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2012高考数学备考冲刺之易错点点睛系列专题函数(学生版)

函数

一、高考预测

本部分内容的主要考点是：函数的表示方法、分段函数、函数的定义域和值域、函数的单调性、函数的奇偶性、本部分在高考试卷中一般以选择题或填空题的形式出现，考查的重点是函数的性质和图象的应用，重在检测考生对该部分的基础知识和基本方法的掌握程度.复习该部分以基础知识为主，注意培养用函数性质和函数图象分析问题和解决问题的能力.二次函数、指数函数、对数函数是中学数学的重要函数模型，也是函数内容的主体部分，因此是高考重点考查的对象，在每年的高考试题中都会涉及到对这几种函数模型的考查，既有可能在选择题、填空题中出现，也有可能在解答题中出现，从难度上看，容易题、中档题、难题均有可能出现，以考查这些函数的图象与性质为主，同时还经常将对这些内容的考查与其他知识融合在一起，体现知识点的交汇.

二、知识导学

要点1：函数三要素

定义域的求法：当函数是由解析式给出时，求函数的定义域，就是由函数的解析式中所有式子都有意义的自变量x组成的不等式(组)的解集；当函数是由具体问题给出时，则不仅要考虑使解析式有意义，还应考虑它的实际意义．

求函数值域的常用方法：观察法、不等式法、图象法、换元法、单调性法等．

函数的表示法：函数的表示法：解析法、图象法和列表法．当一个函数在定义域的不同区间上具有不同的对应关系时，在不同的定义域区间上的函数解析式也不同，就要用分段函数来表示．分段函数是一个函数．

要点2．函数的图象

1.解决该类问题要熟练掌握基本初等函数的图象和性质，善于利用函数的性质来作图，要合理利用图象的三种变换．

2.在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系、结合图象研究．

要点3．函数的性质

(1)函数的奇偶性：紧扣函数奇偶性的定义和函数的定义域区间关于坐标原点对称、函数图象的对称性等对问题进行分析转化，特别注意“奇函数若在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0，偶函数一定有f(|x|)＝f(x)”在解题中的应用．

(2)函数的单调性：一是紧扣定义；二是充分利用函数的奇偶性、函数的周期性和函数图象的直观性进行分析转化．函数的单调性往往与不等式的解、方程的解等问题交汇，要注意这些知识的综合运用．

要点4．二次函数

1.求二次函数在某段区间上的最值时，要利用好数形结合，特别是含参数的两种类型：“定轴动区间，定区间动轴”的问题，抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴．

2．注意三个“二次”的相互转化解题

3．二次方程实根分布问题，抓住四点：“开口方向、判别式Δ、对称轴位置、区间端点函数值正负．”

要点5．指数函数与对数函数

1.利用指数函数与对数函数的性质比较大小

(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较．(2)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，可以引入中间量或结合图象进行比较．

2．对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论，解决对数问题时，首先要考虑定义域，其次再利用性质求解．

要点6．函数模型的实际应用

解决函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，并要注意定义域，然

后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答．明确下面的基本解题步骤是解题的必要基础：

→→→

要点7．函数零点

1.函数零点（方程的根）的确定问题，常见的类型有（1）零点或零点存在区间的确定；

（2）零点个数的确定；（3）两函数图象交战的横坐标或有几个交点的确定；解决这类问题的常用方法有：解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解。

2．函数零点（方程的根）的应用问题，即已知函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，解决该类问题关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解。

3.用二分法求函数零点近似值，用二分法求函数零点近似值的步骤（1）确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε；（2）求区间(a,b)的中点

1x ；（3）计算f(1x );①当f(1x )=0,则1x 就是函数的零点；②若f(a)·f(1x )<0,则令b=1x (此时零点01(,)x a x ∈)，③若f(1x )·f(b)<0,则令a=1x (此时零点0

