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新题库--第二章 第17节:2007年高考数学分类详解----函数与导数

新题库--第二章 第17节:2007年高考数学分类详解----函数与导数
新题库--第二章 第17节:2007年高考数学分类详解----函数与导数

2007年高考数学试题分类详解

函数与导数

一.选择题

1、(全国1文理8)设1a >,函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为

1

2

,则a =

A B .2 C . D .4

解:设1a >,函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之分别为log 2,log 1a a a a =,它们的差为

12,∴ 1

log 22

a =,a =4,选D 。 2、(全国1文理9)()f x ,()g x 是定义在R 上的函数,()()()h x f x g x =+,则“()f x ,()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的

A .充要条件

B .充分而不必要的条件

C .必要而不充分的条件

D .既不充分也不必要的条件

解:()f x ,()g x 是定义在R 上的函数,()()()h x f x g x =+,若“()f x ,()g x 均为偶函数”,则“()h x 为偶函数”,而反之若“()h x 为偶函数”,则“()f x ,()g x 不一定均为偶函数”,所以“()f x ,()g x 均为偶函数”,是“()h x 为偶函数”是充分而不必要的条件,选B 。

3、(山东文理)给出下列三个等式:()()()()()()f xy f x f y f x y f x f y =++=,,

()()

()1()()

f x f y f x y f x f y ++=

-.下列函数中不满足其中任何一个等式的是

A .()3x

f x = B .()sin f x x =

C .2()log f x x =

D .()tan f x x =

解:依据指、对数函数的性质可以发现A 满足()()()f x y f x f y +=,C 满足()()()f xy f x f y =+,

而D 满足()()

()1()()

f x f y f x y f x f y ++=

-,B 不满足其中任何一个等式. B

4、(山东文11)设函数3

y x =与2

12x y -??= ?

??

的图象的交点为00()x y ,,则0x 所在的区间是 A .(01),

B .(12),

C .(23),

D .(34),

解:令3

2()2x

g x x -=-,可求得:(0)0,(1)0,(2)0,(3)0,g g g g <<>>(4)0g >。易知函数()g x 的

零点所在区间为(12),。B .

5、(广东理4文5)客车从甲地以60km/h 的速度行驶1小时到达乙地,在乙地停留了半小时,然后以80km/h 的速度行驶1小时到达丙地,下列描述客车从甲地出发,经过乙地,最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间的关系图象中,正确的是

解:依题意的关键字眼“以80km /h 的速度匀速行驶l 小时到达丙地”选得答案(C). 6、(天津5)

函数)

2log 2(0)y x =+>的反函数是

A.142(2)x x y x +=->

B.142(1)x x y x +=->

C.242(2)x x y x +=->

D.242(1)x x y x +=->

解:原函数过(4,1)-故反函数过(1,4)-从而排除A 、B 、D ,故选C

7、(天津理7) 在R 上定义的函数()f x 是偶函数,且()f x (2)f x =-.若()f x 在区间[1,2]上是减函数,则()f x

A.在区间[2,1]--上是增函数,在区间[3,4]上是减函数

B.在区间[2,1]--上是增函数,在区间[3,4]上是减函数

C.在区间[2,1]--上是减函数,在区间[3,4]上是增函数

D.在区间[2,1]--上是减函数,在区间[3,4]上是增函数

解:由()(2)f x f x =-可知()f x 图象关于x 1=对称,又因为()f x 为偶函数图象关于0x =对称,可得到()f x 为周期函数且最小正周期为2,结合()f x 在区间[1,2]上是减函数,可得如右()f x 草图.故选B

8、(天津理9) 设,,a b c 均为正数,且11222

112log ,log ,log ,22b c

a

a b c ????=== ? ?????则

A.a b c <<

B.c b a <<

C.c a b <<

D.b a c <<

解:由12

2log a

a =可知0a >21a

?>121log 102a a ?>?<<,由121log 2b

b ??

= ???可知

0b >?12

0log 1b <<112b ?<<,由21log 2c

c ??

= ???可知0c >20log 112c c ?<

从而a b c <<.故选A

9、(天津文4)设12

log 3a =,0.2

13b ??

= ???,1

32c =,则

A .a b c <<

B .c b a <<

C .c a b <<

D .b a c <<

解:∵由指、对函数的性质可知:1122

log 3log 10a =<=,0.2

1013b ??

<=< ?

??,1

3

21c =>,

∴有a b c <<.

10、(天津文5)函数2log (4)(0)y x x =+>的反函数是

A .24(2)x

y x =+> B .24(0)x

y x =+> C .24(2)x y x =->

D .24(0)x

y x =->

解:由2log (4)y x =+得42y

x +=,即24y

x =-,故反函数是24x

y =-,再根据原函数的值域为反 函数的定义域则有: ∵0x >,则44x +>,∴2log (4)2y x =+>,故反函数的定义域为2x >,则有

24(2)x y x =->.

11、(天津文10)设()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时,2

()f x x =,若对任意的[]2x t t ∈+,,

不等式()2()f x t f x +≥恒成立,则实数t 的取值范围是

A .)

+∞

B .[)2+,∞

C .(]02,

D .1???-?

??

解:(排除法)当t =

则2x ?∈?得(2()f x f x ≥,

即222

(220x x x ≥?--≤在2x ?∈?

时恒成立,而22x --最大值,是当

2x =时出现,故22x --的最大值为0, 则()2()f x t f x +≥恒成立,排除B,C 项,同理再验证

1t =-时, ()2()f x t f x +≥不成立,故排除D 项. A

12、(广东文3)若函数f(x)=x 3(x ∈R),则函数y=f(-x)在其定义域上是 A .单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数 C .单凋递增的偶函数 D .单涮递增的奇函数

解: 函数3

()y f x x =-=-单调递减且为奇函数,选(B).

13、(山东理4) 设11,1,,32

a ?

?∈-???

?

,则使函数y x α

=的定义域为R 且为奇函数的所有α值为 (A )1,3 (B ) 1,1- (C )1,3- (D ) 1,1,3- 解: 观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项。A 14、(全国2理4)以下四个数中的最大者是

(A) (ln2)2

(B) ln(ln2)

(C) ln 2

(D) ln2

解:∵ 0ln 21<<,∴ ln(ln2)<0,(ln2)2< ln2,而ln 2=2

1

ln2

(A)),0[,)(2

+∞∈=x x x f (B)),(,)(3

+∞-∞∈=x x x f (C) ),(,)(3-∞+∞∈=x e x f

(D) ),0(,1

)(+∞∈=

x x

x f 解:下列函数中,反函数是其自身的函数为),0(,1

)(+∞∈=x x

x f ,选D 。 16、(安徽文7)图中的图象所表示的函数的解析式为

(A)|1|2

3

-=

x y (0≤x ≤2) (B) |1|23

23--=x y

(0≤x ≤2) (C) |1|2

3

--=x y

(0≤x ≤2)

(D) |1|1--=x y (0≤x ≤2)

解:图中的图象所表示的函数当0≤x≤1时,它的解析式为32x y =,当1

32

y x =-+,∴解析式为|1|2

3

23--=

x y (0≤x ≤2),选B 。 17、(安徽文理11) 定义在R 上的函数f (x )既是奇函数,又是周期函数,T 是它的一个正周期.若将方程f (x )=0在闭区[-T ,T ]上的根的个数记为n ,则n 可能为

(A)0 (B)1 (C)3 (D)5

解:定义在R 上的函数)(x f 是奇函数,(0)0f =,又是周期函数,T 是它的一个正周期, ∴()()0f T f T =-=,()()()()2222T T T T f f f T f -

