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非典SARS 传播模型

SARS传播模型

指导老师：Ms Jiang

参赛队员：哲理何阔广高晓明

SARS传播模型

摘要

本文讨论了SARS疫情的传播规律和对经济方面的影响。

首先本文对题中的早期模型进行了评价，认为其最大的优点是：能较好的描述疫情早期的发展情况，并在理论上可大致预测出疫情的爆发点以便卫生部门及早控制；最大的不足是：原模型在求解过程中参数Ｋ经过多次手工调整，而且L取为一个定值，此做法主观性太强，缺乏普适性。

针对上述模型的不足，本文在原模型基础上进行了改进，在非典传播的全过程中将K表示成一个函数（用Logistic函数表示），根据青岛4月20日以后25个以上的数据对K进行拟合（用30个数据拟合效果较好），确定K的函数关系式，从而得到对整个过程累计病例数和日增病例变化的拟合曲线，发现它与实际情况符合得较好，而且可以再现非典传播的全过程。同时，还对K的取值进行了分析。经计算知，在相同的控制力度下，卫生部门如果提前5天采取措施，累计病例将控制在2000人以下；如果再延后5天，累计病历将至少达到3000多人，甚至可能超过4000人。最后，分析了建立一个真正能预测以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型的最大困难是：因为缺乏前期数据，而不能在比较早的时候得到预测结果。

本文还通过对青岛市1997～2002年各月接待的海外旅游人数的分析并建立了时间序列模型，“预测”出2003年疫情期间本应接待的人数，对比实际接待人数，计算出在非典期间少接待的游客人数约为115万人，经济损失约1.2亿美元，约占正常情况下全年收入的33%.

最后我们给当地报刊写了一篇短文，说明了建立传染病数学模型的重要性。

SARS传播模型

一. 问题重述

SARS是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量的研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。所以本文首先评价了一个已有的早期模型的合理性和实用性，然后在此基础上建立了一个更优的模型并给出了分析，最后建立了SARS对经济某个方面影响的模型。

二.问题分析

（一）通过对早期模型和实际情况的分析，我们认为影响SARS传播因素众多，大致可分为时域因素和地域因素。列举如下：

(1)时域因素

a．媒体宣传：初期疫情较轻，媒体宣传强度很弱，导致民众的自我保护意识不足，容易感染；后期疫情较重，媒体宣传强度很大，民众的自我保护意识大大加强。

b．政府干预：初期疫情较轻，政府介入不足，后期疫情较重，政府加强干预（如：强行隔离，公共场所消毒等行为）。

c．认识程度：当一种新的传染病出现时，初期由于人们的认识程度不足，无法采取有效的预防和治疗措施，但随着研究的深入，认识程度会越来越高。

(2)地域因素

a．经济水平和医学水平：经济水平和医学水平高的地区的疫情控制情况会明显比水平低的地方好。

b．人口密度和人口流动：人口密度和人口流动大的城市若爆发传染病，疫情程度会比人口密度和人口流动小的城市大。

c．气候：SARS适合在春秋两季传播，且各城市的气候会疫情程度。

（二）我们认为在SARS疫情期间考察的人群大致可分为三类：健康人群，感染人群，治愈人群。而感染人群又可分为非传染源和传染源两类。

（三）一个较好的传染病传播模型因该具有如下功能：

a．能较好的描述疫情的大致走势。

b．能较精确的给出关键时间（初期爆发时刻；中期稳定时刻；高峰期；0病例增长的时刻），以便政府和卫生部门针对不同作出及时而正确的措施。

c．能给出描述疫情的指标，以便政府和卫生部门决定其各项工作的力度。

三．基本假设

1．题中所给的数据真实可信。

2．假定疫情爆发后政府一定会采取措施。

3．假定青岛市医院及医务人员足够多。

四．变量说明

N(t) 累计病例数

K 平均每病人每天可传染人数

L 平均每个病人可以直接感染他人的天数

五．早期模型评价

（一）早期模型重述

假定初始时刻的病例数为N 0，平均每病人每天可传染K 个人，平均每个病人可以直接感染他人的时间为L 天。则在L 天之内，累计病例数N(t)随时间t （单位天）的关系是：

K N t N )1()(0+= （1-1）

如果不考虑传染期的限制，病例数将按指数规律增长，考虑传染期的限制后，则采用半模拟循环计算的办法，把达到L 天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉。然后假定从开始至高峰期间均采用同样的K 值（从拟合这一阶段的数据得出），到达高峰期后，在10天的范围内逐步调整K 值到比较小，然后保持不变，拟合其后在控制阶段的全部数据（认为社会在短期剧烈调整后，进入对疫情控制较好的常态）。

（二）早期模型的合理性和实用性的评价 A ．早期模型的优点

1．模型（1-1）实际上是微分方程))()((L t N t N K dt dN

--?=在（0～L ）区间内的

特解[1]。其中N(t)表示t 时刻的累计病例数，则(N(t)-N(t-L))表示传染源数量，为病例总数减去失去传染能力的病例数。

2．参数K 和L 是描述SARS 传播的两个重要参数，并且具有实际的意义：L 可理解为平均每个病人在被发现前后可以造成造成直接传染的期限，在此期限后失去传染作用，可能原因是被隔离、病愈或死去等等。K 表示某种社会条件下平均每病人每天传播的人数（但并非文中所述的一个病人的感染他人的平均概率）。

3．通过对模型的分析，可得到一预测疫情发展的参数R ＝K ×L ，R 表示平均每个病人在其传染期内感染的总人数。若R ＞1，说明社会上现存传染源人数在上升，疫情将因失控而爆发；若R ＜1，说明社会上现存传染源人数在下降，疫情将得到控制；若R ＝1，说明社会上现存传染源人数不变，疫情将持续下去[2]。

4．从拟合的图形来看，此模型对各城市早期的SARS 疫情描述的较好，具有一定的通用性。其实际意义就是此模型可大致预测出疫情的爆发点和发展趋势。因为通过对早期数据的拟合确定参数，得出形如（1-1）的一个指数形式的模型，而指数函数的曲线初期增长较慢，后期增长急速，必可大致找到一个“转折点”，而“转折点”所对应的时间便是预测的疫情爆发点。这一数据对于卫生部门十分重要，因为控制疫情的最好时间是在疫情爆发之前。 B ．早期模型的不足之处

1．首先模型并未给出拟合程度的参数，而当我们试图通过计算得到该模型的拟合程度参数时发现无法进行。原因是原模型求解过程的中间阶段参数K 多次手工调整，而且模型中并未给出调整的标准和相关理论，所以我们很难重复该求解过程。由此我们得出结论：该模型的参数取值主观性太强，此作法给阅读者运用并改进模型带来了极大的困难，所以此模型的普适性较差。

2．在数据不足的情况下因无法进行手工调整，所以该模型用香港后期拟合的K 值去预测青岛后期疫情的发展趋势。但如问题分析所述，地域因素会造成不同地区的K 值不同（如人口密度和人口流动大的城市若爆发传染病，初期的K 值会比人口密度和人口流动小的城市大，等等），而很难找到地域因素几乎相同的两城市。所以此作法可能导致预测结果相差较大。图1为用此方法预测的青岛后期疫情情况与实际情况的对比图

图1

从图中可以看出，预测值与真实值偏差越来越大。对该模型的评价：

该模型具有较好的实际意义，能比较合理的反映非典的传播情况和发展趋势，模型中的参数设置也较科学，能较好地反映非典传播的影响因素；但模型的求解过程主观性太强，很难重现，而且参数的取值也很主观，没有取值的标准和理论。综上所述，我们得到结论：该模型较合理，但不实用。六．SARS 传播模型的建立 1．模型的建立与参数讨论：

假设N(t)为随时间变化的累积SARS 病人总数；K(t)为某一天平均每病人传染他人

的人数（/天），是时间的函数；L 为平均每个病人可传染他人的传染期限（天）；则dt

t dN )(为单位时间（天）内增加的发病的人数，)()(L t N t N --表示第t 天时具有传染能力的

人数，K(t)×(N(t)-N(t-L))就表示t 天时增加的被感染的人数。由上分析得到N(t)的微分方程如下：

))()(()()

(L t N t N t K dt t dN --?= （1）

同时，随着时间的变化，由于外界因素的改变，人均日传染数K(t)也会变化：在疫情初发期，由于人们对SARS 并没有什么认识，更不知道其严重性，所以即使有患病者，该患病者的活动范围也比较大，可能传染的人数也比较多，故人均日传染数K(t)就比较大并且在一定时间内保持基本稳定；当患者越来越多，疫情越来越严重时，SARS 就会受到社会的普遍关注，政府部门也会立即采取强制控制手段来限制疫情的发展，民众自我防范意识在媒体宣传等作用下加强，患病和疑似患病者活动范围受到严格控制，从而人均日传染数K(t)开始快速下降；当人均日传染数K(t)下降到一个较小值之后，由于传染的可能性仍存在，政府部门的控制能力也有一定限度，K(t)的下降速度明显变缓；最后随着累积病例数的稳定，K(t)缓慢降至0。

