第六节 直接证明和间接证明
第六章不等式、推理与证明第6节西乡县第二中学2018届高三第一轮总复习理科数学导学案
(完整版)直接证明与间接证明练习题
2、直接证明与间接证明 三种证明方法的定义与步骤： 1. 综合法 是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法。 2. 分析法 是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法。 3. 反证法 假设原命题的结论不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,由此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法. 反证法法证明一个命题的一般步骤： (1) 假设命题的结论不成立； (2) 根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止 (3) 断言假设不成立(4) 肯定原命题的结论成立 题型一：用综合法证明数学命题 例1 ：对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的 []0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有 1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为理想函数． (1) 若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值； (2)判断函数()21x g x =-（]1,0[∈x ）是否为理想函数，并予以证明； 解析：（1）取021==x x 可得0)0()0()0()0(≤?+≥f f f f ． 又由条件①0)0(≥f ，故0)0(=f ． （2）显然12)(-=x x g 在[0，1]满足条件①0)(≥x g ； 也满足条件②1)1(=g ．若01≥x ，02≥x ，121≤+x x ，则 )] 12()12[(12 )]()([)(2 12 12121-+---=+-++x x x x x g x g x x g 0)12)(12(1222122121≥--=+--=+x x x x x x ，即满足条件③， 故)(x g 理想函数． 注：紧扣定义，证明函数()21x g x =-（]1,0[∈x ）满足三个条件
高考知识点直接证明与间接证明
第2节 直接证明与间接证明 最新考纲 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点 . 知 识 梳 理 1.直接证明 2.间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法. (1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立的证明方法. (2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定
原命题的结论成立. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.( ) (2)用反证法证明结论“a >b ”时，应假设“a ab >b 2 C.1a <1b D.b a >a b 解析 a 2－ab ＝a (a －b )，∵a 0，∴a 2>ab .① 又ab －b 2＝b (a －b )>0，∴ab >b 2，② 由①②得a 2>ab >b 2. 答案 B 3.要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A.2ab －1－a 2b 2≤0 B.a 2 ＋b 2 －1－a 4＋b 4 2≤0 C.（a ＋b ）22－1－a 2b 2≤0 D.(a 2－1)(b 2－1)≥0 解析 a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0?(a 2－1)(b 2－1)≥0. 答案 D
直接证明和间接证明(4个课时)教(学)案
2．2直接证明与间接证明 教学目标： （1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义； （2）掌握用比较法、综合法和分析法证明简单的不等式； （3）能根据实际题目灵活地选择适当地证明方法； （4）通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力. 教学建议： 1．知识结构:（不等式证明三种方法的理解）==〉（简单应用）==〉（综合应用） 2．重点、难点分析 重点：不等式证明的主要方法的意义和应用； 难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的； ②综合性问题证明方法的选择． （1）不等式证明的意义 不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立（或都不成立），而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立． （2）比较法证明不等式的分析 ①在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法． ②证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径．
由于a>b<==>a-b>0，因此，证明a>b，可转化为证明与之等价的a-b>0．这种证法就是求差比较法． 由于当b>0时,a>b<==>(a／b)>1，因此，证明a>b(b>0),可以转化为证明与之等价的(a／b)>1(b>0)．这种证法就是求商比较法，使用求商比较法证明一定要注意(b>0)这一前提条件． ③求差比较法的基本步骤是：“作差→变形→断号”． 其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的． 变形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等，变成能够判断出差的符号是正或负的数(或式子)即可. ④作商比较法的基本步骤是：“作商→变形→判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式．（3）综合法证明不等式的分析 ①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法． ②综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发，通过一系列已知条件推导变换，推导出求证的不等式． ③综合法证明不等式的逻辑关系是： （已知）==〉（逐步推演不等式成立的必要条件）==〉（结论）（4）分析法证明不等式的分析
