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华东交通大学2009-2010第一学期离散数学期末试卷及参考答案

华东交通大学2009-2010第一学期离散数学期末试卷及参考答案
华东交通大学2009-2010第一学期离散数学期末试卷及参考答案

华南农业大学 离散数学 期末考试2013试卷及答案

华南农业大学期末考试试卷(A 卷) 2013-2014学年第 一 学期 考试科目: 离散结构 考试类型:(闭卷)考试 考试时间: 120 分钟 学号 姓名 年级专业 ①本试题分为试卷与答卷2部分。试卷有四大题,共6页。 ②所有解答必须写在答卷上,写在试卷上不得分。 一、选择题(本大题共 25 小题,每小题 2 分,共 50 分) 1、下面语句是简单命题的为_____。 A 、3不是偶数 B 、李平既聪明又用功 C 、李平学过英语或日语 D 、李平和张三是同学 2、设 p:他主修计算机科学, q:他是新生,r:他可以在宿舍使用电脑,下列命题“除非他不是新生,否则只有他主修计算机科学才可以在宿舍使用电脑。”可以符号化为______。 A 、r q p →?∧? B 、r q p ?→∧? C 、r q p →?∧ D 、r q p ∧→ 3、下列谓词公式不是命题公式P →Q 的代换实例的是______。 A 、)()(y G x F → B 、),(),(y x yG y x xF ?→? C 、))()((x G x F x →? D 、)()(x G x xF →? 4、设个体域为整数集,下列公式中其值为 1的是_____。 A 、)0(=+??y x y x B 、)0(=+??y x x y C 、)0(=+??y x y x D 、)0(=+???y x y x

2 5、下列哪个表达式错误_____。 A 、 B x xA B x A x ∧??∧?)())(( B 、B x xA B x A x ∨??∨?)())(( C 、B x xA B x A x →??→?)())(( D 、)())((x xA B x A B x ?→?→? 6、下述结论错误的是____。 A 、存在这样的关系,它可以既满足对称性,又满足反对称性 B 、存在这样的关系,它可以既不满足对称性,又不满足反对称性 C 、存在这样的关系,它可以既满足自反性,又满足反自反性 D 、存在这样的关系,它可以既不满足自反性,又不满足反自反性 7、集合A 上的关系R 为一个等价关系,当且仅当R 具有_____。 A 、自反性、对称性和传递性 B 、自反性、反对称性和传递性 C 、反自反性、对称性和传递性 D 、反自反性、反对称性和传递性 8、下列说法不正确的是:______。 A 、R 是自反的,则2R 一定是自反的 B 、R 是反自反的,则2R 一定是反自反的 C 、R 是对称的,则2R 一定是对称的 D 、R 是传递的,则2R 一定是传递 9、设R 和S 定义在P 上,P 是所有人的集合,=R {x P y x y x ∧∈><,|,是y 的父亲},=S {x P y x y x ∧∈><,|,是y 的母亲},则关系{y P y x y x ∧∈><,|,是的x 外祖父}的表达式是:______。 A 、11--R R B 、11--S R C 、11--S S D 、11--R S 10、右图描述的偏序集中,子集},,{f e b 的上界为_____。 A 、c b , B 、b a , C 、b D 、c b a ,, 11、以下整数序列,能成为一个简单图的顶点度数序列的是_____。 A 、1,2,2,3,4,5

离散数学第五版 模拟试题 及答案

《离散数学》模拟试题3 一、填空题(每小题2分,共20分) 1. 已知集合A ={φ,1,2},则A得幂集合p(A)=_____ _。 2. 设集合E ={a, b, c, d, e}, A= {a, b, c}, B = {a, d, e}, 则A∪B =___ ___, A∩B =____ __,A-B =___ ___,~A∩~B =____ ____。 3. 设A,B是两个集合,其中A= {1, 2, 3}, B= {1, 2},则A-B =____ ___, ρ(A)-ρ(B)=_____ _ _。 4. 已知命题公式R Q P G→ ∧ ? =) (,则G的析取范式为。 5. 设P:2+2=4,Q:3是奇数;将命题“2+2=4,当且仅当3是奇数。”符号化 ,其真值为。 二、单项选择题(选择一个正确答案的代号填入括号中,每小题4分,共16分。) 1. 设A、B是两个集合,A={1,3,4},B={1,2},则A-B为(). A.{1} B. {1, 3} C. {3,4} D. {1,2} 2. 下列式子中正确的有()。 A. φ=0 B. φ∈{φ} C. φ∈{a,b} D. φ∈φ 3. 设集合X={x, y},则ρ(X)=()。 A. {{x},{y}} B. {φ,{x},{y}} C. {φ,{x},{y},{x, y}} D. {{x},{y},{x, y}} 4. 设集合A={1,2,3},A上的关系R={(1,1),(2,2),(2,3),(3,3),(3,2)}, 则R不具备(). 三、计算题(共50分) 1. (6分)设全集E=N,有下列子集:A={1,2,8,10},B={n|n2<50 ,n∈N},C= {n|n可以被3整除,且n<20 ,n∈N},D={n|2i,i<6且i、n∈N},求下列集合:(1)A∪(C∩D) (2)A∩(B∪(C∩D)) (3)B-(A∩C) (4)(~A∩B) ∪D 2. (6分)设集合A={a, b, c},A上二元关系R1,R2,R3分别为:R1=A×A, R2 ={(a,a),(b,b)},R3 ={(a,a)},试分别用 定义和矩阵运算求R1·R2 ,22R,R1·R2 ·R3 , (R1·R2 ·R3 )-1 。 3.(6分)化简等价式(﹁P∧(﹁Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R). 4.(8分) 设集合A={1,2,3},R为A上的二元关系,且 M R= 写出R的关系表达式,画出R的关系图并说明R的性质. 5. (10分)设公式G的真值表如下. 试叙述如何根据真值表求G的 主析取范式和主合取范式,并 写出G的主析取范式和主合取范式. 1 0 0 1 1 0 1 0 0

