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7升8教师版全等三角形中地普通辅助线(精彩)

7升8教师版全等三角形中地普通辅助线(精彩)
7升8教师版全等三角形中地普通辅助线(精彩)

三角形中的常用辅助线

课程解读

一、学习目标:

归纳、掌握三角形中的常见辅助线

二、重点、难点:

1、全等三角形的常见辅助线的添加方法。

2、掌握全等三角形的辅助线的添加方法并提高解决实际问题的能力。

三、考点分析:

全等三角形是初中数学中的重要内容之一,是今后学习其他知识的基础。判断三角形全等的公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL,如果所给条件充足,则可直接根据相应的公理证明,但是如果给出的条件不全,就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析,先推导出所缺的条件然后再证明。一些较难的证明题要构造合适的全等三角形,把条件相对集中起来,再进行等量代换,就可以化难为易了。

典型例题

人说几何很困难,难点就在辅助线。辅助线,如何添?把握定理和概念。还要刻苦加钻研,找出规律凭经验。

全等三角形辅助线

找全等三角形的方法:

(1)可以从结论出发,寻找要证明的相等的两条线段(或两个角)分别在哪两个可能全等的三角形中;

(2)可以从已知条件出发,看已知条件可以确定哪两个三角形全等;

(3)可从条件和结论综合考虑,看它们能确定哪两个三角形全等;

(4)若上述方法均不可行,可考虑添加辅助线,构造全等三角形。

三角形中常见辅助线的作法:

①延长中线构造全等三角形;

②利用翻折,构造全等三角形;

③引平行线构造全等三角形;

④作连线构造等腰三角形。

常见辅助线的作法有以下几种:

(2)若遇到三角形的中线,可倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。

例2:如图,已知ΔABC中,AD是∠BAC的平分线,AD又是BC边上的中线。求证:ΔABC是等腰三角形。

思路分析:

1)题意分析:本题考查全等三角形常见辅助线的知识。

2)解题思路:在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件,一般这些条件都是解题的突破口,本题给出了AD又是BC边上的中线这一条件,而且要求证AB=AC,可倍长AD得全等三角形,从而问题得证。

解答过程:

证明:延长AD到E,使DE=AD,连接BE。

又因为AD是BC边上的中线,∴BD=DC

又∠BDE=∠CDA

ΔBED≌ΔCAD,

故EB=AC,∠E=∠2,

∵AD是∠BAC的平分线

∴∠1=∠2,

∴∠1=∠E,

∴AB=EB,从而AB=AC,即ΔABC是等腰三角形。

解题后的思考:题目中如果出现了三角形的中线,常加倍延长此线段,再将端点连结,便可得到全等三角形。

(4)过图形上某一点作特定的平行线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

例4:如图,ΔABC中,AB=AC,E是AB上一点,F是AC延长线上一点,连EF 交BC于D,若EB=CF。

求证:DE=DF。

思路分析:

1)题意分析:本题考查全等三角形常见辅助线的知识:作平行线。

2)解题思路:因为DE、DF所在的两个三角形ΔDEB与ΔDFC不可能全等,又知EB=CF,所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换:过E作EG//CF,构造中心对称型全等三角形,再利用等腰三角形的性质,使问题得以解决。

解答过程:

证明:过E作EG//AC交BC于G,

则∠EGB=∠ACB,

又AB=AC,∴∠B=∠ACB,

∴∠B=∠EGB,∴∠EGD=∠DCF,

∴EB=EG=CF,

∵∠EDB=∠CDF,∴ΔDGE≌ΔDCF,

∴DE=DF。

解题后的思考:此题的辅助线还可以有以下几种作法:

例5:△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP平分∠BAC交BC于P,BQ平分∠ABC交AC于Q,求证:AB+BP=BQ+AQ。

思路分析:

1)题意分析:本题考查全等三角形常见辅助线的知识:作平行线。

2)解题思路:本题要证明的是AB+BP=BQ+AQ。形势较为复杂,我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过O作BC的平行线。得△ADO≌△AQO。得到OD=OQ,AD=AQ,只要再证出BD=OD就可以了。

解答过程:

证明:如图(1),过O作OD∥BC交AB于D,

∴∠ADO=∠ABC=180°-60°-40°=80°,

又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°,

∴∠ADO=∠AQO,

又∵∠DAO=∠QAO,OA=AO,

∴△ADO≌△AQO,

∴OD=OQ,AD=AQ,

又∵OD∥BP,

∴∠PBO=∠DOB,

又∵∠PBO=∠DBO,

∴∠DBO=∠DOB,

∴BD=OD,

又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°,

∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°,

∴∠BOP=∠BPO,

∴BP=OB,

∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。

解题后的思考:

(1)本题也可以在AB上截取AD=AQ,连OD,构造全等三角形,即“截长法”。

(2)本题利用“平行法”的解法也较多,举例如下:

①如图(2),过O作OD∥BC交AC于D,则△ADO≌△ABO从而得以解决。

④如图(5),过P作PD∥BQ交AC于D,则△ABP≌△ADP从而得以解决。

小结:通过一题的多种辅助线添加方法,体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的,体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到,不论是作平行线还是倍长中线,实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。

(5)截长法与补短法,具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,使之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

例6:如图甲,AD∥BC,点E在线段AB上,∠ADE=∠CDE,∠DCE=∠ECB。

求证:CD=AD+BC。

思路分析:

1)题意分析:本题考查全等三角形常见辅助线的知识:截长法或补短法。

2)解题思路:结论是CD=AD+BC,可考虑用“截长补短法”中的“截长”,即在CD上截取CF=CB,只要再证DF=DA即可,这就转化为证明两线段相等的问题,从而达到简化问题的目的。

解答过程:

证明:在CD上截取CF=BC,如图乙

∴△FCE≌△BCE(SAS),

∴∠2=∠1。

又∵AD∥BC,

∴∠ADC+∠BCD=180°,

∴∠DCE+∠CDE=90°,

∴∠2+∠3=90°,∠1+∠4=90°,

∴∠3=∠4。

在△FDE与△ADE中,

∴△FDE≌△ADE(ASA),

∴DF=DA,

∵CD=DF+CF,

∴CD=AD+BC。

解题后的思考:遇到求证一条线段等于另两条线段之和时,一般方法是截长法或补短法:

截长:在长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等于另一条;

补短:将一条短线段延长,延长部分等于另一条短线段,然后证明新线段等于长线段。

1)对于证明有关线段和差的不等式,通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边,故可想办法将其放在一个三角形中证明。

2)在利用三角形三边关系证明线段不等关系时,如直接证明不出来,可连接两点或延长某边构成三角形,使结论中出现的线段在一个或几个三角形中,再运用三角形三边的不等关系证明。

小结:三角形

图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。

角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。

线段垂直平分线,常向两端把线连。线段和差及倍半,延长缩短可试验。

线段和差不等式,移到同一三角形。三角形中两中点,连接则成中位线。

三角形中有中线,延长中线等中线。

预习导学

下一讲我们就要进入八下的学习了,八下的第一章是分式。

请同学们预习课本,并思考以下问题。

1、分式的概念是什么?

