6关于高斯定理、场强环路定理

关于高斯定理

1) 高斯定理反映场和源的关系, 说明静电场是有源场.正电荷是源头，负电荷是尾闾，即电场线始于正电荷,止于负电荷，在没有电荷的地方不会中断或闭合。

2) 高斯定理反映了库仑定律的平方反比关系.

3) 高斯定理告诉我们，穿出闭合曲面的电通量只与闭合面内电荷代数和有关，但闭合曲面上各点场强与闭合曲面内、外所有电荷量及分布有关。应用高斯定理不能由电荷分布求得场强分布，也不能由场强分布求得电荷分布。

静电场环路定理

1)场强环路定理说明静电场是保守力场，是有势力场

2) 场强环路定理说明电场线不闭合

关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理

关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理 静电场的高斯定理和静电场的环路定理是库仑定律的推论，所以称之为定理。由于库仑定律是静电场的基本规律，适用于静电场，所以库仑定律的推论也适用于静电场。 电场有许多种：静电场（由静止电荷激发）、恒定电场（由运动然而空间分布不随时间改变的电荷体系激发的电场）、位电场（可以在其中建立电位函数的电场，位电场的电场强度等于电位的负梯度，分为恒定的与时变的，静电场和恒定电场就属于恒定的位电场）、涡旋电场。 静电场的高斯定理的文字表述是：静电场中，电场强度穿出闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包围的总电量除以真空电容率。静电场的高斯定理的数学表述式是：in 0d i S q E S ε?=∑? 。英国著名物理学家麦克斯韦首先假设静电场的高斯定理的数学表示式in 0d i S q E S ε?=∑? 适用于一切电场，也就是说，实际的电场强度（即总电场强度） 穿出闭合曲面的通量等于闭合曲面内的总电量除以真空电容率。这个假设后来被实验证实了。正因为这个原因，数学表示式in 0d i S q E S ε?=∑? 也叫做高斯定律。 由于德国数学家高斯根据库仑定律推出的这个静电场规律的数学表示式是普遍适用的，这让高斯在电磁学中享有很高的声誉。 in 0d i S q E S ε?=∑? 有好几个称谓：高斯定理、高斯通量定理、电场的高斯定 理、电场的高斯通量定理、高斯定律、高斯通量定律、电场的高斯定律、电场的高斯通量定律。对于静电场，这个规律叫做静电场的高斯定理，或者静电场的高斯通量定理。 高斯在数学方面有一项重要成就，叫做高斯公式（也可以叫做高斯通量公式

或者高斯散度公式）。高斯公式的数学表示式是d d S V f S f V ?=???? 。其含义是：矢量场穿出闭合曲面的通量等于矢量场的散度在闭合曲面所包围的空间区域内的体积分。 高斯定理是电（磁）学规律，高斯公式是纯粹数学规律，两者截然不同。但是把两者结合起来，就可以推出0E ρε??= 。 根据库仑定律还可以推出d 0l E l ?=? ，其含义是静电场强度沿任意回路的线积分恒等于零。数学表示式d 0l E l ?=? 除了适用于静电场，也适用于恒定电场， 还适用于位电场，但是不适用于涡旋电场。所以，d 0l E l ?=? 不是电磁学中普遍 适用的规律。正因为这个原因，首先从库仑定律导出d 0l E l ?=? 的那个人没有名 气，我们甚至不知道他姓甚名谁。大理大学工程学院教授罗凌霄 2020年3月11日

高斯定理

高斯定理陈述报告 班级：电气121班 姓名：徐鹏学号：2012230106 姓名：邵辉学号：2012230158 姓名：王天宇学号：2012230102

高斯定理 高斯定律（Gauss' law）表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系 由曲面向外定义为其方向，为闭合曲面内的电荷，为真空电容率，为此处电介质的介电常数（如果是真空的话，其数值为1）。其微分形式；其中，为电荷密度(单位 C/m3)。在线性材料中，等式变为。其中为材料的电容率。 基本定义：高斯定理（Gauss Law）也称为高斯公式（Gauss Formula）， 或称作散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式（通常情况的高斯定理都是指该定理，也有其它同名定理）。 设空间有界闭合区域Ω，其边界?Ω为分片光滑闭曲面。函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)及其一阶偏导数在Ω上连续，那么[1]： 图一（高数上的高斯公式） （由于百科不支持很多格式及字符，故本词条使用一些截图，本公式请见右侧图一） （如图一）其中?Ω的正侧为外侧，cos α、cos β、cos γ为?Ω的外法向量的方向余弦。 高斯投影 称向量场 的散度(divergence)。[1]