通过以上分析，可以得到如下的类Logstic 微分方程：

)()

(K M K r dt t dK -?-=，0>r （2）

其中M 为K 的一个上界，r 为衰减系数，它表示K 的变化率与K(M-K)成反比，一方面，K 的变化率与K 本身的大小有关：当K 值很大时，疫情较严重，无论政府干预行为还是民众自我保护行为都很强，所以K 下降很快；当K 很小时，情况相反。另一方面，K 的变化率与的(M-K)大小有关：当(M-K)很小时，K 的下降“空间”很大，对政府干预和民众保护行为很“敏感”，下降的很快；当(M-K)很大时，K 的下降“空间”很小，这时情况相反。

图2就反映了我们上面分析的K 的变化趋势：

图2 人均日传染数K 随时间（3月1号起）的变化图

参数L 可理解为平均每个病人可以造成直接传染的期限，在此期限后他失去传染作用，可能的原因是被严格隔离、病愈不再传染或死去等等。与题目附件一中的讨论一样，我们认为L 与医疗机构有关，取L=20这个具有一定统计意义的值。

综上，我们得到了SARS 传染的微分方程模型如下：

??????

?-?-=--?=)()())()(()()

(K M K r dt t dK L t N t N t K dt

t dN ，),1(+∞∈t 且Z t ∈，L=20

（其中“t=1”指出现第一例病人的时间。） 2．模型的求解： A ．模型推导

求解方程（2），得到人均日传染数K(t)的函数关系式如下：

t r M e c M

K ???-=

1 ，其中),1(+∞∈t 且Z t ∈

其中M 为K 的一个上界，衰减系数r>0，并且由前面的讨论，知当+∞→t 时应有0→K ，故应有参数c<0；则t=1时M K →(M K <)，即M 反映了K 的初值情况，它与K 的初值接近。

可见，只要我们根据一些已知数据求出K(t)的函数关系式中参数M ，c ，r 的值，再求出K(t)的表达式，然后把K 代入N(t)的方程，就可以求出N(t)的值。求解方法如下：

1）用差分方程替代微分方程求N(t)：由（1）式知，相应的差分方程为

))()(()()()1(L t N t N t K t N t N --?=-+

若我们已求出K 的函数式并把它代入差分方程，在L t <(L=20)的阶段，N(t-L)=0，得

到

K N t N )1()(0+?=；在

t ≥的阶段，由递推式

)())()(()()1(t N L t N t N t K t N +--?=+。由此我们可求得每天的累积病例数。

2）参数M ，c ，r 的确定：

下面我们要求出K 具体的函数表达式：由上面K 的函数式可知，M ，c ，r 的同时确定比较困难，可以作如下处理[1]：

a ．先给出一个M 的粗糙估计值：由于题中附件一论文的模型中K 、L 的意义与我们的模型是一致的，并且它对各城市疫情初期进行拟合时都取得了较为满意的效果，故它所取K 的初值K 0具有一定的合理性；而且在初期政府没采取措施的情况下，K 变化并不大。我们可以将K 0作为上界M 的一个初步估计值；

b ．然后根据已知的数据拟合出

c ，r 的值：在M 已定的情况下， K(t)变为如下形式：

由

K K M e c t r M -=

?-??

推出

b t a

c t r M K K

M +?=-+??=-)ln(ln

假设已知对应于连续天数（t 1,t 2,…,t n ）的n 个K 的数据（K 1,K 2,…,K n ），可计算出

相应n 个

K K M -ln

（K ≠0）的值，我们通过线性回归来拟合b

t a K K

M +?=-ln ，采

用最小二乘法计算出a ，b 的值，则c ，r 可由

M a

r e c b =

-=,求得；

其中由上面的差分方程，我们可根据已知的连续m 天的实际累积病例的数据，通过下式求连续的n 个K 值（K 1,K 2,…,K n ）：

)()()

()1()(L t N t N t N t N t K ---+=

可见要确定c ，r 至少需要n=2个K 值，故m 不小于(L+n+1)即23，这就是说我们至少需要知道连续23天的实际累积病例的数据；

c ．把上面求得的M ，c ，r 代入K 的表达式，从而求出的K 具体的表达式；将它代入N(t)的差分方程，由步骤1）可求得与已知连续m 天的数据相应的拟合累积病例值，求出这些拟合的值分别与对应的实际值的差的平方和D ；

d ．在（K 0，K 1）区间内（K 1可取一较大的值）改变M 的值，重复上面b ，c 的操作，找出差值平方和D 的最小者对应的M ，c ，r 的值作为拟合式采用的参数值。

这样，确定出M ，c ，r 的值从而求出K 的具体表达式后，我们按步骤1）就可求出从t=1开始的累积病例数N(t)的所有值。 B ．计算结果（对青岛的拟合与预测）：

1）原早期模型中K 的初值0.13913，所以取M 的粗糙估计值 M=0.13913； 2）我们代入已知的4月20号（t=51）开始到5月19号的30个数据(m=30)，先计算出K 的相应9个值K(71)～K(79)（由上知K 值个数n=m-L-1=9，K 值从（t+L ）天开始算起）；

3）按A 中所述方法，求得1401.0=M ，-710-4.2589

?=c ， 1.6193=r ，从而得到K(t)的函数式：

t r M e c M

K ???-=

t e ??-??+=

6193.11401.07102589.411401

.0，其中),1(+∞∈t 且Z t ∈

把K(t)的函数式代入N(t)的式子，由N(t)的差分递推公式，算出t 从1到115天即从青岛出现第一例病例的3月1号起，到6月23号之间的每日累积病例数（6月23号以前的数据题目中已给出，便于对比），得到如下结果：

a ．计算累积病例数N(t)与实际所给数据近似程度比较好（相差最大是在后部，在100左右），并且最终稳定于2420（人）左右，比实际数据低了100人；在只利用5月19号以前的数据情况下，预测5月15号以后日增病例数会降到10以下，5月末时日增病例数基本为0，这也与实际数据相符；

图3为计算累积病例数N(t)与实际所给数据随时间的变化图：（其中“O ”表示拟合与预测曲线，“*”表示实际数据，拟合的数据从3月1号起到6月23号，实际数据也到6月23号为止）

图3 从3月1号开始的计算累积病例数随时间变化图（第1天为3月1号） b ．从图4中病例数日增量随时间的变化可见，在4月15日左右为疫情的爆发点，在此之前，病例数增长缓慢，在此以后的相当一段时间内，病例数增长很快。拟合显示在4月30号左右为疫情的高峰期，这也与实际数据相符。

图4 拟合数据的日增量（人）随时间变化图（3月1号起）

4）我们还可以尽可能减小利用的数据个数至理论上的23个，但由于实际上的累积病例数存在随机误差，用于计算参数M，c，r的K值也会有随机波动；经试验，最少要利用25个数据（从4月20日起到5月14号）就可以对发展趋势进行计算与预测，此时与实际所给数据的拟合结果比上面拟合得差，但仍能较好地反映数据变化的趋势，仍不失为可行的拟合与预测。

3．模型的分析与参数K的讨论：

1）．人均日传染数K值的分析：

K值在疫情初期变化缓慢，说明民众意识不强，政府也没有足够重视；在疫情爆发阶段开始后，K值迅速减小，体现了政府采取强有力的措施来抑制病情的发展，民众自身防范意识的加强等方面，所以虽然在爆发后的20多天内病例数增长很快，但由于K 值的迅速减小，使得病情在爆发后的1个多月后得到有效抑制，病例数增长明显变慢，最后K值降至0，在5月25号以后累积病例数基本稳定到2420人左右。

K值实际减小的快慢和它的取值情况，说明了政府的控制力度和民众的防范力度，这也涉及到社会经济部门和公共事业的实际发展情况，K越小，由于社会中（包括医院）的经营和流动始终存在，要想再继续减小K的值就越难。当K减小到一定程度后，此后的K值在实际处理上可以取一个比较小的定值代入模型进行计算。

2）．对爆发早期采取严格控制的讨论

由实际数据知，在疫情爆发阶段，每隔5天就会增加500个以上的病例，这个数目是很大的，卫生部门应尽可能早地采取控制措施。对于我们的模型，我们认为提前5天采取严格的隔离措施主要反映在迅速减小人均日传染数K值上，所以对采取控制措施早晚的讨论体现在对K的变化快慢的调整上。

