体育运动与二次函数

体育运动与二次函数

教学过程设计：

一、温故知新，创设情境，导入新课。

1、通过视频和图片引入新课，展示课题。

2、复习；（1）二次函数的三种解析式

a 、一般式：

b 、顶点式：

c 、交点式：

(2)二次函数的最值：当a>0时，二次函数有最 值，为顶点的 坐标； 当a<0时，二次函数有最 值，为顶点的 坐标。

二、展示情景，传授新知

[情景1]如图所示，在一次足球训练中，球员小王从球门正前方10 m 处起脚射门，球的运行路线恰是一条抛物线．当球飞行的水平距离是6 m 时，球到达最高点，此时球高约3 m ．已知球门高2.44 m ．问此球能否射进球门？

2、怎样设二次函数的解析式呢？

3、怎么求二次函数的解析式？

4、 怎么判断足球能否进球门呢？

解：

[练习]某学校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高20

9

米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米。

（1）建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能

否准确投中？

（2）此时，若对方队员乙在甲前1米处跳起盖帽

拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否

获得成功？

解：

y x O [分析] 1、题目中的 起脚点对应抛物线上的哪一点，最高点又对应抛物线的哪一点？它们的坐标分别是什么？

[情景2]甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为P ，羽毛球距地面高度（m ）与其飞出的水平距离s （m ）之间的关系式

为21231232h s s =-++，

如图，已知球网AB 距原点5m ，乙扣球的最大高度（用线段CD 表示）为94

m ，设乙的起跳点C 的横坐标为a ，乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度会导致接球失败，若甲要使乙接球失败， 求a 的取值范围。

[分析]1、乙扣球的最大高度（纵坐标）为多少？

2、当羽毛球的高度（纵坐标）为 94

m 时，其飞行的水平距离（即横坐标）是多少？ 3、乙能不能穿过网扣球?羽毛球的高度与乙扣球的最大高度存在什么大小关系时，会导致乙扣球失败？

解：

三、知识梳理，小结归纳

说说你在本节课的收获

四、思考题

如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+2.6.已知球网与O 点的水平距离为9m ，高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m 。

（1）求y 与x 的关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）

（2）球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；

幂函数与二次函数

幂函数与二次函数基础梳理 1．幂函数的定义 一般地，形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数． 2．幂函数的图象 在同一平面直角坐标系下，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3 ，y ＝x 12， y ＝x －1的图象分别如右图． 3.二次函数的图象和性质 解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 ???? ??4ac －b 24a ，＋∞ ? ????－∞，4ac －b 24a 单调性 在x ∈??????－b 2a ，＋∞上单调递增 在x ∈? ????－∞，－b 2a 上单调递减 在x ∈? ????－∞，－b 2a 上单调递增 在x ∈??????－b 2a ，＋∞上单调递减 奇偶性 当b ＝0时为偶函数，b ≠0时为非奇非偶函数 顶点 ? ????－b 2a ，4ac －b 24a 对称性 图象关于直线x ＝－b 2a 成轴对称图形 5.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) (2)顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)

(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)

函数y ＝f (x )对称轴的判断方法 (1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 2 2对称． (2)一般地，函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)． 练习检测 1．(2011·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－3. 答案 A 2.如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )． A ．－2，－12，12，2 B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2,2，12 D ．2，12，－2，－12 答案 B 3．(2011·浙江)设函数f (x )＝? ???? －x ，x ≤0，x 2，x ＞0.若f (α)＝4，则实数α等于( )． A ．－4或－2 B ．－4或2 C ．－2或4 D ．－2或2 解析 由????? α≤0，－α＝4或? ???? α＞0，α2＝4，得α＝－4或α＝2，故选B. 答案 B 4．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b 等于( )． A ．3 B ．2或3 C ．2 D ．1或2 解析 函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[1，b ]上递增，

