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奥数-抽屉原理;容斥原理--习题

奥数-抽屉原理;容斥原理--习题
奥数-抽屉原理;容斥原理--习题

课后作业

9.一个班的52人都在做语文和数学作业。有32人做完了语文作业,有35人做完了数学作业。语文、数学作业都做完的有多少人?

10.某校的每个学生至少爱体育和文娱中的一种活动。已知有900人爱好体育活动,有850人爱好文娱活动,其中260人两种活动都爱好。这个学校共有学生多少人?

11.五年级有250人,其中参加象棋组的有83人,参加乒乓球组的有86人,这两个小组都参加的有25人。两个小组都不参加的有多少人?

12.五一小学举行小学生田径运动会,其中24名运动员不是六年级的,28名运动员不是五年级的,已知五、六年级运动员共有32名,求五、六年级和中低年级运动员各有多少名?

13.40人都在做加试的两道题,并且至少做对了其中的一题。已知做对第一题的有30人,做对第二题的有21人。只做对第一题的有多少人?

14.某班有50名学生,在一次测验中有26人满分,在第二次测验中有21人满分。如果两次测验都没得过满分的学生有17人,那么,两次测验都得满分的有多少人?

15.全班46名同学,仅会打乒乓球的有28人,会打乒乓球又会打羽毛球的有10人,不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人。仅会打羽毛球的有多少人?

小学奥数:抽屉原理(含答案)

教案 抽屉原理 1、概念解析 把3个苹果任意放到两个抽屉里,可以有哪些放置的方法呢?一个抽屉放一个,另一个抽屉放两个;或3个苹果放在某一个抽屉里.尽管放苹果的方式有所不同,但是总有一个共同的规律:至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.如果把5个苹果任意放到4个抽屉里,放置的方法更多了,但仍有这样的结果.由此我们可以想到,只要苹果的个数多于抽屉的个数,就一定能保证至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.道理很简单:如果每个抽屉里的苹果都不到两个(也就是至多有1个),那么所有抽屉里的苹果数的和就比总数少了.由此得到: 抽屉原理:把多于n个的苹果放进n个抽屉里,那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。 如果把苹果换成了鸽子,把抽屉换成了笼子,同样有类似的结论,所以有时也把抽屉原理叫做鸽笼原理.不要小看这个“原理”,利用它可以解决一些表面看来似乎很难的数学问题。 比如,我们从街上随便找来13人,就可以断定他们中至少有两个人属相(指鼠、牛、虎、兔、…等十二种生肖)相同.怎样证明这个结论是正确的呢?只要利用抽屉原理就很容易把道理讲清楚.事实上,由于人数(13)比属相数(12)多,因此至少有两个人属相相同(在这里,把13人看成13个“苹果”,把12种属相看成12个“抽屉”)。 应用抽屉原理要注意识别“抽屉”和“苹果”,苹果的数目一定要大于抽屉的个数。 2、例题讲解 例1 有5个小朋友,每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明,这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。 例2 一副扑克牌(去掉两张王牌),每人随意摸两张牌,至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的? 例3 从2、4、6、…、30这15个偶数中,任取9个数,证明其中一定有两个数之和是34。

完整版小学四年级奥数容斥问题

容斥问题涉及到一个重要的原理一一包含与排除原理,也称为容斥原理,即当两个计数部分有重复包含时,为了不重复地计数,应从它们的和中排除重复部分。 这一讲我们先介绍容斥原理1对n个事物,如果采用两种不同的分类标准:按性质a分 类与性质b分类(如图1),那么,具有性质a或性质b的事物的个数=Na+Nb-Nad 例1?一个班有55名学生,订阅《小学生数学报》的有12人,订阅《今日少年报》的 有9人,两种报纸都订阅的有5人。(1)订阅报纸的总人数有多少?(2)两种报纸都没订阅的有多少人? 例2?一个旅行社有36人,其中会英语的有24人,会俄语的有18人,两样都不会的有4人,两样都会的有多少人? 例3.在1到100的全部自然数中,既不是6的倍数也不是5的倍数的数有多少个? 例4?艺术节那天,学校的画廊里展了了每个年级学生的图画作品,其中有23幅画不是五年级的,有21幅画不 是六年级的,五、六年级参展的画共有8幅。其他年级参展的画共有多少幅? 练习与思考 1?将边长分别为4厘米和5厘米的正方形纸片部分重叠,盖在桌面上(如图6),已知重叠的部 分为9平方厘米,两块正方形纸片盖住桌面的总面积是多少平方厘米? 2 . 二(2)班有50名学生,下课后每人都至少做完了一门作业,其中做完语文作业的有35人,做完数学作业的 有40人,两种作业都做完的有多少人? 3.有62名学生,其中会弹钢琴的有11名,会吹竖笛的有56名,两样都不会的有4名,两样都会的有多少名? 4 ?某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛,作文比赛获奖的有14人,数学比赛获奖的有12人,有3 人两项比赛都获奖的,两项比赛都没获奖的有多少人? 5 ?四(1)班有40个学生,其中有25人参加数学小组,23人参加航模水组,有19人两个小组都参加了,那么,有多少人两个小组都没有参加? 6 ?在一次数学测验中,所有同学都答了第1、2两题,其中答对第1题的有35人,答对第2题的有28人,这两 题都答对的有20人,没有人两题都答错。一共有多少人参加了这次数学测验? 7 ?一个俱乐部里,会下中国象棋的有69人,会下国际象棋的有52人,这两种棋都不会下的有12人,都会下的有30人。这个俱乐部里有多少人? 8 ?某班上体育课,全班排成4行(每行的人数相等),小芳排的位置是:从前面数第6个,从后面数第7个。这 个班共有多少名学生? 9.在1到200的全部自然数中,既不是8的倍数也不是5的倍数的数有多少个? 10?科技节那天,学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品,其中有114件不是一年级的,有96件不是 二年级的,一、二年级参展的作品共32件。其他年级参展的作品共有多少件?

