2012年北京市中学生数学竞赛高一初赛真题及答案
2012年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及参考解答
2008年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答
2008年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答 一、填空题（满分40分，每小题答对得8分） 题 号 1 2 3 4 5 答 案 N (0.5, 0.25) 321 37 + -509031.5 31 8 - 8194 1．在P (1, 1), Q (1, 2), M (2, 3), N (0.5, 0.25) 四个点中，能成为函数y = a x 的图像与其反函数的图像的公共点的只可能是 ． 答：因为10.5 2 1110.2541616???? === ? ?????，且111616 110.25log log 0.542===，所以N (0.5, 0.25) 可以是函数116x y ?? = ???的图像与其反函数116 log y x =的图像的公共点.易知，其余三点均不 可能是函数y = a x 的图像与其反函数的图像的公共点． 2．如右图所示，ABCD 是一张长方形纸片，将AD 、BC 折起，使A 、B 两点重合于 CD 边上的点P ，然后压平得折痕EF 与GH ．若PE =2cm ，PG =1cm ，EG =7cm ．则长方形纸片ABCD 的面积为 cm ． 解：由对称性知：AE =PE =2cm ，BG =PG =1cm ，所以 AB = AE +EG +GB = PE +EG +PG = 2+7+1 = 3+7 (cm)， 又由PE =2cm ，PG =1cm ，EG =7cm ，由余弦定理可知，在△PEG 中，∠EPG =120o，AD 等于△PEG 中边EG 上的高h ，易由△PEG 的面积求得 AD = h = sin12021sin1203 77 PE PG EG ???==(cm)． 所以，长方形纸片ABCD 的面积为 33321 (271)(37)3777 ++?=+?=+(cm)2． 3．二次函数f (x )满足f (–10) = 9，f (–6) = 7和f (2) = –9，则f (2008) = ． 解：设f (x ) = ax 2+bx +c ，则由题意可得 910010(1)7366(2)942(3)a b c a b c a b c =-+?? =-+??-=++? 由(1)减(3)得18 = 96a – 12b ，即3 = 16a – 2b ； 由(2)减(3)得16 = 32a – 8b ，即4 = 8a – 2b ； 解最后两式，得a = –1 8 ，b = – 52． 以a = –1 8 ，b = –52代入 –9 = 4a +2b +c ，得c = –72． A D F E G B C P H C D
2019-2020年高一数学竞赛班选拔考试试题1
2019-2020年高一数学竞赛班选拔考试试题1 一．选择题：(每题6分，共36分) 1．若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A?（A B）成立的所有a的集合是( )（1998年高中数学联赛一试第二题6分） (A){a|1≤a≤9} (B){a|6≤a≤9} (C){a|a≤9} (D)Φ 2．根据图中骰子的三种不同状态显示的数字，推出？处的数字是（） A．1 B．2 C．3 D．6 3．已知有理数x、y、z两两不等，则,, x y y z z x y z z x x y --- --- 中负数的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个或2个 4．有A、B、C、D、E共5位同学一起比赛象棋，每两人之间只比赛1盘，比赛过程中 统计比赛的盘数知：A赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘，则同学E赛了 （）盘 A．1 B.2 C.3 D.4 5．一椭圆形地块，打算分A、B、C、D四个区域栽 种观赏植物，要求同一区域种同一种植物，相邻的 两块种不同的植物，现有4 那么有（）种栽种方案. A.60 B.68 C. 78 D.84 6.甲乙两人轮流在黑板上写下不超过10的正整数，规定禁止在黑板上写已经写过的数 的约数，最后不能写的为失败者，如果甲写第一个，那么，甲写数字（）时有必 胜的策略 A．10 B.9 C.8 D.6 二．填空题：（每小题6分，共42分）
1．当整数m ＝_________时，代数式 13m 6 -的值是整数. 2．已知：a 、b 、c 都不等于0，且| abc |abc |c |c |b |b |a |a + ++的最大值为m ，最小值为n ，则 (m+n) 2004 ＝_________. 3．若n 是正整数，定义n ！=n ×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1,设 m =1！+2！+3！+4！+…+2003！+2004！，则m 的末两位数字之和为 4．不等式|x |3-2x 2-4|x |+3＜0的解集是__________ 5. 小华、小亮、小红3位同学分别发出新年贺卡x 、y 、z 张，如果已知x 、y 、z 的最小公倍数是60；x 、y 的最大公约数是4；y 、z 的最大公约数是3，已知小华至少发出了5张贺卡,那么，小华发出的新年贺卡是 张. 6．小敏购买4种数学用品：计算器、圆规、三角板、量角器的件数和用钱总数列下表： 则7. 已知a 为给定的实数，那么集合M ＝｛x ∈R| x 2 -3x-a 2 +2=0｝的子集的个数 是 三．解答题：（每小题各11分,共22分，写出必要的解答过程） 1、甲、乙两人到物价商店购买商品，商品里每件商品的单价只有8元和9元两种．已知两人购买商品的件数相同，且两人购买商品一共花费了172元，求两人共购买了两种商品各几件？ 2、 长方形四边的长度都是小于10的整数(单位:厘米),这四个长度数可以构成一个四位数,这个四位数的千位数字与百位数字相同,并且这个四位数是一个完全平方数,求这个长方形的面积. 日照实验高级中学高一数学竞赛辅导班选拔考试
