数学建模基础问题与答案!(有答案)

‘牡丹江师范学院期末考试试题库

科目：数学模型与数学实验年级：2006 学期：2008-2009-2 考核方式：开卷

命题教师：数学模型与数学实验课程组

一、解答题：（每小题30分）

x=[0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.2 0.21 0.23]';

n=length(x)

X=[ones(n,1) x];

Y=[42 43.5 45 45.5 45 47.5 49 53 50 55 55 60]';

[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X);

b,bint,stats

% 预测

y=b(1)+b(2)*x

%E误差平方和

E=sum((Y-y).^2)

参考结果：

回归直线：?28.4928130.8348

=+

y x

误差平方和：17.4096

是否重点：重点

难易程度：中

知识点所在章节：第十六章第一节

检查数据中有无异常点、由x的取值对y作出预测。

解：参考程序(t2.m)：

x=[0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.2 0.21 0.23]';

Y=[42.0 41.5 45.0 45.0 45 47.5 49.0 55.0 50.0 55.0 55.5 60.5]'; scatter(x,Y);

n=length(x)

X=[ones(n,1) x];

b,bint,stats %残差图

rcoplot(r,rint) % 预测

y=b(1)+b(2)*x

%剔除异常点重新建模 X(8,:)=[]; Y(8)=[];

[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X); b,bint,stats,rcoplot(r,rint) 结果和图：

b =

27.0269 140.6194 bint =

22.3226 31.7313 111.7842 169.4546 stats =

0.9219 118.0670 0.0000

结果分析：由20.9226,

119.2528,P =0.0000R F ==知，2R 接近1，

10.5(1,10)F F ->，0.05P <，故x 对y 的影响显著，回归模型可用。

观察所得残差分布图，看到第8个数据的残差置信区间不含零点，此点视为异常点，剔除后重新计算。

Residual Case Order Plot

R e s i d u a l s

Case Number

此时键入： X(8,:)=[]; Y(8)=[];

b,bint,stats,rcoplot(r,rint) 得：

b =

27.0992 137.8085 bint =

23.8563 30.3421 117.8534 157.7636 stats =

0.9644 244.0571 0.0000

可以看到：置信区间缩小；R 2、F 变大，所以应采用修改后的结果。所以，

建立的回归预测方程为：?27.0992137.8085y

x =+ 是否重点：重点 难易程度：中

知识点所在章节：第十六章第一节

3、将17至29岁的运动员每两岁一组分为7组，每组两人测量其旋转定向能力，

解：方法1程序（见t3_1.m ）：

x=17:2:29;x=[x,x]; y=[20.48,25.13,26.15

30,26.1,20.3,19.35,24.35,28.11,26.3,31.4,26.92,25.7,21.3];

scatter(x,y); figure(2)

%确定一元多项式回归系数 polytool(x,y,2)

点击图3-2中的export,全部选中点击ok,之后在命令窗口输入： beta,y1,residuals

% beta 回归系数，y1预测值,residuals 残差 结果与图：

在x-y 平面上画散点图(图2-1)，直观地知道y 与x 大致为二次函数关系。 设模型为2123y a x a x a =++

图3-1 散点图

图3-2 交互图

窗口中绿线为拟合曲线、红线为y 的置信区间、可通过移动鼠标的十字线或通过在窗口下方输入来设定x 值，窗口左边则输出与x 对应的y 值及y 的置信区间。通过左下方的Export 下拉菜单可输出回归系数等。 beta =

-0.2003 8.9782 -72.2150

模型为： 20.20038.978272.2150y x x =-+-

方法2参考程序 (t3_2.m)： x=17:2:29;x=[x,x]; y=[20.48,25.13,26.15

30,26.1,20.3,19.35,24.35,28.11,26.3,31.4,26.92,25.7,21.3]; scatter(x,y);

[p,S]=polyfit(x,y,2) 方法2结果：

p =

-0.2003 8.9782 -72.2150

S =

R: [3x3 double]

df: 11

normr: 7.2162

模型为：2

y x x

=-+-

0.20038.978272.2150

方法3程序（t3_3.m）

x=17:2:29;x=[x,x];

y=[20.48,25.13,26.15

30,26.1,20.3,19.35,24.35,28.11,26.3,31.4,26.92,25.7,21.3];

scatter(x,y);

X=[ones(14,1),x',(x.^2)']

[b,bint,r,rint,stats]=regress(y',X);

b,stats

方法3结果：

b =

-72.2150

8.9782

-0.2003

stats =

0.6980 12.7113 0.0014 4.7340

与方法1，2的结果一样

是否重点：重点

难易程度：中

知识点所在章节：第十六章第三节

4、某厂生产的某产品的销售量与竞争对手的价格x1和本厂的价格x2有关。下

手售价170（元），预测此产品在该城市的销售量。

解：参考程序（t4.m）：

%建立二元线性回归

x1=[120,140,190,130,155,175,125,145,180,150];

x2=[100,110,90,150,210,150,250,270,300,250];

y=[102,100,120,77,46,93,26,69,65,85]';

x=[ones(10,1),x1',x2'];

[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x);

b,bint,stats,

%%%%改进，建立二元多项式 x(:,1)=[]; rstool(x,y) 结果

这是一个多元回归问题。若设回归模型是线性的，即设01122y x x βββ=++用regress(y,x,alpha)求回归系数。得 b =

66.5176 0.4139 -0.2698 bint =

-32.5060 165.5411 -0.2018 1.0296 -0.4611 -0.0785 stats =

0.6527 6.5786 0.0247

p=0.0247,若显著水平取0,01，则模型不能用；2R =0.6527较小;01,ββ的置信区间包含零点。因此结果不理想。于是设模型为二次函数。

此题设模型为纯二次函数：

2201122111222

y x x x x βββββ=++++ 对此例，在命令窗中键入

x(:,1)=[];

rstool(x,y,'purequadratic') 得到交互式对话窗（图4-1）：

140160-100

150200图4-1 交互式对话窗

对于“本厂售价160，对手售价170，预测该市销售量”的问题，在下方窗口中分别输入160和170，就可在左方窗口中读到答案及其置信区间。

下拉菜单Export 向工作窗输出数据具体操作为：

弹出菜单，选all ，点击确定。此时可到工作窗中读取数据。可读数据包括：beta （回归系数） rmse （剩余标准差） residuals （残差）。本题只要键入 beta,rmse,residuals

注：可在图左下方的下拉菜单中选择其它模型：interaction, full quadratic

交叉二次回归模型 剩余标准差19.1626 完全二次回归模型 剩余标准差18.6064 纯二次回归模型 剩余标准差为16.6436

由于纯二次回归模型的剩余标准差最小，采用其建模并预测。 纯二次回归模型为：

22

1212

-312.58717.2701 1.73370.02280.0037y x x x x =+--+ 剩余标准差为16.6436。

当12160,170x x ==，得销售量79.371y =，置信区间[79.371-53.6392, 79.371+53.6392],即[25.7318,133.0102] 是否重点：重点 难易程度：中

知识点所在章节：第十六章第三节

解：参考程序（t5.m ）

x=[2 4 4 4.6 5 5.2 5.6 6 6.6 7]'; n=length(x);

X=[ones(n,1) x];