即矢量穿过任意闭合曲面的通量等于矢量的散度对闭合面所包围的体积的积分。它给出了闭曲面积分和相应体积分的积分变换关系，是矢量分析中的重要恒等式，也是研究场的重要公式之一。 其他高斯定理：高斯定理2 定理：凡有理整方程 至少有一个根。 推论：一元n次方程 有且只有n个根（包括虚根和重根）。 高斯定理3 正整数n可被表示为两整数平方和的充要条件为n的一切形如4k+3形状的质因子的幂次均为偶数。 适用条件：任何电场 静电场（见电场）的基本方程之一，它给出了电场强度在任意封闭曲面上的面积分和包围在封闭曲面内的总电量之间的关系。 根据库仑定律可以证明电场强度对任意封闭曲面的通量正比于该封闭曲面内电荷的代数和，即 公式 这就是高斯定理。它表示，电场强度对任意封闭曲面的通量只取决于该封闭曲面内电荷的代数和，与曲面内电荷的分布情况无关，与封闭曲面外的电荷亦无关。在真空的情况下,Σq是包围在封闭曲面内的自由电荷的代数和。当存在介质时,Σq应理解为包围在封闭曲面内的自由电荷和极化电荷的总和。 高斯定理反映了静电场是有源场这一特性。凡是有正电荷的地方，必有电力线发出；凡是有负电荷的地方，必有电力线会聚。正电荷是电力线的源头，负电荷是电力线的尾闾。 高斯定理是从库仑定律直接导出的，它完全依赖于电荷间作用力的二次方反比律。把高斯定理应用于处在静电平衡条件下的金属导体，就得到导体内部无净电荷的结论，因而测定导体内部是否有净电荷是检验库仑定律的重要方法。 对于某些对称分布的电场,如均匀带电球的电场,无限大均匀带电面的电场以及无限长均匀带电圆柱的电场，可直接用高斯定理计算它们的电场强度。 当存在电介质并用电位移D描写电场时,高斯定理可表示成▽·D=ρ。 它说明电位移对任意封闭曲面的通量只取决于曲面内自由电荷的代数和 Σq o，与自由电荷的分布情况无关,与极化电荷亦无关。电位移对任一面积的能量为电通量，因而电位移亦称电通密度。对于各向同性的线性的电介质，电位移

安培环路定理

安培环路定理 安培环路定理的严格证明(缩略图) 在稳恒磁场中，磁场强度H沿任何闭合路径的线积分，等于这闭合路径所包围的各个电流之代数和。这个结论称为安培环路定理（Ampere circuital theorem）。安培环路定理可以由毕奥－萨伐尔定律导出。它反映了稳恒磁场的磁感应线和载流导线相互套连的性质。 目录

按照安培环路定理，环路所包围电流之正负应服从右手螺旋法则。 安培环路定理应用 如果闭合路径l包围着两个流向相反的电流I1和I2（如左图所示），这在下式中， 按图中选定的闭合路径l 的绕行方向，B矢量沿此闭合路径的环流为如果闭合路径l包围的电流等值反向（如右图所示），或者环路中并没有包围电流，则： 安培环路定理的证明(严格证明,大图见参考资料的链接) 编辑本段安培环路定理的证明（不完全证明） 以长直载流导线产生的磁场为例，证明安培环路定理的正确性。 安培环路定理应用 在长直载流导线的周围作三个不同位置，且不同形状的环路，可以证明对磁场中这三个环路，安培环路定理均成立。 取对称环路包围电流 在垂直于长直载流导线的平面内，以载流导线为圆心作一条半径为r 的圆形环路l， 则在这圆周上任一点的磁感强度H的大小为 其方向与圆周相切．取环路的绕行方向为逆时针方向，取线元矢量dl，则H与dl间的夹角，H沿这一环路 l 的环流为 式中积分是环路的周长。 于是上式可写成为 从上式看到，H沿此圆形环路的环流只与闭合环路所包围的电流I 有关，而与环路的大小、形状无关。 取任意环路包围电流

在垂直于长直载流导线的平面内，环绕载流直导线作一条如下图所示的任意环路l，取环路的绕行方向为逆时针方向。 在环路上任取一段线元dl，载流直导线在线元dl处的磁感强度B大小为 H与dl的夹角为，则H对dl的线积分为 直导线中心向线元的张角为，则有，所以有 可见，H对dl的线积分与到直导线的距离无关。 那么B对整个环路的环流值为 上述计算再次说明H的环流值与环路的大小、形状无关。 取任意环路不包围电流 在垂直于长直载流导线的平面内，在载流直导线的外侧作一条如下图所示的任 安培环路定理应用 意环路l，取环路的绕行方向为逆时针方向。 以载流直导线为圆心向环路作两条夹角为的射线，在环路上截取两个线元和。和距直导线圆心的距离分别为和，直导线在两个线元处的磁感强度分别为和。从上图可以看出，而。利用安培环路定理的证明之二的结论可知 结论 所以有 从载流直导线中心O出发，可以作许多条射线，将环路分割成许多成对的线元，磁感强度对每对线元的标量积之和，都有上式的结果，故即环路不包围电流时，B的环流值为零。 安培环路定理反映了磁场的基本规律。和静电场的环路定理相比较，稳恒磁场中B 的环流，说明稳恒磁场的性质和静电场不同，静电场是保守场，稳恒磁场是非保守场。 编辑本段安培环路定理的应用 利用安培环路定理求磁场的前提条件：如果在某个载流导体的稳恒磁场中，