=-=-+=,∴()()022

T T

f f -==,则n 可能为5,选D 。

18、(安徽理1)下列函数中,反函数是其自身的函数为

(A)[)+∞∈=,0,)(3

x x x f (B )[)+∞∞-∈=,,)(3x x x f

(C)),(,)(+∞-∞∈=x c x f x

(D)),0(,1

)(+∞∈=x x

x f 解:在下列函数中,反函数是其自身的函数为),0(,1

)(+∞∈=

x x

x f ,选D 。 19、(北京文理2)函数()3(02)x

f x x =<≤的反函数的定义域为

A.(0)+∞,

B.(19],

C.(01),

D.[9)+∞,

解:函数()3(02)x

f x x =<≤的反函数的定义域为原函数的值域,原函数的值域为(19],,∴ 选B 。

20、(北京文8)对于函数①()2f x x =+,②2()(2)f x x =-,③()cos(2)f x x =-,判断如下两个命

题的真假:

命题甲:(2)f x +是偶函数;命题乙:()f x 在()-∞2,上是减函数,在(2)+∞,上是增函数; 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是 A.①② B.①③ C.②

D.③

解:对于函数①()2f x x =+,函数(2)|4|f x x +=+不是偶函数,对于函数③()cos(2)f x x =-,是一个周期函数,周期是2π,不可能在()-∞2,上是减函数,在(2)+∞,上是增函数;所以函数①③都不符合条件,只有函数②2

()(2)f x x =-,能使命题甲、乙均为真,选C 。

21、(北京理8)对于函数①()lg(21)f x x =-+,②2

()(2)f x x =-,③()cos(2)f x x =+,判断如下

三个命题的真假:

命题甲:(2)f x +是偶函数;命题乙:()f x 在()-∞2,上是减函数,在(2)+∞,上是增函数; 命题丙:(2)()f x f x +-在()-∞+∞,上是增函数.能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是 A.①③

B.①②

C.③

D.②

解:函数①()lg(21)f x x =-+,函数(2)f x +=lg(||1)x +是偶函数;且()f x 在()-∞2,上是减函数,在(2)+∞,上是增函数;但对命题丙:(2)()f x f x +-=||1

lg(||1)lg(|2|1)lg

|2|1

x x x x ++--+=-+在

x ∈(-∞,0)时,(||1)12

lg

lg lg (1)(|2|1)213

x x x x x +-+==+-+-+-为减函数,排除函数①,对于函数③,

()cos(2)f x x =+函数(2)cos(2)f x x +=+不是偶函数,

排除函数③,只有函数②2

()(2)f x x =-符合要求,选D

22、(江苏6)设函数()f x 定义在实数集上,它的图像关于直线1x =对称,且当1x ≥时,()31x

f x =-,则有

A .132()()()323f f f <<

B .231

()()()323f f f <<

C .213()()()332f f f <<

D .321()()()233f f f <<

解:利用对称性,三点到直线1x =距离越远越大B

23、(江苏8)设2

()lg()1f x a x

=+-是奇函数,则使()0f x <的x 的取值范围是

A .(1,0)-

B .(0,1)

C .(,0)-∞

D .(,0)(1,)-∞+∞

解:由10)0(-==a f 得,011lg )(<-+=x x x f 得??????

?<-+>-+1

11011x

x x

x

,01<<-∴x , 选A.

24、(福建理7)已知f(x)为R 上的减函数,则满足f(|

x

1

|)

1|

|1

>x 解得01<<-x 或0

(f x

f >的实数x 的取值范围是

A.(-∞,1)

B.(1,+∞)

C.(-∞,0)?(0,1)

D.(-∞,0)?(1,+?∞)

解:由已知得

11

解得01,选D 26、(湖南理6文8)函数2

441()431x x f x x x x -?=?-+>?

, ≤,,的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是 A .4 B .3 C .2 D .1

解:由图像易知交点共有3个。B. 27、(湖南理7)下列四个命题中,不正确...

的是 A .若函数()f x 在0x x =处连续,则0

lim ()lim ()x x x x f x f x +-=→→

B .函数22

()4

x f x x +=

-的不连续点是2x =和2x =- C .若函数()f x 、()g x 满足lim[()()]0x f x g x ∞

-=→,则lim ()lim ()x x f x g x ∞

=→→

D

.1

1

2

x =→ 解:lim ()lim ()x x f x g x ∞

=→→的前提是lim ()lim ()x x f x g x ∞∞

→→与必须都存在!C.

28、(江西理2)32

1lim 1

x x x x →--

A.等于0

B.等于1

C.等于3

D.不存在

解: 321lim 1

x x x x →--=1lim 2

1=→x x ,选B

29、(江西文3)函数1()lg

4

x

f x x -=-的定义域为 A.(14), B.[14), C.(1)(4)-∞+∞ ,

, D.(1](4)-∞+∞ ,,

解:

10(1)(4)0,1 4.4

x

x x x x ->?--<∴<<-选A.

30、(湖北文4)函数y=1

21

2-+r x (x <0)的反函数是

A.y=log 211-+x x (x<-1)

B.y =log 21

1-+x x (x>1)

C.y=log 21

1+-x x

(x<-1) D.y =log 21

1+-x x (x>1)

解:由y=1

212-+r x (x <0)得y<-1且11log 1122

-+=?-+=y y x y y x

(y<-1),所以所求的反函数为y=log 21

1-+x x (x<-1),故选A

31、(浙江理10)设21()1x x f x x x ??=?

≥,,

,()g x 是二次函数,若(())f g x 的值域是[)0+,

∞,则()g x 的值域是

A .(][)11--+ ∞,,∞

B .(][)10--+ ∞,,∞

C .[)0+,

D .[)1+,

∞ 解:要()f μ的值域是[)0+,

∞,则[)(,1]0.μ-∞-+ 可取,∞又()g x 是二次函数,定义域连续,故()g x 不可能同时[)(,1]0.-∞-+取和,∞

结合选项只能选C. 32、(重庆理9)已知定义域为R 的函数f(x)在),8(+∞上为减函数,且函数y=f(x+8)函数为偶函数,则

A.f(6)>f(7)

B.f(6)>f(9)

C.f(7)>f(9)

D.f(7)>f(10)

解: y=f(x+8)为偶函数,(8)(8).f x f x ?+=-+即()y f x =关于直线8x =对称。又f(x)在),8(+∞上为减函数,故在(,8)-∞上为增函数, 检验知选D 。

33、(重庆文10)设P (3,1)为二次函数2

()2(1)f x ax ax b x =-+≥的图象与其反函数)(1

x f f -=的图

象的一个交点,则 (A )2

5

,21==

b a (B )2

5

,21-==b a

(C )25

,21=-=b a

(D )2

5

,21-=-=b a

解:P (3,1)为二次函数2

()2(1)f x ax ax b x =-+≥上的点,196.a a b =-+又P (3,1)为反函数上的点,则P (1,3)在原函数上,32.a a b ?=-+ 联立解得15

,.22

a b =-

= 34、(辽宁文理2)若函数()y f x =的反函数图象过点(15),,则函数()y f x =的图象必过点

A .(11),

B .(15),

C .(51),

D .(55),

解:根据反函数定义知反函数图像过(1,5),则原函数图像过点(5,1),选C 35、(辽宁文9)函数212

log (56)y x x =-+的单调增区间为

A .5

2??+∞ ???

B .(3)+∞,

C .52?

?-∞ ???

D .(2)-∞,

解:定义域为(2)-∞,∪(3)+∞,,排除A 、C ,根据复合函数的单调性知212

log (56)y x x =-+的单调

增区间为(2)-∞,,选D

36、(四川文理2)函数2()1log f x x =+与1

()2

x g x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是

解:注意 1

(1)()22x x g x -+--==的图象是由2x y -=的图象右移1而得.本题考查函数图象的平移法

则.选C .

37、(四川理3)2211

lim 21

x x x x →-=--

(A )0 (B )1 (C )12 (D )23

解: 原式11(1)(1)12lim

lim (1)(21)213x x x x x x x x →→+-+===-++或原式122lim 413

x x x →==-.选D .