Y=[5 3.5 3 2.7 2.4 2.5 2 1.5 1.2 1.2]'; [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X); b, r, stats

rcoplot(r,rint) figure(2)

z=b(1)+b(2)*x

plot(x,Y,'k+',x,z,'r')

结果与图： b =

6.4383 -0.7877 stats =

0.9739 298.5240 0.0000

结果分析：由20.9739,298.5240,P=0.0000R F ==知，2R 接近1，

10.5(1,12)F F ->，0.05P <，故x 对y 的影响显著，回归模型可用。 回归直线为： 6.4383-0.7877y x = 残差分析：

Residual Case Order Plot

R e s i d u a l s

Case Number

图5-1残差图

由残差分析图5-1看出，残差置信区间均包含零点，无异常点。故，模型较好的符合原始数据。由图5-2也可以看出回归直线较好的拟合原始数据。

图5-2 拟合比较图

是否重点：重点

难易程度：中

知识点所在章节：第十六章第三节

6、给出国家文教科学卫生事业费支出额ED（亿元）和国家财政收入额FI（亿元），作一元线性模型回归分析，并对所有结果作出分析评估。若2003年预期的国家财政收入为12050亿元，试求文教卫支出2003年的点预测值和区间预测值（部分数据为模拟数据）。

年份ED FI 年份ED FI

1991 708 3149 1998 1987 9320

1992 793 3483 1999 2021 9876 1993 958 4349 2000 2213 10356 1994 1278 5218 2001 2536 11589 1995 1467 6242 2002 2960 13010 1996 1704 7408 2003 14268 1997 1904 8651

解：参考程序（t6.m）：

x=[3149 3483 4349 5218 6242 7408 8651 9320 9876 10356 11589 13010 14268 ]'; Y=[708 793 958 1278 1467 1704 1904 1904 1987 2021 2213 2536 2960]';

n=length(x);

X=[ones(n,1) x];

[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X);

b,bint,stats

%残差图

rcoplot(r,rint)

%预测

y=b(1)+b(2)*x; %点预测 x1=14268;

y1=b(1)+b(2)*x1 %区间预测

deta=sqrt(sum((Y-y).^2)/(n-2)); y1-1.96*deta, y1+1.96*deta

结果： b =

212.8152 0.1839 bint =

54.6098 371.0206 0.1662 0.2017

stats =

1.0e+004 *

0.0001 0.0522 0.0000 1.0136 y1 =

2.8372e+003 由统计检验量21,522,0R F P ===知，回归模型显著。 一元线性回归模型为：212.8152+0.1839y x =

2003年的点预测值为2837.2，预测区间[2639.9,3034.6]. 是否重点：重点 难易程度：中

知识点所在章节：第十六章第三节

7、为了研究某一化学反应过程中温度x 对产品得率Y 的影响. 测得数据如下:

89

857874706661545145%/190

180170160150140130120110100/i i y C x 温度温度

求y 与x 的线性回归方程，检验回归效果是否显著，并预测x=155度时产品得率的估值及预测区间（置信度95%）. 解：参考程序（t7.m ）： x=[100:10:190]';

Y=[45 51 54 61 66 70 74 78 85 89]'; n=length(x);

X=[ones(n,1) x];

[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X);

b,bint,stats %预测

y=b(1)+b(2)*x; %点预测 x1=155;

y1=b(1)+b(2)*x1 %区间预测

deta=sqrt(sum((Y-y).^2)/(n-2)); y1-1.96*deta, y1+1.96*deta

结果： b =

-2.7394 0.4830

bint =

-6.3056 0.8268 0.4589 0.5072

stats =

1.0e+003 *

0.0010 2.1316 0.0000 0.0009 y1 =

72.1303 ans =

70.2678 ans =

73.9928

由统计检验量21,2131.6,00.05R F P ===<知，回归模型显著。 一元线性回归模型为： 2.7394+0.4830y x =-

155x =时，产品得率为72.1303，置信度为95%的预测区间[70.2678,73.9928].

是否重点：重点 难易程度：中

知识点所在章节：第十六章第三节

8、对某地区生产同一产品的8个不同规模的乡镇企业进行生产费用调查, 得产量x (万件)和生产费用Y (万元)的数据如下:

5

.165.138.101.108.72.76.66.512

5

.101.95

.75

.43

2

5

.1y x

试据此建立Y 关于x 的回归方程，检验回归效果是否显著，并预测x=3.5时生产

费用的估值及预测区间（置信度95%）. 解：参考程序（t8.m ）：

x=[1.5 2 3 4.5 7.5 9.1 10.5 12]';

Y=[5.6 6.6 7.2 7.8 10.1 10.8 13.5 16.5]'; n=length(x);

X=[ones(n,1) x];

[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X); b,bint,stats %预测

y=b(1)+b(2)*x; %点预测 x1=3.5;

y1=b(1)+b(2)*x1 %区间预测

deta=sqrt(sum((Y-y).^2)/(n-2)); y1-1.96*deta, y1+1.96*deta 结果： b =

4.1575 0.8950 stats =

0.9376 90.1871 0.0001 y1 =

7.2900 ans =

5.3086 ans =

9.2714

由统计检验量20.9376(1),90.1871,0.00010.05R F P ===<接近于知，回归效果显著。

一元线性回归模型为： 4.1575+0.8950y x =

3.5x =时，产品得率为7.2900，置信度为95%的预测区间[ 5.3086,9.2714].

是否重点：重点 难易程度：中

知识点所在章节：第十六章第一节 9、以家庭为单位, 某种商品年需求量与该商品价格之间的一组调查数据如下表:

2

.12.15.12

5

.24.27.235.31)(5

.33.33

8

.26.25.23.222

5

)

(kg x 需求量元价格

(1) 求经验回归方程x y 1

0???ββ+=; (2) 检验线性关系的显著性(05.0=α).

解：参考程序：

x=[5 2 2 2.3 2.5 2.6 2.8 3 3.3 3.5]'; Y=[1 3.5 3 2.7 2.4 2.5 2 1.5 1.2 1.2]'; n=length(x);

X=[ones(n,1) x];

[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X); b,stats %残差图

rcoplot(r,rint)

结果： b =

4.4951 -0.8259 stats =

0.7443 23.2890 0.0013 0.2103 （1） 经验回归方程为： 4.49510.8259y x =-

（2） 由统计检验量20.7443,23.2890,0.21030.05R F P ===>知，线性关系不显著，模型不可用。

由残差图（图9-1）可以看出，第一数据的残差离零点的距离较远，且残差置信区间不包含零点，故第一个数据为异常点，应该剔除，重新建立线性回归模型。

Residual Case Order Plot

R e s i d u a l s

Case Number

图9-1 残差图

在命令窗口键入：

X(1,:)=[]; Y(1)=[];

[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X); b, stats b =

6.1559 -1.4751 stats =

0.9476 126.6833 0.0000 0.0392

（1）经验回归方程为：? 6.1559 1.4751y

x =- （2）由统计检验量20.9476,126.6833 ,0.0000.05R F P ===<知，回归模型显著，模型可用。 是否重点：重点 难易程度：中

知识点所在章节：第十六章第三节

10、某建材实验室做陶粒混凝土实验室中, 考察每3m 混凝土的水泥用量(kg)对混凝土抗压强度(kg/2cm )的影响, 测得下列数据.