“球类”运动中二次函数

“球类”运动中的二次函数 数学和生活息息相关，数学就在你的身边. “新课程标准”要求学生初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，解决日常生活中与其他学科中遇到的数学问题，增强数学的应用意识.体育运动工程中的篮球、铅球、羽毛球、足球等是学生特别熟悉而又喜爱的运动方式，球类运动的曲线与我们学过的抛物线很投缘，其中涉及到不少的二次函数的相关知识，二次函数是刻画现实世界变量之间关系的一种常见的数学模型，许多实际问题，可以通过分析题目中变量之间的关系，建立二次函数模型，从而利用二次函数的图像和性质加以解决．下面根据背景不同分情况探究如下. 一、跳绳运动中的二次函数 例1你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图1所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m ，距地面均为1m ，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m 、2.5m 处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1.5m ，则学生丁的身高为（建立的平面直角坐标系如图所示）（） A ．1.5mB ．1.625mC ．1.66mD ．1.67m y 分析：本题考查阅读理解、数据处理及建立二次函数模型的能力．由于绳子甩到最高处时的形状可近似地看为抛物线，因此，根据条件中的数据得到抛物线上3个点的坐标后，再利用一般式即可求出函数表达式；而求丁的身高，转化为数学问题就是求抛物线上横坐标为1.5时对应点的纵坐标． 解：设函数表达式为y =Ax 2 +Bx +C ，易知图像经过点（—1，1），（0，1.5），（3，1），可得 A — B + C =1，A = —1/6， C =1.5，解得B =1/3， 9A +3B +C =1．C =1.5． 所以函数表达式为y = —61x 2+31x +2 3 ．当x =1.5时，y =1.625． 答案：B ． 二、以投掷“铅球”为背景渗透的二次函数问题 例2、(济南)小明代表班级参加校运动会的铅球工程，他想：“怎样才能将铅球推得更

第6讲 幂函数与二次函数

第6讲 幂函数与二次函数 一、选择题 1．已知幂函数y ＝f (x )的图像经过点? ? ???4，12，则f (2)＝( ) A.1 4 B ．4 C.22 D. 2 解析 设f (x )＝x α，因为图像过点? ????4， 12，代入解析式得：α＝－1 2 ，∴f (2)＝2－12＝2 2. 答案 C 2．若函数f (x )是幂函数，且满足 f 4f 2＝3，则f (1 2 )的值为( ) A ．－3 B ．－1 3 C ．3 D.1 3 解析 设f (x )＝x α，则由 f 4f 2＝3，得4α 2 α＝3. ∴2α＝3，∴f (12)＝(12)α＝12α＝1 3. 答案 D 3．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为 ( )． A ．[2－2，2＋2] B ．(2－2，2＋2) C ．[1,3] D ．(1,3)

解析 f (a )＝g (b )?e a －1＝－b 2＋4b －3?e a ＝－b 2＋4b －2成立，故－b 2＋4b －2>0，解得2－20， x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于 ( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 解析 f (a )＋f (1)＝0?f (a )＋2＝0???? a >0，2a ＋2＝0或??? a ≤0，a ＋1＋2＝0，解得a ＝ －3. 答案 A 5 .函数f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－ b 2a 对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( )． A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{1,2,3,4} D ．{1,4,16,64} 解析 设关于f (x )的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0有两根，即f (x )＝t 1或f (x )＝t 2. 而f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象关于x ＝－ b 2a 对称，因而f (x )＝t 1或f (x )＝t 2的两根也关于x ＝－b 2a 对称．而选项D 中4＋162≠1＋642 . 答案 D 6．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，a 为正整数，c ≥1，a ＋b ＋c ≥1，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个小于1的不等正根，则a 的最小值是 ( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 解析 由题意得f (0)＝c ≥1，f (1)＝a ＋b ＋c ≥1.当a 越大，y ＝f (x )的开口越小，当a 越小，y ＝f (x )的开口越大，而y ＝f (x )的开口最大时，y ＝f (x )过(0,1)，(1,1)，则c ＝1，a ＋b ＋c ＝1.a ＋b ＝0，a ＝－b ，－b 2a ＝1 2，又b 2－4ac >0，a (a －4)>0，

人教版中考数学压轴题型24道：二次函数专题含答案解析

人教版中考数学压轴题24道：二次函数专题 1．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当＝时，求t的值； （3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值． 2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标； （3）如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B． （1）求抛物线解析式及B点坐标； （2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积； （3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位

