数学建模复习内容带习题答案
考试内容分布：
1、线性规划2题，有1题需编程；
2、非线性规划2题，有1题需编程；
3、微分方程1题，需编程；
4、差分方程2题，纯计算，不需编程；
5、插值2题，拟合1题，纯计算，不需编程；；
6、综合1题(4分)，纯计算，不需编程。
一、列出下面线性规划问题的求解模型，并给出matlab计算环境下的程序
1.某车间有甲、已两台机床，可用于加工三种工件，假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三
种工件的数量分别为400,600和500，且已知用两种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。问怎样分配车床的加工任务，才能即满足加工工件的要求，又使加工费用最低。（答案见课本P35, 例1）
2.有两个煤厂A,B，每月进煤分别不少于60t、100t，它们负责供应三个居民区的用煤任务，这三个居民
区每月需用煤分别为45t, 75t, 40t。A厂离这三个居民区分别为10km, 5km, 6km，B厂离这三个居民区分别为4km, 8km, 15km，问这两煤厂如何分配供煤，才能使总运输量最小？
(1)问题分析
设A煤场向这三个居民区供煤分别为x1,x2,x3;B煤场向这三个居民区供煤分别为x4,x5,x6，则min f=10*x1+5*x2+6*x3+4*x4+8*x5+15*x6，再根据题目约束条件来进行解题。
(2) 模型的求解
>> f=[10 5 6 4 8 15];
>> A=[-1 -1 -1 0 0 0
0 0 0 -1 -1 -1
-1 0 0 -1 0 0
0 -1 0 0 -1 0
0 0 -1 0 0 -1];
>> b=[-60;-100;-45;-75;-40];
>> Aeq=[];
>> beq=[];
>> vlb=zeros(6,1);
>> vub=[];
>> [x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
Optimization terminated.
(3) 结果分析
x =
0.0000 20.0000 40.0000 45.0000 55.0000 0.0000 fval = 960.0000
即A 煤场分别向三个居民区供煤0t,20t,40t ；B 煤场分别向三个居民区供煤45t,55t,0t 可在满足条件下使得总运输量最小。
3. 某工厂利用两种原料甲、乙生产1A ,2A ,3A 三种产品，每月可供应的原料数量（单位：t ）、每万件产品
试制定每月最优生产计划，使得总收益最大。
解：设A1生成x1万件，A2生成x2万件，A3生成x3万件 那么总收入为：12*x1+5*x2+4*x3
目标：总收入最大，即：max 12*x1+5*x2+4*x3
约束条件：
1.甲原材料：4*x1+3*x2+x3<=180
2.乙原材料：2*x1+6*x2+3*x3<=200
3.物理条件:x1>=0,x2>=0,x3>=0
在Matlab 中输入： f=-[12;5;4]; A=[4,3,1;2,6,3]; b=[180;200]; Aeq=[]; beq=[];
xmin=[0,0,0];
xmax=[inf,inf,inf]; x0=xmin;
[x,fmin]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,xmin,xmax,x0);
x,-fmin
结果为：
x =
34.0000
0.0000
44.0000
ans =
584.0000
即当生产34万件的A1和44万件的A3。总收入达到最大，为584万。
最少需雇佣多少护士？试根据你了解的实际情况建立一个较好的数学模型及相应的算法和程序。
解：一、问题假设
1、每名值班护士都正常工作，没有请假现象。
2、该医院不存在大的人员变动。
3、每名护士都可以连续工作八小时。
二、问题分析
分析该问题，可以得出该问题是一个线性规划问题，求解需雇佣的最少护士人数，所以应该，建立目标函数以及对应的约束条件。根据每班的人数列出目标函数，根据六个时间段所需要的最少护士数建立六个约束条件。
三、符号说明
四、模型建立
根据题意判断出该问题属于求解最优化问题，需要确定目标函数和约束条件，具体模型如下:
?
????
?????????=≥≥+≥+≥+≥+≥+≥++++++=6,,2,1,03020
506070
60..min 655
4
433221
616
54321i x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x Z i 五、模型求解
利用matlab 软件，编写m 文件，求解该模型。 程序代码:
%dierti
f=[1,1,1,1,1,1] A=[-1 0 0 0 0 -1; -1 -1 0 0 0 0; 0 -1 -1 0 0 0; 0 0 -1 -1 0 0; 0 0 0 -1 -1 0; 0 0 0 0 -1 -1;]
b=[-60;-70;-60;-50;-20;-30;] lb=zeros(6,1);
[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,[],[],lb)
计算结果:
f =
1 1 1 1 1 1 A =
-1 0 0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 -1 -1 0 0 0 0 0 -1 -1 0 0
0 0 0 -1 -1 0
0 0 0 0 -1 -1
b =
-60
-70
-60
-50
-20
-30
x =
41.9176
28.0824
35.0494
14.9506
9.8606
20.1394
fval =
150.0000
六、模型求解分析
根据计算的结果可以得出，该医院至少要雇用150护士，其中在每个班次中添加的具体人员如下表:
表一:每个班次中加入的人员数
综上，求解出该值班安排问题。
二、列出下面问题的求解模型，并给出matlab计算环境下的程序
1.炼油厂将A、B、C三种原料加工成甲乙丙三种汽油。一桶原油加工成汽油的费用为4元，每天至多能加工汽油14，000桶。原油的买入价、买入量、辛烷值、硫含量，及汽油的卖出价、需求量、辛烷值、硫含量由下表给出。问如何安排生产计划，在满足需求的条件下使利润最大？
解：
含量限制
非负限制
原料限制
需求限制
约束
1000
325.020002325.03000325.01000686122000
886123000108612500050005000100020003000963852741963852741987654321963852741≤++?≤++≤++?≥++?≥++?≥++≤++≤++≤++=++=++=++x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 0
≥x
25];
2. 要设计和发射一个带有X 射线望远镜和其他科学仪器的气球，对于性能的粗糙的度量方法是以气球所能达到的高度和所携仪器的重量来表达，很清楚，高度本身是气球体积的一个函数。根据过去的经验作出的结果，是求极大满意性能函数 2
2
2.080
3.0100),(W W V V W V f P -+-==, 此处V 是体积，W 是仪器重量。 承包项目的预算限额是1040美元，与体积V 有关的费用是V 2，与设备有关的费用是W 4，为了保证在高度方面的性能与科学设备方面的性能之间的合理平衡，设计者需要满足约束条件V W 10080≥。
找出由体积和设备重量来表达的最优设计模型。
解：由题意可以问题的V和W应满足的约束条件为s.t.然后求解目标函数
=(,)=100-0.3+80W-0.2的最大值。我们可以用非线性规划的线性逼近的方法将目标函数转化成近似的线性函数然后用线性规划的求解的方法即可得出结果。
根据题意建立模型：
Max f = 100-0.3+80W-0.2
s.t.
