袁艳红主编大学物理学第九章课后习题答案

第9章 静电场

习 题

一 选择题

9-1 两个带有电量为2q 等量异号电荷,形状相同的金属小球A 和B 相互作用力为f ,它们之间的距离R 远大于小球本身的直径,现在用一个带有绝缘柄的原来不带电的相同的金属小球C 去和小球A 接触,再和B 接触,然后移去,则球A 和球B 之间的作用力变为[ ]

(A)

4f (B) 8f (C) 38f (D) 16

f

答案:B

解析:经过碰撞后,球A 、B 带电量为2

q

,根据库伦定律12204q q F r πε=,可知球A 、

B 间的作用力变为

8

f

。 9-2关于电场强度定义式/F E =0q ,下列说法中哪个是正确的?[ ] (A) 电场场强E 的大小与试验电荷0q 的大小成反比 (B) 对场中某点,试验电荷受力F 与0q 的比值不因0q 而变 (C) 试验电荷受力F 的方向就是电场强度E 的方向 (D) 若场中某点不放试验电荷0q ,则0=F ,从而0=E 答案:B

解析:根据电场强度的定义,E 的大小与试验电荷无关,方向为试验电荷为正电荷时的受力方向。因而正确答案(B )

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9-3 如图9-3所示,任一闭合曲面S 内有一点电荷q ,O 为S 面上任一点,若将q 由闭合曲面内的P 点移到T 点,且 OP =OT ,那么[ ]

(A) 穿过S 面的电场强度通量改变,O 点的场强大小不变 (B) 穿过S 面的电场强度通量改变,O 点的场强大小改变

(C) 穿过S 面的电场强度通量不变,O 点的场强大小改变 (D) 穿过S 面的电场强度通量不变,O 点的场强大小不变 答案:D

解析:根据高斯定理,穿过闭合曲面的电场强度通量正比于面内电荷量的代数和,曲面S 内电荷量没变,因而电场强度通量不变。O 点电场强度大小与所有电荷有关,由点电荷电场强度大小的计算公式2

04q E r πε=

,移动电荷后,由于OP =OT ,

即r 没有变化,q 没有变化,因而电场强度大小不变。因而正确答案(D )

9-4 在边长为a 的正立方体中心有一个电量为q 的点电荷,则通过该立方体任一面的电场强度通量为 [ ]

(A) q /ε0 (B) q /2ε0 (C) q /4ε0 (D) q /6ε0 答案:D

解析:根据电场的高斯定理,通过该立方体的电场强度通量为q /ε0,并且电荷位于正立方体中心,因此通过立方体六个面的电场强度通量大小相等。因而通过该立方体任一面的电场强度通量为q /6ε0,答案(D )

9-5 在静电场中,高斯定理告诉我们[ ]

(A) 高斯面内不包围电荷,则面上各点E 的量值处处为零 (B) 高斯面上各点的E 只与面内电荷有关,但与面内电荷分布无关 (C) 穿过高斯面的E 通量,仅与面内电荷有关,而与面内电荷分布无关 (D) 穿过高斯面的E 通量为零,则面上各点的E 必为零 答案:C

解析:高斯定理表明通过闭合曲面的电场强度通量正比于曲面内部电荷量的代数和,与面内电荷分布无关;电场强度E 为矢量,却与空间中所有电荷大小与分布均有关。故答案(C )

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9-6 两个均匀带电的同心球面,半径分别为R 1、R 2(R 1

习题9-7图

答案:D

解析:根据高斯定理

d i

i

S

q

E S ε=

∑?

,可得同心球面的电场分布为

1122

020,0

,4,

0r R E Q R r R E r r R E πε?<<=?

?

<<=??

?>=?,作E-r 图可得答案(D )。 9-7如图9-7所示,在匀强电场中,将一负电荷从A 移动到B ,则[ ] (A) 电场力做正功,负电荷的电势能减少 (B) 电场力做正功,负电荷的电势能增加 (C) 电场力做负功,负电荷的电势能减少 (D) 电场力做负功,负电荷的电势能增加 答案:D

解析:负电荷受力方向与电场强度方向相反,将负电荷从A 移动到B ,受力方向与位移方向家教大于90°,因此电场力作负功;同时,电场力为保守力,保守力作功电势能的增量的负值,因此负电荷的电势能增加。答案(D )

9-8 如图9-8所示,在点电荷+q 的电场中,若取图中P 点为电势零点,则M 点的电势为[ ]

(A )04q a

πε (B)

08q a

πε

(C) 04q a

πε- (D)

