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集合中常见的几类问题

题型1：元素的互异性

常见出错点：求出参数范围忘记带回检验，导致增根 1、已知A={a+2，（a+1）2，a 2+3a+3}且1∈A ，求实数a 的值； 2、已知M={2，a ，b}，N={2a ，2，b 2}且M=N ，求a ，b 的值. 集合元素的“三性”及其应用

3、设Ａ＝｛ｘ∣2

x ＋（ｂ＋2）ｘ＋ｂ＋1＝０，ｂ∈R ｝，求Ａ中所有元素之和．已知集合{,,2}A a a b a b =++，2{,,}B a ac ac =，若A B =，求c 的值

4、已知集合 =A {2，3,2

a +4a +2}， B ＝{0,7, 2

a +4a -2,2-a }，且A B={3,7},求a 值

题型2、有限集之间的关系用韦恩图

1、全集U={x|x<10，x ∈N +}，A ?U ，B ?U ，且（C U B ）∩A={1,9}，A ∩B={3}，（C U A)∩(C U B)={4,6,7}，求A 、B 。

题型3：证明、判断两集合的关系

1、设集合{|32,A a a n n ==+∈Z }，集合{|31,B b b k k ==-∈Z }，试判断集合A 、

B 的关系。

题型4、无限集之间的关系用数轴

2、集合A={x||x-3|＜a ，a ＞0}，B={x|x 2-3x+2＜0}，且B ?A ，则实数a 的取值范围是 .

搞不清楚是否能取得边界值：

例题3、A={x|x<－2或x>10}，B={x|x<1－m 或x>1＋m}且B ?A ，求m 的范围.

题型5、集合之间的关系（在方程、不等式中的考查）

常见出错点：

1、集合的关系判断中遗忘空集的情况

2、集合所表示的是点集还是数集（点集多从图形的角度去考虑）

3、集合中所涉及到的方程或不等式最高次数如果是字母要讨论0的情况

1、设集合{}

0232=+-=x x x A ，{}

0)5()1(222=-+++=a x a x x B （1）若{}2=B A ，求实数a 的值；（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围若{}2=B A 。

2、集合{|10}A x ax =-=,{}2|320B x x x =-+=,且A B B = ,求实数a 的值.

3、(){}22,|4A x y x y =+=，()()()

{}

2,|34B x y x y r =-+-=，其中0r >,

若A B φ= 求r 的取值范围。

4、已知集合{|2A x =-≤x ≤5}，{|1B x m =+≤x ≤21}m -，满足B A ?，则实数m 的取值范围为 .

5、已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，B ＝{x |（x －a ）（x －3a ）＜0}.

（1）若A ?B ，求a 的取值范围；

（2）若A ∩B ＝?，求a 的取值范围；

（3）若A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，求a 的值或取值范围.

6. 已知集合A ＝{x |mx 2－2x ＋3＝0，m ∈R }. （1）若A 是空集，求m 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求m 的值；（3）若A 中含有两个元素，求m 的取值范围.

题型六：补集思想的应用

例 1已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y2-6y+8≤0}，若A ∩B ≠φ，求实数a 的取值范围。

例2、若下列三个方程：x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，试求实数a 的取值范围。

二、集合中的创新题考查

1、新运算问题

例1定义集合A与B的运算：A⊙B＝{x|x∈A，或x∈B，且x?A∩B}，已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5，6，7}，则(A⊙B)⊙B为( )

(A) {1，2，3，4，5，6，7} (B) {1，2，3，4}

例2M，P是两非空集合，定义M与P的差集为M－P＝{x|x∈M且x?P}，则M－(M－P)=（）

(A) P (B) M∩P (C) M∪P (D) M

2、元素或集合的个数问题

例3 设P＝{3，4，5}，Q＝{4，5，6，7}，定义P※Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，则P※Q中元素的个数为( )

(A) 3 (B) 4 (C) 7 (D) 12

例4 设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为M－P＝{x|x∈M且x?P}．已知A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，5}，则集合A－B的子集个数为( )