下表显示的是我们调整K的变化速度，从而大值估计出每提前或延后5天所带来的不同结果：

上表中，在4月30号以后才采取严格措施时，较好的情况是累积病例数最后稳定于一个可观数目；较差的情况是累积病例数持续上升，后果可以说不堪设想；

图5显示了在4月25号后采取加强措施后，在较好情况下的累积病例数随时间变

化情况：（“O”表示拟合与模拟曲线，“*”表示实际数据，时间从3月1号起）

图5 在4月25号开始严格控制后累积病例数随时间变化图

由此可见：

在疫情爆发初期阶段，每延迟5天采取严格隔离的措施，最后累积病例数目在控制好的情况下只会增加700左右，并且处于能够控制的范围；但在控制差的情况下，疫情将大面积蔓延，可能造成难以挽回的损失。所以在疫情爆发初期，政府应尽可能地提前采取措施来严格控制疫情的传播，从而大大减小疫情传播范围，这对控制疫情的传播有着至关重要的影响。

3）．对疫情爆发中后期控制情况的讨论：

在疫情爆发的中后期，当人均日传染数K减小到一定程度时，若政府和卫生部门的工作稍有放松，或就让K一直保持某一稳定的水平，则由于累积病例基数大，疫情仍有可能继续快速发展，病例日增速度仍然不会慢，下面给出在某一天以后，K值保持一定的情况下，累积病例数发展状况的大致估计：

a．中期估计：若5月5号后的K值保持在5月5号时的0.06左右，此后的日增病例数将曲折上升（大于原日增病例峰值120），累积病例数也会不断上升并超过7000；

b．后期估计：若5月10号后的K值保持在5月10号时的0.03左右，此后日增病例会由最大值持续缓慢减小至0，在7月前后，最终累积病例数会达到3500左右；

图6显示了在5月10号以后K值保持0.03时累积病例数随时间变化情况：（“O”表示拟合与预测曲线，“*”表示实际数据）

图6 5月10号以后K值不变时累积病例数随时间变化情况

以上数据表明：

a．在爆发阶段的中期，如果卫生部门的控制稍有放松，或就让K一直保持当前控制的水平，最后累积病例数可能大大超过实际数据，疫情将会发展得不可收拾；所以这个时期段卫生部门尤其要抓紧工作，严格隔离，继续努力让人均日传染数K值尽可能减小，最后才不会造成很大的损失；

b．在爆发阶段的后期，如果卫生部门让K一直保持当前控制的水平，则最后累积病例数有可能超过实际数据，但已经比上面的结果好得多；这个时候，卫生部门要继续让人均日传染数K值减小至0已经比较困难，只有尽可能地严格控制，让最后累积病例数尽可能比我们上面估计的3500低。

4）．对疫情平稳阶段复发可能性的讨论：

当疫情基本稳定，累计病例数基本不再上升时，如果放松警惕，人均日传染数K值就又会恢复到疫情爆发阶段的值，这时只要再出现一例病例，疫情就将再度爆发，后果将十分严重；

这说明在疫情已经得到有效抑制后，政府部门一定不能放松警惕，仍然要做好疫情传染的预防与隔离工作，从而在新病例出现时，人均日传染数K将仍在控制之内，疫情就不会再度爆发。

图7是模拟当疫情基本稳定，社会警惕程度恢复到疫情出现以前时，在7月20号以后又出现一例病例后的极端情况。（“O”表示拟和与模拟曲线，“*”表示实际数据）5）．实际累积病例数据的分析：

我们根据中期一部分实际数据进行拟合和预测，发现实际累积病例数据与我们预测基本相符，说明实际上K值由大变小的速度的确很快，疫情传染得到了很有效的控制，表明政府部门在疫情爆发阶段采取的控制工作做得很好，民众自身防范工作也做得很到位，从而青岛在较短时期内有效地控制了非典的传播。通过青岛与香港的数据相比较可

知，青岛的控制工作的确比香港做得还要好。

图7 累积病例数（人）随时间的增长情况（3月1号起）

4．模型的评价：

1）我们建立的模型实际上是对原早期模型的发展与改进，主要改进体现在对人均日传染率K的函数化上面，我们考虑了政府和民众等影响因素，合理地描述了K的变化，从而得到比较好的拟合与预测曲线：由此可见，我们的模型是优于原早期模型的；

2）对于参数L，我们借鉴了原早期模型中L的取值情况，这是因为影响它的因素比较复杂，并且L也与当前医疗水平有关，是一个具有统计意义的参数，我们不便随意改变它的值；

在模型中参数L直接影响了我们用于确定K时所用数据的个数，当然L比较小时所用数据越少；

3）此模型具有一定的普适性，但由于所提供的数据限制，我们只能取疫情爆发后到接近稳定的30来个数据进行拟合与预测；如果我们有前面早期的数据，我们也可以根据它们来计算得到结果。

5．总结：

从上面的分析我们认识到，建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供

可靠、足够信息的模型非常重要。现总结出建立此类模型的步骤：

1）．收集完整而准确的前期数据。

2）．全面分析影响疫情的各种因素，找出各因素之间的关系以及作用的时间段和范围,得出哪些是重要因素，哪些是次要因素。

3）．用曲线拟合前期数据，观察其大致走势（突增，拐点等）并分析其原因。

4）．分析拟合函数的参数值，讨论其是否有实际的意义（如反映疫情的严重程度，爆发点的时刻等）

5）．通过4分析所得的结论，赋予拟合函数的参数实际的意义并较正确的描述参数。 6）．得到完整的预测函数，预测疫情中后期的走势，分析出预防和控制所需的重要数据（如爆发点，疫情高峰时刻，疫情控制时刻，是否可能复发等）

7）．进行参数的灵敏度分析：分析哪些参数可作较大变动，哪些参数只能微调，进一步分析参数变动后对整个疫情走势的影响。反映到实际工作中便是哪些工作必须做到家，丝毫不能放松，那些工作可适当缓一缓。从而给政府和卫生部门安排工作提出宝贵意见。

8）．实时监控疫情走势，采集更多的数据以验证模型和改进模型，若有预料之外的干扰因素出现，应及时修正模型，重新预测其后期走势。

然而在按上述过程建立模型的过程中会遇到很多困难，总结如下：

1）．若要及时建立疫情模型以便指导后期工作，前期数据万分重要，若前期数据不足，则模型的描述

力不够，若数据有误，则可能导致模型偏差很大甚至完全错误，这样便会误导后期的工作安排，后果不堪设想。

2）．影响疫情发展的因素众多，随时可能有意想不到的因素（人为因素和自然因素）出现，造成模型

偏差。人为因素如故意谎报或不报病情等；自然因素如传染病毒变异等。

3）．有些因素很难量化，如政府干预行为对疫情的影响。七．SARS 对旅游业的影响

由于SARS 疫情的爆发，导致期间青岛市接待海外旅游人数锐减，造成了极大的经济损失。现建立模型估计此经济损失。建模思想

本文首先通过对青岛市1997～2002年各月接待海外旅游人数的分析建立起时间序列模型，“预测”出2003年3～8月本应接待的人数，然后用3～8月本应接待的人数减去实际接待人数得到“损失人数”，最后通过分析“损失人数”大致推测出旅游业恢复时间和因疫情导致的经济损失。模型即

经济损失=（本应接待的总人数-实际接待总人数）×人均旅游消费

即 p S S M ?-=?*

∧

)(

为人均消费为实际接待人数，为本应接待的总人数，为经济损失，p S S M *

∧?。

（一）对本应接待人数的分析

1．模型的建立

首先令｛X(t)，t=1,2,3…｝为青岛市1997年后各月接待海外旅游人数的随机序列（例如X(1)为1997年一月接待人数的随机变量，X(13)为1998年一月接待人数的随机变量，以后类推）。

然后分析1997～2002接待人数样本值的走势，发现X(t)具有明显的周期性（周期为12个月），其数学期望也应具有周期性，所以不能认为该序列是平稳时间序列。但可作如下处理，取

X(t)=F(t)+W(t)

其中F(t)表示X(t)中随时间变化的数学期望，此问题中可用周期函数来描述。而

0))(())(())((=-=t F E t X E t W E 且))()((t t W t W E ?+与t 不相关，则W(t)可以用平稳

时间序列来拟合。

而数学期望为0且具有有理谱密度的平稳时间序列必有下三种形式： 1）．自回归模型AR(p)（以下记W(t)为W t ）

p t p t t t a W W W W +?+???+?+?=---φφφ2211 (???=3,2,1t )

