电磁场与微波技术第一二三章课后习题及部分答案
第 1 章 习 题
1、 求函数()D Cz By Ax u +++=1的等值面方程。 解：
根据等值面的定义：标量场中场值相同的空间点组成的曲面称为标量场的等值面，其方程为
)( ),,(为常数c c z y x u =。
设常数E ，则，()E D Cz By Ax =+++1， 即：()1=+++D Cz By Ax E
针对不同的常数E （不为0），对应不同的等值面。
2、 已知标量场xy u =，求场中与直线042=-+y x 相切的等值线方程。 解：
根据等值线的定义可知：要求解标量场与直线相切的等值线方程，即是求解两个方程存在单解的条件，由直线方程可得：
42+-=y x ，
代入标量场C xy =，得到： 0422=+-C y y ，
满足唯一解的条件：02416=??-=?C ，
得到：2=C ，因此，满足条件的等值线方程为：2=xy
3、 求矢量场z zy y y x x
xy A ???222++=
的矢量线方程。 解：由矢量线的微分方程：
z
y x A dz A dy A dx ==
本题中，2
xy A x =，y x A y 2
=，2
zy A z =， 则矢量线为：
222zy dz
y x dy xy dx =
=，
由此得到三个联立方程：
x dy y dx =，z dz x
dx =，zy dz
x dy =
2，解之，得到： 22y x =，z c x 1=，222x c y =，整理，
y x ±=，z c x 1=，x c y 3±=
它们代表一簇经过坐标原点的直线。
4、 求标量场z y z x u 2322+=在点M (2,0,-1)处沿z z y xy x
x t ?3??242+-=
方向的方向导数。 解：由标量场方向导数的定义式：
直角坐标系下，标量场u 在可微点M 处沿l 方向的方向导数为
γβαcos cos cos z
u
y u x u l u ??+??+??=??
α、β、γ分别是l 方向的方向角，即l 方向与z y x
???、、的夹角。αcos 、βcos 、γcos 分别是l 方向的方向余弦。
422==??M M x z x u ，04==??M M
zy y u
，
1223222=+=??M M y z x z u 令：
8
4
2
2
2
422294)3()()2(z
y x x z xy x ++=++=?
则：542cos =?=M M
x α
，0cos 2=?
-=M
M xy β，5
3
cos -=M
γ
，
4536
0516cos cos cos -=-+=??+??+??=??M M
M M z u y u x u t u γβα 5、 求标量场z y x xy z y x u 62332222--++++=在点M (0,0,0) 、点M (1,1,1)处的梯度，并找出场中梯度为0的点。 解：由梯度定义：
z z
u y y u x x u u ?????+??+??=
? 则：
z z y x y x
y x z z u y y u x x u u ?)66(?)24(?)32(???-+-++++=??+??+??=
?
z y x
u ?6?2?3)0,0,0(--=? y x
u ?3?6)1,1,1(+=? 若要梯度为零，则需使得梯度中各项分量为零，即：
032=++y x 024=-+x y 066=-z
解之，得到：
1,1,2==-=z y x
即，在点（-2，1，1）处，标量场的梯度为零。
6、 设z z y y x
x r ???++=
，r r =，n 为正整数。求r ?、n r ?、()r f ?。 解：根据题意及梯度定义：
r
r z z y y x x r z z y y x x r z y x z y x z y x r =++=++=++?++=++?=?-)???(1
)?2?2?2(1
21)()(21)
(22221
2
22222
r
nr r r nr r
nr r n n n n 211---==?=? r
r
r f r
r f r f )
(')(')(=?=? 7、 求矢量场z z y y x
x A ???333++=
在点M (1,0,-1)处的散度。 解：由题意及散度定义： 222333z y x A ++=??
，将M(1,0,-1)代入：
得到：
6303=++=??M
A
8、 设a
为常矢量，z z y y x
x r ???++= ，r r =，求()a r ??、()a r 2??、()
a r n ??，证明a r a =??)( 解：由散度运算公式：
1）
()r
a r r a r r a
r a r a r
?=?+?=??+??=??0 2）
()
a
r r a r r r a
r a r a r
?=?+?=??+??=??2022
222
3）
()
a
r nr a r r nr r a r nr a
r a r a r n n n n n n n
?=?=?+??=??+??=??---2110
4）证明： 因为：
z
y x z y x za ya xa z y y y x x z a y a x a r a ++=++?++=?)???()???(
且：
x a ，
y a ，z a 均为常数，所以有：
a z a y a x
a r a z y x =++=?????)( 得证。
9、 设无限长细直导线与z 轴重合，其上有沿正z 轴方向流动的电流I ，导线周围的磁场
(
)
()y x x
y y
x I
H ??22
2
+-+=
π
计算H
??。
解：由题意及散度的定义：
(
)
()y x x
y y
x I
H ??22
2
+-+?
