导数应用举例四(新授课)

导数综合应用举例（四）

1．（07江西）设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为

A ．－ 1 5

B ．0

C ． 1 5

D ．5 2．（07江西文）设p ：f (x )＝x 2＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥ 4 3

，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

3．（07辽宁理）已知f (x )与g (x )是定义在R 上的连续函数，如果f (x )与g (x )仅当x ＝0时的函数值为0，

且f (x )≥g (x )，那么下列情形不可能．．．

出现的是 A ．0是f (x )的极大值，也是g (x )的极大值

B ．0是f (x )的极小值，也是g (x )的极小值

C ．0是f (x )的极大值，但不是g (x )的极值

D ．0是f (x )的极小值，但不是g (x )的极值

4．（07江西）设p ：f (x )＝e x ＋ln x ＋2x 2＋mx ＋1在(0，＋∞)内单调递增，q ：m ≥－5，则p 是q 的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

5．（07山东文）当x ∈(1，2)时，不等式x 2＋mx ＋4＜0恒成立，则m 的取值范围是________．

6．（07浙江文）函数y ＝x 2

x 2＋1

（x ∈R ）的值域是_____________． 7．（07浙江文）曲线y ＝x 3－2x 2－4x ＋2在点(1，－3)处的切线方程是_______________．

8．（07陕西理）f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf '(x )＋f (x )≤0，对任意正数a 、b ，若

a ＜

b ，则必有

A ．bf (b )≤af (a ) B.af (b )≤bf (a ) C ．af (a )≤bf (b ) D.bf (a )≤af (b )

9．（07四川文）已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于

A ．3

B ．4

C ．3 2

D ．4 2

10．（07浙江）设f (x )＝???x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1，

g (x )是二次函数，若f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则g (x )的值域是 A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) B ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)

C ．[0，＋∞)

D ．[1，＋∞)

11．（07四川文）设函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c （a ≠0）为奇函数，其图象在点(1，f (1))处的切线与直线x －6y

－7＝0垂直，导函数f '(x )的最小值为－12．

（Ⅰ）求a 、b 、c 的值；

（Ⅱ）求函数f (x )的单调递增区间，并求函数f (x )在[－1，3]上的最大值和最小值．

12．（07安徽文20）设函数f (x )＝－cos 2x －4t sin x 2cos x 2

＋4t 3＋t 2－3t ＋4，x ∈R ，其中|t |≤1，将f (x )的最小值记为g (t )．

（Ⅰ）求g (t )的表达式；

（Ⅱ）讨论g (t )在区间(－1，1)内的单调性并求极值．

13．（07江西）如图，函数y＝2cos(ωx＋θ)（x∈R，0≤θ≤π

2）的图象与y

轴交于点(0，3)，且在该点处切线的斜率为－2．

（Ⅰ）求θ和ω的值；

（Ⅱ）已知点A(π2，0)，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是P A

的中点，当y0＝

3

2，x0∈

[π

2，π

]时，求x

的值．

14．（07安徽18）设a≥0，f(x)＝x－1－ln2x＋2a ln x（x＞0）．

（Ⅰ）令F(x)＝xf (x)，讨论F(x)在(0，＋∞)内的单调性并求极值；

（Ⅱ）求证：当x＞1时，恒有x＞ln2x－2a ln x＋1．

15．（07山东文）设函数f(x)＝ax2＋b ln x，其中ab≠0．

（Ⅰ）证明：当ab＞0时，函数f(x)没有极值点；当ab＜0时，函数f(x)有且只有一个极值点，并求出极值．

17．（07陕西）设函数f(x)＝

e x

x2＋ax＋a

，其中a为实数．

（Ⅰ）若f(x)的定义域为R，求a的取值范围；（Ⅱ）当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单调减区间．