38、(陕西文理8)若函数f(x)的反函数为f )(1

x -,则函数f(x-1)与f )1(1

--x 的图象可能是

解:函数f(x-1)与f )1(1

--x 的图象是f (x )与f )(1

x -的图象向右平移一个单位得到。选A 39、(陕西文2)函数21lg )(x x f -=的定义域为

(A )[0,1] (B )(-1,1)

(C )[-1,1] (D )(-∞,-1)∪(1,+∞) 解:由1-x 2>0得-1

(A )

3

3

21v v v ++

(B )3

1113

21v v v ++ (C )3321v v v

(D )

3

211113

v v v ++

解:设三个连续时段为t 1,t 2,t 3,各时段的增长量相等,设为M ,则M= v 1 t 1= v 2 t 2=v 3 t 3,整个时段内的平均增长速度为

3213

2133v M v M v M M t t t M ++=

++=3

211113

v v v ++,选D. 二、填空题

1、(全国1文理14)函数()y f x =的图象与函数3log (0)y x

x =>的图象关于直线y x =对称,则

()f x =____________.

解:函数()y f x =的图象与函数3log (0)y x

x =>的图象关于直线y x =对称,则()f x 与函数

3log (0)y x

x =>互为反函数,()f x =3()x x ∈R 。

2、(山东文13)设函数1()f x =1

122

23()(),x f x x f x x -==,,则123(((2007)))f f f =____________.

解: 1

22

21

21

123121(((2007)))((2007))((2007))((2007))f f f f f f --===1

2007-=。

3、(北京文14)已知函数()f x ,()g x 分别由下表给出

则[(1)]f g 的值为

;当[()]2g f x =时,x =____________.

解:[(1)]f g =(3)1f =;当[()]2g f x =时,()2f x =,x =1. 4、(北京理14)已知函数()f x ,()g x 分别由下表给出

则[(1)]f g 的值为

;满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是

解:[(1)]f g =(3)1f =;当x=1时,[(1)]1,[(1)](1)3f g g f g ===,不满足条件, 当x=2时,[(2)](2)3,[(2)](3)1f g f g f g ====,满足条件,当x=3时,

[(3)](1)1,[(3)](1)3f g f g f g ====,不满足条件,∴只有x=2时,符合条件。

5、(江苏13)已知函数3

()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ,则M m -= ____________.

解:)4(3123)('22

-=-=x x x f ,[][][]递减,递增在,,,在223223)(---∴x f ,

8)2(,24)2(-===-=f N f M ,得M m -= 32.

6、(上海理1)函数()()lg 43

x f x x -=

-的定义域为____________.

解: 40

30x x ->??

-≠?

,∴{}34≠

7、(上海理3)函数()1

x f x x =

-的反函数()1

f x -=____________. 解: 由(1)11x y y x y x y =

?=≠?--()111

x

f x x x -=≠-()

. 8、(上海理4)方程96370x

x

-?-=的解是____________.

解:2

(3)63703731x x

x

x

-?-=?==-或(舍去),3log 7x ∴=。 9、(上海文1)方程9

1

3

1

=

-x 的解是 . 解:121

3

31219

x x x --=

=?-=-?=-. 10、(上海文2)函数1

1)(-=x x f 的反函数=-)(1

x f .

解:由11(0)1y y x y x y +=

?=≠?-()11

0x f x x x

-+=≠()

. 11、(上海文8)某工程由A B C D ,,,四道工序组成,完成它们需用时间依次为254x ,,,天.四道工序的先后顺序及相互关系是:A B ,可以同时开工;A 完成后,C 可以开工;B C ,完成后,D 可以开工.若该工程总时数为9天,则完成工序C 需要的天数x 最大是____________.

解: 因为A 完成后,C 才可以开工,C 完成后,D 才可以开工,完成A 、C 、D 需用时间依次为24x ,,天,且A B ,可以同时开工,该工程总时数为9天,max max 2493x x ∴++=?=。 12、(湖南文13) 若23

23

4

0,,log 9a a a >=

=则 . 解:由943

2=a 得3

23)32()94(==a ,所以3)32(log log 33

232==a

13、(江西理13)设函数24log (1)(3)y x x =+-≥,则其反函数的定义域为

解:反函数的定义即为原函数的值域,由x≥3得x-1≥2,所以1)1(log 2≥-x ,所以y≥5,反函数的定义域为[5,+∞),填[5,+∞).

14、(江西文15)已知函数()y f x =存在反函数1

()y f x -=,若函数(1)y f x =+的图象经过点(31),,

则函数1

()y f

x -=的图象必经过点

解:若函数(1)y f x =+的图象经过点(31),,则有1

1(31)(4)1(1) 4.

f f f -=+?=?=所以函数1()y f x -=的图象必经过点(14),.

15、(湖北理11)已知函数2y x a =-的反函数是3y bx =+,则a = ;b = .

解:由互反函数点之间的对称关系,取特殊点求解。在3y bx =+上取点()0,3,得点()3,0 在

2y x a =-上,故得6a =;又26y x =-上有点()0,6-,则点()6,0-在3y bx =+上, 故得1.2

b =

16、(湖北文理15)为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每 立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比;

药物释放完毕后,y 与t 的函数关系式为116t a

y -??

= ?

??

(a 为常数),

如图所示.据图中提供的信息,回答下列问题:

(I )从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y (毫克)与时

间t (小时)之间的函数关系式为 ; (II )据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,

学生方可进教室,那么, 药物释放开始,至少需要经过____________.小时后,学生才能回到教室.

解: (I )由题意和图示,当00.1t ≤≤时,可设y kt =(k 为待定系数),由于点()0,1,1在直线上,

10k ∴=;同理,当0.1t >时,可得0.111

10.101610

a

a a -??=?-=?= ?

??

,()()

1

101000.1 10.116t t t y t -≤≤???=???>? ?

???

? (II )由题意可得10.254y ≤=,即得110400.1t t ?≤???≤≤?或1

10111640.1

t t -????≤ ?????>?1040t ?≤≤或0.6t ≥,由题意至少需要经过0.6小时后,学生才能回到教室.

17、(浙江文11)函数()2

21

x y x R x =∈+的值域是______________.

解:注意到2

0x ≥,故可以先解出2

x ,再利用函数的有界性求出函数值域。由221x y x =+,得2

1y x y

=-,

01y

y

≥-,解之得01y ≤<; 18、(海、宁理14)设函数(1)()

()x x a f x x

++=

为奇函数,则a =____________.

解:(1)(1)02(1)00, 1.f f a a +-=?++=∴=-

19、(海、宁文14)设函数()(1)()f x x x a =++为偶函数,则a =____________.

解:(1)(1)2(1)0, 1.f f a a =-?+=∴=- 20、(重庆文16

)函数()f x =

的最小值为 。

解:2

2

20

2040.41540x x x x x x x x x x ?-≥≥≤??∴?∴≥≤??≥≤-+≥??

?或或或

[4,),(),()(4)1x f x f x f ∈+∞?≥=+又时单调递增(,0],(),()(0)044;x f x f x f ∈-∞?≥=+=而时单调递减

故最小值为1+

21、(辽宁文13)已知函数()y f x =为奇函数,若(3)(2)1f f -=,则(2)(3)f f ---=____________.

解:由函数()y f x =为奇函数得(2)(3)f f ---=(3)(2)1f f -=. 21、(四川理13)若函数2

()()x f x e

μ--=(e 是自然对数的底数)的最大值是m ,且()f x 是偶函数,则

m μ+=____________.

解:1m =,0n =,∴1m μ+=.

22、(陕西理)=??? ??---++→112

1

2lim 21x x x x x ____________.

解:3121)2)(1(21211212lim lim lim 1

12

1=+=+---+=??? ??---++→→→x x x x x x x x x x x x .

三、解答题

1、(07广东) 已知a 是实数,函数()a x ax x f --+=3222

,如果函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点,

求a 的取值范围.

解:若0a =,()23f x x =- ,显然在[]1,1-上没有零点, ∴0a ≠. 令()2

48382440a a a a ?=++=++=, 解得

32

a -±=

.

① 当

a =

时, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上; ② 当()()()()05111<--=?-a a f f ,即15a <<时,()y f x =在[]1,1-上也恰有一个零点.

③ 当()y f x =在[]1,1-上有两个零点时, 则 ()()208244011121010a a a a f f >???=++>??-<-

1121010a a a a f f

??=++>??-<-

?