其中a t 是白噪声，常数p 为阶数 ,常系数i φ为参数 2）．滑动平均模型MA(q)

t q t t t a a a a W ---???--=θθθ2211 (???=3,2,1t )

常数q 为阶数 ,常系数i θ为参数 3）．混合模型ARMA(p,q)

t q t t p t p t t t a a a a W W W W ------???--=?-???-?-?-θθθφφφ22112211

为了确定模型的类别和阶数，首先给出自相关函数k ρ和偏相关函数kk φ的计算公式。

k ρ由下式得出：

0γγρk

k =

（其中)(k t t k W W E +=γ）

kk φ由下述方程得出

?????????=????????????????????????????????????????????????????--k kk k k k k ρρρφφφρρρρρρ212111

211111

于是可用k ρ和kk φ描述时间序列各模型的性质（如下表）

2．模型的求解

现有青岛市1997～2002年各月接待人数的样本值)722,1(,)(???=∧

t t X

1）．周期函数F(t)的确定

通过对样本值的观察，我们发现样本值具有明显的周期性，周期大致为12（月），且样本值呈逐年递增的趋势，所以我们采用傅立叶级数与线性递增函数和叠加作为周期

函数F(t)。型如

d t c t T n b t T n a t F n n n +?++=∑∞

))2sin()2cos(

()(π

通过曲线拟合确定系数得

7.162.0)2sin(5.3)4sin(6.2)2cos(7.2)4cos(

3.2)(+?+?-??-??-??-=t t T

t T t T t T t F π

πππ（2-1）

拟合图形如图8（其中实线为拟合曲线，虚线为原曲线）

图8 拟合样本值的周期函数图形

2）．平稳时间序列来拟合W(t)

平稳时间序列样本值)72,2,1(),()(W(t)???=-=∧

∧

t t F t X 首先利用样本值求得样本自协方差函数

)

72(2,1,0,72

721

K K k W

W k j k

j j

k ???=?=

∑-=∧+∧

∧

γ，

进一步可得样本自相关函数

)

72(,2,1,0,0

K K k k k ???==

∧

γγρ

而样本偏相关函数kk φ可利用下面的递推公式计算：

?????

????

?????????=?-=???????-????????-==∧--∧++∧∧+-=∧∧=∧∧-+∧+∧++∧

∧∑∑k j j k k k k kj j k k j kj j k j kj j k k k k ,2,1,1)1(,1,1,1111111,1111φφφφφρφρρφρφ

）

图9 k ρ的趋势图图10 kk φ的趋势图

经观察我们发现k ρ明显拖尾，kk φ截尾于k=2，所以我们采用模型AR(2)

即 ∧

∧-∧∧-∧∧+?+?=t t t t a W W W 2211φφ （3-1）

经过计算系数

-0.1787

1(21

211=--=

∧∧

ρρφ

0.0844

121

2122=--=

∧∧∧

∧

ρφ

白噪声a t 的方差7.6714)1(221102=?-?-?=∧

∧∧∧∧

∧ρφρφγσa

，均值为0；

通过公式（3-1）可递推预测未来的),74,73(???=∧

t W t 例如：

∧∧∧∧∧∧+?+?=t a W W W 71272173φφ，∧∧7271,W W 为已有样本值，∧

t a 为正态随机数（预测时不计其

影响）。

3）．模型的结果

预测公式)75,74,73(,W(t)

F(t)X(t)^

=+=∧t （4-1）其中F(t)由式（2-1）算出，^

W(t)由公式（3-1）递推算出。

通过对已有数据的检验，得到平均预报误差小于10%，可认为预报结果较为准确。然后预测得2003年3～8月接待量（假设3月前旅游业未受影响）为27.1 ，30.2 ， 30.4 ，29.3 ，29.7 ，32.4（单位：万人）

同时，我们观察每年同一个月的情况，发现相同月份的值有一个逐渐增大的趋势。所以我们对3到8月的数据分别进行了线性拟合，得到2003年3到8月的游客接待量分别为23.6 ，30.5 ，32.2 ，30.5 ，27.3 ，33.6（单位：万人），发现两种方法预测数据相差不大，最大相差为3.5（万人），平均相差1.7（万人）（取绝对值的均值），证明预测结果很好。

（二）对实际接待人数的分析

用“预测”所得的3～8月应接待人数减去实际接待人数，就得这6各月的“损失人数”，经过分析发现，“损失人数”的走势与传播模型中病例日增量的走势基本相同，但有大约有一个月的延迟。即病例日增量在大约5月初达到峰值，而“损失人数”在6月才达到峰值。这是因为SARS 对其它行业的影响必有一定的滞后性。观察3～8月“损失人数”的散点图和病例日增量图，我们认为用二次曲线拟合“损失人数”较为适合。拟合函数为

7.142.229.22-?+?-=?x x

如图11：

图11 “损失人数”拟合函数图（横坐标为月份，纵坐标为“损失人数”）

分析此图我们发现，大约到9月初“损失人数”才会降到0，即表示大约9月初疫情对旅游业的影响才会消失，恢复到预计水平。

（三）结果分析

3～8月总共“损失人数”大致为114.6万人(三月前旅游业未受影响，9月后旅游业恢复)。假定人均在京消费1035美元（2001年统计数据）[5]，计算得疫情期间总共损失约1.2亿美元。

八．参考文献

[1] 郭东升、吴咏时，《疫情演化方程和对SARS疫情的预测》，

https://www.wendangku.net/doc/dc7932843.html,，2003.9.24

[2] 汪荣鑫，《随机过程》，西安交大出版社，1986.12

[3] 杨位钦，顾岚，《时间序列分析与动态数据建摸》，青岛工业出版社1986.12

[4] 《奥运旅游瞄准》，https://www.wendangku.net/doc/dc7932843.html,/gb/market_daily，2003.9.24

控制传染病，预测靠模型

传染病是由病原体传染而引起的疾病，其传播过程有两个影响因素：社会因素、自然因素；需要三个条件：传染源、传染途径、易感人群。传染病曾经给人们带来巨大的灾难，天花、霍乱等传染病曾吞噬过无数宝贵的生命。最近的一次大规模的传染病是2002年末到2003年初在中国乃至世界爆发的SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症，俗称非典型肺炎）。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响。

古往今来，无数的科学工作者都致力于研究传染病的数学模型，来预测传染病的爆发时间、高峰期、发展趋势，为预防和控制它的传播提供可靠、足够的信息，对采取的措施提出合理的建议。

现在，有人对人们关注青岛的SARS问题建立模型进行分析，计算并预测出了SARS 的发展趋势，说明如果加大控制力度，对非典病人严格隔离，不久后病例的日增长数将

开始下降，SARS将1个多月后日增量将逐渐减小到0，否定了当时有的人认为SARS会无限制传播的错误观点。预测结果如下图所示：

日病例增长随时间变化的图

上图是以3月1日为起点，该图只反映大致趋势。从图中可以看出，该模型预测出SARS的日增病例快速上升的时间为4月15日，高峰期在4月30日左右，5月25日以后累计病例基本稳定到2500人左右，增长缓慢，非典的威胁已经逐渐消除。相信这对青岛政府采取的措施有很大的帮助！青岛政府是在4月20日采取措施对非典进行控制的，此时似乎有点晚了！因为在相同的控制力度下，如果提前5天采取措施，累计病例将控制在2000人以下；但值得庆幸的是，如果再延后5天，累计病历将至少达到3000多人，甚至可能超过4000人。

有人还就非典对青岛旅游业的影响也建立了模型，计算知，非典期间青岛的游客减少了约115万人，经济损失约1.2亿美元，约为正常情况下全年收入的33%，在经济上是个巨大的损失！我们有理由相信，如果青岛在SARS刚出现时就采取相应的措施，现在这样的“灾难”完全可以避免；如果传染病的数学模型能更早建立出来，相信青岛政府采取的措施会更加理智。

通过对青岛SARS的分析，我们可以清楚地看到传染病数学模型在对传染病传播的预防、预测和控制方面有很大的贡献；而且，建立传染病的数学模型，也为我们以后预测和处理类似的情况积累了经验。