万有引力的高斯定理1

万有引力场的高斯定理 容晓晖 物理工程学院2010级物理学类二班 邮箱：295771197@https://www.wendangku.net/doc/d06250125.html, 在大一上学期学习力学，在学到简谐运动那一章时，胡老师曾举个一个例子，是摘自老版本大学物理学的一道书上例题，题目是这样的： 将地球看做一个半径为R 的均匀球体，密度为ρ，假定沿直径开一条通道，若有质量为m 的质点沿通道做无摩擦运动，证明此运动为简写运动。（题目示意图如下） 例题图 当时做这道题时不知道如何列出质点的受力方程，后来老师直接讲到质点的受力大小仅与质点所在圆面内包围的质量有关，而与外部的质量无关。列出受力大小公式，经过化简发现受到的万有引力大小是一个和质点所在面的半径r 成正比的○1，即质点在地球内部受到了一个线性回复力的作用，方向和质点相对于平衡位置（地心）的位移方向相反，即质点做的是简谐运动。具体的解题公式和过程不再写出，这些不是本文章的重点。 场景转换到大一下学期（现在），在老师讲到电磁学中静电场的高斯定理时，惊奇的发现： ∑?? = = Φ) (01 cos 内S i E q dS E εθ 这个公式告诉我们：通过一个任意闭合曲面S 的电通量E Φ等于该面所包围的所有电荷的代数和Σq 除以ε0，与闭合面外的电荷无关。这就是著名的电场中的高斯定理的表述。 54页至59页，这里不再抄写证明。 高斯提出了电通量的概念，并根据库仑定律推导出来，使很多电场问题步骤和思路大大简化，并提炼出了这个公式。 学到这里时我就突然想到了本文最开始的那道有关万有引力的题目，并且想到牛顿的万有

引力定律公式——2 2 1r m m G F =万和库仑定律公式——2 21c r q q k =F 有着十分相似的形 式，既然库仑定律能够推导出电场的高斯定理，那么高斯定理应该在万有引力场中同样适用。 在这里先给几个定义和公式： 万有引力强度，用g 表示，定义式为2r m 中万 G m F g == ，但正方向为从内到外，与 g 实际方向相反。对于球状质点系，通过单位表面积的引力通量是： -g r 4r 4*g - S 2 2 ==Φ=Φππ万d 1， 万有引力通量， ???-=ΦS S gcos θ万（注意负号） 2， 仿照0 41πε = k ，令0 41g G π= ，这里的0g 姑且命名为真空介万常数，呵呵，根 据真空介电常数改的，大小约为1.193*10^9。 下面进行公式推导，目的是证明： ) (S i S g m g 1g 1S gcos 中内万m m S i = = = ?-=Φ∑????θ成立。 推导证明公式成立： 同样仿照课本上的证明过程（《电磁学》（赵凯华、陈熙谋版）第54页至59页），从球面开始证明： ?????? ??= = = === ?-=ΦS i 02 2 2 2 2 2 S m g 1g r m 4414r m r m r m S gcos 中中中中中万m r g r G dS G dS G S S πππθ即 ) (S i S g m g 1g 1S gcos 中内万m m S i = = = ?-=Φ∑????θ 上为第一种情况：通过包围质点的同心球体的万有引力通量都为m 中/g 0 另外两种情况：通过包围质点的任意闭合面的万有引力通量都等于m 中/g 0，和通过不包围点电荷的任意闭合面的万有引力通量恒为0.因为过程和课本上的极为相似，均不再这里证明，有兴趣的可以参考课本。

高斯定理

简析高斯定理在电场中的应用 高斯定理是静电学中的一个重要定理, 它反映了静电场的一个基本性质, 即静电场是有源场, 其源即是电荷。可表述为: 在静电场中, 通过任意闭合曲面的电通量, 等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的1/ε倍, 与闭合曲面外的电荷无关。表达式为 01 () 1/n i i S E ds q φε==?=∑?? （1） 高斯定理是用来求场强E 分布, 定理中, S 是任意曲面, 由于数学水平的限制, 要由高斯定理计算出E,则对由场的分布有一定的要求, 即电荷分布具有严格的对称性( 若电荷分布不对称性即不是均匀的, 引起电场分布不对称, 不能从高斯定理求空间场强分布,高斯定理当然仍是成立的) , 由于电荷分布的对称性导致场强分布的对称性, 场强分布的对称性应包括大小和方向两个方面。典型情况有三种: 1) 球对称性, 如点电荷, 均匀带电球面或球体等; 2) 轴对称性, 如无限长均匀带电直线, 无限长均匀带电圆柱或圆柱面, 无限长均匀带电同轴圆柱面 3) 面对称性, 如均匀带电无限大平面或平板,或者若干均匀带电无限大平行平面。 根据高斯定理计算场强时, 必须先根据电荷分布的对称性, 分析场强分布的对称性; 再适当选取无厚度的几何面作为高斯面。选取的原则是: ○ 1 待求场强的场点必须在高斯面上;○ 2 使高斯面的各个部分或者与E 垂直, 或者E 平行;○ 3 与E 垂直的那部分高斯面上各点的场强应相等;○ 4 高斯面的形状应是最简单的几何面。 最后由高斯定理求出场强。高斯定理说明的是通过闭合曲面的电通量与闭合 曲面所包围的所有电荷的代数和之间的关系, 即闭合曲面的总场强E 的电通量只与曲面所包围的电荷有关, 但与曲面内电荷的分布无关。但闭合曲面上的电场强度却是与曲面内外所有电荷相联系的,是共同激发的结果。 步骤： 1．进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分析场强分布的对称性，判断能否用高斯定理来求电场强度的分布（常见的对称性有球对称性、轴对称性、面对称性等）； 2．根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求：①待求场强的场点应在此高斯面上，②穿过 该高斯面的电通量容易计算。一般地，高斯面各面元的法线矢量n 与E 平行或垂直，n 与E 平行时， E 的大小要求处处相等，使得E 能提到积分号外面； 3．计算电通量???S d E 和高斯面内所包围的电荷的代数和，最后由高斯定理求出场强。 应该指出，在某些情况下（对称），应用高斯定理是比较简单的，但一般情况下，以点电荷场强公式和叠加原理以相互补充，还有其它的方法，应根据具体情况选用。 利用高斯定理，可简洁地求得具有对称性的带电体场源（如球型、圆柱形、无限长和无限大平板型等）的空间场强分布。计算的关键在于选取合适的闭合曲面——高斯面。 典型例题： 例题1、设一块均匀带正电无限大平面，电荷密度为σ=9.3×10-8C/m 2，放置在真空中，求空间任一点的场强. 解：根据电荷的分布情况，可作如下判断：(1)电荷均匀分布在均匀带电无限大平面上，我们知道孤立正的点电荷的电场是以电荷为中心，沿各个方向在空间向外的直线，因此空间任一点的场强只在与平面垂直向外的方向上(如果带负电荷，电场方向相反)，其他方向上的电场相互抵消；(2)在平行于带电平面的某一平面上各点的场强相等；(3) 带电面右半空间