第四届全国大学生数学竞赛决赛试题及解答
1 x ? ? ? ? a ? 第四届全国大学生数学竞赛决赛试题标准答案 一、(本题15分): 设A 为正常数，直线?与双曲线x 2 ? y 2 = 2 (x > 0) 所围的有 限部分的面积为A . 证明： (i) 所有上述?与双曲线x 2 ? y 2 = 2 (x > 0) 的截线段的中点的轨迹为双曲线. (ii)?总是(i)中轨迹曲线的切线. 证明：将双曲线图形进行45度旋转，可以假定双曲线方程为y = 1 , x > 0. 设 直线?交双曲线于(a, 1/a )和(ta, 1/ta ), t > 1, 与双曲线所围的面积为A . 则有 1 1 ∫ ta 1 1 1 1 1 A = 2 (1 + t )(t ? 1) ? dx = + )(t 1) log t = t ) log t. x 2 t 2 t 令f (t ) = 1 (t ? 1 ) ? log t . 由于 2 t 1 1 2 f (1) = 0, f (+∞) = +∞, f ′ (t ) = 2 (1 ? t ) > 0, (t > 1), 所以对常数A 存在唯一常数t 使得A = f (t ) (5分). ?与双曲线的截线段中点 坐标 为 1 1 1 1 x = 2 (1 + t )a, y = 2 (1 + t ) a . 于是，中点的轨迹曲线为 1 1 xy = 4 (1 + t )(1 + t ). (10分) 故中点轨迹为双曲线, 也就是函数y = 1 (1 + t )(1 + 1 ) 1 给出的曲线. 该 曲线在上述中点处的切线斜率 4 t x 1 1 1 1 k = ? 4 (1 + t )(1 + t ) x 2 = ? ta 2 , 它恰等于过两交点(a, 1/a )和(ta, 1/ta )直线?的斜率: 1 1 1 故?为轨迹曲线的切线. (15分) ta ? a ta ? a = . 二、(本题15分): 设函数f (x )满足条件: 1) ?∞ < a ≤ f (x ) ≤ b < +∞, a ≤ x ≤ b ; 2) 对于任意不同的x, y ∈ [a, b ]有|f (x ) ? f (y )| < L |x ? y |, 其中L 是大
2020年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及答案
2020年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及 答案 一、选择题（满分36分） 1. 满足条件f(x2)=[f(x)]2的二次函数是 A. f(x)=x2 B. f(x)=ax2+5 C. f(x)=x2+x D. －x2+2004 2. 在R上定义的函数y=sinx、y=sin2004、、中，偶函数的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 恰有3个实数解，则a等于 A. 0 B. 0.5 C. 1 D. 4. 实数a、b、c满足a+b>0、b+c>0、c+a>0，f(x)是R上的奇函数，并且是个严格的减函数，即若x1
C. a1，a3，a5的倒数成等差数列 D. 6a1，3a3，2a5的倒数成等比数列 二、填空题（满分64分） 1. 已知，试确定的值。 2. 已知a=1+2+3+4+…+2003+2004，求a被17除的余数。 3. 已知，若ab2≠1，且有，试确定的值。 4. 如图所示，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在等腰直角三角形DEF的斜边DF上，E在△ABC的斜边AB上，如果凸四边形ADCE的面积等于5平方厘米，那么凸四边形ABFD的面积等于多少平方厘米？ 5. 若a，b∈R，且a2+b2=10，试确定a－b的取值范围。 6. a和b是关于x的方程x4+m=9x2的两个根，且满足a+b=4，试确定m的值。 7. 求cos20°cos40°cos60°cos80°的值。 8. 将2004表示为n个彼此不等的正整数的和，求n的最大值。 初赛答案表 选择题：ADCBBA；填空题：1、－0.5 2、1 3、－1 4、10 5、[ ，] 6、49/4 7、1/16 8、62
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案 时间： 2016/3/18 注意：本试卷均为解答题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.总分150分,考试时间120分钟. 1.（本小题满分15分） 设集合{} ()() { } 2 2 2 320,2150,A x x x B x x a x a a R =-+==+++-=∈， （1）若{}2A B =求a 的值； （2）若A B A =,求a 的取值范围； （3）若(),U U R A C B A ==,求a 的取值范围. 2.（本小题满分15分）设},)]([|{},)(|{x x f f x N x x f x M ==== （1）求证：;N M ? （2）)(x f 为单调函数时，是否有N M =？请说明理由.