毕业设计的格式

毕业设计的格式

、毕业论文资料的组成 毕业设计结束后放入学校统一的毕业设计资料袋中,应包括: 1.毕业论文封面; 2.毕业设计任务书、开题报告; 3.毕业设计评阅书(1)、(2)、答辩记录 4.中英文摘要、引言; 5.论文正文、结论; 6.谢辞、参考文献; 7.附录; 8.毕业论文初稿(手稿)。 9.其他 二、毕业论文资料的书写及装订 1.毕业论文统一使用学校印制的毕业论文资料袋。

2.毕业论文资料袋按要求认真填写,字体要工整,卷面要整洁,手写一律用黑

蓝黑墨水;任务书由指导教师填写并签字,经教研室主任签字。 3.毕业论文按统一顺序装订: ①封面、毕业设计(论文)诚信申明 ②开题报告、毕业论文任务书 ③中文题目、中文摘要及关键字 英文题目、英文摘要及关键字(英文题目、英文摘要及关键字应与中文摘要相对应) ④毕业设计评阅书(1)、(2)、答辩记录 ⑤目录 ⑥论文正文及结论 ⑦谢辞

⑧参考文献

⑨附录部分 ⑩毕业设计指导记录 4.资料袋中应保存毕业论文的初稿,初稿要求手写。初稿必须有指导教师批阅手迹。 5.装订好后放入填写好的资料袋内上交学院。 三、毕业论文撰写的内容与要求 1、论文封面 封面是论文的外表面,提供应有的信息,并起保护作用。封面上包括下列内容: a.论文题目,用三号宋体字标注在题目栏 b.论文的作者和指导教师 c.所属院系、专业、年级。 论文封面统一使用“华东交通大学毕业论文”字样封面(华东交通大学本科生毕业论文封面由教务处统一印制)。 2、目录、目次 长篇论文可以有目次页,短文无需目次页。目次页由论文的篇、章、条、附录、

离散数学期末试题

离散数学考试试题(A 卷及答案) 一、(10分)求(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))的主析取范式 解:(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))??(?( P ∨Q ))∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q )∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q ∨P )∧(P ∨Q ∨?Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨(R ∧?R ))∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨?R )∧(P ∨Q ∨R ) ?0M ∧1M ?2m ∨3m ∨4m ∨5m ∨6m ∨7m 二、(10分)在某次研讨会的休息时间,3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断: 甲说:王教授不是苏州人,是上海人。 乙说:王教授不是上海人,是苏州人。 丙说:王教授既不是上海人,也不是杭州人。 王教授听后说:你们3人中有一个全说对了,有一人全说错了,还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人? 解 设设P :王教授是苏州人;Q :王教授是上海人;R :王教授是杭州人。则根据题意应有: 甲:?P ∧Q 乙:?Q ∧P 丙:?Q ∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以,丙至少说对了一半。因此,可得甲或乙必有一人全错了。又因为,若甲全错了,则有?Q ∧P ,因此,乙全对。同理,乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为: ((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此,王教授是上海人。 三、(10分)证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系,则tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系,则由闭包的定义知r (R )?' R 。则sr (R )?s ('R )='R ,进而有tsr (R )?t ('R )='R 。

中国石油大学大学《离散数学》期末复习题及答案

《离散数学》期末复习题 一、填空题(每空2分,共20分) 1、集合A上的偏序关系的三个性质是、 和。 2、一个集合的幂集是指。 3、集合A={b,c},B={a,b,c,d,e},则A?B= 。 4、集合A={1,2,3,4},B={1,3,5,7,9},则A?B= 。 5、若A是2元集合, 则2A有个元素。 6、集合A={1,2,3},A上的二元运算定义为:a* b = a和b两者的最大值,则 2*3= 。 7、设A={a, b,c,d }, 则∣A∣= 。 8、对实数的普通加法和乘法,是加法的幂等元, 是乘法的幂等元。 9、设a,b,c是阿贝尔群的元素,则-(a+b+c)= 。 10、一个图的哈密尔顿路是。 11、不能再分解的命题称为,至少包含一个联结词的命题称 为。 12、命题是。 13、如果p表示王强是一名大学生,则┐p表示。 14、与一个个体相关联的谓词叫做。 15、量词分两种:和。 16、设A、B为集合,如果集合A的元素都是集合B的元素,则称A是B 的。 17、集合上的三种特殊元是、 及。 18、设A={a, b},则ρ(A) 的四个元素分别 是:,,,。