安培环路定理

在稳恒磁场中，磁场强度H沿任何闭合路径的线积分，等于这闭合路径所包围的各个电流之代数和。这个结论称为安培环路定理（Ampere circuital theorem）。安培环路定理可以由毕奥－萨伐尔定律导出。它反映了稳恒磁场的磁感应线和载流导线相互套连的性质。 目录

2编辑本段安培环路定理的证明（不完全证明） 以长直载流导线产生的磁场为例，证明安培环路定理的正确性。 安培环路定理应用 在长直载流导线的周围作三个不同位置，且不同形状的环路，可以证明对磁场中这三个环路，安培环路定理均成立。 3 取对称环路包围电流 在垂直于长直载流导线的平面内，以载流导线为圆心作一条半径为r 的圆形环路l， 则在这圆周上任一点的磁感强度H的大小为 其方向与圆周相切．取环路的绕行方向为逆时针方向，取线元矢量dl，则H与dl间的夹角，H沿这一环路 l 的环流为 式中积分是环路的周长。 于是上式可写成为 从上式看到，H沿此圆形环路的环流只与闭合环路所包围的电流I 有关，而与环路的大小、形状无关。 4 取任意环路包围电流 在垂直于长直载流导线的平面内，环绕载流直导线作一条如下图所示的任意环路l，取环路的绕行方向为逆时针方向。 在环路上任取一段线元dl，载流直导线在线元dl处的磁感强度B大小为 H与dl的夹角为，则H对dl的线积分为 直导线中心向线元的张角为，则有，所以有 可见，H对dl的线积分与到直导线的距离无关。 那么B对整个环路的环流值为 上述计算再次说明H的环流值与环路的大小、形状无关。 5 取任意环路不包围电流 在垂直于长直载流导线的平面内，在载流直导线的外侧作一条如下图所示的任

安培环路定理(概念应用)

安培环路定理 开放分类：物理、磁场 11-3 安培环路定理 安培环路定理 在稳恒磁场中，磁感强度B沿任何闭合路径的线积分，等于这闭合路径所包围的各个电流之代数和的倍。这个结论称为安培环路定理。 它的数学表达式是 按照安培环路定理，环路所包围电流之正负应服从右手螺旋法则。 如果闭合路径l包围着两个流向相反的电流I1和I2（如左图所示）， 这在下式中， 按图中选定的闭合路径l 的绕行方向，B矢量沿此闭合路径的环流为 如果闭合路径l包围的电流等值反向（如右图所示），或者环路中并没有包围电流，则： 安培环路定理的证明（不完全证明） 以长直载流导线产生的磁场为例，证明安培环路定理的正确性。 在长直载流导线的周围作三个不同位置，且不同形状的环路，可以证明对磁场中这三个环路，安培环路定理均成立。 1、取对称环路包围电流 在垂直于长直载流导线的平面内，以载流导线为圆心作一条半径为r 的圆形环路l， 则在这圆周上任一点的磁感强度B的大小为 其方向与圆周相切．取环路的绕行方向为逆时针方向，取线元矢量dl，则B与dl间的夹角，B沿这一环路l 的环流为 式中积分是环路的周长。 于是上式可写成为 从上式看到，B沿此圆形环路的环流只与闭合环路所包围的电流I 有关，而与环路的大小、形状无关。 2、取任意环路包围电流 在垂直于长直载流导线的平面内，环绕载流直导线作一条如下图所示的任意环路l，取环路的绕行方向为逆时针方向。 在环路上任取一段线元dl，载流直导线在线元dl处的磁感强度B大小为 B与dl的夹角为，则B对dl的线积分为 直导线中心向线元的张角为，则有，所以有 可见，B对dl的线积分与到直导线的距离无关。 那么B对整个环路的环流值为 上述计算再次说明B的环流值与环路的大小、形状无关。 3、取任意环路不包围电流 在垂直于长直载流导线的平面内，在载流直导线的外侧作一条如下图所示的任意环路l，取环路的绕行方向为逆时针方向。

