3弧度制
西乡一中2012---2013学年度第一学期 数学导学案 编号： 第 周第 课时 编写人：祝文静 审核人： 审批人： 组评： 师评：
教学，重要的不是教师的“教”，而是学生的“学”。 1 / 1
弧度制 班级： 姓名： 学号： 学习目标 ：1、掌握弧度制的定义；
2、学会弧度制与角度制互化；
3、了解角的集合与实数集R 一一对应关系.
学习重点：理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；弧长和面积公式及应用。 学习过程: 一、自主学习： 1、预习课本86--p
2：（复习）角度制规定，将一个圆周分成 份，每一份叫做 度， 故一周等于 度，平角等于 度，直角等于 度. 3：（新知）（1）长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写). 这种度量角的单位制称为 . （2）① 1rad 等于 度；1?等于 弧度.
② 角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系.
（3）① 正角的弧度数是 数，负角的弧度数是 数,零角的弧度数是 .② 角α的弧度数的
绝对值 l
r
α=. （l 为弧长，r 为半径）
4、完成特殊角的度数与弧度数的对应表.
1．（1）把45°化成弧度； （2）把
5
3π
rad 化成度。
2、用弧度制表示：（1）终边在x 轴上的角的集合；（2）终边在y 轴上的角的集合。
3、利用弧度制证明扇形面积公式S ＝21
lr ，其中l 是扇形的弧长，r 是圆的半径。
4、扇形半径为45，圆心角为120°，用弧度制求弧长、面积.
三、 课后作业：
1. 把2230'?化成弧度表示是（ ）.
A.
4π B. 8π C. 16π D. 32π 2. 若α＝－3，则角α的终边在（ ）. A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3 下午正2点时，时针和分针的夹角为（ ）.
A. 6π
B. 4π
C. 3π
D. 2
π
4. 半径为2的圆的圆心角所对弧长为6，则其圆心角为 rad .
5. 54
π化为度表示是 .
6、 直径为20cm 的圆中，求下列各圆心角所对的弧长： ⑴43
π
； ⑵ 165 .
7. 用弧度制表示终边在x 轴负半轴上角的集合？终边在y 轴正半轴上角的集合？终边在第三象限角的集合？
四、学习小结与反思：
1.1.2 弧度制 (1)
1.1.2 弧度制（1） 一、课题：弧度制（1） 二、教学目标：1.理解弧度制的意义； 2.能正确的应用弧度与角度之间的换算； 3.记住公式||l r α=（l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径）。 三、教学重、难点：弧度与角度之间的换算。 四、教学过程： （一）复习： 初中时所学的角度制，是怎么规定1角的？ （初中时把一个周角的1360 记为1） （二）新课讲解： 1．弧度角的定义： 规定：我们把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记此角为1rad ． 练习：圆的半径为r ，圆弧长为2r 、3r 、2 r 的弧所对的圆心角分别为多少？ 说明：一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关。 思考：什么π弧度角？一个周角的弧度是多少？一个平角、直角的弧度分别又是多少？ 2．弧度的推广及角的弧度数的计算： 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；角α的弧度数的绝对值是r l =||α，（其中l 是以角α作为圆心角时所对弧的长，r 是圆的半径）。 说明：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角的度量。 例如：当弧长4l r π=且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是 4||4l r r r παπ-=- =-=-． 3．角度与弧度的换算 3602π=rad 180π=rad 1801π =?rad 0.01745≈rad 1rad =?)180 (π5718'≈ 4．例题分析： 例1 把'3067?化成弧度． 解：因为6730'67.5=，所以 3671567.51808rad ππ'=?= rad ． 例2 把3 5 πrad 化成度。 解：35 π rad 31801085=?=． 例3 用弧度制分别表示轴线角、象限角的集合。 （1）终边落在x 轴的非正、非负半轴，y 轴的非正、非负半轴的角的集合。 （2）第一、二、三、四象限角的弧度表示。 解：（1）终边落在x 轴的非正半轴的角的集合为{}|2,k k Z ββππ=+∈； 非负半轴的角的集合为{}|2,k k Z ββπ=∈； 终边落在y 轴的非正半轴的角的集合为3|2,2k k Z πββπ??=+∈???? ； 非负半轴的角的集合为|2,2k k Z πββπ??=+∈???? ；
任意角的概念与弧度制
任意角的概念与弧度制 1、角的概念的推广： 角可以看作平面内一条射线绕端点从一个位置(始边)旋转到另一个位置(终边)形成的图形.规定按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角：射线没有旋转时称零角.任意角的概念与弧度制 1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 正角:按逆时针方向旋转所形成的角. 负角:按顺时针方向旋转所形成的角. 零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 要点诠释： 角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义. 2.终边相同的角、象限角 终边相同的角为 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 要点诠释： (1)终边相同的前提是：原点，始边均相同； (2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (3)终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍. 3、终边相同的角与象限角： 与角终边相同的角构成一个集合，；顶点与坐标原点重合，始边与轴正半轴重合，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角．知识点二：弧度制 弧度制 (1)长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单