19、代数系统是指由及其上的或 组成的系统。 20、设是代数系统,其中是*1,*2二元运算符,如果*1,*2都满 足、,并且*1和*2满足,则称是格。 21、集合A={a,b,c,d},B={b },则A \ B= 。 22、设A={1, 2}, 则∣A∣= 。 23、在有向图中,结点v的出度deg+(v)表示,入度deg-(v)表示 以。 24、一个图的欧拉回路是。 25、不含回路的连通图是。 26、不与任何结点相邻接的结点称为。 27、推理理论中的四个推理规则 是、、、。 二、判断题(每题2分,共20分) 1、空集是唯一的。 2、对任意的集合A,A包含A。 3、恒等关系不是对称的,也不是反对称的。 4、集合{1,2,3,3}和{1,2,2,3}是同一集合。 5、图G中,与顶点v关联的边数称为点v的度数,记作deg(v)。 6、在实数集上,普通加法和普通乘法不是可结合运算。 7、对于任何一命题公式,都存在与其等价的析取范式和合取范式。 8、设(A,*)是代数系统,a∈A,如果a*a=a,则称a为(A,*)的等幂元。 9、设f:A→B,g:B→C。若f,g都是双射,则gf不是双射。 10、无向图的邻接矩阵是对称阵。 11、一个集合不可以是另一个集合的元素。 12、映射也可以称为函数,是一种特殊的二元关系。 13、群中每个元素的逆元都不是惟一的。

离散数学期末试卷A卷及答案

《离散数学》试卷(A 卷) 一、 选择题(共5 小题,每题 3 分,共15 分) 1、设A={1,2,3},B={2,3,4,5},C={2,3},则C B A ⊕?)(为(C )。 A 、{1,2} B 、{2,3} C 、{1,4,5} D 、{1,2,3} 2、下列语句中哪个是真命题 ( A ) A 、如果1+2=3,则4+5=9; B 、1+2=3当且仅当4+5≠9。 C 、如果1+2=3,则4+5≠9; D 、1+2=3仅当4+5≠9。 3、个体域为整数集合时,下列公式( C )不是命题。 A 、)*(y y x y x =?? B 、)4*(=??y x y x C 、)*(x y x x =? D 、)2*(=??y x y x 4、全域关系A E 不具有下列哪个性质( B )。 A 、自反性 B 、反自反性 C 、对称性 D 、传递性 5、函数612)(,:+-=→x x f R R f 是( D )。 A 、单射函数 B 、满射函数 C 、既不单射也不满射 D 、双射函数 二、填充题(共 5 小题,每题 3 分,共15 分) 1、设|A|=4,|P(B)|=32,|P(A ?B)|=128,则|A ?B|=??2???.

2、公式)(Q P Q ?∨∧的主合取范式为 。 3、对于公式))()((x Q x P x ∨?,其中)(x P :x=1, )(x Q :x=2,当论域为{0,1,2}时,其真值为???1???。 4、设A ={1,2,3,4},则A 上共有???15????个等价关系。 5、设A ={a ,b ,c },B={1,2},则|B A |= 8 。 三、判断题(对的填T ,错的填F ,共 10 小题,每题 1 分,共计10 分) 1、“这个语句是真的”是真命题。 ( F ) 2、“张刚和小强是同桌。”是复合命题。 ( F ) 3、))(()(r q q p p ∧?∧→?∨是矛盾式。 ( T ) 4、)(T S R T R S R ??????。 ( F ) 5、恒等关系具有自反性,对称性,反对称性,传递性。 ( T ) 6、若f 、g 分别是单射,则g f ?是单射。 ( T ) 7、若g f ?是满射,则g 是满射。 ( F ) 8、若A B ?,则)()(A P B P ?。 ( T ) 9、若R 具有自反性,则1-R 也具有自反性。 ( T ) 10、B A ∈并且B A ?不可以同时成立。 (F ) 四、计算题(共 3 小题,每题 10 分,共30 分) 1、调查260个大学生,获得如下数据:64人选修数学课程,94人选修计算机课程,58人选修商贸课程,28人同时选修数学课程和商贸课程,26人同时选修数学课程和计算机课程,22人同时选修计算机课程和商贸课程,14人同时选修三门课程。问 (1)三门课程都不选的学生有多少? (2)只选修计算机课程的学生有多少?