附件

附件1：问题2的程序（以下程序均用matlab语言编写）

%程序1寻找最合适的M值

%问题的数据

clear;

a=[339 482 588 693 774 877 988 1114 1199 1347 1440 1553 1636 1741 1803 1897 1960 2049 2136 2177 2227 2265 2304 2347 2370 2388 2405 2420 2434 2437 2444 2444 2456 2465 2490 2499 2504 2512 2514 2517 2520 2521 2522 2522 2522 2522 2522 2522 2523 2522 2522 2522 2523 2523 2522 2522 2522 2521 2521 2521 2521 2521 2521 2521 2521]; %a是题中所给的累计病例数据

for i=1:length(a)-1

b(i)=a(i+1)-a(i);

end

mindd=10e16;

markM=0;markc=0;markr=0;

n0=9;

for M=0.13913:0.0005:0.2 %在一定范围内搜索M值

j=1;

for i=1:n0

kk(i)=(a(21+i)-a(20+i))/(a(20+i)-a(i)); %求已知数据的一串K值if kk(i)~=0

ln(j)=log(M/kk(i)-1);

tt(j)=70+i;

j=j+1;

end

p=polyfit(tt,ln,1); %用线性回归方法计算r，c值

r=p(1)/M;

c=-exp(p(2));

for t=1:160

k(t)=M/(1-c*exp(M*r*t)); %由表达式求出K的所有值

end

%求拟合与预测的累计病例数N(t)之值

n(1)=1;

for t=2:21

n(t)=n(t-1)*(1+k(t));

end

SARS的传播

数学建模作业 SARS的传播成员：章俊龙龚悦峰陆芳婷

摘要本文分析了题目所提供的早期传染病的合理性和实用性。我们认为该模型可以对传染病作出预测，但存在一些不足，首先通过其他地区做预测，忽略了地区的差异，在预测结果上不够准确。其次模型的参数设定缺乏依据，具有一定的主观性，最后混淆了累积患病人数与确诊病例人数的概念，在染病人数的预测上产生了一定的影响。针对早期模型的不足，我们全面分析了传染病的传播机理，将人群分为健康者、病人和病愈免疫移出者三类，构建了SIR模型。建立了病人和健康者所占总人数比例关于时间t的微分方程通过matlab计算得出i-s图形（相轨线）。通过分析，得到制止传染病的蔓延的两种手段为降低日接触率，提高日治愈率和提高移出者比例的初值。应用SARS传播模型，对隔离时间及隔离措施强度的效果进行分析，得出结论，尽早发现和隔离能够减少累积患病人数，严格隔离能有效缩短疫情持续时间。同时我们分析了1997-2003年北京外来游客接待人数的变化，运用spss的logistic回归分析对2003年9-12月的游客人数进行预测，可以得出在SARS流行期间对北京入境旅游业造成了很大的损失，并预计海外旅游人数将在10月以前恢复正常。最后我们写了一片小短文，论述了传染病模型在生活中的重要性，以及对疾病预测和防控的实用性，希望能引起相关部门和公民的重视，并能有效的预测传染病的发生，减少公民的财产损失和保障公民的生命健康。关键词： SIR模型传染病模型回归预测时间序列

一、问题重述 SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。二、问题分析问题一要求我们对早期的模型进行评价，主要从其合理性与实用性两方面进行评价，首先我们要考虑模型是否与实际情况相符合，其次是要探究该模型是否有一定的理论基础。是否与实际情况相符需要将模型的计算值与实际值进行比较，从而得出结论。模型的理论基础需要从模型的建立是否与传统的传染病模型相符，是否与传染病的基本特征项相符这两个方面进行。问题二要求我们在早期模型的基础上进行优化，主要目的是提供准确的预测和防控，及实施的困难情况进行分析。我们在充分探讨早期模型的基础上，对SARS的传播原因和传播途径分析比较。SARS的传播过程受传染病人的多少、易受传染者的大小、传染率的大小、人口迁移、潜伏期的长短、个体的抵抗力大小、疾病的宣传力度等因素的影响。我们将从主要因素开始考虑，次要因素为辅建立优于早期的模型，对SARS进行更好的预防和控制。问题三要求我们分析对国家经济造成的影响，附件三为北京接待海外游客的

SARS 数学建模

问题重述 SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性(假设的合理，分析的合理，结果的合理)和实用性（对于实际应用上的作用）。（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。第一问早起模型的评析一、早期模型的重述 ①模型的假设：根据附件一中的模型，我们可以得出此模型具有如下假设

1)不考虑“非典”的潜伏期，感染非典后立即具有传染性； 2)当感染者有效接触健康者时，使健康者被感染； 3)整个“非典”发病期间政府不采取任何预防措施和隔离治疗措施； 4)忽略“非典病人的个体差异”，假设传染期为常数； ②早期模型建立：假定初始时刻的病例数为N0，平均每位病人每天可传染K个人（K一般为小数），平均每个病人可以直接感染他人的时间为L天。则在L天之内，病例数目的增长随时间t(单位天)的关系是： N（t）= N0 (1+K)t 如果不考虑对传染期的限制，则病例数将按照指数规律增长。考虑传染期限L的作用后，变化将显著偏离指数律，增长速度会放慢。我们采用半模拟循环计算的办法，把到达L天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉。为了简单起见，从开始至到高峰期间均采用同样的K值（从拟合这一阶段的数据定出）。到达高峰期后，在10天的范围内逐步调整K值到比较小，然后保持不变，拟合其后在控制阶段的全部数据。二、早起模型的合理性和实用性的简评 A.早期模型的优点： 1.模型简明本模型主要有三个参数N0、K、L，且都具有实际意义。L可理解为平均每个病人在被发现前后可以造成直接传染的期限，在此期限后失去传染能力，可能原因是被隔离、病愈或死去等等。K表示某种社会条件下平均每位病人每天传播的人数（但并非文中所述的一个病人的感染他人的平均概率）。整个模型抓住了SARS传播过程中两个主要特征：传染期L和传染率K，反映了SARS的传播过程。使人很容易理解该模型。 2.模型灵活通过调整N0、K、L值，就可以描述不同地区，不同环境下SARS的初期传播规律 3.预测准确通过模型对北京、广东与香港的疫情进行了分析，得到的预测值与实际统计数据较接近。可大致预测出疫情的爆发点和发展趋势。 B.早期模型的缺点： 1.对于如何确定对于三个参数N0、K、L，未给出一般的原则或算法，只能通过对于已发病地区的数据进行拟合得出。按照作者的表述，K值是以病发高峰为界取各段的平均值作为传染概率，虽然简化了运算，但是在现实情况下，不同地区的K值是不同的。在实际应用中，如果没有一定量的数据，是无法得出K值的。在我们对该模型进行拟合事发现，对于N0、K、L作者未给出调整的标准和相关理论，所以我们很难重复该求解过程。 2.当需要对某一地区进行疫情分析时，还需考虑到该地区相对于北京、广州、香港这类人口密集，人员流动性大的城市之间的差异。地域因素会造成不同地区的K值不同（如人口密度和人口流动大的城市若爆发传染病，初期的K值会比人口密度和人口流动小的城市大，等等），而很难找到地域因素几乎相同的两城市。所以此作法

SARS传播的数学模型数学建模全国赛优秀论文

SARS传播的数学模型 (轩辕杨杰整理) 摘要本文分析了题目所提供的早期SARS传播模型的合理性与实用性，认为该模型可以预测疫情发展的大致趋势，但是存在一定的不足.第一，混淆了累计患病人数与累计确诊人数的概念；第二，借助其他地区数据进行预测，后期预测结果不够准确；第三，模型的参数L、K的设定缺乏依据，具有一定的主观性. 针对早期模型的不足，在系统分析了SARS的传播机理后，把SARS的传播过程划分为：征兆期，爆发期，高峰期和衰退期4个阶段.将每个阶段影响SARS 传播的因素参数化，在传染病SIR模型的基础上，改进得到SARS传播模型.采用离散化的方法对本模型求数值解得到：北京SARS疫情的预测持续时间为106天，预测SARS患者累计2514人，与实际情况比较吻合. 应用SARS传播模型，对隔离时间及隔离措施强度的效果进行分析，得出结论：“早发现，早隔离”能有效减少累计患病人数；“严格隔离”能有效缩短疫情持续时间. 在建立模型的过程中发现，需要认清SARS传播机理，获得真实有效的数据.而题目所提供的累计确诊人数并不等于同期累计患病人数，这给模型的建立带来不小的困难. 本文分析了海外来京旅游人数受SARS的影响，建立时间序列半参数回归模型进行了预测，估算出SARS会对北京入境旅游业造成23.22亿元人民币损失，并预计北京海外旅游人数在10月以前能恢复正常. 最后给当地报刊写了一篇短文，介绍了建立传染病数学模型的重要性.