位可以省略不写). (2)弧度与角度互换公式： 1rad=≈°=57°18′，1°=≈(rad) (3)弧长公式：(是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：. 要点诠释： (1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地, 正角的弧度数是 一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定. (2)角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径. 3、弧度制的概念及换算： 规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad.注意在用弧度制时，“弧度”或“rad”可以略去不写. 在半径为的圆中，弧长为的弧所对圆心角为，则 所以，rad，(rad)，1(rad). 4、弧度制下弧长公式： ；弧度制下扇形面积公式. 类型一：象限角 1．已知角； (1)在区间内找出所有与角有相同终边的角；
弧度制和弧度制与角度制之间的换算
基本初等函数（II ） 弧度制和弧度制与角度制之间的换算 教学目标： 1.理解1弧度的角、弧度制的定义.能进行角度与弧度的换算. 2.掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力 教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算. 教学过程 一、复习引入： 1．角的概念 2．角度制的定义 3．圆心角不变，则弧长与半径的比值不变， 二、讲解新课： 1、定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad 读作弧度， 这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． ⑴平角=π rad 、周角=2π rad ⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 ⑶圆心角α的弧度数的绝对值 r l = α（l 为弧长，r 为半径） ⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同 2. 角度制与弧度制的换算： ∵ 360?=2π rad ∴180?=π rad ∴ 1?= rad rad 017453.0180 ≈π 8.447157)180 ( 1'''?≈?=π rad 3.应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数 的集合之间建立一种一一对应的关系
任意角的集合 实数集R 4．（1）弧长公式：α?=r l 比公式180 r n l π= 简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 （2）扇形面积公式 lR S 2 1= 其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径这比扇形面积公式 360 2 R n S π=扇 要简单 三、例子： 例1把'3067 化成弧度，把rad π5 3 化成度 注意：常用特殊角的角度制与弧度制之间的转化 例2用弧度制表示： 1 终边在x 轴上的角的集合 2 终边在y 轴上的角的集合 3 终边在坐标轴上的角的集合 例3．求图中公路弯道处弧AB 的长l （精确到1m ）图中长度单位为：m ？ 例4已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积 小结：本节课我们学习了：弧度制定义、角度制与弧度制的互化、特殊角的弧度数、用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式． 课堂练习：第12页练习A 、B 课后作业：第13页习题1-1A ：3、4、5，习题1-1B:3
高三一轮复习三角函数专题(汇编)
三角函数 2018年6月 考纲要求： 基本初等函数Ⅱ（三角函数） 1．任意角的概念、弧度制 （1）了解任意角的概念. （2）了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. 2．三角函数 （1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. （2）能利用单位圆中的三角函数线推导出 2 π±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y =s i n x ，y =c o s x , y = t a n x 的图象，了解三角函数的周期性. （3）理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质（如单调性、 最大值和最小值、以及与x 轴的交点等），理解正切函数在,22ππ?? - ??? 内的单调性. （4）理解同角三角函数的基本关系式： sin 2x +cos 2x = 1, sin tan .cos x x x = （5）了解函数sin()y A x ω?=+的物理意义；能画出sin()y A x ω?=+的图象，了解参数,,A ω?对函数图象变化的影响. （6）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. 三角恒等变换 1．和与差的三角函数公式 （1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. （2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. （3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 2．简单的三角恒等变换