已知函数4 4 4 )cos (sin )cos (sin 2)(x x m x x x f +++=在]2 ,0[π ∈x 有最大值5， 求实数m 的值．
已知函数f(x)在R上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0，(1)试判断函数y＝f(x)的奇偶性； (2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2 011,2 011]上根的个数，并证明你的结论．
已知二次函数)0,,(1)(2 >∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实数根为1x 和2x . （1）如果4221<< 2011年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛参考解答 一、选择题（满分40分，每小题8分，将答案写在下面相应的空格中） 1．二次三项式x 2+ax +b 的根是实数，其中a 、b 是自然数，且ab =22011，则这样的二次三项式共有 个． 答：1341． 我们发现，实际上，数a 和b 是2的非负整数指数的幂，即，a =2k ，b =22011–k ，则判 别式Δ=a 2– 4b =22k – 422011–k =22k – 22013–k ≥0，得2k ≥2013–k ，因此k ≥ 3 2013 =671，但k ≤2011，所以k 能够取2011–671+1=1341个不同的整数值．每个k 恰对应一个所求的二次三项式，所以这样的二次三项式共有1341个. 2．如右图，在半径为1 的圆O 中内接有锐角三角形ABC ， H 是△ABC 的垂心，角平分线AL 垂直于OH ，则BC = ． 解：易知，圆心O 及垂心H 都在锐角三角形ABC 的内部，延长AO 交圆于N ，连接AH 并延长至H 1与BC 相交，连接CN ，在Rt △CAN 和Rt △AH 1B 中，∠ANC =∠ABC ，于是有∠CAN =∠BAH 1，再由 AL 是△ABC 的角平分线，得∠1=∠2． 由条件AP ⊥OH ，得AH=AO=1． 连接BO 交圆于M ，连接AM 、CM 、CH ，可知AMCH 为平行四边形， 所以CM=AH=AO =1，BM =2，因为△MBC 是直角三角形，由勾股定理得 BC == 3．已知定义在R 上的函数f (x )=x 2和g (x )=2x +2m ，若F (x )=f (g (x )) – g (f (x )) 的最小值为1 4，则m = ． 答：1 4 -． 解：由f (x )=x 2和g (x )=2x +2m ，得 F (x )= f (g (x )) – g (f (x ))=(2x +2m )2–(2x 2+2m ) =2x 2+8mx +4m 2–2m ， F (x )=2x 2+8mx +4m 2–2m 的最小值为其图像顶点的纵坐标 () 2 222242(42)84284242 m m m m m m m m ??--=--=--?． 高级中学高一数学竞赛班选拔考试试题第二卷 （第二轮 考试时间60分钟，满分100分） 班级 姓名 得分 一、选择题（每题６分，36分） 1．集合｛0,1，2,2004｝的子集的个数是 （ ） （A ）16 （B ）15 （C ）8 （D ）7 ２．乘积22221111(1)(1)(1)(1)23910 - --- 等于( ). (A)125 (B)21 (C)2011 (D)10 7 3 ．某公司从2001年起每人的年工资 主要由三个项目组成并按下表规定实施：若该公司某职工在2005年将得到的住房补贴与医疗费之和超过基础工资的25%，到2005年底这位职工的工龄至少是 （ ） （A ）2年（B ）3年（C ）4年（D ）5年 4.若F( 11x x -+)=x 则下列等式正确的是（ ）. （A ）F(-2-x)=-1-F(x)（B ）F(-x)=11x x +-（C ）F(x -1 )=F(x)（D ）F （F （x ））=-x 5．已知c b a 、、是实数，条件0:=abc p ；条件0:=a q ，则p 是q 的（ ） (A)必要不充分条件(B)充分不必要条件(C)充分必要条件(D)不充分也不必要条件 6．已知四边形ABCD 在映射f ：),(y x →)2,1(+-y x 作用下的象集为四边形 D C B A ''''。四边形ABCD 的面积等于6，则四边形D C B A ''''的面积等于（ ） A ．9 B ．26 C ．34 D ．6 二、填空题（每题5分，25分） 7．如果}66{}42,3,2,1{}2,{22--=-a a a a ，则a 的值是 。 8. Let f be a function such that 22))((2)()(y f x f y x f +=+ for any real numbers x and y , and 0)1(≠f , then (2005)f is equal to _____________. 9．甲、乙、丙、丁、戊五位同学，看五本不同的书A 、B 、C 、D 、E ，每人至少要读一本书，但不能重复读同一本书，甲、乙、丙、丁分别读了2、2、3、5本书，A 、B 、C 、D 分别被读了1、1、2、4次。那么，戊读了_______本书，E 被读了______次。 