1．问题的重述 SARS （严重急性呼吸道综合症，俗称：非典型肺炎）的爆发和蔓延使我们认识到，定量地研究传染病的传播规律，为预测和控制传染病蔓延创造条件，具有很高的重要性.现需要做以下工作：（1）对题目提供的一个早期模型，评价其合理性和实用性. （2）建立自己的模型，说明优于早期模型的原因；说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型，并指出这样做的困难；评价卫生部门采取的措施，如：提前和延后5天采取严格的隔离措施，估计对疫情传播的影响. （3）根据题目提供的数据建立相应的数学模型，预测SARS 对社会经济的影响. （4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性. 2．早期模型的分析与评价题目要求建立SARS 的传播模型，整个工作的关键是建立真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型.如何结合可靠、足够这两个要求评价一个模型的合理性和实用性，首先需要明确：合理性定义要求模型的建立有根据，预测结果切合实际. 实用性定义要求模型能全面模拟真实情况，以量化指标指导实际. 所以合理的模型能为预防和控制提供可靠的信息；实用的模型能为预防和控制提供足够的信息. 2.1早期模型简述早期模型是一个SARS 疫情分析及疫情走势预测的模型，该模型假定初始时刻的病例数为0N ，平均每病人每天可传染K 个人（K 一般为小数），K 代表某种社会环境下一个病人传染他人的平均概率，与全社会的警觉程度、政府和公众采取的各种措施有关.整个模型的K 值从开始到高峰期间保持不变，高峰期后 10天的范围内K 值逐步被调整到比较小的值，然后又保持不变. 平均每个病人可以直接感染他人的时间为L 天.整个模型的L 一直被定为20.则在L 天之内，病例数目的增长随时间t (单位天)的关系是： t k N t N )1()(0+?= 考虑传染期限L 的作用后，变化将显著偏离指数律，增长速度会放慢.采用半模拟循环计算的办法，把到达L 天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉. 2.2早期模型合理性评价根据早期模型对北京疫情的分析与预测，其先将北京的病例起点定在3月1日，经过大约59天在4月29日左右达到高峰，然后通过拟合起点和4月20日以后的数据定出高峰期以前的K =0.13913.高峰期后的K 值按香港情况变化，即10天范围内K 值逐步被调整到0.0273.L 恒为20.由此画出北京3月1日至5月7日疫情发展趋势拟合图像以及5月7日以后的疫情发展趋势预测图像，如图1.

数学建模传染病模型剖析

传染病的传播摘要：本文先根据材料提供的数据建立了指数模型，并且全面地评价了该模型的合理性与实用性。而后对模型与数据做了较为扼要地分析了指数模型的不妥之处。并在对问题进行较为全面评价的基础上引入更为全面合理的假设和建立系统分析模型。运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法结合

MATLAB 编程(程序在附件二)拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测。同时运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议以及指出建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难本文的最后，通过本次建模过程中的切身体会，说明建立如SARS 预测模型之类的传染病预测模型的重要意义。关键词：微分方程 SARS 数学模型感染率 1问题的重述 SARS （Severe Acute Respiratory Syndrome ，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS 的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下： 1)建立传染病传播的指数模型，评价其合理性和实用性。 2)建立你们自己的模型，说明为什么优于指数模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件1提供的数据供参考。 3)说明建立传染病数学模型的重要性。 2 定义与符号说明 N …………………………………表示为SARS 病人的总数； K （感染率）……………………表示为平均每天每人的传染他人的人数； L …………………………………表示为每个病人可能传染他人的天数； dt d N(t)………………………… 表示为每天（单位时间）发病人数； N(t)-N(t-L)………………………表示可传染他人的病人的总数减去失去传染能力的病人数； t …………………………………表示时间； R 2 ………………………………表示拟合的均方差； 3 建立传染病传播的指数模型 3.1模型假设 1) 该疫情有很强的传播性，病人（带菌者）通过接触（空气，食物，……）将病菌传播给健康者。单位时间（一天）内一个病人能传播的人数是常数k ； 2) 在所传染的人当中不考虑已治愈的人是否被再次被传播，治愈的人数占该地区的总人数是绝对的少数，治愈者不会再被传播并不影响疫情在该时间内的感染率常数k; 3) 病者在潜伏期传播可能性很小，仍按健康人处理； 4) SARS 对不同的年龄组的感染率略有不同（相差不大），但我们只考虑它健康人的感染率是一样的；

SARS传播的数学模型

SARS传播的数学模型摘要通过对题目附件1的SARS模型进行分析和评价，加深了对SARS的认识和了解。根据传染病的传播特点，建立了关于SARS病人率和疑似病人率两个常微分方程模型。以所给数据为基本依据，用Matlab软件进行数值计算，与图形模拟方法求得模型中的有关参数。当λ 1=1.5 和λ 2 =1时，理论图形与实际图形有良好的吻合，分别得到了SARS 病人率和疑似病人率比较符合实际数据的变化图，能正确地预测它们的发展趋势。他们对于模型中的参数有非常强的灵感性，λ 1 的值作微小的改变对于整个疫情的发展有很大的影响，所以政府采取对SARS疫情的有关措施是完全正确的。本文重点分析了关于SARS病人率的模型一，根据求得的参数，利用相轨线理论对结果加以分析并对整个疫情作出预测，并推论出SARS病人率关于t的表达式i(t),然后提出了对传染病的控制方案，同时列举了具体方法，并论证了方法的合理性和可行性，用其它地区的数据对模型进行检验，说明模型的参数有区域性。关键词：SARS 微分方程曲线拟合数学模型相轨线本文首先分析评价了附件1中SARS传播的数学模型，指出该模型可以对疫情走势进行预测,但同时也存在一定缺点，第一，混淆了累计病例数与累计确诊人数的概念；第二，对参数的确定缺乏根据；第三，预测时借助了其他地区的参数，偏差较大. 本文针对其缺点建立了一个比较完善的传播模型. 该传播模型按政府开始控制的时刻分为控制前与控制后两个模型，两个模型均以潜伏期5天为周期，以一个周期为整体建立差分方程模型. 再结合5月15日以前北京疫情的公开数据，配合不同的政府监控力度，对整个北京的SARS疫情状况进行了预测.预计政府的监控力度一直保持在5月10日－5月15日的水平上时，6月10日－6月15日北京将会无新增病例，最后累积病例数为2993.对卫生部门采取的措施进行了评价：若提前或延后5天采取严格的隔离措施最后累计病例数分别为1300多与5200左右. 进一步通过对人群的不同分类，建立了两个微分方程组，可分别预测出实际发病人数、不可控/可控带菌者人数与当天疑似病例数、累计确诊人数、不可控/可控带菌者人数及治愈、死亡人数，结合两者的信息就可以得到足够的信息量.但模型中的部分参数无法确定给模型求解带来困难.可以通过搜集更多的数据和资料加以解决. 本文同时就外国来京旅游人数受SARS的影响，建立了模型，估算出4、5、6、7四个月中北京地区入境旅游人数比往年同期减少了94.8万人，旅游经济损在4.74亿美元至9.48亿美元之间.并预测出在2003年10月上旬，旅游人数将恢复到正常水平. 最后给报纸写了一篇短文，说明了建立传染病数学模型的必要性与重要性. 一、问题的提出公元2003年春天，一种叫SARS的病毒从天而降，降到人类赖以生存的星球，降到中国人的头上.SARS究竟是什么，它为什么会代给人类这么多的伤

2003年A题全国数学建模优秀论文5

测控SARS流行趋势的优化模型齐秋锋魏杰万晓晨指导教师谭欣欣等摘要 SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响。为了能定量的研究传染病的传播规律，人们建立了各类模型来预测、控制疾病的发生发展。在本题中给出了一个早期指数模型，我们把它称为模型1，它在短期内有着计算参数简单等合理性与实用性，但却存在着用短期参数描述长期过程偏离实际的缺陷。基于此，我们考虑应该引进新的参数，建立更优的模型。由于SARS是新发传染病，人们对其的有效防治手段主要还是以预防为主的隔离和检疫，所以我们引进一个预防效果指数k，来反映防控措施对SARS传播的影响；又由于SARS发病传染迅猛，为了描述这个特征，我们又引入了参数 r ，用来表示发病率。在假设所研究各地区人口为理想状态下的人群、对该病普遍易感等前提下，我们应用Logistic回归结合各地SARS发病的疫情资料，用Matlab软件模拟，得到了一个更为优化的Logistic SARS模型，它给出了SARS流行趋势以及控制措施有效性的定量评估。由于参数k的引进，更符合实际情况也符合医学解释，并且能够预测SARS高峰期的到来时间，可能累计最大发病数，在测控和拟合实际上优于模型1。同时，我们也通过Matlab语言对北京、山西等的计算值和实际数据进行了拟合，进而验证了这个模型的可靠性。当然，要建立一个最优模型还需要考虑更多因素，在考虑了传播途径及易感人群等因素后，也可以建立一个最优的SEIRQ模型。但这样考虑就需要大量的数据采集整理工作，但在实际中这是不易实现的。在对卫生部所采取部分措施的评析中，我们引入了小世界网络模型，对政府措施作出了定量评论，并用图形直观的表示出来。最后，我们分析了Logistic SARS模型的特点，并对其改进与应用做出了展望。一、问题的重述 SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响；不过，我们也从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律以及为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。（2）建立自己的模型，说明此模型为什么优于附件1中的模型；特别地，要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供

