?; 例3 解不等式042 >++ax x 分析 本题中由于2 x 的系数大于0,故只需考虑?与根的情况。 解:∵162 -=?a ∴当()4,4-∈a 即0证明含参数的不等式恒成立解题模板
如何证明含参数的不等式恒成立 题型:已知含参数的函数()f x ,证明在某区间上()()()(x)f x g x f x g ><或恒成立(()g x 不含参数) 解题步骤: 第一步:构造函数()()()F x f x g x =-,将问题转化为()0()0F x F x ><或恒成立的问题,如果这里的()g x 不明显,我们先对含参函数进行讨论,找到合适的()g x 。 第二步:求出'()F x ,令'()0F x =,求出()F x 在区间上的最小值或最大值。 第三步:证明最小值大于0,或最大值小于0。 【例题】 1、(浙江高考)已知a R ∈,函数3()42f x x ax a =-+. (1)求()f x 的单调区间. (2)证明:当01x ≤≤时,()20f x a +->. 思路分析:()20f x a +->中含有绝对值,不方便求导,因此可考虑寻找函数()g x ,使 ()2()0f x a g x +-≥>. 解(1)由题意的' 2 ()122f x x a =- ①当0a ≤时,' ()0f x ≥恒成立,此时()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞. ②当0a >时,' ()12()()f x x x =,此时函数()f x 的单调递增区间为 (,)-∞+∞和,单调递减区间为???. (2)证明:由于01x ≤≤,当2a ≤时,33 ()2=4x 224x 42f x a ax x +--+≥-+. 当2a >时,333 ()2=4x 2(1)24x 4(1)24x 42f x a a x x x +-+--≥+--=-+.
设3()221,01g x x x x =-+≤≤,则()2()f x g x ≥,要证()20f x a +->,只要证明 ()0g x >即可。 '2()626(g x x x x =-=- +则有 所以min ()10g x g ==>, 当01x ≤≤时,32210x x -+>,故3 ()24420f x a x x +-≥-+>,即证。 【练习】 1、已知函数21()2 x f x ae x =- . (1)若()f x 在R 上为增,求a 的取值范围; (2)若1a =,求证0x >时,()1f x x >+。 2、已知函数()ln(1),()ln f x x x g x x x =+-= (1)求函数()f x 的最大值; (2)设0a b <<,证明:0()()2()()ln 22 a b g a g b g b a +<+-<-
教案高中含参不等式的恒成立问题整理版.doc
高中数学不等式的恒成立问题 一、用一元二次方程根的判别式 有关含有参数的一元二次不等式问题,若能把不等式转化成二次函数或二次方程,通过根的判别式或数形结合思想,可使问题得到顺利解决。 基本结论总结 例1 对于x ∈R ,不等式恒成立,求实数m 的取值范围。 例2:已知不等式04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈R恒成立,求参数a 的取值范围. 解:要使04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈R恒成立,则只须满足: (1)???<-+-<-0)2(16)2(4022 a a a 或 (2)?? ? ??<-=-=-0 40)2(20 2a a 解(1)得?? ?<<-<2 22 a a ,解(2)a =2 ∴参数a 的取值范围是-2<a ≤2. 练习 1. 已知函数])1(lg[2 2 a x a x y +-+=的定义域为R ,求实数a 的取值范围。 2.若对于x ∈R ,不等式恒成立,求实数m 的取值范围。 3.若不等式的解集是R ,求m 的范围。 4.x 取一切实数时,使3 47 2+++kx kx kx 恒有意义,求实数k 的取值范围.