77知识讲解 直接证明与间接证明(提高)
直接证明与间接证明 【学习目标】 1. 掌握用综合法证题的思路和特点。 2. 掌握用分析法证题的思路和叙述方式． 3．掌握间接证明中的常用方法——反证法的思维过程和特点． 【要点梳理】 要点一、综合法证题 1．定义： 一般地，从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法. 2．综合法的的基本思路：执因索果 综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是由已知走向求证，即从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后导出待证结论或需求的问题． 综合法这种由因导果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法． 3．综合法的思维框图： 用P 表示已知条件，1i Q i =（，2，3，...，n）为定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论，则 综合法可用框图表示为： 11223...n P Q Q Q Q Q Q Q ?→?→?→→? （已知） （逐步推导结论成立的必要条件） （结论） 要点诠释 （1）从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，由因导果，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件； （2）用综合法证明不等式，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达 推理的思维轨迹； （3）因用综合法证明命题“若A 则D”的思考过程可表示为： 故要从A 推理到D ，由A 推演出的中间结论未必唯一，如B 、B 1、B 2等，可由B 、B 1、B 2进一 步推演出的中间结论则可能更多，如C 、C 1、C 2、C 3、C 4等等． 所以如何找到“切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明问题的“瓶颈”． 4．综合法证明不等式时常用的不等式 （1）a 2+b 2≥2ab （当且仅当a=b 时取“=”号）； （2） 2 a b ab +≥（a ，b ∈R*，当且仅当a=b 时取“=”号） ； （3）a 2≥0，|a|≥0，(a －b)2≥0；
直接证明和间接证明基础+复习+习题+练习)
课题：直接证明和间接证明 教学目标： 1.掌握并灵活运用比较法证明简单的不等式，掌握综合法与分析法，会利用综合法和分析法证明不等式. 2. 了解用反证法、换元法、放缩法等方法证明简单的不等式． 教学重点： 灵活作差比较法、作商比较法证明不等式，能合理进行作差（作商）后的变形、配凑，会灵活应用综合法、分析法解决不等式的证明问题 . 教材复习 比较法证明不等式的基本步骤：????? ? →→? ?????? ? 配方法分解法作差（商）变形判断通分法放缩法有理化 综合法：就是从题设条件和已经证明的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不 等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用分析法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。 分析法：就是从所要证明的不等式出发，不断地利用充分条件替换前面的不等式，直至 找到题设条件或已经证明的基本不等式。可简称为“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“?”或“?”表达。 反证法的一般步骤：反设——推理——导出矛盾（得出结论）； 换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性； 常用的换元有三角换元有： 已知2 2 2 a y x =+，可设θθsin ,cos a y a x ==； 已知12 2 ≤+y x ，可设θθsin ,cos r y r x ==(10≤≤r )； 放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析、多次尝试得出, 要注意放缩的适度。常用的方法是：
①添加或舍去一些项，如：a a >+12 ，n n n >+)1(，2 2 131242a a ????++>+ ? ?? ??? ②将分子或分母放大（或缩小） ③真分数的性质：“若0a b <<，0m >，则 a a m b b m +< + ④利用基本不等式，如： 4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg ( 5lg 3log 2 =<=+()x R ∈ ⑦利用常用结论： 2 =>= ()* ,1k N k ∈> ， 2=<=()* ,1k N k ∈> Ⅱ、 k k k k k 111)1(112--=-< ； 111)1(112 +-=+>k k k k k （程度大） Ⅲ、 )1 111(21)1)(1(111122+--=+-=-
直接证明与间接证明 精品教案
