马尔可夫决策规划1
运筹学
概述：
为什么要学《运筹学》？
运筹学（Operational Research）是一类“以定量化为基础、服务于系统管理和决策”的科学方法，其强调的是“最优性”、“若不这样，则不会好于现在这样做”（即非劣性）或“满意性”；其使用的工具是各种模型，尤其是定量数学模型；研究处理的对象是社会经济系统。它是系统工程的理论基础。(Operations Research(美) or Operational Research (英)，运筹学(大陆)or作业研究(香港和台湾))
《The Methods of Operations Research》, P.M.Morse 和G.E.Kimball（1946）：“运筹学是为领导机关对其控制下的事务、活动采取策略而提供定量依据的科学方法，它是在实行管理的领域，运用数学的方法，对需要进行管理的问题进行统筹规划、做出决策的一门应用学科”。
也有人将其定义为“运筹学是一种适用于系统运行的方法和工具，它是一种科学方法，能对运行管理人员的问题提供最合适
的解答。”（放松了“定量”要求）。另外，还可定义为“将科学技术具体、并最佳运用于生产和生活实践的一门学科”，如Operation Research。
确定随机
静态LP、NP、IP 排队
多目标规划库存
图与网络对策
决策
随机规划
动态DP M
本课主要内容：
线性规划、非线性规划、整数规划、多目标规划----最优化理论
对策论----经济博弈论 决策论----决策的理论和方法
第一部分 马尔科夫决策规划（10－14） 第二部分 排队论（8－10） 第三部分 可靠性理论（10－12） 第四部分 随机规划（4－6） 第五部分 存储论（6－8） 第六部分 蒙特卡洛仿真（2－4）
学习基础：
线性代数、概率论和随机过程、数学规划
主要参考书：
1. 运筹学（修订版），钱颂迪主编，清华大学出版社，1990
2. 排队论及其应用, 陆凤山编著, 湖南科学技术出版社, 1984
3. 排队论与随机服务系统, 华兴（美）编著，上海翻译出版公司，1987.7
本课主讲内容
4.随机运筹学, 赵玮、王荫清，高等教育出版社，1993年
5.运筹学随机模型，严颖、成世学、程侃编著，中国人民大学
出版社，1995
6.实用网络计划技术，程国平、黄沛均，华中理工大学出版社，
1991.6
7.运筹学，李军、徐玖平编著，科学出版社，2003.11
8.运筹学手册，[美]J.J.摩特、S.E.爱尔玛拉巴主编，上海科学
技术出版社，1987
9.运筹学的理论与实践，[美]菲利普斯等著，刘泉、万敏译，
中国商业出版社，1987年
10.运筹学题库，美国教育协会编，晓园出版社，1993.6
英文参考书：
Introduction to Queuing Theory, R.B.Cooper (1998)
Operations Research: An Introduction, Hamdy A.Taha (2007)
马尔可夫决策规划
所谓决策，是指在若干个可行的行动方案中按照某种准则选出一个方案。其中，有一类多阶段决策问题称为序贯决策，即在系统的运行过程中，它不是作一次决策就结束，而是在一系列观察的时刻点上都要做出决策。例如，一家商店各种商品每月的进货量；一台机器定期的维修；一家工厂每月的生产计划等。在每个观察时刻点上，决策者首先根据所得的系统状态，从其所有被选方案中选择一个方案（即做出决策）执行，其结果是：（1）将获得一定效益；（2）能确定以后系统状态发展的概率规律。然后，再观察下一时刻点上系统出现的状态，据此再做出新的决策，如此一步一步地进行下去……。如果在序贯决策过程中，系统状态的转移服从已知的概率规律且与系统以前的发展历史无关，即具有无后效性（或Markov性），称此类序贯决策问题的数学模型为Markov决策规划（以下简称MDP）。
Markov决策规划是解决随机性序贯决策问题的重要分支学科。它可以应用于许多领域，是解决随机动态最优化问题的重要工具，如排队系统的最优运行控制；随机库存系统的最优定货策略；设备的最优更换维修策略；水库的优化调度等均可以转化为一定的MDP来解决。可以说，凡是以Markov过程作为数学模型的问题，只要能够引入“行动”与“报酬”结构，均可以应用Markov决策规划。
主要讲授内容：
第一讲概率与随机过程
第二讲马尔可夫链与马尔可夫过程
第三讲离散时间的马尔可夫决策规划第四讲F有限折扣模型
第五讲有限阶段模型及其他
第一讲 概率与随机过程
§1.1 概率空间
随机试验是概率论的基本概念，试验的结果事先不能准确地预言，但具有如下三个特性：
（1） 可以在相同的条件下重复进行；
（2） 每次试验的结果不止一个，但预先知道试验的所有可
能结果；
（3） 每次试验前不能确定哪个结果会出现。
随机试验所有可能结果组成的集合称为这个试验的样本空间或基本事件空间，记为Ω。Ω中的元素e 称为样本点或样本事件，Ω的子集A 称为事件，样本空间Ω称为必然事件，空集Φ称为不可能事件。
定义1.1：设Ω是一个集合，F 是Ω的某些子集组成的集合簇。如果：（1）Ω∈F ；
（2）若A ∈F , 则∈Ω=A A \F ；
（3）若A n ∈F ， n =1,2,…, 则∈∞
= 1
n n A F 。
则称F 为σ-代数，（Ω, F ）称为可测空间，F 中的元素称为事件或Ω的可测子集。
定义1.2：设（Ω,F ）为一可测空间，定义在F 上的实值函数()
?P
称为Ω上的测度，如果
1）任意A ∈F , ()0≥A P ；（非负性）
2）对两两互不相容事件A 1, A 2,… (当j i ≠时，?
=j i A A
),
有()∑∞
=∞==
???
? ??1
1i i
i i A P A P ；（可列可加性）
并称（Ω, F , P ）为测度空间。
定义1.3：设（Ω, F , P ）为测度空间，如果()1=ΩP ，则称P 是（Ω,F ）上的概率，（Ω, F , P ）称为概率空间，P (A )为事件A 的概率。 定义1.4：设（Ω, F , P ）为概率空间，G ?F ，如果对任意A 1, A 2, …,
A n ∈G ，n =1,2,…，有()∏===???