模型求解的Matlab程序如下：
（1）建立非线性目标函数文件
function f=qiqiu01(x)
f=0.3*x(1)^2-100*x(1)+0.2*x(2)^2-80*x(2);
(2) 建立主程序求解
clear all;
x0=[1;1];
A=[1,2;5,-4];
b=[520;0];
Aeq=[];beq=[];
vlb=[0;0]; vub=[];
[x,fval]=fmincon('qiqiu01',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);
x
fval
%求出的结果为：
x =
148.5714
185.7143
fval =
1.6194e+004
3、某厂向用户提供发动机，合同规定，第一、二、三季度末分别交货40台、60台、80台．每季度的生产费用为2
f+
x
=（元），其中x是该季生产的台数．若交货后有剩余，可用(bx
ax
)
于下季度交货，但需支付存储费，每台每季度c元．已知工厂每季度最大生产能力为100台，
第一季度开始时无存货，设a=50、b=0.2、c=4，问工厂应如何安排生产计划，才能既满足合同又使总费用最低．
解：问题的分析和假设：
分析：问题的关键在于由于工厂的生产能力足以满足每个季度用户的需求，但是为了使总费用
最少，那么利用每个季度生产费用的不同，可用利用上个生产费用低的季度多生产来为下个季
度进行准备，前提是本月节省下的费用减去总的发动机存储费用还有剩余，这样生产才有价值，
才可能满足合同的同时又能使总费用最低。
基本假设：1工厂的生产能力不受外界环境因素影响。2为使总费用最低，又能满足合同要求，
各个季度之间的生产数量之间是有联系的。3第一季度开始时无存货。4工厂每季度的生关费
用与本季度生产的发动机台数有关。5生产要按定单的数量来进行，生产的数量应和订单的数
量相同，以避免生产出无用的机器。
符号规定：X1―――第一季度生产发动机的数量
X2―――第二季度生产发动机的数量
X3―――第三季度生产发动机的数量
建模：1三个季度发动机的总的生产量为180台。
2每个季度的生产量和库存机器的数量之和要大于等于本季度的交货数量。
3每个月的生产数量要符合工厂的生产能力。
4将实际问题转化为非线性规划问题，建立非线性规划模型
目标函数min f(x)=50(x1+x2+x3)+0.2(x12+x22+x32)+4(x1-40)+4(x1+x2-100) 整理，得min f(x)=50(x1+x2+x3)+0.2(x12+x22+x32)＋4(2x1+x2-140)
约束函数s.t x1+x2≥100;
X1+x2+x3=180;
40≤x1≤100;
0≤x2≤100;
0≤x3≤100;
求解的Matlab程序代码：
M-文件fun.m:
function f=fun (x);
f=50*(x(1)+x(2)+x(3))+0.2*(x(1)^2+x(2)^2+x(3)^2)+4*(2*x(1) +x(2)-140)
主程序fxxgh.m：
x0=[60;60;60];
A=[-1 -1 0];b=[-100];
Aeq=[1 1 1];beq=[180];
vlb=[40;0;0];vub=[100;100;100];
[x,fval]=fmincon('fun',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
计算结果与问题分析讨论： 计算结果：x =
50.0000
60.0000 70.0000
fval = 11280
问题分析讨论：
由运算结果得：该厂第一季度、第二季度、第三季度的生产量分别是50台、60台和70台时，才能既满足合同又使总费用最低，费用最低为11280元。
三、 给出下列为微分方程数值解的求解程序
1. ??
???='==+--1)0(,0)0(0)1(1000222x x x dt dx x dt x d （课本，P132页例4） 2.???????===-='-='='1
)0(,1)0(,0)0(51.03212
13312321y y y y y y y y y y y y （课本，P132页例5）
3. ?????='==+--0)0(,1)0(0)1(7222y y y dt dy
y dt y d （课本，P132页例4，系数“1000”被改为了“7”） 4. ?????
='='+=''-0
)0(,0)0()(151)1(2y y y y x 解：（1） 微分方程M 函数文件 function dy=daodan01(x,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2);
dy(2)=0.2*(1/(1-x))*sqrt(1+y(2)^2)
（2）建立主程序求解
clear all ; t0=0;tf=10;
[t,y]=ode45('daodan01',[t0,tf],[0,0]); plot(t,y,'r*'); t , y
5. ??????
???==--+-=--+-=0)0(,0)0()()1()1(5)1()()1(52
22
2y x y t y x dt
dy
x y t x dt dx
（课本，P132页例6）
四、 求解下列差分方程的通解 1. 斐波那契数列
?
??==+=--1212
1F F F F F n n n （课本，P138页例7 ）
2. 求解 ,4,3,221=-=--n a a a n n n ， 初值 3,221==a a （课本，P138页例8 ）
3. 求解 3,21≥-=--n a a a n n n ，初值0,121==a a （课本，P139页例10 ）
4. )3()2()1()(---+-=n H n H n H n H ,求其通解
解：对应的特征方程 0123=+--x x x ，化简 0)1()1(2=+-x x 求解得：121==x x ，13-=x
所以通解： 321331211)(c n c c x c nx c x c n H n
n n -+=++=
5. 某人上一共有n 级台阶的楼梯，如果规定他每步只能上1级台阶或2级台阶，问共有多少种不同的上楼梯的方法。
解：第一步上1级台阶，则有H(n-1)种上楼梯的方法；第二步上2级台阶，则有H(n-2)种上楼梯的方法。因此 H(n)=H(n-1)+H(n-2)，特征方程为： 12+=x x 特征根为：2511+=
x ，2
5
12-=x ，写出通解并根据H(1)=1,H(2)=2求1c 和2c 6. 只由3个字母c b a ,,组成的长度为n 的一些单词将在通信信道上传输，传输中应满足条件：
不得有两个a 连续出现在任一单词中，确定通信信道允许传输的单词的个数。
解：设单词的总长度是n 。若第1个字母是a ，那么第2个字母可以是b 或c ，即开头两个字母是ab 或ac ，这种情况的单词方案为2*f(n-2)。
若第1个字母是b 或c ，那么第2个字母可以任取，这种情况的单词方案为2*f(n-1)。 故有f(n)=2f(n-1) +2f(n-2) 对应的特征方程为 0222=--x x ，求解得特征根为
311+=x ，312-=x ，所以通解为 n n c c n f )31()31()(21-++= 将初值 1)0(=f ，3)1(=f 代入得 3
2321+=
c ，3
2322+-=
c
7. 某人有n(n ≥1)元钱，他每天买一次物品，或者买一元钱的甲物品，或者买两元钱的乙物品。问此人有多少种方式花完这n 元钱？
解：H(n)=H(n-1)+H(n-2)； n=1时, H(1)=1; n=2时， H(2)=3; 求出特征根。 自己求解即可。
8.