2.2直接证明与间接证明（文） 【课题】：2.2.1 综合法和分析法(1) 【设计与执教者】：广州石化中学张洪娟gz100088@https://www.wendangku.net/doc/d16576615.html, 【学情分析】： 前一阶段刚刚学习了人们在日常活动和科学研究中经常使用的两种推理——合情推理和演绎推理。数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。这是数学区别于其他学科的显著特点。本节学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。 在以前的学习中，学生已经接触过用综合法、分析法和反证法证明数学命题，但他们对这些证明方法的内涵和特点不一定非常清楚，逻辑规则也会应用不当。本部分结合学生已学过的数学知识，通过实例引导学生分析这些基本证明方法的电教过程与特点，并归纳出操作流程框图，使他们在以后的学习和生活中，能自觉地、有意识地运用这些方法进行数学证明，养成言之有理、论证有据的习惯。 【教学目标】： （1）知识与技能：结合已学过的数学实例，了解直接证明的基本方法——综合法；了解综合法的思考过程、特点 （2）过程与方法：能够运用综合法证明数学问题 （3）情感态度与价值观：通过本节课的学习，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的习惯 【教学重点】： 了解综合法的思考过程、特点；运用综合法证明数学问题。 【教学难点】： 根据问题特点，选择适当的证明方法证明数学问题。 【课前准备】：几何画板 【教学过程设计】：
ABC中， ，且A，B 证：ABC为等 ，B，C成等 ，B，C为ABC的内 A+B+C=
ABC为等
【练习与测试】： 1．命题“对任意角θθθθ2cos sin cos ,4 4 =-都成立”的证明过程如下： “θθθθθθθθθ2cos sin cos )sin )(cos sin (cos sin cos 2 2 2 2 2 2 4 4 =-=+-=-”，该 过程应用了（ ） A. 分析法 B. 综合法 C. 综合法与分析法结合使用 D. 间接证法 答案：B 解：因为是利用三角公式和乘法公式直接推出结论，故选B 。 2. 已知2 0π α< <，求证：1cos sin 4 4<+αα。
2013届高考一轮复习 直接证明与间接证明
实用文档 2013届高考一轮复习 直接证明与间接证明 一、选择题 1、用反证法证明命题:”三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,假设正确的是( ) A.假设三内角都不大于60度 B.假设三内角都大于60度 C.假设三内角至多有一个大于60度 D.假设三内角至多有两个大于60度 2、 “M 不是N 的子集”的充分必要条件是( ) A.若x M ∈,则x N ? B.若x N ∈,则x M ∈ C.存在11x M x N ∈?∈,又存在22x M x N ∈?? D.存在00x M x N ∈,? 3、函数y=f(x)在(0,2)上是增函数,函数y=f(x+2)是偶函数,则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是 ( ) A.f(2.5)
实用文档 4、设(0)a b c d ,,,∈,+∞,若a+d=b+c 且|a-d|<|b-c|,则有( ) A.ad=bc B.ad 综合法和分析法 教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点. 教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 教学过程： 一、复习准备： 1. 已知 “若12,a a R +∈，且121a a +=，则12114a a +≥”，试请此结论推广猜想. （答案：若12,.......n a a a R +∈，且1 2....1n a a a +++=，则 12111....n a a a +++≥ 2n ） 2. 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c ++≥. 先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？ 二、讲授新课： 1. 教学例题： ① 出示例1：已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc . 分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理） → 讨论：证明形式的特点 ② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立. 框图表示： 要点：顺推证法；由因导果. ③ 练习：已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证 3b c a a c b a b c a b c +-+-+-++>. ④ 出示例2：在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形. 分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？ → 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点. → 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和） 2. 练习： ① ,A B 为锐角，且tan tan 3tan 3A B A B +=，求证：60A B +=o . （提示：算tan()A B +） ② 已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c +≥--- 3. 小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ???，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题. 三、巩固练习： 1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=. （教材P 52 练习 1题） （两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程） 2. ABC ?的三个内角,,A B C 成等差数列，求证：113a b b c a b c +=++++. 第三节直接证明和间接证明 A组基础题组 1.(2018衡阳示范高中联考(二))用反证法证明某命题时,对结论:“自然数a,b,c中恰有一个是偶数”的正确假设为( ) A.自然数a,b,c中至少有两个偶数 B.自然数a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数 C.自然数a,b,c都是奇数 D.自然数a,b,c都是偶数 答案 B “自然数a,b,c中恰有一个是偶数”说明有且只有一个是偶数,其否定是“自然数a,b,c均为奇数或自然数a,b,c中至少有两个偶数”. 2.