能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）. （十一）解三角形 1．正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2．应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 对于三角函数与三角恒等变换的考查： 1．涉及本专题的选择题、填空题一般考查三角函数的基本概念、三角恒等变换及相关计算，同时也考查三角函数的图象与性质的应用等，解答题的考查则重点在于三角函数的图象与性质的应用. 2．从考查难度来看，本专题试题的难度相对不高，以三角计算及图象与性质的应用为主，高考中通常考查对三角的计算及结合图象考查性质等. 3．从考查热点来看，三角恒等变换、三角函数的图象与性质是高考命题的热点，要能够熟练应用三角公式进行三角计算，能够结合正弦曲线、余弦曲线，利用整体代换去分析问题、解决问题.同时要注意两者之间的综合. 对于解三角形的考查： 1．涉及本专题的选择题、填空题一般利用正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，考查三角形边、角、面积等的相关计算，同时注重与三角函数的图象与性质、基本不等式等的综合. 2．从考查难度来看，本专题试题的难度中等，主要考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用，高考中主要以三角形的方式来呈现，解决三角形中相关边、角的问题. 3．从考查热点来看，正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用是高考命题的热点，要能够熟练应用公式进行三角形的边、角求值，三角形形状的判断及面积的相关计算等.注意三角形本身具有的性质的应用. 考向一三角恒等变换 样题1 （2017年高考北京卷）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边， 它们的终边关于y轴对称.若 1 sin 3 α=，则cos() αβ -=___________. 【答案】 7 9 -
弧度制1
弧度制 ?教学重点： 1．理解并掌握弧度制定义； 2．熟练地进行角度制与弧度制地互化换算； 3．弧度制的运用． ?教学难点：理解弧度制定义，弧度制的运用． ?教学过程： 第一课时弧度制 一、引入新课 有人问：温州到杭州有多远时，我们回答约400公里，但也有人回答约250英里，请问哪一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里） 显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公制，一个是英制．它们的长度单位是不同的，但是，它们之间可以换算：1英里=1.6公里． 在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，一个是弧度制． 角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做一度，故一周等于360度，半轴等于180度，直角等于90度等等． 弧度制是什么呢？弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？ 二、新课讲授 1．弧度制的定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad，或1弧度，或1．
（1）长度等于直径的弧所对的圆心角的弧度数是多少？（画图示意，并写成2R/R 的形式）再举一个负角的例子． （2）当圆心角是周角时，它的弧度数是多少？为什么？ （3）当圆心角是平角时，它的弧度数是多少？为什么？直角呢？ 2．说明 （1） 我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2 π等等，由角的旋转方向决定． （2） 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，角α的弧度数的绝对值是：r l =α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径． （3） 以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制． 3．角度制与弧度制的换算 （1）记住原理： ∵周角所对的弧是整个圆周，是2πr ，所以周角的弧度数是2π，但周角又等于360° ∴360°=2π rad ∴180°=π rad ∴1°=180 π rad ≈0.01745 rad （直接做4（1）（2）（3）） 1 rad=π ?180≈57.3°=57°18/ 三、例题练习： （1）把下列各角从度化成弧度：（口答，并问为什么？） 360°，180°，90°，45° 30°， 60°，120°，135°，270°． （2）把67°30/，化成弧度． （3）把各角从弧度化成度：（口答，并问为什么） 2π，π21，π32， 6π （4）把π53化成度． 说明：弧度制与角度制的转换运算，关键要抓住180°=π rad ． 四、巩固小结 1．小结 （1）圆心角的弧度数的绝对值等于它所对弧长与半径的比值：r l =α；也可写成：r l α=；
弧度制教学设计
弧度制 江苏省淮州中学张建一、教材及内容分析 本节课是普通高中实验教科书苏教版必修4第一章第一单元第二节内容。本节课起着承上启下的作用——学生在初中已经学过角的度量单位“度”并且上节课学了任意角的概念，学生已掌握了一些基本单位转换方法，并能体会不同的单位制能给解决问题带来方便；本节课作为三角函数的第二课时，该课的知识还为后继学习任意角的三角函数等知识作铺垫，因此本节课还起着启下的作用。通过本节弧度制的学习，我们很容易找出与角对应的实数而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单形式。另外弧度制为今后学习三角函数带来很大方便。同时通过本节课学习学生可以认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是是互相联系的、辩证统一的，从而进一步加强学生对辩证统一思想的理解。本节内容一课时完成。 二、重难点分析 根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下： 重点：1、理解并掌握弧度制的定义。 2、熟练地进行角度与弧度的相互转换。 3、弧长公式、扇形面积公式的应用。 难点：弧度的概念的理解。 三、目标分析 １、知识技能目标 （1）理解1弧度的角及弧度的定义。 （2）掌握角度与弧度的换算公式。 （3）理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系。 （4）理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题。２、过程与方法 通过单位圆中的圆心角引入弧度的概念；比较两种度量角的方法探究角度制与弧度制之间的互化；应用在特殊角的角度制与弧度制的互化，帮助学生理解掌握；以针对性的例题和习题使学生掌握弧长公式和扇形的面积公式；通过自主学习和合作学习，树立学生正确的学习态度。