离散数学试卷及答案一

一、单项选择题(本大题共15小题,每小题1分,共15分)在每小题列出的四个选项中只有 一个选项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母填在题后的括号内。 1.一个连通的无向图G,如果它的所有结点的度数都是偶数,那么它具有一条( ) A.汉密尔顿回路 B.欧拉回路 C.汉密尔顿通路 D.初级回路 2.设G是连通简单平面图,G中有11个顶点5个面,则G中的边是( ) A.10 B.12 C.16 D.14 3.在布尔代数L中,表达式(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等价式是( ) A.b∧(a∨c) B.(a∧b)∨(a’∧b) C.(a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c) D.(b∨c)∧(a∨c) 4.设i是虚数,·是复数乘法运算,则G=<{1,-1,i,-i},·>是群,下列是G的子群是( ) A.<{1},·> B.〈{-1},·〉 C.〈{i},·〉 D.〈{-i},·〉 5.设Z为整数集,A为集合,A的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算,∩为集合的交 运算,下列系统中是代数系统的有( ) A.〈Z,+,/〉 B.〈Z,/〉 C.〈Z,-,/〉 D.〈P(A),∩〉 6.下列各代数系统中不含有零元素的是( ) A.〈Q,*〉Q是全体有理数集,*是数的乘法运算 B.〈Mn(R),*〉,Mn(R)是全体n阶实矩阵集合,*是矩阵乘法运算 C.〈Z,ο〉,Z是整数集,ο定义为xοxy=xy,?x,y∈Z D.〈Z,+〉,Z是整数集,+是数的加法运算 7.设A={1,2,3},A上二元关系R的关系图如下: R具有的性质是 A.自反性 B.对称性 C.传递性 D.反自反性 8.设A={a,b,c},A上二元关系R={〈a,a〉,〈b,b〉,〈a,c〉},则关系R的对称闭包S(R)是( ) A.R∪I A B.R C.R∪{〈c,a〉} D.R∩I A 9.设X={a,b,c},Ix是X上恒等关系,要使Ix∪{〈a,b〉,〈b,c〉,〈c,a〉,〈b,a〉}∪R为X上的 等价关系,R应取( ) A.{〈c,a〉,〈a,c〉} B.{〈c,b〉,〈b,a〉} C.{〈c,a〉,〈b,a〉} D.{〈a,c〉,〈c,b〉} 10.下列式子正确的是( ) A. ?∈? B.??? C.{?}?? D.{?}∈? 11.设解释R如下:论域D为实数集,a=0,f(x,y)=x-y,A(x,y):x

华东交通大学硕士学位论文格式模板

华东交通大学硕士学位论文格式模板 本模板供统招、同等学力、高校教师使用 (2011年3月修订) 一、页面设置 ●纸张大小:A4 ●页边距:上2.8cm、下2.5cm,左、右2.5cm,装订线:0cm ●页眉:1.6cm,页脚:1.5cm ●文档网格:无网格(设置文档网格后无法达到模板格式要求!) ●从第一章开始,其后面的所有内容一律采用双面印刷;第一章前的其他各部分 内容只有1页时,采用单面印刷,有2页时采用双面印刷,多于2页且页数为奇数时,最后一页单面印刷,其余双面印刷 二、字间距 无特别说明时均采用标准字间距。 三、小技巧 1、设置标题、段落格式时请学会使用格式刷; 2、一段文字中既有中文又有英文(含数字),中英文采用不同字体时,可先选中这段文字,设定中文字体后再设定英文字体; 3、采用插入分节符(下一页)的办法强行换页; 4、如果对自动编号的格式设置不十分熟悉,建议不要使用自动编号。 四、其他 1、本模板中的内容来自于不同的资料,上下文之间可能没有直接的联系,由此给您带来的不便,我们表示歉意; 2、各章节标题由作者自行确定。 华东交通大学研究生院 2011-3-20

密级______________________________ UDC______________________________ 编号______________________________ 硕 士 基坑支护技术经济分析与AHP 法 方案优选 学位申请人: XXX 学科专业: 指导教师: XXX(职称前1个空格,下同)副指导教师: XX 副教授 (无副导师时此行不填文字) (表格固定行高1.2cm ,无副导师时4行,有副导师时3行)

最新离散数学期末考试试卷(A卷)

最新离散数学期末考试试卷(A卷) 一、判断题:(每题2分,共10分) (1) (1) (2)对任意的命题公式,若,则 (0) (3)设是集合上的等价关系,是由诱导的上的等价关系,则. (1) (4)任意一个命题公式都与某一个只含合取和析取两种联结词的命题公式等价. (0) (5)设是上的关系,分别表示的对称和传递闭包,则 (0) 二、填空题:(每题2分,共10分) (1) 空集的幂集的幂集为(). (2) 写出的对偶式(). (3)设是我校本科生全体构成的集合,两位同学等价当且仅当他们在 同一个班,则等价类的个数为(),同学小王所在 的等价类为(). (4)设是上的关系,则满足下列性质的哪几条:自反的,对称的,传递的,反自反的,反对称的. () (5)写出命题公式的两种等价公式( ). 三、用命题公式符号化下列命题(1)(2)(3),用谓词公式符号化下列命题(4)(5)(6).(12分) (1)(1)仅当今晚有时间,我去看电影. (2)(2)假如上午不下雨,我去看电影,否则就在家里读书. (3)你能通你能通过考试,除非你不复习. (4)(4)并非发光的都是金子. (5)(5)有些男同志,既是教练员,又是国家选手. (6)(6)有一个数比任何数都大. 四、设,给定上的两个关系和分别是 (1)(1)写出和的关系矩阵.(2)求及(12分) 五、求的主析取范式和主合取范式.(10分) 六、设是到的关系,是到的关系,证明:(8分) 七、设是一个等价关系,设对某一个,有

