习题21 简谐运动
1.一只单摆摆长为L ，摆球质量为m ，做简谐运动的振幅为A ．以平衡位置为重力势能的参考平面，其振动能量为E ．在保证摆球做简谐运动的前提下，下列那些情况会使E 减小
A.保持L 、m 不变，增大A
B.保持L 、A 不变，增大m
C.保持m 、A 不变，增大L
D.保持m 、A 不变，减小L 2.如图所示，两单摆摆长相同，静止时两球刚好接触．将摆球A 在两摆线所在平面内向左拉开一个小角度后释放，碰撞中动能有损失，碰后两球分开，分别做简谐运动运动．用M A 、M B 分别表示摆球两球的质量，则下列说法中正确的是
A.如果M A >M B ，下一次碰撞必将发生在平衡位置右侧
B.如果M A C.只要两摆球的质量不相同，下一次碰撞就不可能发生在平衡位置 D.无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞一定发生在平衡位置3.如图，A 、B 分别为单摆做简谐振动时摆球的不同位置。其中，位置A 为摆球摆动的最高位置，虚线为过悬点的竖直线。以摆球最低位置为重力势能零点，则 A.位于B 处时动能最大 B.位于A 处时摆线拉力最大 C.在位置A 的势能大于在位置B 的动能 D.在位置B 的机械能大于在位置A 的机械能4.一单摆做小角度摆动，其振动图象如图，以下说法正确的是 A.t 1时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小 B.t 2时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小 C.t 3时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最大 D.t 4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大 5.如图所示是描绘沙摆振动图象的实验装置和木板上留下的实验结果。沙摆的运动可看作简谐运动。若用手向外拉木板的速度是0.20m/s ，木板的长度是0.60m ，那么下列说法中正确的是（近似取π2=g ） A.该沙摆的周期为3s B.该沙摆的频率为1.5Hz C.这次实验所用的沙摆的摆长约为56cm D.这次实验所用的沙摆的摆长约为1.5m 6.如图，物体A 置于物体B 上，一轻质弹簧一端固定，另一端与B 相连。在弹性限度范围内，A 和B 一起在光滑水平面上做往复运动（不计空气阻力），并保持相对静止。则下列说法正确的是 A.A 和B 均做简谐运动 B.作用在A 上的静摩擦力大小与弹簧的形变量成反比 C.B 对A 的静摩擦力对A 做功，而A 对B 的静摩擦力对B 不做功 D.B 对A 的静摩擦力始终对A 做正功，而A 对B 的静摩擦力始终对B 做负功7.一砝码和一轻弹簧构成弹簧振子，图1所示的装置可用于研究该弹簧振子的受迫振动。匀速转动把手时，曲杆给弹簧振子以驱动力，使振子做受迫振动。把手匀速转动的周期就是驱动力的周期，改变把手匀速转动的速度就可以改变驱动力的周期。若保持把手不动，给砝码一向下的初速度，砝码便做简谐运动，振动图线如图2所示。当把手以某一速度匀速转动，受迫振动达到稳定时，砝码的振动图象如图3所示。若用T0表示弹簧振子的固有周期，T 表示驱动力的周期，Y 表示受迫振动达到稳定后砝码振动的振幅，则 A B A B A B t x O t 1 t 2 t 3 t 4 O O ′ A.由图线可知T0=8s B.图3表示稳定后砝码达到共振 C.当T 在4s 附近时，Y 显著增大； 当T 比4s 小得多或大得多时，Y 很小D.当T 在8s 附近时，Y 显著增大； 当T 比8s 小得多或大得多时，Y 很小 8.如图所示，一个半径为R 的大球面镜固定在水平面，其最低点是O 点。将一只小球a 从镜面上离O 点不远处无初速释放，同时将另一只小球b 从O 点正上方某一位置由静止释放。为使在b 球第一次落到镜面上时两球就发生碰撞，那么b 球开始下落时在O 点正上方多高处？（两小球都可视为质点，不计摩擦和空气阻力。） 9.劲度为k 的轻弹簧上端固定一只质量为m 的小球，向下压小球后释放，使小球开始作简谐运动。该过程弹簧对水平面的最大压力是1.6mg 。求：⑴小球作简谐运动的振幅A 是多大？ ⑵当小球运动到最高点时，小球对弹簧的弹力大小和方向如何？ 10.有一个摆长为L 的单摆，悬点正下方某处有一个铁钉，当摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线在铁钉以上的部分将被挡住，而使摆长发生变化．现使摆球作小幅度摆动，如图是摆球从右边最高点M 摆至左边最高点N 过程中的闪光照片（悬点和铁钉未被摄入），P 为摆动中的最低点，每相邻两次闪光的时间间隔是相等的．则铁钉距悬点的距离为是多少？ 11.右图表示的是一个单摆的振幅A 随驱动力周期T 变化的图线。从图中给出的信息求：⑴该单摆的摆长为多长？ ⑵发生共振时的振幅是多大？ ⑶摆球做简谐运动的最大加速度am 是多大？ （计算时可取π2=g ） 习题21答案 1.C 2.D 3.C 4.D 5.C 6.A 7.C 8.π2R (2n-1)2/8，(n=1，2，3，……) 9.⑴3mg/5k ⑵0.4mg ，向下10.3L/411.⑴1m ⑵4cm ⑶am=0.4m/s2 a b O N M P 4321A /cm T /s O 1234 -4123456y /cm 4O t /s 2-2图2 -2 246810y /cm 2O t /s 1-1图3 12 图1 实验一、简谐振动特性研究与弹簧劲度系数测量【实验目的】 1. 胡克定律的验证与弹簧劲度系数的测量； 2. 测量弹簧的简谐振动周期，求得弹簧的劲度系数； 3. 测量两个不同弹簧的劲度系数，加深对弹簧的劲度系数与它的线径、外径关系的了解。 4. 了解并掌握集成霍耳开关传感器的基本工作原理和应用方法。 【实验原理】 1. 