08q a

πε-

答案:D

解析:点电荷+q 在P 点和M 点的电势分别为00,442Pq Mq q q V V a a πεπε==,取P 点

为电势零点,则M 点的电势为0004248M Mq Pq q q

q V V V a

a

a

πεπεπε-=-=

-

=

9-9 真空中两块互相平行的无限大均匀带电平板,两板间的距离为d ,其中一块的电荷面密度为σ+,另一块的电荷面密度为2σ+,则两板间的电势差为[ ]

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习题9-8图

(A) 0 (B) 0

2d σε (C) 0d σε (D) 0

3

ε 答案:B

解析:根据高斯定理知电荷面密度为σ+的无限大平板在空间激发的电场强度为

02r E e σε= ,结合电势差的定义即可知电势差为0

2d σ

ε。

9-10 关于电场强度与电势之间的关系,下列说法中,正确的是[ ] (A) 在电场中,电场强度为零的点,电势必为零 (B) 在电场中,电势为零的点,电场强度必为零 (C) 在电势梯度不变的空间,电场强度处处相等 (D) 在电场强度不变的空间,电势处处相等 答案:C

解析:电场强度与电势之间的关系为电场强度在任意方向的分量,等于电势在该方向上的变化率的负值。因而答案(C )

二 填空题

9-11 点电荷1234q q q q 、、、在真空中的分布如图9-11所示。图中S 为闭合曲面,则通过该闭合曲面的电场强度通量d S

??E S =_______

答案:

24

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q q ε+

解析:根据电场的高斯定理0

d i

i

S

q E S ε=

∑?

,通过闭合

曲面的电场强度通量为

24

q q ε+。

9-12 如图9-12所示,真空中两块平行无限大均匀带电平面,其电荷面密度分别为σ+和2σ-,则A 、B 、C 三个区域的电场强度分别为A E = ;

B E = ;

C E = 。

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答案:

02σε;032σε;0

ε- 习题9-11图

解析:根据高斯定理知电荷面密度为σ+的无限大平板在空间激发的电场强度为

02r E e σε= ,结合电场强度的叠加原理i i

E E =∑ ,可知A 、B 、C 三个区域的电场

强度分别

02σε,032σε,0

ε-。 9-13 无限大的均匀带电平板放入均匀电场中,得到如图9-13所示的电场,(0E 和0ε为已知值)则该带电平板的电荷面密度σ=____________,均匀电场的电场强度大小为___________。

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答案:00E ε;03

2

E

电荷面密度为σ+的无限大平板在空间激发的

电场强度大小为02E σ

ε=,结合电场强度叠加原理i i

E E =

∑ ,可解得带电平板的

电荷面密度σ=00E ε,均匀电场的电场强度大小为03

2

E 。

9-14 两根无限长细直导线 ,相互平行相距为d ,电荷线密度分别为λ+和λ-,则每单位长度上导线之间相互作用力大小为________,力的方向为________。

答案:2

02d

λπε;垂直导线,相互吸引的方向

解析:根据高斯定理知线密度为σ+的无限长直导线在空间激发的电场强度大小为02E d

λ

πε=

,方向垂直直导线方向,则每单位长度上导线之间相互作用力大小为2

02F qE d

λπε==,方向垂直导线,相互吸引的方向。

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9-15 如图9-15所示是静电场中的一簇电力线,则A 、B 两点中电场强度E A E B ,电 势V A V B (填“>”、“=”或“<”)。 答案:<;>

习题9-13图

解析:电场线的疏密表示场强的大小,因此E A < E B 。若将正电荷+q 从点A 移动到点B ,则电场力作正功()0AB A B W q V V =->,因此V A > V B 。

9-16 正负电荷放置如图9-16所示,那么正四边形对角线中心处,电场强度

为零的是图_________,电场强度和电势都为零的是图__________,电场强度为零,电势不为零的是图___________。

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答案:(B)、(C)、(D );(C);(B)、(D )

解析:电场强度叠加符合矢量叠加原理,电势叠加为代数叠加。根据电场强度和电势叠加原理,电场强度为零的是图(B)、(C)、(D );电场强度和电势都为零的是图(C);电场强度为零,电势不为零的是图(B)、(D )。

9-17 如图9-17所示,一电量为5510 C q -=-?的点电荷在电场力作用力下,从P 点移到Q 点电场力对它做功

2310 J W -=?,则P 、Q 两点电势高的是_________,高___________伏。 答案:Q 点;600

解析:电场力作功为2()310 J PQ P Q W q V V -=-=?, 因为q <0,因此P Q V V <,Q 点电势高。600V QP Q P W V V q

