假设“3”、“2”等等这些词指称所谓的抽象对象等等，对于真实地描述大脑中的算术概念与思想的

23见Ye (2007a, 2007b)。

这种认识功能是多余的。

更高级的数学理论中的数学概念与思想，也是以类似的方式与具体事物相联系。它们一般是经过一系列的变换，最终成为直接表示具体事物的概念或思想。比如，当我们用一个数学函数p(t)表示地球上的人口增长的时候，一个“关于那个数学函数”的思想，比如数学陈述“p(0) = 2345.6”所表达的思想，可能被翻译为一个关于地球上的人口的思想，比如陈述“1900年1月1日地球上有23亿4千5百60万人”所表达的思想。这里，“关于那个数学函数”仅仅是一种说法。数学陈述“p(0) = 2345.6”在大脑中所表达的思想不必是关于任何事物的。重要的是，这个思想本身有一些结构，因此它可以被变换为关于地球上的人口的思想，而后者确实是依着大脑中的思想与具体事物之间的自然化的对应关系，与具体事物相联系，因此是真实地关于某些事物的思想。数学思想“p(0) = 2345.6”的这种认知功能，是在于它有特定的结构，因而可以被翻译为直接表示具体事物的事态的思想。又比如，当我们用一个数学函数作为一个微观粒子的所谓波函数的时候，一个“关于那个数学函数”的思想，是以更复杂的方式被翻译为真正地关于那个微观粒子的一些可观察的物理量的思想。

更一般地，抽象数学中的概念与思想是在数学应用中与具体事物相联系的。在一个典型的数学应用中，我们将一些关于具体事物的思想翻译为数学思想，同时也用一些数学思想间接地表达具体事物的一般性规律，比如用微分方程表达人口增长的规律。然后我们对那些数学思想作基于它们的逻辑结构的有效的逻辑推理，再将所得的结论翻译为关于具体事物的思想。数学思想与数学推理的认知功能部分地体现在这样的应用过程中。数学思想的结构使得这些翻译成为可能，而数学中的推理的一些特征保证了所得出的结论可以被翻译为关于具体事物的真思想。对数学可应用性的解释应该说明为什么这样一个过程能够最终得出关于具体事物的真思想。这里我们只是指出，这是数学概念、思想与推理的认知功能。

这些仅仅是指出了在自然主义的框架下描述数学语言的意义（即数学概念与思想的认知功能）的方向。更具体地描述数学语言的意义则需要将数学概念与思想分类，更仔细地分析它们的结构等等。这些都超出了本书的范围。

另一方面我们要强调，实现数学概念与思想的这种认知功能与数学概念与思想是否表示所谓的抽象事物及它们的事态无关。真正相关的是数学思想的结构与数学推理的一些特征。换句话说，真正相关的是大脑中的数学思想有什么结构以及在数学推理中怎么转换，使得最终在大脑中得出的关于具体事物的思想，可以依着自然化的对应关系与具体事物的事态相对应。只是当一个人采取了主观的视角试图将自己的数学思想投射到外部的时候，才去想象数学思想可能自身也对应于所谓的抽象事物的事态。如果我们是从一个客观的科学观察者的角度，去观察、描述人类大脑的数学活动包括数学应用，那么对大脑中的数学概念与思想的这种认知功能的描述就已经是对自然现象的完备描述了。在描述了大脑中的数学概念与思想的结构以及它们在大脑中的变换之后，我们不需要再去问它们是否自身还对应于所谓的抽象数学对象。而且，即使假设它们对应于所谓的抽象数学对象，也不对描述大脑的工作增加什么，因为我们还是需要从它们的结构、它们在大脑中的变换等等方面，去描述、解释它们在大脑中是如何工作的。抽象数学对象对于这种描述与解释是多余的。

