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概率论整理答案

第1章随机变量及其概率

1，写出下列试验的样本空间：

(1)连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。 (2)连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。

(3)连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。

(4)抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰子，观察出现的各种结果。

解：（1）}7,6,5,4,3,2{=S ；（2）},4,3,2{ =S ；（3）},,,,{ TTTH TTH TH H S =；（4）}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。

2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求

)])([(),(),(),(___

___

AB B A P AB P B A P B A P ??。

解：625.0)()()()(=-+=?AB P B P A P B A P ，

375

.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ，

875

.0)(1)(___

--=AB P AB P ，

.0)(625.0)])([()()])([()])([(___

=-=?-?=-?=?AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P 5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。（1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。（2）4只中至少有2只红球。（3）4只中没有白球。解: （1）所求概率为

8412

1425=

C C C ；

（2）所求概率为

165

67495

2014

8342

++C C C C C C ；

（3）所求概率为

165

7495

35412

C 。

6，一公司向M 个销售点分发)(M n n <张提货单，设每张提货单分发给每一销售点是等可能的，每一销售点得到的提货单不限，求其中某一特定的销售点得到

)(n k k ≤张提货单的概率。

解：根据题意，)(M n n <张提货单分发给M 个销售点的总的可能分法有n M 种，

某一特定的销售点得到)(n k k ≤张提货单的可能分法有k n k n M C --)1(种，所以某一特定的销售点得到)(n k k ≤张提货单的概率为

n k

n M

M C --)

1(。

8，（1）设,1.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P ，求)|(),|(),|(B A A P A B P B A P ?,

)|(),|(AB A P B A AB P ?.

（2）袋中有6只白球，5只红球，每次在袋中任取1只球，若取到白球，放回，并放入1只白球；若取到红球不放回也不放入另外的球。连续取球4次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。

解：（1）由题意可得7.0)()()()(=-+=?AB P B P A P B A P ，所以

.01.0)

()()|(===

B P AB P B A P ， 5

.01.0)

()()|(=

A P A

B P A B P ，

()()

()]([)|(=

?=??=

?B A P A P B A P B A A P B A A P ，

()()

()]([)|(=

??=

?B A P AB P B A P B A AB P B A AB P ，

()()

()]([)|(==

AB P AB P AB P AB A P AB A P 。

（2）设)4,3,2,1(=i A i 表示“第i 次取到白球”这一事件，而取到红球可以用它的补来表示。那么第一、二次取到白球且第三、四次取到红球可以表示为4321A A A A ，它的概率为（根据乘法公式）

)|()|()|()()(32142131214321A A A A P A A A P A A P A P A A A A P =

0408

.020592

84012

413

512

711

6==

。

10，一医生根据以往的资料得到下面的讯息，他的病人中有5%的人以为自己患癌症，且确实患癌症；有45%的人以为自己患癌症，但实际上未患癌症；有10%的人以为自己未患癌症，但确实患了癌症；最后40%的人以为自己未患癌症，且确实未患癌症。以A 表示事件“一病人以为自己患癌症”，以B 表示事件“病人确实患了癌症”，求下列概率。（1）)(),(B P A P ；（2）)|(A B P ；（3）)|(A B P ；（4）)|(B A P ；（5）)|(B A P 。解：（1）根据题意可得

50%45%5)()()(=+=+=B A P AB P A P ；

15%10%5)()()(=+=+=A B P BA P B P ；

（2）根据条件概率公式：1.0%

50%5)

()()|(==

A P A

B P A B P ；

（3）2.0%

501%10)

()()|(=-=

A P A

B P A B P ；

（4）17

151%45)

()()|(=

-==

B P B A P B A P ；

（5）3

15%5)

()()|(=

B P AB P B A P 。

11，在11张卡片上分别写上engineering 这11个字母，从中任意连抽6张，求依次排列结果为ginger 的概率。

解：根据题意，这11个字母中共有2个g ，2个i ，3个n ，3个e ，1个r 。从中任意连抽6张，由独立性，第一次必须从这11张中抽出2个g 中的任意一张来，概率为2/11；第二次必须从剩余的10张中抽出2个i 中的任意一张来，概率为2/10；类似地，可以得到6次抽取的概率。最后要求的概率为

9240

1332640

3661738193102112=

?????；或者

9240

1611

1311131212=

C C C C C C 。

12，据统计，对于某一种疾病的两种症状：症状A 、症状B ，有20%的人只有症状A ，有30%的人只有症状B ，有10%的人两种症状都有，其他的人两种症状都没有。在患这种病的人群中随机地选一人，求（1）该人两种症状都没有的概率；（2）该人至少有一种症状的概率；

（3）已知该人有症状B ，求该人有两种症状的概率。解：（1）根据题意，有40%的人两种症状都没有，所以该人两种症状都没有的概率为%40%10%30%201=---；

（2）至少有一种症状的概率为%60%401=-；

（3）已知该人有症状B ，表明该人属于由只有症状B 的30%人群或者两种症状都有的10%的人群，总的概率为30%+10%=40%，所以在已知该人有症状B 的条件下该人有两种症状的概率为

10%30%10=+。

13，一在线计算机系统，有4条输入通讯线，其性质如下表，求一随机选择的进入讯号无误差地被接受的概率。通讯线通讯量的份额无误差的讯息的份额 1 0.4 0.9998 2 0.3 0.9999 3 0.1 0.9997 4 0.2 0.9996

1 第20题

2 解：设“讯号通过通讯线i 进入计算机系统”记为事件)4,3,2,1(=i A i ，“进入讯号被无误差地接受”记为事件B 。则根据全概率公式有

9996

.02.09997.01.09999.03.09998

.04.0)|()()(4

?+?+?+?==

∑=i i

A B P A P B P

=0.99978

16，在通讯网络中装有密码钥匙，设全部收到的讯息中有95%是可信的。又设全部不可信的讯息中只有0.1%是使用密码钥匙传送的，而全部可信讯息是使用密码钥匙传送的。求由密码钥匙传送的一讯息是可信讯息的概率。解：设“一讯息是由密码钥匙传送的”记为事件A ，“一讯息是可信的”记为事件B 。根据Bayes 公式，所要求的概率为

9947.99%

1.0%51%951

%95)

|()()|()()

|()()

()()|(=?+??=

B A P B P B A P B P B A P B P A P AB P A B P 19，有一危重病人，仅当在10分钟之内能有一供血者供给足量的A-RH +血才能得救。设化验一位供血者的血型需要2分钟，将所需的血全部输入病人体内需要2分钟，医院只有一套验血型的设备，且供血者仅有40%的人具有该型血，各人具有什么血型相互独立。求病人能得救的概率。

解：根据题意，医院最多可以验血型4次，也就是说最迟可以第4个人才验出是A-RH +型血。问题转化为最迟第4个人才验出是A-RH +型血的概率是多少？因为第一次就检验出该型血的概率为0.4；

第二次才检验出该型血的概率为0.6?0.4=0.24；第三次才检验出该型血的概率为0.62?0.4=0.144；第四次才检验出该型血的概率为0.63?0.4=0.0864；所以病人得救的概率为0.4+0.24+0.144+0.0864=0.8704

20，一元件（或系统）能正常工作的概率称为元件（或系统）的可靠性。如图设有5个独立工作的元件1，2，3，4，5按先串联再并联的方式连接，设元件的可靠性均为p ，试求系统的可靠性。

解：设“元件i 能够正常工作”记为事件)5,4,3,2,1(=i A i 。那么系统的可靠性为

)()()()}()(){(5432154321A A P A P A A P A A A A A P ++=??