小学奥数 容斥原理之重叠问题(二) 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容; 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用. 一、两量重叠问题 在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算.求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成:A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”,相当于中文“和”或者“或”的意思;符号“”读作“交”,相当于中文“且”的意思.)则称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理.图示如下:A 表示小圆部分,B 表示大圆部分,C 表示大圆与小圆的公共部分,记为:A B ,即阴影面积.图示如下:A 表示小圆部分,B 表示大圆部分,C 表示大圆与小圆的公共部分,记为:A B ,即阴影面积. 包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数,可分以下两步进行: 第一步:分别计算集合A B 、的元素个数,然后加起来,即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来,加在一起); 第二步:从上面的和中减去交集的元素个数,即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数). 二、三量重叠问题 A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数.用符号表示为:A B C A B C A B B C A C A B C =++---+.图示如下: 教学目标 知识要点 7-7-2.容斥原理之重叠问题(二) 1.先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次,多加了1次; A B A B +-1 A B 图中小圆表示A 的元素的个数,中圆表示B 的元素的个数, C 1.先包含:A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次, 多加了1次. 2.再排除:A B C A B B C A C ++--- A B C 3A B C ++-

小学奥数专题 抽屉原理

小升初奥数专题 抽屉原理(1) 一、抽屉原理(1)知识引入 【例1】将三本书放入两个抽屉,有几种放法? 从上述的表格中我们可以发现:至少有一个抽屉放了两本或两本以上的书。这就是抽屉原理的体现。 把m 个物体,任意放进() n m n n 2≤<只抽屉,则其中一定有一直抽屉里至少有2个物体;有1+n 个物体,任意放进n 只抽屉里,则其中一定有一只抽屉里至少有两个物体。因为运用抽屉原理解题时,往往要从最不利(极端)的情况去考虑,所以抽屉原理也叫最不利原理。 二、典例分析&随堂演练 【例2】实验小学今年招收学生730人,他们都是同一年出生的。那么至少有几名同学同一天出生? 【从最不巧的情况考虑,一年有366天(闰年),每天都有一个学生出生,则366名学生出生日期都不相同。另有730-366=364个学生,无论他们各在哪天过生日,那么至少有两个学生的生日是同一天。】 随堂练: [1]铅笔盒中有4支圆珠笔和3支钢笔,若从笔盒中随意拿取笔,一次至少拿几只才能保证有一只是钢笔?【一次至少拿5支】 [2]六年级共用学生57人,至少有几人在同一个星期内过生日?【一年有52个星期余1天或2天,57÷52=1……4,至少有2人在同一星期内过生日。】 【例3】在一条长100米的小路旁种102棵树苗,你能说明不管怎样种,至少还有两棵树苗之间的距离不超过1米吗?【将100米平均分成100段,每段长1米,两头都栽一共可栽101棵树苗。现在要栽102棵树苗,至少有两棵树苗栽在同一段中,这一段会有两棵树苗之间的距离小于1米,也就是不超过1米。】 随堂练: [3]一个阳台长10米,要摆放12盆花,不管怎样放,会有两盆花的距离不超过一米吗? 【把10米平均分成10份,每份是1米,两头都放,正好放11盆,每两盆之间的距离正好是1米。现在有12盆花,这样一定会在1份中放两盆花,就会有两盆花的距离小于1米。】 [4]体育室有篮球、足球和排球各7个。现有7名学生来借球,每人任意借走两个,会有两名学生借的球相同吗?【借的球只有6种情况:篮球篮球,足球足球,排球排球,篮球足球,篮球排球,足球排球。故7个人来借球,至少有两个人借的球是相同的。】