导数应用举例word版

§2—6 导数应用举例 我们知道，函数()x f y =的导数()x f '的一般意义，就是表示函数对自变量的变化率，因此，很多非均匀变化的变化率问题都可以应用导数来研究。在()x f y =具有不同的实际意义时，作为变化率的导数就具有不同的实际意义。 一、 导数在物理上的应用举例 （一） 导数的力学意义 设物体作变速运动的方程为()t s s =，则物体运动的速度()t v 是位移()t s s =对时间t 的变化率，即位移s 对时间t 的一阶导数()()dt ds t s t v = '=；此时，若速度v 仍是时间t 的函数()t v ，我们可以求速度v 对时间t 的导数()t v '，用a 表示，就是()().22dt s d t s t v a =''='=在力 学中，a 称为物体的加速度，也就是说，物体运动的加速度a 是位移s 对时间t 的二阶导数。 例1 某物体的运动方程为() 22 3 102 12秒米取g gt t s - =，求2=t 秒时的速度和加速度。 解： 根据导数的力学意义，得 ()()()()()()()(). 141024242,420242242, 12,62秒米秒米=-=-==-=-=-=''=-='=g a g v g t t s t a gt t t s t v （二）导数的电学意义 设通过某导体截面的电量q 是()t q q =，则通过该导体的电流()t I 是电量()t q q =对时间t 的变化率（单位时间内通过的电量），即电量的一阶导数()().dt dq t q t I ='= 例2 设通过某导体截面的电量()?ω+=t A q sin （库仑），其中?ω,,A 为常数，时间t 的单位为秒，求通过该截面的电流().t I 解： 因为()?ω+=t A q sin ，所以 ()()()[]()?ωω?ω+=' +='=t A t A t q t I cos sin （安培）。 二、 导数在经济工作中的应用举例

导数及其应用概念及公式总结

导数与微积分重要概念及公式总结 1.平均变化率：=??x y 1212) ()(x x x f x f -- 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率 2.导数的概念 从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是: 000 0()()lim lim x x f x x f x y x x ?→?→+?-?=?? 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即 0000 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 3.导数的几何意义： 函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，（其中 00(,())x f x 为切点），即 0000 ()() ()lim x f x x f x f x k x ?→+?-'==? 切线方程为：()()()000x x x f x f y -'=- 4.常用函数的导数： （1）y c = 则'0y = （2）y x =，则'1y = （3）2y x =，则'2y x = （4）1y x = ，则'21y x =- （5）*()()n y f x x n Q ==∈，则'1n y nx -= （6）sin y x =，则'cos y x = （7）cos y x =，则'sin y x =- （8）()x y f x a ==，则'ln (0)x y a a a =?> （9）()x y f x e ==，则'x y e = （10）()log a f x x =，则'1 ()(0,1)ln f x a a x a = >≠

高三数学专题复习：导数及其应用

【考情解读】 导数的概念及其运算是导数应用的基础，这是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查： 一是导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义； 二是导数的应用，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式以及讨论方程的根等，已成为高考热点问题； 三是应用导数解决实际问题． 【知识梳理】 1．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点处的切线的，其切线方程是． 注意：函数在点P0处的切线与函数过点P0的切线的区别：． 2．导数与函数单调性的关系 (1)() '>0是f(x)为增函数的条件． f x 如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0． (2)() '≥0是f(x)为增函数的条件． f x 当函数在某个区间内恒有() '＝0时，则f(x)为常数，函数不具有单调 f x 性． 注意：导数值为0的点是函数在该点取得极值的条件．

3． 函数的极值与最值 (1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题． (2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有 个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有． (3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的 ． 4． 几个易误导数公式及两个常用的运算法则 (1)(sin x )′＝ ； (2)(cos x )′＝ ； (3)(e x )′＝ ； (4)(a x )′＝ (a >0，且a ≠1)； (5)(x a )′＝ ； (6)(log e x )′＝ ； (7)(log a x )′＝ (a >0，且a ≠1)； (8)′＝ ； (9)??????? ? f (x ) g (x )′＝ (g (x )≠0) ．