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

3、理想配集问题例5 设I＝{1，2，3，4}，A与B是I的子集，若A B＝{1，3}，则称（A、B）为一个“理想配集”．那么符合此条件的“理想配集”的个数是（规定（A、B）与（B、A）是两个不同的“理想配集”）( ) A．4 B．8 C．9 D．16

4、元素的和问题例6定义集合A，B的一种运算：A*B＝{x|x＝x

1＋x

，其中x

∈A，x

∈B}，若A＝{1，2，3}，B＝{1，2}，则A*B中的所有元素之和为( )

(A) 9 (B) 14 (C) 18 (D) 21

5、集合的分拆问题

例7若集合A1、A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A={a1,a2,a3} 的不同分拆种数是

A.27

B.26

C.9

D.8

6、集合长度问题

例8 设数集M ＝{x |m ≤x ≤m ＋

34}，N ＝{x |n －3

1≤x ≤n }，且M 、N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是( )

(A)31 (B) 23 (C) 112 (D)5

7、集合组成的数集

例9 设S 为复数集C 的非空子集.若对任意x,y S ∈，都有x y,x y,xy S +-∈，则称S 为封闭集。下列命题：

①集合S ＝{a ＋bi |a,b 为整数，i 为虚数单位}为封闭集； ②若S 为封闭集，则一定有0S ∈；③封闭集一定是无限集； ④若S 为封闭集，则满足S T C ??的任意集合T 也是封闭集.

其中真命题是（写出所有真命题的序号）

1．设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -?，且1k A +?，那么称k 是A 的一个“孤立元”．

给定{}12345678S =，，，，，，，，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个．

6 2．对于各数互不相等的正数数组()12,,,n i i i ???（n 是不小于2的正整数），如果在p q <时有p q i i <，则称

“p i 与q i ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”．

例如，数组()2,4,3,1中有顺序“2, 4”，“2, 3”，其“顺序数”等于2．若各数互不相等的正数数组()12345,,,,a a a a a 的“顺序数”是4，则()54321,,,,a a a a a 的“顺序数”是．6

3．对于任意两个正整数，定义运算（用⊕表示运算符号）：

当m ，n 都是正偶数或都是正奇数时，m n m n ⊕=+，例如

46461

⊕=+=,3737⊕=+=；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m n m n ⊕=?，例如343412⊕=?=．

在上述定义中，集合(){}*|12M a b a b a b =⊕=∈N ，，，的元素有个．15 4．设集合{} 0 1 2 3 4 5, , , , , S A A A A A A =，在S 上定义运算“⊕”为：i j k A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，,0,1,2,3,4,5i j =．则满足关系式20()x x A A ⊕⊕=的 ()x x S ∈的个数有个．3 5．实数集R 中定义一种运算“*”，具有性质： ① 对任意,,**a b R a b b a ∈=； ② 对任意,*0a R a a ∈=；

③ 对任意,,,(*)**()(*)(*)2a b c R a b c c ab a c b c c ∈=++-；则0*2= ．2

6．给定集合{1,2,3,...,}n A n =，*n ∈N ．若f 是n n A A →的映射，且满足： ⑴ 任取,,n i j A ∈若i j ≠，则()()f i f j ≠；

⑵ 任取,n m A ∈若2m ≥，则有m {(1),(2),..,()}f f f m ∈．则称映射f 为n n A A →的一个“优映射”．

例如：用表1表示的映射f ：33A A →是一个“优映射”．

⑴ 已知f ：44A A →是一个“优映射”，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）．

i 1 2 3 4 或

1 2 3 4 ()f i 2 3 1 4 ()f i 2 3 4 1

7．定义映射f A B →∶，其中(){}|A m n m n =∈R ，，，B =R ．已知对所有的有序正整数对()m n ，满足下述条件：

① ()11f m =，

； ② 若m n <，()0f m n =，；

③ ()()()1,,,1f m n n f m n f m n +=+-???? 则()3,2f 的值是；6

8．已知(1,1)1f =，(,)*f m n ∈N （m 、*)n ∈N ，且对任意m 、*n ∈N 都有：