7

.894

.866.822.804.771.742602502402302202103

.711.686.646.613.589.56200190

180170160150y x y x 抗压强度水泥用量抗压强度水泥用量 (1) 求经验回归方程x y 1

0???ββ+=; (2) 检验一元线性回归的显著性(05.0=α);

(3) 设,2250kg x = 求y 的预测值及置信度为0.95的预测区间. 解：参考程序(t10.m)：

x=[150:10:260]';

Y=[56.9 58.3 61.6 64.6 68.1 71.3 74.1 77.4 80.2 82.6 86.4 89.7]'; n=length(x);

X=[ones(n,1) x];

[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X); b,bint,stats %预测

y=b(1)+b(2)*x; %点预测 x1=225;

y1=b(1)+b(2)*x1

%区间预测

deta=sqrt(sum((Y-y).^2)/(n-2)); y1-1.96*deta, y1+1.96*deta

结果： b =

10.2829

0.3040 stats = 1.0e+003 *

0.0010 5.5225 0.0000 0.0002 y1 =

78.6797 ans =

77.7210 ans =

79.6385

（1）01

??10.2829,0.3040ββ==,经验回归方程：?10.2829+0.3040y x = （2）由统计检验量21,5522.5,0.00000.05R F P ===<知，回归模型显著。 （3）0225x =时，预测值为78.6797，置信度为95%的预测区间

[ 77.7210,79

. 是否重点：重点 难易程度：中

知识点所在章节：第十六章第一节

11、电容器充电达某电压值时为时间的计算原点, 此后电容器串联一电阻放电, 测定各时刻的电压u , 测量结果如下:

5

5

1010152030405575100)(10

98

7

6

5

4

3

2

1

)

(V u s t 电压时间

若u 与t 的关系为,0ct e u u -= 其中c u ,0未知, 求u 对t 的回归方程.

解：对原关系式0ct u u e -=取对数，得0l n ()l n ()

u u c t =-，令0

??l n (),

l n (),,Y u A u b c x t ===-=，得??Y A bx

=+ 程序（t11.m ）： t=[0:1:10]';

u=[100 75 55 40 30 20 15 10 10 5 5]'; n=length(t);

Y=log(u); x=t;

X=[ones(n,1) x];

[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X); b,bint,stats u0=exp(b(1)); c=-b(2); %预测

u=u0*exp(-c*t);

结果： b =

4.6130 -0.3126 stats =

0.9900 891.4418 0.0000 u0 =

100.7890 c =

0.3126

由统计检验量20.9900,891.4418,0.00000.05R F P ===<知，回归模型显著。

u 对t 的回归方程：0.31260100.7890ct t u u e e --== 是否重点：重点 难易程度：中

知识点所在章节：第十六章第三节

12、考察温度对产量的影响,测得下列10组数据:

3.245.222.216.197.189.171.17

4.161.152.13)(65

605550454035302520)(kg y C x 产量温度

(1) 求经验回归方程x y 1

0???ββ+=; (2) 检验回归的显著性(05.0=α);

(3) 求52x C =时产量y 的预测值及置信度为0.95的预测区间. 解 参考程序(t12.m)：

x=[20:5:65]';

Y=[13.2 15.1 16.4 17.1 17.9 18.7 19.6 21.2 22.5 24.3]'; n=length(x);

X=[ones(n,1) x];

[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X); b,bint,stats

%预测

y=b(1)+b(2)*x; %点预测 x1=52;

y1=b(1)+b(2)*x1 %预测区间

deta=sqrt(sum((Y-y).^2)/(n-2)); y1-1.96*deta, y1+1.96*deta

结果： b =

9.1212

0.2230 stats =

0.9821 439.8311 0.0000 0.2333 y1 =

20.7188 ans =

19.7722 ans =

21.6654

（1）经验回归方程：?9.1212+0.2230y

x = （2）当0.05α=时，由20.9821,439.8311,0.00000.05R F P ===<知，回归显著。

（3）52x =时，产量的预测值为20.7188，置信度为0.95的预测区间为[19.7722,

21.6654]

是否重点：重点 难易程度：中

知识点所在章节：第十六章第一节

13、在某化工生产过程中，进入反应塔内某气体的百分比y 与该气体的温度及

气态压力

有关，试验数据如下:

求y 关于

及

的二元线性回归方程.

解 参考程序(t13.m)：

x1=[78 113.5 154 169 187 206 214]';

x2=[1 3.2 8.4 12.0 18.5 27.5 32.0]'; Y=[1.5 6.0 20.0 30 50 80 100]'; n=length(x1);

X=[ones(n,1) x1,x2];

[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X); b,bint,stats

结果： b =

9.5617 -0.1423 3.7052 bint =

-3.4968 22.6203 -0.2648 -0.0198 3.1929 4.2176 stats =

1.0e+003 *

0.0010 1.1433 0.0000

由运行结果可以看出，回归系数12,ββ均不包含零点，且检验统计量为

21,1143.3,0.00000.05R F P ===<知，回归模型显著。 因此，二元线性回归方程为：

12?9.56170.1423 3.7052y

x x =-+ 是否重点：重点 难易程度：中

知识点所在章节：第二章第五节

14、某厂的产品15个地区销售，各地区人口数平均每户总收入等于有关资料如下表。试求销售量关于人数及每户总收入的回归方程。

解 x1=[274 180 375 205 86 195 53 430 372 236 265 98 330 157 370]';

x2=[2450 3254 3802 2838 2347 2137 2560 4020 4427 2660 3782 3008 2450 2088 2605]';

Y=[162 120 223 131 67 116 55 252 232 144 169 81 192 103 212]'; n=length(x1);

X=[ones(n,1) x1,x2];

[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X); b,bint,stats

结果： b =

3.4526 0.4960 0.0092 bint =

-1.8433 8.7485 0.4828 0.5092 0.0071 0.0113 stats =

1.0e+003 *

0.0010 5.6795 0 由运行结果可以看出，回归系数12,ββ均不包含零点，且检验统计量为

21,5679.5,00.05R F P ===<知，回归模型显著。 因此，销售量关于人数1x 及每户总收入2x 的回归方程：

12? 3.45260.49600.0092y

x x =++ 是否重点：重点 难易程度：中

知识点所在章节：第十六章第二节

15、炼纲过程中用来盛钢水的钢包，由于受钢水的浸蚀作用，容积会不断扩大。下表给出了使用次数和容积增大量的15对试验数据：

试求

x

b a y +=型回归方程。 解 参考程序（t15.m)： x=2:16;

y=[6.42 8.20 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.59 10.60 10.80 10.60 10.90 10.76];n=length(x); u=1./x; v=1./y;

X=[ones(n,1) u'];

