2007年高考数学试题分类详解
函数与导数
一.选择题
1、(全国1文理8)设1a >,函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为
1
2
,则a =
A B .2 C . D .4
解:设1a >,函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之分别为log 2,log 1a a a a =,它们的差为
12,∴ 1
log 22
a =,a =4,选D 。 2、(全国1文理9)()f x ,()g x 是定义在R 上的函数,()()()h x f x g x =+,则“()f x ,()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的
A .充要条件
B .充分而不必要的条件
C .必要而不充分的条件
D .既不充分也不必要的条件
解:()f x ,()g x 是定义在R 上的函数,()()()h x f x g x =+,若“()f x ,()g x 均为偶函数”,则“()h x 为偶函数”,而反之若“()h x 为偶函数”,则“()f x ,()g x 不一定均为偶函数”,所以“()f x ,()g x 均为偶函数”,是“()h x 为偶函数”是充分而不必要的条件,选B 。
3、(山东文理)给出下列三个等式:()()()()()()f xy f x f y f x y f x f y =++=,,
()()
()1()()
f x f y f x y f x f y ++=
-.下列函数中不满足其中任何一个等式的是
A .()3x
f x = B .()sin f x x =
C .2()log f x x =
D .()tan f x x =
解:依据指、对数函数的性质可以发现A 满足()()()f x y f x f y +=,C 满足()()()f xy f x f y =+,
而D 满足()()
()1()()
f x f y f x y f x f y ++=
-,B 不满足其中任何一个等式. B
4、(山东文11)设函数3
y x =与2
12x y -??= ?
??
的图象的交点为00()x y ,,则0x 所在的区间是 A .(01),
B .(12),
C .(23),
D .(34),
解:令3
2()2x
g x x -=-,可求得:(0)0,(1)0,(2)0,(3)0,g g g g <<>>(4)0g >。易知函数()g x 的
零点所在区间为(12),。B .
5、(广东理4文5)客车从甲地以60km/h 的速度行驶1小时到达乙地,在乙地停留了半小时,然后以80km/h 的速度行驶1小时到达丙地,下列描述客车从甲地出发,经过乙地,最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间的关系图象中,正确的是
解:依题意的关键字眼“以80km /h 的速度匀速行驶l 小时到达丙地”选得答案(C). 6、(天津5)
函数)
2log 2(0)y x =+>的反函数是
A.142(2)x x y x +=->
B.142(1)x x y x +=->
C.242(2)x x y x +=->
D.242(1)x x y x +=->
解:原函数过(4,1)-故反函数过(1,4)-从而排除A 、B 、D ,故选C
7、(天津理7) 在R 上定义的函数()f x 是偶函数,且()f x (2)f x =-.若()f x 在区间[1,2]上是减函数,则()f x
A.在区间[2,1]--上是增函数,在区间[3,4]上是减函数
B.在区间[2,1]--上是增函数,在区间[3,4]上是减函数
C.在区间[2,1]--上是减函数,在区间[3,4]上是增函数
D.在区间[2,1]--上是减函数,在区间[3,4]上是增函数
解:由()(2)f x f x =-可知()f x 图象关于x 1=对称,又因为()f x 为偶函数图象关于0x =对称,可得到()f x 为周期函数且最小正周期为2,结合()f x 在区间[1,2]上是减函数,可得如右()f x 草图.故选B
8、(天津理9) 设,,a b c 均为正数,且11222
112log ,log ,log ,22b c
a
a b c ????=== ? ?????则
A.a b c <<
B.c b a <<
C.c a b <<
D.b a c <<
解:由12
2log a
a =可知0a >21a
?>121log 102a a ?>?<<,由121log 2b
b ??
= ???可知
0b >?12
0log 1b <<112b ?<<,由21log 2c
c ??
= ???可知0c >20log 112c c ?<<<,
从而a b c <<.故选A
9、(天津文4)设12
log 3a =,0.2
13b ??
= ???,1
32c =,则
A .a b c <<
B .c b a <<
C .c a b <<
D .b a c <<
解:∵由指、对函数的性质可知:1122
log 3log 10a =<=,0.2
1013b ??
<=< ?
??,1
3
21c =>,
∴有a b c <<.
10、(天津文5)函数2log (4)(0)y x x =+>的反函数是
A .24(2)x
y x =+> B .24(0)x
y x =+> C .24(2)x y x =->
D .24(0)x
y x =->
解:由2log (4)y x =+得42y
x +=,即24y
x =-,故反函数是24x
y =-,再根据原函数的值域为反 函数的定义域则有: ∵0x >,则44x +>,∴2log (4)2y x =+>,故反函数的定义域为2x >,则有
24(2)x y x =->.
11、(天津文10)设()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时,2
()f x x =,若对任意的[]2x t t ∈+,,
不等式()2()f x t f x +≥恒成立,则实数t 的取值范围是
A .)
+∞
B .[)2+,∞
C .(]02,
D .1???-?
??
解:(排除法)当t =
则2x ?∈?得(2()f x f x ≥,
即222
(220x x x ≥?--≤在2x ?∈?
时恒成立,而22x --最大值,是当
2x =时出现,故22x --的最大值为0, 则()2()f x t f x +≥恒成立,排除B,C 项,同理再验证
1t =-时, ()2()f x t f x +≥不成立,故排除D 项. A
12、(广东文3)若函数f(x)=x 3(x ∈R),则函数y=f(-x)在其定义域上是 A .单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数 C .单凋递增的偶函数 D .单涮递增的奇函数
解: 函数3
()y f x x =-=-单调递减且为奇函数,选(B).
13、(山东理4) 设11,1,,32
a ?
?∈-???
?
