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2019-2020年八上第3章 勾股定理培优题含答案

2019-2020年八上第3章 勾股定理培优题含答案
2019-2020年八上第3章 勾股定理培优题含答案

2019-2020年八上第3章勾股定理培优题含答案

一、填空题(每题3分,共30分)

1.如图,在一次暴风灾害中,一棵大树在离地面3米处折断,树的顶端落在离树杆底4米处,那么这棵树折断之前的高度是_______米.

2.直角三角形一条直角边与斜边分别为4 cm和5 cm,则斜边上的高等于_______cm.3.如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,则以AB为直径的半圆的面积为_______.

4.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,若AB=4 cm,AD=3 cm,CD=12 cm,BC =13 cm,则四边形ABCD的面积是_______.

5.木工师傅要做一个长方形桌面,做好后量得长为80 cm,宽为60 cm,对角线为100 cm,则这个桌面_______.(填“合格”或“不合格”)

6.甲、乙两人同时从同一地点出发,甲往东走了8 km,乙往南走了6 km,这时两人相距_______km.

7.如图,学校有一块长方形花铺,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花铺内走出了一条“路”.他们仅仅少走了_______步路(假设2步为1米),却踩伤了花草.

8.如图,以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形,若斜边AB=a,则图中阴影部分的面积为_______.

9.如图,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,点D是BC上一点,AD=BD,若AB=8,BD =5,则CD=_______.

10.动手操作:在矩形纸片ABCD中,AB=3,BD=5.如图所示,折叠纸片使点A落在

边BC 上的A'处,折痕为PQ .当点A'在边BC 上移动时,折痕的端点P 、Q 也随之移动.若限定点P 、Q 分别在边AB 、AD 上移动,则点A'在边BC 上可移动的最大距离为_______.

二、选择题(每题3分,共30分)

11.下列各组数中,可以构成勾股数的是( ).

A .13,16,19

B .17,21,23

C .18,24,36

D .12,35,37

12.下列命题中,是假命题的是( ).

A .在△ABC 中,若∠

B =∠

C =∠A ,则△ABC 是直角三角形

B .在△AB

C 中,若a 2=(b +c) (b -c),则△ABC 是直角三角形

C .在△ABC 中,若∠A :∠B :∠C =3:4:5,则△ABC 是直角三角形

D .在△ABC 中,若a :b :c =5:4:3,则△ABC 是直角三角形

13.一直角三角形的三边分别为2,3,x ,那么以x 为边长的正方形的面积为( ).

A .13

B .5

C .13或5

D .4

14.如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方

形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A 、B 、C 、D

的边长分别是3,5,2,3,则最大的正方形E 的面积

是( ).

A .13

B .26

C .47

D .94

15.在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =3,BC =4,则点C 到AB 的距离是( ).

A .

125 B .425 C .34 D . 94

16.已知一直角三角形的木板,三边的平方和为1800 cm 2,则斜边长为( ).

A .30 cm

B .80 cm

C .90 cm

D .120 cm

17.底面周长为12,高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从点A 爬到点B ,则蚂蚁爬行的最短距离是( ).

A .10

B .8

C .5

D .4

18.如图,已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠,使点C 落在C'处,BC ,交AD 于点E ,AD =8,AB =4,则DE 的长为( ).

A .3

B .4

C .5

D .6

19.如图,四边形ABCD 中,AC 、BD 是对角线,△ABC 是等边三角形,∠ADC =30°,

AD=3,BD=5,则CD的长为( ).

A.B.4 C.D.4.5

20.如图,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,黑、白两个甲壳虫同时从点A出发,以相同的速度分别沿棱向前爬行,黑甲壳虫爬行的路线是AA1→A1D1→……,白甲壳虫爬行的路线是AB→BB1→……,并且都遵循如下规则:所爬行的第n+2与第n条棱所在的直线必须是既不平行也不相交(其中n是正整数).那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2013条棱分别停止在所到的正方体顶点处时,它们之间的距离是( ).

A.0 B.1 C D

三、解答题(共40分)

21.如图,已知在△ABC中,CD⊥AB于D,AC=20,BC=15,DB=9.

(1)求DC的长;

(2)求AB的长.

22.观察下列各式,你有什么发现?

32=4+5,52=12+13,72=24+25,92=40+41,…

这到底是巧合,还是有什么规律蕴涵其中呢?请你结合有关知识进行研究.若132=a +b,则a,b的值可能是多少?

23.如图所示,一轮船以16 n mi1e/h的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12 n mi1e/h的速度同时从港口出发向东南方向航行,那么离开港口A2h后,两船相距多远?

24.如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形,两直角边长分别是a,b,斜边长为c

和一个边长为c 的正方形,请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.

(1)画出拼成的这个图形的示意图;

(2)证明勾股定理.

25.如图,A 、B 两个村子在河CD 的同侧,A 、B 两村到河的距离分别为AC =1 km ,BD =3 km ,CD =3 km 现在河边CD 上建一水厂向A 、B 两村输送自来水,铺设水管的费用为20 000元/千米,请你在河CD 边上选择水厂位置O ,使铺设水管的费用最省,并求出铺设水管的总费用?

26.如图,公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇,且∠QPN =30°,点A 处有一所中学,AP =160米,假设拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时,学校是否回受到噪声的影响?说明理由.如果受影响,已知拖拉机的速度为18千米/时,那么学校受影响的时间为多少秒?

参考答案

1.8 2.2.4 3.

