2015-2016年四川省资阳市高二上期末数学试卷(文)含答案解析

2015-2016学年四川省资阳市高二（上）期末数学试卷（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知圆C：（x﹣2）2+（y+1）2=4，则圆C的圆心和半径分别为（）

A．（2，1），4 B．（2，﹣1），2 C．（﹣2，1），2 D．（﹣2，﹣1），2

2．当m∈N*，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题是（）

A．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞0

B．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m≤0

C．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m＞0

D．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤0

3．已知命题p：?x＞0，x3＞0，那么￢p是（）

A．?x＞0，x3≤0 B．

C．?x＜0，x3≤0 D．

4．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A．4πB．3πC．2πD．π

5．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）

A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4 C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.4

6．执行如图所示的程序框图，若输入x为13，则输出y的值为（）

A．10 B．5 C．4 D．2

7．在区间[0，3]上随机地取一个实数x，则事件“1≤2x﹣1≤3”发生的概率为（）A．B．C．D．

8．在班级的演讲比赛中，将甲、乙两名同学的得分情况制成如图所示的茎叶图．记甲、乙两名同学所得分数的平均分分别为甲、乙，则下列判断正确的是（）

A．甲＜乙，甲比乙成绩稳定B．甲＞乙，甲比乙成绩稳定

C．甲＜乙，乙比甲成绩稳定D．甲＞乙，乙比甲成绩稳定

9．设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确的是（）

A．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件

B．当m?α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件

C．当m?α时，“n∥α”是“m∥n”必要不充分条件

D．当m?α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件

10．已知表面积为24π的球体，其内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）的高为4，则这个正四棱柱的侧面积为（）

A．32 B．36 C．48 D．64

11．已知命题p：函数f（x）=x2﹣2mx+4在[2，+∞）上单调递增；命题q：关于x的不等式mx2+2（m﹣2）x+1＞0对任意x∈R恒成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数m的取值范围为（）A．（1，4）B．[﹣2，4]C．（﹣∞，1]∪（2，4）D．（﹣∞，1）∪（2，4）

12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出以下结论：

①AC1⊥平面A1BD；

②直线AC1与平面A1BD的交点为△A1BD的外心；

③若点P在△A1BD所在平面上运动，则三棱锥P﹣B1CD1的体积为定值．

其中，正确结论的个数是（）

A．0个B．1个C．2个D．3个

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．根据如图所示的算法语句，当输入的x为50时，输出的y的值为．

14．某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为．

15．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中2只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．

16．若直线y=x+b与曲线y=3﹣有公共点，则b的取值范围是．

三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知命题p：x2﹣8x﹣20≤0，q：1﹣m≤x≤1+m（m＞0），若p是q的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．

18．已知圆C过点A（1，4），B（3，2），且圆心在x轴上，求圆C的方程．

19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面ABC等边三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．求证：

（Ⅰ）EF∥平面A1BC1；

（Ⅱ）平面AEF⊥平面BCC1B1．

20．某校高中一年级组织学生参加了环保知识竞赛，并抽取了20名学生的成绩进行分析，如图是这20名学生竞赛成绩（单位：分）的频率分布直方图，其分组为[100，110），[110，120），…，[130，140），[140，150]．

（Ⅰ）求图中a的值及成绩分别落在[100，110）与[110，120）中的学生人数；

（Ⅱ）学校决定从成绩在[100，120）的学生中任选2名进行座谈，求此2人的成绩都在[110，120）中的概率．

21．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中点，O

是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．

（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；

（Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1﹣BCDE的体积为36，求a的值．

22．已知直线x+y+1=0被圆O：x2+y2=r2（r＞0）所截得的弦长为．

（Ⅰ）求圆O的方程；

（Ⅱ）如图，圆O分别交x轴正、负半轴于点A，B，交y轴正半轴于点C，过点C的直线l交圆O于另一不同点D（点D与点A，B不重合），且与x轴相交于点P，直线AD与BC相交于点Q，

求的值．

2015-2016学年四川省资阳市高二（上）期末数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知圆C：（x﹣2）2+（y+1）2=4，则圆C的圆心和半径分别为（）