?=??π
2
2222)(/2-+=
????
? ??+?-=??y x xy I
x y x y
I
x H x π
π
2
2222)(/2-+-=????? ??+?=
??y x xy I
y y x x I y H y π
π
∴
=??+
??=??y H x H H y x 10、已知xy y x u 222+-=，求u 2?。 解：由题意及散度运算性质：
)(2u u ???=?
y y x x
y x z z u
y y u x x u u ?)22(?)22(???-++=??+??+??=
?
2
2)?)22(?)22(()(=-=-++??=???y y x x
y x u 所以：
02=?u
11、计算下列矢量场的旋度：
（1）()()
z xyz y xz y x z y x A ?2??32
32+-++= ； （2）z xy y zx x
yz A ???222++= ； 解：由矢量场旋度定义式，可得：
1）
()()(
)
()(
)
z x z y yz x
xz z x z y yz x xz xz z y A x A y x A z A x z A y A A A A z y x z y x A x y z x y z z
y
x
?3?21?4 ?3?21?22 ???
???rot 2222+--+=--+-++=???? ????-??+??? ????-??+???? ????-??=????=
2）
()()()
z z xz y y yz x
x xy z y A x A y x A z A x z A y A A A A z y x z
y x A x y z x y z z
y x ?2?2?2 ???
???rot 222-+-+-=????
????-??+??? ????-??+???? ????-??=?????=
12、已知x e u =，z y y x x
z A ???222++=
，计算()
A u ??。 解：
由题意及矢量的旋度运算公式：
())?)2(?)2(?2()?2?2?2??()?2?2?2(?222
2
z x x y y z x
y e z x y z x y z x y
y e z x y z x y e A x
e A
u A u A u x x
x x ++-+=++++-=+++?=??+??=??
13、已知z z y y x
x r ???++= ，r r =，a 为常矢量，求r ??、()[]r f r ??、()[]r f a ??。
解：
1）
z ?)-(y
?)-(x ?)-(r =????+????+????=??y x x y xz z z x z y
y z
2）
()[]0
)(')(')()()(r f r =?=??=??=??+??=??r
r
r r f r
r r f r
r f r
r f r r f
3）
()[]a r r f r
a
r r r f a r r f a
r f a
r f a r f r f a
?=?=??=??=??+??=??)('1)(')(')()()(
14、已知z xy y z x
y A ??2?32++= ，z x x B ?4?2-=
，求(
)
B A
???。 解：由题意及运算规则，先求出B A
?，再求旋度：
???x
y z x y z x
y z A B A A A B B B ?=
2
2??? 320
4
x
y
z y z xy x =- ??? ()()()y z z y z x x z x y y x A B A B x
A B A B y A B A B z =-+-+- 2322??? =8(12)2z x x y y y x z z -++- ()A B ???
2322???(8(12)2)z x
x y y y x z z =??-++- 22322232(2)(12)(8)(2)(12)(8)???x z x y y z x z x y y z x y z y z z x x y ??????
?-?+?-?-?+?-=-+-+-?????????????????
?
22??(416)3xz z y
x yz =-+ 15、已知位于坐标原点处电量为q 的点电荷产生的电位移矢量D
为34r r q D π
=，其中z z y y x x r ???++=
，r r
=，计算D ??和D ??。
解：由题意：
1）
34qr
D ()
πr ??=?? 33
r 44q q ()r πr πr =??+??
31 ()4q r πr =??
4 (3)4q r r r π
-=-??
43 4q r r πr r
-=?
0=
2）
3
4qr
D ()πr ??=?? 3 ()4q r r π-=??
33
()()4q r r r r π--??=??+???? 43
334q r r r r π
--??=-??+?? 43 334q r r r r πr --???=-+????
33
334q r r π
--??=
-+?? 0
(0)r =≠
在r=0处，D 无意义，D
??不存在。
16、证明()0=???u ，()
0=????A
。
证明： 1）
由标量场梯度的定义式：
z z
u y y u x x u u z z y y x x u ????????+??+??=????