置时，PC+PA 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由． 4．已知函数y ＝（n 为常数） （1）当n ＝5， ①点P （4，b ）在此函数图象上，求b 的值； ②求此函数的最大值．（2）已知线段AB 的两个端点坐标分别为A （2，2）、B （4，2），当此函数的图象与线段 AB 只有一个交点时，直接写出n 的取值范围． （3）当此函数图象上有4个点到x 轴的距离等于 4，求n 的取值范围． 5．在平面直角坐标系 xOy 中（如图），已知抛物线 y ＝x 2 ﹣2x ，其顶点为A ． （1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A 的坐标，并说明它的变化情况； （2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点” ． ①试求抛物线y ＝x 2 ﹣2x 的“不动点”的坐标； ②平移抛物线y ＝x 2﹣2x ，使所得新抛物线的顶点 B 是该抛物线的“不动点”，其对称轴 与x 轴交于点C ，且四边形OABC 是梯形，求新抛物线的表达式．

幂函数与二次函数专题

幂函数与二次函数专题 [最新考纲] 1．了解幂函数的概念． 2．结合函数y ＝x ，y ＝x 2 ，y ＝x 3 ，y ＝1 x ，y ＝ 的图象，了解它们的变化情况． 3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质． 4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 知 识 梳 理 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． (2)常见的5种幂函数的图象 (3)常见的5种幂函数的性质 函数 特征 性质 y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 1 2 y ＝x －1 定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ∈R ，且 x ≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ∈R ，且 y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 (－∞，0] 减，[0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)减，(0，＋∞)减

定点 (0,0)，(1,1) (1,1) 2.二次函数 (1)二次函数的定义 形如f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的函数叫做二次函数． (2)二次函数的三种常见解析式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，(m ，n )为顶点坐标； ③两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)其中x 1，x 2分别是f (x )＝0的两实根． (3)二次函数的图象和性质 函数 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0) 图象 a >0 a <0 定义域 R R 值域 y ∈?? ?? ?? 4ac －b 2 4a ，＋∞ y ∈? ? ???－∞，4ac －b 2 4a 对称轴 x ＝－b 2a 顶点 坐标 ? ????－b 2a ，4ac －b 2 4a 奇偶性 b ＝0?y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数 递增 区间 ? ?? ?? －b 2a ，＋∞ ? ? ???－∞，－b 2a 递减 区间 ? ? ???－∞，－b 2a ? ???? －b 2a ，＋∞ 最值 当x ＝－b 2a 时，y 有最小值y min ＝4ac －b 24a 当x ＝－ b 2a 时，y 有最大值y max ＝4ac －b 2 4a

二次函数(附解析答案) 40页

填空： 1.体育加试时，一女生掷实心球，实心球飞行中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y=－．已知女生掷实心球的评分标准如下表： 2.利用图象解一元二次方程x2＋x－3=0时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=－x＋3，两图象交点的横坐标就是该方程的解． （1）填空：利用图象解一元二次方程x2＋x－3=0，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y= 和直线y=－x，其交点的横坐标就是该方程的解． （2）已知函数y=－的图象（如图所示），利用图象求方程－x＋3=0的近似解．（结果保留两个有效数字）

3.已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，则点P（a，bc）在第 象限． 4.已知抛物线y=x2－2x－3的图象与x轴交于A，B两点，在x轴上方的抛物线上有一点C，使△ABC的面积为10，则C点坐标为． 5.老师给出一个二次函数，甲，乙，丙三位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第一、二、四象限； 乙：当x＜2时，y随x的增大而减小． 丙：函数的图象与坐标轴只有两个交点． 已知这三位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数． 6.如图所示的二次函数y=ax2＋bx＋c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息： （1）b2﹣4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a﹣b＜0；（4）a＋b＋c＜0．你认为其中错误的有（） 7.如图，抛物线y=ax2＋bx＋c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b＋c的值为．

8.已知函数，若使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（） 9.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M，N（点M在点N的上方），若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0≤t≤4），则能大致反映S与t的函数关系的图象是（） ．B． C．D． 的最小值是． 11.抛物线y=ax2＋ax＋x＋1与x轴有且只有一个交点，则a= ． 12.如图是二次函数y1=ax2＋bx＋c和一次函数y2=mx＋n的图象，观察图象写出y2≥y1时，x的取值范围．