)()()()(543215435421321A A A A A P A A A P A A A A P A A A P +---

)()()()()()()()()()()()(542132154321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P --++=

)()()()()()()()(54321543A P A P A P A P A P A P A P A P +-

p p p p p p +---++=

43222p

p p p p +--+=

第二章随机变量及其分布

3,据信有20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查15个美国人，以X 表示15个人中无任何健康保险的人数（设各人是否有健康保险相互独立）。问X 服从什么分布？写出分布律。并求下列情况下无任何健康保险的概率：（1）恰有3人；（2）至少有2人；（3）不少于1人且不多于3人；（4）多于5人。解：根据题意，随机变量X 服从二项分布B(15, 0.2)，分布律为

15,2,1,0,8

.02.0)(1515 =??==-k C k X P k

。

（1）,

2501.08

.02.0)3(12

3315=??==C X P

（2）8329.0)0()1(1)2(==-=-=≥X P X P X P ；

（3）6129.0)3()2()1()31(==+=+==≤≤X P X P X P X P ；（4）)2()3()4()5(1)5(=-=-=-=-=>X P X P X P X P X P

0611

.0)0()1(==-=-X P X P

5，某生产线生产玻璃制品，生产过程中玻璃制品常出现气泡，以至产品成为次品，设次品率为0.001，现取8000件产品，用泊松近似，求其中次品数小于7的概率。（设各产品是否为次品相互独立）

解：根据题意，次品数X 服从二项分布B(8000, 0.001)，所以

∑=-?=

≤=<6

80008000

999

.0001.0)6()7(k k

k k C

X P X P

3134.0!

)001.08000(6

001.08000==

?≈

∑

=-=?-k k k k k e

k e

（查表得）。

7，一电话公司有5名讯息员，各人在t 分钟内收到讯息的次数)2(~t X π（设各人收到讯息与否相互独立）。（1）求在一给定的一分钟内第一个讯息员未收到讯

息的概率。（2）求在给定的一分钟内5个讯息员恰有4人未收到讯息的概率。（3）写出在一给定的一分钟内，所有5个讯息员收到相同次数的讯息的概率。解：在给定的一分钟内，任意一个讯息员收到讯息的次数)2(~πX 。（1）1353.0}0{2≈==-e X P ；

（2）设在给定的一分钟内5个讯息员中没有收到讯息的讯息员人数用Y 表示，则Y~ B(5, 0.1353)，所以

00145.0)1353.01(1353

.0}4{4

5=-?==C Y P 。

（3）每个人收到的讯息次数相同的概率为

()∑∑∞=-∞

=-???

?=???

? ?

?051005

2!32!2k k k k k e k e

8，一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内，以X 表示铃响至结束讲解的时间。设X 的概率密度为

?≤≤=他

其

100

)(2

x kx x f ，（1）确定k ；（2）求}3

1{≤X P ；（3）求}2

1{≤≤X P ；

（4）求}3

2{>X P 。

解：（1）根据3

)(11

k dx kx dx x f =

+∞

∞-，得到3=k ；

（2）271313}31

/10

=???

??==≤?dx x X P ；

（3）64741213}21

41{3

/14/12=???

??-??? ??==≤≤?dx x X P ；

（4）27193213}32

/22=???

??-==>?dx x X P 。

9，设随机变量X 的概率密度为?

?≤≤=他

其

1000003.0)(2

x x x f ，求t 的方程

04522

=-++X Xt t 有实根的概率。

解：方程04522=-++X Xt t 有实根表明0)45(442≥--=?X X ，即

0452

≥+-X X

，从而要求4

≥X 或者1≤X 。因为

001.0003.0}1{1

≤?dx x

X P ， 936.0003.0}4{10

≥?dx x

X P

所以方程有实根的概率为0.001+0.936=0.937.

11，设实验室的温度X （以C 计）为随机变量，其概率密度为

???≤≤--=他

其

210)

4(9

)(2x x x f

（1）某种化学反应在温度X >1时才能发生，求在实验室中这种化学反应发生

的概率。

（2）在10个不同的实验室中，各实验室中这种化学反应是否会发生时相互独

立的，以Y 表示10个实验室中有这种化学反应的实验室的个数，求Y 的分布律。（3）求}2{=Y P ，}2{≥X P 。

解：（1）?=

5)4(9

}1{dx x X P ；

（2）根据题意)27

5,10(~B Y ，所以其分布律为

10,2,1,0,

2722275)(1010 =?

? ?????? ???==-k C k Y P k

（3） 2998.02722275)2(8

=??

?????? ???==C Y P ， 5778.0)1()0(1)2(==-=-=≥Y P Y P Y P 。

12，（1）设随机变量Y 的概率密度为

??≤<≤<-+=他

其

100102.02

.0)(y y Cy y f 试确定常数C ，求分布函数)(y F ，并求}5.00{≤≤Y P ，}1.0|5.0{>>Y Y P 。

（2）设随机变量X 的概率密度为

??≤≤<<=他

其

422008/8/1)(x x x x f 求分布函数)(x F ，并求}31{≤≤x P ，}3|1{≤≥X X P 。

解：（1）根据2

4.0)2.0(2.0)(11

C dy Cy dy dy y f +

=++

???

-+∞

∞

-，得到2.1=C 。

100

11)2.12.0(2.0)2.12.0(2.02.00)()(01

1≥<≤<≤--

++++==??????---∞-y y y y dy

y dy dy

dy y f y F y y

1001112.02.06.0)1(2.002

≥<≤<≤--

+++=y y y y y y y

.02.045.0)0()5.0(}0{}5.0{}5.00{=-=-=≤-≤=≤≤F F Y P Y P Y P ；

7106.0226

.0145.01)

1.0(1)5.0(1}

1.0{1}5.0{1}

1.0{}5.0{}1.0|5.0{=--=

--=

≤-≤-=

>>=

>>F F Y P Y P Y P Y P Y Y P

（2）4

42200

8181

)()(20

≥<≤<≤

+==??????∞-x x x x dx

dx dx

x dx dx

dx x f x F x

42200116

/8/0

≥<≤<≤

???

??=x x x x x x

/78/116/9)1()3(}31{=-=-=≤≤F F x P ；

9/7)

3()

1()3(}

3{}31{}3|1{=-=

≤≤≤=

≤≥F F F X P X P X X P 。

15,设随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为?

??>>=+-他其，，0

,00),()42(y x Ce y x f y x

试确定常数C ，并求}2{>X P ，}{Y X P >，}1{<+Y X P 。解：根据

1),(0

,0=??

>>y x dxdy y x f ，可得

),(10

)

42(0

,0C dy e

dy Ce

dxdy y x f y

y x y x =

??????

+∞

-+∞

+-+∞

>>，

所以8=C 。

)

42(2

428),(}2{-+∞

-+∞

+-+∞

>==

>??????

dy e

dxdy y x f X P y

y x x ；

2)1(2428),(}{0

420

20)

42(0

>???????