[b,bint,r,rint,stats]=regress(v',X); b,bint,stats %残差图

rcoplot(r,rint) %预测及作图

yy=x./(b(1)*x+b(2)); plot(x,y,'k+',x,yy,'r') 结果： b =

0.0823 0.1312 stats =

0.9379 196.2270 0.0000 0.0000

由20.9379,196.2270,00.05R F P ===<知，回归方程显著，可用。 回归方程为：

110.08230.1312y x

=-

图15-1 散点图和拟合曲线图

数学建模期末考试A试的题目与答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2012-2013学年第 二 学期 考试科目：数学建模 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一篮白菜从河岸一边带到河岸对面，由于船的限制，一次只能带 一样东西过河，绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起，怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1，2，3，4，当i 在此岸时记x i = 1，否则为0；此岸的状态下用s =（x 1，x 2，x 3，x 4）表示。该问题中决策为乘船方案，记为d = (u 1, u 2, u 3, u 4)，当i 在船上时记u i = 1，否则记u i = 0。 (1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分） (2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分） (3) 写出该问题的状态转移率。（3分） (4) 利用图解法给出渡河方案. （3分） 解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状（3分） (2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分） (3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分） (4)方法：人先带羊，然后回来，带狼过河，然后把羊带回来，放下羊，带白菜过去，然后再回来把羊带过去。 ?或: 人先带羊过河，然后自己回来，带白菜过去，放下白菜，带着羊回来，然后放下羊，把狼带过去，最后再回转来，带羊过去。 （12分） 1、 二、(满分12分) 在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就下面两种假设，建立一个举重能力和体重之间关系的模型： （1） 假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。6分 （2） 假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关，请给出一个改进模型。6分 解：设体重w （千克）与举重成绩y （千克） （1） 由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比例，所以 y ?I ?S 设h 为个人身高，又横截面积正比于身高的平方，则S ? h 2 再体重正比于身高的三次方，则w ? h 3 （6分） ( 12分) 14分) 某学校规定，运筹学专业的学生毕业时必须至少学

数学建模竞赛C题解答

数学建模竞赛C题解答

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2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛C 题解答 问题1：如图1，设P 的坐标为 (x , y )， (x ≥ 0，y ≥ 0)，共用管道的费用为非共用管道的k 倍，模型可归结为 2222)()()(),(min y b x l y a x ky y x f -+-+-++= 只需考虑21<≤k 的情形（不妨假设b a ≤）。对上述二元费用函数求偏导，令 ()()()()()()()()??? ? ??? =-+----+--==-+----+=0 ,0,22222222 y b x l y b y a x y a k y x f y b x l x l y a x x y x f y x （＊） 结合图1，将（＊）式改写为 ?? ?=+=-k βαβαsin sin 0 cos cos ，易知： 2 4cos cos ,2 sin sin 2 k k -= ===βαβα 所以 2 4tan tan k k -= =βα，故经过AP 和BP 的直线方程分别为： x k k a y 2 4-- =- ① ()l x k k b y --= -24 ② 联立①、②解方程组得交点()()?? ? ???--+= ??? ?????--- =2 2 421,421k kl b a y a b k k l x

因为 x ≥ 0，y ≥ 0，所以 l 应满足： ()a b k k l --≥ 2 4 且()a b k k l +-≤2 4 （a ）当 )(42 a b k k l --≤ 时，此时交点在y 轴上，将0=x 代入①式，可得),0(a P =，即交点P 与A 点重合（如图2）。 ka l a b f ++-=22min )( (b) 当)(4)(42 2 a b k k l a b k k +-< <--时，交点在梯形内（如图1） 。??? ? ? ?--+---=)4(21),(24222k kl b a a b k k l P ， 因为 2 42cos cos cos k l l x l x BP AP -==-+= +α βα，所以模型简化为： 2 42),(min k l ky y x f -+ =， () l k k b a f 2min 4)(2 1 -++= (c) 当)(42 a b k k l +-≥ 时，此时交点在x 轴上，即无共用管线的情形（如图3） 。

数学建模及全国历年竞赛题目

数学建模及全国历年竞赛题目 (2010-09-28 21:58:01) 标签： 分类：专业教学 数学建模 应用数学模型 教育 一、数学建模的涵 （一）数学建模的概念 数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。使用数学语言描述的事物就称为数学模型，这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。（二）应用数学模型 应用数学去解决各类实际问题，把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构。通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。需要诸如数理统计、最优化、图论、微分方程、计算方法、神经网络、层次分析法、模糊数学，数学软件包如 Mathematica,Matlab,Lingo,Spss,Mapple的使用，甚至排版软件等知识的基础。

（三）数学建模的特点 数学建模具有难度大、涉及面广、形式灵活，对教师和学生要求高等特点；数学建模的教学本身是一个不断探索、不断创新、不断完善和提高的过程。（四）数学建模的指导思想 数学建模的指导思想就是：以实验室为基础、以学生为中心、以问题为主线、以培养能力为目标来组织教学工作。 （五）数学建模的意义 数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领械广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径。通过教学使学生了解利用数学理论和方法去分析和解决问题的全过程，提高他们分析问题和解决问题的能力；提高他们学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力，使他们在以后的工作中能经常性地想到用数学去解决问题，提高他们尽量利用计算机软件及当代高新科技成果的意识，能将数学、计算机有机地结合起来去解决实际问题。 1.培养创新意识和创造能力； 2.训练快速获取信息和资料的能力； 3.锻炼快速了解和掌握新知识的技能； 4.培养团队合作意识和团队合作精神； 5.增强写作技能和排版技术；

最新数学建模习题答案资料

数学建模部分课后习题解答 中国地质大学 能源学院 华文静 1.在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？ 解： 模型假设 （1） 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形 （2） 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况）， 即从数学角度来看，地面是连续曲面。这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件 （3） 椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。为了保证这一点，要求对于椅脚的间 距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的。因为在地面上椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），此时三只脚是无法同时着地的。 模型建立 在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的。于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。 注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地。把长方形绕它的对称中心旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。 设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线AC 所在的直线为x 轴，对称中心O 为原点，建立平面直角坐标系。椅子绕O 点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD 转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角）0（πθθ≤≤表示出椅子绕点O 旋转θ后的位置。 其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数。 由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数，而由假设（3）可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0。因此，只需引入两个距离函数即可。考虑到长方形ABCD 是对称中心图形，绕其对称中心O 沿逆时针方向旋转180度后，长方形位置不变，但A,C 和B,D 对换了。因此，记A ，B 两脚与地面竖直距离之和为)(θf ，C,D 两脚之和为 )(θg ，其中[]πθ，0∈，使得)()(00θθg f =成立。 模型求解 如果0)0()0(== g f ，那么结论成立。

全国数学建模大赛题目

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 A题储油罐的变位识别与罐容表标定 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。 许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。 请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。 （2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。 附件1：小椭圆储油罐的实验数据 附件2：实际储油罐的检测数据 地平线油位探针

全国数学建模大赛B题

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名)：1. 2. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 创意平板折叠桌 摘要 折叠与伸展也已成为家具设计行业普遍应用的一个基本设计理念，占用空间面积小而且家具的功能又更加多样化自然会受到人们的欢迎，着看创意桌子把一整块板分成若干木条，组合在一起，也可以变成很有创意的桌子，就像是变魔术一样，真的是创意无法想象。这样的一个有创意的家具给我们的生活带来了无限的乐趣， 问题一： 问题二：运用几何模型，对折叠桌平铺和完全展开后两个状态进行分析，得到各个变量之间的几何关系，因为折叠桌的设计要考虑产品的稳固性、加工方便、用材最少等方面的因素，但产品稳固性的权重选大于其它方面，所以优先满足产品的稳固性最好的情况，在已知折叠桌高度和圆形桌面直径的条件下，经过实际分析得到，当折叠桌完全展开后，四个最外侧着地的桌腿构成的正方形与桌面圆形外切时，稳固性最大，由此可以通过几何关系求得最外侧桌腿的长度l，进而得到平板的最有尺寸的长度x，再通过考虑对折叠桌进行受力分析，得到钢筋的位置，距离桌脚的距离M， L，问题二通过Matlab和C语言进行编程，得到每根桌腿到中心的距离r和每根桌腿的开槽长度 得以解决，结果见表1。 问题三： 关键字：几何模型 一、问题重述 某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板（如图1-2所示）。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度（见图3）。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。 试建立数学模型讨论下列问题： 1.给定长方形平板尺寸为120cm×50cm×3cm，每根木条宽 2.5cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线（图4中红色曲线）的数学描述。