例3.设22)(2 +-=mx x x f ,当),1[+∞-∈x 时,m x f ≥)(恒成立,求实数m 的取值范围。 关键点拨:为了使 在 恒成立,构造一个新函数 是解题的关键,再利用二次 函数的图象性质进行分类讨论,使问题得到圆满解决。若二次不等式中x 的取值范围有限制,则可利用根的分布解决问题。 解:m mx x x F -+-=22)(2 ,则当),1[+∞-∈x 时,0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=?m m m 即时,0)(>x F 显然成立; 当0≥?时,如图,0)(≥x F 恒成立的充要条件为: ??? ? ??? -≤--≥-≥?1 220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。 例4 。已知1ax x )x (f 2+-=,求使不等式0)x (f <对任意]2,1[x ∈恒成立的a 的取值范围。 解法1:数形结合 结合函数)x (f 的草图可知]2,1[x ,0)x (f ∈<时恒成立? 25a 0 a 25)2(f 0a 2)1(f >?? ?<-=<-=得。所以a 的取值范围是),25 (+∞。 解法2:转化为最值研究 4a 1)2a x ()x (f 22- +-= 1. 若]2,1[)x (f ,3a 232a 在时即≤≤上的最大值,25a ,0a 25)2(f )x (f max ><-==得3a 25 ≤<所以。 2. 若0a 2)1(f )x (f ]2,1[)x (f ,3a 2 3 2a max <-==>>上的最大值在时即,得2a >,所以3a >。 综上:a 的取值范围是),2 5 (+∞。 注:1. 此处是对参a 进行分类讨论,每一类中求得的a 的范围均合题意,故对每一类中所求得的a 的范围求并集。 2. I x ,m )x (f ∈<恒成立)m (m )x (f max 为常数; )m (m )x (f I x ,m )x (f min 为常数恒成立>?∈> 解法3:分离参数 ]2,1[x ,x 1x a ]2,1[x ,01ax x 2∈+ >?∈<+-。设x 1 x )x (g +=, 注:1. 运用此法最终仍归结为求函数)x (g 的最值,但由于将参数a 与变量x 分离,因此在求最值时避免了分类讨论,使问题相对简化。 2. 本题若将“]2,1[x ∈”改为“)2,1(x ∈”可类似上述三种方法完成。 仿解法1:?∈<)2,1(x ,0)x (f 25a 0 )2(f 0)1(f ≥?? ?≤≤得即),25 [:a +∞的范围是 读者可仿解法2,解法3类似完成,但应注意等号问题,即此处2 5 a = 也合题。 O x y x -1
高中数学解题方法系列:函数中缩小参数范围,优化“恒成立问题”的处理策略
高中数学解题方法系列: 函数中缩小参数范围,优化“恒成立问题”的处理策略 含参数不等式恒成立问题,在处理此类问题时所采取的解题方法和方向基本上是没有问题的,但是由于在解题的过程中,解题策略不优化,导致不能够顺利得出正确结果,下面就恒成立问题处理的优化策略,笔者谈一下看法,与大家交流。 一.试题呈现 已知函数()()()1ln a f x x a x a R x =--+∈(I )当01a <≤时,求函数()f x 的单调区间 (II )是否存在实数a ,使()f x x ≤恒成立,若存在,求实数a 的取值范围;若不存在,说明理由。 限于篇幅,本文只考虑第(II )小题的作答。 阅卷中发现,学生的处理方法主要有以下两种: 1.直接构造函数()()()1ln a g x x f x a x x =-=++,把问题转化为()0g x ≥恒成立,但是在接下来利用导数求解函数()y g x =的单调性时,分类讨论出现了重复或者遗漏,从而没有顺利的解决问题。 2.先采取分离参数的方法将不等式转化为()1ln ln a x x x x +≥-,大部分学生此时直接把上述不等式转化为ln 1ln x x a x x ≥- +(应该先验证1ln 0x x +>),然后构造函数()ln 1ln x x g x x x =-+,但是由于所构造的函数形式上过于复杂从而出现了以下两个问题:一是学生根本不敢继续利用导数判断函数的单调性,二是对函数()y g x =进行求导,但是不能准确地判断导函数的正负号,从而没有顺利得解决问题。
通过以上解法基本上可以发现,学生在处理含参数不等式恒成立问题时所采取的方法基本上是正确的,即转化为求函数最值加以处理,并且求函数最值的手段有两种:一是直接求含有参数的函数最值,二是通过分离参数转化为求一个具体的函数的最值,通过这两种解法的对比不难发现,第一种转化的函数里面因为含有参数,所以在求其最值时可能会需要分类讨论,而第二种转化的函数虽然是个具体的函数,相比较容易求出其最值,但是这种方法也有其局限性,可能有些时候是不可以进行参数分离的,或者分离后所构造的函数虽然具体但形式过于复杂,同样导致解题的失败。 命题人给出的参考答案: (II )()f x x ≤恒成立可转化为()1ln 0a a x x ++≥恒成立, 令()()1ln x a a x x ?=++,()0,x ∈+∞,则()()() 11ln x a x ?'=++当10a +>时,在10,x e ??∈ ???时,()0x ?'<,在1,x e ??∈+∞ ??? 时,()0x ?'>即函数()y x ?=在10,x e ??∈ ???上单调递减,在1,x e ??∈+∞ ??? 上单调递增。()x ?的最小值为1e ??? ???,由10e ???≥ ???得11a e ≥-当10a +=时,()1x ?=-,()0x ?≥在()0,x ∈+∞不能恒成立, 当10a +<时,在10,x e ??∈ ???时,()0x ?'>,在1,x e ??∈+∞ ??? 时,()0x ?'<函数()y x ?=在在10,x e ??∈ ???上单调递增,在1,x e ??∈+∞ ??? 上单调递减,所以函数()y x ?=在()0,x ∈+∞无最小值,不符合题意,综上所述当11 a e ≥-时,使()f x x ≤恒成立参考答案采取的是直接求含有参数的函数最小值进行处理,就是因为参数的
不等式恒成立求参数的范围
不等式恒成立求参数的范围 一、最值的直接应用 例1、已知函数2()()x k f x x k e =-。 ⑴求()f x 的单调区间; ⑵若对于任意的(0,)x ∈+∞,都有()f x ≤ 1e ,求k 的取值范围. 例2、已知函数()()0≠++=x b x a x x f ,其中R b a ∈,. ⑴若曲线()x f y =在点()()2,2f P 处切线方程为13+=x y ,求函数()x f 的解析式; ⑵讨论函数()x f 的单调性; ⑶若对于任意的??????∈2,21a ,不等式()10≤x f 在?? ????1,41上恒成立,求b 的取值范围.