-≤?

,

解得5a ≥

或a <

综上所求实数a 的取值范围是 1a > 或

32

a -≤

. 2、(07北京)已知集合{})2(,,,,321≥=k a a a a A k 其中),,2,1(k i Z a i =∈,由A 中的元素构成两个相应的集合(){}A b a A b A a b a S ∈+∈∈=,,,,(){}

A b a A b A a b a T ∈-∈∈=,,,,其中()b a ,是有序实数对,集合T S 和的元素个数分别为n m ,.若对于任意的A a A a ?-∈,总有,则称集合A 具有性质P . (Ⅰ)检验集合{}3,2,1,0与{}3,2,1-是否具有性质P ,并对其中具有性质P 的集合写出相应的集合

T S 和;

(Ⅱ)对任何具有性质P 的集合A ,证明:()2

1-≤

k k n ;

(Ⅲ)判断n m 和的大小关系,并证明你的结论.

解:(Ⅰ)集合{}3,2,1,0不具有性质P ,{}3,2,1-具有性质P ,其相应的集合T S 和是

()(){}()(){}3,2,1,2,1.3,3,1-=--=T S ;

(Ⅱ)首先由A 中的元素构成的有序实数对共有2

k 个,因为()T a a A i i ∈∈,,0),,2,1(k i =,

又因为当A a A a ?-∈时,

,所以当()()

T a a T a a i j j i ?∈,,时,),,2,1(k i =,于是集合T 中的元素的个数最多为()

()121212-=-=

k k k k n ,即()2

1-≤

k k n . (Ⅲ)n m =,证明如下:

① 对于()S b a ∈,,根据定义()T b b a A b a A b A a ∈+∈+∈∈,,,从而,则,如果()()d c b a ,,与是

S 中的不同元素,那么d b c a ==与中至少有一个不成立,于是d c b a +=+与d b =中至少有一个不成

立,故()b b a ,+与()d d c ,+也是T 中的不同元素.可见S 中的元素个数不多于T 中的元素个数,即n m ≤;

② 对于()T b a ∈,,根据定义()S b b a A b a A b A a ∈-∈-∈∈,,,从而,则,如果()()d c b a ,,与是

T 中的不同元素,那么d b c a ==与中至少有一个不成立,于是d c b a -=-与d b =中至少有一个不成

立,故()b b a ,-与()d d c ,-也是S 中的不同元素.可见T 中的元素个数不多于S 中的元素个数,即m n ≤. 由①②可知n m =.

3、(07上海)已知函数()),0(2R a x x

a

x x f ∈≠+

=. (1)判断函数()x f 的奇偶性; (2)若()x f 在区间[)+∞,2是增函数,求实数a 的取值范围。 解:(1)当0=a 时,()2

x x f =为偶函数;当0≠a 时,()x f 既不是奇函数也不是偶函数.

(2)设212≥>x x ,()()2

2

212

121x a x x a x x f x f -

-+

=-()[]a x x x x x x x x -+-=21212121, 由212≥>x x 得()162121>+x x x x ,0,02121><-x x x x ,要使()x f 在区间[)+∞,2是增函数只需

()()021<-x f x f ,即()02121>-+a x x x x 恒成立,则16≤a 。

另解(导数法):()22'x

a

x x f -=,要使()x f 在区间[)+∞,2是增函数,只需当2≥x 时,()0'≥x f 恒成立,即022

≥-

x

a x ,则[)+∞∈≤,1623

x a 恒成立,故当16≤a 时,()x f 在区间[)+∞,2是增函数。 4、(重庆理)已知函数c bx x ax x f -+=4

4

ln )((x>0)在x = 1处取得极值c --3,其中a,b,c 为常数。 (1)试确定a,b 的值; (2)讨论函数f(x)的单调区间; (3)若对任意x>0,不等式2

2)(c x f -≥恒成立,求c 的取值范围。

解:(I )由题意知(1)3f c =--,因此3b c c -=--,从而3b =-.又对()f x 求导 得()34

3

41

ln 4'bx x

ax x ax x f +?

+=3(4ln 4)x a x a b =++.由题意(1)0f '=,因此40a b +=,解得12a =.

(II )由(I )知3

()48ln f x x x '=(0x >),令()0f x '=,解得1x =.

当01x <<时,()0f x '<,此时()f x 为减函数;当1x >时,()0f x '>,此时()f x 为增函数. 因此()f x 的单调递减区间为(01),,而()f x 的单调递增区间为(1)+,∞.

(III )由(II )知,()f x 在1x =处取得极小值(1)3f c =--,此极小值也是最小值,要使2

()2f x c

-≥

(0x >)恒成立,只需232c c ---≥.即2

230c c --≥,从而(23)(1)0c c -+≥,解得3

2

c ≥ 或1c -≤.所以c 的取值范围为3(1]2??-∞-+∞????

,,.

5、(浙江理)设3()3x f x =,对任意实数t ,记2

32

()3

t g x t x t =-.

(I )求函数()()t y f x g x =-的单调区间;

(II )求证:(ⅰ)当0x >时,()f x g ()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立;

(ⅱ)有且仅有一个正实数0x ,使得00()()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立.

解:(I )316433x y x =-+.由240y x '=-=,得2x =±.因为当(2)x ∈-∞-,时,y '>0,当

(22)x ∈-,时,0y '<,当(2)x ∈+∞,时,0y '>,故所求函数的单调递增区间是(2)-∞-,,(2)+∞,;

单调递减区间是(22)-,.

(II )(i )令2332

()()()(0)33

t x h x f x g x t x t x =-=-+>

,则22

3

()h x x t '=-,当0t >时,由()0h x '=,

得1

3

x t =,当1

3

()x x ∈+∞时,()0h x '>,所以()h x 在(0)+∞,

内的最小值是13

()0h t =.故当0x >时,()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立.

方法二:对任意固定的0x >,令2

3

2()()(0)3t h t g x t x t t ==->,则1

1

332()()3

h t t x t -'=-,

由()0h t '=,得3t x =.当30t x <<时,()0h t '>.当3t x >时,()0h t '<,所以当3

t x =时,()h t 取得最大值3

3

1()3h x x =

.因此当0x >时,()()f x g x ≥对任意正实数t 成立. (ii )8

(2)(2)3

t f g ==.由(i )得,(2)(2)t t g g ≥对任意正实数t 成立.即存在正实数02x =,使得

(2)(2)x t g g ≥对任意正实数t 成立.下面证明0x 的唯一性:当02x ≠,00x >,8t =时,

300()3x f x =,0016()43x g x x =-,由(i )得,30016433x x >-,再取3

0t x =,得30

300()3x x g x =,所以

30

3

000016()4()33

x x x g x x g x =-<=,即02x ≠时,不满足00()()x t g x g x ≥对任意0t >都成立.

故有且仅有一个正实数02x =,使得00()0()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立.

方法二:对任意00x >,0016()43x g x x =-,因为0()t g x 关于t 的最大值是301

3

x ,所以要使00()()x t g x g x ≥对任意正实数成立的充分必要条件是:300161

433

x x -≥,即200(2)(4)0x x -+≤,

①又因为00x >,不等式①成立的充分必要条件是02x =,所以有且仅有一个正实数02x =,使得

00()()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立.

6、(天津理)已知函数2221

()()1

ax a f x x x -+=∈+R ,其中a ∈R .

(Ⅰ)当1a =时,求曲线()y f x =在点(2(2))f ,处的切线方程; (Ⅱ)当0a ≠时,求函数()f x 的单调区间与极值.

解:(Ⅰ)当1a =时,22()1x f x x =+,4

(2)5

f =,又222222

2(1)2222()(1)(1)x x x x f x x x +--'==++·,6(2)25f '=-

.∴曲线()y f x =在点(2(2))f ,处的切线方程为46

(2)525

y x -=--, 即62320x y +-=.