弹簧在外力作用下将产生形变（伸长或缩短）。在弹性限度内由胡克定律知：外力和它的变形量成正比，即： （1） （1）式中，为弹簧的劲度系数，它取决于弹簧的形状、材料的性质。通过测量和的对应关系，就可由（1）式推算出弹簧的劲度系数。 2. 将质量为的物体挂在垂直悬挂于固定支架上的弹簧的下端，构成一个弹簧振子，若物体在外力作用下（如用手下拉，或向上托）离开平衡位置少许，然后释放，则物体就在平衡点附近做简谐振动，其周期为： （2） 式中是待定系数，它的值近似为，可由实验测得，是弹簧本身的质量，而被称为弹簧的有效质量。通过测量弹簧振子的振动周期，就可由（2）式计算出弹簧的劲度系数。 3. 磁开关（磁场控制开关）： 如图1所示，集成霍耳传感器是一种磁敏开关。在“1脚”和“2 脚”间加直流电压，“1脚”接电源正极、“2脚”接电源负极。当垂直于该传感器的磁感应强度大于某值时,该传感器处于“导通”状 态，这时处于“”脚和“”脚之间输出电压极小，近似为零，当磁感 强度小于某值时，输出电压等于“1脚”、“2脚”端所加的电源电压，利用集成霍耳开关这个特性，可以将传感器输出信号输入周期测定仪，测量物体转动的周期或物体移动所经时间。 【实验仪器】 FB737新型焦利氏秤实验仪1台，FB213A型数显计时计数毫秒仪 【实验步骤】 1. 用拉伸法测定弹簧劲度系数：（不使用毫秒仪） （1）按图2,调节底板的三个水平调节螺丝，使重锤尖端对准重锤基准的尖端。 （2）在主尺顶部安装弹簧，再依次挂入带配重的指针吊钩、砝码托盘，松开顶端挂钩锁紧螺钉，旋转顶端弹簧挂钩，使小指针正好轻轻靠在平面镜上（注意：力度要适当，若靠得太紧，可能会因摩擦太大带来附加的系统误差），以便准确读数。这时因初始砝码等已使弹簧被拉伸了一段距离。（可参考说明书中的装置图） RLC串联谐振频率及其计算公式串联谐振是指所研究的串联电路部分的电压和电流达到同相位,即电路中电感的感抗和电容的容抗在数值上时相等的,从而使所研究电路呈现纯电阻特性,在给定端电压的情况下,所研究的电路中将出现最大电流,电路中消耗的有功功率也最大. 1. 谐振定义：电路中L、C 两组件之能量相等，当能量由电路中某一电抗组件释 出时，且另一电抗组件必吸收相同之能量，即此两电抗组件间会产生一能量脉动。 2. 电路欲产生谐振，必须具备有电感器L及电容器C 两组件。 3. 谐振时其所对应之频率为谐振频率(resonance)，或称共振频率，以f r表示之。 4. 串联谐振电路之条件如图1所示：当Q=Q ?I2X L = I2 X C也就是X L =X C时，为R-L-C串联电路产生谐振之条件。 图1 串联谐振电路图 5. 串联谐振电路之特性： (1) 电路阻抗最小且为纯电阻。即 Z =R+jX L?jX C=R (2) 电路电流为最大。即 (3) 电路功率因子为1。即 (4) 电路平均功率最大。即P=I2R (5) 电路总虚功率为零。即Q L=Q C?Q T=Q L?Q C=0 6. 串联谐振电路之频率： (1) 公式： (2) R - L -C串联电路欲产生谐振时，可调整电源频率f 、电感器L 或电容器C 使其达到谐振频率f r，而与电阻R完全无关。 7. 串联谐振电路之质量因子： (1) 定义：电感器或电容器在谐振时产生的电抗功率与电阻器消耗的平均功率 之比，称为谐振时之品质因子。 (2) 公式： (3) 品质因子Q值愈大表示电路对谐振时之响应愈佳。一般Q值在10～100 之 间。 8. 串联谐振电路阻抗与频率之关系如图(2)所示： (1) 电阻R 与频率无关，系一常数，故为一横线。 (2) 电感抗X L=2 πfL ，与频率成正比，故为一斜线。 (3) 电容抗与频率成反比，故为一曲线。 (4) 阻抗Z = R+ j(X L?X C) 当 f = f r时， Z = R 为最小值，电路为电阻性。 ● 基础知识落实 ● 1、弹簧振子： 2.单摆 （1）.在一条不可伸长、不计质量的细线下端系一质点所形成的装置.单摆是实际摆的理想化物理模型. （2）.单摆做简谐运动的回复力 单摆做简谐运动的回复力是由重力mg 沿圆弧切线的分力F ＝mgsin θ提供(不是摆球所受的合外力)，θ为细线与竖直方向的夹角，叫偏角.当θ很小时，圆弧可以近似地看成直线，分力F 可以近似地看做沿这条直线作用，这时可以证明F ＝－ t mg x ＝－kx .可见θ很小时，单摆的振动是 简谐运动 . （3）.单摆的周期公式 专题二 简谐运动的两种典型模型 ①单摆的等时性：在振幅很小时，单摆的周期与单摆的 振幅 无关，单摆的这种性质叫单摆的等时性，是 伽利略 首先发现的. ②单摆的周期公式 π2 g l T =，由此式可知T ∝g 1，T 与 振幅 及 摆球质量 无关. （4）.单摆的应用 ①计时器：利用单摆的等时性制成计时仪器，如摆钟等，由单摆的周期公式知道调节单摆摆长即可调节钟表快慢. ②测定重力加速度：由g l T π 2=变形得g ＝2 2 π4T l ，只要测出单摆的摆长和振动周期，就可以求 出当地的重力加速度. ③秒摆的周期秒 摆长大约M （5）.单摆的能量 摆长为l ，摆球质量为m ，最大偏角为θ，选最低点为重力势能零点，则摆动过程中的总机械能为: E ＝mgl (1－cos θ) ，在最低点的速度为v ＝ ) cos 1(2 θ-gl . 知识点一、弹簧振子： 1、定义：一根轻质弹簧一端固定，另一端系一质量为m 的小球就构成一弹簧振子。 2、回复力：水平方向振动的弹簧振子，其回复力由弹簧弹力提供；竖直方向振动的弹簧振子，其回复力由重力和弹簧弹力的合力提供。 3、弹簧振子的周期：k m T π 2= ① 除受迫振动外，振动周期由振动系统本身的性质决定。 绝对值计算化简专项练习30题（有答案）1．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|2a|﹣|a+c|﹣|1﹣b|+|﹣a﹣b| 2．有理数a，b，c在数轴上的对应位置如图，化简：|a﹣b|+|b﹣c|+|a﹣c|． 