小学奥数竞赛专题训练之抽屉原理

小学奥数竞赛专题训练之抽屉原理 竞赛专题选讲囊括了希望杯、华罗庚金杯、走进美妙的数学花园、EMC、全国小学数学联赛和数学解题能力展示等在内的国内主要数学竞赛的精华试题 [专题介绍] 把4只苹果放到3个抽屉里去,共有4种放法(请小朋友们自己列举),不论如何放,必有一个抽屉里至少放进两个苹果。 同样,把5只苹果放到4个抽屉里去,必有一个抽屉里至少放进两个苹果。 …… 更进一步,我们能够得出这样的结论:把n+1只苹果放到n个抽屉里去,那么必定有一个抽屉里至少放进两个苹果。这个结论,通常被称为抽屉原理。 利用抽屉原理,可以说明(证明)许多有趣的现象或结论。不过,抽屉原理不是拿来就能用的,关键是要应用所学的数学知识去寻找“抽屉”,制造“抽屉”,弄清应当把什么看作“抽屉”,把什么看作“苹果”。 [经典例题] 【例1】一个小组共有13名同学,其中至少有2名同学同一个月过生日。为什么? 【分析】每年里共有12个月,任何一个人的生日,一定在其中的某一个月。如果把这12个月看成12个“抽屉”,把13名同学的生日看成13只“苹果”,把13只苹果放进12个抽屉里,一定有一个抽屉里至少放2个苹果,也就是说,至少有2名同学在同一个月过生日。 【例2】任意4个自然数,其中至少有两个数的差是3的倍数。这是为什么? 【分析与解】首先我们要弄清这样一条规律:如果两个自然数除以3的余数相同,那么这两个自然数的差是3的倍数。而任何一个自然数被3除的余数,或者是0,或者是1,或者是2,根据这三种情况,可以把自然数分成3类,这3种类型就是我们要制造的3个“抽屉”。我们把4个数看作“苹果”,根据抽屉原理,必定有一个抽屉里至少有2个数。换句话说,4个自然数分成3类,至少有两个是同一类。既然是同一类,那么这两个数被3除的余数就一定相同。所以,任意4个自然数,至少有2个自然数的差是3的倍数。 想一想,例2中4改为7,3改为6,结论成立吗? 【例3】有规格尺寸相同的5种颜色的袜子各15只混装在箱内,试问不论如何取,从箱中至少取出多少只就能保证有3双袜子(袜子无左、右之分)? 【分析与解】试想一下,从箱中取出6只、9只袜子,能配成3双袜子吗?回答是否定的。 按5种颜色制作5个抽屉,根据抽屉原理1,只要取出6只袜子就总有一只抽屉里装2只,这2只就可配成一双。拿走这一双,尚剩4只,如果再补进2只又成6只,再根据抽屉原理1,又可配成一双拿走。如果再补进2只,又可取得第3双。所以,至少要取6+2+2=10只袜子,就一定会配成3双。 思考:1.能用抽屉原理2,直接得到结果吗? 2.把题中的要求改为3双不同色袜子,至少应取出多少只? 3.把题中的要求改为3双同色袜子,又如何? 【例4】一个布袋中有35个同样大小的木球,其中白、黄、红三种颜色球各有10个,另外还有3个蓝色球、2个绿色球,试问一次至少取出多少个球,才能保证取出的球中至少

四年级奥数容斥原理

四年级奥数容斥原理 数学是思维的体操,问题是数学的心脏!四年级(高年级)数学思维训练 第4课包容与排斥——包容与排斥原理 知识点我们以前遇到过这样的问题吗:从左边看,小明排在第8位,从右边看,小明排在第15位,这一排有多少人?这个问题就是小明是否被反复算计了。如果计算结果没有重复且没有遗漏,则需要排除重复计数。这种计数方法是宽容和排斥的原则,也称为重叠问题。要解决这样的问题,我们还可以用韦恩图来分析定量关系小明有1人 8人,15人 。通常,首先计算所有涉及的量,然后排除重叠部分。我们可以计算出不重复和不遗漏的数量:8+15-1=22(人) 经典范例 例1: 4 (2)班有28名中国兴趣小组的参与者,29名数学兴趣小组的参与者,12名两个小组的参与者,这个班有多少人参加过语文或数学兴趣小组? 先画一个维恩图分析定量关系,然后用包含和排除的方法计算

数学变成了一件非常轻松愉快的事情!你发现了吗? - 1- 四年级(高年级)数学思维训练 模仿训练 学校文艺组的每个学生至少能弹一架钢琴和手风琴。众所周知,有24个人会弹钢琴,17个人会拉手风琴,8个人会两种乐器。文艺小组有多少人? 经典示例 示例2:一家餐厅有40道招牌菜,其中妞妞吃了15道,丁丁吃了9道,两个人都吃了4道。有多少招牌菜没有吃过?首先计算他们吃了什么,然后计算他们没吃什么。 模仿练习 在参加采摘活动的46人中,只有18人采摘了樱桃,7人采摘了樱桃和杏子,6人既不摘樱桃也不摘杏子,有多少人采摘了杏子? 数学会让你成为一个好的发现孩子! - 2- 数学是思维的体操,问题是数学的心脏!四年级(高年级)数学思维训练 经典例题

奥数专题之抽屉原理4

奥数专题之抽屉原理4 1、有语文、数学、外语、政治四门课,最少需要几个老师能保证有一个教两门课? 2、红、白、黑、黄、绿五种颜色的球各若干个,最少一次拿多少个就能保证有2个球是同一种颜色的? 3、“六一”儿童节布置会场,学校把48朵鲜花插在9个花瓶里,其中至少有一个花瓶里插了6朵或6朵以上的鲜花,这是什么道理? 4、“六一”儿童节布置会场,学校把鲜花插在9个花瓶里,最少要有多少朵鲜花才能保证至少有一个花瓶里有6朵或6朵以上的鲜花? 5、三年级有90人,图书馆里最少要拿出多少本书就能保证至少有一个同学能借到5本或5本以上的图书? 6、手中有1分、2分、5分三种硬分布,最少要拿出几枚后才能保证至少有三枚的币值是相同的? 7、幼儿园大班的老师把61件玩具分给小朋友玩,要使其中至少有一个小朋友分到了3个玩具或3个以上的玩具,那么最多应有几个小朋友? 8、有黑、白、黄三种颜色的筷子各4根,最少拿出几根就能保证有2双颜色各不相同的筷子?(提示:可以设黑、白、黄3个抽屉,再