2020年高一高二数学百所名校好题分项解析汇编专题01 弧度制与三角函数的定义(必修4)(解析版)
高一数学（必修4）百所名校速递分项汇编 专题01 弧度制与三角函数的定义 一、选择题 1．【黑龙江省大庆市铁人中学2018-2019学年高一上学期期中考试】终边在直线y=上的角α的集合是( )． A．{α|α=?360°+45°，∈}B．{α|α=?360°+225°，∈} C．{α|α=?180°+45°，∈}D．{α|α=?180°-45°，∈} 【答案】C 2．【四川省双流中学2017-2018学年高一1月月考】与（）终边相同的角是（） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】 因为,所以选B. 3．【四川省双流中学2017-2018学年高一1月月考】已知扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为（） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】 ,选C. 4．【四川省三台中学实验学校2017-2018学年高一1月月考】已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则
其面积为 A．3B．6C．9D．12 【答案】B 【解析】 设扇形的半径为，由题意可得：，则， 扇形的面积. 本题选择B选项. 5．【江西省上饶市上饶县中学2017-2018学年高一下学期期末考试】《九章算术》是我国古代数学成就的杰 出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现 有圆心角为，半径等于米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是 A．平方米B．平方米 C．平方米D．平方米 【答案】B 【解析】 如图，由题意可得：∠AOB=，OA=4， 在Rt△AOD中，可得：∠AOD=，∠DAO=，OD=AO=， 可得：矢=4﹣2=2， 由AD=AO?sin=4×=2， 可得：弦=2AD=2×2=4， 所以：弧田面积=（弦×矢+矢2）=（4×2+22）=4≈9平方米． 故答案为：B．
高中数学必修四 任意角与弧度制 知识点汇总(教师版)
任意角与弧度制 知识梳理: 一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广 定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α，记作：角α或α∠ 可以简记成α。 注意： （1）“旋转”形成角，突出“旋转” （2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x 轴正半轴 （3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 例1、若ο ο13590<<<αβ，求βα-和βα+的范围。（0,45） （180,270） 2、角的分类： 由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。 正角：按照逆时针方向转定的角。 零角：没有发生任何旋转的角。 负角：按照顺时针方向旋转的角。 例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是 -960 （2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 3 π ． 3、 “象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴。 角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。 例1、30? ；390? ；-330?是第 象限角 300? ； -60?是第 象限角 585? ； 1180?是第 象限角 -2000?是第 象限角。 例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= ④ （填序号）.
①{小于90°的角} ②{0°～90°的角} ③ {第一象限的角} ④以上都不对 （2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（B ） A ．B=A∩C B ．B ∪C= C C ．A ?C D ．A=B=C 例3、写出各个象限角的集合： 例4、若α是第二象限的角，试分别确定2α,2 α 的终边所在位置. 解 ∵α是第二象限的角， ∴k ·360°+90°＜α＜k ·360°+180°（k ∈Z ）. （1）∵2k ·360°+180°＜2α＜2k ·360°+360°（k ∈Z ）， ∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k ·180°+45°＜2 α ＜k ·180°+90°（k ∈Z ）， 当k =2n （n ∈Z ）时， n ·360°+45°＜ 2 α ＜n ·360°+90°； 当k =2n +1（n ∈Z ）时， n ·360°+225°＜2 α ＜n ·360°+270°. ∴ 2 α 是第一或第三象限的角. 拓展：已知α是第三象限角，问3 α是哪个象限的角？ ∵α是第三象限角，∴180°+k ·360°＜α＜270°+k ·360°（k ∈Z ）， 60°+k ·120°＜ 3 α ＜90°+k ·120°. ①当k =3m (m ∈Z )时，可得 60°+m ·360°＜3 α ＜90°+m ·360°（m ∈Z ）. 故 3 α 的终边在第一象限. ②当k =3m +1 (m ∈Z )时，可得 180°+m ·360°＜3 α ＜210°+m ·360°（m ∈Z ). 故 3 α 的终边在第三象限. ③当k =3m +2 （m ∈Z ）时，可得 300°+m ·360°＜ 3 α ＜330°+m ·360°（m ∈Z ）.