3．已知xy＜0，x＜y且|x|=1，|y|=2． （1）求x和y的值； （2）求的值． 4．计算：|﹣5|+|﹣10|÷|﹣2|． 5．当x＜0时，求的值． 6．若abc＜0，|a+b|=a+b，|a|＜﹣c，求代数式的值． 7．若|3a+5|=|2a+10|，求a的值． 8．已知|m﹣n|=n﹣m，且|m|=4，|n|=3，求（m+n）2的值． 9．a、b在数轴上的位置如图所示，化简：|a|+|a﹣b|﹣|a+b|． 10．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简下式：|a﹣c|﹣|a﹣b|﹣|b﹣c|+|2a|． 11．若|x|=3，|y|=2，且x＞y，求x﹣y的值． 12．化简：|3x+1|+|2x﹣1|． 13．已知：有理数a、b在数轴上对应的点如图，化简|a|+|a+b|﹣|1﹣a|﹣|b+1|． 14．++=1，求（）2003÷（××）的值． 15．（1）|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值？ （2）|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣1|的最小值？ （3）|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣20|的最小值？ 16．计算：|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣| 17．若a、b、c均为整数，且|a﹣b|3+|c﹣a|2=1，求|a﹣c|+|c﹣b|+|b﹣a|的值． 18．已知a、b、c三个数在数轴上对应点如图，其中O为原点，化简|b﹣a|﹣|2a﹣b|+|a﹣c|﹣|c|． 串联谐振电路 学号： 1028401083 姓名：赵静怡 一、实验目的 1、加深对串联谐振电路条件及特性的理解 2、掌握谐振频率的测量方法 3、理解电路品质因数Q和通频带的物理意义及其测量方法 4、测量RLC串联谐振电路的频率特性曲线 5、深刻理解和掌握串联谐振的意义及作用 6、掌握电路板的焊接技术以及信号发生器、交流毫伏表等仪表 的使用 7、掌握Multisim软件中的Functionn Generator 、 Voltmeter 、Bode Plotter等仪表的使用以AC Analysis 等SPICE仿真分析方法 8、用Origin绘图软件绘图 二、实验原理 RLC串联电路如图2.6.1所示，改变电路参数L、C或电源频率时，都可以是电路发生谐振。 2.6.1 RLC谐振串联电路 1、谐振频率：f 0=LC π21 ，谐振频率仅与元件L 、C 的数值有关，而与电阻R 和激励电源的角频率w 无关 2、电路的品质因素Q 和通频带B 电路发生谐振是，电感上的电压（或电容上的电压）与激励电压之比称为电路的品质因素Q ，即C L R Q 1 = 定义回路电流下降到峰值在0.707时所对应的频率为截止频率，介于两截止频率间的频率范围为通带，即Q fo B = 3、谐振曲线 电路中电压与电流随频率变化的特性称频率特性，他们随频率变化的曲线称频率特性曲线，也称谐振曲线 4、实验仪器： （1） 计算机 （2） 通路电路板一块 （3） 低频信号发生器一台 （4） 交流毫伏表一台 （5） 双踪示波器一台 （6） 万用表一只 （7） 可变电阻 （8） 电阻、电感、电容若干（电阻100Ω，电感10mH 、4.7 mH ，电容100nF ） 《机械波》典型题 1．(多选)某同学漂浮在海面上，虽然水面波正平稳地以1.8 m/s 的速率向着海滩传播，但他并不向海滩靠近．该同学发现从第1个波峰到第10个波峰通过身下的时间间隔为15 s ．下列说法正确的是( ) A ．水面波是一种机械波 B ．该水面波的频率为6 Hz C ．该水面波的波长为3 m D ．水面波没有将该同学推向岸边，是因为波传播时能量不会传递出去 E ．水面波没有将该同学推向岸边，是因为波传播时振动的质点并不随波迁移 2．(多选)一振动周期为T 、振幅为A 、位于x ＝0点的波源从平衡位置沿y 轴正向开始做简谐运动．该波源产生的一维简谐横波沿x 轴正向传播，波速为v ，传播过程中无能量损失．一段时间后，该振动传播至某质点P ，关于质点P 振动的说法正确的是( ) A ．振幅一定为A B ．周期一定为T C ．速度的最大值一定为v D ．开始振动的方向沿y 轴向上或向下取决于它离波源的距离 E ．若P 点与波源距离s ＝v T ，则质点P 的位移与波源的相同 3．(多选)一列简谐横波从左向右以v ＝2 m/s 的速度传播，某时刻的波形图如图所示，下列说法正确的是( ) A ．A 质点再经过一个周期将传播到D 点 B ．B 点正在向上运动 C ．B 点再经过18T 回到平衡位置 D．该波的周期T＝0.05 s E．C点再经过3 4T将到达波峰的位置 4．(多选)图甲为一列简谐横波在t＝2 s时的波形图，图乙为媒质中平衡位置在x＝1.5 m处的质点的振动图象，P是平衡位置为x＝2 m的质点，下列说法中正确的是( ) A．波速为0.5 m/s B．波的传播方向向右 C．0～2 s时间内，P运动的路程为8 cm D．0～2 s时间内，P向y轴正方向运动 E．当t＝7 s时，P恰好回到平衡位置 5．(多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播，在x＝12 m处的质点的振动图线如图甲所示，在x＝18 m处的质点的振动图线如图乙所示，下列说法正确的是( ) A．该波的周期为12 s B．x＝12 m处的质点在平衡位置向上振动时，x＝18 m处的质点在波峰 C．在0～4 s内x＝12 m处和x＝18 m处的质点通过的路程均为6 cm D．该波的波长可能为8 m E．该波的传播速度可能为2 m/s 6．