实践一下) (1)在一个学校里,任意挑选出25个人,请你证明在这25人中,至少有个人属相相同。 (2)三(2)班图书柜里有图书100本,借给班上35名同学,请你说明一定有一名同学借到3本或3本以上的图书。 (3)幼儿园有50个小朋友,现有玩具240件,把这些玩具分给小朋友,是否一定有人能得到6件或6件以上的玩具? 9、在一米长的线段上任意点六个点。试证明:这六个点中至少有两个点的距离不大于20厘米。 10、在今年入学的一年级新生中有370多人是在同一年出生的。请你证明:他们中至少有两个人是在同一天出生的。 11、夏令营有400个小朋友参加,问:在这些小朋友中, (1)至少有多少人在同一天过生日? (2)至少有多少人单独过生日? (3)至少有多少人不单独过生日? 12、学校举行开学典礼,要沿操场的400米跑道插40面彩旗。试证明:不管怎样插,至少有两面彩旗之间的距离不大于10米。 13、在100米的路段上植树,问:至少要植多少棵树,才能保证至少有两棵之间的距离小于10米?

小学奥数之容斥原理

五.容斥原理问题 1.有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是( ) A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11 解:根据容斥原理最小值68+43-100=11 最大值就是含铁的有43种 2.在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是 解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是( ) A,5 B,6 C,7 D,8 解:根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类:只答第1题,只答第2题,只答第3题,只答第1、2题,只答第1、3题,只答2、3题,答1、2、3题。 分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123 由(1)知:a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123=25…① 由(2)知:a2+a23=(a3+ a23)×2……② 由(3)知:a12+a13+a123=a1-1……③ 由(4)知:a1=a2+a3……④ 再由②得a23=a2-a3×2……⑤ 再由③④得a12+a13+a123=a2+a3-1⑥ 然后将④⑤⑥代入①中,整理得到 a2×4+a3=26 由于a2、a3均表示人数,可以求出它们的整数解: 当a2=6、5、4、3、2、1时,a3=2、6、10、14、18、22 又根据a23=a2-a3×2……⑤可知:a2>a3 因此,符合条件的只有a2=6,a3=2。 然后可以推出a1=8,a12+a13+a123=7,a23=2,总人数=8+6+2+7+2=25,检验所有条件均符。 故只解出第二题的学生人数a2=6人。 3.一次考试共有5道试题。做对第1、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、79%、74%、85%。如果做对三道或三道以上为合格,那么这次考试的合格率至少是多少? 答案:及格率至少为71%。 假设一共有100人考试 100-95=5 100-80=20 100-79=21 100-74=26 100-85=15 5+20+21+26+15=87(表示5题中有1题做错的最多人数)

高斯小学奥数六年级下册含答案第05讲_抽屉原理

第五讲抽屉原理二 本讲知识点汇总: 一、最不利原则:为了保.证.能完成一件事情,需要考虑在最倒霉(最不利)的情况下,如何能 达到目标. 二、抽屉原理: 形式1:把n 1个苹果放到n个抽屉中,一定有2个苹果放在一个抽屉里; 形式2:把m n 1个苹果放到n 个抽屉中,一定有m 1个苹果放在一个抽屉里. 例1.中国奥运代表团的173 名运动员到超市买饮料,已知超市有可乐、雪碧、芬达、橙汁、味全和矿泉水 6 种饮料,每人各买两种不同的饮料,那么至少多少人买的饮料完全相同?「分析」本题的“抽屉”是饮料的选法,“苹果”是1 73名运动员. 练习1、中国奥运代表团的83 名运动员到超市买饮料.超市有可乐、雪碧、芬达和橙汁,每人各买两种不同的饮料,那么至少多少人买的饮料完全相同? 例2.国庆嘉年华共有5项游艺活动,每个学生至多参加2项,至少参加1项.那么至少有多少个学生,才能保证至少有4 个人参加的活动完全相同?「分析」本题的“抽屉”是参加活动的方法. 练习2、高思运动会共有4 个项目,每个学生至多参加3项,至少参加1 项.那么至少有多少个学生,才能保证至少有5 个人参加的活动完全相同?

例3.从1到50这50个自然数中,至少选出多少个数,才能保证其中一定有两个数的和是50? 「分析」思考一下:哪两个数的和是50? 练习3、从1到35这35 个自然数中,至少选出多少个数才能保证其中一定有两个数的和为34? 例4.从1到100这100个自然数中,至少选出多少个数才能保证其中一定有两个数的和是7的倍数?如果要保证是 6 的倍数呢?「分析」两个数的和是7 的倍数,这两个数除以7 的余数要符合什么条件哪? 练习4、从1至99这99 个自然数中任意取出一些数,要保证其中一定有两个数的和是 5 的倍数,至少要取多少个? 例5.至少取出多少个正整数,才能保证其中一定有两个整数的和或差是100 的倍数? 「分析」从余数角度思考一下:什么样的两个数的和或差是100? 例6.在边长为2 的正六边形中,放入50 个点,任意三点不共线,请证明:一定能从中选出三个点,以它们为顶点的三角形面积不大于 「分析」通过把正六边形均分,来构造“抽屉” 1.

