重庆市2019届高三数学三模考试试题理

重庆市2019届高三数学三模考试试题 理（含解析）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.已知i 为虚数单位，复数z 满足：()11i z i +=-，则z 在复平面内对应点的坐标为（ ） A. ()0,1 B. ()0,1-

C. ()1,0

D. ()1,0-

【答案】B 【解析】 【分析】

把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简即可．

【详解】由()11z i i +=-，得2

1(1)1(1)(1)

i i z i i i i --=

==-++-，∴复数z 在复平面内对应的点为（0，﹣1）， 故选：B ．

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．

2.已知集合{

}

2

230A x x x =+-<，集合{}

3B x x a =-<<，若“x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()1,+∞ B. [)1,+∞ C. ()3,1- D. (]3,1-

【答案】A 【解析】 【分析】

由题意得，问题转化为集合A 是集合B 的真子集，得到关于a 的不等式组，解出即可． 【详解】因为“x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，所以集合A 是集合B 的真子集， 又集合{}2

230A x x x =+-<={

}31x x -<<，且{}

3B x x a =-<<，

所以1a > 故选：A

【点睛】本题考查了必要不充分条件，考查集合的包含关系，属于基础题．

3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312S =，651S =，则9S 的值等于（ ） A. 66 B. 90

C. 117

D. 127

【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可得6

3963,,S S S S S --成等差数列，代入数据可得9S ．

【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,由题意可得63963,,S S S S S --成等差数列，

故()()363962

S S S S S -=+-，

代入数据可得()()9251121125S -=+-，解得9117S =

故选：C

【点睛】本题考查等差数列前n 项和的性质，属于基础题．

4.双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的一条渐近线与直线230x y ++=垂直，则双曲线的离心

率为（ ）

D. 2

【答案】C 【解析】 【分析】

先求双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的一条渐近线为b y x a =，再利用直线互相垂直得

()21b a ?-=-，代入e =. 【详解】双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的一条渐近线为b y x a =，Q 渐近线b y x a =

与直线230x y ++=垂直，

得()21b a ?-=-，即12b a =，代入2e === 故选：C

【点睛】本题考查了双曲线的离心率求法，渐近线方程，属于基础题.

5.二项式2n

x ?- ?

?的展开式中第7项是常数项，则n 的值是（ ） A. 8 B. 9

C. 10

D. 11

【答案】B 【解析】 【分析】

利用二项展开式的通项公式，得第7项x 的指数，利用指数为零，求出n 的值．

【详解】二项式2n

x ?- ?

?的展开式中第7项为

()6

666666696+131=222n n n n n n n n T C x C x C x x -----?== ??

， 由于第7项为常数项，则n ﹣9＝0，解得n ＝9 故选：B ．

【点睛】本题考查二项展开式的通项公式的理解与应用，属于基础题．

6.已知向量a r 、b r

的夹角为120?，2a =r ，2b =r ，则2a b -r r 在b r 方向上的投影为（ ）

B. C. 4 D. 4-

【答案】D 【解析】 【分析】

由题意，先求(2b)a b -?r r r ，再求2b a -r r

在b r 方向上的投影为：

(2b)|2b |cos (2b)||

a a b

a b b -?-?<-?>=r r r

r r r r r r ，代值求出结果即可．

【详解】∵已知向量a r 、b r

的夹角为120?，2a =r ，2b

=r ，

∴2

(2)2222cos120228a b b a b b -?=?-=??-?=-o r r r r r r

2b a -r r

在b r 方向上的投影为：

(2b)(2b)8

|2b |cos (2b)|2b |42|2b |||||

a b a b a b a a b b a -?-?--?<-?>=-?===--?r r r r r r

r r r r r r r r r r r

故选：D ．

【点睛】本题考查向量的投影的求法，考查向量数量积公式的应用，属于基础题．

7.如图给出计算1111

246100

++++L 值的一个程序框图，其中空白的判断框内应填入的条件是（ ）

A. 49?i ≥

B. 50?i ≥

C. 51?i ≥

D. 51?i >

【答案】C 【解析】 【分析】

利用程序框图的循环结构依次求出结果即可． 【详解】根据程序框图：S 0,1i ==，

执行第一次循环时：1

S 02=+， 执行第二次循环时：11

S 024

=++，

…

依此类推,当51i =时，输出结果．

其中判断框内应填入的条件是：51?i ≥ 故选：C ．

【点睛】本题考查循环结构的程序框图，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题

8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()11f x f x -=+，当()0,1x ∈时，