,则使函数y x α
=的定义域为R 且为奇函数的所有α值为 (A )1,3 (B ) 1,1- (C )1,3- (D ) 1,1,3- 解: 观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项。A 14、(全国2理4)以下四个数中的最大者是
(A) (ln2)2
(B) ln(ln2)
(C) ln 2
(D) ln2
解:∵ 0ln 21<<,∴ ln(ln2)<0,(ln2)2< ln2,而ln 2=2
1
ln2 (A)),0[,)(2 +∞∈=x x x f (B)),(,)(3 +∞-∞∈=x x x f (C) ),(,)(3-∞+∞∈=x e x f (D) ),0(,1 )(+∞∈= x x x f 解:下列函数中,反函数是其自身的函数为),0(,1 )(+∞∈=x x x f ,选D 。 16、(安徽文7)图中的图象所表示的函数的解析式为 (A)|1|2 3 -= x y (0≤x ≤2) (B) |1|23 23--=x y (0≤x ≤2) (C) |1|2 3 --=x y (0≤x ≤2) (D) |1|1--=x y (0≤x ≤2) 解:图中的图象所表示的函数当0≤x≤1时,它的解析式为32x y =,当1 32 y x =-+,∴解析式为|1|2 3 23--= x y (0≤x ≤2),选B 。 17、(安徽文理11) 定义在R 上的函数f (x )既是奇函数,又是周期函数,T 是它的一个正周期.若将方程f (x )=0在闭区[-T ,T ]上的根的个数记为n ,则n 可能为 (A)0 (B)1 (C)3 (D)5 解:定义在R 上的函数)(x f 是奇函数,(0)0f =,又是周期函数,T 是它的一个正周期, ∴()()0f T f T =-=,()()()()2222T T T T f f f T f - =-=-+=,∴()()022 T T f f -==,则n 可能为5,选D 。 18、(安徽理1)下列函数中,反函数是其自身的函数为 (A)[)+∞∈=,0,)(3 x x x f (B )[)+∞∞-∈=,,)(3x x x f (C)),(,)(+∞-∞∈=x c x f x (D)),0(,1 )(+∞∈=x x x f 解:在下列函数中,反函数是其自身的函数为),0(,1 )(+∞∈= x x x f ,选D 。 19、(北京文理2)函数()3(02)x f x x =<≤的反函数的定义域为 A.(0)+∞, B.(19], C.(01), D.[9)+∞, 解:函数()3(02)x f x x =<≤的反函数的定义域为原函数的值域,原函数的值域为(19],,∴ 选B 。 20、(北京文8)对于函数①()2f x x =+,②2()(2)f x x =-,③()cos(2)f x x =-,判断如下两个命 题的真假: 命题甲:(2)f x +是偶函数;命题乙:()f x 在()-∞2,上是减函数,在(2)+∞,上是增函数; 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是 A.①② B.①③ C.② D.③ 解:对于函数①()2f x x =+,函数(2)|4|f x x +=+不是偶函数,对于函数③()cos(2)f x x =-,是一个周期函数,周期是2π,不可能在()-∞2,上是减函数,在(2)+∞,上是增函数;所以函数①③都不符合条件,只有函数②2 ()(2)f x x =-,能使命题甲、乙均为真,选C 。 21、(北京理8)对于函数①()lg(21)f x x =-+,②2 ()(2)f x x =-,③()cos(2)f x x =+,判断如下 三个命题的真假: 命题甲:(2)f x +是偶函数;命题乙:()f x 在()-∞2,上是减函数,在(2)+∞,上是增函数; 命题丙:(2)()f x f x +-在()-∞+∞,上是增函数.能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是 A.①③ B.①② C.③ D.② 解:函数①()lg(21)f x x =-+,函数(2)f x +=lg(||1)x +是偶函数;且()f x 在()-∞2,上是减函数,在(2)+∞,上是增函数;但对命题丙:(2)()f x f x +-=||1 lg(||1)lg(|2|1)lg |2|1 x x x x ++--+=-+在 x ∈(-∞,0)时,(||1)12 lg lg lg (1)(|2|1)213 x x x x x +-+==+-+-+-为减函数,排除函数①,对于函数③, ()cos(2)f x x =+函数(2)cos(2)f x x +=+不是偶函数, 排除函数③,只有函数②2 ()(2)f x x =-符合要求,选D 22、(江苏6)设函数()f x 定义在实数集上,它的图像关于直线1x =对称,且当1x ≥时,()31x f x =-,则有 A .132()()()323f f f << B .231 ()()()323f f f << C .213()()()332f f f << D .321()()()233f f f << 解:利用对称性,三点到直线1x =距离越远越大B 23、(江苏8)设2 ()lg()1f x a x =+-是奇函数,则使()0f x <的x 的取值范围是 A .(1,0)- B .(0,1) C .(,0)-∞ D .(,0)(1,)-∞+∞ 解:由10)0(-==a f 得,011lg )(<-+=x x x f 得?????? ?<-+>-+1 11011x x x x ,01<<-∴x , 选A. 24、(福建理7)已知f(x)为R 上的减函数,则满足f(| x 1 |) 1| |1 >x 解得01<<-x 或0 (f x f >的实数x 的取值范围是 A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-∞,0)?(0,1) D.(-∞,0)?(1,+?∞) 解:由已知得 11 解得0 441()431x x f x x x x -?=?-+>? , ≤,,的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是 A .4 B .3 C .2 D .1 解:由图像易知交点共有3个。B. 27、(湖南理7)下列四个命题中,不正确... 的是 A .若函数()f x 在0x x =处连续,则0 lim ()lim ()x x x x f x f x +-=→→ B .函数22 ()4 x f x x += -的不连续点是2x =和2x =- C .若函数()f x 、()g x 满足lim[()()]0x f x g x ∞ -=→,则lim ()lim ()x x f x g x ∞ ∞ =→→ D .1 1 2 x =→ 解:lim ()lim ()x x f x g x ∞ ∞ =→→的前提是lim ()lim ()x x f x g x ∞∞ →→与必须都存在!C. 28、(江西理2)32 1lim 1 x x x x →-- A.等于0 B.等于1 C.等于3 D.不存在 解: 321lim 1 x x x x →--=1lim 2 1=→x x ,选B 29、(江西文3)函数1()lg 4 x f x x -=-的定义域为 A.(14), B.[14), C.(1)(4)-∞+∞ , , D.(1](4)-∞+∞ ,, 解: 10(1)(4)0,1 4.4 x x x x x ->?--<∴<<-选A. 30、(湖北文4)函数y=1 21 2-+r x (x <0)的反函数是 A.y=log 211-+x x (x<-1) B.y =log 21 1-+x x (x>1) C.y=log 21 1+-x x (x<-1) D.y =log 21 1+-x x (x>1) 解:由y=1 212-+r x (x <0)得y<-1且11log 1122 -+=?-+=y y x y y x (y<-1),所以所求的反函数为y=log 21 1-+x x (x<-1),故选A 31、(浙江理10)设21()1x x f x x x ??=??, ≥,, ,()g x 是二次函数,若(())f g x 的值域是[)0+, ∞,则()g x 的值域是 A .(][)11--+ ∞,,∞ B .(][)10--+ ∞,,∞ C .[)0+, ∞ D .[)1+, ∞ 解:要()f μ的值域是[)0+, ∞,则[)(,1]0.μ-∞-+ 可取,∞又()g x 是二次函数,定义域连续,故()g x 不可能同时[)(,1]0.-∞-+取和,∞ 结合选项只能选C. 32、(重庆理9)已知定义域为R 的函数f(x)在),8(+∞上为减函数,且函数y=f(x+8)函数为偶函数,则 A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9) C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10) 解: y=f(x+8)为偶函数,(8)(8).f x f x ?+=-+即()y f x =关于直线8x =对称。又f(x)在),8(+∞上为减函数,故在(,8)-∞上为增函数, 检验知选D 。 33、(重庆文10)设P (3,1)为二次函数2 ()2(1)f x ax ax b x =-+≥的图象与其反函数)(1 x f f -=的图 象的一个交点,则 (A )2 5 ,21== b a (B )2 5 ,21-==b a (C )25 ,21=-=b a (D )2 5 ,21-=-=b a 解:P (3,1)为二次函数2 ()2(1)f x ax ax b x =-+≥上的点,196.a a b =-+又P (3,1)为反函数上的点,则P (1,3)在原函数上,32.a a b ?=-+ 联立解得15 ,.22 a b =- = 34、(辽宁文理2)若函数()y f x =的反函数图象过点(15),,则函数()y f x =的图象必过点 A .(11), B .(15), C .(51), D .(55), 解:根据反函数定义知反函数图像过(1,5),则原函数图像过点(5,1),选C 35、(辽宁文9)函数212 log (56)y x x =-+的单调增区间为 A .5 2??+∞ ??? , B .(3)+∞, C .52? ?-∞ ??? , D .(2)-∞, 解:定义域为(2)-∞,∪(3)+∞,,排除A 、C ,根据复合函数的单调性知212 log (56)y x x =-+的单调 增区间为(2)-∞,,选D 36、(四川文理2)函数2()1log f x x =+与1 ()2 x g x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是 解:注意 1 (1)()22x x g x -+--==的图象是由2x y -=的图象右移1而得.本题考查函数图象的平移法 则.选C . 