分析法又称执果索因法,已知x>0,用分析法证明<1+时,索的因是( ) A.x2>2 B.x2>4 C.x2>0 D.x2>1 答案 C 因为x>0, 所以要证<1+, 只需证()2<, 即证0<, 即证x2>0, 因为x>0,所以x2>0成立,故原不等式成立. 3.在△ABC中,sin AsinC A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 答案 C 由sin AsinC 第2讲直接证明与间接证明 1．在历年的高考中，证明方法是常考内容，考查的主要方式是对它们原理的理解和用法．难度多为中档题，也有高档题． 2．从考查形式上看，主要以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程、数列等知识为载体，考查综合法、分析法、反证法等方法． 【复习指导】 在备考中，对本部分的内容，要抓住关键，即分析法、综合法、反证法，要搞清三种方法的特点，把握三种方法在解决问题中的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决的问题的类型，同时也要加强训练，达到熟能生巧，有效运用它们的目的． 1．直接证明 (1)综合法 ①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． ②框图表示：P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→…→Q n?Q (其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)． (2)分析法 ①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法． ②框图表示：Q?P1→P1?P2→P2?P3→…→ 得到一个明显成立的条件. 2．间接证明 一般地，由证明p?q转向证明：假设q为假?r???t. t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定假设q为假，推出q为真的方法，叫做反证法． 一个关系 综合法与分析法的关系 分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用． 两个防范 (1)利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而 直接证明与间接证明 目标要求：1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点． 考查角度[直接证明] 1．(2013·课标全国卷Ⅰ)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝ a n ， b n ＋1＝ c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n 2，则( ) A ．{S n }为递减数列 B ．{S n }为递增数列 C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列 D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 解：在△A 1B 1C 1中，b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，∴b 1＞a 1＞c 1. 在△A 2B 2C 2中，a 2＝a 1，b 2＝c 1＋a 12，c 2＝b 1＋a 12，b 2＋c 2＝2a 1，∴ c 1＜b 2＜a 1＜c 2＜b 1. 在△A 3B 3C 3中，a 3＝a 2＝a 1，b 3＝c 2＋a 22＝c 2＋a 12，c 3＝b 2＋a 22＝ b 2＋a 12，b 3＋ c 3＝2a 1，∴a 1＜b 3＜c 2，b 2＜c 3＜a 1，∴c 1＜b 2＜c 3＜a 1＜b 3＜c 2＜b 1.由归纳知，n 越大，两边c n ，b n 越靠近a 1且c n ＋b n ＝2a 1，此时面积S n 越来越大，当且仅当c n ＝b n ＝a 1时△A n B n C n 的面积最大． 【答案】 B 点30 直接证明与间接证明 一、选择题 1.（2014·山东高考理科·Ｔ4） 用反证法证明命题：“已知,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（ ） A 、方程20x ax b ++=没有实根. B 、方程20x ax b ++=至多有一个实根. C 、方程20x ax b ++=至多有两个实根. D 、方程20x ax b ++=恰好有两个实根. 【解题指南】本题考查了反证法，从问题的反面出发进行假设.一元二次方程根的个数为0,1,2.因此至少有一个实根包含1根或两根，它的反面为0根. 【解析】选 A.“已知,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”的反面是“方程02=++b ax x 没有实根.”故选A. 2.（2014·山东高考文科·Ｔ4）与（2014·山东高考理科·Ｔ4）相同 用反证法证明命题：“已知,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（ ） A 、方程20x ax b ++=没有实根. B 、方程20x ax b ++=至多有一个实根. C 、方程20x ax b ++=至多有两个实根. D 、方程20x ax b ++=恰好有两个实根. 【解题指南】本题考查了反证法，从问题的反面出发进行假设.一元二次方程根的个数为0,1,2.因此至少有一个实根包含1根或两根，它的反面为0根. 【解析】选 A.“已知,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”的反面是“方程02=++b ax x 没有实根.”故选A. 二、解答题 3.（2013·北京高考理科·Ｔ20）已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列， 直接证明与间接证明练 习题 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 2、直接证明与间接证明 三种证明方法的定义与步骤： 1. 综合法 是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法。 