如何利用导数解决函数的单调性问题

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如何利用导数解决函数的单调性问题

作者：于海青

来源：《理科考试研究·高中》2015年第01期

函数的单调性是函数最重要的性质之一，而利用导数解决函数的单调性问题，是近几年高考考查的重点和热点之一，也是学生感到比较棘手的一类问题.该类问题主要有两种类型：一

是利用导数判断函数的单调性;二是由函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.

类型一利用导数判断函数的单调性

解决此类问题的依据是：设函数f（x）在某个区间（a，b）内的导数为f ′（x），则

（1）若f ′（x）>0，则函数f（x）在区间（a，b）内递增;

（2）若f ′（x）<0，则函数f（x）在区间（a，b）内递减;

（3）若f ′（x）=0，则函数f（x）在区间（a，b）内是常数函数.

例1 已知函数f（x）=x-（1+a）lnx-ax，试讨论函数f（x）的单调性.

解析函数f（x）的定义域为（0，+∞），

f ′（x）=1-1+ax+ax2=x2-（1+a）x+ax2

=（x-a）（x-1）x2.

（1）当a<0时，由f ′（x）>0得x>1; 由f ′（x）<0得0

所以f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，在区间（0，1）上单调递减.

（2）当00得x>1或0

由f ′（x）<0得a

所以f（x）在区间（0，a），（1，+∞）上单调递增，在区间（a，1）上单调递减.

（3）当a=1时，f ′（x）≥0恒成立，所以f（x）在区间（0，+∞）上单调递增.

（4）当a>1时，由f ′（x）>0得x>a或0

所以f（x）在区间（0，1），（a，+∞）上单调递增，在区间（1，a）上单调递减.