+∞

---+∞-+-+∞>dx e

dy e

dx e

dy e

dx dxdy y x f Y X P x

y x y

x 2

410

210

)

42(1

)1(428),(}1{-----+-<+-==

<+??????

dy e

dx dxdy y x f Y X P x

y x y x 。

16，设随机变量（X ，Y ）在由曲线1,2/,22===x x y x y 所围成的区域G 均匀分布。

（1）求（X ，Y ）的概率密度；（2）求边缘概率密度)(),(y f x f Y X 。

解：（1）根据题意，（X ，Y ）的概率密度),(y x f 必定是一常数，故由

),(6

1),(),(12

y x f dy y x f dx dxdy y x f x

x G

???

，得到

?∈=他其，

0),(,6),(G

y x y x f 。

（2）?

????<<===??∞+∞-他其，,

036),()(2

2x x dy dy y x f x f x

x X ；

??<<-<<-=????

<≤<<==???∞+∞-他其，，，他

其

，，

，

015.0)1(65

.00)2(601

5.065

.006),()(1

2y y y y y y dx y dx dx y x f y f y

y Y 20，设随机变量（X ，Y ）在由曲线x

y x y ==,2所围成的区域G 均匀分布。

（1）写出（X ，Y ）的概率密度；（2）求边缘概率密度)(),(y f x f Y X ；

（3）求条件概率密度)|(|x y f X Y ，并写出当5.0=x 时的条件概率密度。解：（1）根据题意，（X ，Y ）的概率密度),(y x f 必定是一常数，故由

),(31

),(),(12

y x f dy y x f dx

dxdy y x f x

???

，得到?

??∈=他其，0),(,3),(G

y x y x f 。

（2）??

???<<-===??∞

+∞-他其，,01

0)(33),()(2

2x x x dy dy y x f x f x

X ；

?<<-=????

???

?<<==??∞

+∞-他其，，他

其，，010)(30103),()(22y y y y dx dx y x f y f y

y Y 。（3）当10<

<-==其他

0,1)()

,()|(2

y x x

x x f y x f x y f X X

Y 。

特别地，当5.0=x 时的条件概率密度为

<-=其他

,02

/24/1,1

224)5.0|(|y y f X

Y 。

21，设),(Y X 是二维随机变量，X 的概率密度为?????<<+=他其，,

2)(x x

x f X

且当)20(<<=x x X 时Y 的条件概率密度为?????<<++=其他

010,

/11)|(|y x xy x y f X

Y ，

（1）求),(Y X 联合概率密度；（2）求),(Y X 关于Y 的边缘概率密度；

（3）求在y Y =的条件下X 的条件概率密度)|(|y x f Y X 。

解：（1）他

其

0,200

1)|()(),(|<<<

??+==y x xy

x y f x f y x f X

Y X ；

（2）??

???<<+=+==??∞

+∞-其他

10)1(3

31),()(20y y dx xy dx y x f y f Y ；

（3）当10<

??<<++==

其他

020,)

1(21)()

,()|(|x y xy

y f y x f y x f Y Y X 。

22设一离散型随机变量的分布律为

-1 0 1 k

θ-1

又设21,Y Y 是两个相互独立的随机变量，且21,Y Y 都与Y 有相同的分布律。求21,Y Y 的联合分布律。并求}{21Y Y P =。

解：（1）由相互独立性，可得21,Y Y 的联合分布律为

}{}{},{2121j Y P i Y P j Y i Y P =====，1,0,1,-=j i

结果写成表格为

2/)1(}1{}0{}1{}{2

221212121θ

θ+-===+==+-====Y Y P Y Y P Y Y P Y Y P 。

23，设Y X ,是两个相互独立的随机变量，)1,0(~U X ，Y 的概率密度为

?<<=其他

/108)(y y

y f Y

试写出Y X ,的联合概率密度，并求}{Y X P >。解：根据题意，X 的概率密度为??

?<<=其他

01)(x x f X

Y 1 Y 2

-1

-1 4/2

2/)1(θθ-

4/2

0 2/)1(θθ- 2

)

1(θ-

2/)1(θθ-

4/2

2/)1(θθ-

4/2

所以根据独立定，Y X ,的联合概率密度为

其他

/10,100

8)()(),(<<<

?==y x y

y f x f y x f Y X 。

28),(}{1

/10

>????

x ydx dx dxdy y x f Y X P

25，设随机变量)1,0(~N X ，求X U =的概率密度。

解：设U X ,的概率密度分别为)(),(u f x f U X ，U 的分布函数为)(u F U 。则当0≤u 时，0}{}{)(=≤=≤=u X P u U P u F U ，0)(=u f U ；

当0>u 时，1)(2}{}{}{)(-Φ=≤≤-=≤=≤=u u X u P u X P u U P u F U ， []2

)(2)()(u X U U e

u f u F u f -=

==π

。

所以，0

002)(2/2≤>??

??=-u u e

u f u U π。

26，（1）设随机变量X 的概率密度为??

?>=-其他

0)(x e x f x

求X Y =的概

率密度。

（2）设随机变量)1,1(~-U X ，求2/)1(+=X Y 的概率密度。（3）设随机变量)1,0(~N X ，求2X Y =的概率密度。

解：设Y X ,的概率密度分别为)(),(y f x f Y X ，分布函数分别为)(),(y F x F Y X 。则（1）当0≤y 时，0}{}{)(=≤=≤=y X P y Y P y F Y ，0)(=y f Y ；当0>y 时，)(}{}{}{)(22y F y X P y X P y Y P y F X Y =≤=≤=≤=， []2

2)(2)()(2'

y X Y Y ye y yf y F y f -===。

所以，

2)(2

≤>????

?=-y y ye

y f y

Y 。

（2）此时?

?<<-=其他

112

/1)(x x f X 。

因为)12(}12{}2/)1{(}{)(-=-≤=≤+=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y ，故， []1121,1)12(2)()('<-<-=-==y y f y F y f X Y Y ，所以，

其他

100

)(<

?=y y f Y 。

（3）当0>y 时，}{}{}{)(2

y X y P y X

P y Y P y F Y ≤

≤-=≤=≤=

1)(2)()(-Φ=-

Φ-Φ=y y y ，

故， []2

/'212

(2)()(y X Y Y e

y f y F y f -=

==π。

所以，

其他

21)(2

/>??

?=-y e

y f y Y π。

27，设一圆的半径X 是随机变量，其概率密度为

?<<+=其他02

08/)13()(x x x f 求圆面积A 的概率密度。

解：圆面积2X A π=，设其概率密度和分布函数分别为)(),(y G y g 。则

)/(

}/{}{)(2

πππy F y X P y X

P y G X =≤

=≤=，故

[]2/0,163

8321)/(21)()('

+=+?

=ππ

πππy y

y y y

y f y

y G y g

所以，???

??<<+=其他

40163)(π

ππ

y y

y y g 。

30、随机变量X 和Y 的概率密度分别为

?>=-其他0

)(x e x f x X λλ，??