求长度为n 的0,1符号串，不出现00的符号串总数。
解：第1个符号为0时，第二个符号只能为1，此时共有H(n-2)中排法；第1个符号为1时，第二个符号可任意排，此时共有H(n-1)种排法。因此
H(n)=H(n-1)+H(n-2)。可求出特征根，并根据H(1)=2, H(2)=3求其参数1c 和2c
9. 从n 个文字中取k 个文字作允许重复的排列，但不允许一个文字连续出现3次，求这样的排列的数目。 解：
首先，假设取n 个文字作允许重复的排列，不允许一个字连续出现3次的排列数为an ,
假设取n-1个文字最后一位为x ，最后一位与x 不同的取法有(k-1)种，(k-1)an-1种。 少算了最后一位也取x 的情况，就是最后两位都是x 的情况，也就是最后两位与倒数第三位不同的情况，有(k-1)an-2种。
k
k a k a k a a k a k a n n n -===-+-=--3
322121,,)1()1(
)1()1(2
=----k x k x 特征方程为
2
)3)(1()1( 2
)1(4)1()1(2+-±-=
-+-±-=k k k k k k x 特征根
2
)3)(1()1(2)
3)(1()1(21+-+-=
+-+-=
k k k r k k k r 设
n
n n r k r k a 2211+=则
,
,2
21k a k a ==代入初值，可求出k1,k2
五、 插值与拟合
1. 根据下表给出的平方根值，(1)用线性插值计算5; (2)用抛物线法计算5
2. 已知)(x f y =的函数表
解：
25
.1)5.1()5.1()1(2
1
21311313)(1
0100101=≈+=?--+?--=--+--=p f x x x y x x x x y x x x x x p
7..
解：设
2210)(x a x a a x P ++=，得
??????
?=++=++=++=++261641893104242102102
10210a a a a a a a a a a a a ,??
??
?
?
??????=????????????????????
??26181041641
931
421111
210a a a
记系数矩阵为Φ，则
??????????=ΦΦ35410030100301030104T ， ??
??
?
?????=Φ62218258y T
故正规方程组为
????
?
?????=????????????????????6221825835410030100301030104210a a a 解得
2
1,1049,23210==-=a a a
数学建模期末考试A试的题目与答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2012-2013学年第 二 学期 考试科目：数学建模 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一篮白菜从河岸一边带到河岸对面，由于船的限制，一次只能带 一样东西过河，绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起，怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1，2，3，4，当i 在此岸时记x i = 1，否则为0；此岸的状态下用s =（x 1，x 2，x 3，x 4）表示。该问题中决策为乘船方案，记为d = (u 1, u 2, u 3, u 4)，当i 在船上时记u i = 1，否则记u i = 0。 (1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分） (2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分） (3) 写出该问题的状态转移率。（3分） (4) 利用图解法给出渡河方案. （3分） 解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状（3分） (2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分） (3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分） (4)方法：人先带羊，然后回来，带狼过河，然后把羊带回来，放下羊，带白菜过去，然后再回来把羊带过去。 ?或: 人先带羊过河，然后自己回来，带白菜过去，放下白菜，带着羊回来，然后放下羊，把狼带过去，最后再回转来，带羊过去。 （12分） 1、 二、(满分12分) 在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就下面两种假设，建立一个举重能力和体重之间关系的模型： （1） 假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。6分 （2） 假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关，请给出一个改进模型。6分 解：设体重w （千克）与举重成绩y （千克） （1） 由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比例，所以 y ?I ?S 设h 为个人身高，又横截面积正比于身高的平方，则S ? h 2 再体重正比于身高的三次方，则w ? h 3 （6分） ( 12分) 14分) 某学校规定，运筹学专业的学生毕业时必须至少学
数学建模1例题解析
1.贷款问题 小王夫妇计划贷款20万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。目前，银行的利率是%/月。他们采用等额还款的方式(即每月的还款额相同)偿还贷款。 (1)在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少共计付了多少利息 (2)在贷款满5年后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在第6年初，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清 (3)如果在第6年初，银行的贷款利率由%/月调到%/月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的15年内将贷款还清，那么在第6年后，每月的还款额应是多少 (4)某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年以上的客户，他们帮你提前三年还清贷款。但条件是： (i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的1/2； (ii)因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此要预付给借贷公司贷款总额10%的佣金。 试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。 解答： (1)贷款总月数为N=20*12=240，第240个月的欠款额为0，即。 利用式子 (元)，即每个月还款元，共还款(元)，共计付利息元。 (2)贷款5年(即5*12=60个月)后的欠款额为， 利用公式：， 所以，
(元) (3)元，即第六年初，贷款利率，所以余下的15年，每个月还款额为：(元) (4)按照借贷公司的条件(i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的，付款的时间缩短，但是前17年的付款总额不变。帮忙提前三年还清需要资金数： 。 对于条件(ii)佣金数： 分析：因为预付佣金20000元，按照银行存款利率/月，17年的存款本息为 即在第17年需要给付借贷公司的钱少于给付银行的钱。所以建议请这家借贷公司帮助还款。 2.冷却定律与破案 按照Newton冷却定律，温度为T的物体在温度为的环境中冷却的速度与温差成正比。用此定律建立相应的微分方程模型。 凌晨某地发生一起凶杀案，警方于晨6时到达案发现场，测得尸温26℃，室温10℃，晨8时又测得尸温18℃。若近似认为室温不变，估计凶杀案的发生时间。 解答： 根据Newton冷却定律，可知温度T的微分方程为：