1698

4.36 cm 2 5.合格 6. 10 7.8 8.2

2

a 9.1.4 10.2

11.D 12.C 13.C 14.C 15.A 16.A 17.A 18.C 19.B 20.C

21.(1)12 (2)25

22.a=84,b=85

23.2h后

24.略

25.作点A关于河CD的对称点A',连接A'B交河CD于O点,点O就是水厂的位置,26.24秒

勾股定理培优练习修订版

勾股定理培优练习集团标准化小组:[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]

勾股定理 【知识点】1、勾股定理__________________________________________________________________ 2、勾股定理逆定理_____________________________________________________________________ 【基础练习】 1.如图,每个小正方形的边长都相等,A、B、C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为() A.30° B.45° C.60° D.90° 2.下列四组线段中,能组成直角三角形的是() A.a=1,b=2,c=3 B.a=2,b=3,c=4 C.a=2,b=4,c=5 D.a=3,b=4,c=5 3.如图,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=20,点M,N在边OB上,PM=PN.若MN=6,则OM=() A.4 B.5 C.6 D.7 第1题第3题第5题第6题 4.在△ABC中,∠ABC=30°,AB边长为10,AC边的长度可以在3、5、7、9、11中取值,满足这些条件的互不全等的三角形的个数是() A.3个B.4个C.5个D.6个 5.(2015?石家庄模拟)图1是我国古代着名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=6,BC=5,将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图2所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是() A.51 B.49 C.76 D.无法确定 6.如图,有两棵树,一棵高10米,另一棵树高4米,两树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,问小鸟至少飞行() A.8米 B.10米 C.12米 D.14米 7.下列命题中,是假命题的是( ). A.在△ABC中,若∠B=∠C=∠A,则△ABC是直角三角形 B.在△ABC中,若a2=(b+c) (b-c),则△ABC是直角三角形 C.在△ABC中,若∠A:∠B:∠C=3:4:5,则△ABC是直角三角形 D.在△ABC中,若a:b:c=5:4:3,则△ABC是直角三角形 8.如图,在高3米,坡面线段距离AB为5米的楼梯表面铺地毯,则地毯长度至少需米. 第8题第9题第10题 9.如图将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F处,已知CE=3,AB=8,则BF= . 10.如图,点E是正方形ABCD内的一点,连接AE、BE、CE,将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置.若AE=1,BE=2,CE=3,则∠BE′C=度. 【例题讲解】 例1、)阅读以下解题过程: 已知a,b,c为△ABC的三边,且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4,试判断△ABC的形状. 错解:∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4…(1), ∴c2(a2﹣b2)=(a2﹣b2)(a2+b2)…(2), ∴c2=a2+b2 (3) 问:(1)上述解题过程,从哪一步开始发现错误请写出该步的代号. (2)错误的原因是. (3)本题正确的结论是. 例2.如图,有两条公路OM、ON相交成30°角,沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A.当重型运输卡车P沿道路ON 方向行驶时,在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响,且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大.若一直重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时. (1)求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离; (2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间. 例3、我们学习了勾股定理后,都知道“勾三、股四、弦五”.

专题勾股定理培优版(综合)

WORD格式 . 专题勾股定理在动态几何中的应用一.勾股定理与对称变换 (一)动点证明题 1.如图,在△ABC中,AB=AC, (1)若P为边BC上的中点,连结 22 AP,求证:BP×CP=AB-AP; (2)若P是BC边上任意一点,上面的结论还成立吗?若成立请证明,若不成立请说明理由; A B C P (3)若P是BC边延长线上一点,线段AB、AP、BP、CP之间有什么样的关系?请证明你的结论 A . B C P (二)最值问题 2.如图,E为正方形ABCD的边AB上一点,AE=3,BE=1,P为AC上的动点,则PB+PE的最小值是

A D E P 3.如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点, B C . 专业资料整理

WORD格式 . 将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM.(1) 求证:△AMB≌△ENB; A D (2)①当M点在何处时,AM+CM的值最小; N E M C B C ②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由; A D N E M B C C (3)当AM+BM+CM的最小值为31时,求正方形的边长. A D N E M B C C

4.问题:如图①,在ABC中,D是BC边上的一点,若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°,DC=2.求BD的. 专业资料整理

WORD格式 . 长.小明同学的解题思路是:利用轴对称,把△ADC进行翻折,再经过推理、计算使问题得到解决. (1)请你回答:图中BD的长为; (2)参考小明的思路,探究并解答问题:如图②,在△ABC中,D是BC边上的一点,若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°,DC=2,求BD和AB的长. A A B D C B D C 图①图②

人教版八年级下册第17章《勾股定理》培优提高试题(附答案)

人教版八年级下册第17章《勾股定理》培优提高试题 一.选择题(共8小题) 1.下列条件中,不能判断△ABC为直角三角形的是() A.a=1.5 b=2 c=2.5B.a:b:c=5:12:13 C.∠A+∠B=∠C D.∠A:∠B:∠C=3:4:5 2.如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若最大正方形G的边长是6cm,则正方形A,B,C,D,E,F,G的面积之和是() A.18cm2 B.36cm2C.72cm2D.108cm2 3.现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米,若要钉成一个直角三角形框架,那么所需木棒的长一定为() A.30厘米B.40厘米C.50厘米D.以上都不对4.在△ABC中,∠A=30°,AB=4,BC=,则∠B为() A.30°B.90°C.30°或60°D.30°或90°5.如图,一架25米的梯子AB靠在一座建筑物AO上,梯子的底部B距离建筑物AO的底部O有7米(即BO=7米),如果梯子顶部A下滑4米至A1,则梯子底部B滑开的距离BB1是() A.4米B.大于4米C.小于4米D.无法计算 6.为比较与的大小,小亮进行了如下分析后作一个直角三角形,使其两直