试卷编号：2126 2018年北京市中学生数学竞赛初二年级竞赛试题 一、选择题共5小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1.已知√x +1√x =3,则x x 2+2018x +1的值是( )(A)2020(B)12020(C)2025(D)12025 2.在非等腰三角形中,一个内角等于另两个内角的差,且一个内角是另一个内角的2倍.己知该三角形的最小边长等于l cm,则这个三角形的面积是 ( )(A)1cm 2(B)√32cm 2(C)√52 cm 2(D)2cm 23.n 是偶数,若从1开始,前n 个正整数的和的尾数是数字8,则后继的n 个正整数的和的尾数是数字( ) (A)6(B)4(C)2(D)0 4.如图,P (x P ,y P )为反比例函数y =2x 在平面直角坐标系xOy 的第一象限图象上一点,过点P 作x 轴、y 轴的平 行线分别交y =10x 在第一象限的图象于点A 和B ,则△AOB 的面积等于( ) (A)26(B)24(C)22(D)20 5.将数字和为11的自然数按由小到大的顺序排成一个数串,第m 个数是2018,则m 是( ) (A)134 (B)143(C)341(D)413 二、填空题共5小题。 6.295的约数中大于1000000的共有＿＿＿＿＿个. 7.若x ,y 都是自然数,关于x ,y 的方程[2.018x ]+[5.13y ]=24的解(x ,y )共有＿＿＿＿＿个.(其中[x ]表示不大于x 的最大整数) 8.D为锐角△ABC内一点,满足AD=DC,∠ADC= 2∠DBC,AB=12,BC=10,如图,则△BDC的面积等 于＿＿＿＿＿. 9.已知x1,x2,···,x n中每一个x i(i=1,2,···,n)的数值只能取?2,0,l中的一个,且满足 x1+x2+···+x n=?17,x21+x22+···+x2n=37.则(x31+x32+···+x3n)2的值为＿＿＿＿＿. 10.在1～n这n个正整数中,正约数个数最多的那些数叫做这n个正整数中的“旺数”,比如, 正整数1～20中,正约数个数最多的数是l2,18,20,所以12,18,20都是正整数1～20中的“旺数”.在正整数1～100中的所有“旺数”的最小公倍数是＿＿＿＿＿. 三、解答题共3小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 11.正整数a,b,c,d满足a2?ab+b2=c2?cd+d2.求证:a+b+c+d是合数. 12.三个斜边彼此不等的等腰直角三角形ADC,DPE和 BEC.如图所示,其中AD=CD,DP=EP,BE=CE; ∠ADC=∠DPE=∠BEC=90?,求证:P是线段AB的中 点. 13.求证:在十进制表示中,数29的某个正整数幂的末三位数字是001. 高级中学高一数学竞赛班选拔考试试题第一卷 （第一轮考试时间100分钟，满分100分） 一．选择题：(每题6分，共36分) 1．若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A?（A B）成立的所有a的集合是( )（1998年高中数学联赛一试第二题6分） (A){a|1≤a≤9} (B){a|6≤a≤9} (C){a|a≤9} (D)Φ 2．根据图中骰子的三种不同状态显示的数字，推出？处的数字是（） A．1 B．2 C．3 D．6 3．已知有理数x、y、z两两不等，则,, x y y z z x y z z x x y --- --- 中负数的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个或2个 4．有A、B、C、D、E共5位同学一起比赛象棋，每两人之间只比赛1盘，比赛过程中统计比赛的盘数知：A赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘，则同学E赛了（）盘 A．1 B.2 C.3 D.4 5．一椭圆形地块，打算分A、B、C、D四个区域栽 种观赏植物，要求同一区域种同一种植物，相邻的 两块种不同的植物，现有4 那么有（）种栽种方案. A.60 B.68 C. 78 D.84 6.甲乙两人轮流在黑板上写下不超过10的正整数，规定禁止在黑板上写已经写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲写第一个，那么，甲写数字（）时有必 胜的策略 A ．10 B.9 C.8 D.6 二．填空题：（每小题6分，共42分） 1．当整数m ＝_________时，代数式 1 3m 6-的值是整数. 2．已知：a 、b 、c 都不等于0，且|abc |abc |c |c |b |b |a |a +++的最大值为m ，最小值为n ，则 (m+n) 2004＝_________. 3．若n 是正整数，定义n ！=n ×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1,设 m =1！+2！+3！+4！+…+2003！+2004！，则m 的末两位数字之和为 4．不等式|x |3-2x 2-4|x |+3＜0的解集是__________ 5. 