?
??n
i i
n i i A P A P 1
1 ，则称G 为独立事件族。
§1.2 随机变量及其数学期望
定义 1.5：记β为包含(){},,R x x -∞∈的最小σ-代数，则称β为Borel 域，β中的元素为Borel 集。 注：1）所有的区间、单点集 2）（R,β）是一可测空间
定义1.6：设（Ω,F ）为一可测空间，定义在Ω上取值于R （R n ）的函数()ωξ:R →Ω称为是F 可测函数，是指对任意β∈B 都有
(){}F
∈∈B ωξω。
注：1）将上述的事件称为事件B 是可以的； 2）()ωξ实现了两个对应：
i. Ω与R 的子集 ii. F 与β的子集
定义1.7：称()ωξ为概率空间（Ω, F , P ）上的随机变量，如果它是从Ω到R 的F 可测函数。
注：以后每提到随机变量，总意味着已给定了某个概率空间。 定义1.8：由R 到R 的β可测的实函数称为是Borel 可测函数。 注：1）如果()ωξ为（Ω, F , P ）上的随机变量，f 是β可测函数，则()()ωξf 也是（Ω, F , P ）上的随机变量；
2）所有至多有可列无穷多个不连续点的实函数都是 Borel 可测函数；
关于随机变量的数学期望的定义如下：
定义 1.9：设()ωξ是（Ω, F , P ）上的随机变量，如果()?Ω
ωωξPd
()()?
?
+∞
∞
-+∞
∞
-=
=
dx x xf x xdF 存在的话，则称其为()ωξ的数学期望，记
为()ξE 。 设F
∈A ，记()????∈=A
A A ωωωφ
1
，则()ωφA 为事件A 的示性
函数，也是一个随机变量，且
()[]()()()()()???+==
Ω
A
A
A
A
A
A d P d P Pd 非ωωφωωφωωφωφE
()()A P d P A
==?ω1
这意味着，利用示性函数可以将求概率转化为求数学期望。
关于独立性有：
定义1.10：如果()()()B P A P B A P =?，则称事件A 与B 是相互独立的；设（Ω, F , P ）是一概率空间，F 1和F 2是F 的子σ-代数，如果对任意11F ∈A 和任意22F ∈A 都有()()()2121A P A P A A P =?，则称σ-代数F 1和F 2是相互独立的。
定义 1.11：设ξ是（Ω, F , P ）上的随机变量，记()ξσ为包含
()(){}βωξ∈∈B B ,的最小σ-代数，称为由ξ产生的σ-代数；再设
1ξ、2ξ都是（Ω, F , P ）上的随机变量，如果子σ-代数()1ξσ与()
2ξσ是相互独立的，则称随机变量1ξ与2ξ是相互独立的。 具体地，可再定义：
定义1.12：设ξ是（Ω, F , P ）上的随机变量，称()()()x P x F ≤=ωξω:（其中+∞<<∞-x ）为随机变量ξ的分布函数。
定义1.13：设（Ω, F , P ）为概率空间，ξ=ξ(ω)=(ξ1(ω), ξ2(ω),…, ξn (ω))是定义在Ω上的n 维向量空间R n 中取值的向量函数，如果对于任意x =(x 1,x 2,…,x n )∈R n , ()()(){}∈≤≤≤n n x x x ωξωξωξω,...,,:2211 F ，则称ξ=ξ(ω)为n 维随机变量或n 维随机向量；称F (x )=
F (x 1,x 2,…,x n ) =()()(){}n n x x x P ≤≤≤ωξωξωξω,...,,:2211为
ξ=(ξ1(ω),
ξ2(ω),…, ξn (ω))的联合分布函数。
§1.3 条件概率和条件数学期望
以事件为条件的条件概率：
()()()
A P
B A P A B P ?=
，其中()0>A P
以事件为条件的条件数学期望：
()()()()
()ωωξωωξξPd A P A d P A A
??=
=Ω
E ，其中()0>A P
设()ωB x 为示性函数，则：
()[]()
()
()
???=
=B
A A
B
B
Pd A P Pd A P x A x ωω
ωω1
E ()
()A
P B A P ?=
∴条件概率可以处理为条件数学期望。
定义1.14 （以σ-代数为条件的条件数学期望）：设X 是（Ω, F , P ）上的随机变量，()∞ G X E 称为是关于σ-代数G 的条件数学期望，如果 1）()G X E 是G 可测的随机变量； 2）对任意G ∈A ，()()()()??=Ω A d P X d P X ωωωG E 。 （()G X E 是随机变量，而()A ξE 为确定实数，是事件为条件的数学期望的推广） 讨论：i. 设{}Ω=,,,A A φG ，()0>A P 定义 () ()()()()()121 , E 1, A A X P d C A P A X X Pd C A P A ωωωωωω?=∈??=? ?=∈?? ??G ()(){}G G ∈∞-=∈1,E C B X ω ()(){} G G ∈≤<<=∈y C x C y x B X 21 ,,E ω 对任意G ∈A , () ()() ()???? ??? ? ? ? ?=ΩA A dw P A P Pd X Pd X ωωωG E = ()() ()()??= A A Pd X A P A P Pd X ωωω ω 则()E X G 满足1）和2）。 ii. 如果G =F ，则X 本身满足1）和2）两条，如果G 为F 的真子集，则X 不满足第1）条。 iii. ()ωωPd X A ?定义了由R Ω→ 的可加函数，称为广义测 度（不必满足非负性，否则为测度，再加上规范性则为概率测度）。由Radon-Nikdym 定理可保证满足1）和2）两条的随机变量的存在性和在概率为1的意义下的唯一性。 例：{}2,1=Ω，()()? ??==120 1P P ，定义()?? ?