1(,)x x b ∈)。(4)判断是否达到其精确度ε，则得零点近似值，否则重复以上步骤。

三、易错点点睛

命题角度1 函数的定义域和值域

1．对定义域D f 、D g 的函数y=f(x)，y=g(x)，规定：函数h(x)=???????∈??∈∈∈?g f g f g f D x D x x g D x D x x f D x D x x g x f 且当且当且当)()

()()(

(1)若函数f(x)=11

-x ,g(x)=x 2，写出函数h(x)的解析式; (2)求问题(1)中函数h(x)的

值域．

[考场错解] (1)∵f(x)的定义域D f 为(-∞，1)∪(1，+∞)，g(x)的定义域D g 为R.

∴h(x)=?

????????=≠-+∞-∞∈-)1(1)1(1

1),1()1,(1

x x x x x x

(2)当x ≠1时，h(x)=12

-x x =x-1+11-x +2≥4．或h(x)= 11-x ∈(-∞，0)∪(0，+∞)． ∴h(x)的值域为(4，+∞)，当x=1时，h(x)=1．综合，得h(x)的值域为{1}∪[4，+∞]．

[专家把脉] 以上解答有两处错误：一是当x ∈D f 但x ?D g 时，应是空集而不是x ≠1．二

是求h(x)的值域时，由x ≠1求h(x)=x-1+11

-x +2的值域应分x>1和x<1两种情况的讨论．

[对症下药] (1)∵f(x)的定义域D f =(-∞，1)∪(1，+∞)·g(x)的定义域是D g =(-∞，+

∞)．所以，h(x)=?????=+∞-∞∈-.1,1).,1()1,(,12

x x x x

(2)当x ≠1时，h(x)= 12-x x =11

12-+-x x =x-1+11-x +2．若x>1，则x-1>0，∴h(x)≥2

11)1(--x x +2=4．当且仅当x=2时等号成立．若x ＜1，则x-1<0．∴h(x)=-[-(x-1)- 11-x ]+2≤-2+2=0．当且仅当x=0时等号成立．当x=1时，h(x)=1．综上得h(x)的值域为(-∞，0)∪{1}∪[4,)+∞．

[对症下药] (1)由2-33-+x x ≥0，得11

+-x x ≥0，∴x<-1或x ≥1．即A=(-∞，-1)∪[1，+

∞]．

(2)由(x-a-1)(2a-x)＞0，得(x-a-1)(x-2a)<0，

当a=1时，B= ?，∵定义域为非空集合，∴a ≠1．当 a<1时，a+1>2a ，∴B=(2a ，a+1)，∵B ?A ，

∴2a ≥1或a+1≤-1，即a ≥21或a ≤-2．而a<1，∴21

≤a ≤1或a ≤-2，

故当B ?A 时，实数a 的取值范围是(-∞，-2)∪[21

，1]．

3．记函数f(x)=lg(2x-3)的定义域为集合M ，函数g(x)=

121--的定义域为集合N ．求集

合M ，N ；集合M ∩N ．M ∪N. [考场错解] (1)由2x-3＞0解得x ＞23．∴M={x|x ＞23}．由1-12

-x ≥0 得x-1≤x-3∴-1≤-3．∴N= ?．

(2)∴M ∩N=?．M ∪N={x|x>23

}．

[专家把脉] 求集合N 时解不等式1-12

-x ≥0两边同乘以(x-1)不等号不改变方向，不符

合不等式性质，应先移项化为)()

(x g x f ≥0的形式再转化为有理不等式，求解，另外定义域不可能为非空集合．∴N=?显然是错误的．

[对症下药] (1)由2x-3＞0，得x ＞23．∴M={x|x ＞23}．由1-12

-x ≥0得

???≠≥--?≥--10)1)(3(013x x x x x

∴x ≥3或x<1．∴N={x|x ≥3或x<1}．

(2)∴M ∩N={x|x>23}∩{x|x ≥3或x>1}={x|x ≥3}．M ∪N={x|x>23

}∪{x|x ≥3或x>1}={x|x>23

或x<1}．

4．若集合M={y|y=2-x

}，P={y|y=1-x }，则M ∩P 等于 ( )