,证明: 也是一个等价关系.(10分) 八、(10分)用命题推理理论来论证 下述推证是否有效? 甲、乙、丙、丁四人参加比赛,如果甲获胜,则乙失败;如果丙获胜,则乙也获 胜,如果甲不获胜,则丁不失败.所以,如果丙获胜,则丁不失败. 九、(10分) 用谓词推理理论来论证下述推证. 任何人如果他喜欢步行,他就不喜欢乘汽车,每一个人或喜欢乘汽车,或喜欢骑 自行车(可能这两种都喜欢).有的人不爱骑自行车,因而有的人不爱步行 (论 域是人). 十、(8分) 利用命题公式求解下列问题. 甲、乙、丙、丁四人参加考试后,有人问他们,谁的成绩最好, 甲说:“不是我,”乙说:“是丁,”丙说:“是乙,” 丁说:“不是我.” 四人的回答只有一人符合实际,问若只有一人成绩最 好,是谁? 离散数学期末考试试卷答案(A 卷) 一、判断题:(每题2分,共10分) (1)}}{{}{x x x -∈ ( ∨) (2) 对任意的命题公式C B A ,,, 若 C B C A ∧?∧, 则B A ? ( ? ) (3)设R 是集合A 上的等价关系, L 是由R A 诱导的A 上的等价关系,则 L R =. ( ∨ ) (4) 任意一个命题公式都与某一个只含合取和析取两种联结词的命题公式等价. ( ? ) (5)设R 是A 上的关系,)(),(R t R s 分别表示R 的对称和传递闭包,则 )()(R st R ts ? ( ? ) 二、填空题:(每题2分,共10分) (1) 空集的幂集的幂集为 ( }},{{φφ). (2) 写出)()(R P Q P →∧∨的对偶式( )()(R P Q P ∧?∨∧ ). (3)设A 是我校本科生全体构成的集合,两位同学等价当且仅当他们在 同一个班,则等价类的个数为(我校本科生的班级数 ),同学小王所在 的等价类为(小王所在的班的集合). (4)设},,,{},,,{><><==3121321R A 是A 上的关系,则R 满足下列性质的哪 几条:自反的,对称的,传递的,反自反的,反对称的. ( 传递的,反自反的,反对称的 ) (5)写出命题公式Q P ?的两种等价公式 ( )()()()(P Q Q P P Q Q P ∨?∧∨?→∧→). 三、用命题公式符号化下列命题(1)(2)(3),用谓词公式符号化下列命题 (4)(5)(6).(12分) (3)(1)仅当今晚有时间,我去看电影.

大学离散数学期末重点知识点总结(考试专用)