导数在实际生活中的应用

§1.4导数在实际生活中的应用 目的要求：（1）巩固函数的极值与最值 （2）利用导数解决应用题中有关最值问题 例1．在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如 图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 例2．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料 最省？ 例3．在如图所示的电路中，已知电源的内阻为r ，电动势为ε。外电阻R 为多大时，才能 使电功率最大？最大电功率是多少？ 例4．强度分别为,a b 的两个光源,A B ，它们间的距离为d ，试问：在连接这两个光源的线 段AB 上，何处照度最小？试就8,1,3a b d ===时回答上述问题（照度与光的强度 例()C x ；出售x 单位产品的 ()()x C x -称为利润函数，记为( )P x 。 （+，生产多少单位产品时，边际成本'()C x 最低？ （2）设()5010000C x x =+，产品的单价1000.1p x =-，怎样的定价可使利润最大？ 作业 1．函数3|6|y x x =-，当x ?∈?时，y 的最大值为 （ ） A. 2．已知函数32()f x x bx c =-+，若/()f x ≥3-，且/0()3f x =-，则0x = （ ） .3A - B.3 C.1- D.±1 3．已知函数()(),n f x x m n N *=-∈,且对任意x R ∈，都有//(3)(3)f x f x -=+，则m = ，()f x 的单调性是 。 4．若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调递增函数，则m 的取值范围是 5．若函数3232y x x m =++在[－2，1]上的最大值为92 ，则m = 6．将8分为两正数之和，使其立方和最小，则这两个数分别为 7．已知函数32()f x x px qx =--的图象与x 轴切于点（1，0）处，则()f x 的极大值为 8．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已 知总收益R 与年产量x 的关系是 21400(0400)280000(400) (){x x x x R R x -≤≤>==则总利润最大时，每年生产的产品是 9．若函数4()32f x x x c =-+有最小值38-，则c= 10．已知函数32()23121f x x x x =--++在[],1m 上的最小值为17-，则m = 11．已知函数'()y x f x =的图象如右图所示 (其中'()f x 是函数f(x)的导函数)，下面四个 图象中y=f(x)的图象大 致是( ) 12．已知由长方体的一个顶点引出的三条棱长之和为1最小值和最大值。 13．已知圆柱的表面积为定值S ，求当圆柱的容积V

高考数学讲义导数及其应用.板块五.微积分与定积分的应用.学生版

1．函数定积分： 设函数()y f x =定义在区间[,]a b 上．用分点0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ，把区间[,]a b 分为n 个小区间，其长度依次为10121i i i x x x i n +?=-=-L ，，，，，． 记λ为这些小区间长度的最大值，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0．在每个小区间内任取一点i ξ，作和式1 0()n n i i i I f x ξ-==?∑． y=f (x ) O y x b a n I 的极限叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作()b a f x dx ?，即10 ()lim ()n b i i a i f x dx f x λξ-→==?∑?． 其中()f x 叫做被积函数，a 叫积分下限，b 叫积分上限．()f x dx 叫做被积式．此时称函数()f x 在区间[,]a b 上可积． 2．曲边梯形：曲线与平行于y 轴的直线和x 轴所围成的图形，通常称为曲边梯形． 根据定积分的定义，曲边梯形的面积S 等于其曲边所对应的函数()y f x =在区间[]a b ，上的定积分，即()b a S f x dx =?． 求曲边梯形面积的四个步骤： 第一步：分割．在区间[]a b ， 中插入1n -各分点，将它们等分成n 个小区间[]1i i x x -， ()12i n =L ， ，，，区间[]1i i x x -，的长度1i i i x x x -?=-， 第二步：近似代替，“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯 形面积的近似值． 第三步：求和． 第四步：取极限． 3．求积分与求导数互为逆运算． ()()()b a F x dx F b F a '=-? ，即()F x '从a 到b 的积分等于()F x 在两端点的取值之差． 4．微积分基本定理 如果()()F x f x '=，且()f x 在[,]a b 上可积，则()()()b a f x dx F b F a =-?，其中()F x 叫做()f x 的一个 原函数． 由于[()]()F x c f x '+=，()F x c +也是()f x 的原函数，其中c 为常数． 知识内容 板块五.微积分 与定积分的应用

利用导数解决生活中的优化问题

利用导数解决生活中的优化问题 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。 一．解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 二．利用导数解决优化问题的基本思路： 三、应用举例 例1（体积最大问题）用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 解：设长方体的宽为(m)x ，则长为2(m)x ，高为 181234.53(m)042x h x x -??==-<< ?? ?．故长方体的体积为 22323()2(4.53)96(m )02V x x x x x x ??=-=-<< ??? ． 从而2()181818(1)V x x x x x '=-=-． 令()0V x '=，解得0x =（舍去）或1x =，因此1x =． 当01x <<时，()0V x '>；当312 x <<时，()0V x '<． 故在1x =处()V x 取得极大值，并且这个极大值就是()V x 的最大值． 从而最大体积233 (1)91613(m )V V ==?-?=，此时长方体的长为2m ，高为1.5m ． 答：当长方体的长为2m ，宽为1m ，高为1.5m 时，体积最大，最大体积为33m ． 点评：用导数来解决实际问题时，一般首确定自变量，选定了自变量，要搞清自变量的围，再列出关系式，对关系式进行求导，最后求出最值来。 例2（帐篷设计问题）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥。试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离为多少时，帐