37、(四川理3)2211 lim 21 x x x x →-=-- (A )0 (B )1 (C )12 (D )23 解: 原式11(1)(1)12lim lim (1)(21)213x x x x x x x x →→+-+===-++或原式122lim 413 x x x →==-.选D . 38、(陕西文理8)若函数f(x)的反函数为f )(1 x -,则函数f(x-1)与f )1(1 --x 的图象可能是 解:函数f(x-1)与f )1(1 --x 的图象是f (x )与f )(1 x -的图象向右平移一个单位得到。选A 39、(陕西文2)函数21lg )(x x f -=的定义域为 (A )[0,1] (B )(-1,1) (C )[-1,1] (D )(-∞,-1)∪(1,+∞) 解:由1-x 2>0得-1 (A ) 3 3 21v v v ++ (B )3 1113 21v v v ++ (C )3321v v v (D ) 3 211113 v v v ++ 解:设三个连续时段为t 1,t 2,t 3,各时段的增长量相等,设为M ,则M= v 1 t 1= v 2 t 2=v 3 t 3,整个时段内的平均增长速度为 3213 2133v M v M v M M t t t M ++= ++=3 211113 v v v ++,选D. 二、填空题 1、(全国1文理14)函数()y f x =的图象与函数3log (0)y x x =>的图象关于直线y x =对称,则 ()f x =____________. 解:函数()y f x =的图象与函数3log (0)y x x =>的图象关于直线y x =对称,则()f x 与函数 3log (0)y x x =>互为反函数,()f x =3()x x ∈R 。 2、(山东文13)设函数1()f x =1 122 23()(),x f x x f x x -==,,则123(((2007)))f f f =____________. 解: 1 22 21 21 123121(((2007)))((2007))((2007))((2007))f f f f f f --===1 2007-=。 3、(北京文14)已知函数()f x ,()g x 分别由下表给出 则[(1)]f g 的值为 ;当[()]2g f x =时,x =____________. 解:[(1)]f g =(3)1f =;当[()]2g f x =时,()2f x =,x =1. 4、(北京理14)已知函数()f x ,()g x 分别由下表给出 则[(1)]f g 的值为 ;满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是 . 解:[(1)]f g =(3)1f =;当x=1时,[(1)]1,[(1)](1)3f g g f g ===,不满足条件, 当x=2时,[(2)](2)3,[(2)](3)1f g f g f g ====,满足条件,当x=3时, [(3)](1)1,[(3)](1)3f g f g f g ====,不满足条件,∴只有x=2时,符合条件。 5、(江苏13)已知函数3 ()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ,则M m -= ____________. 解:)4(3123)('22 -=-=x x x f ,[][][]递减,递增在,,,在223223)(---∴x f , 8)2(,24)2(-===-=f N f M ,得M m -= 32. 6、(上海理1)函数()()lg 43 x f x x -= -的定义域为____________. 解: 40 30x x ->?? -≠? ,∴{}34≠ 7、(上海理3)函数()1 x f x x = -的反函数()1 f x -=____________. 解: 由(1)11x y y x y x y = ?=≠?--()111 x f x x x -=≠-() . 8、(上海理4)方程96370x x -?-=的解是____________. 解:2 (3)63703731x x x x -?-=?==-或(舍去),3log 7x ∴=。 9、(上海文1)方程9 1 3 1 = -x 的解是 . 解:121 3 31219 x x x --= =?-=-?=-. 10、(上海文2)函数1 1)(-=x x f 的反函数=-)(1 x f . 解:由11(0)1y y x y x y += ?=≠?-()11 0x f x x x -+=≠() . 11、(上海文8)某工程由A B C D ,,,四道工序组成,完成它们需用时间依次为254x ,,,天.四道工序的先后顺序及相互关系是:A B ,可以同时开工;A 完成后,C 可以开工;B C ,完成后,D 可以开工.若该工程总时数为9天,则完成工序C 需要的天数x 最大是____________. 解: 因为A 完成后,C 才可以开工,C 完成后,D 才可以开工,完成A 、C 、D 需用时间依次为24x ,,天,且A B ,可以同时开工,该工程总时数为9天,max max 2493x x ∴++=?=。 12、(湖南文13) 若23 23 4 0,,log 9a a a >= =则 . 解:由943 2=a 得3 23)32()94(==a ,所以3)32(log log 33 232==a 13、(江西理13)设函数24log (1)(3)y x x =+-≥,则其反函数的定义域为 . 解:反函数的定义即为原函数的值域,由x≥3得x-1≥2,所以1)1(log 2≥-x ,所以y≥5,反函数的定义域为[5,+∞),填[5,+∞). 14、(江西文15)已知函数()y f x =存在反函数1 ()y f x -=,若函数(1)y f x =+的图象经过点(31),, 则函数1 ()y f x -=的图象必经过点 . 解:若函数(1)y f x =+的图象经过点(31),,则有1 1(31)(4)1(1) 4. f f f -=+?=?=所以函数1()y f x -=的图象必经过点(14),. 15、(湖北理11)已知函数2y x a =-的反函数是3y bx =+,则a = ;b = . 解:由互反函数点之间的对称关系,取特殊点求解。在3y bx =+上取点()0,3,得点()3,0 在 2y x a =-上,故得6a =;又26y x =-上有点()0,6-,则点()6,0-在3y bx =+上, 故得1.2 b = 16、(湖北文理15)为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每 立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比; 药物释放完毕后,y 与t 的函数关系式为116t a y -?? = ? ?? (a 为常数), 如图所示.据图中提供的信息,回答下列问题: (I )从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y (毫克)与时 间t (小时)之间的函数关系式为 ; (II )据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时, 学生方可进教室,那么, 药物释放开始,至少需要经过____________.小时后,学生才能回到教室. 解: (I )由题意和图示,当00.1t ≤≤时,可设y kt =(k 为待定系数),由于点()0,1,1在直线上, 10k ∴=;同理,当0.1t >时,可得0.111 10.101610 a a a -??=?-=?= ? ?? ,()() 1 101000.1 10.116t t t y t -≤≤???=???>? ? ??? ? (II )由题意可得10.254y ≤=,即得110400.1t t ?≤???≤≤?或1 10111640.1 t t -????≤ ?????>?1040t ?≤≤或0.6t ≥,由题意至少需要经过0.6小时后,学生才能回到教室. 17、(浙江文11)函数()2 21 x y x R x =∈+的值域是______________. 解:注意到2 0x ≥,故可以先解出2 x ,再利用函数的有界性求出函数值域。由221x y x =+,得2 1y x y =-, ∴ 01y y ≥-,解之得01y ≤<; 18、(海、宁理14)设函数(1)() ()x x a f x x ++= 为奇函数,则a =____________. 解:(1)(1)02(1)00, 1.f f a a +-=?++=∴=- 19、(海、宁文14)设函数()(1)()f x x x a =++为偶函数,则a =____________. 解:(1)(1)2(1)0, 1.f f a a =-?+=∴=- 20、(重庆文16 )函数()f x = 的最小值为 。 解:2 2 20 2040.41540x x x x x x x x x x ?-≥≥≤??∴?∴≥≤??≥≤-+≥?? ?或或或 [4,),(),()(4)1x f x f x f ∈+∞?≥=+又时单调递增(,0],(),()(0)044;x f x f x f ∈-∞?≥=+=而时单调递减 故最小值为1+ 21、(辽宁文13)已知函数()y f x =为奇函数,若(3)(2)1f f -=,则(2)(3)f f ---=____________. 解:由函数()y f x =为奇函数得(2)(3)f f ---=(3)(2)1f f -=. 21、(四川理13)若函数2 ()()x f x e μ--=(e 是自然对数的底数)的最大值是m ,且()f x 是偶函数,则 m μ+=____________. 解:1m =,0n =,∴1m μ+=. 22、(陕西理)=??? ??---++→112 1 2lim 21x x x x x ____________. 解:3121)2)(1(21211212lim lim lim 1 12 1=+=+---+=??? ??---++→→→x x x x x x x x x x x x . 三、解答题 1、(07广东) 已知a 是实数,函数()a x ax x f --+=3222 ,如果函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点, 求a 的取值范围. 解:若0a =,()23f x x =- ,显然在[]1,1-上没有零点, ∴0a ≠. 令()2 48382440a a a a ?=++=++=, 解得 32 a -±= . ① 当 a = 时, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上; ② 当()()()()05111<--=?-a a f f ,即15a <<时,()y f x =在[]1,1-上也恰有一个零点. ③ 当()y f x =在[]1,1-上有两个零点时, 则 ()()208244011121010a a a a f f >???=++>??-<-?≥??-≥? 或()()20824401 1121010a a a a f f ??=++>??-<-?