均方连续过程的样本函数可能不连续..
应用随机过程试题及答案 一.概念简答题(每题5 分,共40 分) 1. 写出卡尔曼滤波的算法公式 2. 写出ARMA(p,q)模型的定义 3. 简述Poisson 过程的随机分流定理 4. 简述Markov 链与Markov 性质的概念 5. 简述Markov 状态分解定理 6.简述HMM 要解决的三个主要问题得分B 卷(共9 页)第2 页7. 什么是随机过程,随机序列?8.什么是时齐的独立增量过程?二.综合题(每题10 分,共60 分) 1 .一维对称流动随机过程n Y , 0 1 0, , n n k k Y Y X ? ? ? ? 1 ( 1) ( 1) , 2 k k k X p x p x ? ? ? ? ? 具有的概率分布为且1 2 , , ... X X 是相互独立的。试求1 Y 与2 Y 的概率分布及其联合概率分布。 2. 已知随机变量Y 的密度函数为其他而且,在给定Y=y 条件下,随机变量X 的条件密度函数为? ? 其他试求随机变量X 和Y 的联合分布密度函数( , ) f x y . 得分B 卷(共9 页)第3 页 3. 设二维随机变量( , ) X Y 的概率密度为( ,其他试求p{x<3y} 4.设随机过程( ) c o s 2 , ( , ) , X t X t t ? ? ? ? ? ? X 是标准正态分布的随机变量。试求数学期望( ) t E X ,方差( ) t D X ,相关函数1 2 ( , ) X R t t ,协方差1 2 ( , ) X C t t 。B 卷(共9 页)第4 页5 .设马尔科夫链的状态空间为I={0,1}, 一步转移概率矩阵为
第五章 连续时间的马尔可夫链 5.1连续时间的马尔可夫链 考虑取非负整数值的连续时间随机过程}.0),({≥t t X 定义5.1 设随机过程}.0),({≥t t X ,状态空间}0,{≥=n i I n ,若对任意 121...0+<<<≤n t t t 及I i i i n ∈+121,...,,有 })(,...)(,)()({221111n n n n i t X i t X i t X i t X P ====++ =})()({11n n n n i t X i t X P ==++ (5.1) 则称}.0),({≥t t X 为连续时间马尔可夫链. 由定义知,连续时间马尔可夫链是具有马尔可夫性的随机过程,即过程在已知现在时刻n t 及一切过去时刻所处状态的条件下,将来时刻1+n t 的状态只依赖于现在状态而与过去无关. 记(5.1)式条件概率一般形式为 ),(})()({t s p i s X j t s X P ij ===+ (5.2) 它表示系统在s 时刻处于状态i,经过时间t 后转移到状态j 的转移概率. 定义5.2 若(5.2)式的转移概率与s 无关,则称连续时间马尔可夫链具有平稳的或齐次的转移概率,此时转移概率简记为 ),(),(t p t s p ij ij = 其转移概率矩阵简记为).0,,()),(()(≥∈=t I j i t p t P ij 以下的讨论均假定我们所考虑的连续时间马尔可夫链都具有齐次转移概率.简称为齐次马尔可夫过程. 假设在某时刻,比如说时刻0,马尔可夫链进入状态i,而且接下来的s 个单位时间单位中过程未离开状态i,(即未发生转移),问随后的t 个单位时间中过程仍不离开状态i 的概率是多少呢?由马尔可夫我们知道,过程在时刻s 处于状态i 条件下,在区间[s,s+t]中仍然处于i 的概率正是它处于i 至少t 个单位的无条件概率..若记 i h 为记过程在转移到另一个状态之前停留在状态i 的时间,则对一切s,t 0≥有 },{}{t h P s h t s h P i i i >=>+> 可见,随机变量i h 具有无记忆性,因此i h 服从指数分布. 由此可见,一个连续时间马尔可夫链,每当它进入状态i,具有如下性质: (1) 在转移到另一状态之前处于状态i 的时间服从参数为i v 的指数分布;
第一章 随机过程的基本概念与基本类型 一.随机变量及其分布 1.随机变量X , 分布函数)()(x X P x F ≤= 离散型随机变量X 的概率分布用分布列 )(k k x X P p == 分布函数∑=k p x F )( 连续型随机变量X 的概率分布用概率密度)(x f 分布函数? ∞ -=x dt t f x F )()( 2.n 维随机变量),,,(21n X X X X = 其联合分布函数),,,,(),,,()(221121n n n x X x X x X P x x x F x F ≤≤≤== 离散型 联合分布列 连续型 联合概率密度 3.随机变量的数字特征 数学期望:离散型随机变量X ∑= k k p x EX 连续型随机变量X ?∞ ∞ -=dx x xf EX )( 方差:222)()(EX EX EX X E DX -=-= 反映随机变量取值的离散程度 协方差(两个随机变量Y X ,):EY EX XY E EY Y EX X E B XY ?-=--=)()])([( 相关系数(两个随机变量Y X ,):DY DX B XY XY ?= ρ 若0=ρ,则称Y X ,不相关。 独立?