小华、小亮、小红3位同学分别发出新年贺卡x 、y 、z 张，如果已知x 、y 、z 的最小公倍数是60；x 、y 的最大公约数是4；y 、z 的最大公约数是3，已知小华至少发出了5张贺卡,那么，小华发出的新年贺卡是 张. 6．小敏购买4种数学用品：计算器、圆规、三角板、量角器的件数和用钱总数列下表： 则7. 已知a 为给定的实数，那么集合M ＝｛x ∈R| x 2 -3x-a 2+2=0｝的子集的个数 是 三．解答题：（每小题各11分,共22分，写出必要的解答过程） 1、甲、乙两人到物价商店购买商品，商品里每件商品的单价只有8元和9元两种．已知两人购买商品的件数相同，且两人购买商品一共花费了172元，求两人共购买了两种商品各几件？ 2、 长方形四边的长度都是小于10的整数(单位:厘米),这四个长度数可以构成一个四位数,这个四位数的千位数字与百位数字相同,并且这个四位数是一个完全平方数,求这个长方形的面积. 2009年康杰中学高一数学竞赛选拔试题 2009.10 一、选择题（每小题5分） 1．f 是集合{}d c b a M ,,,=到{}2,1,0=N 的映射，且4)()()()(=+++d f c f b f a f 则不同的映射有（ ）个 A ．13 B ．19 C ．21 D ．23 2．已知函数）（x f 满足：对任意R y x ∈、都有,0)1()(2)()(22≠+=+f y f x f y x f 且 )2007(f 则的值为（ ） A ．1002.5 B ．1003 C ．1003.5 D ．1004 3．函数)1,(2)(2-∞+-=在区间a ax x x f 上有最小值，则函数在区x x f x g )()(=间 ），（∞+1上一定（ ） A ．有最小值 B ．有最大值 C ．是减函数 D ．是增函数 4．满足方程11610145=+-++ +-+x x x x 的实数解x 的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．无数多 5．将2008表示为)(+∈N k k 个互异的平方数之和，则K 的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6．给出函数?????<+≥=4) 1(4)21()(x x f x x f x 则)(log 32f 等于（ ） A ．823- B ．111 C ．191 D ．24 1 7．已知9 99999???+???++=n 则n 的十进位制表示中，数码1有（ ）个 99个 A ．50 B ．99 C ．90 D ．100 8．已知1009921)(,*-+-+???+-+-=∈x x x x x f N x 的最小值等于（ ） A ．2500 B ．4950 C ．5050 D ．5150 9．如图：已知在ABC Rt ?中，35=AB ，一个边长为12的正方 形CDEF 内接于ABC ?，则ABC ?的周长为（ ） A ．35 B ．40 C ．81 D ．84 10．已知b a 、是方程34log log 32733- =+x x 的两个根，则b a +=（ ） A ．2710 B ．814 C ．8110 D ．81 28 2014年北京市中学生数学竞赛（初二）试题 一、选择题（每小题5分，共25分） 1.若5=+b a ，则ab b ab a b b a a 32 2 4 224+++++=（ ） A ．5 B. 253 C. 52 D. 2 5 5 2.已知一个面积为S 且边长为1的正六边形，其六条最短的对角线两两相交的交点构成一个面积为A 的小正六边形的顶点. 则 S A =（ ） A ．41 B. 31 C. 22 D. 2 3 3.在数29 998，29 999，30 000，30 001中，可以表示为三个连续自然数两两乘积之和的是（ ） A ．30 001 B. 30 000 C. 29 999 D. 29 998 4.已知A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）是反比例函数x y 1 = 在平面直角坐标系xOy 的第一象限上图象的两点，满足2721=+y y ，3 5 12=-x x . 则=?AOB S （ ） A ．11102 B. 12112 C. 13122 D. 14 132 5.有2 015个整数，任取其中2 014个相加，其和恰可取到1，2，…，2 014这2 014个不同的整数值. 则这2 015个整数之和为（ ） A ．1 004 B. 1 005 C. 1 006 D. 1 008 二、填空题（每小题7分，共35分） 1.在1～10 000的自然数中，既不是完全平方数也不是完全立方数的整数有 个. 2. =?+++] 2015[]2014[] 2016[]2015[]2014[]2013[ （][x 表示不超过实 数x 的最大整数）. 3.在四边形ABCD 中，已知BC=8，CD=12，AD=10，∠A=∠B=60°.则AB= . 4.已知M 是连续的15个自然数1，2，…，15的最小公倍数.若M 的约数中恰被这15个自然数中的14个数整除，称其为M 的“好数”.则M 的好数有 个. 5.设由1～8的自然数写成的数列为1a ，2a ，…，8a .则 浙江省首届高等数学竞赛试题（2002.12.7） 一． 计算题(每小题5分，共30分) 1 ．求极限lim x →。 2．求积分 |1|D xy dxdy -??，11{(,)2,2}22D x y x y =≤≤≤≤。 