2、分式的乘除法的运算法则是什么?

同步练习

(答题时间:90分钟)

这几道题一定要认真思考啊,都是要添加辅助线的,开动脑筋好好想一想吧!加油!你一定行!

1、已知,如图1,在四边形ABCD中,BC>AB,AD=DC,BD平分∠ABC。

求证:∠BAD+∠BCD=180°。

2、已知,如图2,∠1=∠2,P为BN上一点,且PD⊥BC于点D,AB+BC=2BD。求证:∠BAP+∠BCP=180°。

3、已知,如图3,在△ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠2。求证:AB=AC+CD。

试题答案

1、分析:因为平角等于180°,因而应考虑把两个不在一起的角通过全等转化成为平角,图中缺少全等的三角形,因而解题的关键在于构造直角三角形,可通过“截长法或补短法”来实现。

证明:过点D作DE垂直BA的延长线于点E,作DF⊥BC于点F,如图1-2

∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),

∴∠DAE=∠DCF。

又∠BAD+∠DAE=180°,

∴∠BAD+∠DCF=180°,

即∠BAD+∠BCD=180°

2、分析:与1相类似,证两个角的和是180°,可把它们移到一起,让它们成为邻补角,即证明∠BCP=∠EAP,因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造。

证明:过点P作PE垂直BA的延长线于点E,如图2-2

∴Rt△APE≌Rt△CPD(SAS),

∴∠PAE=∠PCD

又∵∠BAP+∠PAE=180°。

∴∠BAP+∠BCP=180°

3、分析:从结论分析,“截长”或“补短”都可实现问题的转化,即延长AC 至E使CE=CD,或在AB上截取AF=AC。

证明:方法一(补短法)

延长AC到E,使DC=CE,则∠CDE=∠CED,如图3-2

∴△AFD≌△ACD(SAS),∴DF=DC,∠AFD=∠ACD。又∵∠ACB=2∠B,

∴∠FDB=∠B,

∴FD=FB。

∵AB=AF+FB=AC+FD,

∴AB=AC+CD。

4、证明:(方法一)

将DE两边延长分别交AB、AC于M、N,

在△AMN中,AM+AN>MD+DE+NE;①

在△BDM中,MB+MD>BD;②

在△CEN中,CN+NE>CE;③

由①+②+③得:

AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE

∴AB+AC>BD+DE+EC

(方法二:图4-2)

延长BD交AC于F,延长CE交BF于G,在△ABF、△GFC和△GDE中有:AB+AF>BD+DG+GF ①

GF+FC>GE+CE ②

DG+GE>DE ③

由①+②+③得:

AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE

∴AB+AC>BD+DE+EC。

5、分析:要证AB+AC>2AD,由图想到:AB+BD>AD,AC+CD>AD,所以有

AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD,左边比要证结论多BD+CD,故不能直接证出此题,而由2AD想到要构造2AD,即加倍中线,把所要证的线段转移到同一个三角形中去

∴△ACD≌△EBD(SAS)

∴BE=CA(全等三角形对应边相等)

∵在△ABE中有:AB+BE>AE(三角形两边之和大于第三边)

∴AB+AC>2AD。

6、分析:欲证AC=BF,只需证AC、BF所在两个三角形全等,显然图中没有含有AC、BF的两个全等三角形,而根据题目条件去构造两个含有AC、BF的全等三角形也并不容易。这时我们想到在同一个三角形中等角对等边,能够把这两条线段转移到同一个三角形中,只要说明转移到同一个三角形以后的这两条线段,所对的角相等即可。

思路一、以三角形ADC为基础三角形,转移线段AC,使AC、BF在三角形BFH中

方法一:延长AD到H,使得DH=AD,连结BH,证明△ADC和△HDB全等,得AC=BH。

通过证明∠H=∠BFH,得到BF=BH。

∴△ADC≌△HDB(SAS)

∴AC=BH,∠H=∠HAC

∵EA=EF

∴∠HAE=∠AFE

又∵∠BFH=∠AFE

∴BH=BF

∴BF=AC

方法二:过B点作BH平行AC,与AD的延长线相交于点H,证明△ADC和△HDB全等即可。

小结:对于含有中点的问题,通过“倍长中线”可以得到两个全等三角形。而过一点作已知直线的平行线,可以起到转移角的作用,也起到了构造全等三角形的作用。

思路二、以三角形BFD为基础三角形。转移线段BF,使AC、BF在两个全等三角形中

方法三:延长FD至H,使得DH=FD,连接HC。证明△CDH和△BDF全等即可。

∴△BFD≌△CHD(SAS)

∴∠H=∠BFH

∵AE=FE

∴∠HAC=∠AFE

又∵∠AFE=∠BFH

∴∠H=∠HAC

∴CH=CA

∴BF=AC

方法四:过C点作CH平行BF,与AD的延长线相交于点H,证明△CDH和△BDF全等即可。

全等三角形中常见辅助线的添加方法

全等三角形中常见辅助线的添加方法举例 一. 有角平分线时,通常在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形。 例:如图1:已知AD 为△ABC 的中线,且∠1=∠2,∠3=∠4,求证:BE +CF >EF 。 二、有以线段中点为端点的线段时,常延长加倍 此线段,构造全等三角形。 例::如图2:AD 为△ABC 的中线,且∠1=∠2,∠3=∠4,求证:BE +CF >EF 三、有三角形中线时,常延长加倍中线,构造 全等三角形。 例:如图3:AD 为 △ABC 的中线,求证:AB +AC >2AD 。 图3 练习:已知△ABC ,AD 是BC 边上的中线,分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形,如图4, 求证EF =2AD 。 A B C D E F N 1 图1234 2 图A B C D E F M 123 4A B C D E A B C D E F 4 图