(Ⅱ)222222

2(1)2(21)2()(1)

()(1)(1)

a x x ax a x a ax f x x x +--+--+'==++.由于0a ≠,以下分两种情况讨论. (1)当0a >时,令()0f x '=,得11

x =-

,2x a =.当x 变化时,()()f x f x ',的变化情况如下表:

所以()f x 在区间1a ??-- ??

?,

∞,()a +,∞内为减函数,在区间1a a ??

- ?

??

,内为增函数.函数()f x 在11x a =-处取得极小值1f a ??-

???,且21f a a ??-=- ?

??

,函数()f x 在21x a =处取得极大值()f a ,且()1f a =. (2)当0a <时,令()0f x '=,得121

x a x a

==-

,,当x 变化时,()()f x f x ',的变化情况如下表:

所以()f x 在区间()a -,∞,1

a ??- ???,+∞内为增函数,在区间1a a ??

-

???

,内为减函数.

函数()f x 在1x a =处取得极大值()f a ,且()1f a =.函数()f x 在21

x a

=-

处取得极小值1f a ??- ???

,且21f a a ??

-=- ???

. 7、(四川理)设函数1()1(,1,)n

f x n N n x N n ??

=+∈>∈ ???且.

(Ⅰ)当x =6时,求n

n ??

?

??+11的展开式中二项式系数最大的项;

(Ⅱ)对任意的实数x ,

证明

2

)

2()2(f x f +>);)()()((的导函数是x f x f x f ''

(Ⅲ)是否存在N a ∈,使得an <∑-???

?

?+n

k k 111<n a )1(+恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a 的值;若不存在,请说明理由.

解:(Ⅰ)展开式中二项式系数最大的项是第4项,这项是3

35

6

3120

1C n n ??= ???

(Ⅱ)因()()22112211n f x f n n ????

+=+++ ? ?????

11211n

n n ??

??

=+?+ ? ???

??

121n n ??>+ ???1121ln 12n n ????>++ ? ?????()'1121ln 12n

f x n n ????≥++= ? ?????

证法二:因()()22

112211n

f x f n n ????+=+++ ? ?????≥11211n

n n ??

??

=+?+ ?

???

??

而()'

11221ln 1n

f x n n ????=++ ? ?????故只需对11n ??+ ???和1ln 1n ??

+ ???

进行比较。

令()()ln 1g x x x x =-≥,有()'

111x g x x x -=-

=,由1

0x x

-=,得1x =.因为当01x <<时,

()'0g x <,()g x 单调递减;当1x <<+∞时,()'0g x >,()g x 单调递增,所以在1x =处()g x 有极

小值1,故当1x >时,()()11g x g >=,从而有ln 1x x ->,亦即ln 1ln x x x >+>,

故有111ln 1n n ????+

>+ ? ?????

恒成立。所以()()()'

222f x f f x +≥,原不等式成立。 (Ⅲ)对m N ∈,且1m >有2

012111111m

k

m

k m m m m m m C C C C C m m m m m ??????????+=+++++++ ? ? ? ? ???????????

()()()()2

111121111112!!!k

m

m m m m m k m m m k m m m ---+-???????

=+++++++ ? ? ???????

11112111121111112!!!k m m k m m m m m m --????????????=+

-++---++-- ? ??? ? ? ?????????????

1111

22!3!!!

k m <+

+++++

()()11112213211k k m m <++++++??-- 111111

12122311k k m m ????????=+-+-++-++- ? ? ? ?--???????? 133m =-<

又因()102,3,4,,k

k m

C k m m ??>= ??? ,故1213m

m ??<+< ???∵1213m

m ?

?<+< ???

从而有11213k

n

k n n k =??<+< ???∑成立,即存在2a =,使得11213k

n

k n n k =??

<+< ??

?∑恒成立。

8、(陕西理)设函数f (x )=,2

2

a

ax x c ++其中a 为实数. (Ⅰ)若f (x )的定义域为R ,求a 的取值范围; (Ⅱ)当f (x )的定义域为R 时,求f (x )的单减区间.

解:(Ⅰ)()f x 的定义域为R ,2

0x ax a ∴++≠恒成立,2

40a a ∴?=-<,04a ∴<<,即当

04a <<时()f x 的定义域为R .

(Ⅱ)22

(2)e ()()x x x a f x x ax a +-'=++,令()0f x '≤,得(2)0xx a +-≤.由()0f x '=,

得0x =或2x a =-,又04a << ,02a ∴<<时,由()0f x '<得02x a <<-;当2a =时,()0f x '≥;当24a <<时,由()0f x '<得20a x -<<,即当02a <<时,()f x 的单调减区间为(02)a -,;当24a <<时,()f x 的单调减区间为(20)a -,.

9、(山东理)设函数2

()ln(1)f x x b x =++,其中0b ≠.

(Ⅰ)当1

2

b >

时,判断函数()f x 在定义域上的单调性; (Ⅱ)求函数()f x 的极值点; (Ⅲ)证明对任意的正整数n ,不等式23111

ln 1n n n

??+>-

???都成立. 解:(I) 函数2

()ln(1)f x x b x =++的定义域为()1,-+∞.222'()211

b x x b

f x x x x ++=+=

++, 令2

()22g x x x b =++,则()g x 在1,2??-+∞ ???上递增,在11,2?

?-- ??

?上递减,min 11()()22g x g b =-=-+.

当12b >

时,min 1()02g x b =-+>,2()220g x x x b =++>在()1,-+∞上恒成立.'

()0,f x ∴> 即当1

2

b >时,函数()f x 在定义域()1,-+∞上单调递增。

(II )分以下几种情形讨论:(1)由(I )知当1

2

b >时函数()f x 无极值点.

(2)当1

2

b =

时,2

12()

2'()1x f x x +

=+,11,2x ??∴∈-- ???时,'()0,f x >1,2x ??∈-+∞ ?

??

时,

'()0,f x >1

2

b ∴=

时,函数()f x 在()1,-+∞上无极值点。 (3)当12

b <

时,解'

()0f x =

得两个不同解112x -=

,212x -+=.当0b <

时,

1112x -=

<-

,2112

x -+=>-,

()()121,,1,,x x ∴?-+∞∈-+∞此时()f x 在()1,-+∞

上有唯一的极小值点2x =

.当102

b <<时,()12,1,,x x ∈-+∞'

()f x 在()()121,,,x x -+∞都

大于0 ,'

()f x 在12(,)x x 上小于0 ,此时()f x

有一个极大值点1x =

和一个极小值点

212

x -=

.

综上可知:0b <时,()f x 在()1,-+∞

上有唯一的极小值点212x -=

;1

02

b <<时,()f x 有

一个极大值点112x --=

和一个极小值点212x -+=;1

2

b ≥时,函数()f x 在()1,-+∞上

无极值点。

(III ) 当1b =-时,2()ln(1).f x x x =-+令332

()()ln(1),h x x f x x x x =-=-++

则32

'

3(1)()1

x x h x x +-=+在[)0,+∞上恒正,()h x ∴在[)0,+∞上单调递增,当()0,x ∈+∞时,恒有

()(0)0

h x h >=.即当()0,x ∈+∞时,有32ln(1)0,x x x -++>23

ln(1)x x x +>-,对任意正整数n ,取1x n =

得23111

ln(1)n n n

+>- 10、(全国卷二理)已知函数3

()f x x x =-.

(1)求曲线()y f x =在点(())M t f t ,处的切线方程;

(2)设0a >,如果过点()a b ,可作曲线()y f x =的三条切线,证明:()a b f a -<<

解:(1)()f x 的导数2

()31x x f '=-.曲线()y f x =在点(())M t f t ,处的切线方程为:

()()()y f t f t x t '-=-,即23(31)2y t x t =--.

(2)如果有一条切线过点()a b ,,则存在t ,使2

3

(31)2b t a t =--.若过点()a b ,可作曲线()y f x =的三条切线,则方程3

2

230t at a b -++=有三个相异的实数根.记3

2

()23g t t at a b =-++,则

2()66g t t at '=-6()t t a =-.当t 变化时,()()g t g t ',变化情况如下表:

由()g t 的单调性,当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时,方程()0g t =最多有一个实数根; 当0a b +=时,解方程()0g t =得302

a

t t ==

,,即方程()0g t =只有两个相异的实数根; 当()0b f a -=时,解方程()0g t =得2

a

t t a =-=,,即方程()0g t =只有两个相异的实数根.