所以，数学概念与思想的认知功能，包括了它们的内在的推理角色功能，与它们在数学应用中可变换为直接表示具体事物或它们的事态的概念思想这种应用功能。相应地，数学知识包括两方面的知识。首先是关于数学内部的运算、推理等等的知识。这包括关于如何作运算、推理的程序性知识，与关于运算、推理的结果的表征性知识。一种程序性知识指的是大脑具备的一种能力，使得大脑可以完成某些有规则的操作，比如，使用有效的推理规则的推理，或依某些运算规则的运算。数学中的推理不仅仅是符号推理。比如，它还包括一些借助于对视觉形象的想象构造来进行的推理。我们关于数学内部的运算、推理的程序性知识也包括这一类知识。这些程序性知识体现为大脑的一些活动能力。它们不是“关于”什么对象的知识，更不是关于抽象数学对象的知识。

表征性知识是指那些可表达为真思想的知识。这些思想必须确实地表示关于某些事物的事态而且必须是真的。关于数

题是一个公理系统的定理的知识。这些知识有它们的对象，但它们的对象不是所谓的抽象数学对象，而是我们的数学思维活动本身。它们是关于大脑的推理活动的可能结果的知识。

除了关于数学内部的运算、推理等等的知识，我们的数学知识应该还包括一些关于在数学应用中如何将数学概念与思想翻译为可直接表示具体事物、它们的属性及事态的概念与思想的知识。比如，就算术来说，具备一些基本算术知识一般意味着：能够遵循一些规则作算术运算；具备关于这些运算的结果的一些表征性知识，比如认识到交换律；还有就是能够将数字和运算与具体事物和对具体事物的操作对应起来，从而能够将一个算术思想翻译为一个关于具体事物的数量属性的思想，比如，将“3+2=5”翻译为“3斤面粉加2斤水是5斤面团”等等。这种关于数学应用知识，包括了在大脑中对数学思想（或数学陈述）作各种类型的翻译变换的程序性知识，也包括了关于这种翻译变换的结果以及关于什么样的翻译变换适用于什么样的应用场合等等这些事实的表征性知识。这其中的程序性知识同样不是关于任何对象的知识，而这其中的表征性知识是关于一些具体事物的知识，而不是关于所谓的抽象数学对象的知识。它们涉及的是数学思想或数学陈述本身，与作为翻译变换的结果的那些可直接表示具体事物的思想或陈述，以及这些思想或陈述所表示那些具体事物。它们是关于这三者之间的联系的知识。

因此，这种自然主义的对大脑的数学知识的描述也是反实在论的。大脑中的数学概念与思想是否表示所谓的抽象数学对象，在这种自然主义的对大脑所具备的相关的程序性知识与表征性知识的描述中从未被提及。程序性知识固然不涉及所谓的抽象对象，表征性知识也是关于推理或关于一些思维活动的结果的知识。

4 数学的可应用性

既然自然主义认为抽象数学对象不存在，数学真理不是客观真理，那么，解释为何数学在科学应用中能够推导出关于宇宙中的具体事物的真理，就是自然主义者面临的另一个重要问题。在自然主义的框架下解释数学的可应用性是一个比较大的课题，对它的回答需要包括一些逻辑上的技术性的工作，它是作者的另外一本书的主要任务25。这是一个还未完成的课题，还需要更多的技术性的研究，但我们相信，那本书中已经完成的工作已足以证明这是一个可行的方向。这里我们只介绍其中的思路。

首先要说明的是，在自然主义的框架下如何提出数学的可应用性问题，即如何将它表达为一个关于自然现象中的规律性的科学问题。为此，我们需要在自然主义的框架下考察一个数学应用过程。我们考虑这样的一个例子：在描述人口增长的时候，我们用一个可微分的数学函数表示地球上的人口的数量，然后用一个微分方程来描述人口数量的增长。这个数学应用中有三类前提：（I）是纯数学的抽象思想，即数学公理、定理等等；（II）是直接表示具体事物（即所应用的事物）的事态的实际思想，包括对具体事物的一些观察结果，比如关于在某个时刻的地球上的人口数量的思想；（III）是一些混合的思想，直观上表达如何用数学对象近似地模拟具体事物，以及用什么关于数学对象的条件近似地表达具体事物的规律，比如，用一个数学函数近似地模拟人口增长，并用一个关于那个函数的微分方程近似地表达人口增长的规律。从这三类前提我们推导出关于具体事物的一个结论。这里，（II）中的思想是实际思想，自然化的“真”属性可以适用于它们，即它们可以依自然化的对应关系与具体事物相对应。（I）中的思想是抽象思想，自然化的“真”属性不适用于它们，在自然主义的背景下它们自身无所谓真假。