数学建模试题
2012-2013第一学期 《数学建模》试题卷 班级：2010级 统计 姓名：石光顺 学号：20101004025 成绩： 一、用Matlab 求解以下优化问题（10分） 用Matlab 求解下列线性规划问题： 解：首先化Matlab 标准型，即 123121114123x x x ?? -??????≤??????---???? ???? ， 然后编写Matlab 程序如下： f=[-3,1,1]; a=[1,-2,1;4,-1,-2]; b=[11,-3]; aeq=[-2,0,3]; beq=1; [x,y]=linprog(f,a,b,aeq,beq,zeros(3,1)); x,y=-y 运行结果： x = 0.0000 2.3333 0.3333 y = -2.6667 即当1230, 2.3333,0.3333x x x ===时，max 2.6667z =-。 二、求解以下问题，列出模型并使用Matlab 求解（20分） 某厂生产三种产品I ，II ，III 。每种产品要经过A , B 两道工序加工。设该厂有两种规格的设备能完成A 工序，它们以A 1, A 2表示；有三种规格的设备能完
成B工序，它们以B1, B2, B3表示。产品I可在A, B任何一种规格设备上加工。产品II可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能在B1设备上加工；产品III 只能在A2与B2设备上加工。已知在各种机床设备的单件工时，原材料费，产品销售价格，各种设备有效台时以及满负荷操作时机床设备的费用如表1，求安排最优的生产计划，使该厂利润最大。 表1 解：（1）根据题意列出所有可能生产产品I、II、III的工序组合形式，并作如下假设： 按(A1，B1)组合生产产品I，设其产量为 x ; 1 按(A1，B2)组合生产产品I，设其产量为 x; 2 按(A1，B3)组合生产产品I，设其产量为 x; 3 按(A2，B1)组合生产产品I，设其产量为 x; 4 按(A2，B2)组合生产产品I，设其产量为 x; 5 按(A2，B3)组合生产产品I，设其产量为 x; 6 按(A1，B1)组合生产产品II，设其产量为 x; 7 按(A2，B1)组合生产产品II，设其产量为 x; 8 按(A2，B2)组合生产产品III，设其产量为 x; 9 则目标函数为： 约束条件为： 目标函数整理得： （2）用Matlb程序求解目标函数，编写程序如下： f=[-0.37;-0.31;-0.40;-0.34;-0.34;-0.43;-0.65;-0.86;-0.68]; a=[5,5,5,0,0,0,10,0,0 0,0,0,7,7,7,0,9,12 6,0,0,6,0,0,8,8,0 0,4,0,0,4,0,0,0,11 0,0,7,0,0,7,0,0,0]; b=[6000;10000;4000;7000;4000]; [x,y]=linprog(f,a,b,[],[],zeros(9,1)); x,y=-y 输出结果为：
最新数学建模习题答案资料
数学建模部分课后习题解答 中国地质大学 能源学院 华文静 1.在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？ 解： 模型假设 （1） 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形 （2） 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况）， 即从数学角度来看，地面是连续曲面。这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件 （3） 椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。为了保证这一点，要求对于椅脚的间 距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的。因为在地面上椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），此时三只脚是无法同时着地的。 模型建立 在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的。于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。 注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地。把长方形绕它的对称中心旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。 设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线AC 所在的直线为x 轴，对称中心O 为原点，建立平面直角坐标系。椅子绕O 点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD 转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角）0（πθθ≤≤表示出椅子绕点O 旋转θ后的位置。 其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数。 由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数，而由假设（3）可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0。因此，只需引入两个距离函数即可。考虑到长方形ABCD 是对称中心图形，绕其对称中心O 沿逆时针方向旋转180度后，长方形位置不变，但A,C 和B,D 对换了。因此，记A ，B 两脚与地面竖直距离之和为)(θf ，C,D 两脚之和为 )(θg ，其中[]πθ，0∈，使得)()(00θθg f =成立。 模型求解 如果0)0()0(== g f ，那么结论成立。
数学建模复习资料参考答案
《数学建模》复习资料参考答案 一、不定项选择 1、建模能力包括 A、B、C、D 。 A、理解实际问题的能力 B、抽象分析问题的能力 C、运用工具知识的能力 D、试验调试的能力 2、按照模型的应用领域分的模型有 A、E 。 A、传染病模型 B、代数模型 C、几何模型 D、微分模型 E、生态模型 3、对黑箱系统一般采用的建模方法是 C 。 A、机理分析法 B、几何法 C、系统辩识法 D、代数法 4、一个理想的数学模型需满足 A、B 。 A、模型的适用性 B、模型的可靠性 C、模型的复杂性 D、模型的美观性 5、按照建立模型的数学方法分的模型有 B、C、D 。 A、传染病模型 B、代数模型 C、几何模型 D、微分模型 E、生态模型 6、下列说法正确的有 A、C 。 A、评价模型优劣的唯一标准是实践检验。 B、模型误差是可以避免的。 C、生态模型属于按模型的应用领域分的模型。 D、白箱模型意味着人们对原型的内在机理了解不清楚。 7、力学中把 A 的量纲作为基本量纲。 A、质量、长度、时间 B、密度、时间、长度 C、质量、密度 D、时间、长度 8、下列说法错误的有 B 。 A、评价模型优劣的唯一标准是实践检验。 B、模型误差是可以避免的。 C、生态模型属于按模型的应用领域分的模型。 D、白箱模型意味着人们对原型的内在机理了解清楚。 9、建立数学模型的方法和步骤有ABCDE。 A、模型假设。 B、模型求解。 C、模型构成。 D、模型建立。 E、模型分析。 10、模型按照替代原型的方式可以简单分为AB。 A、形象模型 B、抽象模型 C、生态模型 D、白箱模型 11、形象模型可以具体分为ABC。 A.直观模型B、物理模型C、分子结构模型等； 12、抽象模可以具体分为ABC。 A 思维模型B符号模型C数学模型D分子结构模型 13建模的一般原则为ABCD。 A目的性原则B简明性原则C真实性原则D全面性原则； 14 模型的结构大致分为ABC。 A、灰箱模型 B、白箱模型 C、黑箱模型 15 A、建立递阶层次结构模型； B、构造出各层次中的所有判断矩阵； C、层次单排序及一致性检验； D、层次总排序及一致性检验。 16、运用层次分析法建模,递阶层次的建立分为：ABC。 A、最高层目标层 B、中间层准则层 C、最底层措施层 D、最底层方案层