≤? ? -≤? , 解得5a ≥ 或a < 综上所求实数a 的取值范围是 1a > 或 32 a -≤ . 2、(07北京)已知集合{})2(,,,,321≥=k a a a a A k 其中),,2,1(k i Z a i =∈,由A 中的元素构成两个相应的集合(){}A b a A b A a b a S ∈+∈∈=,,,,(){} A b a A b A a b a T ∈-∈∈=,,,,其中()b a ,是有序实数对,集合T S 和的元素个数分别为n m ,.若对于任意的A a A a ?-∈,总有,则称集合A 具有性质P . (Ⅰ)检验集合{}3,2,1,0与{}3,2,1-是否具有性质P ,并对其中具有性质P 的集合写出相应的集合 T S 和; (Ⅱ)对任何具有性质P 的集合A ,证明:()2 1-≤ k k n ; (Ⅲ)判断n m 和的大小关系,并证明你的结论. 解:(Ⅰ)集合{}3,2,1,0不具有性质P ,{}3,2,1-具有性质P ,其相应的集合T S 和是 ()(){}()(){}3,2,1,2,1.3,3,1-=--=T S ; (Ⅱ)首先由A 中的元素构成的有序实数对共有2 k 个,因为()T a a A i i ∈∈,,0),,2,1(k i =, 又因为当A a A a ?-∈时, ,所以当()() T a a T a a i j j i ?∈,,时,),,2,1(k i =,于是集合T 中的元素的个数最多为() ()121212-=-= k k k k n ,即()2 1-≤ k k n . (Ⅲ)n m =,证明如下: ① 对于()S b a ∈,,根据定义()T b b a A b a A b A a ∈+∈+∈∈,,,从而,则,如果()()d c b a ,,与是 S 中的不同元素,那么d b c a ==与中至少有一个不成立,于是d c b a +=+与d b =中至少有一个不成 立,故()b b a ,+与()d d c ,+也是T 中的不同元素.可见S 中的元素个数不多于T 中的元素个数,即n m ≤; ② 对于()T b a ∈,,根据定义()S b b a A b a A b A a ∈-∈-∈∈,,,从而,则,如果()()d c b a ,,与是 T 中的不同元素,那么d b c a ==与中至少有一个不成立,于是d c b a -=-与d b =中至少有一个不成 立,故()b b a ,-与()d d c ,-也是S 中的不同元素.可见T 中的元素个数不多于S 中的元素个数,即m n ≤. 由①②可知n m =. 3、(07上海)已知函数()),0(2R a x x a x x f ∈≠+ =. (1)判断函数()x f 的奇偶性; (2)若()x f 在区间[)+∞,2是增函数,求实数a 的取值范围。 解:(1)当0=a 时,()2 x x f =为偶函数;当0≠a 时,()x f 既不是奇函数也不是偶函数. (2)设212≥>x x ,()()2 2 212 121x a x x a x x f x f - -+ =-()[]a x x x x x x x x -+-=21212121, 由212≥>x x 得()162121>+x x x x ,0,02121><-x x x x ,要使()x f 在区间[)+∞,2是增函数只需 ()()021<-x f x f ,即()02121>-+a x x x x 恒成立,则16≤a 。 另解(导数法):()22'x a x x f -=,要使()x f 在区间[)+∞,2是增函数,只需当2≥x 时,()0'≥x f 恒成立,即022 ≥- x a x ,则[)+∞∈≤,1623 x a 恒成立,故当16≤a 时,()x f 在区间[)+∞,2是增函数。 4、(重庆理)已知函数c bx x ax x f -+=4 4 ln )((x>0)在x = 1处取得极值c --3,其中a,b,c 为常数。 (1)试确定a,b 的值; (2)讨论函数f(x)的单调区间; (3)若对任意x>0,不等式2 2)(c x f -≥恒成立,求c 的取值范围。 解:(I )由题意知(1)3f c =--,因此3b c c -=--,从而3b =-.又对()f x 求导 得()34 3 41 ln 4'bx x ax x ax x f +? +=3(4ln 4)x a x a b =++.由题意(1)0f '=,因此40a b +=,解得12a =. (II )由(I )知3 ()48ln f x x x '=(0x >),令()0f x '=,解得1x =. 当01x <<时,()0f x '<,此时()f x 为减函数;当1x >时,()0f x '>,此时()f x 为增函数. 因此()f x 的单调递减区间为(01),,而()f x 的单调递增区间为(1)+,∞. (III )由(II )知,()f x 在1x =处取得极小值(1)3f c =--,此极小值也是最小值,要使2 ()2f x c -≥ (0x >)恒成立,只需232c c ---≥.即2 230c c --≥,从而(23)(1)0c c -+≥,解得3 2 c ≥ 或1c -≤.所以c 的取值范围为3(1]2??-∞-+∞???? ,,. 5、(浙江理)设3()3x f x =,对任意实数t ,记2 32 ()3 t g x t x t =-. (I )求函数()()t y f x g x =-的单调区间; (II )求证:(ⅰ)当0x >时,()f x g ()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立; (ⅱ)有且仅有一个正实数0x ,使得00()()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立. 解:(I )316433x y x =-+.由240y x '=-=,得2x =±.因为当(2)x ∈-∞-,时,y '>0,当 (22)x ∈-,时,0y '<,当(2)x ∈+∞,时,0y '>,故所求函数的单调递增区间是(2)-∞-,,(2)+∞,; 单调递减区间是(22)-,. (II )(i )令2332 ()()()(0)33 t x h x f x g x t x t x =-=-+> ,则22 3 ()h x x t '=-,当0t >时,由()0h x '=, 得1 3 x t =,当1 3 ()x x ∈+∞时,()0h x '>,所以()h x 在(0)+∞, 内的最小值是13 ()0h t =.故当0x >时,()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立. 方法二:对任意固定的0x >,令2 3 2()()(0)3t h t g x t x t t ==->,则1 1 332()()3 h t t x t -'=-, 由()0h t '=,得3t x =.当30t x <<时,()0h t '>.当3t x >时,()0h t '<,所以当3 t x =时,()h t 取得最大值3 3 1()3h x x = .因此当0x >时,()()f x g x ≥对任意正实数t 成立. (ii )8 (2)(2)3 t f g ==.由(i )得,(2)(2)t t g g ≥对任意正实数t 成立.即存在正实数02x =,使得 (2)(2)x t g g ≥对任意正实数t 成立.下面证明0x 的唯一性:当02x ≠,00x >,8t =时, 300()3x f x =,0016()43x g x x =-,由(i )得,30016433x x >-,再取3 0t x =,得30 300()3x x g x =,所以 30 3 000016()4()33 x x x g x x g x =-<=,即02x ≠时,不满足00()()x t g x g x ≥对任意0t >都成立. 故有且仅有一个正实数02x =,使得00()0()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立. 方法二:对任意00x >,0016()43x g x x =-,因为0()t g x 关于t 的最大值是301 3 x ,所以要使00()()x t g x g x ≥对任意正实数成立的充分必要条件是:300161 433 x x -≥,即200(2)(4)0x x -+≤, ①又因为00x >,不等式①成立的充分必要条件是02x =,所以有且仅有一个正实数02x =,使得 00()()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立. 6、(天津理)已知函数2221 ()()1 ax a f x x x -+=∈+R ,其中a ∈R . (Ⅰ)当1a =时,求曲线()y f x =在点(2(2))f ,处的切线方程; (Ⅱ)当0a ≠时,求函数()f x 的单调区间与极值. 解:(Ⅰ)当1a =时,22()1x f x x =+,4 (2)5 f =,又222222 2(1)2222()(1)(1)x x x x f x x x +--'==++·,6(2)25f '=- .∴曲线()y f x =在点(2(2))f ,处的切线方程为46 (2)525 y x -=--, 即62320x y +-=. (Ⅱ)222222 2(1)2(21)2()(1) ()(1)(1) a x x ax a x a ax f x x x +--+--+'==++.由于0a ≠,以下分两种情况讨论. (1)当0a >时,令()0f x '=,得11 x =- ,2x a =.当x 变化时,()()f x f x ',的变化情况如下表: 所以()f x 在区间1a ??-- ?? ?, ∞,()a +,∞内为减函数,在区间1a a ?? - ? ?? ,内为增函数.函数()f x 在11x a =-处取得极小值1f a ??- ???,且21f a a ??-=- ? ?? ,函数()f x 在21x a =处取得极大值()f a ,且()1f a =. (2)当0a <时,令()0f x '=,得121 x a x a ==- ,,当x 变化时,()()f x f x ',的变化情况如下表: 所以()f x 在区间()a -,∞,1 a ??- ???,+∞内为增函数,在区间1a a ?? - ??? ,内为减函数. 函数()f x 在1x a =处取得极大值()f a ,且()1f a =.函数()f x 在21 x a =- 处取得极小值1f a ??- ??? ,且21f a a ?? -=- ??? . 7、(四川理)设函数1()1(,1,)n f x n N n x N n ?? =+∈>∈ ???且. (Ⅰ)当x =6时,求n n ?? ? ??+11的展开式中二项式系数最大的项; (Ⅱ)对任意的实数x , 证明 2 ) 2()2(f x f +>);)()()((的导函数是x f x f x f '' (Ⅲ)是否存在N a ∈,使得an <∑-??? ? ?+n k k 111<n a )1(+恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a 的值;若不存在,请说明理由. 