()()2log 1f x x =+，则()2019f =（ ）

A. 1

B. 1-

C. 0

D. 2log 3

【答案】B 【解析】 【分析】

根据奇函数和()()11f x f x -=+，得函数的周期为4，利用函数周期性和奇函数的关系进行转化即可得到结果．

【详解】∵奇函数f （x ）满足()()11f x f x -=+，

∴f （x+1）＝f （1﹣x ）＝﹣f （x ﹣1），即f （x+2）＝﹣f （x ）， 则f （x+4）＝﹣f （x+2）＝f （x ），即函数f （x ）是周期为4的函数， ∵当x ∈()0,1时，f （x ）＝log 2（x+1），

∴f （2019）＝f （505?4﹣1）＝f （﹣1）＝﹣f （1）＝﹣log 22＝﹣1. 故选：B ．

【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用函数的奇偶性和周期性进行转化是解决本题的关键，属于基础题．

9.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和

科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比1

2

m =

的近似值，黄金分割

比还可以表示成2sin18?，则2

2cos 271

=?-（ ）

A. 4

1

C. 2

1

【解析】

【分析】

由题意得m＝2sin18°，∴4﹣m2＝4cos218°，利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简，计算即可得解．

【详解】由题意得m＝2sin18°，∴4﹣m2＝4﹣4sin218°＝4（1﹣sin218°）＝4cos218°，

∴

2

2cos271

?-

＝

2sin184sin18cos18

2 1cos541sin36

??

??

== +-

．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．

10.今年4月，习近平总书记专程前往重庆石柱考察了“精准脱贫”工作，为了进一步解决“两不愁，三保障”的突出问题，当地安排包括甲、乙在内的5名专家对石柱县的3个不同的乡镇进行调研，要求每个乡镇至少安排一名专家，则甲、乙两名专家安排在不同乡镇的概率为（）

A. 19

25

B.

17

20

C.

16

25

D.

19

40

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出甲、乙两名专家被分配在同乡镇的概率，由此能求出甲、乙两名专家不在同乡镇的概率．

【详解】记甲、乙两名专家被分配在同乡镇的事件为A，5名专家分到3个不同的乡镇，

共有2种情况，1种情况为1,1,3人，另1种情况为1,2,2人.

那么

33

113122

33

4342

33

22

2

1313

33

2

55

6 ()

6

5

02

115

C A C A

P A

C C

A

C

A A

C C C

A

+

+

=

+

==

，

所以甲、乙两名专家不在同乡镇的概率为：P()1P()19 25

A A

=-=．

故答案：A

【点睛】本题考查了分步计算原理的运用问题，也考查了间接法和古典概型的计算问题，属

11.在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD DD ==，AB =

,,E F G 分别是棱

1,,AB BC CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 平行，则三角形1BB P 面积最小值为（ ）

B. 1 D.

12

【答案】C 【解析】 【分析】

由直线与平面没有公共点可知线面平行，补全所给截面后，易得两个平行截面，从而确定点P 所在的线段，计算即可．

【详解】分别取11111,,D C D A A A 的中点H,Q,R ，补全截面EFG 为截面EFGHQR 如图所示， 设BR ⊥AC ，∵直线D 1P 与平面EFG 不存在公共点，∴D 1P ∥平面EFGHQR ，易知平面ACD 1∥平面EFGHQR ，∴P ∈AC ，

且当P 与R 重合时，BP ＝BR 最短，此时△PBB 1的面积最小，11AD DD ==，AB =

由等面积法：

12BR ×AC ＝12BA ×BC ，得11BR 1BR 22=?∴=，

即BP 2

=

，又BB 1⊥平面ABCD ，∴BB 1⊥BP ，△PBB 1为直角三角形，

∴△PBB 1的面积为：11224

?=

. 故选：C ．

【

点睛】本题考查了线面平行，面面平行的应用，三角形面积公式，属于中档题．

12.已知函数32

log ,

()41,0

x x f x x x x ?>=?