角边的长分别为与,则由勾股定理可求得其斜边长为 .根据“三角形三边关系”,可得.小亮的这一做法体现的数学思想是() A.分类讨论思想B.方程思想 C.类此思想D.数形结合思想 7.“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形.如图,每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6,则中间小正方形与大正方形的面积差是() A.9B.36C.27D.34 8.如图是由“赵爽弦图”变化得到的,它由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3.若S1+S2+S3=60,则S2的值是() A.12B.15C.20D.30 二.填空题(共6小题) 9.直角三角形的斜边长是5,一直角边长是3,则此直角三角形另一直角边是.10.设a>b,如果a+b,a﹣b是三角形较小的两条边,当第三边等于时,这个三角形为直角三角形. 11.有一棵9米高的大树,树下有一个1米高的小孩,如果大树在距地面4米处折断(未完全折断),则小孩至少离开大树米之外才是安全的. 12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,将△ABC扩充为等腰三角形ABD,使扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形,则CD的长为.

人教版八年级下册数学 第17章 勾股定理 培优综合专练D1

人教版八年级下册数学 第17章勾股定理培优综合专练 1.如图,一架10米长的梯子斜靠在墙上,刚好梯顶抵达8米高的路灯.当电工师傅沿梯上去修路灯时,梯子下滑到了B′处,下滑后,两次梯脚间的距离为2米,则梯顶离路灯多少米? 2.(1)如图4×4的方格,每个小格的顶点叫做格点,若每个小正方形边长为1单位,请在方格中作一个正方形,同时满足下列两个条件: ①所作的正方形的顶点,必须在方格上;②所作正方形的面积为8个平方单位 (2)在数轴上表示实数(保留作图痕迹) 3.在△ABC中,AB、BC、AC三边的长分别为、、,求这个三角形的面积.琪琪同学在解答这道题时,先画一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处),如图1所示.这样不需求△ABC的高,而借用网格就能计算出它的面积.这种方法叫做构图法. (1)△ABC的面积为:. (2)若△DEF三边的长分别为、、,请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF,并利用构图法求出它的面积. 4.观察、思考与验证 (1)如图1是一个重要公式的几何解释,请你写出这个公式; (2)如图2所示,∠B=∠D=90°,且B,C,D在同一直线上.试说明:∠ACE=90°; (3)伽菲尔德(1881年任美国第20届总统)利用(1)中的公式和图2证明了勾股定理(发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上),请你写出验证过程.

5.中菲黄岩岛争端持续,我海监船加大黄岩岛附近海域的巡航维权力度.如图,OA⊥OB,OA=36海里,OB=12海里,黄岩岛位于O点,我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船,自A点出发沿着AO方向匀速驶向黄岩岛所在地点O,我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船,结果在点C处截住了渔船. (1)请用直尺和圆规作出C处的位置;(2)求我国海监船行驶的航程BC的长. 6.如图,∠AOB=90°,OA=9cm,OB=3cm,一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O,机器人立即从点B出发,沿BC方向匀速前进拦截小球,恰好在点C处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,那么机器人行走的路程BC是多少? 7.已知,如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,CD⊥AD,AD2+CD2=2AB2,求证:AB=BC. 8.在一次“构造勾股数”的探究性学习中,老师给出了下表: m 2 3 3 4 … n 1 1 2 3 … a 22+1232+12 32+2242+32… b 4 6 12 24 … c 22﹣1232﹣1232﹣22 42﹣32… 其中m、n为正整数,且m>n. (1)观察表格,当m=2,n=1时,此时对应的a、b、c的值能否为直角三角形三边的长?说明你的理由. (2)探究a,b,c与m、n之间的关系并用含m、n的代数式表示:a=,b=,c=.(3)以a,b,c为边长的三角形是否一定为直角三角形?如果是,请说明理由;如果不是,请举出反例. 9.如图,琪琪的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处,某一天琪琪从家出发沿南偏西30°方向走60m到达河边B处取水,然后沿另一方向走80m到达菜地C处浇水,最后沿第三方向走100m回到家A处.问琪琪在河边B处取水后是沿哪个方向行走的?并说明理由.

勾股定理经典例题(含答案)

类型一:勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中,∠C=90° (1)已知a=6,c=10,求b,(2)已知a=40,b=9,求c;(3)已知c=25,b=15,求a. 思路点拨:写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。 解析:(1) 在△ABC中,∠C=90°,a=6,c=10,b= (2) 在△ABC中,∠C=90°,a=40,b=9,c= (3) 在△ABC中,∠C=90°,c=25,b=15,a= 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2-CD2 =132-122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2-BC2 =52-32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二:勾股定理的构造应用 2、如图,已知:在中,,,. 求:BC的长. 思路点拨:由条件,想到构造含角的直角三角形,为此作于D,则有 ,,再由勾股定理计算出AD、DC的长,进而求出BC的 长. 解析:作于D,则因, ∴(的两个锐角互余) ∴(在中,如果一个锐角等于, 那么它所对的直角边等于斜边的一半). 根据勾股定理,在中, . 根据勾股定理,在中,