前提（III）中的思想则要更复杂些。它们又可分为两部分：一部分实际上是表达如何将表示具体事物的事态的实际思想翻译成抽象数学思想，以及如何将抽象数学思想解释成表示具体事物的事态的实际思想。比如，“函数p(t)近似地表示人

口增长”这个前提，如果被展开，应该成为一系列关于如何在包含p(t)的数学思想与关于人口数量的实际思想之间互相翻译的描述。比如，“p(0) = 2345.6”可能被翻译为“1900年1月1日地球上有23亿4千5百60万人”。又比如，有一些包含p(t)的数学思想是没有实际意义的，不能被解释为关于人口数量的实际思想，因为“函数p(t)只是近似地表示人口增长”。所以，前提（III）中包含了我们在描述抽象数学思想的认知功能的时候提到的，从抽象思想到实际思想的翻译模式。前提（III）中的另一部分思想则是纯粹的抽象数学思想，比如，那个关于函数p(t)的微分方程。这些是抽象思想，因此它们本身无所谓真假，但是，利用上面提到的翻译模式，可以将它们翻译为直接表示关于具体事物的一些一般性规律的实际思想。比如，原则上我们可以将那个关于表示人口增长的函数p(t)的微分方程，转换成一个差分方程，然后再翻译成关于离散的人口增长的规律的一个陈述。后者可能要显得繁琐、冗长，但它是直接表示具体事物中的一般规律性的实际思想，因此可以有自然化的“真”属性。

这样，我们可以在自然主义的框架下重新描述这个数学应用过程。首先，一个大脑中有一些直接表示具体事物的实际思想，如

（1）1900年1月1日地球上有23亿4千5百60万人。

这里我们将（1）视为那个大脑中的一个由神经元结构实现的实际思想，它通过自然化的语义对应关系与其它一些具体事物的事态（即地球上的人口数量的事态）相联系。这是这个应用中的一个已知的实际前提。其次，那个大脑中的一个翻译程序将（1）翻译成为一个抽象数学思想

（2）p(0) = 2345.6。

这里，我们也将（2）视为那个大脑中的一个由神经元结构实现的思想，但它是一个抽象思想，因此它不直接表示什么事物的事态。相反，它是通过那个翻译程序与大脑中的另一个思想（1）相联系。（2）是这个应用中的对应于实际前提（1）的一个数学前提。

然后，大脑中有一个抽象数学思想

（3）dp(t)/dt = a(N - p(t)) p(t)。

这是这个应用中的另一个数学前提。作为大脑中的一个抽象思想，（3）本身也无所谓真假，但前面已经提到，（3）原则上可以翻译为一个直接陈述有限、离散的人口增长的规律的实际思想，如

（4）（直接描述人口增长率的一个实际思想）

这里我们没有给出它的具体形式26，但它与（1）一样是实际思想，也可以通过自然化的语义对应关系与其它一些具体事物的事态（即地球上的人口数量的事态）相联系。（4）也许没有实际地出现在大脑中，同时，这里我们也没有说明大脑为何采纳（3）作为一个应用的前提。但直观的理解是，大脑之所以在这个应用中采纳了（3）作为一个数学前提，就是因为大脑意识到，一些类似于（4）的、可以作为（3）的翻译的实际思想是（自然化地）真的。因此，大脑采纳了（3）作为对人口增长的数学描述。这应该是大脑的一些创造性的思维活动的结果。在解释数学的可应用性中，我们侧重的是解释一个应用的有效性，所以我们不去仔细考察大脑的这些创造性的思维活动。我们称（4）为这个应用中的隐含的实际前提。它是隐含的，因为大脑没有直接以它为前提，但是它应该是大脑采纳（3）为数学前提的原因。