?>=-其他0

)(2y ye y f y Y λλ

0>λ，X,Y 相互独立。求Y X Z +=的概率密度。

解：根据卷积公式，得

X Y Z e

z dy ye

dy y z f y f z f λλλ

λ--+∞

∞

)()()(，0>z 。

所以Y X Z +=的概率密度为

?????>=-其他

)(23z e

z y f z Y λλ。

31，设随机变量X,Y 都在(0,1)上服从均匀分布，且X,Y 相互独立，求Y X Z +=的概率密度。

解：因为X,Y 都在(0,1)上服从均匀分布，所以

?<<=其他0

01)(x x f X ，??

?<<=其他

01)(x y f Y 根据卷积公式，得

dy y z f y f z f X Y Z )()()(-=

+∞

∞

-????

????????

??<≤<≤-=<≤≥=??-其他其他,010,21,2,010,11,

101

1z z z z z dy z dy z z

。

32，设随机变量X,Y 相互独立，它们的联合概率密度为

?????≤≤>=-他其，

，2

0,002

3),(3y x e y x f x

（1）求边缘概率密度)(),(y f x f Y X 。（2）求},max{Y X Z =的分布函数。（3）求概率}12/1{≤

解：（1）??

???>===--∞

+∞-??他其，,0032/3),()(3203x e dy e

dy y x f x f x

X ；

?≤≤=????

????

?≤≤==??∞-∞

+∞-他其，，他

其，，02

02/10202/3),()(0

3y y dx e

dx y x f y f x

Y 。

（2）},max{Y X Z =的分布函数为

)

()(}{}{},{}},{max{}{)(z F z F z Y P z X P z Y z X P z Y X P z Z P z F Y X Z =≤≤=≤≤=≤=≤=

因为

???>-≤=-0

,10,

0)(3x e x x F x

X ； 2

20012

/0)(>≤≤

??=y y y y y F Y ，所以，()

?????>-≤≤-<==--2

120,120,0)()()(33z e z e

z z z F z F z F z z

Y X Z 。

（3）2

/33

1214

1)2/1()1(}12/1{--+

-=≤

F F Z P Z Z 。

第三章随机变量的数字特征

6、（1）某城市一天水的消费量X （百万升计）是一个随机变量，其概率密度为

310()9

x f x -?>?=???

其它

求一天的平均耗水量。

（2）设某种动物的寿命X （以年计）是一个随机变量，起分布函数为

05()25

x F x x x ≤??

=?->??

求这种动物的平均寿命()E X 。

解：（1）一天的平均耗水量为

+∞

-+∞

∞

--=

3/0

/20

3/2)

(23

20)(3

)()(x x x x e

xd dx xe

d x

dx e

x dx x xf X E 6200

/=+

=?+∞

-dx e

x （百万升）。

（2）这种动物的平均寿命为

)251()()(5

+∞

∞

-dx x

xd x xdF X E （年）。

12，解：??

+∞

--+∞∞

-?+

3.040

3.023.0163.0)()()]([dx e

dx e

x dx x f x g X g E x

)584200(9

.1--=e

（不符书上答案）

16，解：5/224),()(102

????-?y

R ydx x

dy dxdy

y x xf X E ，

5/224),()(10

????

-?y

R xdx y dy

dxdy y x yf Y E ，

15/224),()(10

????-?y

R dx y x

dy dxdy y x xyf

XY E 。

17，解：根据题意，可得利润的分布律为

2000 1000 0 -1000 -2000 k

p 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1

因此，

4001.020001.010003.010002.02000)(=?-?-?+?=Y E （元）

1600000

1.0)2000(1.0)1000(3.01000

2.02000

)(2

2=?-+?-+?+?=Y E

[]1440000

)()()(2

=-=Y E Y E Y D 。

18解2

)()(0)

2/(0

)

2/(0

)

2/(2

σσσ=+

-==

???

+∞

-∞

+-+∞

-+∞

∞

-dx e

dx e

dx x xf X E x x x ，

???

+∞

-∞

+-+∞

-+∞∞

-==

)

2/(0

)

2/(20)

2/(2

22)()(dx

x dx e

dx x f x X E x x x σσσσ

)2/(2222

σσ

=-=+∞-x e

，

[]2

)2/2()()()(σ

π-=-=X E X E X D ，σπ)2/2()(-=X D 。（本题积分

利用了2

?+∞

-dx e

x ，这个结果可以从标准正态分布密度函数中得到）

20，解：（1）当1>k 时，1

)()(-=

+∞

∞

-k k dx x

k dx x

k dx x xf X E k

k θθ

θθ

。

（2）当1=k 时，+∞==?+∞

x X E 1

)(，即)(X E 不存在。

（3），当2>k 时，2

)()(2

??+∞

-+∞

∞-k k dx x

k dx x f x

X E k k

，

所以，[]

)2()1()1(21)()()(2

--=?????

?---=-=k k k k k k k X E X E X D θθ。（4）当2=k 时，+∞==

?+∞

+∞

∞

-θ

θdx x

dx x f x

X E 2

2)()(，所以)(X D 不存在。

22，解：根据题意有 ),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ++=+

)()

(2)()(Y D X D Y D X D XY

ρ++=116)6/1(249=?-?++=。

)3,4(2)3()4()43(Y X Cov Y D X D Y X D +-++=+-

),(6)(9)(Y X C o v Y D X D -+=516)6/1(6369=?-?-+=。 23，解：（1）因为321,,X X X 相互独立，所以

[

]]168[])4[()()

4(2

33222

232

1X X X X

E X X

E X

E X X

X E +-=-=-

][16][][8][]168[2

3322

2X E X E X E X E X X X X E +-=+-=

1601=+-=。

（2）根据题意，可得[]3

/1)()()(,

2/1)(2

=+==i i i i X E X D X E X E ，3,2,1=i 。

[

]]4244[)

2(23312

322

1X X X X X

X X X

E X X

X E -+-++=+-

][][4][][2][][4][][4][2331212

1X E X E X E X E X E X E X E X

E X E -+-++= 2

112

113

。

25，将n 只球（1~n 号）放入n 个盒子（1~n 号）中去。一个盒子装一只球。若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对。记X 为总的配对表。求E(X). 解：引入随机变量定义如下

?=个盒子

个球未落入第

第个盒子个球落入第第i i i i X i 0

则总的配对数∑

i i

X X 1

，而且因为n

X P i 1}1{=

=，所以，)1

,(~n

n N X 。

故所以，11)(=?

n X E 。

第四章正态分布

1，（1）设)1,0(~N Z ，求}24.1{≤Z P ，}37.224.1{≤

0986.08925.09911.0)24.1()37.2(}24.1{}37.2{}37.224.1{=-=Φ-Φ=≤-≤=≤

.0)]37.2(1[)]24.1(1[)37.2()24.1(}24.137.2{=Φ--Φ-=-Φ--Φ=-≤<-Z P

（2）)37.1(9147.0}{Φ==≤a Z P ，所以37.1=a ；

}{10526.0}{b Z P b Z P <-==≥，所以)62.1(9474.0}{Φ==

.1=b 。

4，已知美国新生儿的体重（以g 计）)575,3315(~2N X 。（1）求}25.439075.2587{≤≤X P ；

（2）在新生儿中独立地选25个，以Y 表示25个新生儿的体重小于2719的

个数，求}4{≤Y P 。

解：根据题意可得

)