四、截长补短法作辅助线。 例如:已知如图5:在△ABC 中,AB >AC ,∠1=∠2,P 为AD 上任一点。 求证:AB -AC >PB -PC 。 五、延长已知边构造三角形: 例如:如图6:已知AC =BD ,AD ⊥AC 于A ,BC ⊥BD 于B , 求证:AD =BC 六、有和角平分线垂直的线段时,通常把这条线段延长。 例如:如图8:在Rt △ABC 中,AB =AC ,∠BAC =90°,∠1=∠2,CE ⊥BD 的延长于E 。求证:BD =2CE 7 七、连接已知点,构造全等三角形。 例如:已知:如图9;AC 、BD 相交于O 点,且AB =DC ,AC =BD ,求证:∠A =∠D 。 八、取线段中点构造全等三有形。 例如:如图10:AB =DC ,∠A =∠D 求证:∠ABC =∠DCB 。 A B C D N M P 5图12A B C D E 6 图O D B A 110 图O 10图D C B A M N

专题:全等三角形常见辅助线做法及典型例题

《全等三角形》辅助线做法总结 图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。 线段垂直平分线,常向两端把线连。要证线段倍与半,延长缩短可试验。 三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,延长中线等中线。 一、截长补短法(和,差,倍,分) 截长法:在长线段上截取与两条线段中的一条相等的一段,证明剩余的线段与另一段相等(截取----全等----等量代换) 补短法:延长其中一短线段使之与长线段相等,再证明延长段与另一短线段相等(延长----全等----等量代换) 例如:1,已知,如图,在△ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠2。求证:AB=AC+CD。 2,已知:如图,AC∥BD,AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E.求证:(1)AE⊥BE;(2)AB=AC+BD. 二、图中含有已知线段的两个图形显然不全等(或图形不完整)时,添加公共边(或一其中 一个图形为基础,添加线段)构建图形。(公共边,公共角,对顶角,延长,平行)例如:已知:如图,AC、BD相交于O点,且AB=DC,AC=BD,求证:∠A=∠D。 三、延长已知边构造三角形 例如:如图6:已知AC=BD,AD⊥AC于A ,BC⊥BD于B,求证:AD=BC D C B A 1 10 图 O A B C D E O

四、遇到角平分线,可自角平分线上的某个点向角的两边作垂线(“对折”全等) 例如:已知,如图,AC 平分∠BAD ,CD=CB ,AB>AD 。求证:∠B+∠ADC=180。 五、遇到中线,延长中线,使延长段与原中线等长(“旋转”全等) 例如:1如图,AD 为 △ABC 的中线,求证:AB +AC >2AD 。(三角形一边上的中线小 于其他两边之和的一半) 2,已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD 。 3,如图,已知:AD 是△ABC 的中线,且CD=AB ,AE 是△ABD 的中线,求证:AC=2AE. E C B D A 六、遇到垂直平分线,常作垂直平分线上一点到线段两端的连线(可逆 :遇到两组线段相等, 可试着连接垂直平分线上的点) 例如:在△ABC 中,∠ACB=90,AC=BC,D 为△ABC 外一点,且AD=BD,DE ⊥AC 交AC 的延长 线于E,求证:DE=AE+BC 。 七、遇到等腰三角形,可作底边上的高,或延长加倍法(“三线合一”“对折”) A D B C C A E B D

2017中考全等三角形专题(8种辅助线的作法)

全等三角形问题中常见得辅助线得作法【三角形辅助线做法】 图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折瞧,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试瞧。 线段垂直平分线,常向两端把线连。要证线段倍与半,延长缩短可试验。 三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,延长中线等中线。 1、等腰三角形“三线合一”法:遇到等腰三角形,可作底边上得高,利用“三线合一”得性质解题 2、倍长中线:倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形 3、角平分线在三种添辅助线 4、垂直平分线联结线段两端 5、用“截长法”或“补短法”: 遇到有二条线段长之与等于第三条线段得长, 6、图形补全法:有一个角为60度或120度得把该角添线后构成等边三角形 7、角度数为30、60度得作垂线法:遇到三角形中得一个角为30度或60度,可以从角一边上一点向角得另一边作垂线,目得就是构成30-60-90得特殊直角三角形,然后计算边得长度与角得度数,这样可以得到在数值上相等得二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间得相等条件。 8、计算数值法:遇到等腰直角三角形,正方形时,或30-60-90得特殊直角三角形,或40-60-80得特殊直角三角形,常计算边得长度与角得度数,这样可以得到在数值上相等得二条边或二个角,从而为证明全等三角形创造边、角之间得相等条件。 常见辅助线得作法有以下几种:最主要得就是构造全等三角形,构造二条边之间得相等,二个角之间得相等。 1)遇到等腰三角形,可作底边上得高,利用“三线合一”得性质解题,思维模式就是全等变 换中得“对折”法构造全等三角形. 2)遇到三角形得中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用得思 维模式就是全等变换中得“旋转”法构造全等三角形. 3)遇到角平分线在三种添辅助线得方法,(1)可以自角平分线上得某一点向角得两边作垂

全等三角形中常用辅助线(经典)

三角形中的常用辅助线 课程解读 一、学习目标: 归纳、掌握三角形中的常见辅助线 二、重点、难点: 1、全等三角形的常见辅助线的添加方法。 2、掌握全等三角形的辅助线的添加方法并提高解决实际问题的能力。 三、考点分析: 全等三角形是初中数学中的重要内容之一,是今后学习其他知识的基础。判断三角形全等的公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL,如果所给条件充足,则可直接根据相应的公理证明,但是如果给出的条件不全,就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析,先推导出所缺的条件然后再证明。一些较难的证明题要构造合适的全等三角形,把条件相对集中起来,再进行等量代换,就可以化难为易了。 典型例题 人说几何很困难,难点就在辅助线。辅助线,如何添?把握定理和概念。还要刻苦加钻研,找出规律凭经验。 全等三角形辅助线 找全等三角形的方法: (1)可以从结论出发,寻找要证明的相等的两条线段(或两个角)分别在哪两个可能全等的三角形中; (2)可以从已知条件出发,看已知条件可以确定哪两个三角形全等; (3)可从条件和结论综合考虑,看它们能确定哪两个三角形全等; (4)若上述方法均不可行,可考虑添加辅助线,构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法: ①延长中线构造全等三角形; ②利用翻折,构造全等三角形; ③引平行线构造全等三角形; ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种: (1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”。 例1:如图,ΔABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,CE垂直于BD,交BD的延长线于点E。求证:BD=2CE。