解:(Ⅰ)展开式中二项式系数最大的项是第4项,这项是3 35 6 3120 1C n n ??= ??? (Ⅱ)因()()22112211n f x f n n ???? +=+++ ? ????? ≥ 11211n n n ?? ?? =+?+ ? ??? ?? 121n n ??>+ ???1121ln 12n n ????>++ ? ?????()'1121ln 12n f x n n ????≥++= ? ????? 证法二:因()()22 112211n f x f n n ????+=+++ ? ?????≥11211n n n ?? ?? =+?+ ? ??? ?? 而()' 11221ln 1n f x n n ????=++ ? ?????故只需对11n ??+ ???和1ln 1n ?? + ??? 进行比较。 令()()ln 1g x x x x =-≥,有()' 111x g x x x -=- =,由1 0x x -=,得1x =.因为当01x <<时, ()'0g x <,()g x 单调递减;当1x <<+∞时,()'0g x >,()g x 单调递增,所以在1x =处()g x 有极 小值1,故当1x >时,()()11g x g >=,从而有ln 1x x ->,亦即ln 1ln x x x >+>, 故有111ln 1n n ????+ >+ ? ????? 恒成立。所以()()()' 222f x f f x +≥,原不等式成立。 (Ⅲ)对m N ∈,且1m >有2 012111111m k m k m m m m m m C C C C C m m m m m ??????????+=+++++++ ? ? ? ? ??????????? ()()()()2 111121111112!!!k m m m m m m k m m m k m m m ---+-??????? =+++++++ ? ? ??????? 11112111121111112!!!k m m k m m m m m m --????????????=+ -++---++-- ? ??? ? ? ????????????? 1111 22!3!!! k m <+ +++++ ()()11112213211k k m m <++++++??-- 111111 12122311k k m m ????????=+-+-++-++- ? ? ? ?--???????? 133m =-< 又因()102,3,4,,k k m C k m m ??>= ??? ,故1213m m ??<+< ???∵1213m m ? ?<+< ??? , 从而有11213k n k n n k =??<+< ???∑成立,即存在2a =,使得11213k n k n n k =?? <+< ?? ?∑恒成立。 8、(陕西理)设函数f (x )=,2 2 a ax x c ++其中a 为实数. (Ⅰ)若f (x )的定义域为R ,求a 的取值范围; (Ⅱ)当f (x )的定义域为R 时,求f (x )的单减区间. 解:(Ⅰ)()f x 的定义域为R ,2 0x ax a ∴++≠恒成立,2 40a a ∴?=-<,04a ∴<<,即当 04a <<时()f x 的定义域为R . (Ⅱ)22 (2)e ()()x x x a f x x ax a +-'=++,令()0f x '≤,得(2)0xx a +-≤.由()0f x '=, 得0x =或2x a =-,又04a << ,02a ∴<<时,由()0f x '<得02x a <<-;当2a =时,()0f x '≥;当24a <<时,由()0f x '<得20a x -<<,即当02a <<时,()f x 的单调减区间为(02)a -,;当24a <<时,()f x 的单调减区间为(20)a -,. 9、(山东理)设函数2 ()ln(1)f x x b x =++,其中0b ≠. (Ⅰ)当1 2 b > 时,判断函数()f x 在定义域上的单调性; (Ⅱ)求函数()f x 的极值点; (Ⅲ)证明对任意的正整数n ,不等式23111 ln 1n n n ??+>- ???都成立. 解:(I) 函数2 ()ln(1)f x x b x =++的定义域为()1,-+∞.222'()211 b x x b f x x x x ++=+= ++, 令2 ()22g x x x b =++,则()g x 在1,2??-+∞ ???上递增,在11,2? ?-- ?? ?上递减,min 11()()22g x g b =-=-+. 当12b > 时,min 1()02g x b =-+>,2()220g x x x b =++>在()1,-+∞上恒成立.' ()0,f x ∴> 即当1 2 b >时,函数()f x 在定义域()1,-+∞上单调递增。 (II )分以下几种情形讨论:(1)由(I )知当1 2 b >时函数()f x 无极值点. (2)当1 2 b = 时,2 12() 2'()1x f x x + =+,11,2x ??∴∈-- ???时,'()0,f x >1,2x ??∈-+∞ ? ?? 时, '()0,f x >1 2 b ∴= 时,函数()f x 在()1,-+∞上无极值点。 (3)当12 b < 时,解' ()0f x = 得两个不同解112x -= ,212x -+=.当0b < 时, 1112x -= <- ,2112 x -+=>-, ()()121,,1,,x x ∴?-+∞∈-+∞此时()f x 在()1,-+∞ 上有唯一的极小值点2x = .当102 b <<时,()12,1,,x x ∈-+∞' ()f x 在()()121,,,x x -+∞都 大于0 ,' ()f x 在12(,)x x 上小于0 ,此时()f x 有一个极大值点1x = 和一个极小值点 212 x -= . 综上可知:0b <时,()f x 在()1,-+∞ 上有唯一的极小值点212x -= ;1 02 b <<时,()f x 有 一个极大值点112x --= 和一个极小值点212x -+=;1 2 b ≥时,函数()f x 在()1,-+∞上 无极值点。 (III ) 当1b =-时,2()ln(1).f x x x =-+令332 ()()ln(1),h x x f x x x x =-=-++ 则32 ' 3(1)()1 x x h x x +-=+在[)0,+∞上恒正,()h x ∴在[)0,+∞上单调递增,当()0,x ∈+∞时,恒有 ()(0)0 h x h >=.即当()0,x ∈+∞时,有32ln(1)0,x x x -++>23 ln(1)x x x +>-,对任意正整数n ,取1x n = 得23111 ln(1)n n n +>- 10、(全国卷二理)已知函数3 ()f x x x =-. (1)求曲线()y f x =在点(())M t f t ,处的切线方程; (2)设0a >,如果过点()a b ,可作曲线()y f x =的三条切线,证明:()a b f a -<< 解:(1)()f x 的导数2 ()31x x f '=-.曲线()y f x =在点(())M t f t ,处的切线方程为: ()()()y f t f t x t '-=-,即23(31)2y t x t =--. (2)如果有一条切线过点()a b ,,则存在t ,使2 3 (31)2b t a t =--.若过点()a b ,可作曲线()y f x =的三条切线,则方程3 2 230t at a b -++=有三个相异的实数根.记3 2 ()23g t t at a b =-++,则 2()66g t t at '=-6()t t a =-.当t 变化时,()()g t g t ',变化情况如下表: 由()g t 的单调性,当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时,方程()0g t =最多有一个实数根; 当0a b +=时,解方程()0g t =得302 a t t == ,,即方程()0g t =只有两个相异的实数根; 当()0b f a -=时,解方程()0g t =得2 a t t a =-=,,即方程()0g t =只有两个相异的实数根. 综上,如果过()a b ,可作曲线()y f x =三条切线,即()0g t =有三个相异的实数根,则0()0. a b b f a +>??-,即()a b f a -<<. 11、(全国卷一理)设函数()e e x x f x -=-. (Ⅰ)证明:()f x 的导数()2f x '≥; (Ⅱ)若对所有0x ≥都有()f x ax ≥,求a 的取值范围. 天津市近五年高考数学试题分类汇总 [2011 ?天津卷]i是虚数单位,复数1 3i 1 i = C. 1 2i A. 2 i B. 2 i 【答案】A. 1 3i 【解析】'3i(1 3i)(1 i) 42i2 i. 1 i(1 i)(1 i)2 【2010】(1) i是虚数单位,复数 1 3i( 1 2i (A)1 + i(B)5+ 5i (C)-5-5i(D)-1 —i 5i 【2009,1】i是虚数单位,5=( ) 2 i (A) 1+2i(B) -1-2i(C) 1-2i 选择题1:—复数 【考点定位】本小题考查复数的运算,基础 题。) D. 1 2i (D) -1+2i 解析:旦5^ 2 i 5 1 2i,故选择D o 【2008 】 1. ?3 i是虚数单位i i 1() i是虚数单位,i1 (A) 1 (B) 1(C) i(D) i A 【2007】 2i3 1.i是虚数单位,——() 1 i A.1i B.1 i C.1 【答 案】 C 【分 析】2i32i3(1 i)2i(1 i)i 1,故选C 1i (1 i)(1 i)2 D. 1 i 2 (1)i 3 1,i 4 i,i1 复数运算技巧: 4n i 1,i 4n 1 4n 2 i,i 4n 3 hi n n 1n 2n 3 ■ i■ i■ i■ i0 复数概念、复数运算、共轭复数、复数几何意义。 (2)(1 i)2 2i i i A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 .1 i i,r _ i ⑷设 -1+凋 3 2 1, — 2 3 , 0 2 , 选择题 2: 充要条件与命题 [2011 ? 天津卷]设x,y R,则 2 2 “x 2 且 y 2 ”是“ x y 4 的 充分而不必要条件 A . B .必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D .即不充分也不必要条件 【答案 】A 【解 析 】当x 2且y 2时, 「疋有x y 4 ;反过来当 【2010】(3)命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是 (A) 若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数 (B) 若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数 (C) 若f(-x)是奇函数,贝U f(x)是奇函数 (D) 若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数 B 【2009】(3)命题“存在x 0 R , 2x0 0”的否定是 (A )不存在 x 0 R, 2x0 >0 (B )存在 X 。