导数及其应用)

导数及其应用 导数的运算 1. 几种常见的函数导数： ①、c '= （c 为常数）； ②、n (x )'= （R n ∈）； ③、)(sin 'x = ；④、)(cos 'x = ； ⑤、x (a )'= ； ⑥、x (e )'= ； ⑦、a (log x )'= ； ⑧、(ln x )'= . 2. 求导数的四则运算法则： ()u v u v '''±=±；v u v u uv '+'=')(；2)(v v u v u v u '-'=' )0(2''' ≠-=??? ??v v u v vu v u 注：① v u ,必须是可导函数. 3. 复合函数的求导法则： )()())((x u f x f x ??'?'=' 或 ' ?'='x u x u y y 一、求曲线的切线（导数几何意义） 导数几何意义： 0()f x '表示函数()y f x =在点(0x ，0()f x )处切线L 的斜率； 函数()y f x =在点(0x ，0()f x )处切线L 方程为000()()()y f x f x x x '-=- 1.曲线21 x y x =-在点()1,1处的切线方程为 ( ) A . 20x y --= B . 20x y +-= C .450x y +-= D . 450x y --= 2.曲线y =x 3－x ＋3在点（1，3）处的切线方程为 ． 变式一： 3.设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为 ( ) A ．4 B ．14- C ．2 D ．12 - 4.已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方 程是 ( ) A .21y x =- B .y x = C .32y x =- D .23y x =-+ 变式二： 5.在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 . 6.设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,令lg n n a x =，则 1299a a a +++的值为 .

导数在实际生活中的应用

导数在实际生活中的应用 导数是近代数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽带，它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野，是研究函数性质、证明不等式、探求函数的极值最值、求曲线的斜率和解决一些物理问题等等的有力工具。 导数知识是学习高等数学的基础，它是从生产技术和自然科学的需要中产生的，同时，又促进了生产技术和自然科学的发展，它不仅在天文、物理、工程领域有着广泛的应用。而且在工农业生产及实际生活中，也经常会遇到如何才能使“选址最佳”“用料最省”“流量最大”“效率最高”等优化问题。这类问题在数学上就是最大值、最小值问题，一般都可以应用导数知识得到解决。接下来就导数在实际生活中的应用略微讨论。 1．导数与函数的极值、最值解读 函数的极值是在局部范围内讨论的问题，是一个局部概念，函数的极值可能不止一个，也可能没有极值。 函数()y f x =在点0x 处可导，则'0()0F x =是0x 是极值点的必要不充分条件，但导数不存在的点也有可能是极值点。 最大值、最小值是函数对整个定义域而言的，是整体范围内讨论的问题，是一个整体性的概念，函数的最大值、最小值最多各有一个。函数最值在极值点处或区间的断点处取得。 2．导数在实际生活中的应用解读 生活中的优化问题：根据实际意义建立好目标函数，体会导数在解决实际问题中的作用。 例1：在边长为60cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？ 思路：设箱底边长为x cm ，则箱高602 x h -=cm ，得箱子容积V 是箱底边长x 的函数：23 2 60()(060)2x x r x x h x -==<<，从求得的结果发现，箱子的高恰好是原正方形边长的

2018年高考数学二轮复习第一部分专题一第五讲导数的应用第五讲导数的应用(一)习题

第五讲 导数的应用(一) 限时规范训练 A 组——高考热点强化练 一、选择题 1．曲线y ＝e x 在点A 处的切线与直线x ＋y ＋3＝0垂直，则点A 的坐标为( ) A ．(－1，e －1 ) B ．(0,1) C ．(1，e) D ．(0,2) 解析：与直线x ＋y ＋3＝0垂直的直线的斜率为1，所以切线的斜率为1，因为y ′＝e x ，所以由y ′＝e x ＝1，解得x ＝0，此时y ＝e 0 ＝1，即点A 的坐标为(0,1)，选B. 答案：B 2．已知函数f (x )＝x 2 ＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )在原点附近的图象大致是( ) 解析：因为f ′(x )＝2x －2sin x ，[f ′(x )]′＝2－2cos x ≥0，所以函数f ′(x )在R 上单调递增，故选A. 答案：A 3．曲线f (x )＝x ln x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 解析：因为f (x )＝x ln x ，所以f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝1，所以曲线f (x )＝x ln x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为π 4 .