弧度制1
弧度制 一、复习回顾： 1、角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等. 2、在角度制下 360 n 180 2 r l r n S ππ= = 扇扇 二、新课学习： 弧度制的定义 等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度。用弧度作单位来度量角的制度叫做弧度制。 在这种规定下，圆周长所对的圆心角为π2rad,半圆所对的圆心角为π rad ，?90=2 π rad,你能继续往下推吗？ 请你填写书上第6页的表格。 注：1、一般地，正角的弧度数是一个正数（正实数），负角的弧度数是一个负数（负实数），零角的弧度数是零。这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定。 2、用角度制和弧度制度量零角，单位不同，数量相同；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，数量也不同。 练习：请你填下列表格。 角度 0° 15° 45° 弧度 角度 90° 270° 弧度 更进一步，我们可以得到： ' 185730.57)180 ( 101745.0180 1180?=?≈?=≈= ?? =π π πrad rad rad rad 利用上面的方法，我们可以把任意一个角度转换成弧度，或将任意一个弧度转化成角度。 例：按照下列要求，把67°30′化成弧度。 1）精确值； 2）精确到0.001的近似值。 例：将3.14rad 转换成角度。 练习：书上第9页1、2题。 提问：当圆心角α一定时，它所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径的大小无关，这句话对吗？为什么？ 公式1：1)如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是r l = α.
任意角和弧度制专题
命题人 王满意 1、下列角中终边与330°相同的角是（ ） A ．30° B ．-30° C ．630° D ．-630° 2、－1120°角所在象限是 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、把－1485°转化为α＋k 2360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是 （ ） A ．45°－43360° B ．－45°－43360° C ．－45°－53360° D ．315°－53360° 4、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ） A ．｛α∣90°<α<180°｝ B ．｛α∣90°＋k 2180°<α<180°＋k 2180°，k ∈Z ｝ C ．｛α∣－270°＋k 2180°<α<－180°＋k 2180°，k ∈Z ｝ D ．｛α∣－270°＋k 2360°<α<－180°＋k 2360°，k ∈Z ｝ 5、下列命题是真命题的是（ ） Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角 C ．不相等的角终边一定不同 {}Z k k ∈±?=,90360| αα={}Z k k ∈+?=,90180| αα 6、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B=A ∩C B ．B ∪C= C C ．A ?C D ．A=B=C 7.在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中，属于第二象限的角是( ) A.① B.①② C.①②③ D.①②③④ 8.若α是第一象限的角，则2 α是( ) A.第一象限的角 B.第一或第四象限的角 C.第二或第三象限的角 D.第二或第四象限的角 9.下列结论中正确的是( ) A.小于90°的角是锐角 B.第二象限的角是钝角
弧度制
弧度制 一、弧度制的发明——托勒密 克劳迪亚斯托勒密大约于公元90年出生在希腊。托勒密同斯特雷波一道为地理学和绘制学的研究奠定了基础。托勒密在天文学、光学和音乐方面也颇有造诣。真正创立了天文学，并且计算出诸多天体运行轨迹的是两千年前古罗马时代的托勒密。虽然今天我们可能会嘲笑托勒密犯的简单的错误，但是真正了解托勒密贡献的人都会对他肃然起敬。托勒密发明了球坐标，定义了包括赤道和零度经线在内的经纬线，他提出了黄道，还发明了弧度制。 当然，他最大也是最有争议的发明是地心说。虽然我们知道地球是围绕太阳运动的，但是在当时，从人们的观测出发，很容易得到地球是宇宙中心的结论。从地球上看，行星的运动轨迹是不规则的，托勒密的伟大之处是用四十个小圆套大圆的方法，精确地计算出了所有行星运动的轨迹。（托勒密继承了毕达格拉斯的一些思想，他也认为圆是最完美的几何图形。）托勒密模型的精度之高，让以后所有的科学家惊叹不已。即使今天，我们在计算机的帮助下，也很难解出四十个套在一起的圆的方程。每每想到这里，我都由衷地佩服托勒密。一千五百年来，人们根据他的计算决定农时。但是，经过了一千五百年，托勒密对太阳运动的累积误差，还是差出了一星期。 二、弧度制思想的提出——欧拉 18世纪以前，人们一直是用线段的长来定义三角函数的．瑞士数学家欧拉(LeonhardoEulero，1707年～1783年)在他于1748年出版的一部划时代的著作《无穷小分析概论》中，提出三角函数是对应的三角函数线与圆半径的比值，并令圆的半径为1，使得对三角函数的研究大为简化．这是欧拉在数学史上的重要功绩之一． 其次，欧拉在上述著作的第八章中提出了弧度制的思想．他认为，如果把半径作为1个单位长度，那么半圆的长就是π，所对圆心角的正弦是0，即sin ＝0．同理，圆的的长是，所对圆心角的正弦是1，可记作sin ＝1．这一思想将线段与弧的度量单位统一起来，大大简化了某些三角公式及计算．
三角函数专题 (一)