R, 2x0 0 (C )对任意的x R, 2x 0 (D )对任意的x R, 2x >0 【考点定位】本小考查四种命题的改写,基础题。 解析:由题否定即“不存在 x 0 R ,使2x0 0”,故选择D o 【2007 】3." —"是"ta n 2cos — "的 3 2 x 2 y 2 4,不一定有x 2且y 2,例如x 4, y 0也可以,故选A 【2008】(4)设 a,b 是两条直线, 是两个平面,则a b 的一个充分条件是 C (A) a , b 〃 , (C) a ,b , // (B) a ,b , // (D) a ,b 〃 , 2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一. 选择题: 1.(福建卷11)又曲线22 221x y a b ==(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点,且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.(海南卷11)已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上,那么点P 到点Q (2,-1)的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为( A ) A. ( 4 1 ,-1) B. (4 1 ,1) C. (1,2) D. (1,-2) 3.(湖北卷10)如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子: ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a <22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.(湖南卷8)若双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 2015年高考数学试题分类汇编及答案解析(22个专题) 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲................................................................................................................................. 2008年高考数学试题分类汇编 函数与导数 一. 选择题: 1.(全国一1 )函数y = C ) A .{}|0x x ≥ B .{}|1x x ≥ C .{}{}|10x x ≥ D .{}|01x x ≤≤ 2.(全国一2)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数,其图像可能是( A ) 3.(全国一6)若函数(1)y f x =- 的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称,则()f x =( B ) A .21x e - B .2x e C .21x e + D .22x e + 4.(全国一7)设曲线11x y x += -在点(32),处的切线与直线10ax y ++=垂直,则a =( D ) A .2 B .12 C .12- D .2- 5.(全国一9)设奇函数()f x 在(0)+∞, 上为增函数,且(1)0f =,则不等式()()0f x f x x --<的解集为( D ) A .(10)(1)-+∞ ,, B .(1)(01)-∞- , , C .(1)(1)-∞-+∞ ,, D .(10)(01)- , , 6.(全国二3)函数1()f x x x = -的图像关于( C ) A .y 轴对称 B . 直线x y -=对称 A . B . C . D . C . 坐标原点对称 D . 直线x y =对称 8.(全国二4)若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===,,,,,则( C ) A .a > B .b a c >> C .c a b >> D .b c a >> 10.(北京卷3)“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的( B ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 11.(四川卷10)设()()sin f x x ω?=+,其中0ω>,则()f x 是偶函数的充要条件是( D ) (A)()01f = (B)()00f = (C)()'01f = (D)()'00f = 12.(四川卷11)设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=,若()12f =,则()99f =( C ) (A)13 (B)2 (C)132 (D)213 13.(天津卷3)函数1y =04x ≤≤)的反函数是A (A )2(1)y x =-(13x ≤≤) (B )2(1)y x =-(04x ≤≤) (C )21y x =-(13x ≤≤) (D )21y x =-(04x ≤≤) 14.(天津卷10)设1a >,若对于任意的[,2]x a a ∈,都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=,这时 a 的取值集合为B (A )2{|1}a a <≤ (B ){|}2a a ≥ (C )3|}2{a a ≤≤ (D ){2,3} 15.(安徽卷7)0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的( B ) A .必要不充分条件 B .充分不必要条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 16.(安徽卷9)在同一平面直角坐标系中,函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称。而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称,若()1f m =-, 专题一 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合 2018------2020年 1.(2020?北京卷)已知集合{1,0,1,2}A =-,{|03}B x x =<<,则A B =( ). A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.(2020?全国1卷)设集合A ={x |x 2–4≤0},B ={x |2x +a ≤0},且A ∩B ={x |–2≤x ≤1},则a =( ) A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.(2020?全国2卷)已知集合U ={?2,?1,0,1,2,3},A ={?1,0,1},B ={1,2},则()U A B ?=( ) A. {?2,3} B. {?2,2,3} C. {?2,?1,0,3} D. {?2,?1,0,2,3} 4.(2020?全国3卷)已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ,{(,)|8}B x y x y =+=,则A B 中元素的个数为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.(2020?江苏卷)已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=,则A B =_____. 6.(2020?新全国1山东)设集合A ={x |1≤x ≤3},B ={x |2 导数 1.【2017课标II ,理11】若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点,则()f x 的极小值为( ) A.1- B.32e -- C.35e - D.1 【答案】A 【解析】()()2121e x f x x a x a -'??=+++-??? , 则()()324221e 01f a a a -'-=-++-?=?=-????, 则()()211e x f x x x -=--?,()()212e x f x x x -'=+-?, 令()0f x '=,得2x =-或1x =, 当2x <-或1x >时,()0f x '>, 当21x -<<时,()0f x '<, 则()f x 极小值为()11f =-. 【考点】 函数的极值;函数的单调性 【名师点睛】(1)可导函数y =f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)=0,且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同。 (2)若f (x )在(a ,b )内有极值,那么f (x )在(a ,b )内绝不是单调函数,即在某区间上单调增或减的函数没有极值。 2.【2017课标3,理11】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点,则a = A .12- B .13 C .12 D .1 【答案】C 【解析】由条件,211()2(e e )x x f x x x a --+=-++,得: 221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e ) 4442(e e )2(e e ) x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++ ∴(2)()f x f x -=,即1x =为()f x 的对称轴, 由题意,()f x 有唯一零点, ∴()f x 的零点只能为1x =, 即21111(1)121(e e )0f a --+=-?++=, 解得12 a =. 【考点】 函数的零点;导函数研究函数的单调性,分类讨论的数学思想 【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围,若方程可解,通过解方程即可得出参数的 、最值 一、选择题 1.(2017·全国甲卷理科·T11)若x=-2是函数f(x)=(2x+ax-1)1x e-的极值点,则f(x)的极小值为() A.