四年级奥数讲义容斥原理

四年级数学讲义 奥数:容斥原理(1) 教学目标:1、理解容斥原理,会画图分析其中关系,正确的找出答案。 2、培养学生的逻辑思维和数学思考能力。 3、培养学生良好的书写习惯。 一、教学衔接 二、教学内容 (一)知识介绍 容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理,也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时,为了不重复计数,应从它们的和中排除重复部分。 容斥原理:对n 个事物,如果采用不同的分类标准,按性质a 分类与性质b 分类(如图),那么具有性质a 或性质b 的事物的个数=N a +N b -N ab 。 (二)例题精讲 例1、一个班有48人,班主任在班会上问: “谁做完语文作业?请举手!”有37人举手。又问:“谁做完数学作业?请 举手!”有42人举手。最后问:“谁语文、数学作业都没有做完?”没有人 举手。求这个班语文、数学作 业都完成的人数。 【思路导航】完成语文作业的有37人,完成数学作业的有42人,一共有37+42=79人,多于全班人数。这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次,在统计做完数学作业的人数时又算了一次,这样就多算了一次。所以,这个班语文、数作业都完成的有:79-48=31人。 例2、某班有36个同学在一项测试中,答对第一题的有25人,答对第二题的有23人,两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对? 【分析与解答】已知答对第一题的有25人,两题都答对的有15人,可以求出只答对第一题的有25-15=10人。又已知答对第二题的有23人,用只答对第一题的人数,加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数:10+23=33人。所以,两题都答得不对的有36-33=3人。 例3、某班有56人,参加语文竞赛的有28人,参加数学竞赛的有27人,如果两科都没有参加的有25人,那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人? 【分析与解答】要求两科竞赛同时参加的人数,应先求出至少参加一科竞赛的人数:56-25=31人,再求两科竞赛同时参加的人数:28+27-31=24人。 例4、1到100的自然数中,既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个? 【分析与解答】从1到100的自然数中,减去5或6的倍数的个数。从1到100的自然数中,5的倍数有100÷5=20个,6的倍数有16个(100÷6=16……4),其中既是5的倍数又是6的倍数(即5和6的公倍数)的数有3个(100÷30=3……10)。因此,是6或5的倍数的个数是16+20-3=33个,既不是5的倍 Nab Nb Na

2013高中数学奥数培训资料之容斥原理

2013高中数学奥数培训资料之容斥原理(内部资料) §24容斥原理 相对补集:称属于A而不属于B的全体元素,组成的集合为B对A的相对补集或差集,记作A-B。 容斥原理:以表示集合A中元素的数目,我们有 ,其中为n个集合称为A的阶。 n阶集合的全部子集数目为。 例题讲解 1.对集合{1,2,…,n}及其每一个非空了集,定义一个唯一确定的“交替和”如下:按照递减的次序重新排列该子集,然后交替地减或加后继的数所得的结果,例如,集合 的“交替和”是9-6+4-2+1=6.的“交替和”是6-5=1,的交替和是2。 那么,对于n=7。求所有子集的“交替和”的总和。 2.某班对数学、物理、化学三科总评成绩统计如下:优秀的人数:数学21个,物理19个,化学20个,数学物理都优秀9人,物理化学都优秀7人。化学数学都优秀8人。这个班有5人任何一科都不优秀。那么确定这个班人数以及仅有一科优秀的三科分别有多少个人。 3.计算不超过120的合数的个数

4.1992位科学家,每人至少与1329人合作过,那么,其中一定有四位数学家两两合作过。 5.把个元素的集合分为若干个两两不交的子集,按照下述规则将某一个子集中某些元素 挪到另一个子集:从前一子集挪到后一子集的元素个数等于后一子集的元素个数(前一子集的元素个数应不小于后一子集的元素个数),证明:可以经过有限次挪动,使得到的子集与原集合相重合。 6.给定1978个集合,每个集合都含有40个元素,已知其中任意两个集合都恰有一个公共元,证明:存在一个元素,它属于全部集合。 7.在个元素组成的集合中取个不同的三元子集。证明:其中必有两个,它们恰有一个公共元。

六年级奥数举一反三第30周抽屉原理

六年级奥数举一反三第30周抽 屉原理 专题简析; 在抽屉原理的第【2】条原则中,抽屉中的元素个数随着元素总数的增加而增加,当元素总数达到抽屉数的若干倍后,可用抽屉数除元素总数,写成下面的等式; 元素总数=商×抽屉数+余数 如果余数不是0,则最小数=商+1;如果余数正好是0,则最小数=商。 例题1; 幼儿园里有120个小朋友,各种玩具有364件。把这些玩具分给小朋友,是否有人会得到4件或4件以上的玩具? 把120个小朋友看做是120个抽屉,把玩具件数看做是元素。则364=120×3+4,4<120。根据抽屉原理的第【2】条规则;如果把m×x×k【x>k≥1】个元素放到x个抽屉里,那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。可知至少有一个抽屉里有3+1=4个元素,即有人会得到4件或4件以上的玩具。 练习1; 1·一个幼儿园大班有40个小朋友,班里有各种玩具125件。把这些玩具分给小朋友,是否有人会得到4件或4件以上的玩具? 2·把16枝铅笔放入三个笔盒里,至少有一个笔盒里的笔不少于6枝。这是为什么? 3·把25个球最多放在几个盒子里,才能至少有一个盒子里有7个球? 例题2; 布袋里有4种不同颜色的球,每种都有10个。最少取出多少个球,才能保证其中一定有3个球的颜色一样? 把4种不同颜色看做4个抽屉,把布袋中的球看做元素。根据抽屉原理第【2】条,要使其中一个抽屉里至少有3个颜色一样的球,那么取出的球的个数应比抽屉个数的2倍多1。即2×4+1=9【个】球。列算式为 【3—1】×4+1=9【个】 练习2; 1·布袋里有组都多的5种不同颜色的球。最少取出多少个球才能保证其中一定有3个颜色一样的球? 2·一个容器里放有10块红木块·10块白木块·10块蓝木块,它们的形状·大小都一样。当你被蒙上眼睛去容器中取出木块时,为确保取出的木块中至少有4块颜色相同,应至少取出多少块木块? 3·一副扑克牌共54张,其中1—13点各有4张,还有两张王的扑克牌。至少要取出几张牌,才能保证其中必有4张牌的点数相同? 例题3; 某班共有46名学生,他们都参加了课外兴趣小组。活动内容有数学·美术·书法和英