????+??+??=? ())???(
z z
u
y y u x x u u ??+??+????=??? 由
z y A x A y x A z
A x z A y A A x y z x y z ???????
????-??+??? ????-??+???? ????-??=?? 令：
z z
u
y y u x x u A ?????+??+??= 则：
()0
???)???(
222222=????
?????-???+???? ?????-???+???? ?????-???=??+??+????=???z
y x u x y u y z x u x z u x y z u z y u z z
u
y y u x x u u 由此得证。 2）由旋度定义：
z y A x A y x A z
A x z A y A A x y z x y z ???????
????-??+??? ????-??+???? ????-??=?? 则：
()
0???22
2222=???-
???+???-???+???-???=???
?
????-????+??? ????-????+???? ????-????=
???
??????? ????-??+??? ????-??+???? ????-????=????z y A z x A y x A z y A z x A y x A y A x A z x A z A y z A y A x z y A x A y x A z A x z A y A A x y z x y z x y z x y z x y z x y z
由此得证。
17、已知()??ρ?ρsin cos ,,22z z u +=，求u A ?= ，并计算A
??。 解：由题意及柱坐标下梯度的计算公式：
z z u
u u u ??1???+??+??=???ρρρ
()
z z z u ?sin 2?cos sin 1
?cos 222
??
??ρρ
ρ
?ρ++-+=? ()
z z z
?sin 2?sin cos 1
?cos 222
??
?ρ?ρ
ρ
?ρ+-+= ()
z z z u A ?sin 2?sin cos 1
?cos 222???ρ?ρ
ρ
?ρ+-+=?= 由
()
z
A A A A z
??+??+??=???ρρρρ?ρ11
可得：
()()
z z z A ??+
?-?+??=???
??ρ?ρ
?ρρρρsin 2sin cos 1cos 21222 ()()
??ρ?ρ
?ρρsin 2cos sin 1
cos 22222+--+=??z A
?ρ??sin 2cos cos 422???? ??-+-=??z A
?ρ?sin 2cos 322???
?
??-+=??z A
18、已知()??ρρ?ρ?ρ?sin ?cos ,,2
+=z A ，计算A ??、A ??。
解：由题意及柱坐标下散度、旋度的计算公式：
()
z
A A A A z
??+??+??=???ρρρρ?ρ11
可得：
()
?
?ρρ?ρρρ??+??=??)sin (1cos 12A
??ρ
cos cos 1
2+=??A
()
z A A A
z A z A A A z z ?11??1???
?
????-??+???? ????-??+???? ????-??=???ρρρρ?ρρ?ρρ?ρ? ()z z z A ?)cos (1sin 1?)cos (?)sin (22????
????-??+???? ????+??? ????-=????ρρ?ρρρρ??ρρ?ρ z A ?)sin (cos 1
2sin 12???
? ??--=????ρρ?ρρ
()z
A ?cos sin sin 2???+=??
19、已知
()?θ?θcos 2sin 1,,32???
?
?+=r ar r u ，求u ?。 解：由题意及球坐标下梯度的计算公式：
?
?θθθ?sin 1?1???+??+??=?u
r u r r r u u 可得：
??θθθθ??θ?sin 2sin 1sin 1?2cos cos 12?cos 2sin )32(444??? ?
?+-??? ?
?++-=?-r ar r ar r
r ar u 20、已知()θθθ?θ?
sin ?cos 2,,3
3r r r r A += ，计算A ??、A ??。 解：由题意及球坐标下散度、旋度的计算公式：
()
()?θθθθ?θ??+??
+
??=??A r A r A r r
r A r sin 1sin sin 1122 ???
????+??? ????=??3322sin sin sin 1cos 21r r r r r r A θθθθθ ???