=== 1 2 1ωωωξ任意 定义1.15（以随机变量为条件的条件数学期望）：设X 、Y 都是（Ω, F , P ）上的随机变量，称()()()X Y X Y σE E ? =为Y 以X 为条件的条件数学期望。 定义1.16（以随机变量束为条件的条件数学期望）:设T 为有限或可列集，记()T t t ∈,ξσ为随机变量束{}T t t ∈,ξ产生的σ-代数，称 ()T t X t ∈,E ξ()()T t X t ∈=? ,E ξσ为X 在{}T t t ∈,ξ下的条件数学期望。 设上述的T 为有限集，记T =(1,2,……,n )，则存在n 维Borel 实 函 数 f (z 1,z 2,……,z n ) 使 得 ()=n X ξξξ,,,E 21 ()()()[]ωξωξωξn f ,,,21 ，称f (z 1,z 2,……,z n )为 X 在,11z =ξ n n z z ==ξξ,,22 条件下的条件数学期望。 §1.4 随机过程 定义1.17：设（Ω, F , P ）为概率空间，T 是给定的参数集，若对每个T t ∈有一个随机变量X (t, ω)与之对应，则称随机变量簇 (){},,X t t T ω∈是（Ω, F , P ）上的随机过程，T 称为参数，通常表 示时间。X (t, ω)简记为X (t )。 例1.1 生物群体的增长问题。在描述群体的发展和演变过程中，以X t 表示在时刻t 群体的个数，则对每一个t ， X t 是一个随机变 量。假设从t =0开始每隔24小时对群体的个数观测一次，则{X t , t =0,1,2,…}是随机过程。 一般地，用),;;,;,(1111t x t x t x P n n n n n --表示随机变量X 在t 1时刻取x 1,…,t n 时刻取x n 的联合概率密度。由联合概率密度可以定义条件概率： ),;;,,;;,;,(111111,t x t x t x t x t x P m m m m n n n n m n ++-- ),;;,;() ,;;,;,(1111,1111t x t x t x P t x t x t x P m m m m m n n n n n ----≡ 表示固定),;;,;,(2211m m t x t x t x 时，随机变量X 具有 ),;;,;,(2211n n m m m m t x t x t x ++++的联合概率密度。 定义 1.18：设(){}T t t X X T ∈=,是随机过程，如果对任意T t ∈，E X (t )存在，则称函数()()t X t m def E =（其中T t ∈）为T X 的均值函数。若对任意T t ∈，()()2 E t X 存在，则称T X 为二阶矩过程。 并称()()()()()()()[]t m t X s m s X t s X X de f X --=E ,B （其中T t s ∈,）为 T X 的协方差函数；()()()()[] 2 E ,B D t m t X t t t X X X -==（其中T t ∈） T X 的方差函数；()()()[]t X s X t s X E ,R =（其中T t s ∈,）为T X 的 相关函数。 例1.2 假设一家商店对某商品进行观察。设 ,,21D D 分别表示第1周、第2周、……商品的需求量，i D 为独立同分布、且分布已知的随机变量。设0X 表示初始时刻商品的拥有量，30=X ，t X 表 示第),2,1( =t t 周后(未订货前)商品的库存量。商店采用允许缺货的),(S s 策略，即定期检查商店的库存量，一旦发现库存量低于订货点0 =s ，立即定货并使之达到最大库存量3=S ；否则不进货。 请写出随机变量t X 的变化规律。 [解]：显然},1,0,{ =t X t 是一随机变量。状态变量t X 的取值范围为}3,2,1,0{，且对 ,2,1,0=?t 有如下关系式： ?? ?≥-<-=+++1 }, 0,max{1, }0,3max{111 t t t t t t X D X X D X 若若 §1.5 本课中几种相关的随机过程 定义 1.19：设(){}T t t X ∈,是随机过程，若对任意的正整数n 和 T t t t n ∈<<<...21，随机变量()()12t X t X -,()()23t X t X -,…, ()()1--n n t X t X 是相互独立的，则称(){}T t t X ∈,是独立增量过程，又 称可加过程。 定义1.20：设(){}T t t X ∈,是随机过程，如果对任意常数τ和正整数 n ， T t t t n ∈,...,,21，τ+1t ,τ+2t ,…, T t n ∈+τ, ()()()() n t X t X t X ,...,,21与()()()()τττ+++n t X t X t X ,...,,21有相同的联合分布，则称 (){}T t t X ∈,为严平稳过程或狭义平稳过程。 定义 1.21：设(){}T t t X ∈,是随机过程，若对任意正整数n 和 T t t t n ∈<<<...21,()()()0 ,...,1111>==--n n x t X x t X P ，且其条件分布 ()()(){}1111,...,--==≤n n n n x t X x t X x t X P ()(){}11--=≤=n n n n x t X x t X P ，则 称(){}T t t X ∈,为马尔可夫过程。 数学模型-MATLAB工具箱-马尔可夫决策过程-MDPs 前言： MDPs提供了一个数学框架来进行建模，适用于结果部分随机部分由决策者控制的决策情景。由于其在数学建模或学术发表中经常被用到，这里我们从实用的角度对其做一些归纳整理，案例涉及到大数据应用方面的最新研究成果，包括基本概念、模型、能解决的问题、基本算法（基于MATLAB或R工具箱）和应用场景。