. ∴. 举一反三【变式1】如图,已知:,,于P. 求证:. 解析:连结BM,根据勾股定理,在中, . 而在中,则根据勾股定理有 . ∴ 又∵(已知), ∴. 在中,根据勾股定理有 , ∴. 【变式2】已知:如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2。求:四边形ABCD的面积。 分析:如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结AC,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解析:延长AD、BC交于E。 ∵∠A=∠60°,∠B=90°,∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8,CE=2CD=4, ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE==。 ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12,∴DE==。 ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB2BE-CD2DE= 类型三:勾股定理的实际应用(一) 用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60°方向走了 到达B点,然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。(1)

勾股定理培优试题

勾股定理培优试题 1.如图,正方形的边长是1个单位长度,则图中B点所表示的数是;若点C是数轴上一点,且点C到A点的距离与点C到原点的距离相等,则点C所表示的数是. 2.如图,将长方形OABC置于平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,4),点C的坐标为(m,0)(m>0),点D(m,1)在BC上,将长方形OABC沿AD折叠压平,使点B落在坐标平面内,设点B的对应点为点E. (1)当m=3时,点B的坐标为_________,点E的坐标为_________; (2)随着m的变化,试探索:点E能否恰好落在x轴上?若能,请求出m的值;若不能,请说明理由. 3.如图,将竖直放置的长方形砖块ABCD推倒至长方形A'B'C'D'的位置,长方形ABCD 的长和宽分别为a,b,AC的长为c. (1)你能用只含a,b的代数式表示S△ABC,S△C'A'D'和S直角梯形A'D'BA吗?能用只含c的代数式表示S△ACA'吗?(2)利用(1)的结论,你能验证勾股定理吗? 4.如图,一圆柱高8 cm,底面半径为6/cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程是()cm. A.6 B.8 C.10 D.12 5.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是()A.25B.14C.7D.7或25 6.我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图4所示),如果大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边分别是a、b,那么(a+b)2的值为().(A)49(B)25(C)13(D)1 7.如图,是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标,由4个全等的直角三角形拼合而成.如果图中大、小正方形的面积分别为52和4,那么一个直角三角形的两直角边的和等于. 8.将一根长24cm的筷子,置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长为hcm,则h的取值范围是() A.5≤h≤12 B.5≤h≤24C.11≤h≤12D.12≤h≤24 9.如图,将一根长为15cm的筷子置于底面直径为5cm的装满水的圆柱形水杯中,已知水深为12cm,设筷子露出水面的长为hcm,则h的取值范围是.

勾股定理经典例题(含答案)

勾股定理经典例题透析 类型一:勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中,∠C=90° (1)已知a=6, c=10,求b, (2)已知a=40,b=9,求c; (3)已知c=25,b=15,求a. 思路点拨:写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。 解析:(1) 在△ABC中,∠C=90°,a=6,c=10,b= (2) 在△ABC中,∠C=90°,a=40,b=9,c= (3) 在△ABC中,∠C=90°,c=25,b=15,a= 举一反三 【变式】如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2-CD2 =132-122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2-BC2 =52-32

=16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二:勾股定理的构造应用 2、如图,已知:在中,,,. 求BC的长. 思路点拨:由条件,想到构造含角的直角三角形,为此作于D,则有 ,,再由勾股定理计算出AD、DC的长,进而求出BC的长. 解析:作于D,则因, ∴(的两个锐角互余) ∴(在中,如果一个锐角等于 , 那么它所对的直角边等于斜边的一半). 根据勾股定理,在中, . 根据勾股定理,在中,

. ∴. 举一反三【变式1】如图,已知:,,于P. 求证:. 解析:连结BM,根据勾股定理,在中, . 而在中,则根据勾股定理有 . ∴ 又∵(已知), ∴. 在中,根据勾股定理有 , ∴. 【变式2】已知:如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2。求:四边形ABCD的面积。

八年级初二数学 数学勾股定理的专项培优易错试卷练习题及答案

八年级初二数学 数学勾股定理的专项培优易错试卷练习题及答案 一、选择题 1.图中不能证明勾股定理的是( ) A . B . C . D . 2.如图:在△ABC 中,∠B=45°,D 是AB 边上一点,连接CD ,过A 作AF ⊥CD 交CD 于G ,交BC 于点F .已知AC=CD ,CG=3,DG=1,则下列结论正确的是( ) ①∠ACD=2∠FAB ②27ACD S ?= ③272CF =- ④ AC=AF A .①②③ B .①②③④ C .②③④ D .①③④ 3.如图,在矩形ABCD 中,AB =3,BC =4,在矩形内部有一动点P 满足S △PAB =3S △PCD ,则动点P 到点A ,B 两点距离之和PA +PB 的最小值为( ) A .5 B .35 C .332+ D .213

4.如图,在Rt ABC ?中,90, 5 ,3ACB AB cm AC cm ?∠=== ,动点P 从点B 出发,沿射线BC 以1 /cm s 的速度移动,设运动的时间为t 秒,当?ABP 为等腰三角形时,t 的值不可能为( ) A .5 B .8 C . 254 D . 258 5.如图,菱形ABCD 的对角线AC ,BD 的长分别为6cm ,8cm ,则这个菱形的周长为( ) A .5cm B .10cm C .14cm D .20cm 6.如图是一块长、宽、高分别为6cm 、4cm 、3cm 的长方体木块,一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处,沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物,那么它需要爬行的最短路径的长是( ) A . cm B . cm C . cm D .9cm 7.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲,如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角 形较长直角边长为a ,较短直角边长为b ,若 2 )21a b +=(,大正方形的面积为13,则小正方形的面积为( ) A .3 B .4 C .5 D .6 8.如图,在ABC 中,13AB =,10BC =,BC 边上的中线12AD =,请试着判定 ABC 的形状是( )