答案：B 4．若函数f (x )＝2x 3 －3mx 2 ＋6x 在(2，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2] C.? ????－∞，52 D.? ????－∞，52 解析：因为f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6，当x ∈(2，＋∞)时，令f ′(x )≥0，即6x 2 －6mx ＋6≥0，则m ≤x ＋1x ，又因为y ＝x ＋1x 在(2，＋∞)上为增函数，故当x ∈(2，＋∞)时，x ＋1x >52，故m ≤5 2，故选D. 答案：D 5．函数f (x )＝12x 2 －ln x 的最小值为( ) A.12 B ．1 C ．0 D ．不存在 解析：f ′(x )＝x －1x ＝x 2 －1 x ，且x >0.令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得00， －2＋3＝－2b 3a ，－2×3＝c 3a ， f 3＝27a ＋9b ＋3c －34＝－115， 解得a ＝2. 答案：C 7．(2017·沈阳模拟)已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (1)＝0，当x >0时， xf ′(x )<2f (x )，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(0,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

导数及其应用.知识框架

要求层次重难点 导数及其应用导数概念及其 几何意义 导数的概念A了解导数概念的实际背景； 理解导数的几何意义． 导数的几何意义C 导数的运算 根据导数定义求函数y c =， y x =，2 y x =，3 y x =， 1 y x =， y x =的导数 C 能根据导数定义，求函数 23 y c y x y x y x ==== ，，，， 1 y y x x == ，（c为常数）的导数． 能利用给出的基本初等函数的导数公式 和导数的四则运算法则求简单函数的导 数，能求简单的复合函数（仅限于形如 () f ax b +的复合函数）的导数．导数的四则运算C 简单的复合函数（仅限于形如 () f ax b +）的导数）B 导数公式表C 导数在研究函 数中的应用 利用导数研究函数的单调性（其 中多项式函数不超过三次） C 了解函数单调性和导数的关系；能利用导 数研究函数的单调性，会求函数的单调区 间（其中多项式函数一般不超过三次）． 了解函数在某点取得极值的必要条件和 充分条件；会用导数求函数的极大值、极 小值（其中多项式函数一般不超过三次）； 会求闭区间上函数的最大值、最小值（其 中多项式函数一般不超过三次）． 会利用导数解决某些实际问题．函数的极值、最值（其中多项式 函数不超过三次） C 利用导数解决某些实际问题B 定积分与微积 分基本定理 定积分的概念A了解定积分的实际背景，了解定积分的基 本思想，了解定积分的概念． 微积分基本定理A 高考要求 模块框架 导数及其应用

了解微积分基本定理的含义． 一、导数的概念与几何意义 1．函数的平均变化率： 一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ?=-， 10y y y ?=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+?-， 则当0x ?≠时，商00()()f x x f x y x x +?-?= ??称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +?（或00[,]x x x +?）的平均变化率． 注：这里x ?，y ?可为正值，也可为负值．但0x ?≠，y ?可以为0． 2．函数的瞬时变化率、函数的导数： 设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ?时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ?=+?-． 如果当x ?趋近于0时，平均变化率00()() f x x f x y x x +?-?= ??趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率． “当x ?趋近于零时，00()() f x x f x x +?-?趋近于常数l ”可以用符号“→”记作： “当0x ?→时，00()()f x x f x l x +?-→?”，或记作“000()() lim x f x x f x l x ?→+?-=?”，符号“→”读作 “趋近于”． 函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '． 这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作 “当0x ?→时，000()()()f x x f x f x x +?-'→?”或“0000()() lim ()x f x x f x f x x ?→+?-'=?”． 3．可导与导函数： 如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这 个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）． 导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数． 4.导数的几何意义： 设函数()y f x =的图象如图所示．AB 为过点00(,())A x f x 与 00(,())B x x f x x +?+?的一条割线．由此割线的斜率是00()() f x x f x y x x +?-?= ??，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线过点A 的切线，即 000()()lim x f x x f x x ?→+?-=?切线AD 的斜率． 由导数意义可知，曲线()y f x =过点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '． 知识内容 x 0x y x O D C B A