(多选)从O点发出的甲、乙两列简谐横波沿x轴正方向传播，某时刻两列波分别形成的波形如图所示，P点在甲波最大位移处，Q点在乙波最大位移处， 绝对值的知识是初中代数的重要内容，在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一，解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义，将绝对值符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题，确定绝对值符号内部分的正负，借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型。 一、根据题设条件 例1 设化简的结果是（）。 （A）（B）（C）（D） 思路分析由可知可化去第一层绝对值符号，第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去． 解 ∴应选（B）． 归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路． 二、借助数轴 例2 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于（）． （A）（B）（C）（D） 思路分析由数轴上容易看出，这就为去掉绝对值符号扫清了障碍． 解原式 ∴应选（C）． 归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清： 1．零点的左边都是负数，右边都是正数． 2．右边点表示的数总大于左边点表示的数． 3．离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了． 三、采用零点分段讨论法 例3 化简 思路分析本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，可采用零点分段讨论法，本例的难点在于的正负不能确定，由于x是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况—一讨论． 解令得零点：； 令得零点：， 把数轴上的数分为三个部分（如图） ①当时, ∴原式 ②当时，， ∴原式 ③当时，， ∴原式 ∴ 归纳点评虽然的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般步骤是： 1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）． 2．分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定． 3．在各区段内分别考察问题． 4．将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案． 误区点拨千万不要想当然地把等都当成正数或无根据地增加一些附加条件，以免得出错误的结果． 练习： 请用文本例1介绍的方法解答l、2题 1．已知a、b、c、d满足且，那么 2．若，则有（）。 （A）（B）（C）（D） 请用本文例2介绍的方法解答3、4题 3．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子化简结果为（）． 简谐运动典型例题 一、振动图像 1.一质点做简谐运动时，其振动图象如图。由图可知，在t 1和t 2 时刻，质点运动的（ ） A ．位移相同 B ．回复力相同 C ．速度相同 D ．加速度相同 2．质点在水平方向上做简谐运动。如图，是质点在s 40-内的振动图象，下列正 确的是（ ） A ．再过1s ，该质点的位移为正的最大值 B ．再过2s ，该质点的瞬时速度为零 C ．再过3s ，该质点的加速度方向竖直向上 D ．再过4s ，该质点加速度最大 3．某振子做简谐运动的表达式为x ＝2sin(2πt ＋π 6)cm 则该振子振动的振幅和周期为( ) A ．2cm 1s B ．2cm 2πs C ．1cm π 6 s D ．以上全错 4、如图示简谐振动图像，从t=1.5s 开始再经过四分之一周期振动质点通过路程为（ ） A 、等于2 cm B 、小于2 cm C 、大于2 cm D 、条件不足，无法确定 4题 5题 6题 5、沿竖直方向上下振动的简谐运动的质点P 在0—4s 时间内的振动图像，正确的是（向上为正）（ ） A 、质点在t=1s 时刻速度方向向上 B 、质点在t=2s 时刻速度为零 C 、质点在t=3s 时刻加速度方向向下 D 、质点在t=4s 时刻回复力为零 6、如图示简谐振动图像，可知在时刻t 1和时刻t 2物体运动的（ ） A 、位移相同 B 、回复力相同 C 、速度相同 D 、加速度相同 二、简谐运动的回复力和和周期 1.物体做机械振动的回复力（ ） A ．是区别于重力、弹力、摩擦力的另一种力 B ．必定是物体所受的合力 C ．可以是物体受力中的一个力 D ．可以是物体所受力中的一个力的分力 2．如图所示，对做简谐运动的弹簧振子m 的受力分析，正确的是( ) A ．重力、支持力、弹簧的弹力 B ．重力、支持力、弹簧的弹力、回复力 C ．重力、支持力、回复力、摩擦力 D ．重力、支持力、摩擦力 3．