小学奥数教程之容斥原理

学习奥数的优点 1、激发学生对数学学习的兴趣,更容易让学生体验成功,树立自信。 2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。要使经过奥数训练的学生,思 维更敏捷,考虑问题比别人更深层次。 3、锻炼学生优良的意志品质。可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心, 以及战胜难题的勇气。可以养成坚韧不拔的毅力 4、获得扎实的数学基本功,发挥创新精神和创造力的最大空间。 容斥原理 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长 知识定位 容斥原理中的知识点比较简单,是计数问题中比较浅的一支。这个知识点经常和 数论知识结合出综合型题目。这个原理本身并不是很难理解,不过经常和数论知 识结合出题,所以对学生的理解层次要求较高,学生必须充分理解、吃透。 1.充分理解和掌握容斥原理的基本概念 2.利用图形分析解决容斥原理问题 知识梳理 授课批注: 本讲的知识点必须让学生充分理解、吃透,这个原理本身并不是很难理解,不过经常和数论 知识结合出题所以对学生的理解层次要求较高。

一. 容斥原理的概念 定义 在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算。我们用|A|表示有限集A 的元素个数。求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数, 用式子可表示成:|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|, 我们称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理。图示如右:A 表示小圆部分,B表示大圆部分,C表示大圆与小圆的公共部分, 记为:A∩B,即阴影面积。 用法: 包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素的个数,可分以下两步进行: 第一步:分别计算集合A、B的元素个数,然后加起来,即先求|A|+|B|(意思是把A、B的一切元素都“包含”进来,加在一起); 第二步:从上面的和中减去交集的元素个数,即减去C=|A∩B|(意思是“排除”了重复计算的元素个数) 二.竞赛考点 1.容斥原理的基本概念 2.与数论相结合的综合型题目 例题精讲 【试题来源】 【题目】 在一个炎热的夏日,10个小学生去冷饮店每人都买了冷饮。其中6人买了汽水,6人买了可乐,4人买了果汁,有3人既买了汽水又买了可乐,1人既买了汽水又买了果汁,2人既买了可乐又买了果汁。问: (1)三样都买的有几人? (2)只买一样的有几人? 【答案】0,4 【解析】(1)设三样都买的学生有a人,那么6+6+4-3-1-2+a=10,解得a=0,所以没有人三种东西都买了. (2)去冷饮店的学生中除了买一样的外,只有买两样东西的,因为买两样东西的有3+1+2=6(人),所以买一样东西的学生有10-6=4(人). 【知识点】容斥原理 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3

小学六年级奥数 抽屉原理(含答案)

抽屉原理 知识要点 1.抽屉原理的一般表述 (1)假设有3个苹果放入2个抽屉中,必然有一个抽屉中至少有2个苹果。它的一般表述为: 第一抽屉原理:(mn+1)个物体放入n个抽屉,其中必有一个抽屉中至少有(m+1)个物体。 (2)若把3个苹果放入4个抽屉中,则必然有一个抽屉空着。它的一般表述为: 第二抽屉原理:(mn-1)个物体放入n个抽屉,其中必有一个抽屉中至多有(m-1)个物体。 2.构造抽屉的方法 常见的构造抽屉的方法有:数的分组、染色分类、图形的分割、剩余类等等。例1自制的一副玩具牌共计52张(含四种牌:红桃、红方、黑桃、黑梅,每种牌都有1点,2点,……13点牌各一张),洗好后背面朝上放。一次至少抽取张牌,才能保证其中必定有2张牌的点数和颜色都相同。如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的(不计颜色),那么至少要取张牌。点拨对于第一问,最不利的情况是两种颜色都取了1~13点各一张,此时再抽一张,这张牌必与已抽取的某张牌的颜色与点数都相同。 点拨对于第二问,最不利的情况是:先抽取了1,2,4,5,7,8,10,11,13各4张,此时再取一张,这张牌的点数是3,6,9,12中的一张,在已抽取的牌中必有3张的点数相邻。 解(1)13×2+1=27(张) (2)9×4+1=37(张)