综上,如果过()a b ,可作曲线()y f x =三条切线,即()0g t =有三个相异的实数根,则0()0.

a b b f a +>??-

11、(全国卷一理)设函数()e e x

x

f x -=-.

(Ⅰ)证明:()f x 的导数()2f x '≥; (Ⅱ)若对所有0x ≥都有()f x ax ≥,求a 的取值范围.

天津市近五年高考数学真题分类汇总

天津市近五年高考数学试题分类汇总 [2011 ?天津卷]i是虚数单位,复数1 3i 1 i = C. 1 2i A. 2 i B. 2 i 【答案】A. 1 3i 【解析】'3i(1 3i)(1 i) 42i2 i. 1 i(1 i)(1 i)2 【2010】(1) i是虚数单位,复数 1 3i( 1 2i (A)1 + i(B)5+ 5i (C)-5-5i(D)-1 —i 5i 【2009,1】i是虚数单位,5=( ) 2 i (A) 1+2i(B) -1-2i(C) 1-2i 选择题1:—复数 【考点定位】本小题考查复数的运算,基础 题。) D. 1 2i (D) -1+2i 解析:旦5^ 2 i 5 1 2i,故选择D o 【2008 】 1. ?3 i是虚数单位i i 1() i是虚数单位,i1 (A) 1 (B) 1(C) i(D) i A 【2007】 2i3 1.i是虚数单位,——() 1 i A.1i B.1 i C.1 【答 案】 C 【分 析】2i32i3(1 i)2i(1 i)i 1,故选C 1i (1 i)(1 i)2 D. 1 i 2 (1)i 3 1,i 4 i,i1 复数运算技巧: 4n i 1,i 4n 1 4n 2 i,i 4n 3 hi n n 1n 2n 3 ■ i■ i■ i■ i0 复数概念、复数运算、共轭复数、复数几何意义。 (2)(1 i)2 2i

i i A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 .1 i i,r _ i ⑷设 -1+凋 3 2 1, — 2 3 , 0 2 , 选择题 2: 充要条件与命题 [2011 ? 天津卷]设x,y R,则 2 2 “x 2 且 y 2 ”是“ x y 4 的 充分而不必要条件 A . B .必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D .即不充分也不必要条件 【答案 】A 【解 析 】当x 2且y 2时, 「疋有x y 4 ;反过来当 【2010】(3)命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是 (A) 若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数 (B) 若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数 (C) 若f(-x)是奇函数,贝U f(x)是奇函数 (D) 若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数 B 【2009】(3)命题“存在x 0 R , 2x0 0”的否定是 (A )不存在 x 0 R, 2x0 >0 (B )存在 X 。R, 2x0 0 (C )对任意的x R, 2x 0 (D )对任意的x R, 2x >0 【考点定位】本小考查四种命题的改写,基础题。 解析:由题否定即“不存在 x 0 R ,使2x0 0”,故选择D o 【2007 】3." —"是"ta n 2cos — "的 3 2 x 2 y 2 4,不一定有x 2且y 2,例如x 4, y 0也可以,故选A 【2008】(4)设 a,b 是两条直线, 是两个平面,则a b 的一个充分条件是 C (A) a , b 〃 , (C) a ,b , // (B) a ,b , // (D) a ,b 〃 ,

历年高考数学试题分类汇编

2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一. 选择题: 1.(福建卷11)又曲线22 221x y a b ==(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点,且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.(海南卷11)已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上,那么点P 到点Q (2,-1)的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为( A ) A. ( 4 1 ,-1) B. (4 1 ,1) C. (1,2) D. (1,-2) 3.(湖北卷10)如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子: ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a <22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.(湖南卷8)若双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)

高考数学试题分类大全

2015年高考数学试题分类汇编及答案解析(22个专题) 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲.................................................................................................................................

2008年高考数学试题分类汇编——函数与导数

2008年高考数学试题分类汇编 函数与导数 一. 选择题: 1.(全国一1 )函数y = C ) A .{}|0x x ≥ B .{}|1x x ≥ C .{}{}|10x x ≥ D .{}|01x x ≤≤ 2.(全国一2)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数,其图像可能是( A ) 3.(全国一6)若函数(1)y f x =- 的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称,则()f x =( B ) A .21x e - B .2x e C .21x e + D .22x e + 4.(全国一7)设曲线11x y x += -在点(32),处的切线与直线10ax y ++=垂直,则a =( D ) A .2 B .12 C .12- D .2- 5.(全国一9)设奇函数()f x 在(0)+∞, 上为增函数,且(1)0f =,则不等式()()0f x f x x --<的解集为( D ) A .(10)(1)-+∞ ,, B .(1)(01)-∞- , , C .(1)(1)-∞-+∞ ,, D .(10)(01)- , , 6.(全国二3)函数1()f x x x = -的图像关于( C ) A .y 轴对称 B . 直线x y -=对称 A . B . C . D .

C . 坐标原点对称 D . 直线x y =对称 8.(全国二4)若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===,,,,,则( C ) A .a > B .b a c >> C .c a b >> D .b c a >> 10.(北京卷3)“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的( B ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 11.(四川卷10)设()()sin f x x ω?=+,其中0ω>,则()f x 是偶函数的充要条件是( D ) (A)()01f = (B)()00f = (C)()'01f = (D)()'00f = 12.(四川卷11)设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=,若()12f =,则()99f =( C ) (A)13 (B)2 (C)132 (D)213 13.(天津卷3)函数1y =04x ≤≤)的反函数是A (A )2(1)y x =-(13x ≤≤) (B )2(1)y x =-(04x ≤≤) (C )21y x =-(13x ≤≤) (D )21y x =-(04x ≤≤) 14.(天津卷10)设1a >,若对于任意的[,2]x a a ∈,都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=,这时 a 的取值集合为B (A )2{|1}a a <≤ (B ){|}2a a ≥ (C )3|}2{a a ≤≤ (D ){2,3} 15.(安徽卷7)0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的( B ) A .必要不充分条件 B .充分不必要条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 16.(安徽卷9)在同一平面直角坐标系中,函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称。而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称,若()1f m =-,

2018-2020三年高考数学分类汇编

专题一 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合 2018------2020年 1.(2020?北京卷)已知集合{1,0,1,2}A =-,{|03}B x x =<<,则A B =( ). A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.(2020?全国1卷)设集合A ={x |x 2–4≤0},B ={x |2x +a ≤0},且A ∩B ={x |–2≤x ≤1},则a =( ) A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.(2020?全国2卷)已知集合U ={?2,?1,0,1,2,3},A ={?1,0,1},B ={1,2},则()U A B ?=( ) A. {?2,3} B. {?2,2,3} C. {?2,?1,0,3} D. {?2,?1,0,2,3} 4.(2020?全国3卷)已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ,{(,)|8}B x y x y =+=,则A B 中元素的个数为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.(2020?江苏卷)已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=,则A B =_____. 6.(2020?新全国1山东)设集合A ={x |1≤x ≤3},B ={x |2

2017年高考理科数学分类汇编 导数

导数 1.【2017课标II ,理11】若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点,则()f x 的极小值为( ) A.1- B.32e -- C.35e - D.1 【答案】A 【解析】()()2121e x f x x a x a -'??=+++-??? , 则()()324221e 01f a a a -'-=-++-?=?=-????, 则()()211e x f x x x -=--?,()()212e x f x x x -'=+-?, 令()0f x '=,得2x =-或1x =, 当2x <-或1x >时,()0f x '>, 当21x -<<时,()0f x '<, 则()f x 极小值为()11f =-. 【考点】 函数的极值;函数的单调性 【名师点睛】(1)可导函数y =f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)=0,且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同。 (2)若f (x )在(a ,b )内有极值,那么f (x )在(a ,b )内绝不是单调函数,即在某区间上单调增或减的函数没有极值。 2.【2017课标3,理11】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点,则a = A .12- B .13 C .12 D .1 【答案】C 【解析】由条件,211()2(e e )x x f x x x a --+=-++,得: 221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e ) 4442(e e )2(e e ) x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++ ∴(2)()f x f x -=,即1x =为()f x 的对称轴, 由题意,()f x 有唯一零点, ∴()f x 的零点只能为1x =, 即21111(1)121(e e )0f a --+=-?++=, 解得12 a =. 【考点】 函数的零点;导函数研究函数的单调性,分类讨论的数学思想 【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围,若方程可解,通过解方程即可得出参数的