????+??? ????=??3221sin sin 1cos 21r r r r r A θθθθ
θθθθcos sin 2sin 1)(cos 24
2
2r r r A +-=??- θθcos 2cos 244
r r A +-=?? 0=??A
第 2 章 习 题
1、 三个点电荷q 1=4C 、 q 2=2C 、q 3=2C ，分别放置于(0,0,0)、(0,1,1)、(0,-1,-1)三点上，求作用于(6,0,0)点处单位负电荷上的力。
解：由库仑定律，得点电荷间作用力：
304r r r r q q F q q '
-'
-'=→' πε
令(6,0,0)点处单位负电荷为q ；则电荷q 1对电荷q 的作用力：
30
1
41r r r r q q F q q '-'-=→ πε
3
0?6?64141x x C F q q πε?=→ x C
F q q ?360
1πε=
→
电荷q 2对电荷q 的作用力：
30
2
42r r r r q q F q q '-'-=→ πε
3
0???6???6422z y x z y x C F q q ----=→πε )???6(2380
2/32z y x
C
F q q --=-→πε
电荷q 3对电荷q 的作用力：
30
3
43r r r r q q F q q '-'-=→ πε
3
0???6???6423z y x z y x C F q q ++++=→πε )???6(2380
2/33z y x
C
F q q ++=-→πε
所以，作用于q 点电荷的作用力为：
q
q q q q q F F F F →→→++=321
)???6(238)???6(238?3602/302/30z y x C
z y x C x C F +++--+=--πεπεπε
x C
x C F ?638?360
2/30πεπε-+=
x C F ?3863612/30??? ???+=-πε
2、 长度为L 的线上电荷密度为l ρ，l ρ为常数，计算该带电线的垂直平分线上任意点的电场强度E
。 解：由库仑定律及点电荷间作用力公式：
()()()l d r r r r r r E L l ''
-'-'=?
' 41
30 ρπε
令带电线沿Z 轴方向，其中点位于坐标原点，则其垂直平分线位于xy 平面内。
()()
?
-'-'-=
22
30
41l l l dz r r r r r E
ρπε
()()()
()
?
--++-+=
22
3
2
2
2
0???41l l l dz
z y x
z z y y x
x r E ρπε
3、 总电量为Q 的电荷按以下方式分布在半径为a 的球形区域：（1）均匀分布于r =a 的球面上；（2）均
匀分布在r ≤a 的球体中；（3）以体电荷密度()2r r =
ρ分布于r ≤a 的球中。计算球内、球外的E ，并绘出r E ~曲线。
解：本题（1）、（2）、（3）中，电荷均以球心为中心对称分布，因此，电场都只有?r
方向的分量，即?()()r E r E r r
=
；也就是说，在以球心为中心的任何球面上()E r 都相等，可以应用高斯定理积分形式来求解；很明显，本题求解可选用球坐标系，（1）、（2）、（3）均取r a =的球心为球坐标系的坐标原点。
（1）、电量Q 均匀分布在r a =的球面上。 在r a <的球内，应用高斯定理，可得：
2()40
r E ds E r r π?=?=? ，解之：
?()()0, r E r E r r
r a ==<
； 同理，当r a >时，应用高斯定理，可得： 2
()4r Q E ds E r r πε?=?=?
，解之： 2
??()(), 4r Q
E r E r r
r r a r πε==>
（2）、电量Q 均匀分布在r a =的球内。 则球内任意一点的电荷密度为：
3
()43
Q r a ρπ=
；
在r a ≤的球内，应用高斯定理，可得：
2()4r E ds E r r π?=??
3
303443
Q r a ππε=
3
30Qr a ε= 解之： 30
()4r rQ
E r a πε=
；
3
??(), 4r rQ
E E r r
r r a a πε==≤
同理，当r a >时，应用高斯定理，可得：
2
()4r Q E ds E r r πε?=?=?
，解得： 20
??(), 4r Q
E E r r
r
r a r πε==>
（3）以体电荷密度()2r r =
ρ分布于r ≤a 的球中。 在r a ≤的球内，应用高斯定理，可得：
201()4()r v
E ds E r r r dv πρε?=?=?
???
22
1
sin v
r r drd d θθ?ε=???? 240
1
sin r
d d r dr π
π?θθε=
?
??
50
415
r
dr π
ε=
?
5
45r πε=
；解之，得到： 3
??(), 5r r E E r r r r a ε==< 在r a =的球面上，3
??(), 5r a E E r r r r a ε=== 在r a >的球外，应用高斯定理，可得：
20
()4r Q E ds E r r πε?=?=?