最后简单介绍了部分可观察马尔可夫决策过程(POMDP)。 由于相关的理论和应用研究非常多，这里我们只介绍最基本的东西（但是提供了必要而丰富的展开），并提供相应的参考文献和工具箱链接，以期帮助读者更快上手，至于更加深入的研究和更加细致的应用，则需要参照相关研究领域的学术文献。 一、基本概念 （1）序贯决策（Sequential Decision）[1]： 用于随机性或不确定性动态系统的最优化决策方法。 （2）序贯决策的过程是： 从初始状态开始，每个时刻作出最优决策后，接着观察下一时刻实际出现的状态，即收集新的信息，然后再作出新的最优决策，反复进行直至最后。 （3）无后效性 无后效性是一个问题可以用动态规划求解的标志之一。 某阶段的状态一旦确定，则此后过程的演变不再受此前各种状态及决策的影响，简单的说，就是“未来与过去无关”，当前的状态是此前历史的一个完整总结，此前的历史只能通过当前的状态去影响过程未来的演变。 （4）马尔可夫决策过程 系统在每次作出决策后下一时刻可能出现的状态是不能确切预知的，存在两种情况： ①系统下一步可能出现的状态的概率分布是已知的，可用客观概率的条件分布来描述。对于这类系统的序贯决策研究得较完满的是状态转移律具有无后效性的系统，相应的序贯决策称为马尔可夫决策过程，它是将马尔可夫过程理论与决定性动态规划相结合的产物。 ②系统下一步可能出现的状态的概率分布不知道，只能用主观概率的条件分布来描述。用于这类系统的序贯决策属于决策分析的内容。 注：在现实中，既无纯客观概率，又无纯主观概率。 客观概率是根据事件发展的客观性统计出来的一种概率。主观概率与客观概率的主要区别是，主观概率无法用试验或统计的方法来检验其正确性。 客观概率可以根据历史统计数据或是大量的试验来推定。 客观概率只能用于完全可重复事件，因而并不适用于大部分现实事件。 为什么引入主观概率：有的自然状态无法重复试验。如：明天是否下雨，新产品销路如何。 主观概率以概率估计人的个人信念为基础。主观概率可以定义为根据确凿有效的证据对个别事件设计的概率。这里所说的证据，可以是事件过去的相对频率的形式，也可以是根据丰富的经验进行的推测。比如有人说:“阴云密布,可能要下一场大雨!”这就是关于下雨的可能性的主观概率。主观概率具有最大的灵活性，决策者可以根据任何有效的证据并结合自己对情况的感觉对概率进行调整。 二、和马尔可夫链的联系 案例分析及计算（第二章） 案例分析 绿色化工公司的人力资源计划的编制 白士镝三天前才调到人力资源部当助理，虽然他进入这家专门从事垃圾再生的公司已经有三年了，但是面对桌上那一大堆文件、报表，他还是有点晕头转向：我哪知道我干的是这种事！原来副总经理李勤直接委派他在10天内拟出一份本公司5年的人力资源计划。 其实，白士镝已经把这任务仔细看过好几遍了。他觉得要编制好这个计划，必须考虑以下各项关键因素： 首先是公司现状。公司共有生产与维修工人825人，行政和文秘性白领职员143人，基层与中层管理干部79人，工程技术人员38人，销售人员23人。 其次，据统计，近5年来员工的平均离职率为4%，没理由会有什么改变。不过，不同类型员工的离职率并不一样，生产工人离职率高达8%，而技术和管理干部则只有3%。 再则，按照既定的扩产计划，白领职员和销售员要新增10%～15%，工程技术人员要增加5%～6%，中、基层干部不增也不减，而生产与维修的蓝领工人要增加5%。 有一点特殊情况要考虑：最近本地政府颁发了一项政策，要求当地企业招收新员工时，要优先照顾妇女和下岗职工。公司一直未曾有意地排斥妇女或下岗职工，只要他们来申请，就会按照同一种标准进行选拔，并无歧视，但也未特殊照顾。如今的事实却是，只有一位女销售员，中、基层管理干部除两人是妇女或下岗职工，而且都集中在最低层的劳动岗位上。 白士镝还有7天就得交出计划，其中得包括各类干部和员工的人数，要从外界招收的各业人员的人数以及如何贯彻政府关于照顾妇女与下岗人员政策的计划。 此外，绿色化工公司刚开发出几种有吸引力的新产品，所以预计公司销售额5年内会翻一番，他还得提出一项应变计划以备应付这种快速的增长。 讨论题 白士镝在编制这项计划时要考虑哪些情况和因素？ 他该制订一项什么样的招工方案？ 在预测公司人力资源需求时，他能采取哪些计算技术？ 在预测公司人力资源供给时，他能运用哪些计算技术？ 讨论题答案要点 编制人力资源计划要考虑的因素包括：企业内部⑴企业目标的变化。本例中要充分考虑企业扩产这一目标的改变，以及销售额5年内会翻一番这样一种变化。⑵员工素质的变化。本例中白士镝考虑到了员工数量的变化，而未考虑员工素质的变化。⑶组织形式的变化。本例未考虑。⑷企业最高领导层的理念。本例也未考虑。⑸与企业发展战略的匹配性。本例未考虑。企业外部⑴劳动力市场的变化。本例未考虑。⑵政府相关政策变化。本例考虑了政府要求照顾下岗职工和女职工的政策。⑶行业发展状况。本例也未考虑。 白士镝制定的招工方案至少应包括以下内容：⑴招聘的各类人员数量及招聘总数；⑵招聘的各类人员岗位描述；⑶招聘的各类人员要具备的资质条件；⑷招聘的地域和优先条件（本例中下岗人员和妇女优先）；⑸招聘程序等。 人力资源需求预测的方法有两大类：主观判断法和定量分析法。主观预测法包括经验推断法和团体预测法（包括德尔菲法和名义团体法）；定量分析法包括总体预测法、工作负荷法、趋势预测法、多元回归分析法等。本例中预计5年内企业的业务量（销售额）会翻一番，因此可以用总体预测法进行人力资源需求的定量预测。总体预测法的公式是： 生产率的增长率）（目前人均业务量计划期末业务的增长量 目前的业务量量计划期末需要的员工数+?+= 1 马尔可夫决策基础理论 内容提要 本章介绍与研究背景相关的几类决策模型及算法。