++?… ，函数F （x ）＝f （x ）﹣b 有四个不同的零点x 1，

x 2，x 3，x 4，且满足：x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则2213

23432

x x x x x x +-的取值范围是（ ） A. [2+∞）

B. （3，

839

] C. [3，+∞） D.

832,9??????

【答案】D 【解析】 【分析】

函数()()F x f x b =- 有4个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，转化为()f x b =有4个交点，结合函数()f x 的图象得 x 1+x 2＝﹣4，x 3x 4＝1，利用换元法求出新函数的值域即可． 【详解】函数32

log ,

()41,0

x x f x x x x ?>=?

++?…图象如图所示，函数F （x ）＝f （x ）﹣b 有四个不

同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，

且满足：x 1＜x 2＜x 3＜x 4，转化为()f x b =有4个不同的交点，由图象，结合已知条件得 x 1+x 2＝﹣4，x 3x 4＝1，0＜b ≤1，

解不等式0＜﹣log3x≤1得：1

3

≤x3＜1，()

22

2

1323

44

123

2

33

2

3

3

1

2

22

x x x x x

x x

x x x

x x x

+

-=-?+=+，令t＝x32，则

1

9

≤t＜1，令g（t）＝2t+

1

t

，则g（t）在[

1

9

，

2

2

]上单调递减，[

2

2

，1）上是增函数．

g（

2

2

）＝22，g（

1

9

）＝

83

9

，()13

g=，∴g（2

2

）≤g（t）≤g（

1

9

），即22≤2t+

1

t

≤

83

9

．故选：D．

【点睛】本题考查了函数零点与函数图象的关系，对数的运算，函数单调性的判断与应用，属于中档题．

二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上

13.已知随机变量ξ服从正态分布

()2

2,

Nσ，若()30.9

Pξ≤=，则

()

13

Pξ

<≤=_________.

【答案】0.8

【解析】

【分析】

随机变量ξ服从正态分布

()2

2,

Nσ，则正态分布密度函数曲线关于x＝2对称，由P（ξ≤3）＝0.9，即可求得()

13

Pξ

<≤．

【详解】随机变量ξ服从正态分布

()2

2,

Nσ，则正态分布的密度函数曲线关于x＝2对称，

所以P （2≤ξ≤3）＝P （1≤ξ≤2），且P （ξ≤3）＝0.9， 所以P （ξ>3）＝1﹣0.9＝0.1，∴P （ξ≤1）＝P （ξ>3）=0.1 则()13P ξ<≤=1-P （ξ>3）-P （ξ≤1）=0.8 故答案为：0.8．

【点睛】本题主要考查了正态分布曲线的对称性解决概率问题，属于基础题．

14.已知直线y kx =与曲线ln 2y x =相切，则实数k 的值为_________. 【答案】

2

e

【解析】 【分析】

设切点坐标P （a ，ln2a ），求出导函数y '，利用导数的几何意义得k ＝y '|x ＝a ，再根据切点也在切线上，列出关于a 和k 的方程，求解即可．

【详解】设切点坐标为P （a ，ln2a ），∵曲线y ＝ln2x ，∴y '＝

1

x

，∴k ＝y 'x a

=＝

1

a

，① 又∵切点P （a ，ln2a ）在切线y ＝kx 上，∴ln2a ＝k a ，②，由①②，解得2

e a =， 代入①得k ＝2e ，∴实数k 的值为2e

． 故答案为：

2e

【点睛】本题考查了导数的几何意义求切线的斜率，属于基础题．

15.已知实数,x y 满足3

31x y mx y y -≥-??