大脑中还有一些一般性的数学假设：

（5）（数学公理与定理）

它们是在所有的数学应用中大脑都采纳的假设。它们也是抽象思想，因此也没有自然化的真假。而且，也不一定有自然的翻译程序将它们翻译成关于具体事物的实际思想。比如，对集合论公理中的无穷公理，似乎就没有自然的翻译程序可以将它翻译成

直接表示地球上的人口或任何其它相关的具体事物的（自然化的）真思想。

然后，大脑中产生了一系列的数学推理活动，从（2）、（3）、（5）中的数学思想推导出一个抽象思想作为数学结论，比如，

（6）p(120) = 8345.6。

这是这个应用的数学结论。由此，再经过大脑中的翻译变换，产生出大脑中一个直接表示具体事物的实际思想（7）2020年1月1日地球上有83亿4千5百60万人。

这是这个应用的最后结果，即它的实际结论。（7）作为一个实际思想可以通过自然化的语义对应关系与一些具体事物的事态（即地球上的人口数量的事态）相联系。

以上对数学应用过程的描述完全是对自然现象的描述：（1）是大脑中的具体事物，它与大脑之外的其它一些具体事物通过自然化的对应关系产生联系；从（1）到（2）的翻译变换是大脑中实际发生的事件；（2）、（3）、（5）、（6）也是大脑中的事物；从（2）、（3）、（5）到（6）的推理变换也是大脑中实际发生的事件；从（6）到（7）的翻译变换还是大脑中实际发生的事件；最后，（7）作为大脑中的事物也是与大脑之外的其它一些具体事物通过自然化的对应关系产生联系。整个数学应用过程，是一个大脑中的由神经元实现的思想的变换过程，就像一个物理系统经过一系列物理状态的变化过程。

这个过程中的一些思想是实际思想，它们可以潜在地通过自然化的对应关系对应于大脑之外的具体事物。特别地，有一些作为应用的起点的实际思想，即实际前提，如上面的实际前提（1），还有（3）所蕴涵的隐含的实际前提（4）。还有一个作为应用的结论的实际思想，即实际结论，如上面的（7）。这个过程中的另外一些思想，即一些中间的思想（2）、（3）、（5）、（6），则是抽象思想，它们没有自然化的真假。应用之成功在于，当自然化的对应关系存在于起始的实际前提与环境中的具体事物之间的时候，自然化的对应关系也存在于最后实际结论与环境中的具体事物之间。这是相对于同一模式的一类应用过程而言的，即在同一类的所有自然过程中，假如应用的实际前提可通过自然化的对应关系对应于大脑的环境中的具体事物，那么应用的实际结论也可以这样对应于环境中的具体事物。

因此，可应用性指的是一类自然现象中的某种自然规律性。这样，解释可应用性就是解释这种自然规律性为何存在。这与一般的科学理论中对一类自然现象中的规律性的解释，在本质上是一样的。上面所描述的大脑中的数学应用过程就像一个物理系统经历的一个物理过程；而需要解释的就是，在一类这样的过程中，当一个过程的初始状态具有某个属性（即自然化的“真”属性）的时候，该过程的终止状态也具有这个属性。所以，数学的可应用性问题是一个科学问题。这是在自然主义的框架下的数学可应用性问题。

既然可应用性是一个科学问题，对它的回答也应该是一个科学的回答，而一个回答是否可接受应该是依科学的标准来判定。特别地，它应该与形而上学的思辨无关。这里需要解释的是，为什么大脑中的一个数学应用过程最后得出的实际结论具有自然化的“真”属性，而其中的难点是，大脑中的这个应用过程中间的一些思想是抽象思想，自然化的“真”属性不适用于它们。当然，我们假设这个应用过程的起始的一些思想，即那些实际前提，是具备了自然化的“真”属性。所以，要解释的就是，为什么自然化的“真”属性在这个自然过程的起始与终点被保留，虽然这个自然过程的中间不具备这个自然属性。

