天津市五区县2011-2012学年高二第一学期期末考试数学(理)试题(扫描版)(1)

天津市五区县2011～2012学年度第一学期期末考试

高二数学（理工类）试卷参考答案

一、选择题

二、填空题

三、解答题

16．（1）设圆C 的半径为r ，

由302x y y x +-=??

=?得1

2x y =??=?

，∴圆C 的圆心坐标为（1,2）…………………1分

圆D 化为标准方程为22(3)(1)4x y +++=

∴ 圆D 的圆心D(-3,-1)，半径为2；

……………………3分

||5CD ==

……………………4分 ∵圆C 与圆D 相外切，∴ 2+r =5，∴r =3

……………………5分

∴ 圆C 的标准方程为22(1)(2)9x y -+-=

……………………6分

17．（1）证明：连接AC 1，交A 1C 于E 点 ……………………1分

∵ABC —A 1B 1C 1为正三棱柱 ，∴ 四边形ACC 1A 1为平行四边形 ………2分 ∴E 为AC 1的中点

……………………3分

又∵点D 是棱AB 的中点，∴ DE 为△ABC 1的中位线 ……………………4分

∴DE ∥BC 1

……………………5分

∴BC 1//平面A 1DC ……………………6分 （2）作DF ⊥AC 于F ，连接A 1F …………7分 ∵ABC —A 1B 1C 1为正三棱柱 ，

∴平面ABC ⊥平面ACC 1A 1

……………………8分 ∴ DF ⊥平面ACC 1A 1

……………………9分

∴ ∠DA 1F 为直线A 1D 与平面ACC 1A 1所成的角 ……………………10分

∵ △ABC 为正三角形，BC=1

∴

DF =

，12AD =

在Rt △ADA 1

中，12

A D =

……………………11分

在Rt △DFA 1

中，11sin 26DF DA F A D ∠=== ∴直线A 1D 与平面ACC 1A 1

所成的角的正弦值大小为

26

………………12分

（2）设直线m 与直线l 平行且与椭圆相切，则切点到直线l 的距离为椭圆上所有点到直线

l 的距离中的最小（或大）者

……………………6分

A

A 1

C 1

B 1

B

C

D

E

A

A 1

C 1

B 1

B

C

D

F

设直线m 的方程为20x y n -+=，则

……………………7分

22

142

20x y x y n ?+=???-+=?

解得， 22

98240x nx n ++-= ……………………8分

令△=0得，226449(24)0n n -?-= ……………………9分

解得n =±

……………………10分

由题意，当n =m 与椭圆的交点到直线l 的距离最近 ∴

d =

=

……………………12分

∴点P 到直线l

19．∵四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∴DA,DP ,DC 两两垂直…………1分

如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D —xyz.

（1）依题意有Q （1，1，0），C （0，0，1），P （0，2，0）.

则(1,1,0),(0,0,1),(1,1,0).DQ DC PQ ===-

……………………2分

所以0,0.PQ DQ PQ DC ?=?=

…………3分

即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC. ……………………4分 故PQ ⊥平面DCQ.

……………………5分

又PQ ?平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ.

……………………6分

（2）依题意有B （1，0，1），(1,0,0),(1,2,1).CB BP ==--

设(,,)n x y z =是平面PBC 的法向量，则0,0,

20.

0,n CB x x y z n BP ??==????-+-=?=???

即 因此可取(0,1,2).n =--

……………………8分

设m 是平面PBQ 的法向量，则0,

0.

m BP m PQ ??=???=??

可取(1,1,1)m =

……………………9分

cos ,m n <>=所以 ……………………11分

故二面角Q —BP —C 的余弦值为 ……………………12分

（2）由题意抛物线C 的准线l '方程为1x =-，抛物线C 的焦点为(1,0)F

设1122(,),(,)A x y B x y ，A,B 到准线的距离分别为,A B d d 由抛物线定义知

1||1A AF d x ==+，2||1B BF d x ==+

……………………7分

∴ 12||||||28AB AF BF x x =+=++= ∴126x x +=

……………………8分

设直线l 的方程为(1)y k x =-

由24(1)

y x y k x ?=?=-?得2222(24)0k x k x k -++= ……………………9分

∴2122

24

6k x x k ++=

= ……………………10分

解得2

1k =，即1k =±

∴ 直线l 的方程为1y x =-，或1y x =-+.

……………………12分