年级：辅导科目：数学课时数： 课题三角函数 教学目的 教学内容 一、知识网络 二、命题分析 1．从近几年高考来看，对于本单元的考查，一般是以1～3个客观题和1个解答题形式出现，以中、低档题为主．考查的内容主要有：三角函数的图像和性质、三角函数的基本公式、三角函数的恒等变形及解三角形等基本知识．解答题常与平面向量、不等式、函数的最值等进行简单的综合，但难度不大． 2．预计在今后的高考中，与三角函数有关的问题将继续作为高考的重点进行考查．其中，角的概念多结合三角函数的基础知识进行考查．三角函数的图像和性质主要考查三角函数的概念、周期性、单调性、有界性及图像的平移和伸缩等，多以小而活的选择题和填空题形式出现．形如y＝A sin(ωx＋φ)的函数将依然作为必考内容出现在高考题中，并与三角恒等变形、平面向量、解三角形等知识结合，形成小型综合题．解三角形问题将会以选择题或填空题形式出现，主要考查正、余弦定理及利用三角函数公式进行恒等变形的技能及运算能力，以化简、求值或判断三角
切分别是：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x ，它们都是以角为 ，以比值为 的函数． 3．设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为 ，即 ，其中cos α＝ ，sin α＝ ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T (T ′)，则tan α＝ .我们把有向线段OM 、MP 、AT (或AT ′)叫做α的 ． （三）基础自测 1．与610°角终边相同的角可表示为( ) A ．k ·360°＋230°，k ∈Z B ．k ·360°＋250°，k ∈Z C ．k ·360°＋70°，k ∈Z D ．k ·360°＋270°，k ∈Z [答案] B [解析] 由于610°＝360°＋250°，所以610°与250°角的终边相同． 2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( ) A.2π3 B. 11π6 C.5π 6 D.3π 4 [答案] B [解析] ∵sin α＝－12＝－1 2 ，且α的终边在第四象限， ∴α＝ 116 π. 3．若－π>θ>－3π 2 ，则点(tan θ，sin θ)在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 [答案] B [解析] 易知θ在第二象限，则tan θ<0，sin θ>0. 4．若α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，则sin α的值为( ) A.1 2 B ．－12 C ．－32 D ．－ 3 3 [答案] C [解析] P (2sin30°，－2cos30°)即P (1，－3)，∴r ＝2，故sin α＝－3 2 ，故选C. 5．已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，则10sin α＋3 cos α ＝________. [答案] 0 [解析] 设α终边上任一点P (k ，－3k )， 则r ＝x 2 ＋y 2 ＝k 2 ＋－3k 2 ＝10|k |. 当k >0时，r ＝10k ， ∴sin α＝ －3k 10k ＝－ 310 ，cos α＝ k 10k ＝ 1 10 ， ∴10sin α＋3 cos α＝－310＋310＝0. 当k <0时，r ＝－10k ，∴sin α＝ 310 ，cos α＝－ 1 10 ，∴10sin α＋3 cos α＝0.
任意角的概念和弧度制
任意角的概念和弧度制 一、选择题(共11小题,每小题5.0分,共55分) 1.如果时钟上的时针、分针和秒针都是匀速地转动，那么从3时整(3∶00)开始，在1分钟的时间， 3根针中，出现一根针与另外两根针所成的角相等的情况有( ) A． 1次 B． 2次 C． 3次 D． 4次 2.若角α，β的终边关于y轴对称，则α与β的关系一定是(其中k∈Z) ( ) A．α＋β＝π B．α－β＝π 2 C．α－β＝π 2 ＋2kπ D．α＋β＝(2k＋1)π 3.已知α为第二象限的角，则π－a 2 所在的象限是 ( ) A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 C．第一或第三象限 D．第二或第四象限 4.集合{α|kπ＋π 4≤α≤kπ＋π 2 ，k∈Z}中的角所表示的围(阴影部分)是( ) A．答案A B．答案B C．答案C D．答案D 5.设扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角是(单位：弧度) ( ) A． 1 B． 4 C．Π D． 1或4 6.一扇形的周长为16，则当此扇形的面积取最大时其圆心角为( ) A． 1 B． 2 C． 3 D．1 2 7.已知扇形的周长是10 cm，面积是4 cm2，则扇形的半径是( ) A． 1 cm B． 1 cm或4 cm C． 4 cm D． 2 cm或4 cm 8.一半径为r的圆切于半径为3r、圆心角为α(0＜α＜a 2 )的扇形，则该圆的面积与该扇形的面积之比为( )
A ． 3∶4 B ． 2∶3 C ． 1∶2 D ． 1∶3 9.终边与坐标轴重合的角α的集合是( ) A ． {α|α＝k ·360°，k ∈Z } B ． {α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z } C ． {α|α＝k ·180°，k ∈Z } D ． {α|α＝k ·90°，k ∈Z } 10.已知α是第一象限角，则角a 3 的终边不可能落在( ) A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 11.如果α是第三象限的角，则下列结论中错误的是( ) A ． －α为第二象限角 B ． 180°－α为第二象限角 C ． 180°＋α为第一象限角 D ． 90°＋α为第四象限角 二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分) 12.在2时到3时之间，分针和时针成120°角的时刻是________. 13.若角α的终边与角8 5π的终边相同，则在[0,2π]上，终边与角a 4 的终边相同的角是________. 14.在直径为10 cm 的轮上有一长为6 cm 的弦，P 为弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5 s 后P 转过的弧长为__________cm. 15.圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形(实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合)沿圆周逆时针滚动，则点A 第一次回到点P 的位置时，点A 走过的路径的长度为________. 三、解答题(共15小题,每小题12.0分,共180分) 16.射线OA 绕点O 顺时针旋转100°到OB 位置，再逆时针旋转270°到OC 位置．然后再顺时针方