1,0(~575

3315N X -。

（1）)575

3315

75.2587(

)575

3315

25.4390(

}25.439075.2587{-Φ--Φ=≤≤X P

8655.0)8962.01(9693.0)2648.1()87.1(=--≈-Φ-Φ=（或0.8673）（2）1492

.0)04.1(1)575

3315

2719(

}2719{=Φ-=-Φ=≤X P ，

根据题意)1492.0,25(~B Y ，所以

6664

.08508

.01492

.0}4{254

≈??=

≤-=∑k

k k

Y P 。

7，一工厂生产的某种元件的寿命X （以小时计）服从均值160=μ，均方差为σ的正态分布，若要求80.0}200120{≥<

)1,0(~160

N X σ

-。所以有

.01)40

(

2)160

120()160

200(

}200120{≥-Φ=-Φ--Φ=<<σ

σX P ，

即，)28.1(9.0)40

(

Φ≈≥Φσ

，从而

25.31,

28.140

≤≥σσ

。

故允许σ最大不超过31.25。

8，将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器内，调节器整定在C d ，液体的温度X （以C 计）是一个随机变量，且)5.0,(~2d N X ，

（1）若90=d ，求X 小于89的概率；

（2）若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99，问d 至少为多

少？解：因为)5.0,(~2d N X ，所以

)1,0(~5

.0N d X -。

（1）0228

.0)2(1)2()5

.09089(

}89{=Φ-=-Φ=-Φ=

（2）若要求99.0}80{≥≥X P ，那么就有99

.0)5

.080(

1}80{≥-Φ-=≥d

X P ，即

01.0)5.080(≤-Φd 或者)326.2(99.0)5.080(Φ=≥-Φd ，从而326

.25

.080≥-d ，最后

得到163.81≥d ，即d 至少应为81.163。

11,设某地区女子的身高（以m 计）)025.0,63.1(~2N W ，男子身高（以m 计）)05.0,73.1(~2

N M 。设各人身高相互独立。

（1）在这一地区随机选一名女子，一名男子，求女子比男子高的概率；（2）在这一地区随机选5名女子，求至少有4名的身高大于1.60的概率；（3）在这一地区随机选50名女子，求这50名女子的平均身高达于1.60的概率。解：（1）因为)003125.0,1.0(~N W M -，所以

0367.09633.01)79.1()003125

.01.00(

}0{}{=-=-Φ≈-Φ=<-=>W M P M W P ；

（2）随机选择的女子身高达于1.60的概率为

8849

.0)2.1()025

.063.160.1(

1}60.1{=Φ=-Φ-=>W P ，

随机选择的5名女子，身高大于1.60的人数服从二项分布)8849.0,5(B ，所以至少有4名的身高大于1.60的概率为

8955

.08849

.0)8849.01(8849

.05

554

5=?+-??C C

（3）设这50名女子的身高分别记为随机变量501,W W ，∑==

1i i

W W 。则

)50

025.0,

63.1(~50

N W W i i

∑==

，所以这50名女子的平均身高达于1.60的概

率为

1)49.8()50

025.063.160.1(

1}60.1{≈Φ=-Φ-=>W P

13，一食品厂用纸质容器灌装饮料，容器的重量为30g ，灌装时将容器放在台秤上，将饮料注入直到秤上刻度指到)(g m 时结束。以)(g Z 记容器中饮料的重量。设台秤的误差为)5.7,0(~2N X ，X 以g 计。（此处约定台秤显示值大于真值时误差为正）

（1）写出m X Z ,,的关系式；

（2）求Z 的分布；

（3）确定m 使容器中所装饮料至少为450g 的概率不小于0.95。解：（1）根据题意m X Z ,,有关系式X Z m ++=30或者X m Z --=30；（2）因为)5.7,0(~2N X ，所以)5.7,30(~2-m N Z ；（3）要使得95.0}450{≥≥Z P ，即要

.05.7)30(4501}450{≥??

??--Φ-=≥m Z P ，

所以要求)645.1(95.05.7480Φ=≥??

??-Φm ，即645.15.7480≥-m ，3375.492≥m 。

所以，要使容器中所装饮料至少为450g 的概率不小于0.95，m 至少为492.4g 。 16，以1001,X X 记100袋额定重量为25（kg ）的袋装肥料的真实的净重，

.100,2,1,1)(),(25)( ===i X D kg X E i i 100

1,X X 服从同一分布，且相互独立。

∑

100

1i i

X X ，求}25.2575.24{≤≤X P 的近似值。

解：根据题意可得100

1)(),(25)(=

=X D kg X E 。由独立同分布的中心极限定

理可得

)5.2()5.2(}1

.025

25.251

.0251

.025

75.24{

}25.2575.24{-Φ-Φ≈-≤

-≤

-=≤≤X P X P

9876

.01)5.2(2=-Φ=

第5章样本及抽样分布

1,设总体X 服从均值为1/2的指数分布，4321,,,X X X X 是来自总体的容量为4的样本，求

（1）4321,,,X X X X 的联合概率密度；（2）}2.17.0,15.0{21<<<x ，所以

（1）联合概率密度为)()()()(),,,(43214321x f x f x f x f x x x x g =

概率论精彩试题和问题详解

试卷一一、填空（每小题2分，共10分）１．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为______________________。２. 掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示______________________。３．已知互斥的两个事件满足，则___________。４．设为两个随机事件，，，则___________。５．设是三个随机事件，，，、，则至少发生一个的概率为___________。二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号。每小题2分，共20分） 1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（）。 (A) 取到2只红球(B) 取到1只白球 (C) 没有取到白球(D) 至少取到1只红球 2．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（）。 (A) 随机事件(B) 必然事件 (C) 不可能事件(D) 样本空间 3. 设A、B为随机事件，则（）。 (A) A (B) B (C) AB (D) φ 4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（）。 (A) 与互斥(B) 与不互斥 (C) (D) 5. 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C) (D) 6. 设相互独立，则（）。 (A) (B) (C) (D) 7.设是三个随机事件，且有，则（）。 (A) 0.1 (B) 0.6 (C) 0.8 (D) 0.7 8. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。 (A) p2(1–p)3(B) 4 p (1–p)3 (C) 5 p2(1–p)3 (D) 4 p2(1–p)3 9. 设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C) (D) 10. 设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（）。 (A) P(A B) = P (C) (B) P (A) + P (B) –P (C) ≤ 1 (C) P (A) + P (B) –P (C) ≥ 1 (D) P (A) + P (B) ≤P (C) 三、计算与应用题（每小题8分，共64分） 1. 袋中装有5个白球，3个黑球。从中一次任取两个。求取到的两个球颜色不同的概率。 2. 10把钥匙有3把能把门锁打开。今任取两把。求能打开门的概率。 3. 一间宿舍住有6位同学，求他们中有4个人的生日在同一个月份概率。