2. 分析法 是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法。 3. 反证法 假设原命题的结论不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,由此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法. 反证法法证明一个命题的一般步骤： (1) 假设命题的结论不成立； (2) 根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止 (3) 断言假设不成立(4) 肯定原命题的结论成立 题型一：用综合法证明数学命题 例1 ：对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的 []0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有 1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为理想函数． (1) 若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值； (2)判断函数()21x g x =-（]1,0[∈x ）是否为理想函数，并予以证明； 解析：（1）取021==x x 可得0)0()0()0()0(≤?+≥f f f f ． 又由条件①0)0(≥f ，故0)0(=f ． （2）显然12)(-=x x g 在[0，1]满足条件①0)(≥x g ； 也满足条件②1)1(=g ．若01≥x ，02≥x ，121≤+x x ，则 0)12)(12(1222122121≥--=+--=+x x x x x x ，即满足条件③， 故)(x g 理想函数． 注：紧扣定义，证明函数()21x g x =-（]1,0[∈x ）满足三个条件 题型二：用分析法证明数学命题 例2：已知：10< 谈谈数学中的间接证明 山东省沂水县高桥镇初级中学王瑞辉 276400 许多数学命题可以按照从条件推导结论的顺证法证明，而有些命题用顺证法不易证明或根本不可能；这时就需要我们证明和这个命题等价的命题，从而间接地证明了原来命题，这种证明方法叫间接证明。间接证明常用的方法有反证法和同一法两种。现在我们谈一谈这两种方法的应用及注意事项。 一、反证法 所谓反证法就是从反面入手，即“?假设结论不成立，从假设出发，进行正确的推理，得出明显的矛盾，因此假设错误”，于是间接地证明了原来命题的正确性。 其实反证法就是这样一个思维过程：我们假设“结论不成立”，结合某些已知条件经过正确的推理，得出新结论与“已知条件”或“公理”或“已知的定理”或“定义”等相矛盾。这个矛盾是怎样产生的呢？推理过程没有错、已知条件没有错、已知公理、定理没有错、定义没有错；这样唯一有错的是一开始的“假设结论不成立”，而“结论成立”和“结论不成立”是对立的，两者必然有一个正确，既然“结论不成立”有错误，这就足以证明结论必然成立了。 这里就用反证法时，如何否定结论、证明过程中出现的矛盾的几种情况和何时宜用反证法分别举例说明。 （1）、如何否定结论 否定结论有两种方法：(i)、直接假设结论不成立。（ii）、假设结论的反面不成立。 （2）、证明过程中出现的几种矛盾类型。 （i）、在证明过程中得到的新结论与公理矛盾。 例１、求证：两条直线相交只有一个交点。 已知：直线m,n相交于点P。求证：直线m,n只有一个交点P。 证明：假设“直线m,n只有一个交点P”不成立，则直线m,n不止有一个交点P，不妨设直线m,n有两个交点，?设另一个交点为Q，这时有两条不同的直线m,n同时经过两个不同的点P，Q。即P，Q两点确定了两条直线m,n。这与公理“两点确定一条直线”相矛盾。所以假设错误，?即m,n的交点不能多于一个；所以“两条相交直线只有一个交点”。 （ii）、在证明过程中得到的新结论与已知定理相矛盾。 2019直接证明与间接证明练习高中是重要的一年，大家一定要好好把握高中，查字典数学网小编为大家整理了直接证明与间接证明练习，希望大家喜欢。 1.若a，b，c为实数，且a A.ac2 C.1a D.baab 解析：a2-ab=a(a-b)， ∵a 又ab-b2=b(a-b)0，abb2，② 由①②得a2b2. 答案：B 2.要证：a2+b2-1-a2b20，只要证明 A.2ab-1-a2b2 B.a2+b2-1-a4+b420 C.a+b22-1-a2b2 D.(a2-1)(b2-1)0 解析：因为a2+b2-1-a2b2(a2-1)(b2-1)0. 答案：D 3.(2019山西师大附中模拟)用反证法证明某命题时，对结论：自然数a，b，c中恰有一个偶数正确的反设为 A.a，b，c中至少有两个偶数 B.a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 C.a，b，c都是奇数 D.a，b，c都是偶数 解析：恰有一个偶数的对立面是没有偶数或至少有两个偶数. 答案：B 4.(2019银川模拟)设a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断： ①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 ②ab，a ③ac，bc，ab不能同时成立， 其中正确判断的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 解析：①②正确；③中，ab，bc，ac可以同时成立，如a=1，b=2，c=3，故正确的判断有2个. 答案：C 5.设a0，m=a-b，n=a-b，则m，n的大小关系是________. 解析：取a=2，b=1，得m a-b a 答案：m 6.用反证法证明命题若实数a，b，c，d满足a+b=c+d=1， ac+bd1，则a，b，c，d中至少有一个是非负数时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是________. 考点30 直接证明与间接证明 一、选择题 1.（2014·山东高考理科·Ｔ4） 用反证法证明命题：“已知,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（ ） A 、方程20x ax b ++=没有实根. B 、方程20x ax b ++=至多有一个实根. C 、方程20x ax b ++=至多有两个实根. D 、方程20x ax b ++=恰好有两个实根. 