大学物理课堂教学设计：高斯定理

课堂教学设计4：高斯定理 【授课内容】：高斯定理 【所在章节】：第7章：静电场与恒定电场7.2节：高斯定理 【授课对象】：2018级大数据学院（软件工程、数字工程、网络工程专业） 【教学学时】：2学时 一、学情分析 （一）教材内容分析 本书将“高斯定理”编排在第7 章“静电场”的第2节，是整个电学部分两个基本定理之一。在本节之前，教材已经介绍了库仑定律求解真空中静止点电荷周围激发的静电场问题，学生感觉利用该定律求解静电场在有些情况下比较复杂．本节内容安排了从特殊到一般的高斯定理的归纳过程，由特殊的以点电荷为球心的球面积分模型出发，进行不断变化，最终得出一般表达式，让学生亲身经历高斯定理的推导过程．根据电荷的分布特点，选择适当的高斯面，使用此定理能够更为方便地求出具有对称性分布的电场强度，将高斯定理与库仑定律联系对比，使学生认识到用高斯定理求解具有某种对称性的带电体周围分布的电场时较一般方法更加简单方便．同时也说明了静电场是有源场．电场中高斯定理的学习为之后稳恒磁场高斯定理的学习和理工科专业后续专业课程（比如电子信息工程专业课《电磁场与波》的学习）中计算电场强度奠定了基础，学生通过学习该定理能掌握科学的思维方法和研究方法，体验物理学中的对称和谐之美。 （二）学生学习基础分析 学生在学习本节之前，已掌握了利用库仑定律求解真空中静止点电荷周围的电场强度Ｅ，体会到利用该定律求解对数学尤其是积分运算要求较高且计算过程比较复杂，那么，求解带电体周围激发的静电场Ｅ是否还有其他相对简便的方法？静电场是否是有源场？这些都是要和学生共同解决的问题．更重要的是静电场和稳恒磁场的物理规律具有一定的对称性，静电场的学习将为后续稳恒磁场的学习做铺垫。 二、教学目标设计 （一）知识与技能 1、深刻理解电场强度Ｅ的闭合曲面积分（或Ｅ的通量）与该闭合面所包围电荷之间的关系； 2、电通量概念的理解和正负的判断； 3、对于多个点电荷或连续分布带电体周围激发的电场，理解闭合曲面上Ｅ的本质

高斯定理

电场与磁场的散度定理和旋度定理磁通连续性原理 散度定理(高斯定理)：一个矢量通过包围它的闭合面的总通量（矢量的面积分）等于该矢量的散度（和算子点乘）在该闭合面构成的体积内的体积分。散度定理搭建了面积分与体积分之间的转换桥梁。散度定理可用一个球图示。 散度定理是高斯定理在物理中的应用.即矢量穿过任意闭合曲面的通量等于矢量的散度对闭合面所包围的体积的积分 旋度定理（斯托克斯定理）：一个矢量的闭合线积分等于矢量的旋度（和算子叉乘）在该闭合线围成的开放面上的面积分。旋度定理搭建了线积分与面积分之间的转换桥梁。旋度定理可用一个环图示。 散度定理和旋度定理是将麦克斯韦方程从积分形式向差分形式转化的基础，而麦克方程的差分形式方才便于求解。 高斯散度定律有"两个"，分别是对电通密度矢量和磁通密度矢量而言，也即分别描述电场和磁场。高斯定律描述的是流出闭合面的电通/磁通总量与电场源/磁场源之间的对应关系。 1)对电场来说（闭合面内有电场源，对应流出闭合面的是电通总量），高斯定律描述如下：电通密度矢量D在S上的闭合面积分，等于电荷体密度在该闭合面围成的体积内的体积分。D单位C/m^2，电荷体密度单位C/m^3。电场高斯定律的物理意义是：流出闭合面的总电通量等于闭合面内包围的总正电荷。 也就是说，电场源是独立的，电场是一去不返的，从正电荷出发，到负电荷终止。其微分方程如下: 表示电场是有散场，这

是由于自然界存在着自由电荷，因此，▽·E ≠0的地方，味着此处一定存在着净的正电荷或净的负电荷. （1）自然界存在着自由电荷，电子电荷的绝对值e 就是自由电荷的基本值. （2）静电场的场线即E 线始发于正电荷并终止于负电荷，也就是说静电场的E 线不是闭合曲线，它们没有涡旋状结构.即无旋.静电场的这种性质，反映在电场高斯定理和环路定理中. 2)对磁场来说（对应流出闭合面的是磁通总量）(磁通连续性原理)，高斯定律描述如下：磁通密度矢量B在S上的闭合面积分，等于0。B单位Wb/m^2。磁场高斯定律的物理意义是：通过任意闭合曲面S 的净磁通量必定恒为零。也就是说，自然界不存在独立的磁场源，磁场是有来有去的，磁力线通过任意闭合面后必然会从相反方向再次通过。磁力线是闭合的！ 式子 这就是磁场的“高斯定理”.它反映了磁通量的连续性，所以也被称为“磁通连续性原理”.