2019衡水名师原创理科数学专题卷：专题五《导数及其应用》

2019届高三一轮复习理科数学专题卷 专题五 导数及其应用 考点13：导数的概念及运算（1,2题） 考点14：导数的应用（3-11题，13-15题，17-22题） 考点15：定积分的计算（12题，16题） 考试时间：120分钟 满分：150分 说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上 第I 卷（选择题） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是最符合题目要求的。） 1.【来源】2017-2018年河北武邑中学高二理周考 考点13 易 函数()2sin f x x =的导数是（ ） A.2sin x B.22sin x C.2cos x D.sin 2x 2．【来源】2017-2018年河北武邑中学高二理周考 考点13 易 已知()21cos 4 f x x x =+，()'f x 为()f x 的导函数，则()'f x 的图像是（ ） 3.【2017课标II ，理11】 考点14 易 若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ） A.1- B.32e -- C.35e - D.1 4．【来源】2017届湖北孝感市高三理上学期第一次统考 考点14 中难 若曲线()ln y x a =+的一条切线为y ex b =+，其中,a b 为正实数，则2e a b + +的取值范围是（ ） A.2,2e e ??++∞ ??? B.[),e +∞ C.[)2,+∞ D.[)2,e 5．【来源】2017届福建闽侯县三中高三上期中 考点14 难 已知函数2x y =的图象在点),(2 00x x 处的切线为l ，若l 也与函数x y ln =，)1,0(∈x 的图象 相切，则0x 必满足（ ）

新人教B版学高中数学选修导数及其应用导数的实际应用讲义

学习 目 标核心素养 １．了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的作用．（重点） ２．能利用导数求出某些实际问题的最大值（最小值）．（难点、易混点）１．通过导数的实际应用的学习，培养学生的数学建模素养． ２．借助于解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题，提升学生的逻辑推理、数学运算素养. 导数在实际生活中的应用 １．最优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为最优化问题． ２．用导数解决最优化问题的基本思路 １．做一个容积为２５6 m３的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为（） Ａ．6 m Ｂ．8 m Ｃ．４m Ｄ．２m [解析] 设底面边长为x m，高为h m，则有x２h＝２５6，所以h＝错误!.所用材料的面积设为S m ２，则有S＝４x·h＋x２＝４x·错误!＋x２＝错误!＋x２.S′＝２x—错误!，令S′＝0，得x＝8，因此h＝错误!＝４（m）． [答案] C ２．某一件商品的成本为３0元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出（２00—x）件，当每件商品的定价为______元时，利润最大． [解析] 利润为S（x）＝（x—３0）（２00—x）

＝—x２＋２３0x—6 000， S′（x）＝—２x＋２３0， 由S′（x）＝0，得x＝１１５，这时利润达到最大． [答案] １１５ 面积、体积的最值问题 示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设A E＝FB＝x（cm）． （１）某广告商要求包装盒的侧面积S（cm２）最大，试问x应取何值？ （２）某厂商要求包装盒的容积V（cm３）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． [思路探究] 弄清题意，根据“侧面积＝４×底面边长×高”和“体积＝底面边长的平方×高”这两个等量关系，用x将等量关系中的相关量表示出来，建立函数关系式，然后求最值． [解] 设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm. 由已知得a＝错误!x，h＝错误!＝错误!（３0—x），0＜x＜３0． （１）S＝４ah＝8x（３0—x）＝—8（x—１５）２＋１800， 所以当x＝１５时，S取得最大值． （２）V＝a２h＝２错误!（—x３＋３0x２），V′＝6错误!x（２0—x）． 由V′＝0，得x＝0（舍去）或x＝２0． 当x∈（0,２0）时，V′＞0；当x∈（２0,３0）时，V′＜0． 所以当x＝２0时，V取得极大值，也是最大值．