全等三角形辅助线专题

创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 八年级数学上册辅助线专题 教学目标:掌握各种类型的全等三角形的证明方法 教学重点:构造全等三角形 教学难点: 如何巧妙作辅助线 知识点: (一)截长补短型 (二)中点线段倍长问题 (三)蝴蝶形图案解决定值问题 (四)角平分线与轴对称 (五)等腰直角三角形,等边三角形 (六)双重直图案与全等三角形 典型例题讲练 重点例题: 一、截长补短型 如图,R T △CDA ≌RT △CDB, ①、若∠ACD=30°,∠MDN=60°,当∠MDN 绕点D 旋转时,AM 、MN 、BN 三条线段之间的关系式为______ ②、若∠ACD=45°,∠MDN=45°,AM 、MN 、BN 三条线段之间的数量关系式为:______ ③、由①②猜想:在上述条件下,当∠ACD 与∠MDN 满足什么条件时,上述关系式成立,证明你的结论。 B A C D M N ① B D A C M N ② A B C D M N ③

二、中点线段倍长问题 如图△ABC 中,点D 是BC 边中点,过点D 作直线交AB 、CA 延长线于点E 、F 。当AE=AF 时,求证BE=CF 。 三、蝴蝶形图案解决定值问题 1、如图,在R t △ACB 中,∠ACB=90°,CA=CB,D 是斜边AB 的中点,E 是DA 上一点,过点B 作BH ⊥CE 于点H ,交CD 于点F 。 (1) 求证:DE=DF.(2)若E 是线段BA 的延长线上一点,其它条件不 变,DE=DF 成立吗?画图说明。 2在△ABC 中,AB=AC,AD 和CE 是高,它们所在的直线相交于H 。 (1)如图1,若∠BAC=45°,求证:AH=2BD. (2)如图2,若∠BAC=135°,(1)中的结论是否依然成立?请你在图2中画出图形并加以证明。 3,如图,等腰直角三角形ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,BE 平分∠ABC 交AC 于E ,过C 作CD ⊥BE 于D.求证BE=2CD. A B C D E F A B C D E F H A B C D E H B A C

全等三角形常用辅助线做法

五种辅助线助你证全等 姚全刚 在证明三角形全等时有时需添加辅助线,对学习几何证明不久的学生而言往往是难点?下面介绍证明全等时常见的五种辅助线,供同学们学习时参考. 一、截长补短 一般地,当所证结论为线段的和、差关系,且这两条线段不在同一直线上时,通常可以考虑用 截长补短的办法:或在长线段上截取一部分使之与短线段相等;或将短线段延长使其与长线段相等. 例1.如图1,在△ ABC 中,/ ABC=60 ° , AD、CE 分别平分/ BAC、/ ACB .求证: AC=AE+CD . 分析:要证AC=AE+CD , AE、CD不在同一直线上.故在AC上截取AF=AE,则只要证明 CF=CD . 证明:在AC上截取AF=AE,连接OF. ?/ AD、CE 分别平分/ BAC、/ ACB,/ ABC=60 ° ???/ 1 + Z 2=60 ° ,A Z 4=Z 6= / 1 + Z 2=60 ° . 显然,△ AEO ◎△ AFO,?/ 5= / 4=60 ° ,?/ 7=180° — (/ 4+ / 5) =60 ° 在厶DOC 与厶FOC 中,/ 6= / 7=60°,/ 2= / 3, OC=OC ???△ DOC ◎△ FOC, CF=CD ? AC=AF+CF=AE+CD 截长法与补短法,具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等, 或是将某条线段延长,使之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作 法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

例2:如图甲,AD// BC 点E在线段AB上,/ ADE=/CDE / DC=Z ECB 求证: CD=AD F BC 思路分析: 1)题意分析:本题考查全等三角形常见辅助线的知识:截长法或补短法。 2)解题思路:结论是CDAC+BC,可考虑用“截长补短法”中的“截长”,即在CD上截取CF=CE,只要再证DF=DA即可,这就转化为证明两线段相等的问题,从而达到简化问题的目的。 解答过程: 证明:在CD上截取CF=BC如图乙 6 = CS CE= CE ???△ FCE^A BCE(SAS, ???/ 2=Z 1。 又??? AD// BC ???/ ADG-Z BCD:180°, ???/ DC+Z CD=90°,

全等三角形之辅助线(习题及答案)

全等三角形之辅助线(习题) 例题示范 例1:已知:如图,在△ABC 中,∠C =90°,D 是AB 边上一点,AD =AC ,过点D 作DE ⊥AB ,交BC 于点E . 求证:CE =DE . 【思路分析】1 读题标注:2梳理思路: 要证CE =DE ,考虑把这两条线段放在两个三角形中证全等,利用全等三角形对应边相等来证明. 观察图形,发现不存在全等的三角形. 结合条件,AC =AD ,∠C =∠ADE =90°,考虑连接AE ,证明△ACE ≌△ADE . 【过程书写】 证明:如图,连接AE ∵DE ⊥AB ∴∠ADE =90° ∵∠C =90° ∴∠C =∠ADE 在Rt △ACE 和Rt △ADE 中 AE AE AC AD =??=?(公共边)(已知)∴Rt △ACE ≌Rt △ADE (HL ) ∴CE =DE (全等三角形对应边相等) 过程规划:1.描述辅助线:连接AE 2.准备条件:∠C =∠ADE =90°3.证明△ACE ≌△ADE 4.由全等性质得,CE = DE

巩固练习1.已知:如图,B ,C ,F ,E 在同一条直线上,AB ,DE 相交于点G ,且BC =EF ,GB =GE ,∠A =∠D .求证:DC =AF . 2.已知:如图,∠C =∠F ,AB =DE ,DC = AF ,BC =EF .求证:AB ∥DE .过程规划: 过程规划:

3.已知:如图,AB∥CD,AD∥BC,E,F分别是AD,BC的 中点.求证:BE=DF. 4.已知:如图,在正方形ABCD中,AD=AB,∠DAB=∠B=90°, 点E,F分别在AB,BC上,且AE=BF,AF交DE于点G.求证:DE⊥AF.