例3、已知函数2()()x f x x a e =-. ⑴若3a =,求()f x 的单调区间; ⑵已知12,x x 是()f x 的两个不同的极值点,且1212||||x x x x +≥,若 3233()32 f a a a a b <+-+恒成立,求实数b 的取值范围。 二、恒成立之分离常数 例4、已知函数()ln 1,.a f x x a R x =+-∈ (1) 若()y f x =在0(1,)P y 处的切线平行于直线1y x =-+,求函数()y f x =的单调区间; (2) 若0a >,且对(0,2]x e ∈时,()0f x >恒成立,求实数a 的取值范围.
例5、已知函数12)(2 ---=ax x e x f x ,(其中∈a R ,e 为自然对数的底数). (1)当0=a 时,求曲线)(x f y =在))0(,0(f 处的切线方程; (2)当x ≥1时,若关于x 的不等式)(x f ≥0恒成立,求实数a 的取值范围. 例6、设函数1()(1(1)ln(1) f x x x x =>-++且0x ≠) (1)求()f x 的单调区间; (2)求()f x 的取值范围; (3)已知1 12(1)m x x +>+对任意(1,0)x ∈-恒成立,求实数m 的取值范围。
恒成立问题的分离参数解法
“恒成立”问题的分离参数解法 参数讨论是高中数学教学的一个重点,难点。同时也是高考试题的热点。参数讨论的方法多种多样,本人认为其中分离参数,因其具有思路清晰,有章可循,操作性强,易于掌握的特点,所以在解答某些恒成立条件下参数取值范围问题时,不失为一种较好的方法。 一、曲线恒过定点的问题。 有关含有参数的曲线方程的恒成立问题是学生普遍感到困难的问题。参数与主变元交错 在一起,目标不明确,将参数分离出来,可使问题明朗化。 例:已知132=-b a 证明:直线5=+by ax 恒过定点 证明:由132=-b a 得 )13(2 1+=b a 代入直线方程后分离参数b 得 0)23()10(=++-y x b x 由方程组 ???=+=-023010y x x 解得 ???-==15 10y x ∴方程0)23()10(=++-y x b x 表示经过两直线010=-x 与 023=+y x 的交点)15,10(-的直线系方程 故直线5=+by ax 在132=-b a 时,恒过定点)15,10(- 例:已知动圆R a a ay ax y x C ∈=-++-+,0202024:221 定圆4:222=+y x C 证明:不论a 取任何实数值,动圆2C 恒过一个定点 证法一:020202422=-++-+a ay ax y x 可化为 a ax ay y x 20422022-+-=-+① 可以把①式左边看作圆的方程,其圆心为(0,0),半径为20;右边看作直线。根据点到直线的距离公式,圆心到直线距离)0(2020201642022≠==+-=a a a a a a d 易知,无论a 为任何不为零 的实数,圆和直线都相切(因为圆心到直线的距离为圆的半径)。不妨设1=a ,易求出圆和直线的切 点为(4,-2),而当0=a 时,原方程为2022=+y x 也过(4,-2)。所以,无论a 取任何实数,动 圆1C 恒过定点(4,-2). 证法二:将圆2C 中的a 参数分离出来,得( 0)2042()202 2=+-+-+x y a y x (☆) 方程组???=+-=-+020*******x y y x 有一解 ? ??-==24y x ∴(☆)式表示直线02042=+-x y 与圆202 2=+y x 的交点(4,-2)的圆系方程.