2.6 一次函数、二次函数与幂函数

§2.6 一次函数、二次函数与幂函数 (时间：45分钟 满分：100分) 一、选择题(每小题7分，共35分) 1．若函数y ＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a 等于 ( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 2．“a <0”是“方程ax 2＋1＝0有一个负数根”的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分必要条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( ) 4.幂函数y ＝f (x )的图象过点??? ?4，1 2，那么f (8)的值为 ( ) A ．2 6 B ．64 C. 2 4 D.164 5．已知幂函数f (x )＝(t 3－t ＋1)·2 7325 t t x +-(t ∈N)是偶函数，则实数t 的值为( ) A ．0 B ．－1或1 C ．1 D ．0或1 二、填空题(每小题6分，共24分) 6．方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α，β，且α>0，1<β<2，则实数m 的取值范围是 . 7．对于函数y ＝x 2 ，y ＝12 x 有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内 都单调递增；③它们的图象关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图象都是抛物线型． 其中正确的有__________． 8．已知函数f (x )＝ ax ＋b x －b ，其图象关于点(－3,2)对称，则f (2)的值是________． 9．设二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在[－3,2]上有最大值4，则实数a 的值为________．

九年级数学二次函数应用题 含答案

九年级数学专题二次函数的应用题 一、解答题 1.一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为 2.5米时，达到最大高度 3.5米，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。 （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式； （2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 2.某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数．（1）试求y与x之间的关系式； （2）在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？ 3.在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标为（6，5）（1）求这个二次函数的解析式； 米，）2）该男同学把铅球推出去多远？（精确到0.01 （ 元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量（件）某商场以每件42，4.

件）可看成是一次函数关系：/（元与每件的销售价 之间的函数关系式（每天的销售与每件的销售价写出商场卖这种服装每天的销售利润1. 利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）； 2.通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？ 5.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路 线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件），在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。 （1）求这条抛物线的解析式； （2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由 6.某服装经销商甲，库存有进价每套400元的A品牌服装1200套，正常销售时 每套600元，每月可卖出100套，一年内刚好卖完，现在市场上流行B品牌服装，此品牌服装进价每套200元，售出价每套500元，每月可买出120套（两套服装的市场行情互不影响）。目前有一可进B品牌的机会，若这一机会错过，估计一年内进不到这种服装，可是，经销商手头无流动资金可用，只有低价转让A品牌服装，经与经销商乙协商，达成协议，转让价格（元/套）与转让数量（套）有 如下关系： 转让数量（套）120011001000900800700600500400300200100 价格（元/套）240250260270 280290 300310 320330 340 350 方案1：不转让A品牌服装，也不经销B品牌服装； 方案2：全部转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装； 方案3：部份转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装，同时经销A品牌服装。 问： ①经销商甲选择方案1与方案2一年内分别获得利润各多少元？

二次函数最经典综合提高题

周村区城北中学二次函数综合提升寒假作业题 一、顶点、平移 1、抛物线y ＝－(x ＋2)2 －3的顶点坐标是（ ）． (A) （2，－3）； (B) （－2，3）； (C) （2，3）； (D) （－2，－3） 2、若,,,,,123351A y B y C y 444??????- ? ? ??????? 为二次函数2y x 4x 5=+-的图象上的三点，则123y y y 、、的大小关系是 A.123y y y << B. 213y y y << C.312y y y << D.132y y y << 3、二次函数y=﹣（x ﹣1）2+5，当m ≤x ≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m +n 的值为（ ）A ． B ．2 C ． D ． 4、下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( ) A ．y = (x ? 2)2 + 1 B ．y = (x + 2)2 + 1 C ．y = (x ? 2)2 ? 3 D ．y = (x + 2)2 ? 3 5、将二次函数2 45y x x =-+化为2 ()y x h k =-+的形式，则y = ． 6二次函数与y=kx 2﹣8x +8的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是 （ ） A ．k ＜2 B ．k ＜2且k ≠0 C ．k ≤2 D ．k ≤2且k ≠0 7、由二次函数1)3(22+-=x y ，可知（ ） A ．其图象的开口向下 B ．其图象的对称轴为直线3-=x C ．其最小值为1 D ．当3