-1 B.-23 e- D.1 e- C.53 【命题意图】导数研究函数的单调性,极值与最值以及不等式的解法.通过求极小值意在考查学生单调性与导数的关系,以及运算能力. 【解析】选A.由题可得f'(x)=(2x+a)1x e-+(2x+ax-1)1x e-=[2x+(a+2)x+a-1]1x e-, 因为f'(-2)=0,所以a=-1,f(x)=(2x-x-1)1x e-,故f'(x)=(2x+x-2)1x e-, 令f'(x)>0,解得x<-2或x>1,所以f(x)在(-∞,-2)和(1,+∞)上单调递增,在(-2,1)上单调递减,所以f(x)极小值=f(1)=(1-1-1)11 e-=-1. 【方法技巧】求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义区间,求导数f'(x). (2)求f(x)的拐点,即求方程f'(x)=0的根. (3)利用f'(x)与f(x)随x的变化情况表,根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值. 2.(2017·浙江高考·T7)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是() 【解析】选D.由导函数的图象可知函数在(-∞,0)上是先减后增,在(0,+∞)上是先增后减再增,故选D. 3.(2017·山东高考文科·T10)若函数g(x)=e x f(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称f(x)具有M性质,下列函数中具有M性质的是() A.f(x)=2-x B.f(x)=x2 C.f(x)=3-x D.f(x)=cosx 【命题意图】本题考查函数的单调性的判断及导数的应用,意在考查考生应用已有知识分析问题、解决问题的能力. 【解析】选A.A中,g(x)=e x2-x= 2x e?? ???,因为 2 e >1,所以g(x)单调递增,所以f(x)具有M性质, 满足题意,故选A; B中,g(x)=e x x2,则g'(x)=e x x(x+2),所以g(x)在(-2,0)上单调递减,所以f(x)不具有M性质,不满足题意; C中,g(x)=e x3-x= 3x e?? ???,因为0< 3 e <1,所以g(x)单调递减,所以f(x)不具有M性质,不满足题 意; D中,g(x)=e x cosx,则g'(x)=e x(cosx-sinx),所以g(x)在 5 , 44 ππ ?? ? ?? 上单调递减,所以f(x)不具 有M性质,不满足题意. 二、填空题 4.(2017·江苏高考·T11)已知函数f(x)=x3-2x+e x-错误!未找到引用源。,其中e是自然对数的底数,若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是. 【命题意图】考查利用函数性质解不等式,如何利用函数的性质把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式,根据函数的单调性去掉“f”,转化为具体的不等式(组)是重点.突出考查考生的应变能力. 【解析】因为f'(x)=3x2-2+e x+e-x≥3x2-2+2错误!未找到引用源。≥0,所以函数f(x)在R上单调递增,因为f(-x) 2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1,(全国1理1)已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<,,则M N = A .}{43x x -<< B .}42{x x -<<- C .}{22x x -<< D .}{23x x << 2,(全国1文2)已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===,,,则U B A = A .{}1,6 B .{}1,7 C .{}6,7 D .{}1,6,7 3,(全国2理1)设集合A ={x |x 2–5x +6>0},B ={x |x –1<0},则A ∩B = A .(–∞,1) B .(–2,1) C .(–3,–1) D .(3,+∞) 4,(全国2文1)已知集合={|1}A x x >-,{|2}B x x =<,则A ∩B = A .(-1,+∞) B .(-∞,2) C .(-1,2) D .? 5,(全国3文、理1)已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤,,则A B = A .{}1,0,1- B .{}0,1 C .{}1,1- D .{}0,1,2 6,(北京文,1)已知集合A ={x |–1 2013年全国高考理科数学试题分类汇编2:函数 一、选择题 1 .(2013年高考江西卷(理))函数 的定义域为 A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1] 【答案】D 2 .(2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案))若 a b c <<,则函数 ()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间( ) A.(),a b 和(),b c 内 B.(),a -∞和(),a b 内 C.(),b c 和(),c +∞内 D.(),a -∞和(),c +∞内 【答案】A 3 .(2013年上海市春季高考数学试卷(含答案))函数 1 2 ()f x x - =的大致图像是( ) 【答案】A 4 .(2013年高考四川卷(理)) 设函数 ()f x =(a R ∈,e 为自然对数的底数).若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =,则a 的取值范围是( ) (A)[1,]e (B)1 [,-11]e -, (C)[1,1]e + (D)1 [-1,1]e e -+ 【答案】A 5 .(2013年高考新课标1(理))已知函数()f x =22,0ln(1),0x x x x x ?-+≤?+>? ,若|()f x |≥ax ,则a 的取值范围是 A.(,0]-∞ B.(,1]-∞ C.[2,1]- D.[2,0]- 【答案】D 6 .(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对))函数 ()()21=log 10f x x x ?? +> ??? 的反函数()1=f x - 2013年全国高考理科数学试题分类汇编1:集合 一、选择题 1 .(2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案))已知全集 {}1,2,3,4U =,集合{}=12A ,,{}=23B ,,则 ()=U A B ( ) A.{}134, , B.{}34, C. {}3 D. {}4 【答案】D 2 .(2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版))已知集合 {}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=,则 A.()01, B.(]02, C.()1,2 D.(]12, 【答案】D 3 .(2013年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案))已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 【答案】D 4 .(2013年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯WORD 版))设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( ) A.* ,A N B N == B.{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C.{|01},A x x B R =<<= D.,A Z B Q == 【答案】D 5 .(2013 年高考上海卷(理))设常数a R ∈,集合 {|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ?=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】B. 6 .(2013年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案))已知集合 A ={0,1,2},则集合 B ={},x y x A y A -∈∈中元素的个数是 (A) 1 (B) 3 (C)5 (D)9 【答案】C 题08 数列 1.【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知4505S a ==,,则 A .25n a n =- B . 310n a n =- C .2 28n S n n =- D .2 122 n S n n = - 【答案】A 【解析】由题知,415 144302 45d S a a a d ? =+??=???=+=?,解得132a d =-??=?,∴25n a n =-,2 4n S n n =-,故选A . 【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式,渗透方程思想与数学计算等素养.利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程,解出首项与公差,再适当计算即可做了判断. 2.【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15,且53134a a a =+,则3a = A .16 B .8 C .4 D .2 【答案】C 【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ,则23111142 111 15 34a a q a q a q a q a q a ?+++=?=+?, 解得11,2 a q =??=?,2 314a a q ∴==,故选C . 【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量,熟练应用公式是解题的关键. 3.【2019年高考浙江卷】设a ,b ∈R ,数列{a n }满足a 1=a ,a n +1=a n 2 +b ,n *∈N ,则 A . 当101 ,102 b a = > B . 当101 ,104 b a = > C . 当102,10b a =-> D . 当104,10b a =-> 【答案】A 【解析】①当b =0时,取a =0,则0,n a n * =∈N . 