数学建模习题与答案课后习题
第一部分课后习题 1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。 （2）2.1节中的Q值方法。 （3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。 如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。 （4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。 2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。 （1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。 （2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w 的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。 3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部 只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）： 先用机理分析建立模型，再用数据确定参数 4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角 应 多大（如图）。若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。如果管道是其他形状呢。
数学建模典型例题
一、人体重变化 某人的食量是10467焦/天，最基本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/天。每天的体育运动消耗热量大约是69焦/（千克?天）乘以他的体重（千克）。假设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效，而1千克脂肪含热量41868焦。试研究此人体重随时间变化的规律。 一、问题分析 人体重W（t）随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的，假设人体重随时间的变化是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间内体重W的变化值列出微分方程。 二、模型假设 1、以脂肪形式贮存的热量100%有效 2、当补充能量多于消耗能量时，多余能量以脂肪形式贮存 3、假设体重的变化是一个连续函数 4、初始体重为W0 三、模型建立 假设在△t时间内： 体重的变化量为W（t+△t）-W(t)； 身体一天内的热量的剩余为（10467-5038-69*W（t）） 将其乘以△t即为一小段时间内剩下的热量； 转换成微分方程为：d[W(t+△t)-W(t)]=(10467-5038-69*W(t))dt； 四、模型求解 d(5429-69W)/(5429-69W)=-69dt/41686 W(0)=W0 解得： 5429-69W=（5429-69W0）e(-69t/41686) 即： W（t）=5429/69-（5429-69W0）/5429e(-69t/41686) 当t趋于无穷时，w=81; 二、投资策略模型 一、问题重述 一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间的最佳方案。5年后，它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。在策划下一个5年计划时，这家公司评估在年i 的开始买进汽车并在年j的开始卖出汽车，将有净成本a ij（购入价减去折旧加上运营和维修成本）ij
D数学建模试题
D数学建模试题 Hessen was revised in January 2021
2004高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“对论文格式的统一要求”） D题公务员招聘 我国公务员制度已实施多年，1993年10月1日颁布施行的《国家公务员暂行条例》规定：“国家行政机关录用担任主任科员以下的非领导职务的国家公务员，采用公开考试、严格考核的办法，按照德才兼备的标准择优录用”。目前, 我国招聘公务员的程序一般分三步进行：公开考试（笔试）、面试考核、择优录取。 现有某市直属单位因工作需要，拟向社会公开招聘8名公务员，具体的招聘办法和程序如下： （一）公开考试：凡是年龄不超过30周岁，大学专科以上学历，身体健康者均可报名参加考试，考试科目有：综合基础知识、专业知识和“行政职业能力测验”三个部分，每科满分为100分。根据考试总分的高低排序按1:2的比例（共16人）选择进入第二阶段的面试考核。 （二）面试考核：面试考核主要考核应聘人员的知识面、对问题的理解能力、应变能力、表达能力等综合素质。按照一定的标准，面试专家组对每个应聘人员的各个方面都给出一个等级评分，从高到低分成A/B/C/D四个等级，具体结果见表１所示。 （三）由招聘领导小组综合专家组的意见、笔初试成绩以及各用人部门需求确定录用名单,并分配到各用人部门。 该单位拟将录用的8名公务员安排到所属的7个部门，并且要求每个部门至少安排一名公务员。这7个部门按工作性质可分为四类：(1)行政管理、 (2)技术管理、(3)行政执法、(4)公共事业。见表2所示。 招聘领导小组在确定录用名单的过程中，本着公平、公开的原则，同时考虑录用人员的合理分配和使用，有利于发挥个人的特长和能力。招聘领导小组将7个用人单位的基本情况（包括福利待遇、工作条件、劳动强度、晋升机会和学习深造机会等）和四类工作对聘用公务员的具体条件的希望达到的要求都向所有应聘人员公布（见表2）。每一位参加面试人员都可以申报两个自己的工作类别志愿（见表1）。请研究下列问题： （1）如果不考虑应聘人员的意愿，择优按需录用，试帮助招聘领导小组设计一种录用分配方案； （2）在考虑应聘人员意愿和用人部门的希望要求的情况下，请你帮助招聘领导小组设计一种分配方案； （3）你的方法对于一般情况，即N个应聘人员M个用人单位时，是否可行 (4) 你对上述招聘公务员过程认为还有哪些地方值得改进，给出你的建议。 表１：招聘公务员笔试成绩，专家面试评分及个人志愿
数学建模题目及答案
09级数模试题 1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。（15分） 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很 可能是否定的。 因此对这个问题我们假设： （1）地面为连续曲面 （2）长方形桌的四条腿长度相同 （3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设 条件成立，那么答案是肯定的。以长方 桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图 所示，方桌的四条腿分别在A、B、C、D 处，A、、D的初始位置在与x轴平行，再 假设有一条在x轴上的线,则也与A、B，C、D平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线与x轴的夹角记为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令() fθ为A、B离地距离之和，