一根劲度系数为k 的轻弹簧，上端固定，下端接一质量为m 的物体，让其上下振动，物体偏离平衡位置的最大位移为A ，当物体运动到最高点时，其回复力大小为( ) - 下面我们就人大附中初一学生的家庭作业进行讲解如何对绝对值进行化简 首先我们要知道绝对值化简公式： 例题1：化简代数式 |x-1| 可令x-1=0，得x=1 （1叫零点值） 根据x=1在数轴上的位置，发现x=1将数轴分为3个部分 1）当x<1时，x-1<0，则|x-1|=-(x-1)=-x+1 2）当x=1时，x-1=0，则|x-1|=0 3）当x>1时，x-1>0，则|x-1|=x-1 另解，在化简分组过程中我们可以把零点值归到零点值右侧的部分 1）当x<1时，x-1<0，则|x-1|=-(x-1)=-x+1 2）当x≥1时，x-1≥0，则|x-1|=x-1 例题2：化简代数式 |x+1|+|x-2| 解：可令x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2（-1和2都是零点值） 在数轴上找到-1和2的位置，发现-1和2将数轴分为5个部分 1）当x<-1时，x+1<0，x-2<0，则|x+1|+|x-2|=-（x+1）-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+1 2）当x=-1时，x+1=0，x-2=-3，则|x+1|+|x-2|=0+3=3 3）当-1 简谐振动的研究·实验报告 【实验目的】 研究简谐振动的基本特征 【实验仪器】 气垫导轨、通用数字计时器、滑块、砝码、弹簧（5对）、约利氏秤 朱力氏秤 朱力氏秤的示意图如右图所示。一个可以升降的套杆1上刻有毫米分度，并附有读数游标2。将弹簧3挂在1顶部，下端挂一有水平刻线G 的小镜子4，小镜子外套一个带有水平刻线D 的玻璃管5，镜下再钩挂砝码盘6。添加砝码时，小镜子随弹簧伸长而下移。欲知弹簧伸长量需旋动标尺调节旋钮7将弹簧提升，直至镜上水平刻线G 与玻璃管上水平刻线D 及D 在镜中的像相互重合，实现所谓“三线重合”。测量时注意先用底座上螺丝调节弹簧铅直，此时小镜子应不会接触到玻璃管。 【实验原理】 简谐振动是振动中最简单、最基本的运动，对简谐振动的研究有着重要的意义。简谐振动的方程为 x x 2ω-= 其位移方程为 )sin(αω+=t A x 速度方程为 )sin(αωω+=t A v 其运动的周期为 ω π 2= T T 或ω由振动系统本身的特性决定，与初始运动无关。而A ，α是由初始条件决定的。 实验系统如图4-15-1所示。 两个弹性系数k 相同的弹簧分别挂在质量为m 的滑行器两侧，且处于拉伸的状态。在弹性恢复力的作用下，滑行器沿水平导轨作往复运动。当滑行器离开平衡位置0x 至坐标x 时，水平方向上受弹性恢复力)()(00x x k x x k --+-与的作用，有 x m x x k x x k =--+-）00()( 即 x m kx =-2 令k k 20=，有 x m k x x m x k 0 0-==- 或 上式形式与简谐振动方程相同，由此可知滑行器的运动为简谐振动。与简谐振动方程比较可得 m k 0 2= ω 即该简谐振动的角频率 m k 0 = ω 1、)sin(αω+=t A x 的验证 将光电门F 置于0x 处，光电门G 置于1x 处，滑行器1拉至A x 处（010x x x x A ->-）释放，由计时器测出滑行器从0x 运动至1x 的时间1t 。依次改变光电门G 的位置i x ，每次都从A x 释放滑行器，测出对应i x 的时间i t ，最后移开光电门G 。从滑行器通过0x 时开始计时，当它从最大位移返回到0x 时，终止计时，测出时间值为2 T t =，可求出达到最大位置的时间2 t t B = 。 从上面的操作中可以看出2 π α= =，A x A 。将测量的i x ，i t 值代入（4）式，看其是 否成立。ω可由（4）式求出，其中B t T 4=。 2、)cos(αωω+=t A v 的验证 使滑行器处于平衡位置，并使挡光板正对坐标原点，然后依次改变光电门的位置（x 取值与1中相同），每次仍均在A x 处释放滑行器，这样可由计时器给出的时间i t ?及滑行距离 s ?（挡光板两相应边距离）可求出i v ，将i v 及1测出的i t 对应代入（3）式时，看是否成 简谐运动位移公式推导 问题：质量为m的系于一端固定的轻弹簧（弹簧质量可不计）的自由端。如图（a）所示， 将物体略向右移，在弹簧力作用下，若接触面光滑，m物体将作往复运动，试求位移x与时间t的函数关系式。 图（a） 分析：m物体在弹力F的作用下运动，显然位移X与弹力F有关，进而由弹簧联想起胡克定律，但结果只有位移与时间，故要把弹力F替换成关于X与t的量，再求解该微分方程。 推导：取物体平衡位置O为坐标原点,物体运动轨迹为X轴，向右为正。设弹力为F, 由胡克定律F=?kX,K为劲度系数，负号表示力与位移方向相反。 根据牛顿第二定律，m物体加速度a=dv dt =d2X dt2 =F m =-k m x(1) 可令k m =ω2 代入（a）,得 d2X dt2=?ω2X或d2X dt2 +ω2X=0 显然，想求出位移X与时间t的函数关系式，须解出此微分方程 求解：对于d2X dt 2+ω2X=0，即X ’’+ ω2X=0 (4) (4)式属可将阶的二阶微分方程， 若设X ’=u ，消去t,就要把把X ”转化为关于X 与t 的函数，那么 X ’’= dX "dt = du dx dx dt =u du dx , u du dx +ω2X=0, u du dx =?ω2X 下面分离变量再求解微分方程，然后两边积分，得 udu =?ω2 Xdx 得 12u 2=? 12ω2 x 2+C ，即u 2=? ω2 x 2+C1 (5) u=x ’,x ’= 2 x 2 =dx dt 再次分离变量， C1? ω2 x 2=dt (7) 两边积分，右边=t ，但左边较为复杂， 经过仔细思考，笔者给出一种求解方法： 运用三角代换，令X= C1ωcos z (7)式左边化为 d cos z ωsin z =?sin zdz ωsin z =-dz ω, 两边积分，得 -–z ω=t+C2 由此可得， X= C1ωcos(ωt+ωC2), 简谐运动?典型例题精析 [ 例题1] 一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过M、N 两点时速度v（v工0）相同，那么，下列说法正确的是 A.振子在M N两点受回复力相同 B.