3．设2x y x e =是方程hx y ay by ce '''++=的一个解，求常数,,,a b c h 。 4．设()f x 连续，且当1x >-时，20()[()1]2(1)x x xe f x f t dt x +=+? ，求()f x 。 5．设21 1arctan 2n n k S k ==∑，求lim n n S →∞。 6．求积分1 2121(1)x x x e dx x ++ -?。 2003年浙江省大学生高等数学竞赛试题（2003.12.6） 一．计算题 7．求20 50sin()lim x x xt dt x →?。 8．设31()sin x G x t t dt =?，求21()G x dx ?。 9．求2401x dx x ∞+?。 10． 求∑=∞→++n k n k n k n 12lim 。 浙江省大学生第三届高等数学竞赛试题 1．计算：( )()2 00cos 2lim tan 1x t x x e tdt x x x →----?。 2．计算：20cos 2004 x dx x x π ππ+-+?。 3．求函数()22,415f x y x y y =++在 (){}22,41x y x y Ω=+≤上的最大、小值。 4．计算：()3max ,D xy x d σ?? ，其中(){},11,01D x y x y =-≤≤≤≤。 5. 设()1tan 1x f x arc x -=+，求)0()(n f 。 天津市竞赛题 1.证明??+≤?+020220 21cos 1sin dx x x dx x x ππ. 2. 设函数)(x f 在闭区间]2,2[-上具有二阶导数,,1)(≤x f 且 ,4)]0([)]0([22='+f f 证明：存在一点),2,2(-∈ξ使得0)()(=''+ξξf f . 3. （1）证明：当x 充分小时,不等式422tan 0x x x ≤-≤成立. （2）设,1tan 12 k n x n k n +=∑=求.lim n x x ∞ → 4. 计算??????+-??? ??+-∞→61231e 2lim n n n n n n 。5. 设()x x x f +-=11arctan ，求()()05f 。 6. 对k 的不同取值，分别讨论方程01323=+-kx x 在区间()+∞,0内根的个数。 7. 设a ，b 均为常数且2->a ，0≠a ，问a ，b 为何值时，有 ()()??-=?? ????-+++∞ +10212d 1ln d 122x x x a x x a bx x 。 8.设121-≥a ， ,,,n ,a a n n 321121=+=+，证明：n n a ∞ →lim 存在并求其值。 9.设()x f 是区间[]2+a,a 上的函数，且()1≤x f ，()1≤''x f ，证明：()2≤'x f ，[]2+∈a,a x 。 北京市竞赛试题(2008、2007、2006) .______,111,1.11 =-+++-→-m x x x m x m 则的等价无穷小是时设当 .________)1(,) ()2)(1()()2)(1()(.2='+++---=f n x x x n x x x x f 则设 2021年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及答案 一、填空题（满分64分） 1. 已知，试确定的值。 2. 已知a=1+2+3+4+…+2003+2004，求a被17除的余数。 3. 已知，若ab2≠1，且有，试确定的值。 4. 如图所示，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在等腰直角三角形DEF的斜边DF上，E在△ABC的斜边AB上，如果凸四边形ADCE的面积等于5平方厘米，那么凸四边形ABFD的面积等于多少平方厘米？ 5. 若a，b∈R，且a2+b2=10，试确定a－b的取值范围。 6. a和b是关于x的方程x4+m=9x2的两个根，且满足a+b=4，试确定m的值。 7. 求cos20°cos40°cos60°cos80°的值。 8. 将2004表示为n个彼此不等的正整数的和，求n的最大值。 初赛答案表 选择题：ADCBBA；填空题：1、－0.5 2、1 3、－1 4、10 5、[ ， ] 6、49/4 7、1/16 8、62 二、选择题（满分36分） 1. 满足条件f(x2)=[f(x)]2的二次函数是 A. f(x)=x2 B. f(x)=ax2+5 C. f(x)=x2+x D. －x2+2004 2. 在R上定义的函数y=sinx、y=sin2004、、中，偶函数的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 恰有3个实数解，则a等于 A. 0 B. 0.5 C. 1 D. 4. 实数a、b、c满足a+b>0、b+c>0、c+a>0，f(x)是R上的奇函数，并且是个严格的减函数，即若x1 高二数学基础知识竞赛活动方案 一、活动目的： 为了夯实基础知识，促进学生对书上基础知识、定理、定义、概念的理解掌握；同时为了培养学生学习数学的兴趣，提高数学思维，本着“抓基础，练技能”的宗旨，考查学生对数学基础知识的掌握举办此次数学知识竞赛。 