恒定磁场的高斯定理和安培环路定理

恒定磁场的高斯定理和安培环路定理 1. 选择题 题号：31011001 分值：3分 难度系数等级：1 1．磁场中高斯定理：?=?s s d B 0 ，以下说法正确的是：（ ） A ．高斯定理只适用于封闭曲面中没有永磁体和电流的情况 B ．高斯定理只适用于封闭曲面中没有电流的情况 C ．高斯定理只适用于稳恒磁场 D ．高斯定理也适用于交变磁场 答案：D 题号：31012002 分值：3分 难度系数等级：2 2．在地球北半球的某区域，磁感应强度的大小为5104-?T ，方向与铅直线成60度角。则穿过面积为1平方米的水平平面的磁通量 （ ） A ．0 B ．5104-?Wb C ．5102-?Wb D ．51046.3-?Wb 答案：C 题号：31011003 分值：3分 难度系数等级：1 3．一边长为l ＝2m 的立方体在坐标系的正方向放置，其中一个顶点与坐标系的原点重合。有一均匀磁场)3610(k j i B ++=通过立方体所在区域，通过立方体的总的磁通量有（ ） A ．0 B ．40 Wb C ．24 Wb D ．12Wb 答案：A 题号：31013004 分值：3分 难度系数等级：3 4．无限长直导线通有电流I ，右侧有两个相连的矩形回路，分别是1S 和2S ，则通过两个矩形回路1S 、2S 的磁通量之比为：（ ）。

A ．1：2 B ．1：1 C ．1：4 D ．2：1 答案：B 题号：31011005 分值：3分 难度系数等级：1 5．均匀磁场的磁感应强度B 垂直于半径为R 的圆面，今以圆周为边线，作一半球面S ，则 通过S 面的磁通量的大小为（） A ． B R 22π B ．B R 2π C ．0 D ．无法确定 答案：B 题号：31012006 分值：3分 难度系数等级：2 6．在磁感强度为B 的均匀磁场中作一半径为r 的半球面S ，S 边线所在平面的法线方向单位 矢量n 与B 的夹角为α，则通过半球面S 的磁通量为（ ） A ． B r 2π B ．B r 2 2π C ．απsin 2 B r - D ．απcos 2 B r - 答案：D 题号：31011007 分值：3分 难度系数等级：1 7．若空间存在两根无限长直载流导线，空间的磁场分布就不具有简单的对称性，则该磁场分布（ ） A ．不能用安培环路定理来计算 B ．可以直接用安培环路定理求出 C ．只能用毕奥-萨伐尔定律求出 D ．可以用安培环路定理和磁感应强度的叠加原理求出 答案：D 题号：31012008 分值：3分

安培环路定律推导

恒定磁场的旋度和安培环路定理 1、描述 1）、微分形式： 0()()B r J r μ??= 恒定磁场是有旋场，恒定电流是产生恒定磁场的旋涡源。——安培环路定理的微分形式。 2）、积分形式： 0()c B r dl I μ=? 恒定磁场的磁感应强度在任意闭合曲线上的环量等于闭合曲线 交链的恒定电流的代数和与0μ的乘积。——安培环路定理的积分形式。 2、恒等式 2()F F F ????=??-? ()uF u F F u ?=?+? ()F u u F uF -?=?-? '()0J r ?= ''()0J r ?= 2 '1()4()r r R πδ?=-- 3、推导 已知： ''0 ' ()()4V J r B r dV r r μπ = ?? -? 两边取旋度

'' ' '''2 ' 00 '' ()()4()1 ()( )44V V V J r B r dV r r J r dV J r dV r r r r μπ μμππ??= ???? -=??- ?--? ?? 其中： '2 ''''0 00' 1()( )()()()4V V J r dV J r r r dV J r r r μμδμπ -?=-=-? ? 又由： ''' '' ' ' ' ' ' ' ' ' ''''' ()111[ ][ ()]()()() 11 ()( )()( ) 1() ()[J r J r J r J r r r r r r r r r J r J r r r r r J r J r r r r ?=?=?+ ?----=?=-?--= ?-?--''' ' ()][ ] J r r r r =-?- 即： ' [()()][()()]f R R f R R φφ?=-? 因此，得到 '''' '00''''0' ()()[]44() 0 4V V S J r J r dV dV r r r r J r d S r r μμππμπ??=-??--=-?=-???