+≤??≥?

，其中0

sin m xdx π=?，则24x y z =?的最大值为_________.

【答案】62 【解析】 【分析】

由定积分得0

sin m xdx π

=

?

=2，即实数,x y 满足3231x y x y y -≥-??

+≤??≥?

，画出可行域，化简目标函数

2242x y x y z +=?=，令2x y ω=+，化为直线方程的斜截式11

22

y x ω=-

+，数形结合得到

最大解，把最大解的坐标代入目标函数即可． 【详解】由定积分计算得()

()0

sin cos cos cos02m xdx x π

π

π==-=--=?

，

所以实数,x y 满足3

231x y x y y -≥-??

+≤??≥?

，画出可行域，如图所示：

化简目标函数2242x y x y z +=?=，令2x y ω=+，得11

22

y x ω=-+， 在可行域内平移1122y x ω=-

+，当11

22

y x ω=-+移动到A 时，ω取最大值. ()30

0,3233

x y x A x y y -=-=?????

?+==??，把A 代入2x y ω=+，得6ω=， 此时26max

22x y z +==

故答案为：62

【点睛】本题考查了定积分和指数的计算，简单的线性规划，目标函数的几何意义，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题.

16.抛物线2

1:8E y x =和圆()2

22:24E x y -+=，直线2y x =-与抛物线1E 和圆2E 分别交

于四个点A D B C 、、、（自下而上的顺序为A B C D 、、、），则AB BC CD ??的值为_________. 【答案】16 【解析】 【分析】

设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，结合已知条件和抛物线的定义得|AF|＝x 1+2=|AB|+2，即|AB|＝x 1，同理可得：|CD|＝x 4，将直线的方程代入抛物线方程，利用韦达定理求得x 1x 4，即可得结果．

【详解】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，∵y 2

＝8x ，焦点F （2，0），

()

2

2x 2y 4-+=的圆心为()2,0，半径2r =，

所以直线y x 2=-既过抛物线1E 的焦点F ，又过圆2E 的圆心.

抛物线的准线 l 0：x ＝﹣2．由抛物线定义得：|AF|＝x 1+2，又∵|AF|＝|AB|+2，∴|AB|＝x 1，同理：|CD|＝x 4，

则直线：y ＝x ﹣2代入抛物线方程2

y 8x =，得：x 2﹣12x+4＝0，∴x 1x 4＝4，则|AB|?|CD|＝4．又

BC 24r ==，

综上所述，AB BC CD ??＝4?4=16 故答案为：16．

【点睛】本题主要考查抛物线的定义，直线与抛物线和圆的位置关系，韦达定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．

三、解答题：共70分.解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程.并答在答题卡相应的位置上.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共60分

17.已知函数()()sin f x A x =+ω?，其中0A >，0>ω，()0,?π∈，x ∈R ，且()f x 的

最小值为2-，()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，3f x π?

?

- ??

?

的图象关于原点对称.

（1）求函数()f x 的解析式和单调递增区间；

（2）在ABC ?中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，且

()2

22242cos a

ac B a b c -=+-，求()f B .

【答案】（1）f （x ）＝2sin （

12x+6π），递增区间为:424,4,33k k k Z ππππ??-++∈????

；（2）

【解析】 【分析】

（1）由题意可求f （x ）的A 和周期T ，利用周期公式可求ω，利用正弦函数的对称性可求?，可得f （x ）的解析式和单调递增区间；

（2）由余弦定理，结合已知条件，求出B,代入f （x ）化简求值即可.

【详解】（1）∵函数()()sin f x A x ω?=+，其中0A >，0>ω，()0,?π∈，函数的最小值是-2，

∴A ＝2，∵()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，∴T ＝

24π

πω

=，解得：

1

2

ω=. 又∵3f x π??- ???的图象关于原点对称，∴ f （x ）的图象关于,03π?-? ???

对称.