SARS传播的数学模型

SARS传播的数学模型摘要本文分析了题目所提供的早期SARS传播模型的合理性与实用性，认为该模型可以预测疫情发展的大致趋势，但是存在一定的不足.第一，混淆了累计患病人数与累计确诊人数的概念；第二，借助其他地区数据进行预测，后期预测结果不够准确；第三，模型的参数L、K的设定缺乏依据，具有一定的主观性. 针对早期模型的不足，在系统分析了SARS的传播机理后，把SARS的传播过程划分为：征兆期，爆发期，高峰期和衰退期4个阶段.将每个阶段影响SARS 传播的因素参数化，在传染病SIR模型的基础上，改进得到SARS传播模型.采用离散化的方法对本模型求数值解得到：北京SARS疫情的预测持续时间为106天，预测SARS患者累计2514人，与实际情况比较吻合. 应用SARS传播模型，对隔离时间及隔离措施强度的效果进行分析，得出结论：“早发现，早隔离”能有效减少累计患病人数；“严格隔离”能有效缩短疫情持续时间. 在建立模型的过程中发现，需要认清SARS传播机理，获得真实有效的数据.而题目所提供的累计确诊人数并不等于同期累计患病人数，这给模型的建立带来不小的困难. 本文分析了海外来京旅游人数受SARS的影响，建立时间序列半参数回归模型进行了预测，估算出SARS会对北京入境旅游业造成23.22亿元人民币损失，并预计北京海外旅游人数在10月以前能恢复正常. 最后给当地报刊写了一篇短文，介绍了建立传染病数学模型的重要性.

数学建模—传染病模型

传染病模型摘要当今社会，人们开始意识到通过定量地研究传染病的传播规律，建立传染病的传播模型，可以为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。本文利用微分方程稳定性理论对传统传染病动力学建模方式进行综述，且针对甲流，SARS等新生传染病模型进行建模和分析。不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。本文中，我们应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法。然后，通过借助Matlab程序拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测，评估各种控制措施的效果，从而不断完善文中的模型。本文由简到难、全面地评价了该模型的合理性与实用性，而后对模型和数据也做了较为扼要的分析，进一步改进了模型的不妥之处。同时，在对问题进行较为全面评价的基础上又引入更为全面合理的假设，运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议，做好模型的完善与优化工作。关键词：传染病模型,简单模型，SI，SIS,SIR，微分方程，Matlab。

一、问题重述有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行，现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。 1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t 时刻的感染人数。 2、假设单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。建立模型求t时刻的感染人数。 3、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t 时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。二、问题分析 1、这是一个涉及传染病传播情况的实际问题，其中涉及传染病感染人数随时间的变化情况及一些初始资料，可通过建立相应的微分方程模型加以解决。 2、问题表述中已给出了各子问题的一些相应的假设。 3、在实际中，感染人数是离散变量，不具有连续可微性，不利于建立微分方程模型。但由于短时间内改变的是少数人口，这种变化与整体人口相比是微小的。因此，为了利用数学工具建立微分方程模型，我们还需要一个基本假设：感染人数是时间的连续可微函数。

SARS传播的数学模型

《数学建模与数学实验综合实验》课程设计任务书一、设计目的 “数学建模与数学实验”是一门实践性、综合性、应用性较强的数学基础课程，是交叉学科和新兴边缘学科发展的基础，对学生动手能力要求很高。数学建模与数学实验综合实验是该课程的必要实践环节。通过实验学生实践数学建模的各个环节，以帮助学生强化数学建模基础知识与建模方法的掌握，激励学生勇于创新，全面提高学生解决实际问题的动手能力，掌握常用数学计算工具和数学软件，为从事科学研究和工程应用打下坚实基础。通过基础实验,使学生加深对“数学建模与数学实验”课程中基本理论和基本方法的理解,了解常用数学工具和方法，增强学生的实验技能和基本操作技能，在提高学生学习数学建模课程兴趣的同时，培养和提高学生的动手能力和理论知识的工程应用能力。二、设计教学内容 1、生产计划制定 ; 2、利润最大化问题 ; 3、光纤铺设问题 ; 4、大学生的个人花费问题； 5、电站建设问题； ……… 26、印花税调整与证券市场； 27、学生成绩的综合评定； 28、人口问题；（28个中任选1个）三、设计时间 2010—2011学年第一学期：第16周共计1周

目录摘要 (1) 一．问题的提出 (1) 二．对早期模型的评价 (2) 三．传播模型 (2) 四．模型的评价和改进 (11) 五．参考文献 (12) 附件 (12)

SARS传播的数学模型摘要本文针对SARS的传播建立了数学模型。首先，对附件1提供的早期模型，认为“传染概率”的说法欠妥，传染期限L的确定缺乏医学上的支持，使模型的说服力降低。模型中借鉴广东香港的参数来预测北京的疫情走势，不失为一种方法，但在不同地区因政策，地域的不同，病毒的传播和控制呈现不同的特点，使不同城市之间的可比性降低。故借鉴法存在一定的适用范围，且不能对首发城市进行预测。对于第二问，在分析常用传染病模型的局限性后，文中把患者所处的状态明确划分为潜伏阶段、发病阶段和隔离阶段，根据各阶段的转化关系建立了第一个数学模型。考虑到发病和被隔离等事件发生的随机性，本文在原有模型的基础上适当改进，建立了随机模拟模型。通过对5月10日以前数据的拟合，并经过500次模拟，对北京的疫情进行了预测：7月上旬北京将基本解除疫情，累计病例约2800多人。预测结果与实际情况符合得很好。另外，改变有关参数，发现提前5天采取严格的隔离措施，将使疫情解除的时间提前约10天，累计人数降至1958人；若延迟5天采取措施，疫情将推迟11天，累计人数达4487人。根据这些预测，文中对卫生部门采取控制措施提出了相关建议。对第三个问题，本文研究SARS 对入境旅游人数的影响，建立了数学模型。通过数据拟合的方法确定日增长病例数对旅游人数的影响，预测9~12月份入境旅游人数分别为24.02，36.06，33.04，25.85万人。与往年同期相比，9月降低了23.5个百分点，10月以后影响逐步减小，经济进入恢复时期。对于第四个问题，给报刊写了一篇通俗短文，说明了建立传染病数学模型的重要性。最后在模型的评价中，对该模型优于原附件1模型的方面作了说明，特别说明了建立一个真正能预测和为预防、控制提供可靠、足够的信息的模型需要满足的条件和困难之处。一、问题的提出 2002年至2003年，SARS（严重急性呼吸道综合症,俗称非典型肺炎）悄然无息地靠近我们的生活，在潜伏一段时间后忽然爆发，在全球掀起了轩然大波。作为重灾区的国家之一，我国的经济发展和人民生活受到了很大的影响。我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。对此，要求对SARS的传播建立数学模型，具体要求如下： 1、对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。 2、对SARS的传播建立一个自己的模型，并说明： (1) 为什么优于附件1中的模型； (2) 怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，以及这样做的困难之处。

SARS的数学模型与分析

SARS的数学模型与分析张小五牛双建王冬梅指导教师：平顶山工学院数学建模辅导小组摘要：本文研究了SARS疫情的预测问题。目的是建立数学模型反映SARS疫情的传播规律，在此情况上预测了SARS疫情的发展趋势和对经济的影响。本文首先就附件1的数学模型进行合理性和实用性的评价，并指出了它的不足之处。从这个模型我们受到启发，联想到人口预报的初步模型。按照人口模型建立的发展过程，我们相应地建立了逐步完善的SARS模型：指数模型，Logistic模型，SIR 模型。主要采用数据拟合的方法来确定模型中的参数。对指数模型我们只作了一些定性的分析，重点讨论了Logistic模型，SIR模型。Logistic模型我们从累计确诊病人数的变化和病人增长率的变化来进行研究，对每个参数的实际意义我们都作了详细的分析。最后简要讨论了提前或延迟5天进行隔离对病情的影响。模型（二）中我们先将函数反映到图形上，并结合图表对香港、北京两地的SARS疫情发展进行直观比较，得到了一些合理且有实用参考价值的数据。同时我们在建模过程中也遇到了一系列困难，对图表的分析能力不够，缺乏详细的流行病学方面的知识，很多参数的确定没经验概念，只能通过定性分析，简单假设，已知数据的拟合得到。对问题3，SARS对旅游业的影响，我们把原来离散的时间（天）看成连续变量，从众多影响因素中提炼出对旅游业影响最大的两个因素，建立常微分方程模型。最后简要写了一篇给当地报社的短文，意在阐述建立传染病模型的重要性。关键词：SARS 指数模型Logistic模型SIR模型曲线拟合一、评价早期模型的合理性和实用性附件一提供的模型中参数K和L具有比较明显的实际意义, 在参数的范围控制上比较合理。在程序设计过程中,K值的确定考虑到与医疗机构隔离病人的时机和隔离的严格程度有关,采用不同阶段不同取值的方法,很好地描述了这一现象。其次该模型在已有数据的基础上拟合程度比较好，合理地反映了这一阶段香港疫情的实际情况。可以根据它的拟合曲线来预测近期内的病情走势，为政府和医疗机构提供一定的信息依据，使得他们能够对病人进行及时的管理和治疗，从而降低病毒在社会上的蔓延程度。