全等三角形中辅助线的添加解析

全等三角形中辅助线的添加 一.教学内容:全等三角形的常见辅助线的添加方法、基本图形的性质的掌握及熟练应用。 二.知识要点: 1、添加辅助线的方法和语言表述 (1)作线段:连接……; (2)作平行线:过点……作……∥……; (3)作垂线(作高):过点……作……⊥……,垂足为……; (4)作中线:取……中点……,连接……; (5)延长并截取线段:延长……使……等于……; (6)截取等长线段:在……上截取……,使……等于……; (7)作角平分线:作……平分……;作角……等于已知角……; (8)作一个角等于已知角:作角……等于……。 2、全等三角形中的基本图形的构造与运用 常用的辅助线的添加方法: (1)倍长中线(或类中线)法:若遇到三角形的中线或类中线(与中点有关的线段),通常考虑倍长中线或类中线,构造全等三角形。 (2)截长补短法:若遇到证明线段的和差倍分关系时,通常考虑截长补短法,构造全等三角形。①截长:在较长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等于另一条;②补短:将一条较短线段延长,延长部分等于另一条较短线段,然后证明新线段等于较长线段;或延长一条较短线段等于较长线段,然后证明延长部分等于另一条较短线段。 (3)一线三等角问题(“K”字图、弦图、三垂图):两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。 (4)角平分线、中垂线法:以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。 (5)角含半角、等腰三角形的(绕顶点、绕斜边中点)旋转重合法:用旋转构造三角形全等。 (6)构造特殊三角形:主要是30°、60°、90°、等腰直角三角形(用平移、对称和弦图也可以构造)和等边三角形的特殊三角形来构造全等三角形。 三、基本模型: (1) △ABC中AD是BC边中线 方式1:延长AD到E,使DE=AD,连接BE

全等三角形辅助线技巧

注意全等三角形的构造方法 搞清了全等三角形的证题思路后, 还要注意一些较难的一些证明问题, 只要构造合适 的 全等三角形,把条件相对集中起来,再进行等量代换,就可以化难为易了?下面举例说明几 种常见的构造方法,供同学们参考. 1 ?截长补短法 例1.如图(1)已知:正方形 ABCD 中, 求证:AB+BE=AC 由已知△ AEF ^A AEC, ???/ F=Z ACE=45), ??? BF=BE ?- AB+BE=AB+BF=AF=AC 解法(二)(截长法或分割法)在AC 上截取AG=AB,由已知 △ ABE BA AGE, ? EG=BE, / AGE=Z ABE,: / ACE=45o, ? CG=EG, ? AB+BE=AG+CG=AC 2 .平行线法(或平移法) 若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线,对 Rt △,有时可作出斜边的中线. 例 2. △ ABC 中,/ BAC=60 , / C=40° AP 平分/ BAC 交 BC 于 P , BQ 平分/ ABC 交 AC 于 Q , 求证:AB+BP=BQ+AQ 证明:如图(1),过 O 作 OD// BC 交 AB 于 D , ?/ ADO=/ ABC =180 ° - 60°- 40 ° =80°,又???/ AQO=/ C+/ QBC=80°, ???/ ADO=/ AQO ,又I/ DAO=/ QAO , OA=AO, ? △ ADO BA AQO ,「. OD=OQ , AD=AQ ,又T OD / BP, ? / PBO=/ DOB ,又 T/ PBO=/ DBO, ?/ DBO=/ DOB , ? BD=OD,「. AB+BP=AD+DB+BP 解法(一) (补短法或补全法)延长AB 至F 使AF=AC F

全等三角形几种常见辅助线精典题型

全等三角形几种常见辅助线精典题型 一、截长补短 1、已知ABC ?中,60A ∠=,BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠,BD 、CE 交于点O ,试判断BE 、CD 、BC 的数量关系,并加以证明. 2、如图,点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外),作60DMN ∠=?,射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ,DM 与MN 有怎样的数量关系? 3、如图,AD ⊥AB ,CB ⊥AB ,DM =CM =a ,AD =h ,CB =k ,∠AMD =75°,∠BMC =45°,求AB 的长。 4、已知:如图,ABCD 是正方形,∠FAD =∠FAE . 求证:BE +DF =AE . N E B M A D D O E C B A M D C B A F D A

5、以ABC ?的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ?、ACE ?,连结CD 、BE 相交于点O .求证:OA 平分DOE ∠. 6、如图所示,ABC ?是边长为1的正三角形,BDC ?是顶角为120?的等腰三角形,以D 为顶点作一个60?的MDN ∠,点M 、N 分别在AB 、AC 上, 求AMN ?的周长. 7、如图所示,在ABC ?中,AB AC =,D 是底边BC 上的一点,E 是线段AD 上的一点,且2BED CED BAC ∠=∠=∠,求证2BD CD =. 8、 五边形ABCDE 中,AB =AE ,BC +DE =CD ,∠ABC +∠AED =180°,求证:AD 平分∠CDE F A B C D E O O E D C B A N M D C B A E D B A E B A

全等三角形中做辅助线总结(供参考)

全等三角形中做辅助线技巧要点大汇总 口诀: 三角形 图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。 线段垂直平分线,常向两端把线连。线段和差及倍半,延长缩短可试验。 线段和差不等式,移到同一三角去。三角形中两中点,连接则成中位线。 三角形中有中线,延长中线等中线。 一、由角平分线想到的辅助线 口诀: 图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。 角平分线具有两条性质:a、对称性;b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法,一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线; ②利用角平分线,构造对称图形(如作法是在一侧的长边上截取短边)。 通常情况下,出现了直角或是垂直等条件时,一般考虑作垂线;其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 (一)、截取构全等 如图1-1,∠AOC=∠BOC,如取OE=OF,并连接DE、DF,则有△OED≌△OFD,从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 例1.如图1-2,AB//CD,BE平分∠BCD,CE平分∠BCD,点E在AD上,求证:BC=AB+CD。 例2.已知:如图1-3,AB=2AC,∠BAD=∠CAD,DA=DB,求证DC⊥AC B 图1-2 D B C 1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

2文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 例3. 已知:如图1-4,在△ABC 中,∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ,求证:AB-AC=CD 分析:此题的条件中还有角的平分线,在证明中还要用到构造全等三角形,此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的,在长的线段上截取短的线段,来证明。试试看可否把短的延长来证明呢? 练习 1. 已知在△ABC 中,AD 平分∠BAC ,∠B= 2∠C ,求证:AB+BD=AC 2. 已知:在△ABC 中,∠CAB=2∠B ,AE 平分∠CAB 交BC 于E ,AB=2AC , 求证:AE=2CE 3. 已知:在△ABC 中,AB>AC,AD 为∠BAC 的平分线,M 为AD 上任一点。 求证:BM-CM>AB-AC 4. 已知:D 是△ABC 的∠BAC 的外角的平分线AD 上的任一点,连接DB 、 DC 。求证:BD+CD>AB+AC 。 (二)、角分线上点向角两边作垂线构全等 过角平分线上一点向角两边作垂线,利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。 例1. 如图2-1,已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC 。 求证:∠ADC+∠B=180 分析:可由C 向∠BAD 的两边作垂线。近而证∠ADC 与∠B 之和为平角。 例2. 如图2-2,在△ABC 中,∠A=90 ,AB=AC ,∠ABD=∠CBD 。 求证:BC=AB+AD 图1-4 A B C 图2-1 B C 图 2-2 B C