下面将简要介绍我们在自然主义的框架下解释数学可应用性的策略。真正执行这个策略需要一些逻辑与数学的研究。这些都包括在另外一本书中27。这里只是简单地说明它的思路。

考察上面的例子中从（1）到（7）的过程，直观上我们相信，最后所得的结论（7）所真正地在逻辑上依赖的前提，应该是象（1）与（4）那样的直接表示具体事物的事态的一些前提。（4）直接描述有限、离散的人口数量的变化的一般性规律；

（1）则给出人口数量的某个初始值。除了它们之外，应该还有关于具体事物的一些其它前提也是（7）在逻辑上真正地依赖的，比如，描述不同的时刻之间的顺序与长度关系的前提，关于人口数量的和、差等的算术前提，等等。这是一些关于宇宙中的具体事物的一般性的前提，包括了上一小节讨论先天性的时候提到的，简单的算术、几何的自然应用的结果，以及关于具体事物的物理属性的简单规律等等。为了下面讨论方便，我们将它们概括为

（8）（关于具体事物的一般性前提）

直观上我们相信，这些前提（1）、（4）、（8）加在一起，应该能够逻辑地蕴涵（7）。换句话说，直观上，应该是关于宇宙中具体事物的一些前提，尤其是关于地球上不同时刻的人口及相关事物的一些前提，真正地蕴涵了结论（7）。至于数学前提（2）、（3）、（5）等等，它们可能有助于以一种比较简单的方式推导出（7），但它们应该不是（7）真正地逻辑上依赖的前提。

这当然只是一个直观上的信念。但如果它成立的话，我们就有一个关于最后得出的实际结论（7）为何是（自然化的）真理的解释，即（7）是真的，因为它是真的实际前提（1）、（4）、（8）等等的逻辑有效的推论。更确切地说，我们可以将大脑中的关于这个应用的特别的数学前提（3）替换为实际前提（4），同时将大脑中的一般的数学前提（5）替换为一般的实际前提（8），然后，大脑中的原先的推导过程就可以转换成从实际前提（1）、（4）、（8）到同样的结论（7）的逻辑有效的推导过程。这样的推导中的每个思想都是实际思想，都可以具有自然化的的“真”属性，而且，推导的每一步都是运用大脑中的逻辑有效的推理模式。前面已经提到，“真”作为大脑中的实际思想的属性被自然化以后，大脑中的一个推理模式的逻辑有效性也可以被自然化。逻辑有效性成为关于一类自然现象中的自然规律性的论断，即当推理模式的前提与环境中的事物之间存在着自然化的对应关系的时候，推理模式的结论与环境中的事物之间也存在着自然化的对应关系。所以，假设实际前提（1）、（4）、（8）等等都与环境中的事物存在着自然化的对应关系，那么，这个逻辑有效性中的自然规律性就蕴涵着，实际结论（7）也一定与环境中的事物之间也存在着自然化的对应关系。这就解释了为何原先的应用所得出的最后的实际结论（7）是自然化的真理。换句话说，通过证明原先的数学应用中的数学前提其实是可被消除的，我们将那个数学应用的有效性中的自然规律性，还原为逻辑有效性中的自然规律性，以及一些实际前提是自然化的真理这个假设。我们就有了对数学应用的有效性的自然主义解释。