A ．{y|y ＞1}

B ．{y|y ≥1} C.{y|y>0} D ．{y|y ≥0}

[考场错解] 选A 或B [专家把脉]错误地认为是求函数y=2-x

和y=1-x 的定义域的交集．实际上是求两函数的值域的交集．

[对症下药] ∵集合中的代表元素为y ，∴两集合表示两函数的值域，又∴M={y|y=2-x

}={y|y>0}，P={y|y=1-x }={y|y ≥0}．∴M ∩P={y|y ＞0}，故选C ．

专家会诊1。对于含有字母的函数求定义域或已知其定义域求字母参数的取值范围，必须对字母酌取值情况进行讨论，特别注意定义域不能为空集。2．求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用．

命题角度2 函数单调性的应用

1．已知a ≥0，且函数f(x)=(x 2-2ax)e x 在[-1，1]上是单调函数，求a 的取值范围．

[考场错解] ∵f ′(x)=e x (x 2-2ax)+e x (2x-2a)=e x [x 2+2(1-a)x-2a] 又∵f(x)在[-1，1]上是

单调函数，

f ′(x)≥0在[-1，1]上恒成立.即 e x [x 2+2(1-a)x-2a ≥0在[-1，1]上恒成立． ∵e x >0，g(x)=x 2+2(1-a)x-2a ≥0在[-1，1]上恒成立．即?????--≤--0)1(12)1(2

g a 或△=4(1-a)2+8a ＜0或

?????≥≥--.0)1(12)1(2g a 解得：a ∈?．故f(x)在[-1，1]上不可能为单调函数．

[专家把脉] 上面解答认为f(x)为单调函数,f(x)就只能为单调增函数，其实f(x)还有可能为单调减函数，因此应令f ′(x)≥0或f ′(x)≤0在[-1，1]上恒成立．

[对症下药] f ′(x)=e x (x 2-2ax)+e x (2x-2a)=e x [x 2+2(1-a)x-2a]

∵f(x)在[-1，1]上是单调函数．(1)若f(x)在[-1，1]上是单调递增函数．

则f ′(x)≥0在[-1，1]上恒成立，即e x [x 2+2(1-a)x-2a]≥0在[-1，1]上恒成立．∵e x >0．∴

g(x)=x 2+2(1-a)x-2a ≥0在[-1，1]上恒成立，则有???≥--≤-0)1(11g a 或△=4(1-a)2+8a ＜0或???≥≥-0)1(11g a

解得，a ∈?．

问的条件当成第(2)问的条件，因而除了上述证明外，还需证明x 0<-1时，方程也没有负根．

[对症下药] （1）设-1

211

122+---+-x x a x x x = a x2-a x1+12121122+--+-x x x x =a x1(a x2-x1-1)+)1)(1()1)(2()2)(1(122121+++---+x x x x x x =a x1(a x2-x1)+)1)(1()(31212++-x x x x .∵

x 2-x 1>0，又a>1，∴a

x2-x1>1．而-10，x 2+1>0． ∴f(x 2)-f(x 1)＞0∴f(x)在(-1，

+∞)上为增函数． (2)设x 0为方程f(x)=0的负数根，则有a x0+1200+-x x =0．即a x0==++-=+-1)1(3120000x x x x -1+.130+x

显然x 0≠-1，当0＞x 0＞-1时，1＞x 0

+1＞0，013x +＞3，-1+013x +>2．而a 1

-1的解．当x 0<-1时．x 0+1＜0013x +<0，-1+013

x +＜-1，而a x0>0矛盾．即

不存在x 0<-1的解．

3．若函数f(x)=l0g a (x 3-ax)(a ＞0且a ≠1)在区间(-21

，0)内单调递增，则a 的取值范围

是 ( ) A.[41，1] B.[43，1] C.[49，+∞] D.(1，-49

)