数学建模论文_SARS传播的数学模型

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

2003年全国数学建模优秀专业论文北京SARS的传播研究

小组成员

北京SARS的传播研究摘要 SARS从2003年陆续传入，期间先后感染6000多人其中北京感染2847，我国给我过经济·社会带来严重额的影响，为减少疾病的危害，提高人们对疾病的ARS 的认识，疫情分析及对北京疫情走势的预测研究也变得尤为重要。为改善现状并提高人们对疾病的是SARS的认识，我们对北京市的SARS传播问题建立数学模型。关键词：SARS 人群分类微分模型整体拟合 1、问题重述 1.1问题的背景

严重急性呼吸综合征（Severe Acute Respiratory Syndromes），又称传染性非典型肺炎，简称SARS，是一种因感染SARS冠状病毒引起的新的呼吸系统传染性疾病。主要通过近距离空气飞沫传播，以发热，头痛，肌肉酸痛，乏力，干咳少痰等为主要临床表现，严重者可出现呼吸窘迫。本病具有较强的传染性，在家庭和医院有显著的聚集现象。首发病例，也是全球首例。于2002年11月出现在广东佛山，并迅速形成流行态势 1.2问题的叙述现阶段北京SARS的传播正处于高峰期。由于人们对该种疾病的传播机理还不太清楚，因此引起人们的恐慌，它关系社会的稳定和经济的发展。因此对该问题的研究非常有必要，我们把人口分成四类，即:健康人S(t)SARS病人I(t)病人免疫（包括死亡）的人R(t)及疑似病人P(t)四类人，利用现有数据着重从四类人口中：把该传染病进行统计学分析，归纳出主要特征通过假设，参数以及它们的相互联系，进行数据判定，数据假设，数据处理，数据分析，建立模型，数据总结等得出较为科学的SARS问题的分析，相关信息（见附件1、2、3）附件1SARS疫情分析及对北京走势的预测附件2北京市疫情的数据附件3北京市接待海外游客人数附件4相关编程 1.3问题的提出问题一：对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。

数学建模SARS

北京航空航天大学大学生数学建模选拔赛 2011年6月10日－6月12日参赛题目A B （在所选题目上打勾）北京航空航天大学教务处数学建模指导组

摘要论文解决问题的方法：论文中涉及到得方法有1：公式推导的方法（如：问题二中的新建SARS模型）:2：线性与非线性拟合，其中非线性拟合包括傅里叶拟合（运用于问题三中求解2003月份理论值）、指数拟合（运用于问题二中高峰前的模型建立）、自定义拟合（运用于问题二中高峰期后的模型建立）、折线图拟合（运用于旅游业影响度的分析）；3：对比法（运用于问题二中后期模型的建立和问题三中）；4：利用软件matlab进行模拟和求解（1、2、3均用到）；主体结构：问题1：对已有模型评价问题2：新模型的建立，对模型进行分析和预测，如何建立更好的模型，对政府部门采取的措施的评价问题3：模型的建立，对经济的损失的估计，2003年各月旅游影响度预算；问题4：给报刊的一封信；结论：问题1：虽然模型能说明一些问题，但是模型缺少更合理和更连续的分析，k，L应为随时间变化的函数，实用性不高。问题2：部门应该在高峰前一半时间内采取措施，这样有助于对潜伏期人数的降低。新建立的模型通过自然增长和后期等比下降能较为科学的说明一些问题。但模型还能进一步进行改进（比如寻求更好的L（t）、K（t）模拟）。政府采取的措施力度还应该加大，表现为隔离时间应该提前（具体见后面分析）；问题3：由于“非典”的影响，北京2003年旅游外汇收入减少了16亿美元；通过（偏差比）的走势，我们分析出了2003年“非典”期间对海外游客的总体影响趋势，计算可知，到2003年底，实际游客人数可恢复到理论值的90%以上。关键词：SARS传播，隔离强度，matlab拟合，预测对比

2003SARS传播的数学模型

SARS传播的数学模型摘要：我们以传统的微分方程为理论基础，从经典的传染病模型SIR模型入手，参考用2003 年6月以前的有关SARS的统计数据，对SARS病情的特殊性进行了分析，建立了描述SARS疫情传播的微分方程模型。还用曲线拟合的方式，给出了模型中参数的确定方法，以及模型的数值解法。关键词：SARS，传染病模型，微分方程，曲线拟合 SARS的简介： SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。与以往的传染病不同，SARS具有其自身的特征：除了考虑易感染者、已感染者和移出者外，还要考虑疑似者、疑似者中的确诊者、不可控者、不可控者中转化为病人（感染）者。我们从经典的传染病模型SIR模型出发，考虑了传染病蔓延过程中政府部门的决策和措施对抑制疾病蔓延的积极作用基本假设： 1. 除感病特征外，人群的个体间没有差异、感病者与易感者的个体在人群中混合是均匀的人群的数量足够大，只考虑传染过程的平均效应。 2. 易感者感病的机会与他接触感病者的机会成正比。 3. 疾病的传染率为常数。 4. 不考虑出生与死亡的过程和人群的迁出和迁入 5 .已感染者以固定的比率痊愈或死亡。 6 .对于一个SARS康复者我们可以假设他二度感染SARS的概率为0，这些人既不是健康者(易感染者)，也不是病人(已感染者)。符号说明： S(t) 为易感染者在总人口中所占的比例 I(t) 为已感染者在总人口中所占的比例 R(t) 为移出者在总人口中所占的比例 N(t) 为疑似者在总人口中所占的比例

SARS传播的数学模型及对经济的影响数学建模全国赛优秀论文

2003CMCM SARS传播的数学模型及对经济的影响(轩辕杨杰整理) 指导老师：覃思义李彦麟李小华刘纽

SARS传播的数学模型及对经济的影响摘要本文针对SARS的传播以及对经济的影响分别建立了数学模型。首先，对附件1提供的早期模型，认为“传染概率”的说法欠妥，传染期限L的确定缺乏医学上的支持，使模型的说服力降低。模型中借鉴广东香港的参数来预测北京的疫情走势，不失为一种方法，但在不同地区因政策，地域的不同，病毒的传播和控制呈现不同的特点，使不同城市之间的可比性降低。故借鉴法存在一定的适用范围，且不能对首发城市进行预测。对于第二问，在分析常用传染病模型的局限性后，文中把患者所处的状态明确划分为潜伏阶段、发病阶段和隔离阶段，根据各阶段的转化关系建立了第一个数学模型。考虑到发病和被隔离等事件发生的随机性，本文在原有模型的基础上适当改进，建立了随机模拟模型。通过对5月10日以前数据的拟合，并经过500次模拟，对北京的疫情进行了预测：7月上旬北京将基本解除疫情，累计病例约2800多人。预测结果与实际情况符合得很好。另外，改变有关参数，发现提前5天采取严格的隔离措施，将使疫情解除的时间提前约10天，累计人数降至1958人；若延迟5天采取措施，疫情将推迟11天，累计人数达4487人。根据这些预测，文中对卫生部门采取控制措施提出了相关建议。对第三个问题，本文研究SARS 对入境旅游人数的影响，建立了数学模型。通过数据拟合的方法确定日增长病例数对旅游人数的影响，预测9~12月份入境旅游人数分别为24.02，36.06，33.04，25.85万人。与往年同期相比，9月降低了23.5个百分点，10月以后影响逐步减小，经济进入恢复时期。对于第四个问题，给报刊写了一篇通俗短文，说明了建立传染病数学模型的重要性。最后在模型的评价中，对该模型优于原附件1模型的方面作了说明，特别说明了建立一个真正能预测和为预防、控制提供可靠、足够的信息的模型需要满足的条件和困难之处。

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