(完整版)初中数学培优教材勾股定理专题(附答案-全面、精选)

初中数学勾股定理培优教材 一、探索勾股定理 【知识点1】勾股定理 定理内容:在RT△中, 勾股定理的应用:在RT△中,知两边求第三边,关键 在于确定斜边或直角 典型题型 1、对勾股定理的理解 (1)已知直角三角形的两条直角边长分别为a, b,斜边 长c,则下列关于a,b,c的关系不成立的是() A、c2- a2=b2 B、c2- b2=a2 C、a2- c2=b2 D、a2+b2= c2 (2)在直角三角形中,∠A=90°,则下列各式中不成 立的是() A、BC2- AB2=AC2 B、BC2- AC2=AB2 C、AB2+AC2= BC2 D、AC2+BC2= AB2 2、应用勾股定理求边长 (3)已知在直角三角形ABC中,AB=10 cm, BC=8 cm, 求AC的长. (4)在直角△中,若两直角边长为a、b,且满足,则 该直角三角形的斜边长为. 3、利用勾股定理求面积 (5)已知以直角△的三边为直径作半圆,其中两个半圆 的面积为25π,16π,求另一个半圆的面积。 (6)如图(1),图中的数字代表正方形的面积,则正 方形A的面积为。 (7)如图(2),三角形中未知边x与y的长度分别是 x=,y=。 (8)在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=6,BC=8, 则AB的长为() A、6 B、8 C、10 D、12 (9)在直线l上依次摆放着七个正方形(如图4所示)。 已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放 置的四个正方形的面积依次是S S 12 、、 S S S S S S 341234 、,则+++=_____________。 【知识点2】勾股定理的验证 推导勾股定理的关键在于找面积相等,由面积之间 的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进行推导。 (等积法) 拼图法推导一般步骤:拼出图形---找出图形面积的 表达式---恒等变形—推出勾股定理。 (10)用四个相同的直角三角形(直角边为a、b,斜边 为c)按图拼法。 问题:你能用两种方法表示下 图的面积吗?对比两种不同的表 示方法,你发现了什么? (11)用两个完全相同的直角三角形(直角边为a、b, 斜边为c)按下图拼法, 论证勾股定理: 2 2 2c b a= + 3、运用勾股定理进行 计算(重难点) (12)如图,一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶 部落在离旗杆底部12米 处,旗杆折断前有多高?

数学勾股定理的专项培优易错试卷练习题含答案

数学勾股定理的专项培优易错试卷练习题含答案 一、选择题 1.图中不能证明勾股定理的是( ) A . B . C . D . 2.如图,在RtΔABC 中,∠ACB =90°,AC =9,BC =12,AD 是∠BAC 的平分线,若点P ,Q 分别是AD 和AC 上的动点,则PC +PQ 的最小值是( ) A . 245 B . 365 C .12 D .15 3.如图,已知ABC 中,10,86,AB AC BC AB ===,的垂直平分线分别交,AC AB 于 ,,D E 连接BD ,则CD 的长为( ) A .1 B . 54 C . 74 D . 254 4.如图是一块长、宽、高分别为6cm 、4cm 、3cm 的长方体木块,一只蚂蚁要从长方体木

块的一个顶点A 处,沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物,那么它需要爬行的最短路径的长是( ) A .cm B . cm C . cm D .9cm 5.如图,在四边形ABCD 中,∠ABC =∠ACB =∠ADC =45?,若AD =4,CD =2,则BD 的长为 ( ) A .6 B .27 C .5 D .25 6.如图,在数轴上点A 所表示的数为a ,则a 的值为( ) A .15-- B .15- C .5- D .15-+ 7.A 、B 、C 分别表示三个村庄,AB 1700=米,800BC =米,AC 1500=米,某社区拟建一个文化活动中心,要求这三个村庄到活动中心的距离相等,则活动中心P 的位置应在( ) A .AB 的中点 B .BC 的中点 C .AC 的中点 D .C ∠的平分线与AB 的交点 8.如图,透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为16cm ,在容器内壁离容器底部4cm 的点B 处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,位于离容器上沿4cm 的点A 处,若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm ,则该圆柱底面周长为( ) A .12cm B .14cm C .20cm D .24cm 9.在△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别记为a ,b ,c ,下列结论中不正确的是( ) A .如果∠A ﹣∠B =∠C ,那么△ABC 是直角三角形 B .如果∠A :∠B :∠C =1:2:3,那么△ABC 是直角三角形 C .如果 a 2:b 2:c 2=9:16:25,那么△ABC 是直角三角形 D .如果 a 2=b 2﹣c 2,那么△ABC 是直角三角形且∠A =90°

