高二数学集体备课10月份教案简单的线性规划 (27)
学科组 高二年级数学组
主备人 赵士强 执教人 课 题 利用基本不等式求最值（—）
课 型
时 间
2012.
课时 教学 目标
知识与技能：能够运用基本不等式解决一些求函数最值的问题 过程与方法：通过例题的研究，进一步掌握基本不等式2
a b
ab +≤
，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
情感态度与价值观：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性
教学
设想
重点：基本不等式
2
a b
ab +≤
的应用 难点：利用基本不等式
2
a b ab +≤求最大值、最小值。
教法学法指导：启发引导式与讲练结合法
教 学 程 序 与 策 略
个性化修改
一．基本不等式
1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22
2
≥+ (2)若R b a ∈,，则2
2
2b a ab +≤（当且仅当b
a =时取“=”）
2. (1)若*
,R b a ∈，则ab b a ≥+2
(2)若*
,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）
(3)若*
,R b a ∈，则2
2?
?
? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”
） 3.若0x
>，则12x x +
≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x
+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）
若0x ≠，则11122-2x x x x
x
x
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）
3.若0>ab
，则2≥+a
b b
a (当且仅当
b a =时取“=”）
若0ab ≠，则
22-2a b a b a b
b a b a b a
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”
） 4.若R b a ∈,，则2
)2(
2
2
2b
a b a +≤
+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求
它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．
应用一：求最值 例1：求下列函数的值域
（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1
x
解：（1）y ＝3x 2＋
1
2x 2
≥23x 2·1
2x
2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）
（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1
x
≥2
x ·1
x
＝2；
当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1
x ）≤－2
x ·1
x
=－2
∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5
4
x <
，求函数14245
y x x =-+
-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1
(42)45
x x -- 不是常数，所以对42x -要进
行拆、凑项，
5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--?
?231≤-+= 当且仅当1
5454x
x
-=
-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
解析：由
知，
，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为
两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)
y x x =-凑上一个系数即可。
当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，
(82)y x x =
-的最大值为8。
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。 变式：设2
3
0<
： ∵2 3 0< 23>-x ∴ 2922322)23(22)23(42 =?? ? ??-+≤-?=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即?? ? ??∈= 23,043x 时等号成立。 技巧三： 分离 例3. 求2710 (1)1 x x y x x ++= >-+的值域。 解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。 当 ,即 时, 4 21)591 y x x ≥+? +=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。 技巧四：换元 解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t =x ＋1，化简原式在分离求最值。 22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t -+-++==++） 当,即t =时,4 259y t t ≥?+=（当t =2即x ＝1时取“＝”号）。 评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为 ()(0,0)() A y mg x B A B g x =+ +>>，g (x )恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。 课堂练习： 小结：本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的 一些最值问题。在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。 作业： 教 后 反 思