东三省数学建模竞赛试题

A题：垃圾分类处理与清运方案设计 垃圾分类化收集与处理是有利于减少垃圾的产生，有益于环境保护，同时也有利于资源回收与再利用的城市绿色工程。在发达国家普遍实现了垃圾分类化，随着国民经济发展与城市化进程加快，我国大城市的垃圾分类化已经提到日程上来。2010年5月国家发改委、住房和城乡建设部、环境保护部、农业部联合印发了《关于组织开展城市餐厨废弃物资源化利用和无害化处理试点工作的通知》，并且在北京、上海、重庆和深圳都取得一定成果，但是许多问题仍然是垃圾分类化进程中需要深入研究的。 在深圳，垃圾分为四类：橱余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他不可回收垃圾，这种分类顾名思义不难理解。其中对于居民垃圾，基本的分类处理流程如下： 在垃圾分类收集与处理中，不同类的垃圾有不同的处理方式，简述如下：1）橱余垃圾可以使用脱水干燥处理装置，处理后的干物质运送饲料加工厂做原料。不同处理规模的设备成本和运行成本（分大型和小型）见附录1说明。

2）可回收垃圾将收集后分类再利用。 3）有害垃圾，运送到固废处理中心集中处理。 4）其他不可回收垃圾将运送到填埋场或焚烧场处理。 所有垃圾将从小区运送到附近的转运站，再运送到少数几个垃圾处理中心。显然，1）和2）两项中，经过处理，回收和利用，产生经济效益，而3）和4）只有消耗处理费用，不产生经济效益。 本项研究课题旨在为深圳市的垃圾分类化进程作出贡献。为此请你们运用数学建模方法对深圳市南山区的分类化垃圾的实现做一些研究，具体的研究目标是： 1）假定现有垃圾转运站规模与位置不变条件下，给出大、小型设备（橱余垃圾）的分布设计，同时在目前的运输装备条件下给出清运路线的具体方案。以期达到最佳经济效益和环保效果。 2）假设转运站允许重新设计，请为问题1）的目标重新设计。 仅仅为了查询方便，在题目附录2所指出的网页中，给出了深圳市南山区所有小区的相关资料，同时给出了现有垃圾处理的数据和转运站的位置。其他所需数据资料自行解决。 附录1 1）大型厨余垃圾处理设备（如南山餐厨垃圾综合利用项目，处理能力为200吨/日，投资额约为4500万元，运行成本为150元/吨。小型餐厨垃圾处理机，处理能力为200-300公斤/日，投资额约为28万元，运行成本为200元/吨。橱余垃圾处理后产物价格在1000-1500元/吨。 2）四类垃圾的平均比例 橱余垃圾：可回收垃圾：有害垃圾：其他不可回收垃圾比例约为4：2：1：3。可回收垃圾划分为纸类、塑料、玻璃、金属四大类，大概比例分别是：55%、35%、6%、4%。纸类、塑料、玻璃、金属四类的废品回收价格是每公斤：1元、2.5元、0.5元、2.5元。 3）南山区的垃圾清运设备情况（主要是车辆数目和载重）。

数学建模期末考试2018A试的题目与答案

华南农业大学期末考试试卷（A卷） 2012-2013学年第二学期考试科目：数学建模 考试类型：（闭卷）考试考试时间：120 分钟 学号姓名年级专业 一、(满分12分)一人摆渡希望用一条船将一只狼.一只羊.一篮白菜从河岸一边带到河岸对面.由于船的限制.一次只能带一样东西过河.绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起.怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1.2.3.4.当i在此岸时记x i = 1.否则为0；此岸的状态下用s = （x1.x2.x3.x4）表示。该问题中决策为乘船方案.记为d = (u1, u2, u3, u4).当i 在船上时记u i = 1.否则记u i = 0。 (1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分） (2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分） (3) 写出该问题的状态转移率。（3分） (4) 利用图解法给出渡河方案. （3分） 解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状（3分） (2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分） (3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分） (4)方法：人先带羊.然后回来.带狼过河.然后把羊带回来.放下羊.带白菜过去.然后再回来把羊带过去。 或: 人先带羊过河.然后自己回来.带白菜过去.放下白菜.带着羊回来.然后放下羊.把狼带过去.最后再回转来.带羊过去。（12分） . .

最新数学建模竞赛答案汇总

2010年数学建模竞赛 答案

输油管道的铺设设计 符号约定 m 炼油厂A 到铁路线L 的距离 n 炼油厂B 到铁路线L 的距离 b 炼油厂A 、B 间水平距离 F 输送管道的总费用 f 铺设管道的附加费用 W 铺设费用的权重系数 1k A 厂铺设非共用管线每千米的费用 2k B 厂铺设非共用管线每千米的费用 3k 共用管线每千米的费用 问题一分析与模型建立 最短路径的存在性论证 如图4.1，假设C 点为在铁路线上设计增建的车站，由费尔马问题的结论，在ABC ?中，存在费尔马点P ，使点P 与ABC ?三个顶点距离之和小于三角形二边之和，即有 PA+PB+PC∠ACB 时，费尔马点P 与C 点重合。 为此有如下结论：

①当0120<∠ACB 时，铺设公用管道PC 的输送费用比不铺设公用管道费用低； ②当0120>∠ACB 时，不需要铺设公用管道，即公用管道PC =0。 问题一分析与模型建立 如图4.1，以炼油厂A 、B 间铁路线所在直线为x 轴，以过炼油厂A 且垂直于铁路线L 直线为y 轴，建立平面直角坐标系。设 A(0,m), B(b,n),P(r,t)，并设非公用管道的费用为每千米1个单位，公用管道的费用为每千米k 个单位（下同），根据实际意义易知21<≤k 。 根据参考文献[1]，点P 不可能在A 的上方，故m t ≤≤0。 易得，A 点关于过点P 平行于x 轴的直线1L 的对称点'A （0，2t-m ）。 由费尔马点的应用及平面几何对称性有 111F PB PA k PC BA k PC '=?+?+?>?+? 为此，得到铺设管道的最优模型 min 1F BA k PC '=?+? 4-1 问题一模型求解 对模型分两种管道费用相同与不同两种情形研究，并根据点A 、B 的坐标不同的取值，进行A 、B 不同位置时管道铺设设计。 1公用管道与非公用管道费用不同，即k <1时模型的求解 已知A 点关于1l 对称点'A （0，2t-m ） ()F t tk =