陕西中考数学第24题二次函数专题整理

24．（本题满分10分）（2007陕西） 如图，在直角梯形OBCD 中，8110OB BC CD ===，，． （1）求C D ，两点的坐标； （2）若线段OB 上存在点P ，使PD PC ⊥，求过D P C ，， 三点的抛物线的表达式． 24．（本题满分10分）（2008陕西副题） 如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC=60°，OB=1，OC=5. (1)求经过B 、A 、C 三点的抛物线的表达式； (2)作出△ABC 关于y 轴对称的△C B A '''； (3)经过B '、A '、C '三点的抛物线能否由（1）中的抛物线平移得到？若能，怎样得到？若不能，请说明理由. D C B P O y x （第24题图）

24、（本题满分10分）（2008陕西） 如图，矩形ABCD 的长、宽分别为3 2和1，且OB ＝1，点E （3 2 ，2），连接AE 、ED 。 （1）求经过A 、E 、D 三点的抛物线的表达式； （2）若以原点为位似中心，将五边形AEDCB 放大，使放大后的五边形的边长是原五边形对应边长的3倍，请在下图网格中画出放大后的五边形A ′E ′D ′C ′B ′； （3）经过A ′、E ′、D ′三点的抛物线能否由（1）中的抛物线平移得到？请说明理由。 24．（本题满分10分）（2009陕西副） 如图，一条抛物线经过原点，且顶点B 的坐标（1，-1）. (1)求这个抛物线的解析式; (2)设该抛物线与x 轴正半轴的交点为A ，求证:△OBA 为等腰直角三角形； (3)设该抛物线的对称轴与x 轴的交点为C ，请你在抛物线位于x 轴上方的图象上求两点E 、F ，使△ECF 为等腰直角三角形，且∠EOF=90° 1 2 3 4 5 6 7 A B C E D O x y 1 6 4 2 3 5 7 （第24题图）

幂函数与二次函数

第6讲 幂函数与二次函数 【2013年高考会这样考】 1．求二次函数的解析式． 2．求二次函数的值域与最值． 3．利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题． 【复习指导】 本讲复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，掌握求函数最值的常用方法：配方法、判别式法、不等式法、换元法、导数法等，注重分类讨论思想与数形结合 思想的综合应用． 基础梳理 1．幂函数的定义 一般地，形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数． 2．幂函数的图象 在同一平面直角坐标系下，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 1 2，y ＝x －1的图象分别如右图． 3．幂函数的性质 y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 12 y ＝x －1

定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ∈R 且x ≠0} 值 域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ∈R 且y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x ∈[0，＋∞) 时，增 x ∈(－∞，0]时，减 增 增 x ∈(0，＋∞)时， 减 x ∈(－∞，0)时， 减 定点 (0,0)，(1,1) (1,1) 4.二次函数的图象和性质 解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 ???? ??4ac －b 2 4a ，＋∞ ? ? ???－∞，4ac －b 2 4a 单调性 在x ∈?????? －b 2a ，＋∞上单调递增 在x ∈? ? ? ??－∞，－b 2a 上单调递增 在x ∈? ? ???－∞，－b 2a 上单调递减 在x ∈???? ?? －b 2a ，＋∞上单调递减 奇偶性 当b ＝0时为偶函数，b ≠0时为非奇非偶函数 顶点 ? ???? －b 2a ，4ac －b 2 4a 对称性 图象关于直线x ＝－b 2a 成轴对称图形

完整word版,上海2018初三数学一模各区压轴第24题二次函数

2018各区一模24 普陀24．（本题满分12分，每小题满分各4分）如图10，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋c （其中a 、c 为常数，且a ＜0）与x 轴交于点A ，它的坐标是(－3, 0)，与y 轴交于点B ，此抛物线顶点C 到x 轴的距离为4． （1）求该抛物线的表达式； （2）求∠CAB 的正切值； （3）如果点P 是抛物线上的一点，且∠ABP ＝∠CAO ，试直接写出点P 的坐标． 图10 静安24.在平面直角坐标系xoy 中（如图），已知抛物线3 5 2 - +=bx ax y ，经过点)0,1(-A 、)0,5(B . （1）求此抛物线顶点C 的坐标； （2）联结AC 交y 轴于点D ，联结BD 、BC ，过点C 作BD CH ⊥，垂足为点H ，抛物线对称轴交x 轴于G ，联结HG ，求HG 的长。