【解题指南】本题考查了反证法，从问题的反面出发进行假设.一元二次方程根的个数为0,1,2.因此至少有一个实根包含1根或两根，它的反面为0根. 【解析】选A.“已知,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”的反面是“方程 02=++b ax x 没有实根.”故选A. 2.（2014·山东高考文科·Ｔ4）与（2014·山东高考理科·Ｔ4）相同 用反证法证明命题：“已知,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做 的假设是（ ） A 、方程20x ax b ++=没有实根. B 、方程20x ax b ++=至多有一个实根. C 、方程20x ax b ++=至多有两个实根. D 、方程20x ax b ++=恰好有两个实根. 【解题指南】本题考查了反证法，从问题的反面出发进行假设.一元二次方程根的个数为0,1,2.因此至少有一个实根包含1根或两根，它的反面为0根. 【解析】选A.“已知,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”的反面是“方程 02=++b ax x 没有实根.”故选A. 二、解答题 3.（2013·北京高考理科·Ｔ20）已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的 直接证明与间接证明 编稿：赵雷 审稿：李霞 【学习目标】 1. 掌握用综合法证题的思路和特点。 2. 掌握用分析法证题的思路和叙述方式． 3．掌握间接证明中的常用方法——反证法的思维过程和特点． 【要点梳理】 要点一、综合法证题 1．定义： 一般地，从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法. 2．综合法的的基本思路：执因索果 综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是由已知走向求证，即从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后导出待证结论或需求的问题． 综合法这种由因导果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法． 3．综合法的思维框图： 用P 表示已知条件，1i Q i =（，2，3，...，n）为定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论，则 综合法可用框图表示为： 11223...n P Q Q Q Q Q Q Q ?→?→?→→? （已知） （逐步推导结论成立的必要条件） （结论） 要点诠释 （1）从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，由因导果，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件； （2）用综合法证明不等式，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达 推理的思维轨迹； （3）因用综合法证明命题“若A 则D”的思考过程可表示为： 故要从A 推理到D ，由A 推演出的中间结论未必唯一，如B 、B 1、B 2等，可由B 、B 1、B 2进一 步推演出的中间结论则可能更多，如C 、C 1、C 2、C 3、C 4等等． 所以如何找到“切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明问题的“瓶颈”． 4．综合法证明不等式时常用的不等式 （1）a 2+b 2≥2ab （当且仅当a=b 时取“=”号）； （2） 2 a b +≥（a ，b ∈R*，当且仅当a=b 时取“=”号） ； （3）a 2≥0，|a|≥0，(a －b)2≥0； 推理与证明综合测试题 一、选择题 1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ） Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件 答案：Ａ 2．结论为：n n x y +能被x y +整除，令1234n =，，，验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（ ） Ａ．n *∈N Ｂ．n *∈N 且3n ≥ Ｃ．n 为正奇数 Ｄ．n 为正偶数 答案：Ｃ 3．在ABC △中，sin sin cos cos A C A C >，则ABC △一定是（ ） Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不确定 答案：Ｃ 4．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d >，则有4637a a a a >··，类经上述 性质，在等比数列{}n b 中，若01n b q >>，，则4578b b b b ，，，的一个不等关系是（ ） Ａ．4857b b b b +>+ Ｂ．5748b b b b +>+ Ｃ．4758b b b b +>+ Ｄ．4578b b b b +>+ 答案：Ｂ 5．（1）已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥， （2）已知a b ∈R ，，1a b +<，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥，以下结论正确的是（ ） Ａ．(1)与(2)的假设都错误 Ｂ．(1)与(2)假设都正确 Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确 答案：Ｄ 6．观察式子：213122+ <，221151233++<，2221117 12344 +++<，，则可归纳 出式子为（ ） Ａ．22211 111(2)2321n n n ++++<-≥ Ｂ．22 211111(2)2321 n n n + +++ <+≥ § 222反证法 【学情分析】 前面我们学习了两种直接证明问题的方法——综合法和分析法。在以前的学习中，学生已经接触过用反证法证明数学命题，本节课进一步熟悉运用反证法证明某些直接证明较难解决的数学问题。 