八年级勾股定理培优题型归纳总结

勾股定理培优题型归纳总结 一、巧解几何图形折叠问题 折叠图形的主要特征是折叠前后的两个图形绕着折线翻折能够完全重合,解答折叠问题就是巧用轴对称及全等的性质解答折叠中的变化规律.利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤: (1)运用折叠图形的性质找出相等的线段或角; (2)在图形中找到一个直角三角形,然后设图形中某一线段的长为x,将此直角三角形的三边长用数或含有x的代数式表示出来; (3)利用勾股定理列方程求出x;(4)进行相关计算解决问题. 考点1、巧用对称法求折叠中图形的面积 1、将长方形ABCD沿直线BD折叠,使点C落在点C′处,BC′交AD于E,AD=8,AB=4,求△BED面积.来 【解析】由题意易知AD∥BC,∴∠2=∠3. ∵△BC′D与△BCD关于直线BD对称,∴∠1=∠2.∴∠1=∠3.∴EB=ED. 设EB=x,则ED=x,AE=AD-ED=8-x.在R t△ABE中,AB2+AE2=BE2, ∴42+(8-x)2=x2.∴x=5. ∴DE=5.∴S∴BED=1 2DE·AB= 1 2×5×4=10. 考点2、巧用全等法求折叠中线段的长 1、如图①是一直角三角形纸片,∠A=30°,BC=4 cm,将其折叠,使点C落在斜边上的点C′处,折痕为BD,如图②,再将图②沿DE折叠,使点A落在DC′的延长线上的点A′处,

如图③,则折痕DE的长为() A.8 3c m B.2 3 c m C.2 2 c m D.3 c m【答案】A 考点3、巧用折叠探究线段之间的数量关系 1、如图,将长方形ABCD沿直线EF折叠,使点C与点A重合,折痕交AD于点E,交BC 于点F,连接CE. (1)求证:AE=AF=CE=CF (2)设AE=a,ED=b,DC=c,请写出一个a,b,c三者之间的数量关系式. (1)证明:由题意知,AF=CF,AE=CE,∠AFE=∠CFE,又四边形ABCD是长方形,故 AD∥B C,∴∠AEF=∠CFE.∴∠AFE=∠AEF.∴AE=AF=EC=CF. (2)【解析】由题意知,AE=EC=a,E D=b,DC=c,由∠D=90°知,ED2+DC2=CE2, 即b2+c2=a2 考点4、巧用方程思想求折叠中线段的长 1、如图,在边长为6的正方形ABCD中,E是边CD的中点,将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交BC于点G,连接AG. (1)求证:△ABG≌△AFG;2)求BG的长. (1)证明:在正方形ABCD中,AD=AB,∠D=∠B=90°.

勾股定理培优训练

八年级下勾股定理培优训练 一.选择题 1.如图,△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上,BD⊥AC于点D.则BD AB、AC于E、F,给出以下四个结论: ①AE=CF ②△EPF是等腰直角三角形③EF=AP ④S四边形AEPF=S△ABC 4.如图,已知圆柱底面的周长为4dm,圆柱高为2dm,在圆柱的侧面上,过点A和点C嵌有dm 2dm 7.如图,在△ABC中,∠BAC=30°,AB=AC,AD是BC边上的中线,∠ACE=∠BAC,CE交

8.已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类推,第 2 (1)若直角三角形的两条边长为5和12,则第三边长是13; (2)如果a≥0,那么=a (3)若点P(a,b)在第三象限,则点P(﹣a,﹣b+1)在第一象限; (4)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形; (5)两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等. 图》,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图),如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形较短的直角边为a,较长的直角边为2 EF的长是() 二.填空题 14.如图,△ABD和△CED均为等边三角形,AC=BC,AC⊥BC.若BE=,则CD= .15.在Rt△ABC中,∠C=90°,D为BC上一点,∠DAC=30°,BD=2,AB=2,则BC的长是.

16.已知a,b,c是直角三角形的三条边,且a<b<c,斜边上的高为h,则下列说法中正确的是.(只填序号) ①a2b2+h4=(a2+b2+1)h2;②b4+c2h2=b2c2;③由可以构成三角形;④直角三角形的面积的最大值是. 17.如图,在四边形ABCD中,AB=2,CD=1,∠A=60°,∠B=∠D=90°,则四边形ABCD的面积是. 18.如图,四边形ABCD是矩形,点E在线段CB的延长线上,连接DE交AB于点F,∠AED=2∠CED,点G是DF的中点.若BE=2,AG=8,则AB的长为. 三.解答题 19.如图,已知AD是△ABC的高,∠BAC=60°,BC=3,AC=2,试求AB的长. 20.操作发现:将一副直角三角板如图①摆放,能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合. 问题解决:将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°,点C落在BF上,AC 与BD交于点O,连接CD,如图②. (1)求证:△CDO是等腰三角形;(2)若DF=8,求AD的长.

勾股定理经典例题(含答案)29050

经典例题透析 类型一:勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中,∠C=90° (1)已知a=6,c=10,求b,(2)已知a=40,b=9,求c;(3)已知c=25,b=15,求a. 思路点拨:写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。 解析:(1) 在△ABC中,∠C=90°,a=6,c=10,b= (2) 在△ABC中,∠C=90°,a=40,b=9,c= (3) 在△ABC中,∠C=90°,c=25,b=15,a= 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长 是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2-CD2 =132-122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2-BC2 =52-32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二:勾股定理的构造应用 2、如图,已知:在中,,,. 求:BC的长.