概率论与数理统计公式整理超全免费版

第1章随机事件及其概率（1）排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的

概率论与数理统计公式定理全总结

第一章 P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) 特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式概率的乘法公式全概率公式：从原因计算结果 Bayes 公式：从结果找原因第二章二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p) 泊松分布——X~P(λ) 概率密度函数怎样计算概率均匀分布X~U(a,b) 指数分布X~Exp (θ) 分布函数对离散型随机变量对连续型随机变量分布函数与密度函数的重要关系：二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法联合密度函数联合分布函数联合密度与边缘密度离散型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性第三章数学期望离散型随机变量，数学期望定义连续型随机变量，数学期望定义 ● E(a)=a ，其中a 为常数 ● E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数 ● E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量随机变量g(X)的数学期望常用公式 ) () ()|(B P AB P B A P =)|()()(B A P B P AB P =) |()(A B P A P =∑ ==n k k k B A P B P A P 1)|()()(∑ ==n k k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1 )|()()|()()|() ,...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...) 1,0(! )(== =-k e k k X P k ，λλ 1)(=? +∞ ∞ -dx x f )(b X a P ≤≤?=≤≤b a dx x f b X a P )()() 0(1 )(/≥= -x e x f x θ θ ∑≤==≤=x k k X P x X P x F ) ()()(? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()(? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()() ,(y x f ),(y x F 0 ),(≥y x f 1),(=?? +∞∞-+∞ ∞ -dxdy y x f 1),(0≤≤y x F },{),(y Y x X P y x F ≤≤=?+∞ ∞ -=dy y x f x f X ),()(?+∞ ∞ -=dx y x f y f Y ),()(} {}{},{j Y P i X P j Y i X P =====) ()(),(y f x f y x f Y X =∑+∞ -∞ =?= k k k P x X E )(? +∞ ∞ -?=dx x f x X E )()(∑ =k k k p x g X g E )())((∑∑=i j ij i p x X E )(dxdy y x xf X E ??=),()() (1 )(b x a a b x f ≤≤-= ) ()('x f x F =

《概率论与数理统计》期中考试试题汇总

《概率论与数理统计》期中考试试题汇总

《概率论与数理统计》期中考试试题（一）一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分） 1．某射手向一目标射击两次，A i表示事件“第i次射击命中目标”，i=1，2，B表示事件“仅第一次射击命中目标”，则B=（）A．A1A2B．21A A C．21A A D．21A A 2．某人每次射击命中目标的概率为p(0

6．设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数2为的指数分布，Y ～B (6，2 1)，则D(X-Y)=( ) A ．1- B ．74 C ．54- D ．12 - 二、填空题（本题共9小题，每小题2分，共18分） 7．同时扔3枚均匀硬币，则至多有一枚硬币正面向上的概率为________. 8．将3个球放入5个盒子中，则3个盒子中各有一球的概率为= _______ _. 9．从a 个白球和b 个黑球中不放回的任取k 次球，第k 次取的黑球的概率是= . 10．设随机变量X ～U (0，5)，且21Y X =-，则Y 的概率密度f Y (y )=________. 11．设二维随机变量(X ，Y )的概率密度 f (x ,y )=? ??≤≤≤≤，y x ，其他,0,10,101则P {X +Y ≤1}=________. 12．设二维随机变量(,)X Y 的协方差矩阵是40.50.59?? ???，则相关系数,X Y ρ= ________. 13. 二维随机变量(X ，Y ) (1,3,16,25,0.5)N -:，则X : ;Z X Y =-+: . 14. 随机变量X 的概率密度函数为 51,0()50,0x X e x f x x -?>?=??≤?，Y 的概率密度函数为1,11()20,Y y f y others ?-<

概率论考试题以及解析汇总

——第1页—— 系名____________班级____________姓名____________学号____________ 密封线内不答题试题一一、选择题（每题有且仅有一个正确答案，每题2分，共20分） 1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是（）。 A. A,B 互不相容 B. A,B 相互独立 C.A ?B D. A,B 相容 2、将一颗塞子抛掷两次，用X 表示两次点数之和，则X ＝3的概率为（） A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、某人进行射击，设射击的命中率为0.2,独立射击100次，则至少击中9次的概率为（） A.91 99 100 98 .02.0C B. i i i i C -=∑100100 9 100 98.02.0 C. i i i i C -=∑100100 10 100 98 .02.0 D.i i i i C -=∑- 1009 100 98.02.01 4、设)3,2,1(39)(=-=i i X E i ，则)()3 1 253(321=++ X X X E A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本521,,,X X X 来自N （0，1），常数c 为以下何值时,统计量25 24 2 3 21X X X X X c +++? 服从t 分布。（） A. 0 B. 1 C. 2 6 D. -1 6、设X ~)3,14( N ，则其概率密度为（） A. 6 )14(2 61-- x e π B. 3 2)14(2 61-- x e π C. 6 )14(2 321 -- x e π D. 2 3)14(2 61-- x e π 7、 321,,X X X 为总体),(2σμN 的样本，下列哪一项是μ 的无偏估计（） A. 3212110351X X X ++ B. 321416131X X X ++ C. 3211252131X X X + + D. 3216 1 3131X X X ++ 8 、设离散型随机变量X 的分布列为 X 1 2 3 P C 1/4 1/8 则常数C 为（）（A ）0 （B ）3/8 （C ）5/8 （D ）－3/8 9 、设随机变量X ～N(4,25), X1、X2、X3…Xn 是来自总体X 的一个样本，则样本均值X 近似的服从（）（A ） N （4，25）（B ）N （4，25/n ）（C ） N （0,1）（D ）N （0，25/n ） 10、对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平a=0.05下，拒绝假设00μμ=：H ，则在显著水平a=0.01 下，（）

概率论知识点总结及心得体会

概率论总结及心得体会 2008211208班 08211106号史永涛班内序号：01 目录一、前五章总结第一章随机事件和概率 (1) 第二章随机变量及其分布 (5) 第三章多维随机变量及其分布 (10) 第四章随机变量的数字特征 (13) 第五章极限定理 (18) 二、学习概率论这门课的心得体会 (20) 一、前五章总结第一章随机事件和概率第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用E表示。在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。

不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S或Ω。 2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全体样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件—单点集，复合事件—多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。 3、定义：事件的包含与相等若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为B?A 或A?B。若A?B且A?B则称事件A与事件B相等，记为A＝B。定义：和事件 “事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件 A与事件B的和事件。记为A∪B。用集合表示为: A∪B={e|e∈A，或e∈B}。定义：积事件称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩ B或AB，用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。定义：差事件称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差事件,记为A－B,用集合表示为 A-B={e|e∈A，e?B} 。

概率论知识点总结

概率论知识点总结基本概念随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω、样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间、样本空间用Ω表示、一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件A 发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为或。相等关系：若且，则称事件A与事件B相等，记为A＝B。事件的和：“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A与事件B的和事件。记为A∪B。事件的积：称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩ B或AB。事件的差：称事件“事件A发生而事件B不发生”为事件A 与事件B的差事件,记为 A－B。用交并补可以表示为。互斥事件：如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。互斥时可记为A＋B。对立事