()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。由假设（1）， ()f θ,()g θ均为θ的连续函数。又由假设（3） ，三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（?θ）。不妨设(0)0f =(0)0g >（若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为： 已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。 证明：当θ=π时，与互换位置，故()0f π>，()0g π=。作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。又由于00()()0f g θθ=，故必有00()()0f g θθ==，证毕。 2.学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分） 解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员数为x 人，B 宿舍的委员数为y 人，C 宿舍的委员数为z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。 则 10； 10=235/1000；
数学建模习题
4 美术馆悬挂着一副高h 的画，画的下边比一个观众的眼睛高d ，这个观众站在距离墙多 远的距离才是最佳视角？ 假设：人与墙的距离为x x d = αtan x h d += +)tan(βα ))tan((tan αβαβ-+= α βαα βαt a n )t a n (1t a n )t a n (?++-+= x h d x d x h +?+= 1 x h d d x h )(+?+ = ∵ab b a 2≥+ 当b a =时 ab b a 2=+ ∴) (2tan h d d h +?= β
8. 细菌生长繁殖速度之快、以及数量之大是难以琢磨的．而有些细菌是有益的、更多 的是疾病之源．下面记录了某种细菌的繁殖数据，研究： （1）开始时细菌的个数是多少？ （2）如果细菌以过去的速度继续增长，一个月后细菌的个数是多少？ 细菌繁殖过程记录数据表1-2 假设：（1），一个月是30天，天数为x，开始时细菌的个数为k。 （2），细菌的生长环境（包括温度，湿度，空气含量等）保持不变；细菌在生长过程中没有大量死亡的特殊情况； x （1） y* e k 由上表公式得出开始时细菌的个数约是401个 带入公式（1）算出一个月后细菌的个数：
30 0.1969456 * y 401.573190 * 82 e 得出一个月后细菌的个数约是65266个。
2． 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种想象了吗.比如洁银牙膏50克装的每支1.50元,120克装的每支3.00元,二者单位的重量的价格比是1.2:1,试用比例方法构造模型解释这个现象. （1）分析商品的价格C 与商品重量W 的关系.价格由生产成本、包装成本和其它成本等决定，这些成本中有的与重量W 成正比，有的与表面积成正比，还有与W 无关的因素。 (2)给出单位重量价格C 与W 的关系。画出它的简图，说明W 越大C 越小，但是随着W 的增加C 减小的程度变小。解释实际意义是什么。 （1） 假设：商品几何相似相对长度为L ，质量为W ，体积为V ，表面积为S 。 因为：生产成本与重量W 成正比，与体积V 成正比，与长度3 L 成正比。 包装成本与表面积S 成正比，与长度2 L 成正比，与体积32V 成正比，与重量3 2W 成正比。 所以：33 221k w k w k C ++= 又∵w C c = ∴133 121--++=w k w k k c ( 321,,k k k 为大于零的常数) （2） 单位重量价格： w c C = ∵ 2 334 23 1----='w k w k c ＞0 3337 229 4 --+=''w k w k c ＞0 ∴图像为单调递减且上凹。
数学建模课后习题答案
第一章 课后习题6. 利用1.5节药物中毒施救模型确定对于孩子及成人服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量。 解：假设病人服用氨茶碱的总剂量为a ，由书中已建立的模型和假设得出肠胃中的药量为： )()0(mg M x = 由于肠胃中药物向血液系统的转移率与药量)(t x 成正比，比例系数0>λ，得到微分方程 M x x dt dx =-=)0(,λ（1） 原模型已假设0=t 时血液中药量无药物，则0)0(=y ，)(t y 的增长速度为x λ。由于治疗而减少的速度与)(t y 本身成正比，比例系数0>μ，所以得到方程： 0)0(,=-=y y x dt dy μλ（2） 方程（1）可转换为：t Me t x λ-=)( 带入方程（2）可得：)()(t t e e M t y λμμ λλ ----= 将01386=λ和1155.0=μ带入以上两方程，得： t Me t x 1386.0)(-= )(6)(13866.01155.0---=e e M t y t 针对孩子求解，得： 严重中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 87.494=； 致命中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 8.4694= 针对成人求解： 严重中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 83.945= 致命时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 74.1987= 课后习题7. 对于1.5节的模型，如果采用的是体外血液透析的办法，求解药物中毒施救模型的血液用药量的变化并作图。
解：已知血液透析法是自身排除率的6倍，所以639.06==μu t e t x λ-=1100)(，x 为胃肠道中的药量，1386.0=λ )(6600)(t t e e t y λμ---= 1386.0,639.0,5.236)2(,1100,2,====≥-=-λλλu z e x t uz x dt dz t 解得：()2,274.112275693.01386.0≥+=--t e e t z t t 用matlab 画图: 图中绿色线条代表采用体外血液透析血液中药物浓度的变化情况。 从图中可以看出，采取血液透析时血液中药物浓度就开始下降。T=2时，血液中药物浓度最高，为236.5；当z=200时，t=2.8731，血液透析0.8731小时后就开始解毒。 第二章 1.用 2.4节实物交换模型中介绍的无差别曲线的概念，讨论以下的雇员和雇主之间的关系： 1）以雇员一天的工作时间和工资分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差别曲线族的示意图，解释曲线为什么是那种形状； 2）如果雇主付计时费，对不同的工资率画出计时工资线族，根据雇员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族，讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议； 3）雇员和雇主已经达成了协议，如果雇主想使用雇员的工作时间增加到t 2，他有两种
数学建模例题及解析
。 例１差分方程—-资金的时间价值 问题1：抵押贷款买房——从一则广告谈起 每家人家都希望有一套(甚至一栋)属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下，这就产生了贷款买房的问题。先看一下下面的广告（这是1991年1月1日某大城市晚报上登的一则广告）,任何人看了这则广告都会产生许多疑问,且不谈广告中没有谈住房面积、设施等等,人们关心的是：如果一次付款买这栋房要多少钱呢?银行贷款的利息是多少呢？为什么每个月要付12０0元呢？是怎样算出来的?因为人们都知道,若知道了房价(一次付款买房的价格），如果自己只能支付一部分款,那就要把其余的款项通过借贷方式来解决,只要知道利息，就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按时还清贷款了,从而也就可以对是否要去买该广告中所说的房子作出决策了。现在我们来进行数学建模。由于本问题比较简单无需太多的抽象和简化。 a。明确变量、参数，显然下面的量是要考虑的： 需要借多少钱，用记; 月利率(贷款通常按复利计）用R记； 每月还多少钱用x记; 借期记为N个月。 b.建立变量之间的明确的数学关系。若用记第k个月时尚欠的款数,则一个月后（加上利息后)欠款 , 不过我们又还了x元所以总的欠款为 ｋ=0，1，２，３， 而一开始的借款为.所以我们的数学模型可表述如下 (1) c. （1)的求解。由