2020全国大学生数学建模竞赛试题

A题炉温曲线 在集成电路板等电子产品生产中，需要将安装有各种电子元件的印刷电路板放置在回焊炉中，通过加热，将电子元件自动焊接到电路板上。在这个生产过程中，让回焊炉的各部分保持工艺要求的温度，对产品质量至关重要。目前，这方面的许多工作是通过实验测试来进行控制和调整的。本题旨在通过机理模型来进行分析研究。 回焊炉内部设置若干个小温区，它们从功能上可分成4个大温区：预热区、恒温区、回流区、冷却区（如图1所示）。电路板两侧搭在传送带上匀速进入炉内进行加热焊接。 图1 回焊炉截面示意图 某回焊炉内有11个小温区及炉前区域和炉后区域（如图1），每个小温区长度为30.5 cm，相邻小温区之间有5 cm的间隙，炉前区域和炉后区域长度均为25 cm。 回焊炉启动后，炉内空气温度会在短时间内达到稳定，此后，回焊炉方可进行焊接工作。炉前区域、炉后区域以及小温区之间的间隙不做特殊的温度控制，其温度与相邻温区的温度有关，各温区边界附近的温度也可能受到相邻温区温度的影响。另外，生产车间的温度保持在25oC。 在设定各温区的温度和传送带的过炉速度后，可以通过温度传感器测试某些位置上焊接区域中心的温度，称之为炉温曲线（即焊接区域中心温度曲线）。附件是某次实验中炉温曲线的数据，各温区设定的温度分别为175oC（小温区1~5）、195oC（小温区6）、235oC（小温区7）、255oC（小温区8~9）及25oC（小温区10~11）；传送带的过炉速度为70 cm/min；焊接区域的厚度为0.15 mm。温度传感器在焊接区域中心的温度达到30oC时开始工作，电路板进入回焊炉开始计时。 实际生产时可以通过调节各温区的设定温度和传送带的过炉速度来控制产品质量。在上述实验设定温度的基础上，各小温区设定温度可以进行oC范围内的调整。调整时要求小温区1~5中的温度保持一致，小温区8~9中的温度保持一致，小温区10~11中的温度保持25oC。传送带的过炉速度调节范围为65~100 cm/min。 在回焊炉电路板焊接生产中，炉温曲线应满足一定的要求，称为制程界限（见表1）。 表1 制程界限 界限名称 最低值 最高值

数学建模课程及答案.

《数学建模课程》练习题一 一、填空题 1. 设开始时的人口数为0x ，时刻t 的人口数为)(t x ，若人口增长率是常数r ，那麽人口增长问题的马尔萨斯模型应为 。 2. 设某种商品的需求量函数是,1200)(25)(+-=t p t Q 而供给量函数是 3600)1(35)(--=t p t G ，其中)(t p 为该商品的价格函数，那麽该商品的均衡价格 是 。 3. 某服装店经营的某种服装平均每天卖出110件，进货一次的手续费为200元，存储费用为每件0.01元/天，店主不希望出现缺货现象，则最优进货周期与最优进货量分别为 。 4. 一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是 . 5.设开始时的人口数为0x ，时刻t 的人口数为)(t x ，若允许的最大人口数为m x ，人口增长率由sx r x r -=)(表示，则人口增长问题的罗捷斯蒂克模型为 . 6. 在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量N 将和下列因素有关： （1）参加展览会的人数n ； （2）气温T 超过C 10； （3）冰淇淋的售价p . 由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为 . 7、若银行的年利率是x %，则需要 时间，存入的钱才可翻番. 若每个小长方形街路的 8. 如图是一个邮路，邮递员从邮局A 出发走遍所有长方形街路后再返回邮局. 边长横向均为1km ，纵向均为2km ，则他至少要走 km.. A 9. 设某种新产品的社会需求量为无限，开始时的生产量为100件，且设产品生产的增长率控制在0.1，t 时刻产品量为)(t x ，则)(t x = . 10. 商店以10元/件的进价购进衬衫，若衬衫的需求量模型是802,Q p p =-是销售单价（元/件），为获得最大利润，商店的出售价是 . 二、分析判断题 1．从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题，需要哪些数据资料（至少列举3个），要做些甚麽建模的具体的前期工作（至少列举3个） ，建立何种数学模型：一座高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决。

数学建模b题标准答案

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：北京大学 参赛队员(打印并签名) ：1. 姚胜献 2. 许锦敏 3. 刘迪初 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：刘业辉 日期： 2011 年 9 月 12日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 交巡警服务平台的设置与调度 摘要 本文通过建立整数规划模型，解决了分配各平台管辖范围、调度警务资源以及合理设置交巡警服务平台这三个方面的问题；通过建立线性加权评价模型定量评价了某市现有交巡警服务平台设置方案的合理性，并根据各个区对服务平台需求量的不同，提出了重新分配全市警力资源的解决方案。在计算交巡警服务平台到各个路口节点的路程时，使用了图论里的floyd算法。 针对问题一的第一个子问题，首先假设交巡警服务平台对某个路口节点的覆盖度是二元的，引入决策变量，建立了0-1整数规划模型。交巡警出警应体现时间的紧迫性，所以选择平均每个突发事件的出警时间最短作为目标函数，运用基于MATLAB的模拟退火算法进行求解，给出了中心城区A的20个服务平台的管辖范围，求得平均每个案件的出警时间为1.013分钟。 针对问题一的第二个子问题，为了实现对中心城区A的13个交通要道的快速全封锁，以最短的封锁时间为目标，建立了0-1整数规划模型，利用lingo软件编程求解，给出了该区交巡警服务平台警力合理的调度方案，并求得对13个交通要道实现全封锁最短需要8.02分钟。 问题一的第三个子问题是交巡警服务平台的选址问题。考虑到建设新的服务平台需要投入更多的成本和警务资源，还需平衡各个服务平台的工作量。因此，以增加最少的服务平台数和服务平台工作量方差最小为目标，采用集合覆盖理论，建立了双目标0-1整数规划模型，用基于MATLAB的模拟退火算法求解出增加的服务平台数为4个，新增 的服务平台具体位置为A 28,A 40 ,A 48 ,A 88 ，并得到各个服务平台的工作强度方差为2.28。 针对问题二的第一个子问题，通过建立线性加权评价模型定量评价了该市现有交巡警服务平台设置方案的合理性，结果发现全市服务平台覆盖率较低且各个区的工作量不均衡，得出全市服务平台的布局存在明显的不合理的结论。并确定各区域人口密度、各区域公路总长度以及各区域平均每天总的发案率为各区域对交巡警需求的指标，然后根据各个区对服务平台需求量的不同，提出了较为合理的分配全市警力资源的解决方案。 对于问题二的第二个子问题，以围堵范围最小和调动警力最少的原则，通过分析案发后嫌疑犯可能到达的位置，给出了围堵方案。 关键词：交巡警服务平台 0-1整数规划模拟退火法