高斯定理

§4 高斯定理 一、电力线 1、引入目的：形象化、直观性地描写电场，作为一种辅助工具。 2、引入方法：电场是矢量场，引入电力线要反映场的两个方面方向 大小，在 电场中人为地作出许多曲线，作法如下： （1）反映电场方向——曲线上每点切向与该点场方向一致； （2）反映电场大小——用所画电力线的疏密程度表示，电力线数密度与该点场的大小成正比 ⊥ ??∝ S N E 其中⊥ ??S N 表示通过垂直场方向单位面积的电力线条数——电力线数密度，参见 图1-15。 (a) 垂直时：S N ?? (b) 非垂直时： θ cos S N S N ??= ??⊥ 图1-15 在SI 制中，比例系数取1，则⊥ ??= S N E ，即S E S E N ?=??=?θcos 。更精 确地有：ds E s d E dN θcos =?= 。 例：点电荷Q 均匀辐射N 条电力线，各向同性，半径为r 的球面上电力线数密度为 2 4r N π；而场强2 04r Q E πε= ，两者一致，且0 εQ N = ，球面立体角Ωd 中 E E ΔS ΔS n θ

占有（N d π 4Ω）条。 3、电力线的普遍性质 (1) 电力线起自正电荷（或来自无穷远处）、止于负电荷（或伸向无穷远处）， 不会在没有电荷的地方中断——不中断； (2) 对于正、负电荷等量的体系，正电荷发出的电力线全部集中到负电荷上 去——不多余； (3) 无电荷空间任两条电力线不相交——不相交（否则，场则不唯一）； (4) 电力线不能是自我闭合线——不闭合。 4、说明 (1) 电力线非客观存在，是人为引入的辅助工具； (2) 电力线可用实验演示； (3) 展示几种带电体电力线的分布（图略）。 二、电通量 静电场是用E 描述的矢量场。一般地，研究矢量场时常引入矢量的通量概念，如：流体力学中的流量θcos s v s v ?=?? 等，静电场中虽无什么在流，但可藉此研究静电场。 1、定义电通量E Φ 在电场中通过一曲面元s ?的电通量E ?Φ定义为： )(c o s N s E s E E ?=??=?=?Φ θ 式中n s s ?=?。因θ可锐角、钝角，故E ?Φ可正、可负。 对于非无限小的曲面，有 ?? ?= = ΦS S E s d E ds E cos 其中，任意曲面S 的法向有两种取法，对于不闭合的曲面，其法向n 取何方向无关紧要。 对于闭合曲面，其电通量定义为： ? ??== ΦS S E s d E ds E θcos

高斯定理、场强环路定理

03 d d 4I l r B r μ?=π 毕－萨定律 取l I d B d 毕-萨定律右手定则确定方向 方向相同d B B = ?方向不同 x y z B B i B j B k =++ I P l I d r θB 叠加原理 ∑= i i B B

l θ2θ1 θI a r O l I d P B l ?π= 2 1 d sin 40θθ a I B θθμ)cos (cos 4210θθμ-π=a I 无限长直导线 1→θπ →2θa I B π= 20μ方向：右手定则 有限长直线电流在线外一点产生的磁场 有限长直导线延长线上的一点的磁场 B =

圆电流在圆心处的磁感应强度均匀密绕无限长直载流螺线轴线上的磁场 0B nI μ=02I B R μ= 某段圆弧在圆心处的磁感应强度 01 22I B R μθ =?? π

8.2 磁场的高斯定理 一、磁感应线磁通量 磁场中假想的有向曲线 ①切线方向——该处的方向 B ②疏密——表征的大小 B I ()r B ②与形成磁场的电流相套连. 磁感应线特点 ①无头无尾的闭合曲线. 1、磁感应线 规定：磁场中任一点，通过垂直与磁感应强度 方向单位面积上的磁感应线数表示该点的磁感 应强度的大小。 ③磁感应线不会相交。

、电通量e 、均匀电场n E ↑↑ES e =Φ、均匀电场n E ? =θθΦcos ES e =S E ?=、非均匀电场、任意曲面E S E e d d ?=ΦS n E E S n θ θ S n d S d e S E S Φ=??? 、非均匀电场、闭合曲面d e S E S Φ=??? m m m m m 2、磁通量Φm B B B B B B B B B B B 规定：面元法线正方向由闭合面内指向面外1、均匀磁场2、均匀磁场3、非均匀磁场、任意曲面 4、非均匀磁场、闭合曲面 E S d S d S

高斯定理

高斯散度定理 本文介绍的是微积分学中的一种向量分析。关于电磁学中与电通量有关的定理，详见“高斯定律”。 散度定理可以用来计算穿过闭曲面的通量，例如，任何上边的曲面；散度定理不可以用来计穿过具有边界的曲面，例如，任何右边的曲面。在这图内，曲面以蓝色显示，边界以红色显示。 高斯公式，又称为散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式或高－奥公式，是指在向量分析中，一个把向量场通过曲面的流动（即通量）与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。 更加精确地说，高斯公式说明向量场穿过曲面的通量，等于曲面内部区域的散度的三重积分。

直观地，所有源点的和减去所有汇点的和，就是流出一个区域的流量。 高斯公式在工程数学中是一个很重要的结果，特别是静电学和流体力学。 目录 ? 1 定理 ? 2 用散度表示 ? 3 用向量表示 ? 4 推论 ? 5 例子 ? 6 二阶张量的高斯公式 ?7 参阅 定理 设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围成，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有一阶连续偏导数，则有 或