模型部分，首先是最基本的马尔可夫决策模型，然后是在此基础上加入观察不确定性的部分可观察马尔可夫决策模型，以及进一步加入多智能体的分布式部分可观察马尔可夫决策模型和部分可观察的随机博弈模型。算法部分，针对上述几类模型，我们均按照后向迭代和前向搜索两大类进行对比分析。最后，我们介绍了半马尔可夫决策模型及Option理论，这一理论为我们后面设计分等级的大规模多智能体系统的决策模型及规划框架提供了重要基础。 2.1 MDP基本模型及概念 马尔可夫决策过程适用的系统有三大特点：一是状态转移的无后效性；二是状态转移可以有不确定性；三是智能体所处的每步状态完全可以观察。下面我们将介绍MDP基本数学模型，并对模型本身的一些概念，及在MDP模型下进行问题求解所引入的相关概念做进一步解释。 2.1.1 基本模型 马尔科夫决策过程最基本的模型是一个四元组S,A,T,R(Puterman M, 1994)： ?状态集合S：问题所有可能世界状态的集合； ?行动集合A：问题所有可能行动的集合； ?状态转移函数T: S×A×S’→[0,1]: 用T(s, a, s’)来表示在状态s，执行动作 P s s a； a，而转移到状态s’的概率('|,) ?报酬函数R: S×A→R:我们一般用R(s,a)来表示在状态s执行动作a所能得到的立即报酬。 虽然有针对连续参数情况的MDP模型及算法，然而本文在没有特殊说明的情况都只讨论离散参数的情况，如时间，状态及行动的参数。 图2.1描述的是在MDP模型下，智能体(Agent)与问题对应的环境交互的过程。智能体执行行动，获知环境所处的新的当前状态，同时获得此次行动的立即 0引言 部分可观察马尔可夫决策过程 (partially observable Markov decision processes , POMDP 描述的是当前世界模型部分可知的情况下,智能体 Agent Agent 的例如, 足球运动员在球场上踢足球, 每个球员并不完全清楚他周围的所有状态, 当他向前带球的过程中, 他可能知道在他前面人的位置和状态, 但是可能不知道在他后面的其他队友的位置和状态, 此时他观察到的信息是不完整的, 但是一个优秀的足球运动员往往靠着一种感觉传给他身后的最有利的队员, 使其进行最有利的进攻, 过程就是部分可观察马尔可夫决策过程。在部分可感知模型中, 不仅要考虑到状态的不确定性, 同时还要考虑到动作的不确定性,这种世界模型更加能够客观的描述真实世界, 因此应用十分广泛。 本文综述了目前在 POMDP 领域的研究情况, 介绍了 MDP 的数学理论基础和决策模型, 以及一种典型的 POMDP 决策算法-值迭代算法, 介绍了目前现有的几种经典的决策算法, 并分析它们之间的优点和不足, 列举了一些 POMDP 常见的应用领域, 并进行了总结和展望。 1马尔可夫决策过程 Agent 每一个时刻都要做一些决策, 做决策时不仅要考虑甚至是其它 Agents (Markov decision process , MDP 的最优解, MDP 可以用一个四元组 < , >来描述 [1] : :Agent 的行为集; , : ×:当 Agent 在状态 , 可能转移到状态的概率, 使用 | :→ 情况下 采用动作 -2116- -2117 - , Agent 使 Agent 选择的动作能够获得 人力资源实操案例（29例），物超所值 案例一 绿色化工公司的人力资源计划的编制 白士镝三天前才调到人力资源部当助理，虽然他进入这家专门从事垃圾再生的公司已经有三年了，但是面对桌上那一大堆文件、报表，他还是有点晕头转向：我哪知道我干的是这种事！原来副总经理李勤直接委派他在10天内拟出一份本公司5年的人力资源计划。 其实，白士镝已经把这任务仔细看过好几遍了。他觉得要编制好这个计划，必须考虑以下各项关键因素： 首先是公司现状。公司共有生产与维修工人825人，行政和文秘性白领职员143人，基层与中层管理干部79人，工程技术人员38人，销售人员23人。 其次，据统计，近5年来员工的平均离职率为4%，没理由会有什么改变。不过，不同类型员工的离职率并不一样，生产工人离职率高达8%，而技术和管理干部则只有3%。 再则，按照既定的扩产计划，白领职员和销售员要新增10%～15%，工程技术人员要增加5%～6%，中、基层干部不增也不减，而生产与维修的蓝领工人要增加5%。 有一点特殊情况要考虑：最近本地政府颁发了一项政策，要求当地企业招收新员工时，要优先照顾妇女和下岗职工。公司一直未曾有意地排斥妇女或下岗职工，只要他们来申请，就会按照同一种标准进行选拔，并无歧视，但也未特殊照顾。如今的事实却是，只有一位女销售员，中、基层管理干部除两人是妇女或下岗职工，而且都集中在最低层的劳动岗位上。 白士镝还有7天就得交出计划，其中得包括各类干部和员工的人数，要从外界招收的各业人员的人数以及如何贯彻政府关于照顾妇女与下岗人员政策的计划。 此外，绿色化工公司刚开发出几种有吸引力的新产品，所以预计公司销售额5年内会翻一番，他还得提出一项应变计划以备应付这种快速的增长。 问题： 马尔科夫决策解决方案 篇一：马尔可夫决策过程模型 3。马尔可夫决策过程模型 本节介绍了MDP模型来确定相互制约的服务商到客户系统调度策略,分配区分服务器优先级的客户。医药科学的MDP模型作为一个线性规划模型,以至于考虑与约束不可以添加扩展马尔可夫状态空间,从而允许有效的线性规划算法标识最佳相互制约政策。消费者要求达到的服务,都有一个关联的位置和分为高优先级或低优先级。服务器救护车所分化他们的答复和服务时间。我们可以捕捉时间从一个服务器是派去当它到达现场,捕捉的总时间和服务时间为客户服务,包括响应客户时间,对待客户现场,运输一个客户去医院,并返回到服务。目标是确定哪些服务器调度到达客户最大化平均水平.总奖励每阶段给予最低标准股本。