全等三角形中做辅助线的技巧

全等三角形中做辅助线的技巧 口诀: 三角形 图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。 线段垂直平分线,常向两端把线连。线段和差及倍半,延长缩短可试验。 线段和差不等式,移到同一三角去。三角形中两中点,连接则成中位线。 三角形中有中线,延长中线等中线。 一、由角平分线想到的辅助线 口诀: 图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。 角平分线具有两条性质:a 、对称性;b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法,一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线; ②利用角平分线,构造对称图形(如作法是在一侧的长边上截取短边)。 通常情况下,出现了直角或是垂直等条件时,一般考虑作垂线;其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 (一)、截取构全等 图1-1 B

如图1-1,∠AOC=∠BOC ,如取OE=OF ,并连接DE 、DF ,则有△OED ≌△OFD ,从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 例1. 如图1-2,AB//CD ,BE 平分∠BC D ,C E 平分∠BCD ,点E 在AD 上,求证:BC =AB+CD 。 例2. 已知:如图1-3,AB=2AC ,∠BAD=∠CAD ,DA=DB ,求证DC ⊥AC 例3. 已知:如图1-4,在△ABC 中,∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ,求证:AB -AC=CD 分析:此题的条件中还有角的平分线,在证明中还要用到构造全等三角形,此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的,在长的线段上截取短的线段,来证明。试试看可否把短的延长来证明呢? 练习 1. 已知在△ABC 中,AD 平分∠BAC ,∠B=2∠C ,求证:AB+BD=AC 图1-2 D B C 图 1-4 A B C

全等三角形辅助线系列之一---角平分线类辅助线作法大全

全等三角形辅助线系列之一 与角平分线有关的辅助线作法大全 一、角平分线类辅助线作法 角平分线具有两条性质:a 、对称性;b 、角平分线上的点到角两边的距离相等.对于有角平分线的辅助线的作法,一般有以下四种. 1、角分线上点向角两边作垂线构全等: 过角平分线上一点向角两边作垂线,利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题; 2、截取构全等 利用对称性,在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形; 3、延长垂线段 题目中有垂直于角平分线的线段,则延长该线段与角的另一边相交,构成等腰三角形; 4、做平行线:以角分线上一点做角的另一边的平行线,构造等腰三角形 有角平分线时,常过角平分线上的一点作角的一边的平行线,从而构造等腰三角形.或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交,从而也构造等腰三角形. 通常情况下,出现了直角或是垂直等条件时,一般考虑作垂线;其它情况下考虑构造对称图形.至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件. 图四图三 图二 图一 Q P O N M P O N M B A A B M N O P P O N M B A

典型例题精讲 【例1】 如图所示,BN 平分∠ABC ,P 为BN 上的一点,并且PD ⊥BC 于D ,2AB BC BD =+. 求证:180BAP BCP ∠∠=?+. 【解析】过点P 作PE ⊥AB 于点E . ∵PE ⊥AB ,PD ⊥BC ,BN 平分∠ABC ,∴PE PD =. 在Rt △PBE 和Rt △PBC 中, BP BP PE PD =?? =? , ∴Rt △PBE ≌Rt △PBC (HL ),∴BE BD =. ∵2AB BC BD +=,BC CD BD =+,AB BE AE =-,∴AE CD =. ∵PE ⊥AB ,PD ⊥BC ,∴90PEB PDB ∠=∠=?. 在△P AE 和Rt △PCD 中, ∵PE PD PEB PDC AE DC =?? ∠=∠??=? , ∴△P AE ≌Rt △PCD ,∴PCB EAP ∠=∠. ∵180BAP EAP ∠+∠=?,∴180BAP BCP ∠+∠=?. 【答案】见解析.

全等三角形几何证明-常用辅助线

几何证明-常用辅助线 (一)中线倍长法: 例1、求证:三角形一边上的中线小于其他两边和的一半 1 已知:如图,△ ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,求证:AD < - (AB+AC) 2 1 分析:要证明AD < - (AB+AC),就是证明AB+AO2AD 也就是证明两条线段之和大于第三 2 条线段,而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”,但题中的三条线段共点,没有构 成一个三角形,不能用三角形三边关系定理,因此应该进行转化。待证结论AB+AC>2A 中, 出现了 2AD 即中线AD 应该加倍。 证明:延长 AD 至E,使DE=AD 连CE 则AE=2AD 在厶 ADBm EDC 中, AD= DE ZADB= ZEDC BD= DC ???△ ADB^A EDC(SAS) ??? AB=CE 又在厶ACE 中, AC+C 呂 AE 1 ??? AC+AB>2AD 即 AD < - (AB+AC) 2 小结:(1)涉及三角形中线问题时,常采用延长中线一倍的办法,即 中线倍长法。它可以 将分居中线两旁的两条边 AB AC 和两个角/ BAD 和/CAD 集中于同一个三角形中,以利于 问题的获解。 课题练习:ABC 中,AD 是 BAC 的平分线,且BD=CD 求证AB=AC N, 作BE! AD 的延长线于E 连接BE E 例3:A ABC 中, AB=5 AC=3求中线AD 的取值范围 例4:已知在△ ABC 中, AB=AC D 在AB 上, E 在AC 的延长线上,DE 交BC 于 F , 且 DF=EF 求证:BD=CE 课堂练习:已知在△ ABC 中,AD 是BC 边上的中线, AC 于 F ,求证:AF=EF 例5:已知:如图,在 ABC 中,AB AC , D E 上,且 DE=EC 过 D 作 DF //BA 交 AE 于点 F , DF=AC. 例2:中线一倍辅助线作法 作 CF 丄 AD 于 F , A ^式 1:延长 AD 到 E , / 使 DE=AD B ————(连接BE 方式2:间接倍长 延长MD 到 使 DN=M P 连接CD A C △ ABC 中 AD 是BC 边中线 D

全等三角形中常见的辅助线添加方法

全等三角形中的常见辅助线的添加方法举例 一. 有角平分线时,通常在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形。 例:如图1:已知AD 为△ABC 的中线,且∠1=∠2,∠3=∠4,求证:BE +CF >EF 。 二、有以线段中点为端点的线段时,常延长加倍此线段,构造全等三角形。 例::如图2:AD 为△ABC 的中线,且∠1=∠2,∠3=∠4,求证:BE +CF >EF 三、有三角形中线时,常延长加倍中线,构造全等三角形。 例:如图3:AD 为 △ABC 的中线,求证:AB +AC >2AD 。 A B C D E F N 1 图1234 2 图A B C D E F M 123 4A B C D E