∴

1k ,k Z 32π?π???-+=∈ ??? ，解得：+k ,k Z 6

π

?π=∈， 又∵()0,?π∈，解得：6π

=?．可得：f （x ）＝2sin （12x+6

π）． 因

1-+222k ππ≤x++226k πππ≤，k π∈，∴4-+43k x ππ≤2+43

k ππ≤，k π∈

所以f （x ）的递增区间为:424,4,33k k k Z ππππ??

-

++∈????

.

（2）在ABC ?中，满足()

2

222

42cos a ac B a b c -=+-，

由余弦定理得()222

2

222422a c b a ac a b c ac

+--=+-，

化简222a c b ac +-=，所以cos B =

12

，且()0,,3B B ππ∈∴=，

()f B =3f π??

= ???

2sin （123π?+6π）=3

【点睛】本题主要考查了由()()sin f x A x ω?=+的部分图象确定其解析式，正弦函数的值和单调区间，也考查了余弦定理，属于中档题．

18.在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为等腰梯形，1

AD=

2

BC ，且AD BC P ，AD ＝AE ＝1，∠ABC ＝60°，EF=

1

2

AC ，且EF P AC.

（Ⅰ）证明：AB ⊥CF ；

（Ⅱ）求二面角B ﹣EF ﹣D 的余弦值． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）10

10

【解析】 【分析】

（Ⅰ）由EA ⊥平面ABCD 得BA ⊥AE ．由四边形ABCD 为等腰梯形，1

AD=

2

BC ，且AD BC P ，∠ABC ＝60°，得AB ⊥AC ，进而推出AB ⊥平面ACFE ．即可得AB ⊥CF ．

（Ⅱ）以A 为坐标原点，AB ，AC ，AE 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面BEF 的一个法向量，平面DEF 的一个法向量，通过向量的数量积求解二面角的余弦值即可． 【详解】（Ⅰ）由题知EA ⊥平面ABCD ，BA ?平面ABCD ，∴BA ⊥AE ． 四边形ABCD 为等腰梯形，1

AD=

2

BC ，且AD BC P ，AD ＝1，所以BC=2，∠ABC ＝60°，

过点A 作AH ⊥BC 于H ，在RT △ABH 中，1

ABH 60,BH 2

?

∠==

，∴AB ＝1， 在△ABC 中，

AC 2＝AB 2+BC 2﹣2AB ?BCcos60°＝3，∴AB 2+AC 2＝BC 2，∴AB ⊥AC ， 且AC ∩EA ＝A ，∴AB ⊥平面ACFE ．又∵CF ?平面ACFE ，∴AB ⊥CF.

（Ⅱ）以A 为坐标原点，AB ，AC ，AE 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，

EF=1

2AC ，且EF P AC ，AD ＝AE ＝1，则()313(1,0,0),0,0, 1,0,, 1,,,0222B E F D ????- ? ? ? ?????， 3131(1,0,1),1,,1,,,1,,0,12222BE BF DE DF ??????

∴=-=-=-= ? ? ? ? ???????

u u u r u u u r u u u r u u u r 设111(,,)n x y z =r 为平面BEF 的一个法向量，则111110

3

02n BE x z n BF x y z ??=-+=?

??=-++=??

u u u v v u u u v v 令11x = ，得(1,0,1)n =r

，

设222(,,)m x y z =u r 为平面DEF 的一个法向量，则2222213022102m DE x y z m DF x z ??=-+=?????=+=??

u u u v v u u u v v 令22x =，

得(2,0,1)m =-u r

，

∴10cos ,||||m n m n m n ?<>==u r r

u r r u r r ，二面角B ﹣EF ﹣D 的余弦值为10.