这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cos α、cos β、cos γ是Σ在点(x,y,z)处的法向量的方向余弦 这两个公式叫做高斯公式。 用散度表示 高斯公式用散度表示为： 其中Σ是空间闭区域Ω的边界曲面，而

n是向量A在曲面Σ的外侧法向量上的投影。 用向量表示 令V代表有一间单闭曲面S为边界的体积， 是定义在V中和S上连续可微的矢量场。如果

是外法向矢量面元，则 推论 ?对于标量函数g和向量场F的积，应用高斯公式可得：

《高斯定理与环路定理在万有引力场中的推广》

《高斯定理与环路定理在万有引力场中的推广》 读了这篇文章, 我觉得这俩个定理的应用于推广最大的特点是应用类比的方法。通过在万有引力场中定义引力场强矢量和万有引力势，将静电场中的高斯定理和静电环路定理推广到了经典万有引力场中，然后举例说明了这两个定理分别在某些质量对称分布的问题和天文上的应用。 用类比的方法从静电场的高斯定理和环路定理导出了万有引力场中的“高斯定理”和“环路定理”并定义了引力场强度矢量。说实话，做出这个结论并不是很难，就是简单套用公式逐一对比并定义新的常量，但是把高斯定理和环路定理推广到另一个完全不同的力学领域的思维方式确实很难得。我个人认为物理科学不仅仅要的是知识渊博，更为重要的是一种全新的思维方式，一种不同于传统敢于创新的理念。比如说这个推广，我们学生往往把高斯和环路定理局限在电学知识领域，哪里会认为这两个定理还可以继续向广度方向进一步推广，然而这篇文章的作者却独具慧眼发现并很好地总结了这个规律。 首先，文章讲了高斯定理的推广。由库伦定律和万有引力定律得出质量对应于电荷量，并进一步深入，和电场强度类似，在万有引力场中定义了一个引力场强度矢量，也就是引力常数g，就这样依葫芦画瓢的出一个引力场“高斯定理”。这种“高斯定理”在某些具有对称性的问题中可以大大简化原本复杂的积分运算过程。 其次，文章讲到环路定理的推广。它在万有引力场中引入了引力势和引力势能。如此根据电势能和电势公式就能相应得出引力势能和

引力公式。作者还将这个公式代入到卫星环绕问题中去进行进一步检验。 万有引力场中的高斯定理说明了穿过闭合曲面的引力场强通量只和它包围的质量有关。万有引力场中的环路定理说明了万有引力沿闭合路径的环流为0。 静电场和万有引力场，最大的共同之处就是都是力的作用形式相似。两个物体相互作用，形成相互作用力。力的表达形式也极为相似。这应该是促使作者做出将高斯定理与环路定理向万有引力场推广的一个重要表象。 我想很多人读到这篇文章，肯定会不以为意，因为高斯定理和环流定理在万有引力中的推广很好理解，如果让我们自己推导的话应该也不会有太大的问题。但关键是，我们并没有想到过要做这样的推广。这一点应该是值得我们好好反思的。科学的学习方法，以及思维方式对于科学的发现和进步起着至关重要的作用。 看完这篇文章，我更加深刻地认识到我们真真缺少的并不是知识量不足，而是缺失了一种分析问题解决问题的能力。

高斯定理

高斯定理 第四讲 教学目的和教学要求1、掌握电通量的概念；2、掌握高斯定理；3、掌握高斯定理的应用。 重点和难点重点：高斯定理及其应用； 难点：电通量的概念，应用高斯定理求场强。 主要教学方法讲授法，ppt演示 学时2学时 第四节高斯定理

定义了电场强度，计算了部分带电体的电场的分布，那么电场具有什么样的性质是我们应该深入研究的。高斯定理从一个侧面描述了电场的性质，它是以库仑定律和静电力的叠加原理为基础导出的一个通量定理。下面首先引入电通量的概念。 1、通量 在流体力学中，我们引入了流量（即通过任意曲面的通量）的概念；在速度矢量场中，取面元dS，以表示其法向的单位矢量，则通过dS的流量为： dφ=VdScosθ=dS （θ为V与n的夹角） 积分可求得通过任意有限曲面S的流量。 通量的概念可以推广到任意矢量场，因此我们可以引入电场强度的通量，称为电通量。 均匀电场对垂直有向面元的电通量

均匀电场对非垂直有向面元的电通量（θ为与的夹角） 对任意曲面S的电通量为: 对闭合曲面S的电通量为： 注：立体角的概念： 面元dS对一点所张的立体角为: 闭合面S对其内任一点所张的立体角等于以该点为球心的球面所张的立体角。 即：

2、高斯定理 是描述电场强度对任意闭合曲面的通量等于什么的基本定理，或叫通量定理，是静电场的基本方程之一。 定理内容：静电场的电场强度对任意闭合曲面的通量等面内所包含的电量的代数和除以ε0。 数学表示： 证明：（板书推导） 3、高斯定理的应用一------求对称电荷分布的场强分布 球对称的电场分布；面对称的电场分布；轴对称的电场分布；利用高斯定理的解题步骤 １、对称分析； ２、选择合适的高斯面；要求面上场强处处相等或分片相等或与面垂直，以便将E提到积分号外；要求场强与面的法线的夹角处处相等或分片相等，以便将cosθ提到积分号外；要求高斯面应是简单的几何面，以便计算面积；求高斯定理等式左端的通量；求高斯定理等式右端的面内总电荷； ３、利用高斯定理求电场分布。 场强的计算的归类:棒类组合；平面类组合；球类的组合；各类之间的组合。