（2）这就是之间的显式关系。 d.针对广告中的情形我们来看（１）和（2）中哪些量是已知的。Ｎ=5年=60个月，已知;每月还款x＝１20０元，已知Ａ.即一次性付款购买价减去７０000元后剩下的要另外去借的款，并没有告诉你，此外银行贷款利率Ｒ也没告诉你,这造成了我们决策的困难.然而,由（2）可知6０个月后还清,即,从而得 (3） A和x之间的关系式，如果我们已经知道银（３)表示Ｎ=6０,x=1２00给定时0 A。例如，若Ｒ=0．01,则由(3)可算得行的贷款利息R，就可以算出0 5３94６元。如果该房地产公司说一次性付款的房价大于70０0０十53946＝12３946元的话，你就应自己去银行借款。事实上，利用图形计算器或Maｔheｍａtiｃa这样的 数学软件可把（3）的图形画出来,从而可以进行估算决策。以下我们进一步考虑下面两个问题。 注1问题1标题中“抵押贷款”的意思无非是银行伯你借了钱不还，因而要你用某种不动产（包括房子的产权）作抵押，即万一你还不出钱了，就没收你的不动产。 例题１某高校一对年青夫妇为买房要用银行贷款６000０元，月利率0.01，贷款期25年=300月，这对夫妇希望知道每月要还多少钱，25年就可还清。假设这对
安农大数学建模期末考试复习资料
1、设某种新产品要推向市场，t 时刻产品销售增长率与销售量x （t ）成正比，设市场容量为N ，试确定产品销售增长曲线。 设有某种新产品要推向市场，t 时刻的销量为x(t),由于产品良好性能，每个产品都是一个宣传品，因此，t 时刻产品销售的增长率t x d d 与x(t)成正比，同时，考虑到产品销售存在一定的市场容量N ，统计表明t x d d 与尚未购买该产品的潜在顾客的数量N=x(t)也成正比，于是有 t x d d =kx(N=x)， (104 3) 其中k 为比例系数，分离变量积分，可以解得 x(t)= kNt C N -+e 1 (10 44) 方程(104 3)也称为逻辑斯谛模型，通解表达式(10 4 4)也称为逻辑斯谛曲线． 由 t x d d =() 2 21kNt kNt C k CN --+e e 以及 22t x d d =() 3231) 1(kNt kNt kNt C C k CN ---+-e e e ， 当x(t*)＜N 时，则有t x d d ＞0，即销量x(t)单调增加．当x(t*) 2N 时，22t x d d 0;当x(t*) ＞2N 时，22t x d d ＜0；当x(t*)＜2N 时，22t x d d ＞0．即当销量达到最大需求量N 的一半时，产品最为畅销，当销量不足N 一半时，销售速度不断增大，当销量超过一半时，销售速度逐渐减小． 国内外许多经济学家调查表明，许多产品的销售曲线与公式(1044)的曲线十分接近，根据对曲线性状的分析，许多分析家认为，在新产品推出的初期，应采用小批量生产并加强广告宣传，而在产品用户达到20%到80%期间，产品应大批量生产，在产品用户超过80%时，应适时转产，可以达到最大的经济效益． 2、一个人为了积累养老金，他每月按时到银行存A 元，银行的年利率为r ，且可以任意分段按复利计算，试问此人在5年后共积累多少养老金？ 解：（1）设月利率为r ，按月按复利进行计算， 第一个月存款所得的复利终值为1F =60 )1(100r +; 第二个月存款所得的复利终值为2F =59)1(100r +； 第三个月存款所得的复利终值为3F =58)1(100r +；
数学建模小题库
数学模型选修课考查题 1、某甲早8:00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5:00到达山顶并留宿。次日早8:00沿同一路径下山，下午5:00回到旅店。某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。为什么？ 2、如图，用宽ω的布条缠绕直径d 的圆柱形管 道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹 角α应多大？若知道管道长度l ，需用多长布 条（可考虑两端的影响）？如果管道是其它形 状（如截面是6边形，椭圆等等）呢？ 3、建立不允许缺货的生产销售存贮模型。设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，k r <。在每个生产周期T 内，开始的一段时间（00t T <<）一边生产一边销售，后 来的一段时间（0T t T <<）只销售不生产，画出贮存量()q t 的图形。设每次生产准备费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，以总费用最小为目标确定最优生产周期。 讨论k r 和k r ≈的情况。 4、某公司将4种不同含硫量的液体原料（分别记为甲、乙、丙、丁）混合生产两种产品（分别记为A ，B ）。按照生产工艺的要求，原料甲、乙、丁必须首先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别与原料丙混合生产A ，B 。已知原料甲、乙、丙、丁的含硫量分别是3,1,2,1（%），进货价格分别为6,16,10,15（千元/吨）；产品A ，B 的含硫量分别不能超过2.5,1.5（%），售价分别为9,15（千元/吨）。根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应没有限制，原料丁的供应量最多为50吨；产品A ，B 的市场需求量分别为100吨、200吨。问应如何安排生产？ 5、用层次分析法解决一个实际问题，可参考下列问题： （1） 学校评选优秀学生或优秀班级，试给出若干准则，构造层次结构模型。可分 为相对评价和绝对评价两种情况讨论。 （2） 你要购置一台个人电脑，考虑功能、价格等的因素，如何做出决策。 （3） 为大学毕业的青年建立一个选择志愿的层次结构模型。 （4） 你的家乡准备集资兴办一座小型饲养场，是养猪，还是养鸡、养鸭、养兔……
数学建模试题(带答案)
数学建模试题（带答案） 第一章 4.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为长方形，其余不变。试构造模型并求解。 答：相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为)()(a g a f 和。f 和g 都是连续函数。椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的a ，)()(a g a f 和中至少有一个不为零。不妨设0)0(,0)0(g >=f 。当椅子旋转90°后，对角线互换， 0π/2)(,0)π/2(>=g f 。这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地。就归结为证 明如下的数学命题： 已知a a g a f 是和)()(的连续函数，对任意0)π/2()0(,0)()(,===?f g a g a f a 且， 0)π/2(,0)0(>>g f 。证明存在0a ，使0)()(00==a g a f 证：令0)π/2(0)0(),()()(<>-=h h a g a f a h 和则， 由g f 和的连续性知h 也是连续函数。 根据连续函数的基本性质， 必存在0a （0＜0a ＜π/2）使0)(0=a h ，即0)()(00==a g a f 因为0)()(00=?a g a f ，所以0)()(00==a g a f
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第二章 7. 10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。