【教学目标】 （1）知识与技能：结合已学过的数学实例，了解间接证明的方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点 （2）过程与方法：能够运用反证法证明数学问题 （3）情感态度与价值观：通过本节课的学习，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的习惯【教学重点】 了解反证法的思考过程、特点；运用反证法证明数学问题。 【教学难点】 运用反证法证明数学问题。 【教学过程设计】 教学环节教学活动 设计意图 提出问题 问题1、任找370个人，他们中生日有没有相同的呢? 问题2、 将9个球分别染成红色或白色，无论怎样染，至少有5个球是同色 的，你能证明这个结论吗？ 思考：通过以上几个练习，大家已经初步体会到反证法的作 用，你能不能总结一下应用反证法的概念及其步骤？ 从实际生活的例子出发，使学生对反证法 的基本方法和步骤有一个更深刻的认识。 1：反证法的概念： 假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明 假设错误，从而证明原命题成立，这样的的证明方法叫反证法. 2:反证法的基本步骤：1 ）:假设命题结论不成立，即假设结论 的反面成立；2）:从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；3）:从 矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确. 3:应用反证法的情形：1）：直接证明困难；2）:需分成很多类进 行讨论； 3 ）:结论为“至少”、“至多”、 “有无穷多个”类命题； 4 ）:结论为“唯一”类命题； 例1、已知直线a,b和平面a ,如果，且a ||b，求证a ||a。 解析：让学生理解反证法的严密性和合理性； 证明：因为a||b, 所以经过直线a , b 确定一个平面P。 因为a^a，而a u P, 所以a与P是两个不同的平面. 因为 b ua，且b u P, 所以ap P =b. 直观了解反证法的证明过程。否定结论，推出矛 盾。提醒学生：使用反证法进行证明的关键是在 正确的推理下得出矛盾。这个矛盾可以是与已知 条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定 理、事实矛盾等。 进上步熟悉反证法的证题思路及步骤。 引导学生结合思考题和例题归纳出反证法 所适用的题型特点和一般步骤。培养学生的归 纳 第三十六讲 直接证明与间接证明 班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．) 1．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos2θ”的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2 θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos2θ”过程应用了( ) A ．分析法 B ．综合法 C ．综合法、分析法综合使用 D ．间接证明法 解析：因为证明过程是“从左往右”，即由条件?结论． 故选B. 答案：B 2．已知x 1>0，x 1≠1且x n ＋1＝x n ·(x 2 n ＋3)3x 2n ＋1 (n ＝1,2，…)，试证：“数列{x n }对任意的正整数n ，都满足x n >x n ＋1，”当此题用反证法否定结论时应为( ) A ．对任意的正整数n ，有x n ＝x n ＋1 B ．存在正整数n ，使x n ≤x n ＋1 C ．存在正整数n ，使x n ≥x n －1，且x n ≥x n ＋1 D ．存在正整数n ，使(x n －x n －1)(x n －x n ＋1)≥0 解析：根据全称命题的否定，是特称命题，即“数列{x n }对任意的正整数n ，都满足x n >x n ＋1”的否定为“存在正整数n ，使x n ≤x n ＋1”，故选B. 答案：B 3．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2 ≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－ a 4＋ b 42≤0 C.(a ＋b )22 －1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0 解析：因为a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0?(a 2－1)(b 2－1)≥0，故选D. 答案：D 4．已知a 、b 是非零实数，且a >b ，则下列不等式中成立的是( ) A.b a <1 B ．a 2>b 2 C ．|a ＋b |>|a －b | D.1ab 2>1a 2b 解析：b a <1?b －a a <0?a (a －b )>0. ∵a >b ，∴a －b >0.而a 可能大于0，也可能小于0， 因此a (a －b )>0不一定成立，即A 不一定成立； a 2> b 2?(a －b )(a ＋b )>0， ∵a －b >0，只有当a ＋b >0时，a 2>b 2才成立，故B 不一定成立； |a ＋b |>|a －b |?(a ＋b )2>(a －b )2?ab >0，而ab <0也有可能，故C 不一定成立； 由于1ab 2>1 a 2 b ? a － b a 2b 2>0?(a －b )·a 2b 2 >0. ∵a ，b 非零，a >b ，∴上式一定成立，因此只有D 正确．故选D. 答案：D 5．(2009·杭州市模拟)已知函数f (x )＝? ????12x ，a ，b ∈(0，＋∞)，A ＝f ? ?? ??a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ? ?? ??2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( ) A ．A ≤B ≤C B ．A ≤ C ≤B C ．B ≤C ≤A D ．C ≤B ≤A直接证明与间接证明(综合法与分析法)
第三节 直接证明和间接证明
第2讲直接证明与间接证明
直接证明与间接证明
高考分类题库考点30 直接证明与间接证明
直接证明与间接证明练习题完整版
谈谈数学中的间接证明
直接证明与间接证明练习
2017-2018学年高中数学考点30直接证明与间接证明
知识讲解 直接证明与间接证明(基础)
高中数学直接证明与间接证明练习题
直接证明与间接证明3(理)
第三十六讲直接证明与间接证明