不等式恒成立,求参数的取值范围——洛必达法则
洛必达法则简介 法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件: (1) ()lim 0x a f x →= 及()lim 0x a g x →=; (2)在点a 的去心邻域内,f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0; (3)()()lim x a f x l g x →'=',那么 ()()lim x a f x g x →=() () lim x a f x l g x →'='。 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件: (1)()lim 0x f x →∞ = 及()lim 0x g x →∞ =; (2)0A ? ,f(x) 和g(x)在(),A -∞-与(),A +∞上可导,且g '(x)≠0; (3)()() lim x f x l g x →∞ '=',那么 ()() lim x f x g x →∞ =()() lim x f x l g x →∞ ' ='。 法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件: (1) ()lim x a f x →=∞及()lim x a g x →=∞; (2)在点a 的去心邻域内,f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0; (3)()() lim x a f x l g x →'=',那么 ()() lim x a f x g x →=()() lim x a f x l g x →' ='。 利用洛必达法在解题中应注意: ○ 1将上面公式中的x→a,x→∞换成x→+∞,x→-∞,x a + →,x a - →洛必达法则也成立。 ○2洛必达法则可处理00,∞ ∞ ,0?∞,1∞ ,0 ∞,0 0,∞-∞型。
含参不等式恒成立问题
不等式中恒成立问题的解法研究 在不等式的综合题中,经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。 恒成立问题的基本类型: 类型1:设)0()(2≠++=a c bx ax x f ,(1)R x x f ∈>在0)(上恒成立 00>?且a ; (2)R x x f ∈<在0)(上恒成立00a 时,],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立 ?????>>- ?????≤-≤?????><-?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或, ],[0)(βα∈x x f 在上恒成立???>>?0)(0 )(βαf f ],[0)(βα∈-?????≤-≤?????><- ?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 类型3: αα>?∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>?∈?∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切 恒成立问题的解题的基本思路是:根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化,正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。 一、用一次函数的性质 对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有: ?? ?<??>>?>0)(0 )(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 例1:若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立,求x 的范围。 解析:我们可以用改变主元的办法,将m 视为主变元,即将元不等式化为:0)12()1(2<---x x m ,;令)12()1()(2---=x x m m f ,则22≤≤-m 时,
专题——求恒成立问题参数范围
专题——求恒成立问题参数范围
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专题——求参数取值范围一般方法 概念与用法 恒成立问题是数学中常见问题,也是历年高考的一个热点。题型特点大多以已知一个变量的取值范围,求另一个变量的取值范围的形式出现。这样的题型会出现于代数中的不等式里也会出现在几何里。就常考题型的一般题型以及解题方法,我在这里做了个小结。 题型以及解题方法 一,分离参数 在给出的不等式中,如果能通过恒等变形分离出参数,即:若()a f x ≥恒成立,只须求出()max f x ,则()max a f x ≥;若()a f x ≤恒成立,只须求出()min f x ,则()min a f x ≤,转化为函数求最值。 例1、已知函数()lg 2a f x x x ??=+ - ???,若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >,试确定a 的取值范围。 解:根据题意得:21a x x + ->在[)2,x ∈+∞上恒成立, 即:23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立, 设()23f x x x =-+,则()2 3924f x x ??=--+ ?? ? 当2x =时,()max 2f x = 所以2a > 例2.已知当x ∈R 时,不等式a+cos2x<5-4sinx+45-a 恒成立,求实数a 的取值范围。 分析:在不等式中含有两个变量a 及x ,其中x 的范围已知(x ∈R ),另一变量a 的范围即为所求,故可考虑将a 及x 分离。 解:原不等式即:4sinx+cos2x<45-a -a+5 要使上式恒成立,只需45-a -a+5大于4sinx+cos2x 的最大值,故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。 f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin 2x+4sinx+1=-2(sinx -1)2+3≤3, ∴45-a -a+5>3即45-a >a+2 上式等价于?? ???->-≥-≥-2)2(4504502a a a a 或???≥-<-0 4502a a ,解得≤54a<8. 说明:注意到题目中出现了sinx 及cos2x ,而cos2x=1-2sin 2x,故若把sinx 换元成t,则可把原不等式转化成关于t 的二次函数类型。