不相关?0=ρ 4.特征函数)()(itX e E t g = 离散 ∑=k itx p e t g k )( 连续 ?∞ ∞ -=dx x f e t g itx )()( 重要性质:1)0(=g ,1)(≤t g ,)()(t g t g =-,k k k EX i g =)0( 5.常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差 0-1分布 q X P p X P ====)0(,)1( p EX = pq DX = 二项分布 k n k k n q p C k X P -==)( np EX = n p q DX = 泊松分布 ! )(k e k X P k λλ -== λ=EX λ=DX 均匀分布略 正态分布),(2 σa N 2 22)(21)(σσ πa x e x f -- = a EX = 2 σ=DX
第五章复习题 1. 证明泊松过程(){} ,0X t t ≥为连续时间齐次马尔可夫链。 证 先证泊松过程的马尔可夫性。泊松过程是独立增量过程,且()00X =,对任意 1210n n t t t t +<<<<<有 1111111121211111{()|(),,()} {()()|()(0),()(),,()()} {()()} n n n n n n n n n n n n n n n n P X t i X t i X t i P X t X t i i X t X i X t X t i i X t X t i i P X t X t i i ++++--++====-=--=-=--=-=-=-另一方面 111111{()|()} {()()|()(0)}{()()} n n n n n n n n n n n n n n P X t i X t i P X t X t i i X t X i P X t X t i i ++++++===-=--==-=- 所以111111{()|(), ,()}{()|()}n n n n n n n n P X t i X t i X t i P X t i X t i ++++====== 即泊松过程是一个连续时间马尔可夫链。 再证齐次性,当j i ≥时, (){()|()}{()()}()! j i t t P X s t j X s i P X s t X s j i e j i λλ--+===+-=-=- 当j i <时,因增量只取非负整数值,故(),0ij p s t =, 所以(),(,)()()! 0,j i t ij ij t e j i p s t p t j i j i λλ--?≥?==-?? 转移概率与s 无关,泊松过程具有齐次性。 2、连续时间齐次马尔可夫链的科尔莫戈罗夫向后方程是()()()ij ik kj ii ij k i p t q p t q p t ≠'=-∑,其 矩阵表达式为()()P t QP t '=,其中()P t 是马尔可夫链的状态转移矩阵,Q 是马尔可夫链的转移速率矩阵。 3、连续时间齐次马尔可夫链的科尔莫戈罗夫向前方程是()()()ij ik kj ij jj k i p t p q t p q t ≠'=-∑,其 矩阵表达式为()()P t P t Q '=,其中()P t 是马尔可夫链的状态转移矩阵,Q 是马尔可夫链的转移速率矩阵。 4、连续时间的马尔可夫链在t 时刻处于状态j I ∈的绝对概率()j p t 满足福克-普朗克方程是()()()()j k kj j jj k i p t p t q t p t q ≠'= -∑。
第一章 随机过程的基本概念 一、随机过程的定义 例1:医院登记新生儿性别,0表示男,1表示女,X n 表示第n 次登记的数字,得到一个序列X 1 , X 2 , ···,记为{X n ,n=1,2, ···},则X n 是随机变量,而{X n ,n=1,2, ···}是随机过程。 例2:在地震预报中,若每半年统计一次发生在某区域的地震的最大震级。令X n 表示第n 次统计所得的值,则X n 是随机变量。为了预测该区域未来地震的强度,我们就要研究随机过程{X n ,n=1,2, ···}的统计规律性。 例3:一个醉汉在路上行走,以概率p 前进一步,以概率1-p 后退一步(假设步长相同)。以X(t)记他t 时刻在路上的位置,则{X(t), t ≥0}就是(直线上的)随机游动。 例4:乘客到火车站买票,当所有售票窗口都在忙碌时,来到的乘客就要排队等候。乘客的到来和每个乘客所需的服务时间都是随机的,所以如果用X(t)表示t 时刻的队长,用Y(t)表示t 时刻到来的顾客所需等待的时间,则{X(t), t ∈T}和{Y(t), t ∈T}都是随机过程。 定义:设给定参数集合T ,若对每个t ∈T, X(t)是概率空间),,(P ?Ω上的随机变量,则称{X(t), t ∈T}为随机过程,其中T 为指标集或参数集。 E X t →Ω:)(ω,E 称为状态空间,即X(t)的所有可能状态构成的集合。 例1:E 为{0,1} 例2:E 为[0, 10] 例3:E 为},2,2,1,1,0{Λ-- 例4:E 都为), 0[∞+ 注:(1)根据状态空间E 的不同,过程可分为连续状态和离散状态,例1,例3为离散状态,其他为连续状态。 (2)参数集T 通常代表时间,当T 取R, R +, [a,b]时,称{X(t), t ∈T}为连续参数的随机过程;当T 取Z, Z +时,称{X(t), t ∈T}为离散参数的随机过程。 (3)例1为离散状态离散参数的随机过程,例2为连续状态离散参数的随机过程,例3为离散状态连续参数的随机过程,例4为连续状态连续参数的随机过程。 二、有限维分布与Kolmogorov 定理 随机过程的一维分布:})({),(x t X P x t F ≤= 随 机 过 程 的 二 维 分 布 :