-==。因此Q 点电势比P

点电势高600V 。

9-18 如图9-18所示,一带电量为0q 的试验电荷,在点电荷Q 的电场中,沿半径为R 的四分之三圆弧形轨道abc 从a 移动到c 电场力所作的功

1W =_____________,再从c 移动到无限远电场力所作的功W =_______________。

答案:0;

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04Qq R

πε 习题9-16图

P

· Q

·

q

习题9-17图

解析:电场力作功为10()a c W q V V =-,因为04a c Q V V R

πε==

,因此10W =。

20000()(

0)44c Qq Q W q V V q R

R

πεπε∞=-=-=

。 9-19 有一均匀带电球面,带电量为Q ,半径为R ,则球心O 的电场强度大小E = ,电势V = 。 答案:0;

04Q R

πε

解析:根据高斯定理

d i

i

S

q

E S ε=

∑?

,可得均匀带电球面的电场分布为

12200,0

,4r R E Q r R E r πε≤<=??

?

>=??

,因此球心O 的电场强度大小为0。电势12O

0d d d 4R R

Q V E l E r E r R

πε∞

==+=

?

?? 。

9-20 说明下列各式的物理意义: (1) d ??

b

a

E l ;

(2) d S

??E S ;

(3)

d 0l

?=?E l 。

答案:(1)单位时间正电荷在电场中从a 点移动到b 点电场力所做的功(或ab 两点间的电势差);(2)通过闭合曲面S 的电场强度通量;(3)静电场电场强度的环流为零,表明静电场是保守场。

三 计算题

9-21四个点电荷到坐标原点的距离均为d ,如图9-21所示,求坐标原点处的电场强度。

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解:2

0124A

q E i d

πε=

2

0124B q E j d πε=-

2

014C q E i d πε=

2

014D q E j d πε=-

22

003344O A B C D q q E E E E E i j d d πεπε=+++=

-

9-22如图9-22所示,有一均匀带电细棒,长为l ,电量为Q ,求在棒的延长线,且离棒右端为a 处的O

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解:如图建立坐标系,则d q 在O 点 的电场强度为:

222

000114()4()4()Q

dx dq Q dx l dE i i i a l x a l x l a l x πεπεπε===+-+-+-

2000001,4()44()l

l Q dx Q Q E dE i i i l a l x l a l x a a l πεπεπε====+-+-+?? 方向向右

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9-23如图9-23所示,一电场强度为E 的匀强电场,E 的方向与一半径为R 解:通过半球面的电场线必通过底面

2e E S E R π∴Φ=?=

9-24设在半径为R 的球体内电荷均匀分布,电荷体密度为ρ,求带电球内外的电场强度分布。

解:以O 点为球心,作球面S 为高斯面,半径为r

根据电场高斯定理0

1i S i

EdS q ε=∑?

习题9-23图

习题9-22图

32

10

443r r r R E r e πρπε≤≤?= 当0时,

10

3r r E e ρε∴=

32

20

443r R r R E r e

πρπε>?=

当时, 32203r

R E e r

ρε∴=

9-25图9-25为两带电同心球面,已知:120.10 m,0.30 m R R ==,

81 1.010 C Q -=?,82 1.510 C Q -=?。求:(1)10.05 m r =,(2)20.20 m,r =(3)

30.50 m r =处的电场强度大小。

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解:对称性分析:以球心为圆心,相同r 处的电场强度 大小相同,方向沿半径向外。

以球心为圆心,作球面S 为高斯面,半径为r 根据电场高斯定理0

1

i S

i

EdS q ε=

∑?

(1)2111

40r E r π?=以为半径作高斯面,

10E ∴=

(2)21

2220

4Q r E r πε?=

以为半径作高斯面,

1

22

02

2250/4Q E N C r πε∴=

=

(3)212

3330

4Q Q r E r πε+?=以为半径作高斯面,

12

32

03

900/4Q Q E N C r πε+∴=

=

9-26 两个带等量异号电荷的无限长同轴圆柱面,半径分别为1R 和2

R (12R R <),如图9-26所示,单位长度上的电荷为λ,求空间电场强度的分布。

习题9-25图

解:对称性分析:电场强度以中轴线呈轴对称分布。 以中轴线为轴心,作底面半径r 的圆柱面S 为高斯面,高为l 根据电场高斯定理0

1

i S

i

EdS q ε=

∑?