二、竞赛各项人员安排： 1、出卷人：项娇 2、监考人员： 初赛：各值班老师 复赛：张美玲 3、阅卷：全体高二数学老师 4、复习资料准备：刘江 5、海报宣传：何卫东、贠朝栋 三、竞赛时间及地点： 时间 初赛：2017年11月19日第七、八节课 复赛：2017年11月26日晚上6：10-8：10 活动地点：初赛各班教室 复赛五楼多媒体 四、活动形式及范围： （一）活动形式： 初赛：笔试，内容包含选择题、填空题、问答题、计算题四部分组成。为保证比赛公平性，试卷采用AB卷。初赛过后，在两天内公布初赛成绩的前98名光荣榜，进入复赛。 复赛：笔试，形式与初赛相同。复赛结束后，在两天内公布复赛成绩的前50名。前24名颁发奖品及证书。前24名展板公示。 （二）竞赛出题范围： 高中数学教材必修1-必修5，共5册。 五、活动宣传： （1）媒体宣传：邀请广播站进行媒体宣传。 （2）海报宣传：用文字插图形式把此次活动主题进行介绍，制作一定量的宣传 海报贴于宣传栏内和公示栏内。（制作海报需要专业技术，请广告公司做出海报，我们负责粘贴） （3）课堂宣传：每班教师利用上课的机会在课上进行介绍。 六、其他 1、阅卷形式为流水阅卷。初赛面向学考，注重学困生的排查；复赛面向高考， 注重学优生选拔，其中复赛试卷需文理分开制卷，请制卷老师加以注意。 2、初赛前由广播员宣读竞赛细则、复赛前由监考员宣读竞赛细则。 3、参赛人员一律按照比赛规则进行参赛。如不按照比赛规则进行当做弃权处理。 4、参赛者参赛过程中一律不得查阅相关资料和使用手机等作弊行为。若发现任何作弊行为，立即做弃权处理。 5、各参赛人员准时到达比赛地点，比赛时间不到者作弃权处理。 6、比赛开始后监考员必须将手机调为静音或振动状态，以免影响选手发挥。 七、经费预算： 物品数量金额（元）初赛试卷650份 复赛试卷110份 奖品30件10X30 荣誉证书30张5X30 展板1张 宣传海报2张 其他 总计 第十九届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答 一、填空题（每小题3分，共30分） 1. ?? ????+-+-+∞→1)2(lim 61 23x e x x x x x = 1/6 . 2．设)(x f 连续，在1=x 处可导，且满足 ,0,)(8)sin 1(3)sin 1(→+=--+x x o x x f x f 则曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程为 y =2x －2 . 3. 设243),(lim 2 20 =+-+→→y x y x y x f y x , 则 ='+')0,0()0,0(2y x f f －2 . 4．设函数()u ?可导且(0)1?=，二元函数()xy z x y e ?=+满足 0z z x y ??+=??，则()u ?=2 4u e - . 5. 设D 是由曲线x y sin = )22(π≤≤π- x 和直线2 π -=x , 1=y 所围成的区域, f 是连续函数, 则=++=??D dxdy y x f y x I )](1[223 －2 . 6. 123ln 1ln 1ln 1ln 1lim 123n n n n n n n n n n n n n n n →+∞??????????++++ ? ? ? ? ????????? ?++++= ?++++ ??? L 2ln 21- . 7. 数项级数 ∑∞ =--1 )! 2()! 2()1(n n n n n n 的和=S －1+cos1+ln2. 8. 计算积分???++π= 1 021 01 0)](6[cos dz z y x dy dx I = 1/2 . 9. 已知入射光线的路径为23 1 41-=-=-z y x , 则此光线经过平面01752=+++z y x 反射后的反射线 方程为 4 1537-= +=+z y x . 10. 设曲线2 2 2 :a y xy x C =++的长度为L , 则=++?C y x y x ds e e e b e a )sin()sin() sin()sin(L b a 2 + . 二、(10分) 设()f x 在[,)a +∞上二阶可导，且,0)(,0)(<'>a f a f 而当a x >时, ,0)(≤''x f 证明在(,)a +∞内，方程()0f x =有且仅有一个实根． 证明 由于当x a >时，,0)(≤''x f 因此'()f x 单调减，从而'()'()0f x f a ≤<，于是又有()f x 严格单调减．再由()0f a >知，()f x 最多只有一个实根． 下面证明()0f x =必有一实根．当x a >时， 高一数学竞赛班选拔考试 班级 姓名 学号 一、填空题（每道10分，共60分） 1、 函数x x x f +-=22 1)(的定义域、值域分别是][n m ，和]22[n m ，. 则=m ， =n .（答案：-2， 0） 2、 △ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，P 是BC 上一点，且PE ⊥AB 于E ，且PF ⊥AC 于F. 则PE ＋PF ＝ .（答案：12013 ） 3、 定义n ！＝n n ?-??????????)1(321. 若12！＝k 12·p (k ,N p ∈) 则k 的最大值是 .