【点睛】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，向量法求二面角的平面角，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．

19.《最强大脑》是大型科学竞技类真人秀节目，是专注传播脑科学知识和脑力竞技的节目．某机构为了了解大学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关，对某校的100名大学生进行了问卷调查，得到如下列联表：

已知在这100人中随机抽取1人抽到不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为0.4

（I ）请将上述列联表补充完整；判断是否有99.9%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关，并说明理由；

（II ）已知在被调查的大学生中有5名是大一学生，其中3名喜欢《最强大脑》，现从这5名大一学生中随机抽取2人，抽到喜欢《最强大脑》的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．

参考公式：()()()()()

2

2

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++

参考数据：(

)

2

5.0240.025P K ≥=，(

)2

6.6350.010P K ≥=，(

)

2

7.8790.005P K ≥=，

()210.8280.001P K ≥=.

【答案】（Ⅰ）有99.9%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关；（II ）见解析 【解析】 【分析】

（Ⅰ）根据已知条件计算出2×2 列联表中各个数据，求出K 2，可得答案；

（II ）X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和EX ． 【详解】（Ⅰ）满足题意的2×2 列联表如下表所示：

由列联表中的数据，得到2

2

100(45251515)14.06310.82860406040

K ?-?=≈>???

因此，有99.9%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关． （II ）X 的可能取值为0，1，2，

P （X ＝0）22251

10C C ==，

P （X ＝1）=11232

53

5

C C C = ， P （X ＝2）＝23253

10

C C =，

∴X 的分布列为：

EX ＝133601

2105105

?

+?+?= ． 【点睛】本题考查独立检验、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，属于基础题.

20.已知点F 1，F 2分别为椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的左、右焦点，点P 为椭圆上任意一

点，P 到焦点F 21，且△PF 1F 2的最大面积为1． （Ⅰ）求椭圆C 的方程．

（Ⅱ）点M 的坐标为5,04??

???

，过点F 2且斜率为k 的直线L 与椭圆C 相交于A ，B 两点．对于任

意的k R,MA ME ∈?u u u u r u u u r

是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由．

【答案】（Ⅰ）2

212

x y +=；（Ⅱ）定值为716-

【解析】 【分析】

（Ⅰ）利用P 到焦点F 2

1，且△PF 1F 2的最大面积为1，结合a 2＝b 2+c 2，求出a ，c ，b 可得椭圆的方程．

（Ⅱ）利用直线与椭圆方程，通过韦达定理，结合向量的数量积化简得到定值即可． 【详解】（I ）由题意可知：a+c

1，121

2

PF F S ?=

×2c ×b ＝1，且a 2＝b 2+c 2， ∴a 2

＝2，b 2

＝1，c 2

＝1，∴所求椭圆的方程为：2

212

x y +=.

（II ）设直线L 的方程为：y ＝k （x ﹣1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （

5

4

，0） 联立直线与椭圆方程，消去y 可得（2k 2+1）x 2﹣4k 2x+2（k 2﹣1）＝0

则2122

2122

41222120k x x k k x x k ?+=?+?

?-=?+?

?>???

112255MA ,y ,MB ,y 44x x ????=-=- ?∴ ?????u u u u r u u u r 12125544MA MB x x y y ????∴?=--+ ????

???uuu r uuu r ()121212525

y y 416x x x x =-++++

()()212121212525

1416

x x k x x x x x x =-

++++++-???? ()()22212125251416k x x k x k x ??

=--+++++ ???

()2222

222

54222514121216k k k k k k k -??=--?++?++ ?++?? 7

16

=- ∴对于任意

k R,ME MA ∈?u u u r u u u r 为定值716

-．

【点睛】本题考查求椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，三角形面积公式，韦达定理以及向量数量积的综合应用，考查计算能力，属于中档题

21.已知函数f （x ）＝（x ﹣2）e x ﹣

2

2

a x +a x ，其中a ∈R ，e 是自然对数的底数．

（1）当a ＞0时，讨论函数f （x ）在（1，+∞）上的单调性；

（2）若函数g （x ）＝f '（x ）+2﹣a ，证明：使g （x ）≥0在R 上恒成立的实数a 能取到的最大整数值为1．

【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】

（1）讨论a 的范围，判断f '（x ）的符号，得出f （x ）的单调性；

（2）分别计算a ＝1和a ＝2时g （x ）的最小值，判断g （x ）的最小值的符号得出结论． 【详解】（1）f '（x ）＝e x +（x ﹣2）e x ﹣a x+a ＝（x ﹣1）（e x ﹣a ），令f '（x ）＝0解得x ＝ln a ，