件：称事件“A不发生”为事件A的对立事件（逆事件），记为。对立事件的性质：。事件运算律：设A，B，C为事件，则有（1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA（2）结合律： A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C A(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C) A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB∪AC（4）对偶律（摩根律）：第二节事件的概率概率的公理化体系：（1）非负性： P(A)≥0；（2）规范性：P(Ω)＝1（3）可数可加性：两两不相容时概率的性质：（1）P(Φ)＝0（2）有限可加性：两两不相容时当AB=Φ时P(A∪B)＝P(A)＋P(B)（3）（4）P(A－B)＝P(A)－ P(AB)（5）P（A∪B）＝P(A)＋P(B)－P(AB)第三节古典概率模型 1、设试验E是古典概型, 其样本空间Ω由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成、则定义事件A的概率为 2、几何概率：设事件A是Ω的某个区域，它的面积为 μ(A)，则向区域Ω上随机投掷一点，该点落在区域 A 的概率为假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A 的概率仍可用上式确定，只不过把μ理解为长度或体积即可、第四节条件概率条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，记作 P(A|B)、乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)全概率公式：设是一个完备事件组，则

北邮版概率论问题详解(3)

习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35= 132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+

ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A；（2）随机变量（X，Y）的分布函数；（3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12 (34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k （1）确定常数k；（2）求P{X＜1，Y＜3}；（3）求P{X<1.5}；（4）求P{X+Y≤4}. 【解】（1）由性质有

概率论与数理统计经典考试题型

概率论经典考试题型一，选择题 1 设A 、B 为互不相容的事件,且()0,()0,P A P B >>下面四个结论中, 正确的是( ) (A)(|)0P B A > (B)(|)0P A B = (C)(|)()P A B P A =(D)()()()P AB P A P B = 如果A 、B 为互不相容的事件,且 ()0,()0,P A P B >>则上述不正确的是（） 2 总体),(~2 σμN X ，n X X X ,,,21 是来自总体的样本, ∑==n k k X n X 1 1，则n X /σμ- ~ ( ） (A) ),(2σμN (B) )1,0(N (C) )(n t (D) )1(-n t 3. 已知相互独立的随机变量 ~(1,16), Y ~(2,9), (2)X N N D X Y -=则

。 4. 设3.0)(=A P , 6.0)(=B P , 且事件A 与B 互不相容, ()P A B ?=则。 5. 已知随机变量X 的概率密度为 2,0,()0,0.x ae x f x x -?>=?≤? 则a = . 6. 设随机变量X 满足2(),()E X D X μσ==, 则由切比雪夫不等式,有{||3}P X μσ-≥≤ 。 7．设总体),(~2σμN X ，2,σμ未知， n X X X ,,,21 是来自总体 X 的样本, 则 μ的矩估计量是，2σ最大似然估计量。

8 电路由电池A 、B 及两个并联的电池C 、D 串联而成, 设电池A, B, C, D 损坏与否是相互独立的, 且它们损坏的概率依次为0.3, 0.2, 0.2, 0.5, 求这个电路发生间断的概率. 9 已知(,)X Y 的联合分布率如下: 求（1）边缘分布率; (2))(),(X D X E ; (3) Z X Y =+的分布率。

概率论要点及部分问题

一．概念 1、极差(Range)为数据中的最大值减去最小值。 2、代表的是数据的“分散程度”的量还有：IQR，PIQR。分别称为四分位间距，和百分比的四分位间距。IQR=Q3-Q1. 这里：Q3和Q1分别是最大值、最小值和中位数之间的中位数。PIQR=IQR / Range 3、数据深度定义：样本中一个数据值的深度，是它的升秩和降秩两者中的最小值。 4、我们用深度的概念，可以规定怎样从样本中提炼出各种探索性总括值。中位数的深度是（n+1）/2。如果n是偶数，我们看到（n+1）/2有分数部分1/2；按常规，只要深度不是整数，我们就作内插。 5、四分位数的深度 = （[中位数的深度]+1）/ 2，0.25和0.75分位数，又分别称为下四分位数和上四分位数。 6、盒图的做法（1）：算出五数总括（有时也计算均值）(2)画一条水平线（也可以画竖线），两个端点的值 a, b(使之包含min, Max既可) , 在[a,b]中等分画出分点，标出单位。(3)：在水平线上方，在Q1 , Q3之间画一个矩形，长度为IQR, 在Md处画一条线，把矩形分成两部分。 (4)：将min, Max与上述矩形相连。（在适当的位置用 + 标出均值。） 7、判断异常值：当数据超出Q1 -1.5IQR或 Q3+1.5IQR时，常判作异常值，以 * 标出。（或者○标出。）若超出3IQR，称“太极端”（too extreme）。二．例题 1、路遥先生的三卷本“平凡的世界”是我最喜欢的小说之一。按照任意的次序放在书架上，请问各卷自左至右，或者自右至左排成1，2，3卷的顺序的概率是多少？ 2、出黑球的概率？（1）相同颜色的球可分辨（2）相同颜色的球不可分辨

概率论经典试题

第一章概率论的基本概念课外习题一．单项选择题 1．设1)|()|(,1)(0,1)(0=+<<<

概率论与数理统计》期中考试试题汇总

《概率论与数理统计》期中考试试题（一）一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分） 1．某射手向一目标射击两次，A i 表示事件“第i 次射击命中目标”，i =1，2，B 表示事件“仅第一次射击命中目标”，则B =（） A ．A 1A 2 B ．21A A C ．21A A D ．21A A 2．某人每次射击命中目标的概率为p (0

?=??≤? ，Y 的概率密度函数为1,11()20,Y y f y others ?-<

概率论与数理统计知识点汇总(详细)

概率论与数理统计知识点汇总(详细)

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P

概率统计考研真题汇总

第一章： 87： (1)设在一次实验中,事件A 发生的概率为,p 现进行n 次独立试验,则A 至少发生一次的概率为____________;而事件A 至多发生一次的概率为____________. (2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________. 88： (1)设在三次独立试验中,事件A 出现的概率相等,若已知A 至少出现一次的概率等于 19 ,27 则事件A 在一次试验中出现的概率是____________. (2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于6 5 ”的概率为____________. 89： (1)已知随机事件A 的概率()0.5,P A =随机事件B 的概率()0.6P B =及条件概率(|)0.8,P B A =则和事件A B 的概率()P A B =____________. (2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为和,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________. 90： (2)设随机事件A 、B 及其和事件的概率分别是、和,若B 表示B 的对立事件,那么积事件AB 的概率()P AB =____________. 91： (2)随机地向半圆0y a << 为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4 π的概率为____________. 92： (1)已知11 ()()(),()0,()(),46 P A P B P C P AB P AC P BC === ===则事件A 、B 、C 全不发生的概率为____________. 93： (1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________. 94： (1)已知A 、B 两个事件满足条件()(),P AB P AB =且(),P A p =则()P B =____________. 95： (1)设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为,