第一章 随机过程的基本概念 一、随机过程的定义 例1:医院登记新生儿性别,0表示男,1表示女,X n 表示第n 次登记的数字,得到一个序列X 1 , X 2 , ···,记为{X n ,n=1,2, ···},则X n 是随机变量,而{X n ,n=1,2, ···}是随机过程。 例2:在地震预报中,若每半年统计一次发生在某区域的地震的最大震级。令X n 表示第n 次统计所得的值,则X n 是随机变量。为了预测该区域未来地震的强度,我们就要研究随机过程{X n ,n=1,2, ···}的统计规律性。 例3:一个醉汉在路上行走,以概率p 前进一步,以概率1-p 后退一步(假设步长相同)。以X(t)记他t 时刻在路上的位置,则{X(t), t ≥0}就是(直线上的)随机游动。 例4:乘客到火车站买票,当所有售票窗口都在忙碌时,来到的乘客就要排队等候。乘客的到来和每个乘客所需的服务时间都是随机的,所以如果用X(t)表示t 时刻的队长,用Y(t)表示t 时刻到来的顾客所需等待的时间,则{X(t), t ∈T}和{Y(t), t ∈T}都是随机过程。 定义:设给定参数集合T ,若对每个t ∈T, X(t)是概率空间),,(P ?Ω上的随机变量,则称{X(t), t ∈T}为随机过程,其中T 为指标集或参数集。 E X t →Ω:)(ω,E 称为状态空间,即X(t)的所有可能状态构成的集合。 例1:E 为{0,1} 例2:E 为[0, 10] 例3:E 为},2,2,1,1,0{Λ-- 例4:E 都为),0[∞+ 注:(1)根据状态空间E 的不同,过程可分为连续状态和离散状态,例1,例3为离散状态,其他为连续状态。 (2)参数集T 通常代表时间,当T 取R, R +, [a,b]时,称{X(t), t ∈T}为连续参数的随机过程;当T 取Z, Z +时,称{X(t), t ∈T}为离散参数的随机过程。 (3)例1为离散状态离散参数的随机过程,例2为连续状态离散参数的随机过程,例3为离散状态连续参数的随机过程,例4为连续状态连续参数的随机过程。 二、有限维分布与Kolmogorov 定理 随机过程的一维分布:})({),(x t X P x t F ≤= 随机过程的二维分布:T t t x t X x t X P x x F t t ∈≤≤=21221121,,},)(,)({),(21 随机过程的n 维分布:
山东财政学院 2009—2010学年第 1 学期期末考试《应用随机过程》试卷(A ) (考试时间为120分钟) 参考答案及评分标准 考试方式: 闭卷 开课学院 统计与数理学院 使用年级 07级 出题教师 张辉 一. 判断题(每小题2分,共10分,正确划√,错误划ⅹ) 1. 严平稳过程一定是宽平稳过程。(ⅹ ) 2. 非周期的正常返态是遍历态。(√ ) 3. 若马氏链的一步转移概率阵有零元,则可断定该马氏链不是遍历的。(ⅹ ) 4. 有限马尔科夫链没有零常返态。(√ ) 5.若状态i 有周期d, 则对任意1≥n , 一定有:0)(?nd ii p 。(ⅹ ) 二. 填空题(每小题5分,共10分) 1. 在保险公司的索赔模型中,设索赔要求以平均每月两次的速率的泊松过程到达保险公司,若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布,一年中保险公司的平均赔付金额是__240000元___。 2.若一个矩阵是随机阵,则其元素满足的条件是:(1)任意元素非负(2)每行元素之和为1。 三. 简答题(每小题5分,共10分) 1. 简述马氏链的遍历性。 答:设)(n ij p 是齐次马氏链{}1,≥n X n 的n 步转移概率,,如果对任意 I j i ∈,存在不 依赖于i 的极限0) (?=j n ij p p ,则称齐次马氏链{}1,≥n X n 具有遍历性。 2. 非齐次泊松过程与齐次泊松过程有何不同?
答:非齐次泊松过程与齐次泊松过程的不同在于:强度λ不再是常数,而是与t 有关,也就是说,不再具有平稳增量性。它反映了其变化与时间相关的过程。如设备的故障率与使用年限有关,放射物质的衰变速度与衰败时间有关,等等。 四. 计算、证明题(共70分) 1. 请写出C —K 方程,并证明之. (10分) 解: 2. 写出复合泊松过程的定义并推算其均值公式. (15分) 解:若{}0),(≥t t N 是一个泊松过程,是 ,2,1,=i Y i 一族独立同分布的随机变量,并且与{}0),(≥t t X 也是独立的, )(t X =∑=t N i i Y 1,那么{}0),(≥t t X 复合泊松过程