振子在M N两点对平衡位置的位移相同 C.振子在M N两点加速度大小相等 D.从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动 [ 思路点拨] 建立弹簧振子模型如图9－1 所示.由题意知，振子第一 次先后经过M N两点时速度v相同，那么，可以在振子运动路径上确定M N两点，M N 两点应关于平衡位置O对称，且由M运动到N,振子是从左侧释放开始运动的（若M点定在O点右侧，则振子是从右侧释放的）.建立起这样的物理模型，这时问题就明朗化了. [ 解题过程] 因位移速度加速度和回复力都是矢量，它们要相同必须大小相等、方向相同.M N两点关于O点对称，振子回复力应大小相等、方向相反，振子位移也是大小相等，方向相反.由此可知，A B选项错误.振 子在M N 两点的加速度虽然方向相反，但大小相等，故 C 选项正确?振子由 M RO 速度越来越大，但加速度越来越小，振子做加速运动，但不是匀加速运 动.振子由O HN 速度越来越小，但加速度越来越大，振子做减速运动，但不 是匀减速运动，故D 选项错误.由以上分析可知，该题的正确答案为 C. ［小结］(1)认真审题，抓住关键词语.本题的关键是抓住“第一次先 后经过M N 两点时速度v 相同”. (2) 要注意简谐运动的周期性和对称性，由此判定振子可能的路径，从而 确定各物理量及其变化情况. (3) 要重视将物理问题模型化，画出物理过程的草图，这有利于问题的解 决. ［例题2］ 一质点在平衡位置0附近做简谐运动，从它经过平衡位置起 开始计时，经0.13 s 质点第一次通过M 点，再经0.1s 第二次通过M 点，则 质点振动周期的可能值为多大？ ［思路点拨］ 将物理过程模型化，画出具体的图景如图 9-2所示.设 质点从平衡位置O 向右运动到M 点，那么质点从O 到M 运动时间为0.13 s ， 再由M 经最右端A 返回M 经历时间为0.1 s ;如图9-3所示. 另有一种可能就是M 点在0点左方，如图9-4所示，质点由0点经最右 方A 点后團^-3 简谐运动 一、本周内容： 1、简谐运动 2、振幅、周期和频率 二、本周重点： 1、简谐运动过程中的位移、回复力、加速度和速度的变化规律 2、简谐运动中回复力的特点 3、简谐运动的振幅、周期和频率的概念 4、关于振幅、周期和频率的实际应用 二、知识点要点： 1、机械振动 （1）定义：物体在平衡位置附近所做的往复运动，叫做机械振动，简称振动。 （2）产生振动的条件： ①物体受到的阻力足够小 ②物体受到的回复力的作用 手施力使水平弹簧振子偏离平衡位置，感到振子受到一指向平衡位置的力，它总要使振子返回平衡位置，所以叫做回复力。回复力是根据力的作用效果命名的。回复力可以是弹力，也可以是其他的力，或几个力的合力，或某个力的分力。 （3）机械振动是一种普遍的运动形式，大至地壳振动，小至分子、原子的振动。 2、简谐运动 （1）定义：物体在跟位移的大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力作用下的运动，叫简谐运动 （2）条件：物体做简谐运动的条件是F=-kx，即物体受到的回复力F跟位移大小成正比，方向跟位移方向相反。 （3）对F=-kx的理解：对一般的简谐运动，k是一个比例常数，不同的简谐运动，K值不同，k是由振动系统本身结构决定的物理量，在弹簧振子中，k是弹簧的劲度系数。 3、简谐运动的特点 （1）回复力：物体在往复运动期间，回复力的大小和方向均做周期性的变化，物体处在最大位移处时的回复力最大，物体处于平衡位置时的回复力最小（为零），物体经过平衡位置时，回复力的方向发生改变。 （2）加速度：由力与加速度的瞬时对应关系可知，回复力产生的加速度也是周期性变化的，且与回复力的变化步调相同。 （3）位移：物体做简谐运动时，它的位移（大小和方向）也是周期性变化的，为研究问题方便，选取平衡位置位移的起点，物体经平衡位置时位移的方向改变。 （4）速度：简谐运动是变加速运动，速度的变化也具有周期性（包括大小和方向），物体经平衡位置时的速度最大，物体在最大位移处的速度为零，且物体的速度方向改变。 4、振幅（A） （1）定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，单位：m （2）作用：描述振动的强弱。 （3）振幅和位移的区别：对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的，位移是矢量，振幅是标量，它等于最大位移的大小。 University of Science and Technology of China 96 Jinzhai Road, Hefei Anhui 230026,The People ’s Republic of China 交流谐振电路 李方勇 PB05210284 0510 第29组2号（周五下午） 2006.11.27 实验题目 交流谐振电路 实验目的 研究RLC 串联电路的交流谐振现象，学习测量谐振曲线的方法，学习并掌握电路品质因素Q 的测量方法及其物理意义。 实验仪器 电阻箱，电容器，电感，低频信号发生器以及双踪示波器。 实验原理 1． RLC 交流电路 由交流电源S ，电阻R ，电容C 和电感L 等组成 交流电物理量的三角函数表述和复数表述 ()() φ?φ?+=+=t j Ee t E e cos 式中的e 可以是电动势、电压、电流、阻抗等交流电物理量，?为圆频率，φ 为初始相角。电阻R 、电容C 和电感串联电路 电路中的电流与电阻两端的电压是同相位的，但超前于电容C 两端的电压2π ，落后于电感两端的电压2π 。 电阻阻抗的复数表达式为 R Z R = 模R Z = 电容阻抗的复数表达式为 C j e C Z j C ??π 112==- 模 C Z C ?1= 电感阻抗的复数表达式为 L j Le Z j L ??π==2 模 L Z L ?