奉贤24.（本题满分12分，每小题满分各4分） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2 38 y x bx c = ++与x 轴交于点A （-2,0）和点B ，与y 轴交于点C （0，-3），经过点A 的射线AM 与y 轴相交于点E ，与抛物线的另一个交点为F ，且 1 3 AE EF =. （1）求这条抛物线的表达式，并写出它的对称轴； （2）求∠F AB 的余切值； （3）点D 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，点P 是y 轴上一点，且∠AFP =∠DAB ，求点P 的坐标. 虹口24．（12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分4分） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴相交于点A （-2,0）、B （4,0），与y 轴交于点C （0，-4），BC 与抛物线的对称轴相交于点D ． （1）求该抛物线的表达式，并直接写出点D 的坐标； （2）过点A 作AE ⊥AC 交抛物线于点E ，求点E 的坐标； （3）在（2）的条件下，点F 在射线AE 上，若△ADF ∽△ABC ，求点F 的坐标． x F E y B O D A C 第24题图

二次函数的图象特点及其应用

二次函数的图象特点及其应用 二次函数的图象特点及其应用 课题名称: 二次函数的图象特点及其应用 课题的研究及意义: 数学是一门很有用的学科。古往今来，人类社会都是在不断了解和探究数学的过程中得到发展进步的。数学对推动人类文明起了举足轻重的作用。数学是人们用来解决实际问题的，其实数学问题就产生在生活中。比如说，上街买东西自然要用到加减法，修房造屋总要画图纸。类似这样的问题数不胜数，这些知识就从生活中产生，最后被人们归纳成数学知识，解决了更多的实际问题。现在，就让我们一起领略数学中二次函数的无穷魅力 课题研究内容: 1.发展史:函数就是在某变化过程中有两个变量X和Y，变量Y随着变量X一起变化，而且依赖于X。如果变量X取某个特定的值，Y依确定的关系取相应的值，那么称Y是X的函数。这一要领是由法国数学家黎曼在19世纪提出来的，但是最早产生于德国的数学家菜布尼茨。他和牛顿是微积分的发明者。17世纪末，在他的文章中，首先使用了“function" 一词。翻译成汉语的意思就是“函数。不过，它和我们今天使用的函数一词的内涵并不一样，它表示”幂”、“坐标”、“切线长”等概念。 直到18世纪，法国数学家达朗贝尔在进行研究中，给函数重新下了一个定义，他认为，所谓变量的函数，就是指由这些变量和常量所组成的解析表达式，即用解析式表达函数关系。后来瑞士的数学家欧拉又把函数的定义作了进一步的规范，他认为函数是能描画出的一条曲线。我们常见到的一次函数的图像、二次函数的图像、正比例函数的图像、反比例的图像等都是用图像法表示函数关系的。如果用达朗贝尔和欧拉的方法来表达函数关系，各自有它们的优点，但是如果作为函数的定义，还有欠缺。因为这两种方法都还停留在表面现象上，而没有提示出函数的本质来。 19世纪中期，法国数学家黎紧吸收了莱布尼茨、达朗贝尔和欧拉的成果，第一次准确地提出了函数的定义：如果某一个量依赖于另一个量，使后一个量变化时，前一个量也随着变化，那么就把前一个量叫做后一个量

非常好：中考经典二次函数应用题(含答案)

二次函数训练提高习题 1. 9.如图所示的二次函数2 y ax bx c =++的图像中，刘星同学观察得出了下面四条信息： （1）2 4b ac -＞0；（2）c ＞1；(3)2a-b ＜0；(4)a+b+c ＜0.你认为其中错误的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个 2. 在同一坐标系中，一次函数1+=ax y 与二次函数a x y +=2 的图像可能是（ ） 3. ．抛物线y ＝－(x ＋2)2－3的顶点坐标是（ ）． (A) （2，－3）； (B) （－2，3）； (C) （2，3）； (D) （－2，－3） 4.、若二次函数c x x y +-=62 的图像过)321,23(),,2(),,1(Y C Y B Y A +-,则321,,y y y 的大小关系是 【 】 A 、321y y y B 、321y y y C 、312y y y D 、213y y y 5.已知二次函数5 1 2 - +-=x x y ，当自变量x 取m 时对应的值等于0，当自变量x 分别取1-m 、1+m 时对应的函数值为1y 、2y ，则1y 、2y 必须满足┅〖 〗 A ．1y ＞0、2y ＞0 B ．1y ＜0、2y ＜0 C ．1y ＜0、2y ＞0 D ．1y ＞0、2y ＜0 6. 二次函数2 y ax bx c =++的图象如图所示，则反比例函数a y x =与一次函数y bx c =+在同一坐标系中的大致图象是( )