这个解释将意味着，（2）、（3）、（5）等等数学前提只是有用的工具。它们有助于简化从实际结论（7）所真正依赖的实际前提（1）、（4）、（8）到该实际结论的逻辑推导，但它们自身不是逻辑地得出该实际结论（7）所必不可少的。更具体地说，数学前提（3）简化了实际前提（4）的表述，数学前提（5）则以一种更抽象、更灵活、也更简单一般的方式，概括了实际前提（8）。这些都有助于我们简化而且一般化对（7）的推导。但反过来，对这个数学应用的实际结论（7）为何具有自然化的“真”属性的真正解释，恰好是应该说明，这个应用中的数学前提及应用的中间步骤的那些抽象数学思想，原则上都可以被消去，这个应用原则上可以被还原为从一些实际的真前提（在自然化的“真”的意义上）到那个实际结论的逻辑有效的推导。换句话说，即使我们承认（2）、（3）、（5）等等这些抽象思想也可以有某种“真”属性（不是自然化的“真”），实际结论（7）的自然化的真理性其实也并不真正地依赖于（2）、（3）、（5）等等这些抽象思想的这种“真理性”。它真正以来的是其它的一些实际前提的自然化的真理性，以及大脑中的一些推导过程的自然化的逻辑有效性。这是一个自然主义的、反实在论的解释。即使纯粹从逻辑的角度看，这也应该是对无穷、连续的数学模型为何可以帮助得出关于有限、离散的具体事物的真理的逻辑上最清晰、最严密的解释。

当然，就这个例子而言，要使得这个解释能够成功，我们需要证明（2）、（3）、（5）等等数学前提在这个数学应用中确实可以被消除，而这个应用确实在原则上可以还原为从一些实际前提（1）、（4）、（8）等等到那个应用的实际结论（7）的逻辑有效的推导。对一般的数学应用的解释也是一样的。我们需要证明，在那些应用中，表面上谈论抽象数学对象的数学前提都可以被消除，尤其是，无穷可以被消除，整个应用原则上可以被还原为从关于宇宙中的有限、离散事物的一些实际前提，到这

谈论超出这个物质世界之外的所谓抽象对象、无穷等等都是原则上可消除的。我们的对数学的可应用性的自然主义解释主要就是做这样的逻辑与数学上的技术性的工作28。

那里的技术性策略是：首先，我们发展了一种有穷主义的数学。有穷主义数学中不假设任何实无穷，甚至也不假设潜无穷。有穷主义数学可以直接被解释为关于有限、离散的具体事物的理论，更确切地说，关于有限的计算机的计算过程与结果的理论。也就是说，有穷主义数学的思想是关于有限、离散的具体事物的实际思想，自然化的“真”属性适用于它们，它的定理可以直接地被解释为自然化的真理。因此，有穷主义数学的应用将是从关于有限、离散的具体事物的实际前提，到关于同样的事物的实际结论的逻辑有效的推导。

其次，我们试图证明，普通的数学应用原则上可以转换为有穷主义数学的应用。证明这一点的策略是在有穷主义数学的框架下发展普通的应用数学理论。这将说明，用有穷主义数学就原则上可以表达我们的科学理论，进行科学理论中需要的计算、推理等等。换句话说，为了表达我们的科学理论，进行科学理论中需要的计算、推理等等，我们原则上不需要谈论任何抽象数学对象，不需要使用任何抽象思想。这样，虽然我们没有将每个具体的普通数学的应用转换为有穷主义数学的应用，但我们证明了转换的结果是可能的，即普通的数学应用的结果也可以用有穷主义数学得出来。因此可以相信，普通的数学应用原则上可以转换为有穷主义数学的应用。

最后，普通的数学应用原则上可以转换为有穷主义数学的应用，这相当于说，普通的数学应用中的象上面的（2）、（3）、（5）那样的纯数学的前提都可以被消去，然后这个应用可以被转化为从关于有限、离散的具体事物的实际前提，到关于同样的事物的实际结论的逻辑有效的推导。这就是上面所描述的关于一个普通的数学应用的最后结论为何是自然化的真理的解释。

实现这个技术性的策略的关键在于证明，在科学中有实际应用的应用数学原则上都可以在有穷主义数学的框架下发展起来。我们将它概括为一个猜想：

有穷主义数学猜测：所有在自然科学中有实际应用的应用数学原则上都可以在有穷主义数学的框架下发展起来。

目前的研究已经在有穷主义数学的框架下发展了数学分析、复分析的基础、勒贝格积分理论、希尔伯特空间上的有界与无界线性算子的基础理论等等29。为了证实这个猜想当然还需要做更多的研究工作。所以，这个对数学应用的解释还是一个未完成的事业。