例2 证明:37人中,(1)至少有4人属相相同;(2)要保证有5人属相相同,但不保证有6人属相相同,那么人的总数应在什么范围内? 点拨可以把12个属相看做12个抽屉,根据第一抽屉原理即可解决。 解 (1)因为37÷12=3……1,所以,根据第一抽屉原理,至少有3+1=4(人)属相相同。 (2)要保证有5人的属相相同的最少人数为4×12+1=49(人) 不保证有6人属相相同的最多人数为5×12=60(人)所以,总人数应在49人到60人的范围内。 例3有一副扑克牌共54张,问:至少摸出多少张才能保证:(1)其中有4张花色相同?(2)四种花色都有? 点拨首先我们要弄清楚一副扑克牌有2张王牌,四种花色,每种有13张。(1)按最不利原则先取出2张为王牌,再取4张均不同花色,再连续取两次4张也均不同花色,这时必能保证每一花色都有3张,再取1张即可达到要求。(2)仍需按最不利原则去取牌,先是2张王牌,接着依次把三种花色的牌全部取出13×3,这时假设仍是没有四种花色,再取1张即可。 解 (1)2+4×3+1=15(张) (2)2+13×3+1=42(张) 例4 学校买来红、黄、蓝三种颜色的球,规定每位学生最多可以借两种不同颜色的球。那么至少要来几名学生借球,就能保证必有两名学生借的球的颜色完全相同? 点拨根据题中“最多可借两种不同颜色的球”,可知最多有以下6种情况:解借球有6种情况,看做6个抽屉, 所以至少要来7名学生借球,才能保证。 例5 从前面30个自然数中最少要取出几个数,才能保证取出的数中能找到两个

第14讲 小升初奥数容斥原理

容斥原理 一、两量重叠问题 求两个集合并集的元素的个数,从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成:A B A B A B =+-(其中符号“ ”读作“并”,相当于中文“和”或者“或”的意思;符号“ ”读作“交”,相 当于中文“且”的意思.)则称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理. 二、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素 个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数.用符号表示为:A B C A B C A B B C A C A B C =++---+.图示如下: 一、两量重叠问题 1.先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次,多加了1次; 2.再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去. 图中小圆表示A 的元素的个数,中圆表示B 的元素的个数,大圆表示C 的元素的个数. 1.先包含:A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次, 多加了1次. 2.再排除:A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次,但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了. 3.再包含:A B C A B B C A C A B C ++---+.

例1、两张长4厘米,宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状.把它放在桌面上,覆盖面积有多少平方厘米? 举一反三、有长8厘米,宽6厘米的长方形与边长为5厘米的正方形,如图,放在桌面上(阴影是图形的重叠部分),那 么这两个图形盖住桌面的面积是多少平方厘米。 例2、实验小学六年级二班,参加语文兴趣小组的有28人,参加数学兴趣小组的有29人,有12人两个小组都参加.这 个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组? 举一反三、一个班48人,完成作业的情况有三种:一种是完成语文作业没完成数学作业;一种是完成数学作业没 完成语文作业;一种是语文、数学作业都完成了.已知做完语文作业的有37人;做完数学作业的有42人.这些人中语文、数学作业都完成的有多少人? 图3 2厘米 4厘 米

抽屉原理(B)六年级奥数题之专题串讲试题(附答案)2013

1 十八 抽屉原理(2) 年级 班 姓名 得分 一、填空题 1.半步桥小学六年级(一)班有42人开展读书活动.他们从学校图书馆借了212本图书,那么其中至少有一人借 本书. 2.今天参加数学竞赛的210名同学中至少有 名同学是同一个月出生的. 3.学校五(一)班40名学生中,年龄最大的是13岁,最小的是11岁,那么其中必有 名学生是同年同月出生的. 4.有红、黄、蓝、白四色小球各10个,混合放在一个暗盒里,一次至少摸出 个,才能保证有2个小球是同色的. 5.有红、黄、蓝、白四色小球各10个,混合放在一个暗盒中,一次至少摸出 个,才能保证有6个小球是同色的. 6.布袋中有60个形状、大小相同的木块,每6块编上相同的号码,那么一次至少取出 块,才能保证其中至少有三块号码相同. 7.某商店有126箱苹果,每箱至少有120个苹果,至多有144个苹果.现将苹果个数相同的箱子算作一类.设其中箱子数最多的一类有n 个箱子,则n 的最小值为 . 8.有形状、大小、材料完全相同的黑筷、白筷、红筷各4双,混杂在一起,要求闭着眼睛,保证从中摸出不同颜色的2双筷子,则至少要摸出 根. 9.袋子里装有红色球80只,蓝色球70只,黄色球60只,白色球50只.它们的大小与质量都一样,不许看只许用手摸取,要保证摸出10对同色球,至少应摸出 只. 10.有红笔、蓝笔、黄笔、绿笔各2支,让一位小朋友随便抓2支,这位小朋友至少抓 次才能确保他至少有两次抓到的笔的种类完全相同.(每抓一次后又放回再抓另一次) 二、解答题 11.某游旅团一行50人,随意游览甲、乙、丙三地,问至少有多少人浏览的地方完全相同. 12.从一列数1,5,9,13,…,93,97中,任取14个数.证明:其中必有两个数的和等于102. 13.在一个边长为1的正三角形内,任给5个点,证明:其中必有两个点之间的距离不大于1/2. 14.设,,21x x …,12x 是任意互异的12个整数,试证明其中一定存在8个整数,,21x x …,8x ,使得:)()()()(87654321x x x x x x x x -?-?-?-恰是1155的倍数.