y 8.一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面的函数关系式：h=－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是（） A．1米B．5米C．6米D．7米 9. 若下列有一图形为二次函数y＝2x2－8x＋6的图形，则此图为何？（） 12. 7.已知抛物线2(0) y ax bx c a =++≠在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）A．0 > a B．0 < b C．0 < c D．0 > + +c b a 13. 8．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线24 y x x =-+（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是 （） A．4米B．3米C．2米D．1米 14.下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点(0，1)的是( ) A．y=(x－2)2+1 B．y=(x+2)2+1 C．y=(x－2)2－3 D．y=(x+2)2－3 15. 如图，抛物线y=x2+1与双曲线y= x k 的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式 x k + x2+1<0的解集是( ) A．x>1 B．x<－1 C．0

二次函数与幂函数

二次函数与幂函数 1．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)二次函数的图象和性质 解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞) 值域 ? ? ? ? 4ac－b2 4a，＋∞? ? ? ? －∞， 4ac－b2 4a 单调性 在x∈? ? ? ? －∞，－ b 2a上单调递减； 在x∈? ? ? ? － b 2a，＋∞上单调递增 在x∈? ? ? ? －∞，－ b 2a上单调递增； 在x∈? ? ? ? － b 2a，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于x＝－ b 2a对称 2. (1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较

(3)幂函数的性质比较 函数 特征 性质 y＝x y＝x2y＝x3y＝12x y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数 单调性增 x∈[0，＋∞)时，增； x∈(－∞，0]时，减 增增 x∈(0，＋∞) 时，减； x∈(－∞，0)时，减判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是 4ac－b2 4a.(×) (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．(×) (3)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)．(×) (4)当n>0时，幂函数y＝x n是定义域上的增函数．(×) (5)若函数f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3在(－∞，2)上单调递增，则k＝± 2 2.(×) (6)已知f(x)＝x2－4x＋5，x∈[0,3)，则f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min＝f(3)＝2.(×) 1．设b>0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列之一，则a的值为() C．1 D．－1 答案D 解析因为b>0，故对称轴不可能为y轴，由给出的图可知对称轴在y轴右侧，故a<0，所以二次函数的图象为第三个图，图象过原点，故a2－1＝0，a＝±1，又a<0，所以a＝－1，故选D. 2．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为 ________． 答案[1,2]

上海2018初三数学一模各区压轴第24题二次函数

实用文档 文案大全 yO2018各区一模24 普陀24．（本题满分12分，每小题满分各4分）如图10，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋2ax＋c（其中a、c为常数，且a＜0）与x轴交于点A，它的坐标是(－3, 0)，与y轴交于点B，此抛物线顶点C到x轴的距离为4． （1）求该抛物线的表达式； （2）求∠CAB的正切值； （3）如果点P是抛物线上的一点，且∠ABP＝∠CAO，试直接写出点P的坐标． 图10 静安24.在平面直角坐标系xoy中（如图），已知抛物线352???bxaxy，经过 点)0,1(?A、)0,5(B. （1）求此抛物线顶点C的坐标； （2）联结AC交y轴于点D，联结BD、BC，过点C作BDCH ?，垂足为点H，抛物线对称轴交x轴于G，联结HG，求HG的长。

实用文档 文案大全 奉贤24.（本题满分12分，每小题满分各4分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线238yxbxc???与x轴交于点A（-2,0） 和点B，与y轴交于点C（0，-3），经过点A的射线AM与y轴相交于点E，与抛物线的另一个交点为F，且13AEEF?. （1）求这条抛物线的表达式，并写出它的对 称轴； （2）求∠FAB的余切值； （3）点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，点P是y轴上一点，且∠AFP=∠DAB，求点P的坐标. 虹口24．（12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分4分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴相交于点A（-2,0）、B（4,0），与y 轴交于点C（0，-4），BC与抛物线的对称轴相交于点D． （1）求该抛物线的表达式，并直接写出点D的坐标； （2）过点A作AE⊥AC交抛物线于点E，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，点F在射线AE上，若△ADF∽△ABC，求点F 的坐标．