= 电路总阻抗为三者的矢量和。由图，电容阻抗与电路总阻抗方向相反，如果满足 L c ??=1 ， 则电路总阻抗为R ，达到最小值。这时电流最大，形成所谓“电流谐振”。调节交流电源（函数发生器）的频率，用示波器观察电阻上的电压，当它达到最大时的频率即为谐振频率。电路如下图。 电路参数–电动势电压，电流，功率，频率 元件参数–电阻，电容，电感 实验内容 1． 观测RLC 串联谐振电路的特性 （1） 按照上图连接线路，注意保持信号源的电压峰峰值不变，蒋Vi 和Vr 接入双踪示波器的CH1和CH2（注 意共地） （2） 测量I －f 曲线，计算Q 值 （3） 对测得的实验数据，作如下分析处理： 1） 作谐振曲线I －f ，由曲线测出通频带宽 2） 由公式计算除fo 的理论值，并与测得的值进行比较，求出相对误差。 3） 用000 ,,C L L i i L V f V Q Q Q R R V V f ?= = ==+?三种公式计算Q 值，并进行比较。（注意R L 为电感的固有电阻值） 4） 改变R 的值的值，重复（2）（3-1,3-2,3-3） 简谐运动的公式描述教案 教学目标 1．知识与技能 (1)会用描点法画出简谐运动的运动图象． (2)知道振动图象的物理含义，知道简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线． (3)了解替代法学习简谐运动的位移公式的意义． (4) 知道简谐运动的位移公式为x=A sin （ωt＋），了解简谐运动位移公式中各量的物 理含义． (5) 了解位相、位相差的物理意义． (6) 能根据图象知道振动的振幅、周期和频率、位相． 2．过程与方法 (1) 通过“讨论与交流”匀速圆周运动在Ⅳ方向的投影与教材表1— 3— 1 中数据的 比较，并描出z— t 函数曲线，判断其结果，使学生获知匀速圆周运动在x 方向的投影和简谐运动的图象一样，是一条正弦或余弦曲线． (2)通过用参考圆替代法学习简谐运动的位移公式和位相，使学生懂得化难为易 以及应用已学的知识解决问题． (3)通过课堂讲解习题，可以巩固教学的知识点与清晰理解重点与难点． 3．情感、态度与价值观 (1)通过本节的学习，培养学生学会用已学的知识使难题化难为易、化繁为简， 科学地寻找解决问题的方法． (2)培养学生合作学习、探究自主学习的学习习惯． ●教学重点 ,难点 1.简谐运动位移公式x=Asin（ω t ＋）的推导 2.相位 , 相位差的物理意义 .. ●教学过程 教师讲授 简谐振动的旋转矢量法 。y 在平面上作一坐标轴 OX，由原点 O 作一长度等于振幅的矢量 A t=0 ,矢量与坐标轴的夹角等于初相 矢量 A 以角速度w 逆时针作匀速圆周运动， 研究端点M 在 x 轴上投影点的运动， 1.M 点在 x 轴上投影点的运动 x=Asin（ω t＋）为简谐振动。 x 代表质点对于平衡位置的位移，t 代表时间，简谐运动的三角函数表示 回答下列问题 a:公式中的 A 代表什么 ? b:ω叫做什么 ?它和 f 之间有什么关系? c:公式中的相位用什么来表示? d:什么叫简谐振动的初相? M A t M 0 o x P x 简谐运动及其图象 编稿：张金虎审稿：吴嘉峰 【学习目标】 1．知道什么是弹簧振子以及弹簧振子是理想化模型。 2．知道什么样的振动是简谐运动。 3．明确简谐运动图像的意义及表示方法。 4．知道什么是振动的振幅、周期和频率。 5．理解周期和频率的关系及固有周期、固有频率的意义。 6．知道简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线，明确图像的物理意义及图像信息。 7．能用公式描述简谐运动的特征。 【要点梳理】 要点一、机械振动 1．弹簧振子 弹簧振子是小球和弹簧所组成的系统，这是一种理想化模型．如图所示装置，如果球与杆之间的摩擦可以忽略，且弹簧的质量与小球的质量相比也可以忽略，则该装置为弹簧振子． 2．平衡位置 平衡位置是指物体所受回复力为零的位置． 3．振动 物体（或物体的一部分）在平衡位置附近所做的往复运动，叫做机械振动． 振动的特征是运动具有重复性． 要点诠释：振动的轨迹可以是直线也可以是曲线． 4．振动图像 （1）图像的建立：用横坐标表示振动物体运动的时间t，纵坐标表示振动物体运动过程中对平衡位置的位移x，建立坐标系，如图所示． （2）图像意义：反映了振动物体相对于平衡位置的位移x 随时间t 变化的规律． （3）振动位移：通常以平衡位置为位移起点，所以振动位移的方向总是背离平衡位置的．如图所示，在x t -图像中，某时刻质点位置在t 轴上方，表示位移为正（如图中12t t 、时刻），某时刻质点位置在t 轴下方，表示位移为负（如图中34t t 、时刻）． （4）速度：跟运动学中的含义相同，在所建立的坐标轴（也称为“一维坐标系”）上，速度的正负表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反． 如图所示，在x 坐标轴上，设O 点为平衡位置。A B 、为位移最大处，则在O 点速度最大，在A B 、两点速度为零． 在前面的x t -图像中，14t t 、时刻速度为正，23t t 、时刻速度为负． 要点二、简谐运动 1．简谐运动 如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数规律，即它的振动图像是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动． 简谐运动是物体偏离平衡位置的位移随时间做正弦或余弦规律而变化的运动，它是一种非匀变速运动． 物体在跟位移的大小成正比，方向总是指向平衡位置的力的作用下的振动，叫做简谐运动． 简谐运动是最简单、最基本的振动． 2．