A．（2，1），4 B．（2，﹣1），2 C．（﹣2，1），2 D．（﹣2，﹣1），2

【考点】圆的标准方程．

【专题】计算题；规律型；函数思想；直线与圆．

【分析】利用圆的标准方程，直接写出圆心与半径即可．

【解答】解：圆C：（x﹣2）2+（y+1）2=4，则圆C的圆心和半径分别为：（2，﹣1），2．

故选：B．

【点评】本题考查圆的标准方程的应用，是基础题．

2．当m∈N*，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题是（）

A．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞0

B．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m≤0

C．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m＞0

D．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤0

【考点】四种命题间的逆否关系．

【专题】简易逻辑．

【分析】直接利用逆否命题的定义写出结果判断选项即可．

【解答】解：由逆否命题的定义可知：当m∈N*，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题是：若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤0．

故选：D．

【点评】本题考查四种命题的逆否关系，考查基本知识的应用．

3．已知命题p：?x＞0，x3＞0，那么￢p是（）

A．?x＞0，x3≤0 B．

C．?x＜0，x3≤0 D．

【考点】命题的否定．

【专题】计算题；规律型；简易逻辑．

【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．

【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：?x＞0，x3＞0，那么￢p是

．

故选：D．

【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．

4．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A．4πB．3πC．2πD．π

【考点】由三视图求面积、体积．

【专题】计算题；空间位置关系与距离．

【分析】由几何体的三视图得到几何体，然后求体积．

【解答】解：由已知得到几何体是底面直径为2，高为2的圆柱，所以体积为π×12×2=2π；

故选C．

【点评】本题考查了几何体的三视图以及体积的计算；关键是由三视图正确还原几何体．

5．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）

A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4 C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.4

【考点】线性回归方程．

【专题】计算题；概率与统计．

【分析】变量x与y正相关，可以排除C，D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程．【解答】解：∵变量x与y正相关，

∴可以排除C，D；

样本平均数=3，=3.5，代入A符合，B不符合，

故选：A．

【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．

6．执行如图所示的程序框图，若输入x为13，则输出y的值为（）

A．10 B．5 C．4 D．2

【考点】程序框图．

【专题】计算题；图表型；分析法；算法和程序框图．

【分析】模拟执行程序框图，循环体为“直到型”循环结构，按照循环结构进行运算，即可求出满足题意时的y．

【解答】解：模拟执行程序框图，可得

x=13，

x=10，满足条件x≥0，x=7

满足条件x≥0，x=4

满足条件x≥0，x=1

满足条件x≥0，x=﹣2

不满足条件x≥0，y=5

输出y的值为5．

故选：B．

【点评】本题为程序框图题，考查对循环结构的理解和认识，按照循环结构运算后得出结果，属于基础题．

7．在区间[0，3]上随机地取一个实数x，则事件“1≤2x﹣1≤3”发生的概率为（）A．B．C．D．

【考点】几何概型．

【专题】计算题；对应思想；转化法；概率与统计．

【分析】首先求出事件“1≤2x﹣1≤3”发生对应的区间长度，利用几何概型公式解答．

【解答】解：在区间[0，3]上随机地取一个实数x，则事件“1≤2x﹣1≤3”发生，即1≤x≤2，区间长度为1，

由几何概型公式得到事件“1≤2x﹣1≤3”发生的概率为；

故选：B．

【点评】本题考查了几何概型的概率求法；几何概型的概率求法关键是明确事件的测度，利用公式解答．

8．在班级的演讲比赛中，将甲、乙两名同学的得分情况制成如图所示的茎叶图．记甲、乙两名同学所得分数的平均分分别为甲、乙，则下列判断正确的是（）

A．甲＜乙，甲比乙成绩稳定B．甲＞乙，甲比乙成绩稳定

C．甲＜乙，乙比甲成绩稳定D．甲＞乙，乙比甲成绩稳定

【考点】众数、中位数、平均数．

【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．

【分析】由茎叶图知分别求出两组数据的平均数和方差，由此能求出结果．

【解答】解：由茎叶图知：

=（76+77+88+90+94）=85，

=[（76﹣85）2+（77﹣85）2+（88﹣85）2+（90﹣85）2+（94﹣85）2]=52，

=（75+86+88+88+93）=86，

=[（75﹣86）2+（86﹣86）2+（88﹣86）2+（88﹣86）2+（93﹣86）2]=35.6，

∴甲＜乙，乙比甲成绩稳定．

故选：C．

【点评】本题考查茎叶图、平均数、方差的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图性质的合理运用．

9．设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确的是（）

A．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件

B．当m?α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件

C．当m?α时，“n∥α”是“m∥n”必要不充分条件

D．当m?α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件

【考点】平面的基本性质及推论．

【专题】计算题．

【分析】当n⊥α时，“n⊥β”?“α∥β”；当m?α时，“m⊥β”?“α⊥β”，但是“α⊥β”推不出“m⊥β”；当m?α时，“n∥α”?“m∥n或m与n异面”，“m∥n”?“n∥α或n?α”；当m?α时，“n⊥α”?“m⊥n”，但“m⊥n”推不出“n⊥α”．