幂函数与二次函数专题练习

幂函数与二次函数专题练习 一、选择题 1.(2020·郑州外国语学校期中)已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的所有α的值为() A.1，3 B.－1，1 C.－1，3 D.－1，1，3 解析因为函数y＝xα为奇函数，故α的可能值为－1，1，3.又y＝x－1的值域为{y|y≠0}，函数y＝x，y＝x3的值域都为R.所以符合要求的α的值为1，3.答案 A 2.已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则() A.a>0，4a＋b＝0 B.a<0，4a＋b＝0 C.a>0，2a＋b＝0 D.a<0，2a＋b＝0 解析因为f(0)＝f(4)>f(1)，所以函数图象应开口向上，即a>0，且其对称轴为 x＝2，即－b 2a ＝2，所以4a＋b＝0. 答案 A 3.在同一坐标系内，函数y＝x a(a≠0)和y＝ax＋1 a的图象可能是() 解析若a<0，由y＝x a的图象知排除C，D选项，由y＝ax＋1 a 的图象知应选 B；若a>0，y＝x a的图象知排除A，B选项，但y＝ax＋1 a 的图象均不适合，综 上选B.

答案 B 4.若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0，2]上的最大值为1，则实数a 等于( ) A.－1 B.1 C.2 D.－2 解析 ∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得， ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ， ∴?????－a ≥4－3a ，－a ＝1或?????－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1. 答案 B 5.若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，－2) B.(－2，＋∞) C.(－6，＋∞) D.(－∞，－6) 解析 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ， 令f (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1，4)， 所以f (x )12>25，得? ?? ? ? 223 >? ?? ?? 123 >? ?? ?? 253 ，即P >R >Q . 答案 P >R >Q 7.若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1 在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是________.

二次函数综合题(5)--运动类问题

初三数学——二次函数实践与探索（5） 例1、关于x 的二次函数y ＝-x 2 ＋(k 2 -4)x ＋2k-2以y 轴为对称轴，且与y 轴的交点在x 轴上方． (1)求此抛物线的解析式，并在直角坐标系中画出函数的草图； (2)设A 是y 轴右侧抛物线上的一个动点，过点A 作AB 垂直x 轴于点B ，再过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点D ，过D 点作DC 垂直x 轴于点C, 得到矩形ABCD ．设矩形ABCD 的周长为l ，点A 的横坐标为x ，试求l 关于x 的函数关系式； (3)当点A 在y 轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD 能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若 例2、如图所示, 在平面直角坐标系xoy 中， 矩形OABC 的边长OA 、OC 分别为12cm 、6cm ，点A 、C 分别在y 轴的负 半轴和x 轴的正半轴上，抛物线y=ax 2 +bx+c 经过点A 、B ，且18a+c=0. (1)求抛物线的解析式. (2)如果点P 由点A 开始沿AB 边以1cm/s 的速度向终点B 移动，同时点Q 由点B 开始沿BC 边以2cm/s 的速度向终点C 移动. ①移动开始后第t 秒时，设△PBQ 的面积为S ，试写出S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围. ②当S 取得最大值时，在抛物线上是否存在点R ，使得以P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在，求出R 点的坐标，如果不存在，请说明理由。 例3、如图1 ，把一个边长为22的正方形ABCD 放在平面直角坐标系中，点A 在坐标原点，点C 在y 轴的正半轴上， 经过B 、C 、D 三点的抛物线c / 交x 轴于点M 、N(M 在N 的左边). (1)求抛物线c / 的解析式及点M 、N 的坐标； (2)如图2，另一个边长为22的正方形////D C B A 的中心G 在点M 上，/B 、/ D 在x 轴的负半轴上(/D 在/ B 的左边)，点/A 在第三象限，当点G 沿着抛物线c 1从点M 移到点N ，正方形随之移动，移动中//D B 始终与x 轴平行. ①直接写出点/A 、/B 移动路线形成的抛物线/)(c A 、/)(c B 的函数关系式；②如图3，当正方形// //D C B A 第一次移动到与正方形ABCD 有一边在同一直线上时，求点G 的坐标． 课堂练习： 班级 姓名 班级 姓名