数学建模知识竞赛题库

数学建模知识竞赛题库 1.请问计算机中的二进制源于我国古代的哪部经典? D A.《墨经》 B.《诗经》 C.《周书》 D.《周易》 2.世界上面积最大的高原是？D A.青藏高原 B.帕米尔高原 C.黄土高原 D.巴西高原 3.我国海洋国土面积约有多少万平方公里? B A.200 B.300 C.280 D.340 4.世界上面值最高的邮票是匈牙利五百亿彭哥，它的图案是B A.猫 B.飞鸽 C.海鸥 D.鹰 5. 龙虾是我们的一种美食、你知道它体内的血是什么颜色的吗？B A.红色 B.蓝色 C.灰色 D.绿色 6.MATLAB使用三维向量[R G B]来表示一种颜色，则黑色为（D ） A. [1 0 1] B. [1 1 1] C. [0 0 1] D. [0 0 0] 7.秦始皇之后，有几个朝代对长城进行了修葺？ A A.7个 B.8个 C.9个 D.10个 8.中国历史上历时最长的朝代是？A A.周朝 B.汉朝 C.唐朝 D.宋朝 9我国第一个获得世界冠军的是谁？C A 吴传玉 B 郑凤荣 C 荣国团 D 陈镜开 10.我国最早在奥运会上获得金牌的是哪位运动员？B A.李宁 B.许海峰 C.高凤莲 D.吴佳怩

11.围棋共有多少个棋子？B A.360 B.361 C.362 D.365 12下列属于物理模型的是:A A水箱中的舰艇 B分子结构图 C火箭模型 D电路图 13名言：生命在于运动是谁说的？C A.车尔尼夫斯基 B.普希金 C.伏尔泰 D.契诃夫 14.饱食后不宜剧烈运动是因为B A.会得阑尾炎 B.有障消化 C.导致神经衰弱 D.呕吐 15、MATLAB软件中，把二维矩阵按一维方式寻址时的寻址访问是按（B）优先的。 A.行 B.列 C.对角线 D.左上角16红军长征中，哪次战役最突出反应毛泽东的军事思想和指挥才?A A.四渡赤水B.抢渡大渡河C.飞夺泸定桥D.直罗镇战役 17色盲患者最普遍的不易分辨的颜色是什么？A A.红绿 B.蓝绿 C.红蓝 D.绿蓝 18下列哪种症状是没有理由遗传的？ A.精神分裂症 B.近视 C.糖尿病 D.口吃 19下面哪个变量是正无穷大变量？（A ）

数学建模课后答案

第一章 4.在1、3节“椅子能在不平的地面上放稳不”的假设条件中,将四脚的连线呈正方形改为长方形,其余不变。试构造模型并求解。 答:相邻两椅脚与地面距离之与分别定义为)()(a g a f 和。f 与g 都就是连续函数。椅子在任何位置至少有三只脚着地,所以对于任意的a ,)()(a g a f 和中至少有一个不为零。不妨设0)0(,0)0(g >=f 。当椅子旋转90°后,对角线互换,0π/2)(,0)π/2(>=g f 。这样,改变椅子的位置使四只脚同时着地。就归结为证明如下的数学命题: 已 知 a a g a f 是和)()(的连续函数,对任意 0)π/2()0(,0)()(,===?f g a g a f a 且,0)π/2(,0)0(>>g f 。证明存在0a ,使0)()(00==a g a f 证:令0)π/2(0)0(),()()(<>-=h h a g a f a h 和则, 由g f 和的连续性知h 也就是连续函数。 根据连续函数的基本性质, 必存在0a (0＜0a ＜π/2)使0)(0=a h ,即0)()(00==a g a f 因为0)()(00=?a g a f ,所以0)()(00==a g a f

8 第二章

10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘,给出几种简便有效的排列方法,使加工出尽可能多的圆盘。

第三章 5.根据最优定价模型 考虑成本随着销售量的增加而减少,则设 kx q x q -=0)( (1)k 就是产量增加一个单位时成本的降低 , 销售量x 与价格p 呈线性关系0,,>-=b a bp a x (2) 收入等于销售量乘以价格p :px x f =)( (3) 利润)()()(x q x f x r -= (4) 将(1)(2)(3)代入(4)求出 ka q kbp pa bp x r --++-=02)( 当k q b a ,,,0给定后容易求出使利润达到最大的定价*p 为 b a kb ka q p 2220*+--=

高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题参考答案

交巡警服务平台的设置与调度优化分析 摘要 本文以实现警察的刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能为宗旨，利用有限的警务资源，根据城市的实际情况与需求合理地设置了交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围及调度警务资源。并分别对题目的各问，作了合理的解答。 问题一： （1）、根据题目所给数据，确定各节点之间的相邻关系和距离，利用Floyd算法及matlab编程求出两点之间的最短距离，使其尽量满足能在3分钟内有交巡警平台警力到达案发结点的原则，节点去选择平台，把节点分配给离节点距离最近的平台管辖，据此，我们得到了平台的管辖区域划分。 （2）、我们对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁的问题，我们认定在所有调度方案中，某种方案中耗时最长的的围堵时间最短即最佳方案，利用0-1变量确定平台的去向，并利用线性规划知识来求解指派问题，求得了最优的调度方案。 （3）、在确定增添平台的个数和具体位置的问题中，我们将尽量保证每个节点都有一个平台可以在三分钟内到达作为主要原则来求解。我们先找出到达每个平台的时间都超过三分钟的节点，并尝试在这些节点中选取若干个作为新的平台，求出合理的添加方案。 问题二： （1）、按照设置交巡警服务平台的原则和任务，分析现有的服务平台的设置是否合理，我们以各区覆盖率作为服务平台分布合不合理的评价标准，得到C、D、E、F区域平台设置不合理。并尝试一些新的设置方案使得设置更为合理，最后以覆盖率最低的E区为例，使用一种修改方案得到一个比原方案更合理的交巡警服务平台的设置方案。 （2）、追捕问题要求在最快的时间内抓到围堵罪犯，在罪犯和警察的行动速度一致的前提假设下，我们先设定一个具体较小的时间，编写程序检验在这个时间内是否可以成功抓捕罪犯，不行则以微小时间间隔增加时间，当第一次成功围堵时，这个时间即为最佳围堵方案。 关健字：MATLAB软件，0-1规划，最短路，Floyd算法，指派问题 一、问题重述 “有困难找警察”，是家喻户晓的一句流行语。警察肩负着刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能。为了更有效地贯彻实施这些职能，需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相同。由于警务资源是有限的，如何根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题。 试就某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型分析研究下面的问题：

数学建模课后习题答案

第一章 课后习题6. 利用1.5节药物中毒施救模型确定对于孩子及成人服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量。 解：假设病人服用氨茶碱的总剂量为a ，由书中已建立的模型和假设得出肠胃中的药量为： )()0(mg M x = 由于肠胃中药物向血液系统的转移率与药量)(t x 成正比，比例系数0>λ，得到微分方程 M x x dt dx =-=)0(,λ（1） 原模型已假设0=t 时血液中药量无药物，则0)0(=y ，)(t y 的增长速度为x λ。由于治疗而减少的速度与)(t y 本身成正比，比例系数0>μ，所以得到方程： 0)0(,=-=y y x dt dy μλ（2） 方程（1）可转换为：t Me t x λ-=)( 带入方程（2）可得：)()(t t e e M t y λμμ λλ ----= 将01386=λ和1155.0=μ带入以上两方程，得： t Me t x 1386.0)(-= )(6)(13866.01155.0---=e e M t y t 针对孩子求解，得： 严重中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 87.494=； 致命中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 8.4694= 针对成人求解： 严重中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 83.945= 致命时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 74.1987= 课后习题7. 对于1.5节的模型，如果采用的是体外血液透析的办法，求解药物中毒施救模型的血液用药量的变化并作图。