回复一个电话的奖励是解释作为高优先级客户的可能性是对一个固定的时间内一个RTT目标函数已经成为最好的效率的性能的措施，在EMS系统。在模型中,客户根据到达泊松过程的速度。当一个客户到达时,其位置和优先级评估,和一家派往它可用的服务器。的模型使得几个假设: 1.如果客户和服务器可用,到达服务器必须派遣。 2。只有服务器-服务器位于他们家庭基站可以被派往客 户。 3。一个服务器分配给每个客户。 4。然后服务器返回服务客户。 5。服务时间不依赖于客户优先权和指数分布。 6。有一个零长度队列为客户。 我们将讨论如何修改模型 电梯的假设和假设一个强大的影响产生的政策。需要服务器被派往客户如果服务器是可用非理想的政策合理,因为这里的模型是出于EMS体系中,为所有客户提供服务是一个主要的公共服务系统的目标。此外,由于担忧的责任,而不是保留是一种能力,嵌入在EMS调度和政策实践,约束的服务提供者。为了简单起见,所有服务器维修后返回本国驻地客户,当他们说为其他客户服务可用,服务器不能动态改航。在实践中,服务器可以从以外的地点派遣他们家电台,当服务器完整的服务。以允许救护车被派遣本国驻地以外的位置,可以扩大到包括状态空间辅助服务器的位置相对应服务器完成服务。同样地,可以将状态空间扩大到包括辅助客户地点,对应一个服务器是谁前往客户允许服务器动态改航,直到它到达服务客户和位置,相对应的服务器正在接近尾声与另一个客户的服务。关于第五假设,尽管它将琐碎包含服务时间依赖于客户优先级,指数提升,因为我们假设是更难了必须扩大状态方程考虑non-Markov模型。我们承认这是一个强 马尔可夫决策过程 马尔可夫决策过程(Markov Decision Processes，MDP) 马尔可夫决策过程概述 马尔可夫决策过程是基于马尔可夫过程理论的随机动态系统的最优决策过程。马尔可夫决策过程是序贯决策的主要研究领域。它是马尔可夫过程与确定性的动态规划相结合的产物，故又称马尔可夫型随机动态规划，属于运筹学中数学规划的一个分支。 马尔可夫决策过程是指决策者周期地或连续地观察具有马尔可夫性的随机动态系统，序贯地作出决策。即根据每个时刻观察到的状态，从可用的行动集合中选用一个行动作出决策，系统下一步（未来）的状态是随机的，并且其状态转移概率具有马尔可夫性。决策者根据新观察到的状态，再作新的决策，依此反复地进行。马尔可夫性是指一个随机过程未来发展的概率规律与观察之前的历史无关的性质。马尔可夫性又可简单叙述为状态转移概率的无后效性。状态转移概率具有马尔可夫性的随机过程即为马尔可夫过程。马尔可夫决策过程又可看作随机对策的特殊情形，在这种随机对策中对策的一方是无意志的。马尔可夫决策过程还可作为马尔可夫型随机最优控制，其决策变量就是控制变量。 马尔可夫决策过程的发展概况 50年代R.贝尔曼研究动态规划时和L.S.沙普利研究随机对策时已出现马尔可夫决策过程的基本思想。R.A.霍华德(1960)和D.布莱克韦尔(1962)等人的研究工作奠定了马尔可夫决策过程的理论基础。1965年，布莱克韦尔关于一般状态空间的研究和E.B.丁金关于非时齐（非时间平稳性）的研究，推动了这一理论的发展。1960年以来，马尔可夫决策过程理论得到迅速发展，应用领域不断扩大。凡是以马尔可夫过程作为数学模型的问题，只要能引入决策和效用结构，均可应用这种理论。 马尔可夫决策过程的数学描述 周期地进行观察的马尔可夫决策过程可用如下五元组来描述：{S，(A(i)，i∈S，q，γ，V},其中S 为系统的状态空间（见状态空间法）；A(i)为状态i(i∈S)的可用行动（措施，控制）集；q为时齐的马尔可夫转移律族，族的参数是可用的行动；γ是定义在Γ(Г呏{(i，ɑ):a∈A(i)，i∈S}上的单值实函数；若观察到的状态为i，选用行动a，则下一步转移到状态j的概率为q(j│i，ɑ)，而且获得报酬γ(j，ɑ),它们均与系统的历史无关；V是衡量策略优劣的指标（准则）。 马尔可夫决策过程的策略 策略是提供给决策者在各个时刻选取行动的规则，记作π＝(π0，π1，π2，…，πn，πn ＋1…)，其中πn是时刻n选取行动的规则。从理论上来说，为了在大范围寻求最优策略πn，最好根据时刻n以前的历史，甚至是随机地选择最优策略。但为了便于应用，常采用既不依赖于历史、又不依赖于时间的策略，甚至可以采用确定性平稳策略。 马尔可夫决策过程的指标 衡量策略优劣的常用指标有折扣指标和平均指标。折扣指标是指长期折扣〔把t时刻的单位收益折合成0时刻的单位收益的βt(β < 1)倍〕期望总报酬；平均指标是指单位时间的平均期望报酬。 采用折扣指标的马尔可夫决策过程称为折扣模型。业已证明：若一个策略是β折扣最优的，则初始时刻的决策规则所构成的平稳策略对同一β也是折扣最优的，而且它还可以分解为若干个确定性平稳策略，它们对同一β都是最优的。现在已有计算这种策略的算法。 采用平均指标的马尔可夫决策过程称为平均模型。业已证明：当状态空间S 和行动集A(i)均为有限集时，对于平均指标存在最优的确定性平稳策略；当S和（或）A(i)不是有限的情况,必须增加条件，才有最优的确定性平稳策略。计算这种策略的算法也已研制出来。 《管理学》题目与答案 《管理学》第一次作业（第1-4章） 一、单项选择题 1、在组织的日常管理中，制定目标及目标实施途径的是（ A ）职能。 A、计划 B、组织 C、领导 D、控制 2、在组织中直接从事某项工作或任务，不具有监督其他人工作的职责的人是（ D）。 A、基层管理者 B、中层管理者 C、高层管理者 D、操作者 3、亨利·明茨伯格提出的管理者角色理论认为，管理者扮演着（ D ）种角色。 A、3种 B、5种 C、9种 D、10种 4、认为管理者应该具有技术技能、人际技能和概念技能的学者是（ C ）。 A、亨利·明茨伯格 B、卢森斯 C、卡兹 D、法约尔 5、一般来说，高层管理者应该拥有更多的技能是（ C）。 