2020版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第5讲课后作业理含解析

高考数学一轮复习第2章： 第2章 函数、导数及其应用 第5讲 A 组 基础关 1．设a ＝22.5，b ＝2.50 ，c ＝? ?? ??12 2.5，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >c >b B ．c >a >b C ．a >b >c D ．b >a >c 答案 C 解析 因为a ＝22.5>1，b ＝2.50 ＝1，c ＝? ????12 2.5b >c . 2．(2018·河北八所重点中学一模)设a >0，将 a 2a ·3 a 2 表示成分数指数幂的形式，其 结果是( ) A ．a 12 B ．a 56 C ．a 76 D ．a 32 答案 C 解析 原式＝ a 2 ? ????a ·a 23 1 2 ＝ a 2 a 53 12 ＝a 2－ 56 ＝a 76 . 3．设2x ＝8y ＋1,9y ＝3 x －9 ，则x ＋y 的值为( ) A ．18 B ．21 C ．24 D ．27 答案 D 解析 由2x ＝8y ＋1 得2x ＝2 3y ＋3 ，所以x ＝3y ＋3，① 由9y ＝3 x －9 得32y ＝3 x －9 ，所以2y ＝x －9，② 联立①②，解得x ＝21，y ＝6，所以x ＋y ＝27. 4．(2018·南阳、信阳等六市一模)设x >0，且10时，11.∵x >0时，b x 0时，? ?? ??a b x >1.∴a b >1，∴a >b ，∴1

导数及其应用(知识点总结)

导数及其应用 知识点总结 1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：()()2121 f x f x x x -- 2、导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=)()(lim )(00000；． 3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线 ()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率． 4、常见函数的导数公式： ①'C 0=； ②1')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧x x 1)(ln '= 5、导数运算法则： ()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±????； ()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=+????； ()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '??''-=≠????????． 6、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增； 若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减． 7、求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数'' ()y f x =； （3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间． 8、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： ()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 9、求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f ’(x) （3）求方程f ’(x)=0的根 （4）用方程f ’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （5）由f ’(x)在方程f ’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 10、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是： ()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值； ()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

导数的实际应用_知识讲解

导数的实际应用 【要点梳理】 要点一：最优化问题 现实生产生活中，人们经常遇到经营利润最大、生产效率最高、用力最省、用料最少、消耗原材料或能源最省、面积或体积最大、用时最短等问题，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些问题通常称为最优化问题． 要点二：利用导数解决最优化问题的一般步骤 解决最优化问题的方法很多，如：判别式法，平均不等式法，线性规划方法及利用二次函数的性质等． 不少最优化问题可以化为求函数最值问题，导数方法是解这类问题的有效工具．此时，要把问题中所涉及的几个变量转化为函数关系式，这需要通过分析、联想、抽象和转化，函数的最值由极值和区间端点的函数值比较确定，当定义域是开区间且函数只有一个极值时，这个极值也就是它的最值． 一般步骤为： (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系()y f x =； (2)求函数的导数()f x '，解方程()0f x '=； (3)比较函数在区间端点和使()0f x '=的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值． 要点诠释： 利用导数解决实际问题中的最值问题应注意：①在求实际问题中的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际问题的值应舍去．②在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使()0f x '=的情形，那么不与端点值比较，也可知道这就是最大(小)值． 要点三：利用导数解决最优化问题的基本思路 要点四：最优化问题的常见类型 (1)利润最大问题； (2)用料最省、费用最低问题； (3)面积、体积最大或最小问题． 【典型例题】 类型一：用料最省、费用最低问题 例1. 某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x 、y （单位：m ）的矩形，上部是等腰直角

第2章 第5讲-函数、导数及其应用

课时达标 第5讲函数、导数及其应用 一、选择题 1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1 x ＋1 D ．f (x )＝－|x | C 解析 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝3－x 为减函数．当x ∈????0，3 2时，f (x )＝x 2－3x 为减函数；当x ∈????32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1 x ＋1为增函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数． 2．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2] D ．[2，＋∞) A 解析 由于f (x )＝|x －2|x ＝? ???? x 2－2x ，x ≥2， －x 2 ＋2x ，x <2，结合图象可知函数的单调减区间是 [1,2]． 3．(2019·烟台九中期末)若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．1 B 解析 因为f (x )＝(x －1)2＋m －1在[3，＋∞)上为单调增函数，且f (x )在[3，＋∞)上的最小值为1，所以f (3)＝1，即m ＝－2. 4．(2019·南昌二中月考)已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( ) A.????0，3 4 B.????0，3 4 C.??? ?0，34 D.??? ?0，34 D 解析 当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5，在(－∞，3)上是减函数；当a ≠0时，由

高中数学导数及其应用电子教案

高中数学导数及其应用一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。

三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义 （Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可 正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果 时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点 处的导数（或变化率），记作，即 。 （Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（） 内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（） 内的导函数（简称导数），记作或，即 。 认知： （Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数 是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量；