1.常用公式 p ∧(P →Q)=>Q 假言推论 ┐Q ∧(P →Q)=>┐P 拒取式 ┐p ∧(P ∨Q)=>Q 析取三段式 (P →Q) ∧(Q →R)=>P →R 条件三段式 (PQ) ∧(QR)=>PR 双条件三段式 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∧R)=>Q →S 合取构造二难 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∨R)=>Q ∨S 析取构造二难 (?x)((Ax)∨(Bx)) <=>( ?x)(Ax)∨(?x)(Bx) (?x)((Ax)∧(Bx)) <=>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) (?x)(A ∨(Bx)) <=>A ∨(?x)(Bx) (?x)(A ∧(Bx)) <=>A ∧(?x)(Bx) (?x)((Ax)→(Bx)) <=>(?x)(Ax)→(?x)(Bx) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) (?x)(Ax)∨(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)∨(Bx)) (?x)((Ax)∧(Bx)) =>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) (?x)(Ax)→(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)→(Bx)) 2.命题逻辑 1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项(m)之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P ,Q,R 的顺序依次写; 6.真值表中值为1的项为极小项,值为0的项为极大项; 7.n 个变元共有n 2个极小项或极大项,这n 2为(0~n 2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法(=>):真值表法;分析法(假定前键为真推出后键为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P 规则,T 规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 3.谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n 个个体,多元谓词描述个体之间的关系; 2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时,先消存在量词,再消全称量词; 4.集合 1.N ,表示自然数集,1,2,3……,不包括0; 2.基:集合A 中不同元素的个数,|A|; 3.幂集:给定集合A ,以集合A 的所有子集为元素组成的集合,P(A); 4.若集合A 有n 个元素,幂集P(A)有n 2个元素,|P(A)|=||2A =n 2; 5.集合的分划:(等价关系) ①每一个分划都是由集合A 的几个子集构成的集合; ②这几个子集相交为空,相并为全(A); 6.集合的分划与覆盖的比较: 分划:每个元素均应出现且仅出现一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出现,没有要求只出现一次; 5.关系 1.若集合A 有m 个元素,集合B 有n 个元素,则笛卡尔A ×B 的基数为mn ,A 到B 上可以定义mn 2种不同的关系; 2.若集合A 有n 个元素,则|A ×A|=2n ,A 上有22n 个不同的关系; 3.全关系的性质:自反性,对称性,传递性; 空关系的性质:反自反性,反对称性,传递性; 全封闭环的性质:自反性,对称性,反对称性,传递性; 4.前域(domR):所有元素x 组成的集合; 后域(ranR):所有元素y 组成的集合; 5.自反闭包:r(R)=RU Ix ; 对称闭包:s(R)=RU 1-R ; 传递闭包:t(R)=RU 2R U 3R U …… 6.等价关系:集合A 上的二元关系R 满足自反性,对称性和传递性,则R 称为等价关系; 7.偏序关系:集合A 上的关系R 满足自反性,反对称性和传递性,则称R 是A 上的一个偏序关系; 8.covA={|x,y 属于A ,y 盖住x}; 9.极小元:集合A 中没有比它更小的元素(若存在可能不唯一); 极大元:集合A 中没有比它更大的元素(若存在可能不唯一); 最小元:比集合A 中任何其他元素都小(若存在就一定唯一); 最大元:比集合A 中任何其他元素都大(若存在就一定唯一); 10.前提:B 是A 的子集 上界:A 中的某个元素比B 中任意元素都大,称这个元素是B 的上界(若存在,可能不唯一); 下界:A 中的某个元素比B 中任意元素都小,称这个元素是B 的下界(若存在,可能不唯一); 上确界:最小的上界(若存在就一定唯一); 下确界:最大的下界(若存在就一定唯一); 6.函数 1.若|X|=m,|Y|=n,则从X 到Y 有mn 2种不同的关系,有m n 种不同的函数; 2.在一个有n 个元素的集合上,可以有2n2种不同的关系,有nn 种不同的函数,有n!种不同的双射; 3.若|X|=m,|Y|=n ,且m<=n ,则从X 到Y 有A m n 种不同的单射; 4.单射:f:X-Y ,对任意1x ,2x 属于X,且1x ≠2x ,若f(1x )≠f(2x ); 满射:f:X-Y ,对值域中任意一个元素y 在前域中都有一个或多个元素对应; 双射:f:X-Y ,若f 既是单射又是满射,则f 是双射; 5.复合函数:f og=g(f(x)); 5.设函数f:A-B ,g:B-C ,那么 ①如果f,g 都是单射,则f og 也是单射; ②如果f,g 都是满射,则f og 也是满射; ③如果f,g 都是双射,则f og 也是双射; ④如果f og 是双射,则f 是单射,g 是满射; 7.代数系统 1.二元运算:集合A 上的二元运算就是2A 到A 的映射; 2. 集合A 上可定义的二元运算个数就是从A ×A 到A 上的映射的个数,即从从A ×A 到A 上函数的个数,若|A|=2,则集合A 上的二元运算的个数为2*22=42=16种; 3. 判断二元运算的性质方法: ①封闭性:运算表内只有所给元素; ②交换律:主对角线两边元素对称相等; ③幂等律:主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同; ④有幺元:元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同; ⑤有零元:元素所对应的行和列的元素都与该元素相同; 4.