【高中数学必修四】复习讲义 专题1.1 任意角和弧度制
第一章三角函数 1.1 任意角和弧度制 1．任意角 （1）角的概念 角可以看成平面内一条____________绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．我们规定：按____________方向旋转形成的角叫做正角，按____________方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个____________． （2）象限角：角的顶点与____________重合,角的始边与x轴的____________重合,那么角的终边在第几象限,就认为这个角是第几象限角．具体表示如下： 象限角角的表示 第一象限的角{α|k·360°<α 终边在y 轴上的角 { α|α=k π+,k ∈Z } 终边在坐标轴上的角 {α|α= ,k ∈Z } （4）终边相同的角：所有与角α终边相同的角连同角α在内,可构成一个集合S ={β|β=α+k ·360°,k ∈Z }={β|β=α+2k π,k ∈Z }． 2．弧度制 （1）定义：把长度等于___________的弧所对的圆心角叫作1弧度的角,记作___________,这种用弧度作单位来度量角的单位制叫作弧度制． （2）角α的弧度数公式：|α|= l r (弧长用l 表示)． （3）角度与弧度的换算：①1°=___________ rad;②1 rad=___________°． （4）弧长公式：弧长l =___________． （5）扇形面积公式：S =___________． K 知识参考答案： 1．（1）射线 逆时针 顺时针 零角（2）原点 非负半轴 2．（1）半径 1 rad （3）① 180π ②180π （4）|α|r （5）12l ·r =1 2 |α|·r 2 K —重点 1．理解并掌握正角、负角、零角的概念； 2．掌握终边相同的角的表示方法及判定方法； 3．了解弧度制，能进行弧度与角度的互化； 4．由圆周角找出弧度制与角度制的联系，记住常见特殊角对应的弧度数． K —难点 1．把终边相同的角用集合表示出来； 2．可以从六十进制与十进制区别角度制与弧度制； 1、角的概念·弧度制 一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内） 1．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B=A ∩C B ．B ∪C=C C ．A ?C D ．A=B=C 2．下列各组角中，终边相同的角是 （ ） A ． π2 k 与)(2Z k k ∈+ ππ B ．)(3k 3Z k k ∈± ππ π与 C ．ππ)14()12(±+k k 与 )(Z k ∈ D ．)(6 6Z k k k ∈± + π πππ与 3．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ） A ．2 B ． 1 sin 2 C ．1sin 2 D ．2sin 4．设α角的终边上一点P 的坐标是)5 sin ,5 (cos π π ，则α等于 （ ） A ． 5 π B ．5 cot π C ．)(10 32Z k k ∈+ππ D ．)(5 92Z k k ∈- ππ 5．将分针拨慢10分钟，则分钟转过的弧度数是 （ ） A ． 3 π B ．－ 3 π C ． 6 π D ．－6 π 6．设角α和β的终边关于y 轴对称，则有 （ ） A ．)(2 Z k ∈-= βπ α B ．)()2 1 2(Z k k ∈-+ =βπα C ．)(2Z k ∈-=βπα D ．)()12(Z k k ∈-+=βπα 7．集合A={}, 32 2|{},2|Z n n Z n n ∈±=?∈= ππααπαα， B={}, 2 1 |{},3 2|Z n n Z n n ∈+=?∈=ππββπ ββ， 则A 、B 之间关系为 （ ） A ．A B ? B ．B A ? C ．B ?A D ．A ?B ≠ 4-1.1.2弧度制（1） 教学目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与 实数集R 一一对应关系的概念。 教学过程：一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。 二、提出课题：弧度制—另一种度量角的单位制 它的单位是rad 读作弧度 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。 如 图：AOB=1rad AOC=2rad 周角=2rad 1． 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 2． 角的弧度数的绝对值 r l =α（l 为弧长，r 为半径） 3． 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。 三、角度制与弧度制的换算 抓住：360=2rad ∴180 = rad ∴ 1=rad rad 01745.0180≈π '185730.571801 =≈?? ? ??=πrad 例一 把'3067 化成弧度 解： ??? ??=2167'3067 ∴ rad rad ππ832167180'3067=?= 例二 把rad π5 3 化成度 o r C 2rad 1rad r l=2r o A A B 解： 1081805 353 =?