①若ln a ≤1，即0＜a ≤e ，则f '（x ）≥0在（1，+∞）上恒成立，∴f （x ）在（1，+∞）上单调递增；

②若ln a ＞1，即a ＞e ，则当1＜x ＜ln a 时，f ′（x ）＜0，当x ＞ln a 时，f '（x ）＞0， ∴f （x ）在（1，ln a ）上单调递减，在（ln a ，+∞）上单调递增， （2）g （x ）＝e x +（x ﹣2）e x ﹣a x+2，

①当a ＝1时，g （x ）＝e x +（x ﹣2）e x ﹣x+2，()'

g x ＝xe x ﹣1，()"

g

x ＝（x+1）e x

，

∴当x ＜﹣1时，()"

g

x ＜0，当x ＞﹣1时，()"g x ＞0，

∴()'

g x 在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增， ∴()'

g x 的最小值为g '（﹣1）＝﹣

1

e

﹣1＜0， 又当x ＜0时，()'

g x ＜0，g '（0）＝﹣1，g '（ln2）＝2ln2﹣1＞0， ∴存在唯一一个实数x 0∈（0，ln2），使得g '（x 0）＝0，即x 00e x ＝1． ∴g （x ）在（﹣∞，x 0）上单调递减，在（x 0，+∞）上单调递增， ∴g （x ）的最小值为g （x 0）＝0e x +x 00e x ﹣02x e ﹣x 0+2＝3﹣（0e x +x 0），

∵0＜x 0＜ln2，∴1＜0e x ＜2，∴0e x +x 0＜2+ln2＜3，∴g （x 0）＝3﹣（0e x +x 0）＞0， ∴当a ＝1时，g （x ）≥0在R 上恒成立．

②当a ＝2时，g （x ）＝e x +（x ﹣2）e x ﹣2x+2，()'

g x ＝xe x ﹣2，g ''（x ）＝（x+1）e x ，

由①可知()'

g x 在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，

()'g x 的最小值为g '（﹣1）＝﹣1

e

﹣2＜0，且当x ＜0时，()'g x ＜0，g '（ln2）＝2ln2﹣2

＜0，g '（1）＝e ﹣2＞0，

∴存在唯一一个实数x 0∈（ln2，1），使得g '（x 0）＝0，即x 00e x ＝2． ∴g （x ）在（﹣∞，x 0）上单调递减，在（x 0，+∞）上单调递增， ∴g （x ）的最小值为g （x 0）＝0e x +x 00e x ﹣02x e ﹣2x 0+2＝4﹣（0e x +2x 0），

∵ln2＜x 0＜1，∴2＜0e x ＜e ，∴0e x +2x 0＞2+2ln2＞4，∴g （x 0）＝3﹣（0e x +x 0）＜0， ∴当a ＝2时，g （x ）≥0在R 上不恒成立． 综上，实数a 能取到的最大整数值为1．

【点睛】本题考查了函数单调性的判断，导数应用，函数恒成立问题与函数最值的计算，属于中档题．

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如多做，则按所做的第一天计分

选修4-4：坐标系与参数方程

22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos 3sin x t y t αα

=+??=+?（t 为参数，α为直线l 的倾

斜角），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为

4sin ρθ=.

（1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求23

π

α=

时直线l 的普通方程； （2）直线l 和曲线C 交于两点A B 、，点P 的直角坐标为()2,3，求PA PB +的最大值.

【答案】（1）C ：x 2+y 2﹣4y ＝0，l 30y +-=；（2）【解析】 【分析】

（1）把ρ＝4sin θ两边同时乘以ρ，然后结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程，由直线l 的参数方程可知直线过定点，并求得直线的斜率，即可写出直线的普通方程；