（答案：5） 4、甲、乙、丙、丁四位同学参加市的数学比赛，已知乙的得分比甲、丁得分之和多，甲、乙得分之和等于丙、丁得分之和；如果将甲、丁的得分交换一下，则丙、丁的得分之和超过甲、乙的得分之和. 他们的得分都是非负数，那么这四人得分从高到低的排列是 .（答案：丙，乙，甲，丁） 5、等边三角形ABC 内有一点P ，已知PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5. 则∠APB ＝ . （答案：150°） 6、已知函数)(x f 满足： ① 定义域为),0[∞+； ② 对任意的∈x ),0[∞+，都有)3(x f ＝)(3x f ③ 当∈x )3,1[时，21)(--=x x f . 则=)2006 (f .（答案：181） 二，解答题（每道20分，共40分） 1、已知函数)(x f 是定义在R 上的函数，且满足x x x f x x x f f +-=+-22)(])([ ⑴ 若3)2(=f ，求)1(f ；又若a f =)0(，求)(a f ； ⑵ 设有且仅有一个实数0x ，使得00)(x x f =，求)(x f 的表达式. （2006年重庆高考题） 第十九届北京市大学生数学竞赛本科丙组试题及解答 一、填空题（每小题3分，共30分） 1．?? ????+-+-+∞→1)2(lim 6 1 23x e x x x x x = 1/6 . 2．设)(x f 连续，在1=x 处可导，且满足 )0(,)(8)sin 1(3)sin 1(→+=--+x x o x x f x f 则曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程为 y =2x －2 . 3．设)(x y y =是由0sin ) ln(2 =- ? +-y y x t dt e y 所确定的函数,则 ==0 y dx dy －1 . 4. 设243),(lim 2 20 0=+-+→→y x y x y x f y x , 则='+')0,0()0,0(2y x f f －2 . 5. 1sin 1cos x x e dx x +=+?tan 2 x x e C + . 6．设函数()u ?可导且(0)1?=，二元函数()xy z x y e ?=+满足 0z z x y ??+=??，则()u ?=24 u e - . 7. = += +≤+??D dxdy y x I y x y x D )32(,:22则设π4 5 . 8. 数项级数 ∑∞ =--1 )! 2()! 2()1(n n n n n n 的和=S －1+cos1+ln2. 9. 123ln 1ln 1ln 1ln 1lim 123n n n n n n n n n n n n n n n →+∞?? ????????++++ ? ? ? ? ? ???????? ? ++++= ?++++ ??? 2ln21- . 10.= ='==+'+''? ∞+0 )(1)0(,0)0(044)(dx x y y y y y y x y 则，，且满足方程函数设4 1 . 北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛 试题参考解答 选择题答案 填空题答案 一、选择题: 1．集合A ={2, 0, 1, 7}，B ={x | x 2?2∈A , x ?2?A }，则集合B 的所有元素之积为 （A ）36． （B ）54． （C ）72． （D ）108． 答：A ． 解：由x 2?2∈A ，可得x 2=4，2，3，9，即x =±2，，，±3． 又因为x ?2?A ，所以x ≠2，x ≠3，故x = ?2，，?3． 因此，集合B ={?2, , , , ，?3}． 所以，集合B 的所有元素的乘积等于(?2)()()(?3)=36． 2．已知锐角△ABC 的顶点A 到它的垂心与外心的距离相等，则tan(2 BAC ∠)= （A （B ）2 ． （C ）1． （D 答：A ． 解：作锐角△ABC 的外接圆，这个圆的圆心O 在形内，高AD ，CE 相交于点H ，锐角△ABC 的垂心H 也在 形内． 连接BO 交⊙O 于K ，BK 为O e 的直径. 连接AK ，CK ． 因为AD ，CE 是△ABC 的高，∠KAB ，∠KCB 是直径BK 上的圆周角，所以∠KAB =∠KCB =90°．于是KA//CE ，KC//AD ，因此AKCH 是平行四边形． 所以KC =AH =AO = 1 2 BK ． 在直角△KCB 中，由KC =1 2 BK ，得∠BKC =60°，所以∠BAC =∠BKC =60°． 故tan( 2 BAC ∠)= tan30° ． 3．将正奇数的集合{1, 3, 5, 7, …}从小到大按第n 组2n ?1个数进行分组：{1}，{3, 5, 7}，{9, 11, 13, 15, 17}，…，数2017位于第k 组中，则k 为 （A ）31． （B ）32． （C ）33． （D ）34． 答：B. 解：数2017是数列a n = 2n ?1的第1009项．设2017位于第k 组，则 1+3+5+…+(2k ?1)≥1009，且1+3+5+…+(2k ?3)＜1009． 即k 是不等式组22 1009 (1)1009 k k ?≥?-北京市中学生数学竞赛高一级复赛参考解答Word版
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