图3 第1页 练习:已知△ABC ,AD 是BC 边上的中线,分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形,如图4, 求证EF =2AD 。 四、截长补短法作辅助线。 例如:已知如图5:在△ABC 中,AB >AC ,∠1=∠2,P 为AD 上任一点。 求证:AB -AC >PB -PC 。 五、延长已知边构造三角形: 例如:如图6:已知AC =BD ,AD ⊥AC 于A ,BC ⊥BD 于B , 求证:AD =BC A B C D E F 4 图A B C D N M P 5 图12A B C D E 6 图O

六、连接四边形的对角线,把四边形的问题转化成为三角形来解决。 例如:如图7:AB ∥CD ,AD ∥BC 求证:AB=CD 。 七有和角平分线垂直的线段时,通常把这条线段延长。 例如:如图8:在Rt △ABC 中,AB =AC ,∠BAC =90°,∠1=∠2,CE ⊥BD 的延长于E 。求证:BD =2CE 图8 八、连接已知点,构造全等三角形。 例如:已知:如图9;AC 、BD 相交于O 点,且AB =DC ,AC =BD ,求证:∠A =∠D 。 A B C D 7 图1 2 3 4 D C B A 110 图O

几种证明全等三角形添加辅助线的方法

全等三角形复习课 适用学科数学适用年级初中二年级 适用区域通用课时时长(分 钟) 120 知识点全等三角形的性质和判定方法 教学目标熟练掌握全等三角形的性质和判定方法,并学会用应用 教学重点学会做辅助线证明三角形全等,常用的几种作辅助线的方法 教学难点通过学习全等三角形,提高学生观察能力和分析能力 教学过程 构造全等三角形几种方法 在几何解题中,常常需要添加辅助线构造全等三角形,以沟通题设与结论之间的联系。现分类加以说明。 一、延长中线构造全等三角形 例1. 如图1,AD是△ABC的中线,求证:AB+AC>2AD。 证明:延长AD至E,使AD=DE,连接CE。如图2。 ∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD。 又∵∠1=∠2,AD=DE, ∴△ABD≌△ECD(SAS)。AB=CE。 ∵在△ACE中,CE+AC>AE, ∴AB+AC>2AD。

二、沿角平分线翻折构造全等三角形 例2. 如图3,在△ABC中,∠1=∠2,∠ABC=2∠C。求证:AB+BD=AC。 证明:将△ABD沿AD翻折,点B落在AC上的E点处,即:在AC上截取AE=AB,连接ED。如图4。 ∵∠1=∠2,AD=AD,AB=AE, ∴△ABD≌△AED(SAS)。 ∴BD=ED,∠ABC=∠AED=2∠C。 而∠AED=∠C+∠EDC, ∴∠C=∠EDC。所以EC=ED=BD。 ∵AC=AE+EC,∴AB+BD=AC。 三、作平行线构造全等三角形 例3. 如图5,△ABC中,AB=AC。E是AB上异于A、B的任意一点,延长AC到D,使CD=BE,连接DE交BC于F。求证:EF=FD。 证明:过E作EM∥AC交BC于M,如图6。 则∠EMB=∠ACB,∠MEF=∠CDF。 ∵AB=AC,∴∠B=∠ACB。 ∴∠B=∠EMB。故EM=BE。 ∵BE=CD,∴EM=CD。

全等三角形中辅助线的添加完整版

全等三角形中辅助线的 添加 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

全等三角形中辅助线的添加 一.教学内容:全等三角形的常见辅助线的添加方法、基本图形的性质的掌握及熟练应用。 二.知识要点: 1、添加辅助线的方法和语言表述 (1)作线段:连接……; (2)作平行线:过点……作……∥……; (3)作垂线(作高):过点……作……⊥……,垂足为……; (4)作中线:取……中点……,连接……; (5)延长并截取线段:延长……使……等于……; (6)截取等长线段:在……上截取……,使……等于……; (7)作角平分线:作……平分……;作角……等于已知角……; (8)作一个角等于已知角:作角……等于……。 2、全等三角形中的基本图形的构造与运用 常用的辅助线的添加方法: (1)倍长中线(或类中线)法:若遇到三角形的中线或类中线(与中点有关的线段),通常考虑倍长中线或类中线,构造全等三角形。 (2)截长补短法:若遇到证明线段的和差倍分关系时,通常考虑截长补短法,构造全等三角形。①截长:在较长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等于另一条;②补短:将一条较短线段延长,延长部分等于另一条较短线段,然后证明新线段等于较长线段;或延长一条较短线段等于较长线段,然后证明延长部分等于另一条较短线段。 (3)一线三等角问题(“K”字图、弦图、三垂图):两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。 (4)角平分线、中垂线法:以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。 (5)角含半角、等腰三角形的(绕顶点、绕斜边中点)旋转重合法:用旋转构造三角形全等。 (6)构造特殊三角形:主要是30°、60°、90°、等腰直角三角形(用平移、对称和弦图也可以构造)和等边三角形的特殊三角形来构造全等三角形。 三、基本模型: (1) △ABC中AD是BC边中线 方式1:延长AD到E,使DE=AD,连接BE 方式2:间接倍长,作CF⊥AD于F,作BE⊥AD的延长线于E,连接BE 方式3:延长MD到N,使DN=MD,连接CD (2) 由△ABE≌△BCD导出由△ABE≌△BCD导出由△ABE≌△BCD 导出 BC=BE+ED=AB+CD ED=AE-CD EC=AB-CD (3)角分线,分两边,对称全等要记全 角分线+垂线,等腰三角形必呈现(三线合一) (4)

全等三角形辅助线归类

全等三角形辅助线归类-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

倍长中线(线段)造全等 前言:要求证的两条线段AC 、BF 不在两个全等 的三角形中,因此证AC=BF 困难,考虑能否通过辅助线把AC 、BF 转化到同一个三角形中,由AD 是中线,常采用中线倍长法,故延长AD 到G ,使DG=AD ,连BG ,再通过全等三角形和等线段代换即可证出。 1、已知:如图,AD 是△ABC 的中线,BE 交AC 于E ,交AD 于F ,且 AE=EF ,求证:AC=BF A C E F 2、已知在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,且BE=AC ,延长BE 交AC 于F ,求证:AF=EF F E A B C 3、已知,如图△ABC 中,AB=5,AC=3,则中线AD 的取值范围是_________. D C B A 4、在△ABC 中,AC=5,中线AD=7,则AB 边的取值范围是( ) A 、1