2020年高考数学分类汇编:函数、导数及其应用 4. Logistic 模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域,有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I (t 的单位:天)的Logistic 模型:()() 0.23531t K I t e --= +, 其中K 为的最大确诊病例数.当() 0.95I t K *=时,标志着已初步遏制疫情,则t *约为(ln19≈3) A.60 B.63 C.66 D.69 4. Logistic 模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域,有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I (t 的单位:天)的Logistic 模型:()() 0.23531t K I t e --= +, 其中K 为最大确诊病例数.当() 0.95I t K *=时,标志着已初步遏制疫情,则t *约为(In19≈3) A.60 B.63 C.66 D.69 6.基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律,指数增长率r 与R 0,T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28,T =6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A .1.2天 B .1.8天 C .2.5天 D .3.5天 8.若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减,且f (2)=0,则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是 A .[)1,1][3,-+∞ B .3,1][,[01]-- C .[)1,0][1,-+∞ D .1,0]3][[1,- 应用题 1.(四川理9)某运输公司有12名驾驶员和19名工人,有8辆载重量为10吨的甲型卡车和 7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往A 地至少72吨的货物,派用的每辆车虚满载且只运送一次.派用的每辆甲型卡车虚配2名工人,运送一次可得利润450元;派用的每辆乙型卡车虚配1名工人,运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润z= A .4650元 B .4700元 C .4900元 D .5000元 【答案】C 【解析】由题意设派甲,乙,x y 辆,则利润450350z x y =+,得约束条件 08071210672219 x y x y x y x y ≤≤??≤≤?? +≤??+≥?+≤??画 出可行域在12219x y x y +≤??+≤?的点7 5x y =??=?代入目标函数4900z = 2.(湖北理10)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少, 这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M (单位:太贝克) 与时间t (单位:年)满足函数关系:30 0()2 t M t M - =,其中M 0为t=0时铯137的含量。已知t=30时,铯137含量的变化率是-10In2(太贝克/年),则M (60)= A .5太贝克 B .75In2太贝克 C .150In2太贝克 D .150太贝克 【答案】D 3.(北京理)。根据统计,一名工作组装第x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为 ??? ??? ? ≥<=A x A c A x x c x f ,,,)((A ,C 为常数)。已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A 件产品用时15分钟,那么C 和A 的值分别是 A .75,25 B .75,16 C .60,25 D .60,16 【答案】D 4.(陕西理)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距 10米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为 (米)。 【答案】2000 5.(湖北理)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等 差数列,上面4节的容积共为3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为 升。 【答案】67 66 6.(湖北理)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下,大 桥上的车流速度v (单位:千米/小时)是车流密度x (单位:辆/千米)的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20 辆/千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明;当20200x ≤≤时,车流速度v 是车流密度x 的一次函数. 函数的综合及其应用 一、选择题 1.(2017天津)已知函数23,1, ()2 , 1.x x x f x x x x ?-+? =?+>? ? ≤设a ∈R ,若关于x 的不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立,则a 的取值范围是 A .47[,2]16 - B .4739 [,]1616- C .[- D .39 []16 - A 【解析】解法一 根据题意,作出()f x 的大致图象,如图所示 当1x ≤时,若要()| |2x f x a +≥恒成立,结合图象,只需2 3()2 x x x a -+-+≥,即2302x x a -++≥,故对于方程2302x x a -++=,21 ()4(3)02a ?=--+≤,解得 4716a -≥;当1x >时,若要()||2x f x a +≥恒成立,结合图象,只需22 x x a x ++≥, 即22x a x +≥,又222x x +≥,当且仅当2 2x x =,即2x =时等号成立,所以2a ≤,综上,a 的取值范围是47 [,2]16 - .选A . 解法二 由题意()f x 的最小值为114,此时12 x =.不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立 等价于11 | |24 x a +≤在R 上恒成立. 当a =-1 2 x = ,11|| |28x -=>,不符合,排除C 、D ; 当3916a = 时,令12x =,394311 ||||216168 x +=>,不符合,排除B .选A . 二、填空题 x 1.(2017山东)若函数e ()x f x (e=2.71828L ,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单 调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是 . ①()2 x f x -= ②2 ()f x x = ③()3 x f x -= ④()cos f x x = ①④【解析】①()2()2 x x x x e e f x e -=?=在R 上单调递增,故()2x f x -=具有M 性质; ②()3()3 x x x x e e f x e -=?=在R 上单调递减,故()3x f x -=不具有M 性质; ③3 ()x x e f x e x =?,令3 ()x g x e x =?,则3 2 2()3(2)x x x g x e x e x x e x '=?+?=+, ∴当2x >-时,()0g x '>,当2x <-时,()0g x '<, ∴3()x x e f x e x =?在(),2-∞-上单调递减,在()2,-+∞上单调递增, 故()3 f x x =不具有M 性质; ④2 ()(2)x x e f x e x =+,令()() 22x g x e x =+, 则22 ()(2)2[(1)1]0x x x g x e x e x e x '=++?=++>, ∴2()(2)x x e f x e x =+在R 上单调递增,故2()2f x x =+具有M 性质. 2.(2017江苏)设()f x 是定义在R 且周期为1的函数,在区间[0,1)上,2,(),x x D f x x x D ?∈=? ??其中集合1 {|,}n D x x n n -==∈*N ,则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 . 8【解析】由于,则需考虑的情况, 在此范围内,且时,设,且互质, 若,则由,可设,且,m n 互质, 因此,则,此时左边为整数,右边为非整数,矛盾, 因此, ()[0,1)f x ∈110x ≤ 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.(2018 全国卷 1 理科)设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = ( ) A.0 B. 1 C.1 D. 2 2(2018 全国卷 2 理科) 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3(2018 全国卷 3 理科) (1 + i )(2 - i ) = ( ) A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4(2018 北京卷理科)在复平面内,复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5(2018 天津卷理科) i 是虚数单位,复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6(2018 江苏卷)若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ,其中 i 是虚数单位,则 z 的实部为 . 7(2018 上海卷)已知复数 z 满足(1+ i )z = 1- 7i (i 是虚数单位),则∣z ∣= . 2 集合 1.(2018 全国卷1 理科)已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =() A. {x | -1 天津市近五年高考数学真题分类汇总
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