2017年高考数学分类题库1

、最值 一、选择题 1.(2017·全国甲卷理科·T11)若x=-2是函数f(x)=(2x+ax-1)1x e-的极值点,则f(x)的极小值为() A.-1 B.-23 e- D.1 e- C.53 【命题意图】导数研究函数的单调性,极值与最值以及不等式的解法.通过求极小值意在考查学生单调性与导数的关系,以及运算能力. 【解析】选A.由题可得f'(x)=(2x+a)1x e-+(2x+ax-1)1x e-=[2x+(a+2)x+a-1]1x e-, 因为f'(-2)=0,所以a=-1,f(x)=(2x-x-1)1x e-,故f'(x)=(2x+x-2)1x e-, 令f'(x)>0,解得x<-2或x>1,所以f(x)在(-∞,-2)和(1,+∞)上单调递增,在(-2,1)上单调递减,所以f(x)极小值=f(1)=(1-1-1)11 e-=-1. 【方法技巧】求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义区间,求导数f'(x). (2)求f(x)的拐点,即求方程f'(x)=0的根. (3)利用f'(x)与f(x)随x的变化情况表,根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值. 2.(2017·浙江高考·T7)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是() 【解析】选D.由导函数的图象可知函数在(-∞,0)上是先减后增,在(0,+∞)上是先增后减再增,故选D.

3.(2017·山东高考文科·T10)若函数g(x)=e x f(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称f(x)具有M性质,下列函数中具有M性质的是() A.f(x)=2-x B.f(x)=x2 C.f(x)=3-x D.f(x)=cosx 【命题意图】本题考查函数的单调性的判断及导数的应用,意在考查考生应用已有知识分析问题、解决问题的能力. 【解析】选A.A中,g(x)=e x2-x= 2x e?? ???,因为 2 e >1,所以g(x)单调递增,所以f(x)具有M性质, 满足题意,故选A; B中,g(x)=e x x2,则g'(x)=e x x(x+2),所以g(x)在(-2,0)上单调递减,所以f(x)不具有M性质,不满足题意; C中,g(x)=e x3-x= 3x e?? ???,因为0< 3 e <1,所以g(x)单调递减,所以f(x)不具有M性质,不满足题 意; D中,g(x)=e x cosx,则g'(x)=e x(cosx-sinx),所以g(x)在 5 , 44 ππ ?? ? ?? 上单调递减,所以f(x)不具 有M性质,不满足题意. 二、填空题 4.(2017·江苏高考·T11)已知函数f(x)=x3-2x+e x-错误!未找到引用源。,其中e是自然对数的底数,若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是. 【命题意图】考查利用函数性质解不等式,如何利用函数的性质把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式,根据函数的单调性去掉“f”,转化为具体的不等式(组)是重点.突出考查考生的应变能力. 【解析】因为f'(x)=3x2-2+e x+e-x≥3x2-2+2错误!未找到引用源。≥0,所以函数f(x)在R上单调递增,因为f(-x)

2019-2020高考数学试题分类汇编

2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1,(全国1理1)已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<,,则M N = A .}{43x x -<< B .}42{x x -<<- C .}{22x x -<< D .}{23x x << 2,(全国1文2)已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===,,,则U B A = A .{}1,6 B .{}1,7 C .{}6,7 D .{}1,6,7 3,(全国2理1)设集合A ={x |x 2–5x +6>0},B ={x |x –1<0},则A ∩B = A .(–∞,1) B .(–2,1) C .(–3,–1) D .(3,+∞) 4,(全国2文1)已知集合={|1}A x x >-,{|2}B x x =<,则A ∩B = A .(-1,+∞) B .(-∞,2) C .(-1,2) D .? 5,(全国3文、理1)已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤,,则A B = A .{}1,0,1- B .{}0,1 C .{}1,1- D .{}0,1,2 6,(北京文,1)已知集合A ={x |–11},则A ∪B = (A )(–1,1) (B )(1,2) (C )(–1,+∞) (D )(1,+∞) 7,(天津文、理,1)设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈≤∈R ,则A B = . 10,(上海1)已知集合{1A =,2,3,4,5},{3B =,5,6},则A B = . 一、 集合(2020) 1.(2020?北京卷)已知集合{1,0,1,2}A =-,{|03}B x x =<<,则A B =( ). A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.(2020?全国1卷)设集合A ={x |x 2–4≤0},B ={x |2x +a ≤0},且A ∩B ={x |–2≤x ≤1},则 a =( ) A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.(2020?全国2卷)已知集合U ={?2,?1,0,1,2,3},A ={?1,0,1},B ={1,2},则()U A B ?=( ) A. {?2,3} B. {?2,2,3} C. {?2,?1,0,3} D. {?2,?1,0,2,3} 4.(2020?全国3卷)已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ,{(,)|8}B x y x y =+=,则A B 中元素的个数为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.(2020?江苏卷)已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=,则A B =_____.

全国高考理科数学试题分类汇编:函数

2013年全国高考理科数学试题分类汇编2:函数 一、选择题 1 .(2013年高考江西卷(理))函数 的定义域为 A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1] 【答案】D 2 .(2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案))若 a b c <<,则函数 ()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间( ) A.(),a b 和(),b c 内 B.(),a -∞和(),a b 内 C.(),b c 和(),c +∞内 D.(),a -∞和(),c +∞内 【答案】A 3 .(2013年上海市春季高考数学试卷(含答案))函数 1 2 ()f x x - =的大致图像是( ) 【答案】A 4 .(2013年高考四川卷(理)) 设函数 ()f x =(a R ∈,e 为自然对数的底数).若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =,则a 的取值范围是( ) (A)[1,]e (B)1 [,-11]e -, (C)[1,1]e + (D)1 [-1,1]e e -+ 【答案】A 5 .(2013年高考新课标1(理))已知函数()f x =22,0ln(1),0x x x x x ?-+≤?+>? ,若|()f x |≥ax ,则a 的取值范围是 A.(,0]-∞ B.(,1]-∞ C.[2,1]- D.[2,0]- 【答案】D 6 .(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对))函数 ()()21=log 10f x x x ?? +> ??? 的反函数()1=f x -

高考数学试题分类汇编集合理

2013年全国高考理科数学试题分类汇编1:集合 一、选择题 1 .(2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案))已知全集 {}1,2,3,4U =,集合{}=12A ,,{}=23B ,,则 ()=U A B ( ) A.{}134, , B.{}34, C. {}3 D. {}4 【答案】D 2 .(2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版))已知集合 {}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=,则 A.()01, B.(]02, C.()1,2 D.(]12, 【答案】D 3 .(2013年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案))已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 【答案】D 4 .(2013年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯WORD 版))设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( ) A.* ,A N B N == B.{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C.{|01},A x x B R =<<= D.,A Z B Q == 【答案】D 5 .(2013 年高考上海卷(理))设常数a R ∈,集合 {|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ?=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】B. 6 .(2013年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案))已知集合 A ={0,1,2},则集合 B ={},x y x A y A -∈∈中元素的个数是 (A) 1 (B) 3 (C)5 (D)9 【答案】C

2019年高考理科数学分类汇编:数列(解析版)

题08 数列 1.【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知4505S a ==,,则 A .25n a n =- B . 310n a n =- C .2 28n S n n =- D .2 122 n S n n = - 【答案】A 【解析】由题知,415 144302 45d S a a a d ? =+??=???=+=?,解得132a d =-??=?,∴25n a n =-,2 4n S n n =-,故选A . 【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式,渗透方程思想与数学计算等素养.利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程,解出首项与公差,再适当计算即可做了判断. 2.【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15,且53134a a a =+,则3a = A .16 B .8 C .4 D .2 【答案】C 【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ,则23111142 111 15 34a a q a q a q a q a q a ?+++=?=+?, 解得11,2 a q =??=?,2 314a a q ∴==,故选C . 【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量,熟练应用公式是解题的关键. 3.【2019年高考浙江卷】设a ,b ∈R ,数列{a n }满足a 1=a ,a n +1=a n 2 +b ,n *∈N ,则 A . 当101 ,102 b a = > B . 当101 ,104 b a = > C . 当102,10b a =-> D . 当104,10b a =-> 【答案】A 【解析】①当b =0时,取a =0,则0,n a n * =∈N .