A、技术技能 B、人际技能 C、概念技能 D、关系技能 6、任何管理在实际运行过程中都会受到确定性和不确定性因素的影响和作用，这是指（B）。 A、人本规律 B、权变规律 C、循环规律 D、择优规律 7、在管理的基本职能中，激励组织成员完成组织目标的是（C）。 A、计划 B、组织 C、领导 D、控制 8、认为管理就是界定企业的使命，并激励和组织人力资源去实现这个使命的是（ A ）。 A、德鲁克 B、西蒙 C、卡兹 D、法约尔 9、人性的两套系统性假设——X理论和Y理论是由（B）提出的。 A、泰罗 B、麦格雷戈 C、马斯洛 D、卡内基 10、《管理理论的丛林》、《再论管理理论的丛林》的作者是（A）。 A、孔茨 B、麦格雷戈 C、马斯洛 D、卡内基 11、“学习型组织”理论的提出者是（C）。 A、安索夫 B、孔茨 C、彼得·圣吉 D、亚当·斯密 12、提出了所谓理想的行政组织体系理论，被人们称之为“组织理论之父”的是（B）。 A、西蒙 B、马克斯·韦伯 C、卡兹 D、法约尔 13、最能说明古代人类生产组织和生产管理思想的实例的应该是（B）。 A、汉穆拉比法典 B、胡夫金字塔 C、罗马天主教会 D、古代印度孔雀王朝 14、企业流程再造一般分为（B）过程。 A、3 B、4 C、5 D、5 15、目标管理的最早提出者是（A）。 A、德鲁克 B、西蒙 C、卡兹 D、法约尔 二、多项选择题 1、现代教科书普遍认为管理的四项基本职能是（ABCD）。 A、计划 B、组织 C、领导 D、控制 E、人事 马尔科夫预测与决策法 马尔科夫预测与决策法——是应用随机过程中马尔科夫链的理论和方法研究分析有关经济现象变化规律并借此对未来进行预测和决策的一种方法。 池塘里有三张荷叶，编号为1，2，3，假设有一只青蛙随机地在荷叶上跳来跳去。在初始时刻t ，它在第二张荷叶上。在时 ，它有可能跳到第一张或者第三张荷叶上，也有可能在原刻t 1 地不动。我们把青蛙某个时刻所在的荷叶称为青蛙所处的状态。这样，青蛙在未来处于什么状态，只与它现在所处的状态有关，与它以前所处的状态无关。实际上青蛙在一段时间内在荷叶间跳或不跳的过程就是一个马尔科夫过程。 2010年6月6日Sunday2 马尔可夫性与转移概率矩阵 一个过程或系统在未来时刻的状态只依赖于现状时刻的状态，而与以往更前的时刻无关，这一特性就成为无后效性（无记忆性）或马尔可夫性（简称马氏性）。换一个说法，从过程演变或推移的角度上考虑，如果系统在时刻的状态概率，仅依赖于当前时刻的状态，而与如何达到这个状态的初始概率无关，这一特性即马尔可夫性。 2010年6月6日Sunday3 设随机变量序列，{X ,X2, ···,X n, ···},它的状态集合记为 1 S= {s1,s2 , ···, s n, ···} 若对任意的k和任意的正整数i , i2 , ···,i k, i k+1,有下式成 1 立： P{X k+1= s ik+1| X1= s i1, X2= s i2, ···X k= s ik} = P{X k+1= s ik+1| X k= s ik} ,X2, ···,X n, ···} 为一个马尔可夫则称随机变量序列{X 1 链（Markov chains）。 2010年6月6日Sunday4 马尔科夫过程在金融中应用文献综述完整版 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08] 【摘要】随着我国经济的持续发展，大众对于股票投资、外汇投资、基金投资等的热情也日益高涨。但是如股票等投资产品，其短期价格是市场供求所决定，因此股票的价格变得难以把握。特别是从去年年末股市从熊市转为牛市，今年六月份又发生的大规模的股灾。这时我们需要一种科学而简便的方法来预测股价，为我们投资进行指导。小组选择了相对简单的马尔科夫过程来对这些金融投资产品的价格进行分析。马尔科夫过程是一类随机过程，它的原始模型马尔科夫链表明事物状态由过去到现在、由现在到将来，一环接一环，像一根链条。在预测领域，人们用其对预测对象各个状态的初始分布和各状态间的转移概率进行研究，描述状态的变化趋势，并由此来预测未来。 【关键字】马尔科夫过程股票基金汇率投资分析 （一）马尔科夫过程的理论简介 1.马尔科夫链 若随机变量序列{x n,n=0,1,2……}的参数为非负整数，且具有马尔科夫性，则称这一过程为马尔科夫链。马尔科夫链是参数t只取离散值的马尔科夫过程，也是最简单的一种马氏过程。 2.状态和状态转移概率矩阵 状态是指客观事物可能出现或存在的状况，假如客观事物有X1,X2, …,Xn共n种状态，且每次只能处于一种状态，则每一种状态之间都有n个转向(包括自身)，即：将这种转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率。记{0,1,2,…}为该过程的状态空间，记为S。将事物n个状态的状态的转移概率依次排列，可以得到一个n行n列的矩阵≥0 (i,j∈S) (i∈S) 称P为状态转移概率矩阵。若一步转移概率矩阵为P，则k步转移概率矩阵为p(k): p(k)= p(k-1)p=ppp…p.(k个p相乘) 3.预测模型 s(k+1)= s(k)p s(k)是预测对象t=k时的状态向量；p为一步转移概率矩阵；s(k+1)是预测对象在 t=k+1时的状态向量，也就是预测结果。 4.马氏链的稳定状态 稳定状态：经过较长一段时间后。马氏链将逐渐趋于一种状态，它与初始状态无关，在n+1期的状态概率与前一期的状态概率相等，也就是s(n+1)= s(n)成立。 马氏链达到稳定状态时的状态概率称为稳定状态概率，也称为稳定概率。它表示在稳定状态下，预测对象处于各个状态的概率。 5.马尔科夫链预测模型所需满足的条件 （1）过程的随机性。