解：已知血液透析法是自身排除率的6倍，所以639.06==μu t e t x λ-=1100)(，x 为胃肠道中的药量，1386.0=λ )(6600)(t t e e t y λμ---= 1386.0,639.0,5.236)2(,1100,2,====≥-=-λλλu z e x t uz x dt dz t 解得：()2,274.112275693.01386.0≥+=--t e e t z t t 用matlab 画图: 图中绿色线条代表采用体外血液透析血液中药物浓度的变化情况。 从图中可以看出，采取血液透析时血液中药物浓度就开始下降。T=2时，血液中药物浓度最高，为236.5；当z=200时，t=2.8731，血液透析0.8731小时后就开始解毒。 第二章 1.用 2.4节实物交换模型中介绍的无差别曲线的概念，讨论以下的雇员和雇主之间的关系： 1）以雇员一天的工作时间和工资分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差别曲线族的示意图，解释曲线为什么是那种形状； 2）如果雇主付计时费，对不同的工资率画出计时工资线族，根据雇员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族，讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议； 3）雇员和雇主已经达成了协议，如果雇主想使用雇员的工作时间增加到t 2，他有两种

2016年全国也就数学建模竞赛C题

2016年全国也就数学建模竞赛C题 基于无线通信基站的室内三维定位问题 1背景介绍 随着无线通信网络和移动互联网的蓬勃发展，提供基于地理位置信息的服务（Location Based Service，简称LBS）已经成为最具市场前景和发展潜力的业务之一。从传统的GPS导航，到大众点评、微信等基于地理位置的消费信息服务和社交软件，实现其功能的基础就是要通过手机、导航仪等终端设备收发信号，来获得距离、角度等测量信息，并利用定位算法将这些测量信息转换成坐标信息。 基于无线移动通信网络的定位是以获取用户手持终端（包括手机或者平板等设备）的位置为目标。而达成这一目标的手段是通过测量无线电信号的强度、传播时间、到达角等物理指标，并将其转化成终端与基站之间的距离、角度等信息，最终利用定位算法将距离、角度等信息转化成终端的坐标信息。 虽然商用GPS已经随着智能手机的发展而得到了广泛的应用，但是，在诸如室内、地下、高楼林立的市区等诸多场景中，GPS定位性能较差。由于在覆盖广度和深度上，基于无线网络基站的定位系统相比GPS存在优势，因此，越来越得到运营商和新兴创业公司的重视。 此外，对于大数据感兴趣的IT公司，通过统计大规模匿名用户的连续地理位置信息，可以获得用户的移动轨迹，以及在相应轨迹上的APP流量使用情况，甚至在特殊位置搜索和关注的关键词等信息。因此，诸如Google、百度等搜索引擎公司也开始提供室内定位和室内地图导航的服务。这类服务，一方面可以弥补传统的GPS在室内定位性能较差，且不能分辨用户所在楼层等问题，另一方面，也为商场、博物馆等应用场景提供了为用户提供基于室内实时地理位置信息服务的可能。 目前从事室内定位和导航服务的方法，大多基于室内密集分布的WiFi设备与手机之间的通信方式。这类方法存在两个明显的劣势：首先，从技术上，WiFi设备的覆盖范围有限，并且WiFi 设备收发信号所在的频段容易受到干扰；其次，从业务模型上看，用户对于接入陌生WiFi设备的戒备心理，以及WiFi设备的投资如何回收等，都存在较大的商业模式上的不确定性。 与之相对的，使用基于运营商无线通信基站的方式对手机进行定位，则可以规避上述问题。商用基站的覆盖范围、信号质量均优于WiFi，而且，用户也期望自己的手持终端能够随时保持对基站设备的接入。同时，运营商推进定位服务的盈利模式清晰，在基础的数据服务之外，还可以通过为用户提供增值服务而促进运营商的业务发展。总之，基于无线通信基站的定位技术有着广阔的应用前景和巨大的商业价值。 手持终端设备如何基于基站的测量信息，计算或确定终端在三维空间中的位置坐标，也就是三维定位问题，被认为是现代商用通信网络中对于定位系统真正具有技术难度的挑战。而高精度三维定位也预期能为客户提供更大的价值，在智能仓储、智能工厂、固定资产追踪等对于三维坐标信息敏感的垂直行业，以及传统运营商感兴趣的商场、办公楼中基于位置信息的室内导航、人群流量分析，以及基于精确三维地理位置信息的业务推送等服务提供基础性技术。 从技术角度来看，现代商用通信网络对于三维定位的需求，是使用尽可能少的基站完成对终端设备的定位、算法收敛速度快、对于干扰和噪声具有鲁棒性等优点。 相比于GPS等商用卫星定位系统，基于通信基站的定位问题，具有如下特殊性： 首先，通信基站的目标区域是GPS等卫星定位系统无法实现定位的场景。在高楼林立的城区，建筑物内部、地下停车场等区域，GPS等系统是无法满足定位需求的。而这些应用场景基站、

全国研究生数学建模比赛E题解答

参赛密码 （由组委会填写） 第十二届“中关村青联杯”全国研究生 数学建模竞赛 学校 参赛队号 队员姓名 参赛密码 （由组委会填写） 第十二届“中关村青联杯”全国研究生 数学建模竞赛 题目数控加工刀具运动的优化控制 摘要：

本文基于计算机数控系统的工作原理，建立了刀具运动的优化控制模型，目的在于寻求机床刀具在单个坐标轴方向上的运动合理控制，从而增强机床运行的平稳性。主要运用了S型曲线的加减速控制方法，建立了通用模型，该模型可通过已经设定的刀具加工路径，得出机床运动过程中任意一点的速度，从而验证所设定的符合加减速控制原理，得到最优的数控加工刀具的路径。在该通用模型中，机床控制的加速度和速度都是连续变化的，因此通过渐变控制使机床运动按S型曲线式平稳变化，保证了速度的光顺及加速度的连续，提高了机床运动的平稳性，运用该模型，可以帮助寻找最优刀具路径，从而实现数控刀具加工的优化。 本论文的创新点在于模型适用范围广，突破了速度范围和加速度的限制不仅适用于S型曲线七阶段的加减速，而且适用于平稳性更强的五阶段和三阶段的S型曲线加减速控制路径。 论文中主要采用了力学分析建模、直线插补法建模和最优化方法建模。在直线插补模型中，不论运行轨迹是直线还是曲线，刀具的运行都是按阶梯形路径行走，用步长乘以步数即可求得刀具的运行长度。并且每一步长的增量均为分辨率???，并且每个增量的长度均为分辨率的整数倍。根据此原理，采用直线插补,, x y z 法，建模可画出刀具沿轨迹的路径变化，在模型中输入刀具起点坐标和终点坐标即可求得刀具沿路径运行的长度。 对于问题一：根据问题二的相关提示，我们设定加工线型分别为正方形和八边形即转角分别为90°和135°，然后根据S型曲线的减加速控制方法，建立了力学分析模型，再运用牛顿第二定理和受力分析可得出速度变化特征。分别对刀具在拐角为90°和135°处进行受力分析得到结果：转角为90°时的合力F2>0.765F2(135°