实际物体看做理想振子的条件 （1）弹簧的质量比小球的质量小得多，可以认为质量集中于振子（小球）；（2）当与弹簧相接的小球体积足够小时，可以认为小球是一个质点；（3）当水平杆足够光滑时，可以忽略弹簧以及小球与水平杆之间的摩擦力；（4）小球从平衡位置拉开的位移在弹簧的弹性限度内． 3．理解简谐运动的对称性 如图所示，物体在A 与B 间运动，O 点为平衡位置，C 和D 两点关于O 点对称，则有： （1）时间的对称： 4 OB BO OA AO T t t t t ==== ， OD DO OC CD t t t t ===， C 1L ω= ωfC 21πC 1ω实验八 R 、L 、C 串联电路的谐振实验 一、实验目的 1、研究交流串联电路发生谐振现象的条件。 2、研究交流串联电路发生谐振时电路的特征。 3、研究串联电路参数对谐振特性的影响。 二、实验原理 1、R L C 串联电压谐振 在具有电阻、 电感和电容元件的电路中，电路两端的电压与电路中的电流一般是不同相的。如果我们调节电路中电感和电容元件的参数或改变电源的频率就能够使得电路中的电流和电压出现了同相的情况。电路的这种情况即电路的这种状态称为谐振。R 、L 、C 串联谐振又称为电压谐振。 在由线性电阻R 、电感L 、电容c 组成的串联电路中，如图8-1所示。 图8-1 R L C 串联电路图 当感抗和容抗相等时，电路的电抗等于零即 X L = X C ； ； 2πf L = X = ? L － = 0 则 ? = arc tg = 0 LC 1LC 即电源电压u 与电路中电流i 同相，由于是在串联电路中出现的谐振故称为串联谐振。 谐振频率用f 0表示为 f = f 0 = 谐振时的角频率用? 0表示为 ? = ? 0 = 谐振时的周期用T 0表示为 T = T 0 = 2 ? 串联电路的谐振角频率ω 0频率f 0，周期T 0，完全是由电路本身的有关参数来决定的，它们是电路本身的固有性质，而且每一个R 、L 、C 串联电路，只有一个对应的谐振频f 0和 周期T 0。因而，对R 、L 、C 串联电路来说只有将外施电压的频率与电路的谐振频率相等时候，电路才会发生谐振。在实际应用中，往往采用两种方法使电路发生谐振。一种是当外施电压频率f 固定时，改变电路电感L 或电容C 参数的方法，使电路满足谐振条件。另一种是当电路电感L 或电容C 参数固定时，可用改变外施电压频率f 的方法，使电路在其谐振频率下达到谐振。总之，在R 、L 、C 串联电路中，f 、L 、C 三个量，无论改变哪一个量都可以达到谐振条件，使电路发生谐振。 2、R L C 串联电压谐振特征 串联谐振具有以下主要特征： 一、振动图像 1.一质点做简谐运动时，其振动图象如图。由图可知，在t 1和t 2 时刻，质点运动的（ ） A ．位移相同 B ．回复力相同 C ．速度相同 D ．加速度相同 2．质点在水平方向上做简谐运动。如图，是质点在内的振动图象，下列正确的是（ ） A ．再过1s ，该质点的位移为正的最大值 B ．再过2s ，该质点的瞬时速度为零 C ．再过3s ，该质点的加速度方向竖直向上 D ．再过4s ，该质点加速度最大 3．某振子做简谐运动的表达式为x ＝2sin(2πt ＋π 6 )cm 则该振子振动的振幅和周期为 ( ) A ．2cm 1s B ．2cm 2πs C ．1cm π 6 s D ．以上全错 4、如图示简谐振动图像，从t=开始再经过四分之一周期振动质点通过路程为（ ） A 、等于2 cm B 、小于2 cm C 、大于2 cm D 、条件不足，无法确定 4题 5题 6题 5、沿竖直方向上下振动的简谐运动的质点P 在0—4s 时间内的振动图像，正确的是（向上为正）（ ） A 、质点在t=1s 时刻速度方向向上 B 、质点在t=2s 时刻速度为零 C 、质点在t=3s 时刻加速度方向向下 D 、质点在t=4s 时刻回复力为零 1 2 3 4 5 x/cm t/s 1 2 4 -2 6、如图示简谐振动图像，可知在时刻t 1和时刻t 2物体运动的（ ） A 、位移相同 B 、回复力相同 C 、速度相同 D 、加速度相同 二、简谐运动的回复力和和周期 1.物体做机械振动的回复力（ ） A ．是区别于重力、弹力、摩擦力的另一种力 B ．必定是物体所受的合力 C ．可以是物体受力中的一个力 D ．可以是物体所受力中的一个力的分力 2．如图所示，对做简谐运动的弹簧振子m 的受力分析，正确的是( ) A ．重力、支持力、弹簧的弹力 B ．重力、支持力、弹簧的弹力、回复力 C ．重力、支持力、回复力、摩擦力 D ．重力、支持力、摩擦力 3．一根劲度系数为k 的轻弹簧，上端固定，下端接一质量为m 的物体，让其上下振动，物体偏离平衡位置的最大位移为A ，当物体运动到最高点时，其回复力大小为( ) A ．mg ＋k A B ．mg －Ka C ．kA D ．kA －mg 4．公路上匀速行驶的货车受一扰动，车上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板．一段时间内货物在竖直方向的振动可视为简谐运动，周期为T .取竖直向上为正方向，以某时刻作为计时起点，即t ＝0，其振动图象如图所示，则( ) A ．t ＝14T 时，货物对车厢底板的压力最大 B ．t ＝1 2T 时，货物对车厢底板的压力最小 C ．t ＝34T 时，货物对车厢底板的压力最大 D ．t ＝3 4T 时，货物对车厢底板的压力最小 5．弹簧振子的质量为，弹簧劲度系数为，在振子上放一质量为m 的木块，使两者一起振动，如图。木块的回复力是振子对木块的摩擦力，也满足，是弹簧的伸长（或压缩）量，那么为（ ） A ． B ． C ． D ． 6、一个弹簧振子，第一次被压缩x 后释放做自由振动，周期为T 1，第二次被压缩2x 后释放做自由振动，周期为T 2，则两次振动周期之比T 1∶T 2为 （ ） A ．1∶1 B ．1∶2 C ．2∶1 D ．1∶4简谐振动特性研究实验
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