同态映射:,,满足f(a*b)=f(a)^f(b),则f 为由的同态映射;若f 是双射,则称为同构; 8.群 广群的性质:封闭性; 半群的性质:封闭性,结合律; 含幺半群(独异点):封闭性,结合律,有幺元; 群的性质:封闭性,结合律,有幺元,有逆元; 2.群没有零元; 3.阿贝尔群(交换群):封闭性,结合律,有幺元,有逆元,交换律; 4.循环群中幺元不能是生成元; 5.任何一个循环群必定是阿贝尔群; 10.格与布尔代数 1.格:偏序集合A 中任意两个元素都有上、下确界; 2.格的基本性质: 1) 自反性a ≤a 对偶: a ≥a 2) 反对称性a ≤b ^ b ≥a => a=b 对偶:a ≥b ^ b ≤a => a=b 3) 传递性a ≤b ^ b ≤c => a ≤c 对偶:a ≥b ^ b ≥c => a ≥c 4) 最大下界描述之一a^b ≤a 对偶 avb ≥a A^b ≤b 对偶 avb ≥b 5)最大下界描述之二c ≤a,c ≤b => c ≤a^b 对偶c ≥a,c ≥b => c ≥avb 6) 结合律a^(b^c)=(a^b)^c 对偶 av(bvc)=(avb)vc 7) 等幂律a^a=a 对偶 ava=a 8) 吸收律a^(avb)=a 对偶 av(a^b)=a 9) a ≤b <=> a^b=a avb=b 10) a ≤c,b ≤d => a^b ≤c^d avb ≤cvd 11) 保序性b ≤c => a^b ≤a^c avb ≤avc 12) 分配不等式av(b^c)≤(avb)^(avc) 对偶 a^(bvc)≥(a^b)v(a^c) 13)模不等式a ≤c <=> av(b^c)≤(avb)^c 3.分配格:满足a^(bvc)=(a^b)v(a^c)和av(b^c)=(avb)^(avc); 4.分配格的充要条件:该格没有任何子格与钻石格或五环格同构; 5.链格一定是分配格,分配格必定是模格; 6.全上界:集合A 中的某个元素a 大于等于该集合中的任何元素,则称a 为格的全上界,记为1;(若存在则唯一) 全下界:集合A 中的某个元素b 小于等于该集合中的任何元素,则称b 为格的全下界,记为0;(若存在则唯一) 7.有界格:有全上界和全下界的格称为有界格,即有0和1的格; 8.补元:在有界格内,如果a^b=0,avb=1,则a 和b 互为补元; 9.有补格:在有界格内,每个元素都至少有一个补元; 10.有补分配格(布尔格):既是有补格,又是分配格; 布尔代数:一个有补分配格称为布尔代数; 11.图论 1.邻接:两点之间有边连接,则点与点邻接; 2.关联:两点之间有边连接,则这两点与边关联; 3.平凡图:只有一个孤立点构成的图; 4.简单图:不含平行边和环的图; 5.无向完全图:n 个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图; 有向完全图:n 个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图; 6.无向完全图有n(n-1)/2条边,有向完全图有n(n-1)条边; 7.r-正则图:每个节点度数均为r 的图; 8.握手定理:节点度数的总和等于边的两倍; 9.任何图中,度数为奇数的节点个数必定是偶数个; 10.任何有向图中,所有节点入度之和等于所有节点的出度之和; 11.每个节点的度数至少为2的图必定包含一条回路; 12.可达:对于图中的两个节点i v ,j v ,若存在连接i v 到j v 的路,则称i v 与j v 相互可达,也称i v 与j v 是连通的;在有向图中,若存在i v 到j v 的路,则称i v 到j v 可达; 13.强连通:有向图章任意两节点相互可达; 单向连通:图中两节点至少有一个方向可达; 弱连通:无向图的连通;(弱连通必定是单向连通) 14.点割集:删去图中的某些点后所得的子图不连通了,如果删去其他几个点后子图之间仍是连通的,则这些点组成的集合称为点割集; 割点:如果一个点构成点割集,即删去图中的一个点后所得子图是不连通的,则该点称为割点; 15.关联矩阵:M(G),mij 是vi 与ej 关联的次数,节点为行,边为列; 无向图:点与边无关系关联数为0,有关系为1,有环为2; 有向图:点与边无关系关联数为0,有关系起点为1终点为-1, 关联矩阵的特点: 无向图: ①行:每个节点关联的边,即节点的度; ②列:每条边关联的节点; 有向图: ③所有的入度(1)=所有的出度(0); 16.邻接矩阵:A(G),aij 是vi 邻接到vj 的边的数目,点为行,点为列; 17.可达矩阵:P(G),至少存在一条回路的矩阵,点为行,点为列; P(G)=A(G)+2A (G)+3A (G)+4A (G) 可达矩阵的特点:表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路,以及在任何节点上是否存在回路; A(G)中所有数的和:表示图中路径长度为1的通路条数; 2A (G)中所有数的和:表示图中路径长度为2的通路条数; 3A (G)中所有数的和:表示图中路径长度为3的通路条数; 4A (G)中所有数的和:表示图中路径长度为4的通路条数; P(G)中主对角线所有数的和:表示图中的回路条数; 18.布尔矩阵:B(G),i v 到j v 有路为1,无路则为0,点为行,点为列; 19.代价矩阵:邻接矩阵元素为1的用权值表示,为0的用无穷大表示,节点自身到自身的权值为0; 20.生成树:只访问每个节点一次,经过的节点和边构成的子图; 21.构造生成树的两种方法:深度优先;广度优先; 深度优先: ①选定起始点0v ; ②选择一个与0v 邻接且未被访问过的节点1v ; ③从1v 出发按邻接方向继续访问,当遇到一个节点所有邻接点均已被访问时,回到该节点的前一个点,再寻求未被访问过的邻接点,直到所有节点都被访问过一次; 广度优先: ①选定起始点0v ; ②访问与0v 邻接的所有节点v1,v2,……,vk,这些作为第一层节点; ③在第一层节点中选定一个节点v1为起点; ④重复②③,直到所有节点都被访问过一次; 22.最小生成树:具有最小权值(T)的生成树; 23.