常见全等三角形中添加辅助线方法

常见全等三角形中添加辅助线方法 (1)有角平分线时,通常在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形 例如:如图,已知AD 为△ABC 的中线,且∠1=∠2,∠3=∠4,求证:BE +CF >EF 。 分析:要证BE +CF >EF ,可利用三角形三边关系定理证明,须把 BE ,CF ,EF 移到同一个三角形中,而由已知∠1=∠2,∠3=∠4, 可在角的两边截取相等的线段,利用三角形全等对应边相等,把EN ,FN ,EF 移到同一个三角形中。 (2)有以线段中点为端点的线段时,常延长加倍此线段,构造全等三角形。 例如:如图,已知AD 为△ABC 的中线,且∠1=∠2,∠3=∠4,求证:BE +CF >EF 。 (3)有三角形中线时,常延长加倍中线,构造全等三角形。 例如:如图,AD 为 △ABC 的中线,求证:AB +AC >2AD 。 分析:要证AB +AC >2AD ,由图想到: AB +BD >AD,AC +CD >AD ,所以有AB +AC + BD +CD >AD +AD =2AD ,左边比要证结论多BD +CD ,故不能直接证出此题,而由2AD 想到要构造2AD ,即加倍中线, 把所要证的线段转移到同一个三角形中去。 (4)截长补短法作辅助线。 例如:已知如图在△ABC 中,AB >AC ,∠1=∠2,P 为AD 上任一点。求证:AB -AC >PB -PC 。 分析:要证:AB -AC >PB -PC ,想到利用三角形三边关系定理证之, 因为欲证的是线段之差,故用两边之差小于第三边,从而想到构造第三边AB -AC ,故可在AB 上截取AN 等于AC ,得AB -AC =BN , 再连接PN ,则PC =PN ,又在△PNB 中,PB -PN <BN ,即:AB - AC >PB -PC 。 A B C D E F N 234 A B C D E F M 123 4A B C D E A B C D N M P 2

全等三角形几种常见辅助线精典题型

全等三角形几种常见辅助 线精典题型 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

全等三角形几种常见辅助线精典题型 一、截长补短 1、已知ABC ?中,60A ∠=,BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠,BD 、CE 交于点O ,试判断BE 、CD 、BC 的数量关系,并加以证明. 2、如图,点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意 一点(点B 除外),作60DMN ∠=?,射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ,DM 与MN 有怎样的数量关系 3、如图,AD ⊥AB ,CB ⊥AB ,DM =CM =a ,AD =h ,CB =k ,∠ AMD =75°,∠BMC =45°,求AB 的长。 4、已知:如图,ABCD 是正方形,∠FAD =∠FAE . 求证:BE +DF =AE . 5、以ABC ?的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ?、ACE ?,连结 CD 、BE 相交于点O .求证:OA 平分DOE ∠. 6、如图所示,ABC ?是边长为1的正三角形,BDC ?是顶角为120?的等腰三角形,以D 为顶点作一个60?的MDN ∠,点M 、N 分别在AB 、AC 上,求AMN ?的周长. 7、如图所示,在ABC ?中,AB AC =,D 是底边BC 上的一点,E 是线段AD 上的一点,且2BED CED BAC ∠=∠=∠,求证2BD CD =. 8、五边形ABCDE 中,AB =AE ,BC +DE =CD ,∠ABC +∠ AED =180°,求证:AD 平分∠CDE 二、全等与角度 N E B M A D D O E C B A M D C B A N M D C B A E D C B A C E D B A

几种证明全等三角形添加辅助线的方法

教学过程 构造全等三角形几种方法 在几何解题中,常常需要添加辅助线构造全等三角形,以沟通题设与结论之间的联系。现分类加以说明。 一、延长中线构造全等三角形 例1. 如图1,AD是△ABC的中线,求证:AB+AC>2AD。 证明:延长AD至E,使AD=DE,连接CE。如图2。 ∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD。 又∵∠1=∠2,AD=DE, ∴△ABD≌△ECD(SAS)。AB=CE。 ∵在△ACE中,CE+AC>AE, ∴AB+AC>2AD。 二、沿角平分线翻折构造全等三角形 例2. 如图3,在△ABC中,∠1=∠2,∠ABC=2∠C。求证:AB+BD=AC。 证明:将△ABD沿AD翻折,点B落在AC上的E点处,即:在AC上截取AE=AB,连接ED。如图4。 ∵∠1=∠2,AD=AD,AB=AE, ∴△ABD≌△AED(SAS)。

∴BD=ED,∠ABC=∠AED=2∠C。 而∠AED=∠C+∠EDC, ∴∠C=∠EDC。所以EC=ED=BD。 ∵AC=AE+EC,∴AB+BD=AC。 三、作平行线构造全等三角形 例3. 如图5,△ABC中,AB=AC。E是AB上异于A、B的任意一点,延长AC到D,使CD=BE,连接DE交BC于F。求证:EF=FD。 证明:过E作EM∥AC交BC于M,如图6。 则∠EMB=∠ACB,∠MEF=∠CDF。 ∵AB=AC,∴∠B=∠ACB。 ∴∠B=∠EMB。故EM=BE。 ∵BE=CD,∴EM=CD。 又∵∠EFM=∠DFC,∠MEF=∠CDF, ∴△EFM≌△DFC(AAS)。EF=FD。 四、作垂线构造全等三角形 例4. 如图7,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC。M是AC边的中点。AD ⊥BM交BC于D,交BM于E。求证:∠AMB=∠DMC。 证明:作CF⊥AC交AD的延长线于F。如图8。 ∵∠BAC=90°,AD⊥BM, ∴∠FAC=∠ABM=90°-∠BAE。 ∵AB=AC,∠BAM=∠ACF=90°, ∴△ABM≌△CAF(ASA)。 ∴∠F=∠AMB,AM=CF。 ∵AM=CM,∴CF=CM。 ∵∠MCD=∠FCD=45°,CD=CD, ∴△MCD≌△FCD(SAS)。所以∠F=∠DMC。 ∴∠AMB=∠F=∠DMC。 五、沿高线翻折构造全等三角形 例5. 如图9,在△ABC中,AD⊥BC于D,∠BAD>∠CAD。求证:AB>AC。 证明:把△ADC沿高AD翻折,点C落在线段DB上的E点处,即:在DB

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