【解答】解：当n⊥α时，“n⊥β”?“α∥β”，故A正确；

当m?α时，“m⊥β”?“α⊥β”，但是“α⊥β”推不出“m⊥β”，故B正确；

当m?α时，“n∥α”?“m∥n或m与n异面”，“m∥n”?“n∥α或n?α”，故C不正确；

当m?α时，“n⊥α”?“m⊥n”，但“m⊥n”推不出“n⊥α”，故D正确．

故选C

【点评】本题考生查平面的基本性质和推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．

10．已知表面积为24π的球体，其内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）的高为4，则这个正四棱柱的侧面积为（）

A．32 B．36 C．48 D．64

【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．

【分析】先由球的表面积求出球的半径，由此能求出其内接正四棱柱的底面边长，从而能求出这个正四棱柱的侧面积．

【解答】解：设表面积为24π的球体的半径为R，则4πR2=24π，解得R=，

∵其内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）的高为4，

设这个正四棱柱的底面边长为a，

∴=2，解得a=2，

∴这个正四棱柱的侧面积S=4×2×4=32．

故选：A．

【点评】本题考查正四棱柱的侧面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意球的性质的合理运用．

11．已知命题p：函数f（x）=x2﹣2mx+4在[2，+∞）上单调递增；命题q：关于x的不等式mx2+2（m﹣2）x+1＞0对任意x∈R恒成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数m的取值范围为（）A．（1，4）B．[﹣2，4]C．（﹣∞，1]∪（2，4）D．（﹣∞，1）∪（2，4）

【考点】复合命题的真假．

【专题】计算题；分类讨论；判别式法；简易逻辑．

【分析】根据二次函数的单调性，以及一元二次不等式的解的情况和判别式△的关系即可求出命题p，q为真命题时m的取值范围．根据p∨q为真命题，p∧q为假命题得到p真q假或p假q真，求出这两种情况下m的范围求并集即可．

【解答】解：若命题p为真，∵函数f（x）的对称轴为x=m，∴m≤2；

若命题q为真，当m=0时原不等式为﹣4x+1＞0，该不等式的解集不为R，即这种情况不存在；

当m≠0时，则有，

解得1＜m＜4；

又∵P∨q为真，P∧q为假，∴P与q一真一假；

若P真q假，则，

解得m≤1；

若P假q真，则，解得2＜m＜4；

综上所述，m的取值范围是m≤1或2＜m＜4．

故选：C．

【点评】本题主要考查了复合函数真假的判断，二次函数图象和性质，一元二次不等式的解法，是基础题．

12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出以下结论：

①AC1⊥平面A1BD；

②直线AC1与平面A1BD的交点为△A1BD的外心；

③若点P在△A1BD所在平面上运动，则三棱锥P﹣B1CD1的体积为定值．

其中，正确结论的个数是（）

A．0个B．1个C．2个D．3个

【考点】命题的真假判断与应用．

【专题】演绎法；空间位置关系与距离；简易逻辑．

【分析】①根据线面垂直的判定定理进行证明．

②判断三棱锥C1﹣A1BD是正三棱锥即可．

③根据面面平行的判定定理证明平面B1CD1∥平面A1BD即可．

【解答】解：①，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，

∵CC1⊥上底面ABCD，

∴CC1⊥BD，

又ABCD为正方形，

∴AC⊥BD，

AC∩CC1=C，

∴BD⊥面ACC1，

∴AC1⊥BD，

同理得到AC1⊥A1B，

又A1B∩BD=B，

∴AC1⊥平面A1BD，①正确；

②在正方体中，A1B=A1D=BD，

则△A1BD为正三角形，

同时三棱锥C1﹣A1BD是正三棱锥，

则C1在面A1BD的射影为△A1BD的外心；

∵AC1⊥平面A1BD；

∴直线AC1与平面A1BD的交点为△A1BD的外心．故②正确，

③∵B1C∥A1D，CD1∥A1B，且B1C∩CD1=C，

∴平面B1CD1∥平面A1BD，

即点P到平面的B1CD1距离为定值，

∴若点P在△A1BD所在平面上运动，则三棱锥P﹣B1CD1的体积为定值．故③正确，

故3个命题都正确，

故选：D

【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据空间直线和平面平行或垂直的判定定理是解决本题的关键．考查学生的推理能力．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．根据如图所示的算法语句，当输入的x为50时，输出的y的值为35．