思路点拨:由条件,想到构造含角的直角三角形,为此作于D,则有 ,,再由勾股定理计算出AD、DC的长, 进而求出BC的长. 解析:作于D,则因, ∴(的两个锐角互余) ∴(在中,如果一个锐角等于, 那么它所对的直角边等于斜边的一半). 根据勾股定理,在中, . 根据勾股定理,在中, . ∴. 举一反三【变式1】如图,已知:,,于P. 求证:. 解析:连结BM,根据勾股定理,在中, . 而在中,则根据勾股定理有 . ∴ 又∵(已知), ∴. 在中,根据勾股定理有 , ∴. 【变式2】已知:如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2。求:四边形ABCD

勾股定理培优专项练习

勾股定理练习(根据对称求最小值) 基本模型:已知点A、B为直线m 同侧的两个点,请在直线m上找一点M,使得AM+BM 有最小值。 1、已知边长为4的正三角形ABC上一点E,AE=1,AD⊥BC于D,请在AD上找一点N, 使得EN+BN有最小值,并求出最小值。 2、.已知边长为4的正方形ABCD上一点E,AE=1,请在对角线AC上找一点N, 使得EN+BN有最小值,并求出最小值。 3、如图,已知直线a∥b,且a与b之间的距离为4,点A到直线a的距离为2,点B到 直线b的距离为3,AB=230.试在直线a上找一点M,在直线b上找一点N,满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短,则此时AM+NB=() A. 6 B.8 C.10 D.12 4、已知AB=20,DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,DA=10,CB=5. (1)在AB上找一点E,使EC=ED,并求出EA的长; (2)在AB上找一点F,使FC+FD最小,并求出这个最小值

5、如图,在梯形ABCD 中,∠C=45°,∠BAD=∠B=90°,AD=3 ,CD=2 2, M为BC上一动点,则△AMD 周长的最小值为. 6、如图,等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AB 边上一点,则EM+BM的最小值为. 7、如图∠AOB = 45°,P是∠AOB内一点,PO = 10,Q、R分别是OA、OB上的动点, 求△PQR周长的最小值. 8.如图所示,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为() A.2 B.2 6C.3 D.6 9、在边长为2 cm的正方形ABCD中,点Q为BC边的中点,点P为对角线AC上一动点,连接PB、PQ,则△PBQ周长的最小值为____________cm 10、在长方形ABCD中,AB=4,BC=8,E为CD边的中点,若P、Q是BC边上的两动点,且PQ=2,当四边形APQE的周长最小时,求BP的长.

人教版数学八年级下册第17章勾股定理专题培优训练(含答案)

人教版数学八年级下册第17章勾股定理专题培优训练(含答案)一.选择题(共11小题) 1.如图,两个较大正方形的面积分别为225、289,则字母A所代表的正方形的面积为() A.4B.8C.16D.64 2.已知一个直角三角形的三边的平方和为1800cm2,则斜边长为()A.30 cm B.80 cm C.90 cm D.120 cm 3.下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是() A.32,42,52B.C.9,41,40D.2,3,4 4.如图:a,b,c表示以直角三角形三边为边长的正方形的面积,则下列结论正确的是() A.a2+b2=c2B.ab=c C.a+b=c D.a+b=c2 5.△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点,过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,则PD+PE的长是() A.4.8B.4.8或3.8C.3.8D.5 6.若直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边长为c,斜边上的高为h,则有()A.ab=h2B. C.D.a2+b2=2h2 7.在△ABC中,若a=n2﹣1,b=2n,c=n2+1,则△ABC是() A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形 8.有一个面积为1的正方形,经过一次“生长”后,在他的左右肩上生出两个小正方形,其中,三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过一次“生长”后,变成了右图,

如果继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”,请你算出“生长”了2009次后形成的图形中所有的正方形的面积和是() A.2008B.2009C.2010D.1 9.我国是最早了解勾股定理的国家之一.下面四幅图中,不能证明勾股定理的是()A.B. C.D. 10.如图,小巷左右两侧是竖直的墙壁,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米.若梯子底端位置保持不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面1.5米,则小巷的宽度为() A.2.7米B.2.5米C.2米D.1.8米 11.如图,一个梯子AB长2.5米,顶端A靠在墙AC上,这时梯子下端B与墙角C距离为 1.5米,梯子滑动后停在DE的位置上,测得BD长为0.5米,则梯子顶端A下落了() 米.

勾股定理培优题

. 勾股定理 一、知识要点 1、勾股定理 勾股定理在西方又被称为毕达哥拉斯定理,它有着悠久的历史,蕴含着丰富的文化价值,勾股定理是数学史上的一个伟大的定理,在现实生活中有着广泛的应用,被人誉为“千古第一定理” . 222,它的变形式为ca=+b勾股定理反映了直角三角形(三边分别为a、b、c,其中c为斜边)的三边关系,即222222. =--ab=ba或cc勾股定理是平面几何中最重要的几何定理之一,在几何图形的计算和论证方面,有着重要的应用,它沟通了形与数,将几何论证转化为代数计算,是一种重要的数学方法. 2、勾股定理的逆定理 222,则这个三角形是以c为斜边的直角三角形=满足、cac+b. 如果三角形的三边长a、b勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法,这种方法与前面学过的一些判定方法不同,它是通过代数运算“算”出来的,实际上利用计算证明几何问题在几何里也是很重要的,这是里体现了数学中的重要思想——数形结合思想,突破了利用角与角之间的转化计算直角的方法,建立了通过求边与边的关系来判断直角的新方法,它将数形之间的联系体现得淋漓尽致.因此也有人称勾股定理的逆定理为“数形结合的第一定理”. 二、基本知识过关测试 1.如果直角三角形的两边为3,4,则第三边a的值是 . 2.如图,图形A是以直角三角形直角边a为直径的半圆,阴影S= . A3.如图,有一个圆柱的高等于12cm,底面半径3cm,一只蚂蚁要从下底面上B点处爬至上底与B点相对的A点处,所需爬行的最短路程是 . 23,∠BCD=30°AB,=5,CD,则=AC= . ABC4.如图.在△中,CD⊥AB于D532的线段5. 作长为. ,,22222-1,2a(a>;⑤a+1,a1);⑥5;③,135.6在下列各组数中①,12,;②724,2534,,,5;④3a4a,a2222(m>n>0)可作直角三角形三边长的有组mn-mn,2,m+n. 7.如图,四边形ABCD中,AB=1,BC=2,CD=2,AD=3,AB⊥BC,则四边形ABCD的面积 是 . 1 / 12 . AC A B13A aABD B D12C 题图4题图第7第2题图第3题图第1. ,试判断△AEF=中点,E为BC上一点,且EC的形状BCDC8.如图,在正方形ABCD中,F为 4DAFCBE 创新.提高.三、综合、B重合,折痕与ABAC=3,折叠该纸片,使点A与点=】(1)在三角形纸片ABC中,∠C90°,∠A=30°,1【例DE的长是多少?D和点E(如图),折痕AC 分别相交于点BDAEC