2
0??(), 4r Q E E r r
r
r a r
πε==>
通过计算可知，以上三种情况下，在r a ≥处，电场强度r E 均相同。
4、 两个无限长的r =a 和r =b （b >a ）的同轴圆轴表面分别带有面电荷密度1S ρ和2S ρ,
3
5a ε
r
E
（1）计算各处的E ；
（2）欲使r >b 处E =0，则1S ρ和2S ρ应具有什么关系？
解：本题中，两个圆柱同轴，场呈轴对称、二维分布，宜选用柱坐标来求解，以同轴圆柱面的轴心线为z 轴，则场分布在xy 平面上，并且只与径向坐标r 有关。可应用高斯定理求解，选取以z 轴为中轴线的单位长圆柱面作为高斯面，
s s s E ds E ds E ds E ds ?=
?+
?+
???
?
?
底
顶
侧
由于场只有径向分量，因而只有侧面由通量；
s E ds E ds ?=
???
侧
并且，侧面积为：2212()r r m ππ?= （1）、计算各处的场：
1）、r a <处，高斯面内无电荷分布，因而()0E r =
2）、a r b <<处，高斯面内总电量为， 11212s s Q a a ρππρ=??= 则：1
22s r s a E ds E ds E r πρπε?=?=?=??
侧
，得到： 1100??, , ()s s r r a a E E E r
r a r b r r ρρ
εε===<< 3）、r b >处，高斯面内总电量为，
121221212()s s s s Q a b a b ρπρππρρ=??+??=+
则：120
2()2s s r s a b E ds E ds E r πρρπε+?=?=?=??
侧
，得到： 1212
00??, =, s s s s r r a b a b E E E r r
r b r r
ρρρρεε++==> （2）、欲使r b >处0E =
，则要求r b >处高斯面内总电量为零，也就是说： 122()0s s a b πρρ+=，解之可得，需满足以下关系：
12s s a b
ρρ=-，
5、 在球坐标系中，已知()()
()
?????>+≤<+=a r r Aa a a r Ar r E r 0 24523， a 、A 均为常数，求电荷分布。 解：本题宜选用球坐标系来求解：
已知电场求解电荷分布，需要用到高斯定理的微分公式，球坐标系下，计算E
的散度的公式为：
()()22111()sin sin sin r E E r r E E r r r r ?
θθθθθ?
?????=++
??? 本题中，?r E E r
=
，所以，()2
2
1()r E r r E r r
???=?
， 当0r a <≤时，
()23221()()E r r r Ar r r ?
??=+?
()5421r Ar r r
?
=+?
()4321
54r Ar r
=
+ 254r Ar =+
()r ρε=
所以，20()(54)r r Ar ρε=+
当r a >时，
54222
1()a Aa E r r r r r ???+??=? ????
5
42
1()a Aa r r ?=
+? 0=
()
r ρε= 所以，()0r ρ=
6、 分析下列函数中哪一个可能是静电场的表示式，式中A 为常数。
（1）z xy y zx x yz E ???++=
；（2）()()
φφρρφρ?sin 1?cos 122-++A A ；（3）()()
30
4?sin ? cos 2r r πεθθθ+ 7、 长度为L 的线上电荷密度为常数l ρ，（1）计算该线的垂直平分线上任意点的电位Φ；（2）由库仑
定理直接计算该垂直平分线上任意点的电场强度E
，并用Φ-?核对。
8、 两根互相平行、距离为d 的无限长带电细直线，其上电荷均匀分布。若其中一根的线电荷密度为l ρ，
另一根的线电荷密度为l ρ-，求空间任意点的电位Φ和电场强度E
。
解：如右图所示：由于两带电平行线无限长，若令两平行线沿Z 轴，且其中垂线过原点，则其场分布与Z 向无关，分布于xy 面上，是一个二维场，只有x 、y 分量。 由
()0
S
Q
E r ds ε?=??
可求得任意点的场强。
线电荷密度为l ρ：
高斯定理可得：
9、 一半径为a 、总电量为Q 的导体球，其外包裹着一层厚度为b 、介电常数为02εε=的电介质球壳。
求空间的电场强度、电位移矢量、电位以及介质球壳内外的极化电荷密度。
解：因空间媒质以球心对称分布，电荷Q 必均匀分布在导体球面上，Q （对电场的贡献）产生的电场及该电场引起介质极化产生的电场都以球心中心呈对称分布，故可用高斯定理求解，求解所用高斯
面S 是以球心为中心的球面。在此球面上?()r E E r r
=
,?()r D D r r =
。且r 相同处r D 也相同。 （1） r a <导体内无静电场，0=D ,0=E
（2） a r b <<填充物为介质，且02εε=应用介质中
s
D ds Q ?=?