【考点】伪代码．

【专题】计算题；图表型；分析法；算法和程序框图．

【分析】算法的功能是求y=的值，当输入x=50时，计算输出y的值．

【解答】解：由算法语句知：算法的功能是求y=的值，

当输入x=50时，

输出y=30+0.5×10=35．

故答案为：35．

【点评】本题考查了选择结构的算法语句，根据语句判断算法的功能是关键，属于基础题．

14．某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为25．

【考点】分层抽样方法．

【专题】计算题；概率与统计．

【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出应抽取的男生人数．

【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，

则应抽取的男生人数是500×=25人，

故答案为：25．

【点评】本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在各层中抽取的个体数目．

15．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中2只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则

这2只球颜色不同的概率为．

【考点】古典概型及其概率计算公式．

【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．

【分析】先求出基本事件总数，再求出这2只球颜色不同，包含的基本事件个数，由此能求出这2只球颜色不同的概率．

【解答】解：袋中有形状、大小都相同的4只球，其中2只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，

基本事件总数n==6，

这2只球颜色不同，包含的基本事件个数m=C=4，

∴这2只球颜色不同的概率p==．

故答案为：．

【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．

16．若直线y=x+b与曲线y=3﹣有公共点，则b的取值范围是[1﹣，3]．

【考点】直线与圆的位置关系．

【专题】数形结合；直线与圆．

【分析】曲线即（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆，由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，解得b=1+b=1﹣．结合图象可得b的范围．

【解答】解：如图所示：曲线y=3﹣，即（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3，0≤x≤4），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆．

由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，可得=2，∴b=1+，或b=1﹣．

结合图象可得1﹣≤b≤3，

故答案为：[1﹣，3]．

【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．

三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知命题p：x2﹣8x﹣20≤0，q：1﹣m≤x≤1+m（m＞0），若p是q的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【专题】计算题；转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑．

【分析】由p：x2﹣8x﹣20≤0，由于p是q的充分不必要条件，可得[﹣2，10]?[1﹣m，1+m]．解出即可得出．

【解答】解：由p：x2﹣8x﹣20≤0，得﹣2≤x≤10，

∵p是q的充分不必要条件，

∴[﹣2，10]?[1﹣m，1+m]．

则，或，

解得m≥9．

故实数m的取值范围为[9，+∞）．

【点评】本题考查了不等式的解法及其性质、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

18．已知圆C过点A（1，4），B（3，2），且圆心在x轴上，求圆C的方程．

【考点】圆的标准方程．

【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．

【分析】法一：设圆C：（x﹣a）2+y2=r2，利用待定系数法能求出圆C的方程．

法二：设圆C：x2+y2+Dx+F=0，利用待定系数法能求出圆C的方程．

法三：由已知圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，AB的中点为（2，3），由此能求出圆心C的坐标和半径，从而能求出圆C的方程．

【解答】解法一：设圆C：（x﹣a）2+y2=r2，（1分）

则（7分）

解得所以圆C的方程为（x+1）2+y2=20．（12分）

解法二：设圆C：x2+y2+Dx+F=0，（1分）

则（7分）

解得所以圆C的方程为x2+y2+2x﹣19=0．（12分）

解法三：因为圆C过两点A（1，4），B（3，2），所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，

又因为，所以k l=1，又AB的中点为（2，3），

故AB的垂直平分线l的方程为y﹣3=x﹣2，即y=x+1．

又圆心C在x轴上，所以圆心C的坐标为（﹣1，0），（6分）

所以半径，

所以圆C的方程为（x+1）2+y2=20．（12分）

【点评】本题考查圆的方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．

19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面ABC等边三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．求证：

（Ⅰ）EF∥平面A1BC1；

（Ⅱ）平面AEF⊥平面BCC1B1．

【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．

【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．

【分析】（Ⅰ）由三角形中位线定理得EF∥BC1，由此能证明EF∥平面A1BC1．

（Ⅱ）由三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得AE⊥BB1，由正三角形性质得AE⊥BC，由此能证明平面AEF⊥平面BCC1B1．

【解答】证明：（Ⅰ）因为E，F分别是BC，CC1的中点，

所以EF∥BC1．

又因为BC1?平面A1BC1，EF?平面A1BC1，

所以EF∥平面A1BC1．（6分）

（Ⅱ）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，

所以BB1⊥平面ABC．又AE?平面ABC，

所以AE⊥BB1．

又因为△ABC为正三角形，E为BC的中点，

所以AE⊥BC．

又BB1∩BC=B，所以AE⊥平面BCC1B1．

又AE?平面AEF，所以平面AEF⊥平面BCC1B1．（12分）

【点评】本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

20．某校高中一年级组织学生参加了环保知识竞赛，并抽取了20名学生的成绩进行分析，如图是这20名学生竞赛成绩（单位：分）的频率分布直方图，其分组为[100，110），[110，120），…，[130，140），[140，150]．