第三章 5.根据最优定价模型 考虑成本随着销售量的增加而减少，则设 kx q x q -=0)( (1)k 是产量增加一个单位时成本的降低 ， 销售量x 与价格p 呈线性关系0,,>-=b a bp a x (2) 收入等于销售量乘以价格p :px x f =)( (3) 利润)()()(x q x f x r -= (4) 将（1）（2）（3）代入（4）求出 ka q kbp pa bp x r --++-=02)( 当k q b a ,,,0给定后容易求出使利润达到最大的定价*p 为 b a kb ka q p 2220*+--= 6.根据最优定价模型 px x f =)( x 是销售量 p 是价格，成本q 随着时间增长，ββ,0t q q +=为增长率，0q 为边际成本（单位成本）。销售量与价格二者呈线性关系0,,>-=b a bp a x . 利润)()()(x q x f x u -=.假设前一半销售量的销售价格为1p ，后一半销售量的销售价格为2p 。 前期利润 dt bp a t q p p u T ))](([)(12 /011--=? 后期利润 dt bp a t q p p u T T ))](([)(22/22--=? 总利润 )()(21p u p u U += 由 0,02 1=??=??p U p U 可得到最优价格: )]4([2101T q b a b p β++= )]4 3([2102T q b a b P β++=
数学建模复习资料
关于2012数学建模的学习 一、数据收集 数据的间接来源：如果与研究内容有关的原信息已经存在，我们只是对这些原信息重新加工、整理，使之成为我们进行统计分析可以使用的数据，则把它们称为间接来源的数据。从搜集的范围看，这些数据可以取自系统外部，也可以取自系统内部。数据取自系统外部的主要渠道有；统计部门和各级政府部门公布的有关资料，如定期发布的统计公报，定期出版各类统计年鉴；各类经济信息中心、信息咨询机构、专业调查机构、各行业协会和联合会提供的市场信息和行业发展的数据情报；各类专业期刊、报纸、书籍所提供的文献资料；各种会议，如博览会、展销会、交易会及专业性、学术研讨会上交流的有关资料；从互联网或图书馆查阅到的相关资料等等。取自系统内部的资料，如果就经济活动而言，则主要包括业务资料，如与业务经营活动有关的各种单据、记录；经营活动过程中的各种统计报表，各种财务、会计核算和分析资料等。 数据的直接来源： （1）通过调查方法获得数据 调查数据方法：随机抽样调查、分层抽样调查、系统抽样调查 收集数据的方法：问卷、面访、电话、 收集数据应考虑的几个问题：1、抽样框中的有关信息 2、目标总体的先后 3、调查问题的内容 4、有形辅助物的使用 5、实施调查的资源 6、管理与控制 7、质量要求
（2）通过实验方法获利数据 实验方法获得数据要注意控制变量法的应用，实验过程中会遇到一些问题如人的意愿、心理问题、道德问题，实验获得数据还要考虑采用好的统计方法 二、数据分析 1、图表展示分析数据，根据图表可以直观地看出数据分布情况及走势。（统计图：表格、条形统计图、拆线统计图、扇形统计图、频数分析直方图、频率分布直方图） 2、数学参数分析数据 集中程度：平均数、中位数、众数（即出现次数最多的，在一定 程度上可以代表一组数据，异众比率（总数 众数 - =1v ）能够说明众数是否准确刻画整组数据，比率大则可以用众数代表整组数据） 离散程度：异众比率、方差、标准差、极差 分布形状：偏态SK （偏态是对数据分布对称性的测度： () ()()是样本标准差的三次方33 321s s n n x x n SK i ---= ∑，如果一组数据的分布是 对称的，则偏态系数等于0；如果偏态系数明显不等于0，表明分布是非对称的。若偏态系数大于1或小于-1，被称为高度偏态分布；若偏态系数在0.5～1或-1～-0.5之间，被认为 是中等偏态分布；偏态系数越接近0，偏斜程度就越低）、峰态K （峰态是刻画平峰或尖峰程度的测度峰态通常是与标准正态分布相比较而方的。如果一组数据服从标准正态分布，则峰态系数的值等于0；若峰态系数的值明显不
数学建模期末复习
一、 线性规划 1．求解下列线性规划问题： 共20分 max z=2x 1+7x 2-3 x 3 x 1+3x 2+4x 3≤30 （第一种资源限制约束） x 1+4x 2- x 3≤10 （第二种资源限制约束） x 1、x 2、x 3≥0 （1） 求出该问题的最优解和最优值； （2） 第二种资源限量由10变为20，最优解是否改变；若改变请求出新的最优解； （3） 增加一个新变量x 6，其目标函数系数为3，技术消耗系数为??? ? ??=???? ??212616a a ，最优解是否改变；若改变请求出新的最优解。 解：（1）lingo 程序 max =2*x1+7*x2-3*x3; x1+3*x2+4*x3<=30; x1+4*x2-x3<=10; 最优解（x1 x2 x3）=（10 0 0） 最优值=20 （2） max =2*x1+7*x2-3*x3; x1+3*x2+4*x3<=30; x1+4*x2-x3<=20; 最优解（x1 x2 x3）=（20 0 0） 最优值=40 或对第一题进行灵敏度分析(第二种资源限量可以在0到30范围内变化， 最优基解不变最优解（x1 x2 x3）=（20 0 0）最优值=40) （3）max =2*x1+7*x2-3*x3+3*x4; x1+3*x2+4*x3+x4<=30; x1+4*x2-x3+2*x4<=10; 求解得到 最优解（x1 x2 x3 x4）=（10 0 0 0） 最优值=20 2．某校基金会有一笔数额为5000万元的基金，打算将其存入银行。当前银行存款的利率见下表2。取款政策与银行的现行政策相同，定期存款不提前取，活期存款可任意支取。 校基金会计划在5年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在5年末仍保留原基金数额。校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。请你帮助校基金会设计一个基金最佳使用方案，试建立其模型。（15分）
数学建模知识竞赛题库
数学建模知识竞赛题库 1.请问计算机中的二进制源于我国古代的哪部经典? D A.《墨经》 B.《诗经》 C.《周书》 D.《周易》 2.世界上面积最大的高原是？D A.青藏高原 B.帕米尔高原 C.黄土高原 D.巴西高原 3.我国海洋国土面积约有多少万平方公里? B A.200 B.300 C.280 D.340 4.世界上面值最高的邮票是匈牙利五百亿彭哥，它的图案是B A.猫 B.飞鸽 C.海鸥 D.鹰 5. 龙虾是我们的一种美食、你知道它体内的血是什么颜色的吗？B A.红色 B.蓝色 C.灰色 D.绿色 6.MATLAB使用三维向量[R G B]来表示一种颜色，则黑色为（D ） A. [1 0 1] B. [1 1 1] C. [0 0 1] D. [0 0 0] 7.秦始皇之后，有几个朝代对长城进行了修葺？ A A.7个 B.8个 C.9个 D.10个 8.中国历史上历时最长的朝代是？A A.周朝 B.汉朝 C.唐朝 D.宋朝 9我国第一个获得世界冠军的是谁？C A 吴传玉 B 郑凤荣 C 荣国团 D 陈镜开 10.我国最早在奥运会上获得金牌的是哪位运动员？B A.李宁 B.许海峰 C.高凤莲 D.吴佳怩
11.围棋共有多少个棋子？B A.360 B.361 C.362 D.365 12下列属于物理模型的是:A A水箱中的舰艇 B分子结构图 C火箭模型 D电路图 13名言：生命在于运动是谁说的？C A.车尔尼夫斯基 B.普希金 C.伏尔泰 D.契诃夫 14.饱食后不宜剧烈运动是因为B A.会得阑尾炎 B.有障消化 C.导致神经衰弱 D.呕吐 15、MATLAB软件中，把二维矩阵按一维方式寻址时的寻址访问是按（B）优先的。 A.行 B.列 C.对角线 D.左上角16红军长征中，哪次战役最突出反应毛泽东的军事思想和指挥才?A A.四渡赤水B.抢渡大渡河C.飞夺泸定桥D.直罗镇战役 17色盲患者最普遍的不易分辨的颜色是什么？A A.红绿 B.蓝绿 C.红蓝 D.绿蓝 18下列哪种症状是没有理由遗传的？ A.精神分裂症 B.近视 C.糖尿病 D.口吃 19下面哪个变量是正无穷大变量？（A ）