另一方面，也有一些支持这个猜想的直观的理由。我们已经多次提到过，科学理论只准确地描述这个宇宙中有限范围内的事物。在科学应用中，普通数学中的无穷、连续的数学模型都是用来近似地模拟有限、离散的具体事物的。用一个连续函数来近似地表示一个离散的物理量是为了忽略那些我们认为不重要的细节，简化我们的模型。这样的模型不是最严格地准确的，但它们更简单。这提示我们，在最严格的逻辑的意义上，那些无穷、连续的数学对象，对于我们描述这个（科学所能认识的）有限、离散的世界也许不是逻辑上绝对地必要的。如果无穷、连续的数学对象在数学应用中原则上可以被消除，那么那些数学应用就原则上可以转化为有穷主义数学的应用。换句话说，我们有直观的理由相信，为了描述这个有限、离散的世界，有穷主义数学原则上就足够了。

这里我们需要说明一下，我们不是建议科学家们放弃普通数学而采纳有穷主义数学。恰恰相反，我们是要解释为何普通数学的应用会得出关于有限、离散的具体事物的真理。另外，我们也不是说，科学家们的数学应用还需要哲学家或逻辑学家们的辩护或论证。我们都知道，人类的大脑在智能上超过目前的人工智能的主要一点就是，大脑在处理复杂的问题的时候，能

28见Ye (2007j)。

够发明并应用一些逻辑上不是绝对清晰严密的，启发式的，但很有效的策略，这是大脑的创造性能力或直觉能力的体现。当科学家们用无穷、连续的数学模型来近似地模拟有限、离散的具体事物的时候，其中的逻辑也不是绝对地清晰严密的，但这恰恰是科学家们的聪明才智的表现，它使得我们可以用相对简单的模型来描述极其复杂的（虽然是有限的）现象。哲学家与逻辑学家的任务更像是认知科学家的任务，即研究科学家们的大脑究竟如何工作，使得无穷数学的应用得以成功。

当然，作为一种哲学与逻辑理论，我们这里关心的不是科学家们的大脑的工作的中心理学方面特征。我们这里关心的是它在哲学与逻辑方面问题，比如，我们希望从逻辑的角度说明，为何应用无穷数学于有限、离散的事物可以得出关于有限、离散的事物的真理。我们的建议与策略是，要从逻辑上清楚地说明这一点，就是要证明无穷是原则上可被消除的。消除了无穷以后，数学应用就化归为有穷主义数学的应用，最后它就成为从关于有限、离散的具体事物的实际前提，到关于有限、离散的具体事物的实际结论的逻辑有效的推导。这才真正从逻辑上清楚地说明了，无穷数学的应用究竟是如何帮助从关于有限、离散的具体事物的真前提，推导出关于它们的真结论。

有一种对反实在论数学哲学的批评是，反实在论者是试图从哲学观点出发来反对成功的经典数学的数学实践，因而是没有道理的。对于直觉主义，这种批评是对的，因为直觉主义者是声称直觉主义数学应该替代经典数学。但对于这里的自然主义的反实在论数学哲学，这是一个误解。自然主义的反实在论数学哲学的目的，当然不是去反对现有的数学实践。它是将现有的成功的数学实践当作自然现象来研究，是希望解释其中的机制，对它作科学的解释。当然，正是在这种科学研究中我们发现，一些人的大脑中的数学实在论的信念，是来源于他们试图将自己的大脑中的想象投射到外部。对经典数学的应用的自然主义解释并不需要我们去设想所谓的抽象数学对象客观存在。因此，这种对数学应用的解释反过来支持了反实在论，而且说明人类的数学实践与科学的、自然主义的整体世界观是相一致的。

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