=rad π 注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进行； 2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略 如：3表 示3rad sin 表示rad 角的正弦 3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本P9表） 4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在 角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。 任意角的集合 实数集R 四、练习（P11 练习1 2） 例三 用弧度制表示：1 终边在x 轴上的角的集合 2终边在y 轴上的角的集合 3 终边在坐标轴上的角的集合 解：1终边在x 轴上的角的集合 {}Z k k S ∈==,|1πββ 2终边在y 轴上的角的集合 ? ????? ∈+==Z k k S ,2|2ππββ 3终边在坐标轴上的角的集合 ? ????? ∈==Z k k S ,2|3πββ 五、 小结：1．弧度制定义 2．与弧度制的互化 六、作业： 任意角和弧度制、任意角的三角函数专题 一、基础小题 1．已知角α的终边与单位圆交于点? ?? ?? －45，35，则tan α＝( ) A ．－43 B ．－45 C ．－35 D ．－3 4 2．sin2cos3tan4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在 3．已知扇形的半径为12 cm ，弧长为18 cm ，则扇形圆心角的弧度数是( ) A ．23 B ．32 C ．23π D ．32 π 4.如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( ) A ．(cos θ，sin θ) B ．(－cos θ，sin θ) C ．(sin θ，cos θ) D ．(－sin θ，cos θ) 5．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝ 2 4 x ，则x ＝( ) A ． 3 B ．±3 C ．－2 D ．－ 3 6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ |tan θ| 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．3 D ．－3 7．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 8．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π 3 ，则sin α＝( ) A ．－ 32 B ．32 C ．－12 D ．12 9．给出下列命题： ①第二象限角大于第一象限角； ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角； ③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； 第一章 基本初等函数（II ） 1.1.2弧度制和弧度制与角度制之间的换算 教学目标： 1.理解1弧度的角、弧度制的定义.能进行角度与弧度的换算. 2.掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力 教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算. 教学过程 一、复习引入： 1．角的概念 2．角度制的定义 3．圆心角不变，则弧长与半径的比值不变， 二、讲解新课： 1、定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． ⑴平角=π rad 、周角=2π rad ⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 ⑶圆心角α的弧度数的绝对值 r l = α（l 为弧长，r 为半径） ⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同 2. 角度制与弧度制的换算： ∵ 360?=2π rad ∴180?=π rad ∴ 1?= rad rad 017453.0180 ≈π 8.447157)180 ( 1'''?≈?=π rad 3.应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数 的集合之间建立一种一一对应的关系 任意角的集合 实数集R 4．（1）弧长公式：α?=r l 比公式180 r n l π= 简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 （2）扇形面积公式 lR S 2 1= 其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径这比扇形面积公式 360 2 R n S π=扇 要简单 三、例子： 例1把'3067 化成弧度，把rad π5 3 化成度 注意：常用特殊角的角度制与弧度制之间的转化 例2用弧度制表示： 1 终边在x 轴上的角的集合 2 终边在y 轴上的角的集合 3 终边在坐标轴上的角的集合 例3．求图中公路弯道处弧AB 的长l （精确到1m ）图中长度单位为：m ？ 例4已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积 小结：本节课我们学习了：弧度制定义、角度制与弧度制的互化、特殊角的弧度数、用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式． 课堂练习：第12页练习A 、B 课后作业：第13页习题1-1A ：3、4、5，习题1-1B:3(1)角的概念·弧度制
高二数学 弧度制(1)精华教案
任意角和弧度制、任意角的三角函数专题及答案
数学：1.1.2《弧度制和弧度制与角度制之间的换算》教案(新人教A版)