（Ⅰ）求图中a的值及成绩分别落在[100，110）与[110，120）中的学生人数；

（Ⅱ）学校决定从成绩在[100，120）的学生中任选2名进行座谈，求此2人的成绩都在[110，120）中的概率．

【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．

【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．

【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图知组距为10，由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，求出a，由此能求出成绩分别落在[100，110）与[110，120）中的学生人数．

（Ⅱ）记成绩落在[100，110）中的2人为A1，A2，成绩落在[110，120）中的3人为B1，B2，B3，由此利用列举法能求出此2人的成绩都在[110，120）中的概率．

【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图知组距为10，

由（2a+3a+7a+6a+2a）×10=1，

解得；（2分）

所以成绩落在[100，110）中的人数为2×0.005×10×20=2；（4分）

成绩落在[110，120）中的人数为3×0.005×10×20=3．（6分）

（Ⅱ）记成绩落在[100，110）中的2人为A1，A2，

成绩落在[110，120）中的3人为B1，B2，B3，

则从成绩在[100，120）的学生中任选2人的基本事件共有10个：

{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，

其中2人的成绩都在[110，120）中的基本事件有3个：

{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，

所以所求概率为．（12分）

【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．

21．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中点，O 是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．

（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；

（Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1﹣BCDE的体积为36，求a的值．

【考点】平面与平面垂直的性质；直线与平面垂直的判定．

【专题】空间位置关系与距离．

【分析】（I）运用E是AD的中点，判断得出BE⊥AC，BE⊥面A1OC，考虑CD∥DE，即可判断CD⊥面A1OC．

（II）运用好折叠之前，之后的图形得出A1O是四棱锥A1﹣BCDE的高，平行四边形BCDE的面积S=BC?AB=a2，运用体积公式求解即可得出a的值．

【解答】解：

（I）在图1中，

因为AB=BC==a，E是AD的中点，

∠BAD=，

所以BE⊥AC，

即在图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，

从而BE⊥面A1OC，

由CD∥BE，

所以CD⊥面A1OC，

（II）即A1O是四棱锥A1﹣BCDE的高，

根据图1得出A1O=AB=a，

∴平行四边形BCDE的面积S=BC?AB=a2，

V==a=a3，

由a=a3=36，得出a=6．

【点评】本题考查了平面立体转化的问题，运用好折叠之前，之后的图形，对于空间直线平面的位置关系的定理要很熟练．

22．已知直线x+y+1=0被圆O：x2+y2=r2（r＞0）所截得的弦长为．

（Ⅰ）求圆O的方程；

（Ⅱ）如图，圆O分别交x轴正、负半轴于点A，B，交y轴正半轴于点C，过点C的直线l交圆O于另一不同点D（点D与点A，B不重合），且与x轴相交于点P，直线AD与BC相交于点Q，

求的值．

【考点】曲线与方程．

【专题】数形结合；转化思想；平面向量及应用；直线与圆．

【分析】（I）利用点到直线的距离公式、弦长公式即可得出；

（II）如图，可知A（1，0），B（﹣1，0），C（0，1），可得BC的方程．当l的斜率不存在时，AD∥BC，舍去．因此直线l的斜率存在，设为k（k≠0），直线l的方程为y=kx+1，可得．与圆的方程联立解得D的坐标，可得AD的方程，联立解出Q的坐标即可得出．

【解答】解：（Ⅰ）圆心O到直线x+y+1=0的距离，

由，解得r=1．

∴圆O的方程为x2+y2=1．

（Ⅱ）如图，可知A（1，0），B（﹣1，0），C（0，1），

∴BC的方程为x﹣y+1=0．

当l的斜率不存在时，AD∥BC，与题意不符，则直线l的斜率存在，设为k（k≠0），

直线l的方程为y=kx+1，可得．

由消去y，整理得（1+k2）x2+2kx=0，

解得x=0或，

∴D的纵坐标为．

∴AD的方程为，

整理得，联立，解得，即Q（﹣k，k+1）．∴．

【点评】本题考查了直线与圆相交问题、直线相交问题、点到直线的距离公式、弦长公式、斜率计算公式、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．