小学奥数教案——容斥问题

教案 容斥问题 一本讲学习目标 理解并掌握容斥问题。 二重点难点考点分析 容斥问题涉及到一个重要原理——包含和排除原理。也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时,为了不重复的计数,应从它们的和中排除重复部分。 三概念解析 容斥原理:对几个事物,如果采用两种不同的分类标准,按性质1和性质2分类,那么具有性质1或性质2的事物个数等于性质1加上性质2减去它们的共同性质。 ? 四例题讲解 一班有48人,班主任在班会上问:“谁做完了语文作业请举手”有37人举手,又问:“谁做完了数学作业请举手”有42人举手,最后问:“谁语文、数学作业都没做完请举手”结果没有人举手。求这个班语文、数学作业都做完的人数是多少个 四年级一班有54人,订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人,订阅《小学生优秀作文》的有45人,每人至少订阅一种读物,订阅《数学大世界》的有多少人 !

某班有36个同学在一项测试中,答对第一题的有25人,答对第二题的人有23人,两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答的不对 某班有56人,参加语文竞赛的有28人,参加数学竞赛的有27人,如果两科都没有参加的有25人,那么参加语文、数学两科竞赛的有多少人 ` 在1到100的全部自然数中,既不是5的倍数,也不是6的倍数的数有多少个 光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品,其中有24幅不是五年级的,有22幅不是六年级的,五、六年级参展的书法作品一共有10幅,其他年级参展的书法作品共有多少幅 ' 学校文艺组每人至少会演奏一种乐器,已知会拉手提琴的有24人,会弹电子琴的有17人,其中两样都会的有8人。这个文艺组一共有多少人

广东省阳江市数学小学奥数系列8-2-1抽屉原理(一)

广东省阳江市数学小学奥数系列8-2-1抽屉原理(一) 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的小朋友们,这一段时间的学习,你们收获怎么样呢?今天就让我们来检验一下吧! 一、 (共34题;共175分) 1. (5分)有5050张数字卡片,其中1张上面写着数字“1”,2张上面写着数字“2”,3张上面写着数字“3”…,99张上面写着数字“99”,100张上面写着数字“100”.现在要从中任意取出若干张,为了确保抽出的卡片中至少有10张完全相同的数字,至少要抽出多少张卡片? 2. (5分)一个正方体有六个面,给每个面都涂上红色或白色,至少有三个面是同一颜色。为什么? 3. (5分)在一个矩形内任意放五点,其中任意三点不在一条直线上。证明:在以这五点为顶点的三角形中,至少有一个的面积小于矩形面积的四分之一。 4. (5分)有49个小孩,每人胸前有一个号码,号码从1到49各不相同.现在请你挑选若干个小孩,排成一个圆圈,使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100,那么你最多能挑选出多少个孩子? 5. (5分)小明参加飞镖比赛,投了5镖,成绩是36环,小明至少有一镖不低于8环,对吗?为什么? 6. (5分)六(1)班有49名学生,数学高老师了解到期中考试该班英语成绩除3人外,均在86分以上后就说:“我可以断定,本班至少有4人成绩相同”。王老师说的对吗?为什么? 7. (5分) 9条直线的每一条都把一个正方形分成两个梯形,而且它们的面积之比为2∶3。证明:这9 条直线中至少有3 条通过同一个点。 8. (5分)从2、4、6、…、30这15个偶数中,任取9个数,证明其中一定有两个数之和是34. 9. (5分)一些孩子在沙滩上玩耍,他们把石子堆成许多堆,其中有一个孩子发现从石子堆中任意选出六堆,其中至少有两堆石子数之差是5的倍数,你能说一说他的结论对吗?为什么? 10. (5分)在下面每个格子中任意写上“爸爸”或“妈妈”,至少有几列所写的字是完全一样的?

举一反三- 四年级奥数 - 第35讲 容斥原理

第35讲容斥原理 一、专题简析: 容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理,也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时,为了不重复计数,应从它们的和中排除重复部分。 容斥原理:对n个事物,如果采用不同的分类标准,按性质a分类与性质b 分类(如图),那么具有性质a或性质b的事物的个数=N a+N b-N ab。 Nab Nb Na 二、精讲精练: 例1:一个班有48人,班主任在班会上问:“谁做完语文作业?请举手!”有37人举手。又问:“谁做完数学作业?请举手!”有42人举手。最后问:“谁语文、数学作业都没有做完?”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。 练习一 1、五年级有122名学生参加语文、数学考试,每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人,数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人?

2、四年级一班有54人,订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人,订《小学生优秀作文》的有45人,每人至少订一种读物,订《数学大世界》的有多少人? 例2:某班有36个同学在一项测试中,答对第一题的有25人,答对第二题的有23人,两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对? 练习二 1、五(1)班有40个学生,其中25人参加数学小组,23人参加科技小组,有19人两个小组都参加了。那么,有多少人两个小组都没有参加?

2、一个班有55名学生,订阅《小学生数学报》的有32人,订阅《中国少年报》的有29人,两种报纸都订阅的有25人。两种报纸都没有订阅的有多少人? 例3:某班有56人,参加语文竞赛的有28人,参加数学竞赛的有27人,如果两科都没有参加的有25人,那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人? 练习三 1、一个旅行社有36人,其中会英语的有24人,会法语的有18人,两样都不会的有4人。两样都会的有多少人? 2、一个俱乐部有103人,其中会下中国象棋的有69人,会下国际象棋的有52人,这两种棋都不会下的有12人。问这两种棋都会下的有多少人?

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