1120r R E rl π<

12202l R r R E rl λπε<

λπε∴= 230

20l l

r R E rl λλπε->?=

=当时, 30E ∴=

9-27 如图9-27所示,AO 相距2R ,弧BCD 是以O 为圆心、R 为半径的半圆。A 点有电荷+q ,O 点有电荷-3q 。(1)求B 点和D 点的电势;(2)将电荷+Q 从B 点沿弧BCD 移到D 点,电场力做的功为多少?(3)若将电荷-Q 从D 点沿直线DE 移到无限远处去则外力所做的功又为多少? 解:(1)A 在B 点的电势为:104B q V R πε=

A 在D 点的电势为:1043D q V R

πε=

O 在B 点的电势为:2

034B q

V R πε-= O 在B 点的电势为:2034D q

V R

πε-=

1202B B B q V V V R πε∴=+=- 12023D D D q V V V R

πε∴=+=-

(2)()06BCD B D qQ W Q V V R

πε=-=

(3)电场力做功:()023D D qQ

W Q V V R

πε∞∞=--=

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习题9-27图

外力做功:023D qQ

W W R

πε∞=-=-

9-28 求第9-22题中,O

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解:d q 在O 点的电势为:

004()4()

dq Q dx

dV a l x l a l x πεπε=

=

+-+- 200000

ln()ln 4()44l

l

Q

dx Q Q a l

V dV a x l l a l x l l a πεπεπε+===-+-=+-??

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9-29 在真空中,有一电荷为Q ,半径为R 的均匀带电球壳,其电荷是均匀分布的。试求:(1)球壳外两点间的电势差;(2)球壳内两点间的电势差;(3)球壳外任意点的电势;(4)球壳内任意点的电势。 解:根据高斯定理:

10r R E <=

, 22

04 πr q r R E e r ε>=

(1)2200d 11

d ()4 π 4 πB B A B r r A A A B

r r Q r Q V V E r e e r r r r r εε-=?=?=-?? (2)1,d 0B A B A r r R V V E r r <-=?=?

(3),

,

0B r R r V ∞>→∞=令

2200()d d 4 π 4 πQ Q V r E r r r r r r εε∞∞=?==??

(4)120,()d d 4 πR Q

r R V r E r E r r R R

ε∞<=?+?=

?? 内

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9-30 两个同心球面的半径分别为1R 和2R ,各自带有电荷Q 和Q 。求:(1)空间各区域的电势分布;(2)两球面上的电势差。 解:根据高斯定理,电场强度分布为:

习题9-28图

110r R E <=,

1

1222

04 πQ R r R E r ε<<=

12

232

04 πQ Q r R E r

ε+>=

, (1)1

2

1

2

12111230121

d d d 4R R r

R R Q Q r R V E r E r E r R R πε∞

??

<=++=

+ ?????

?,

2

2

1212223021

d d 4R r

R Q Q R r R V E r E r r R πε∞

??

<<=+=

+ ????

?,

12

2330d 4r

Q Q r R V E r r

πε∞

+>==

?,

(2)2

1

1201211d 4R AB R Q U E r R R πε??

==- ???

?

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9-31 图9-31为一均匀带电球层,其电荷体密度为ρ,球层内外表面半径分别为R 1、R 2,求图中A 点的电势。 解:根据高斯定理,电场强度分布为:

110r R E <=,

()331221203R r R E r R r

ρ

ε<<=

-,

()33232

1203r R E R R r

ρ

ε>=

-, ()1

21

2

22123210

d d d d 2A

A

R R A r r R R V E r E r E r E r R R ρ

ε∞

==++=

-???

?

9-32 两个很长的同轴圆柱面,内外半径分别为21 3.010 m R -=?、20.1 m R =,带有等量异号电荷,两圆柱面的电势差为450 V ,求:(1) 圆柱面单位长度上带有多少电荷?(2)距离轴心0.05 m 处的电场强度的大小。 解:(1)设圆柱面单位长度上的电荷为λ

根据电场的高斯定理,两圆柱面间的电场强度为:

习题9-31图

120()2 πE R r R r

λ

ε=

<< 2

2

1

1

2001

d d ln 450V 2 π 2 πR R R R R U E r r r R λλ

εε====??

带入数据,解得82.110C/m λ-=? (2)120.05m R r R <=<

8

0.05m

12

0 2.110V/m 7550V/m 2 π2π8.8542100.05

r E r λε-=-?===????

9-33 一圆盘半径为R ,圆盘均匀带电,电荷面密度为σ,如图9-33所示 求:(1)轴线上的电势分布;(2) 根据电场强度与电势梯度的关系求轴线上电场强度分布。

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解:(1)如图所示,以O

为r 的环形圆盘作为微元,宽度为d r 。 则此微元所带电荷为2d r r σπ?。 其在轴线上一点的电势为:d V =

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带电圆盘轴线上的电势为:

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d )22R

R

V V x σ

σ

εε===

=

??

?

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(2)电场强度方向沿x 轴,则

0d d (1d d 2V V E i i i l x σε=-=-=

习题9-33图

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