②求平均变化率； ③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 （2）导数的几何意义： 函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。 （3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续； 若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。 事实上，若函数在点处可导，则有此时， 记 ,则有即在点处连续。 （Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。 反例：在点处连续，但在点处无导数。

导数及其应用教材分析

第三章导数教材分析 一、内容安排 本章大体上分为导数的初步知识、导数的应用、微积分建立的时代背景和历史意义部分. 导数的初步知识.关键是导数概念的建立.这部分首先以光滑曲线的斜率与非匀速直线运动的瞬时速度为背景，引出导数的概念，给出按定义求导数的方法，说明导数的几何意义.然后讲述初等函数的求导方法，先根据导数的定义求出几种常见函数的导数、导数的四则运算法则，再进一步给出指数函数和对数函数的导数. 这部分的末尾安排了两篇阅读材料，一篇是结合导数概念的“变化率举例”，另一篇是介绍导数应用的“近似计算”. 导数的应用，这部分首先在高一学过的函数单调性的基础上，给出判定可导函数增减性的方法.然后讨论函数的极值，由极值的意义，结合图象，得到利用导数判别可导函数极值的方法*最后在可以确定函数极值的前提下，给出求可导函数的最大值与最小值的方法. 微积分是数学的重要分支，导数是微积分的一个重要的组成部分.一方面，不但数学的许多分支以及物理、化学、计算机、机械、建筑等领域将微积分视为基本数学工具，而且，在社会、经济等领域中也得到越来越广泛的应用.另一方面，微积分所反映的数学思想也是日常生活与工作中认识问题、研究问题所难以或缺的. 本章共9小节，教学课时约需18节（仅供参考） 3. 1导数的概念 ............. 约3课时 3. 2几种常见函数的导数........... 约1课时 3. 3函数的和、差、积、商的导数...... 约2课时 3. 4复合函数的导数............. 约2课时 3. 5对数函数与指数函数的导数....... 约2课时 3. 6函数的单调性............. 约1课时 3. 7函数的极值 ............. 约2课时 3. 8函数的最大值与最小值......... 约2课时 3. 9微积分建立的时代背景和历史意义....约1课时 小结与复习.............. 约2课时 二、教学目标 1?了解导数概念的某些实际背景（例如瞬时速度，加速度，光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念. 2.熟记基本导数公式：

导数及其应用大题精选

导数及其应用大题精选 姓名____________班级___________学号____________分数______________ 1 ．已知函数)0()(>++ =a c x b ax x f 的图象在点(1,)1(f )处的切线方程为1-=x y . (1)用a 表示出c b ,; (2)若x x f ln )(≥在[1,+∞)上恒成立,求a 的取值范围. 2 ．已知2 ()I 若()f x 在x=1处取得极值,求a 的值; ()II 求()f x 的单调区间; (Ⅲ)若()f x 的最小值为1,求a 的取值范围 . 4 ．已知函数 ()ln f x x x =. (Ⅰ)求()f x 的单调区间; (Ⅱ) 当1k ≤时,求证:()1f x kx ≥-恒成立. 5 ．已知函数()ln a f x x x =- ,其中a ∈R . (Ⅰ)当2a =时,求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)如果对于任意(1,)x ∈+∞,都有()2f x x >-+,求a 的取值范围.

6 ．已知函数 2()4ln f x ax x =-,a ∈R . (Ⅰ)当1 2 a = 时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)讨论()f x 的单调性. 7 ．已知函数 ()e (1)x f x x =+. (Ⅰ)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)若对于任意的(,0)x ∈-∞,都有()f x k >,求k 的取值范围. 8 ．已知函数 a ax x x f 23)(3+-=,)(R a ∈. (Ⅰ) 求)(x f 的单调区间; (Ⅱ)曲线)(x f y =与x 轴有且只有一个公共点,求a 的取值范围. 9 ．已知函数 22()2ln (0)f x x a x a =->. (Ⅰ)若()f x 在1x =处取得极值,求实数a 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间; (Ⅲ)若()f x 在[1]e ， 上没有零点,求实数a 的取值范围. 10．已知曲线 ()x f x ax e =-(0)a >. (Ⅰ)求曲线在点(0,(0)f )处的切线; (Ⅱ)若存在实数0x 使得0()0f x ≥,求a 的取值范围.