最新八年级数学培优专题讲解《勾股定理》

八年级数学培优专题讲解《勾股定理》 【培优图解】 【技法透析】 勾股定理是几何中重要的定理之一,它是把直角三角形的“形”与三边关系这一“数”结合起来,是数形结合思想方法的典范. 1.勾股定理反逆定理的应用 主要用于计算和证明等. 2.勾股数的推算公式 ①若任取两个正整数m、n(m>n),那么m2-n2,2mn,m2+n2是一组勾股数. ②如果k是大于1的奇数,那么k, 21 2 k- , 21 2 k+ 是一组勾股数. ③如果k是大于2的偶数,那么k, 2 1 2 k?? - ? ?? , 2 1 2 k?? + ? ?? 是一组勾股数, ④如果a,b,c是勾股数,那么na,nb,nc(n是正整数)也是勾股数. 3.创设勾股定理运用条件 当勾股定理不能直接运用时,常需要通过等线段代换、作辅助线段等途径,为勾股定理的运用创造必要的条件,有时又需要由线段的数量关系去判断线段的位置关系.在有等边三角形、正方形的条件下,可将图形旋转60°或90°,旋转过程中角度、线段的长度保持不变,在新的位置上分散条件相对集中,以便挖掘隐含条件,探求解题思路.

【名题精讲】 考点1运用勾股定理解有关"折叠"问题 例1 如图,折叠长方形ABCD一边,点D落在BC边的点F处,若AB=8cm,BC =10 cm,求EC的长. 【切题技巧】由图形易知△ADF≌△AFE,从而AD=AF,DE=EF. 先在Rt△ABF中用勾股定理求出BF, 再在Rt△EFC中由勾骰定理列方程可求EC的长. 【规范解答】 【借题发挥】图形折叠问题一般是“全等形”,或“等腰三角形”等对称图形问题,勾股定理是常常用到的计算方法,体现了勾股定理作为主要计算工具在解决与直角三角形相关图形变换的综合题中的具体应用. 【同类拓展】1.把一张长方形纸片(长方形ABCD)按如图17-2所示的方式折叠,使顶点B和点D重合,折痕为EF.若AB=3cm,BC=5cm,则重叠部分△DEF的面积是_______cm2. 考点2运用勾股定理的逆定理求角度 例2 如图,在正方形ABCD中,PA=1,PB=2,PC=3,P在正方形内部,试求∠APB的度数. 【切题技巧】 【规范解答】

专题勾股定理培优版综合

专题 勾股定理在动态几何中的应用 .勾股定理与对称变换 (一)动点证明题 2.如图,E 为正方形ABCD 勺边AB 上一点,AE=3,BE=1, P 为AC 上的动点,则 PB F PE 的最小值是 3.如图,四边形ABCD 是正方形,△ ABE 是等边三角形,M 为对角线 将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN 连接EN AM CM. B C (2)参考小明的思路,探究并解答问题:如图②,在△ ABC 中, D 是BC 边上的一点,若/ BAD= / C=2Z DAC=30 , DC=2 求 BD 和 AB 的长. 图① 二.勾股定理与旋转 5?阅读下面材料: 1.如图,在△ ABC 中, AB=AC 若P 为边BC 上的中点,连结 AP,求证:BPX CP=A W-AP ; (1) (2) 若P 是BC 边上任意一点,上面的结论还成立吗若成立请证明,若不成立请说明 (3) 若P 是BC 边延长线上一点,线段 AB AP 、BP CP 之间有什么样的关系请 证明你的结论. (二)最值问题 (1) 求证:△ AMBs ^ ENB (2) ①当M 点在何处时,AW CM 的值最小; ②当 M 点在何处时,AW BWCM 的值最小,并说明理由; (3) 当AW BW CM 的最小值为.3 1时,求正方形的边长. 4.问题:如图①,在△ ABC 中,D 是BC 边上的一点,若/ BA[=Z C=2Z DA(=450,DC=2?求BD 的长?小明同学的解题 思路是:禾U 用轴对称,把△ ADC 进行翻折,再经过推理、计 算使问题得到解决. (1)请你回答:图中BD 的长为_; 图② A B B 任意一 P I k B A N D E M C E C E B C M B M

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