2020年高考数学分类汇编:函数、导数及应用

2020年高考数学分类汇编:函数、导数及其应用 4. Logistic 模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域,有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I (t 的单位:天)的Logistic 模型:()() 0.23531t K I t e --= +, 其中K 为的最大确诊病例数.当() 0.95I t K *=时,标志着已初步遏制疫情,则t *约为(ln19≈3) A.60 B.63 C.66 D.69 4. Logistic 模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域,有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I (t 的单位:天)的Logistic 模型:()() 0.23531t K I t e --= +, 其中K 为最大确诊病例数.当() 0.95I t K *=时,标志着已初步遏制疫情,则t *约为(In19≈3) A.60 B.63 C.66 D.69 6.基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律,指数增长率r 与R 0,T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28,T =6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A .1.2天 B .1.8天 C .2.5天 D .3.5天 8.若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减,且f (2)=0,则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是 A .[)1,1][3,-+∞ B .3,1][,[01]-- C .[)1,0][1,-+∞ D .1,0]3][[1,-

2020年高考数学试题分类汇编 应用题 精品

应用题 1.(四川理9)某运输公司有12名驾驶员和19名工人,有8辆载重量为10吨的甲型卡车和 7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往A 地至少72吨的货物,派用的每辆车虚满载且只运送一次.派用的每辆甲型卡车虚配2名工人,运送一次可得利润450元;派用的每辆乙型卡车虚配1名工人,运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润z= A .4650元 B .4700元 C .4900元 D .5000元 【答案】C 【解析】由题意设派甲,乙,x y 辆,则利润450350z x y =+,得约束条件 08071210672219 x y x y x y x y ≤≤??≤≤?? +≤??+≥?+≤??画 出可行域在12219x y x y +≤??+≤?的点7 5x y =??=?代入目标函数4900z = 2.(湖北理10)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少, 这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M (单位:太贝克) 与时间t (单位:年)满足函数关系:30 0()2 t M t M - =,其中M 0为t=0时铯137的含量。已知t=30时,铯137含量的变化率是-10In2(太贝克/年),则M (60)= A .5太贝克 B .75In2太贝克 C .150In2太贝克 D .150太贝克 【答案】D 3.(北京理)。根据统计,一名工作组装第x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为 ??? ??? ? ≥<=A x A c A x x c x f ,,,)((A ,C 为常数)。已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A 件产品用时15分钟,那么C 和A 的值分别是 A .75,25 B .75,16 C .60,25 D .60,16 【答案】D 4.(陕西理)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距 10米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为 (米)。 【答案】2000 5.(湖北理)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等 差数列,上面4节的容积共为3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为 升。 【答案】67 66 6.(湖北理)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下,大 桥上的车流速度v (单位:千米/小时)是车流密度x (单位:辆/千米)的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20 辆/千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明;当20200x ≤≤时,车流速度v 是车流密度x 的一次函数.

三年高考(2017-2019)理科数学高考真题分类汇总:函数的综合及其应用

函数的综合及其应用 一、选择题 1.(2017天津)已知函数23,1, ()2 , 1.x x x f x x x x ?-+? =?+>? ? ≤设a ∈R ,若关于x 的不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立,则a 的取值范围是 A .47[,2]16 - B .4739 [,]1616- C .[- D .39 []16 - A 【解析】解法一 根据题意,作出()f x 的大致图象,如图所示 当1x ≤时,若要()| |2x f x a +≥恒成立,结合图象,只需2 3()2 x x x a -+-+≥,即2302x x a -++≥,故对于方程2302x x a -++=,21 ()4(3)02a ?=--+≤,解得 4716a -≥;当1x >时,若要()||2x f x a +≥恒成立,结合图象,只需22 x x a x ++≥, 即22x a x +≥,又222x x +≥,当且仅当2 2x x =,即2x =时等号成立,所以2a ≤,综上,a 的取值范围是47 [,2]16 - .选A . 解法二 由题意()f x 的最小值为114,此时12 x =.不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立 等价于11 | |24 x a +≤在R 上恒成立. 当a =-1 2 x = ,11|| |28x -=>,不符合,排除C 、D ; 当3916a = 时,令12x =,394311 ||||216168 x +=>,不符合,排除B .选A . 二、填空题 x

1.(2017山东)若函数e ()x f x (e=2.71828L ,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单 调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是 . ①()2 x f x -= ②2 ()f x x = ③()3 x f x -= ④()cos f x x = ①④【解析】①()2()2 x x x x e e f x e -=?=在R 上单调递增,故()2x f x -=具有M 性质; ②()3()3 x x x x e e f x e -=?=在R 上单调递减,故()3x f x -=不具有M 性质; ③3 ()x x e f x e x =?,令3 ()x g x e x =?,则3 2 2()3(2)x x x g x e x e x x e x '=?+?=+, ∴当2x >-时,()0g x '>,当2x <-时,()0g x '<, ∴3()x x e f x e x =?在(),2-∞-上单调递减,在()2,-+∞上单调递增, 故()3 f x x =不具有M 性质; ④2 ()(2)x x e f x e x =+,令()() 22x g x e x =+, 则22 ()(2)2[(1)1]0x x x g x e x e x e x '=++?=++>, ∴2()(2)x x e f x e x =+在R 上单调递增,故2()2f x x =+具有M 性质. 2.(2017江苏)设()f x 是定义在R 且周期为1的函数,在区间[0,1)上,2,(),x x D f x x x D ?∈=? ??其中集合1 {|,}n D x x n n -==∈*N ,则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 . 8【解析】由于,则需考虑的情况, 在此范围内,且时,设,且互质, 若,则由,可设,且,m n 互质, 因此,则,此时左边为整数,右边为非整数,矛盾, 因此, ()[0,1)f x ∈110x ≤

最新高考数学分类理科汇编

精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月

1.(2018 全国卷 1 理科)设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = ( ) A.0 B. 1 C.1 D. 2 2(2018 全国卷 2 理科) 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3(2018 全国卷 3 理科) (1 + i )(2 - i ) = ( ) A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4(2018 北京卷理科)在复平面内,复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5(2018 天津卷理科) i 是虚数单位,复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6(2018 江苏卷)若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ,其中 i 是虚数单位,则 z 的实部为 . 7(2018 上海卷)已知复数 z 满足(1+ i )z = 1- 7i (i 是虚数单位),则∣z ∣= . 2

集合 1.(2018 全国卷1 理科)已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =() A. {x | -1 2} B. {x | -1 ≤x ≤ 2} D. {x | x ≤-1}Y{x | x ≥ 2} 2(2018 全国卷2 理科)已知集合A={(x,y)x2 元素的个数为() +y2 ≤3,x ∈Z,y ∈Z}则中 A.9 B.8 C.5 D.4 3(2018 全国卷3 理科)已知集合A ={x | x -1≥0},B ={0 ,1,2},则A I B =() A. {0} B.{1} C.{1,2} D.{0 ,1,2} 4(2018 北京卷理科)已知集合A={x||x|<2},B={–2,0,1,2},则A I B =( ) A. {0,1} B.{–1,0,1} C.{–2,0,1,2} D.{–1,0,1,2} 5(2018 天津卷理科)设全集为R,集合A = {x 0

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