构造最小生成树的三种方法: 克鲁斯卡尔方法;管梅谷算法;普利姆算法; (1)克鲁斯卡尔方法 ①将所有权值按从小到大排列; ②先画权值最小的边,然后去掉其边值;重新按小到大排序; ③再画权值最小的边,若最小的边有几条相同的,选择时要满足不能出现回路,然后去掉其边值;重新按小到大排序; ④重复③,直到所有节点都被访问过一次; (2)管梅谷算法(破圈法) ①在图中取一回路,去掉回路中最大权值的边得一子图; ②在子图中再取一回路,去掉回路中最大权值的边再得一子图; ③重复②,直到所有节点都被访问过一次; (3)普利姆算法 ①在图中任取一点为起点1v ,连接边值最小的邻接点v2; ②以邻接点v2为起点,找到v2邻接的最小边值,如果最小边值比v1邻接的所有边值都小(除已连接的边值),直接连接,否则退回1v ,连接1v 现在的最小边值(除已连接的边值); ③重复操作,直到所有节点都被访问过一次; 24.关键路径 例2 求PERT 图中各顶点的最早完成时间, 最晚完成时间, 缓冲时间及关键路径. 解:最早完成时间 TE(v1)=0 TE(v2)=max{0+1}=1 TE(v3)=max{0+2,1+0}=2 TE(v4)=max{0+3,2+2}=4 TE(v5)=max{1+3,4+4}=8 TE(v6)=max{2+4,8+1}=9 TE(v7)=max{1+4,2+4}=6 TE(v8)=max{9+1,6+6}=12 最晚完成时间 TL(v8)=12 TL(v7)=min{12-6}=6 TL(v6)=min{12-1}=11 TL(v5)=min{11-1}=10 TL(v4)=min{10-4}=6 TL(v3)=min{6-2,11-4,6-4}=2 TL(v2)=min{2-0,10-3,6-4}=2 TL(v1)=min{2-1,2-2,6-3}=0 缓冲时间 TS(v1)=0-0=0 TS(v2)=2-1=1 TS(v3)=2-2=0 TS(v4)=6-4=2 TS(v5=10-8=2 TS(v6)=11-9=2 TS(v7)=6-6=0 TS(v8)=12-12=0 关键路径: v1-v3-v7-v8 25.欧拉路:经过图中每条边一次且仅一次的通路; 欧拉回路:经过图中每条边一次且仅一次的回路; 欧拉图:具有欧拉回路的图; 单向欧拉路:经过有向图中每条边一次且仅一次的单向路; 欧拉单向回路:经过有向图中每条边一次且仅一次的单向回路; 26.(1)无向图中存在欧拉路的充要条件: ①连通图;②有0个或2个奇数度节点; (2)无向图中存在欧拉回路的充要条件: ①连通图;②所有节点度数均为偶数; (3)连通有向图含有单向欧拉路的充要条件: ①除两个节点外,每个节点入度=出度; ②这两个节点中,一个节点的入度比出度多1,另一个节点的入;度比出度少1; (4)连通有向图含有单向欧拉回路的充要条件: 图中每个节点的出度=入度; 27.哈密顿路:经过图中每个节点一次且仅一次的通路; 哈密顿回路:经过图中每个节点一次且仅一次的回路; 哈密顿图:具有哈密顿回路的图; 28.判定哈密顿图(没有充要条件) 必要条件: 任意去掉图中n 个节点及关联的边后,得到的分图数目小于等于n ; 充分条件: 图中每一对节点的度数之和都大于等于图中的总节点数; 29.哈密顿图的应用:安排圆桌会议; 方法:将每一个人看做一个节点,将每个人与和他能交流的人连接,找到一条经过每个节点一次且仅一次的回路(哈密顿图),即可; 30.平面图:将图形的交叉边进行改造后,不会出现边的交叉,则是平面图; 31.面次:面的边界回路长度称为该面的次; 32.一个有限平面图,面的次数之和等于其边数的两倍; 33.欧拉定理:假设一个连通平面图有v 个节点,e 条边,r 个面,则 v-e+r=2; 34.判断是平面图的必要条件:(若不满足,就一定不是平面图) 设图G 是v 个节点,e 条边的简单连通平面图,若v>=3,则e<=3v-6; 35.同胚:对于两个图G1,G2,如果它们是同构的,或者通过反复插入和除去2度节点可以变成同构的图,则称G1,G2是同胚的; 36.判断G 是平面图的充要条件: 图G 不含同胚于K3.3或K5的子图; 37.二部图:①无向图的节点集合可以划分为两个子集V1,V2; ②图中每条边的一个端点在V1,另一个则在V2中; 完全二部图:二部图中V1的每个节点都与V2的每个节点邻接; 判定无向图G 为二部图的充要条件: 图中每条回路经过边的条数均为偶数; 38.树:具有n 个顶点n-1条边的无回路连通无向图; 39.节点的层数:从树根到该节点经过的边的条数; 40.树高:层数最大的顶点的层数; 41.二叉树: ①二叉树额基本结构状态有5种; ②二叉树内节点的度数只考虑出度,不考虑入度; ③二叉树内树叶的节点度数为0,而树内树叶节点度数为1; ④二叉树内节点的度数=边的总数(只算出度);握手定理“节点数=边的两倍”是在同时计算入度和出度的时成立; ⑤二叉树内节点的总数=边的总数+1; ⑥位于二叉树第k 层上的节点,最多有12-k 个(k>=1); ⑦深度为k 的二叉树的节点总数最多为k 2-1个,最少k 个(k>=1); ⑧如果有0n 个叶子,n2个2度节点,则0n =n2+1; 42.二叉树的节点遍历方法: 先根顺序(DLR ); 中根顺序(LDR ); 后根顺序(LRD ); 43.哈夫曼树:用哈夫曼算法构造的最优二叉树; 44.最优二叉树的构造方法: ①将给定的权值按从小到大排序; ②取两个最小值分支点的左右子树(左小右大),去掉已选的这两个权值,并将这两个最小值加起来作为下一轮排序的权值; ③重复②,直达所有权值构造完毕; 45.哈夫曼编码:在最优二叉树上,按照左0右1的规则,用0和1代替所有边的权值; 每个节点的编码:从根到该节点经过的0和1组成的一排编码;

安徽大学期末试卷离散数学上卷及参考答案.doc

安徽大学20 09 — 20 10 学年第 1 学期 《离散数学(上)》考试试卷(A 卷) (时间120分钟) 院/系 专业 姓名 学号 题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分 一、单选题(每小题2分,共20分) 1. 设A={a,b,c},A 上二元关系R={〈a,a 〉,〈b,b 〉,〈a,c 〉},则关系R 的对称闭包S(R)是( ) A.R ∪I A B.R C.R ∪{〈c,a 〉} D.R ∩I A 2. 设X={a,b,c},I x 是X 上恒等关系,要使I x ∪{〈a,b 〉,〈b,c 〉,〈c,a 〉,〈b,a 〉}∪R 为X 上的等 价关系,R 应取( ) A. {〈c,a 〉,〈a,c 〉} B.{〈c,b 〉,〈b,a 〉} C. {〈c,a 〉,〈b,a 〉} D.{〈a,c 〉,〈c,b 〉} 3. 下列式子正确的是( ) A. ?∈? B.??? C.{?}?? D.{?}∈? 4. 设解释R 如下:论域D 为实数集,a=0, f(x,y)=x-y, A(x,y):x

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