概率论与数理统计学习知识资料要点

知识要点一概念： 1 随机事件：用,,A B C 等表示互不相容： AB =Φ 互逆： AB =Φ且A B ?=Ω ，此时，B A = 互逆 ?互不相容，反之不行相互独立： ()()P A B P A =或()()()P AB P A P B = 2 随机事件的运算律： (1) 交换律：,A B B A AB BA ?=?= (2) 结合律：()(),()()A B C A B C AB C A BC ??=??= (3) 分配律： (),()()()A B C AB AC A BC A B A C ?=??=?? (4 ) De Morgen 律（对偶律） B A B A =? B A AB ?= 推广： 11 n n i i i i A A ===U I 1 1 n n i i i i A A ===I U 3 随机事件的概率：()P A 有界性 0()1P A ≤≤ 若A B ? 则()()P A P B ≤ 条件概率 () ()() P AB P A B P B = 4 随机变量：用大写,,X Y Z 表示 . 若X 与Y 相互独立的充分必要条件是)()(),(y F x F y x F Y X = 若X 与Y 是连续随机变量且相互独立的充分必要条件是(,)()()X Y f x y f x f y = 若X 与Y 是离散随机变量且相互独立的充分必要条件是(,)()()X Y p x y p x p y =

若X 与Y 不相关，则cov(,)0X Y = 或 (,)0R X Y = 独立?不相关反之不成立但当X 与Y 服从正态分布时，则相互独立 ?不相关相关系数：1),(≤Y X R 且当且仅当bX a Y +=时1),(=Y X R ，并且 ???<->=0,10 ,1),(b b Y X R 二两种概率模型古典概型：()M P A N = :M A 所包含的基本事件的个数；:N 总的基本事件的个数伯努利概型： n 次独立试验序列中事件A 恰好发生m 次的概率 ()m m n m n n P m C p q -= n 次独立试验序列中事件A 发生的次数为1m 到2m 之间的概率 2 1 12()()m n m m P m m m P m =≤≤= ∑ n 次独立试验序列中事件A 至少发生r 次的概率 1 ()()1()n r n n m r m P m r P m P m -==≥==-∑∑ 特别的，至少发生一次的概率 (1)1(1)n P m p ≥=-- 三概率的计算公式：加法公式：()()()()P A B P A P B P AB ?=+- 若B A ,互不相容 ,则)()()(B P A P B A P +=+ 推论：)()(A P A P -=1 推广： )()()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=?? 若B A ,，C 互不相容，则()()()()P A B C P A P B P C ++=++ 乘法公式：)()()(A B P A P AB P =或()()P B P A B = 若,A B 相互独立，()()()P AB P A P B = 推广：)()()()()(12121312121-=n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P ΛΛΛΛΛΛ 若它们相互独立，则1212()()()()n n P A A A P A P A P A =L L L L

概率论典型例题第4章

第四章大数定律与中心极限定理例1．设随机变量X 和Y 的数学期望分别为－2和2，方差分别为1和4，而相关系数为－0.5，则根据切比雪夫不等式有≤≥+}6{Y X P 。分析：切比雪夫不等式：2{}DX P X EX εε?≥≤或2{}1DX P X EX εε?<≥?，显然需用到前一不等式，则只需算出()E X Y +与()D X Y +即可。解：由于 0)(=+Y X E ， ()2(,)2XY D X Y DX DY Cov X Y DX DY ρ+=++=++14212(0.5)3=++×××?=，故由切比雪夫不等式 1216 )(}6{2=+≤≥+Y X D Y X P 。注：还是用到第三章数字特征的一些性质。除了切比雪夫不等式本身，这也是另外的知识点。例2．设()0(0)g x x ><<+∞，且为非降函数。设X 为连续型随机变量且[()]E g X EX ?存在。试证对任意0ε>，有 [()] {}()E g X EX P X EX g εε??≥≤。分析：证明的结论形式与切比雪夫不等式非常相似，利用切比雪夫不等式的证明思想试试看。证明：设随机变量X 的概率密度为()f x ，则有 {}()x EX P X EX f x dx εε?≥?≥= ∫ 由于()0g x >，且非降，故当X EX ε?≥时，有 ()()g X EX g ε?≥，() 1()g X EX g ε?≥，所以

(){}()()()x EX x EX g X EX P X EX f x dx f x dx g εεεε?≥?≥??≥= ≤∫∫ 1()()()g X EX f x dx g ε+∞?∞ ≤?∫ [()] ()E g X EX g ε?=。注：这是切比雪夫不等式的推广。当2()g x x =时，即为切比雪夫不等式。例3．设随机变量序列12,,,n X X X L 相互独立，且都服从参数为2的指数分布，则当n →∞时，21 1n n i i Y X n ==∑依概率收敛于。 (A ) 0 (B ) 12 (C ) 14 (D ) 1 分析：出现依概率收敛就要考虑应用大数定律，题设给出的是一列独立同分布的随机变量序列，自然会想到辛钦大数定律。解：由题设12,,,n X X X L 独立同分布于参数为2的指数分布，因此22212,,,n X X X L 也都独立同分布，且它们共同的期望值为 2 22111()422i i i EX DX EX ??=+=+=????。根据辛钦大数定律，当n →∞时，21 1n n i i Y X n ==∑依概率收敛于其期望值12，故应选择选项B 。注：几个大数定律条件、结论都非常相似，下面对其条件进行一下比较：伯努利大数定律和辛钦大数定律都要求随机变量序列有独立性、同分布和有限数学期望。切比雪夫大数定律对条件有所放宽，不要求同分布，但要求有某种独立性。但是只有辛钦大数定律不要求方差存在。同时要注意大数定律中所给的假设条件都是大数定律成立的充分条件，切不

概率统计知识点归纳

概率统计知识点归纳平均数、众数和中位数平均数、众数和中位数．要描述一组数据的集中趋势，最重要也是最常见的方法就是用这“三数”来说明．一、正确理解平均数、众数和中位数的概念 1．平均数平均数是反映一组数据的平均水平的特征数，反映一组数据的集中趋势．平均数的大小与一组数据里的每一个数据都有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化．２．众数在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数．一组数据中的众数有时不唯一．众数着眼于对各数出现的次数的考察，这就告诉我们在求一组数据的众数时，既不需要排列，又不需要计算，只要能找出样本中出现次数最多的那一个（或几个）数据就可以了．当一组数据中有数据多次重复出现时，它的众数也就是我们所要关心的一种集中趋势．３．中位数中位数就是将一组数据按大小顺序排列后，处在最中间的一个数（或处在最中间的两个数的平均数）．一组数据中的中位数是唯一的．二、注意区别平均数、众数和中位数三者之间的关系平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，但它们描述的角度和适用的范围又不尽相同．在具体问题中采用哪种量来描述一组数据的集中趋势，那得看数据的特点和要关注的问题．三、能正确选用平均数、众数和中位数来解决实际问题由于平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，所以利用平均数、众数和中位数可以来解决现实生活中的问题．极差、方差、标准差极差、方差和标准差都是用来研究一组数据的离散程度的，反映一组数据的波动范围或波动大小的量. 一、极差一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差，即极差=最大值-最小值.极差能够反映数据的变化范围,差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大. 二、方差方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.它是指一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. 求一组数据的方差可以简记先求平均，再求差，然后平方，最后求平均数.一组数据x 1、x 2、x 3、…、x n 的平均数为x ，则该组数据方差的计算公式为： ])()()[(12 22212 x x x x x x n S n -++-+-= . 三、标准差在计算方差的过程中，可以看出方差的数量单位与原数据的单位不一致，在实际的应用时常常将求出的方差再开平方，此时得到量为这组数据的标准差. 即标准差=方差. 四、极差、方差、标准差的关系方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的量，常用来比较两组数据的波动大小.两组

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