即在系统内部中从一个状态转移到另一个状态是随机的。 （2）过程的无后效性。即转移概率只与当前的状态有关，与过去的状态无关。 （3）转移概率矩阵稳定保持不变。即一个时期向下一个时期转移状态的转移概率矩阵是不变的，均为一步转移概率矩阵。 （4）预测对象的状态是有限的或可列的，而且必须在可列个时间发生状态转移。 （5)在预测过程中对预测对象用同一标准划分的各状态应相互独立。 （6）划分的状态应该包括预测对象全部可能出现的状况。 （二）案列分析 一．.利用马尔科夫过程预测当前股票走势 3。马尔可夫决策过程模型 本节介绍了MDP模型来确定相互制约的服务商到客户系统调度策略,分配区分服务器优先级的客户。医药科学的 MDP模型作为一个线性规划模型,以至于考虑与约束不可以添加扩展马尔可夫状态空间,从而允许有效的线性规划算法标识最佳相互制约政策。消费者要求达到的服务(病人),都有一个关联的位置和分为高优先级(H)或低优先级(L)。服务器救护车所分化他们的答复和服务时间。我们可以捕捉时间从一个服务器是派去当它到达现场,捕捉的总时间和服务时间为客户服务,包括响应客户时间,对待客户现场,运输一个客户去医院,并返回到服务。目标是确定哪些服务器调度到达客户最大化平均水平.总奖励每阶段给予最低标准股本。回复一个电话的奖励是解释作为高优先级客户的可能性是对一个固定的时间内一个RTT目标函数已经成为最好的效率的性能的措施，在EMS系统(McLay和马约加2010)。在模型中,客户根据到达泊松过程的速度。当一个客户到达时,其位置和优先级评估,和一家派往它可用的服务器。的模型使得几个假设: 1.如果客户和服务器可用,到达服务器必须派遣。 2。只有服务器-服务器位于他们家庭基站可以被派往客户。3。一个服务器分配给每个客户。 4。然后服务器返回本站服务客户。 5。服务时间不依赖于客户优先权和指数分布。 6。有一个零长度队列为客户。 我们将讨论如何修改模型 电梯的假设和假设一个强大的影响产生的政策。需要服务器被派往客户如果服务器是可用非理想的政策合理,因为这里的模型是出于EMS体系中,为所有客户提供服务是一个主要的公共服务系统的目标。此外,由于担忧的责任,而不是保留是一种能力,嵌入在EMS调度和政策实践,约束的服务提供者。为了简单起见,所有服务器维修后返回本国驻地客户,当他们说为其他客户服务可用,服务器不能动态改航。在实践中,服务器可以从以外的地点派遣他们家电台,当服务器完整的服务。以允许救护车被派遣本国驻地以外的位置,可以扩大到包括状态空间辅助服务器的位置相对应服务器完成服务(见§3.1的讨论状态空间)。同样地,可以将状态空间扩大到包括辅助客户地点,对应一个服务器是谁前往客户允许服务器动态改航,直到它到达服务客户和位置,相对应的服务器正在接近尾声与另一个客户的服务。关于第五假设,尽管它将琐碎包含服务时间依赖于客户优先级,指数提升,因为我们假设是更难了必须扩大状态方程考虑non-Markov模型。我们承认这是一个强烈的假设。 队列长度为零的假设需要更深一层的讨论。请注意,客户只是失去当所有的服务器很忙,因此每种类型的客户丢失的速度相同进入系统。从温顺的角度看来,顾客队列的状态模型变得难以管理和调度,政策可能取决于客户的设置队列中。我们认为,长度为零的假设 关于马尔科夫链与马尔科夫过程 人生中第一次接触到马尔科夫链不是在随机过程的课上，是在大三时候通信大类开设的两门专业课上，一个是大名鼎鼎的通信原理，另一个是模式识别这门课。 1 关于马尔科夫脸的概念 在机器学习算法中，马尔可夫链(Markov chain)是个很重要的概念。马尔可夫链（Markov chain），又称离散时间马尔可夫链（discrete-time Markov chain），因俄国数学家安德烈·马尔可夫（俄语：АндрейАндреевичМарков）得名，不愧是切比雪夫同志的弟子。其为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程。 这个过程强调的性质，不光是独立性，还有记忆性。该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关。这种特定类型的“无记忆性”称作马尔可夫性质。马尔科夫链作为实际过程的统计模型具有许多应用。但是绝对意义上的这个时候的状态与之前的一切毫无关系的案例十分少见，只能人为的创造满足这样性质的条件，不光是在机器学习的实际应用上，在随机过程中的更新过程或者是其他的某些过程都是这种解题思路，使用一定的数学上的处理进行一定的转化，从而使得后来得到的序列可以适应马尔科夫链的相关性质。 在马尔可夫链的每一步，系统根据概率分布，可以从一个状态变到另一个状态，也可以保持当前状态。状态的改变叫做转移，与不同的状态改变相关的概率叫做转移概率。随机漫步就是马尔可夫链的例子。随机过程中反映这样的一个变化往往使用一个矩阵进行表示。 随机漫步（其实就是随机过程）中每一步的状态是在图形中的点，每一步可以移动到任何一个相邻的点，在这里移动到每一个点的概率都是相同的（无论之前漫步路径是如何的）。 2 一个经典的实例 概括马尔科夫链的话，那就是某一时刻状态转移的概率只依赖于它的前一个状态。这样做可以大大简化模型的复杂度，因此马尔科夫链在很多时间序列模型中得到广泛的应用，比如循环神经网络RNN，隐式马尔科夫模型HMM等。马尔科夫决策过程MDPs
案例分析及计算
马尔可夫决策基础理论
部分可观察马尔可夫决策过程研究进展.
人力资源实操案例(29例)
马尔科夫决策解决方案
马尔可夫决策过程 马尔可夫决策过程(Markov Decision Processes
《管理学》作业题目及答案
马尔科夫链决策方法
马尔科夫过程在金融中应用文献综述完整版
马尔可夫决策过程模型
马尔科夫链与马尔科夫过程