2
4r s
D ds D r Q π?=?=? 2??()()4r Q D r D r r r r
π== 2
00()()?()28D r D r Q
E r r r
εεπε===
（3） r b >填充物为空气，0εε=
2
4r s
D ds D r Q π?=?=? 2??()()4r Q D r D r r r r
π== 2
0()?()4D r Q
E r r
r επε==
将r b =代入（2）、（3），可知在r=b 两媒质交界面处都可得到2
?()4Q
D r b r b π== 。这说明在r b =两不同媒质交界面处12n n D D =，D 法向分量连续。但在r
0?()8Q E r b r
b πε-==
，而在r b >一侧，2
0?()4Q E r b r
b
πε+==
，也就是说， ()()
E r b E r b -+=≠=
，在r b =两不同媒质交界面处，E 的法向分量不连续，其原因在于r b =的介质表面有束缚电荷分布。 （4）求电位()r φ
取r =∞为计算电位的参考点()0r φ=∞=
2
0?, ()4Q r b E r r r πε>=
2
0? ()4r
Q
r r
dl r φπε∞=??
0 4r
Q r πε∞=-
0 4Q
r
πε=
0 ()4Q r b b φπε==
2
0?, ()8Q
a r
b E r r
r πε<<=
，应用不同媒质交界面处电位连续的条件： 2
0 ()()8b r
Q
r dr b r φφπε=+?
00 84b r
Q
Q r b πεπε=-
+
000 884Q
Q
Q r b
b
πεπεπε=
-
+
011 ()8Q
r b πε=
+ 011, ()8Q
r a a b φπε==
+ （5）、求束缚电荷密度
在a r b <<区域，
2
?()4Q
D r r r
π= 2
0?()8Q E r r
r
πε=
将其代入0D E P ε=+
，得到：
00222
0??()488Q Q Q
P D E r r r r r
εεππεπ=-=-= ， 应用?Ps n
P ρ=?
，?n 是介质表面外法向单位矢量，则有： 22
???, 88Ps
r a r a r a Q Q
n
P r
r r a a a
ρππ=+
=+
=+
=?=-?=-=+ 处
-
22
???, 88Ps
r b r b r b Q Q
n
P
r
r r b b b ρππ==-=-
=?=?==- 处 在球坐标系中，P
只有r P 分量，且与θ?、无关，所以a r b <<介质中体束缚电荷P ρ为：
22r 222
11(P )()08P Q
P r r r r r r r ρπ-?-?=-??===??
由于0P ρ=，在a r b <≤的介质球壳及两表面上总的束缚电荷
Ps Ps P ()()P r a r b r Q r a ds r b ds dv ρρρ====
=++
=++
?
?
?
球面
球面
球体内部
022
Q Q =-
+= 以上计算说明：
1）、介质极化后虽有Ps ρ分布、P ρ分布，但总极化电荷恒为0；介质仍是电中性的。
2）、电场中的均与介质，其内部体束缚电荷为0；也就是说均与介质内部没有束缚电荷的堆积。 10、
半径为a 的均匀极化介质球，极化强度矢量z P P ?0=
（P 0为常数），求z 轴上任意一点的电场强
度E
。
11、 半径为a 的导电圆环上电流为I ，求该导电圆环的中轴线上任意点处的磁感应强度B
。
12、 空间中有相距为d 的两无限长平行直导线，其上电流分别为I 1、I 2，且方向相同，求空间任意一点
处的场矢量B
。
解：
1）由于直导线无限长，可看成两端在无限远处相连而构成闭合回路。
2）由于直导线无限长，与其垂直的任何平面上，场分布完全相同，因此这是一个二维场。只需研究xoy
平面上的场分布，且该平面上场矢量都只有??,x
y 两个分量。 3）可应用
()I l d r B L
0μ=??
分别计算12,I I 在空间任意一点P 产生的场，再应用叠加原理求B 。如图所示：
12,I I 正向与?z
相同，B
与I 呈右手螺旋关系。对于1I ： 1
11012L B dl r B I πμ?==?
01
11
2I B r μπ=
01
111?2I B r μ?
π= ，1L 是以1r 为半径的圆。
对于2I ，同理可得：
02222?2I
B r μ?
π= ，
2L 是以2r 为半径的圆。 为将12,B B
在xoy 坐标系中叠加，应当求出1212??,,,r r ??及12??,r r
的表达式。 由图可知：
1
2
2
2111??2?, 2d x x yy d r x y r r ??++ ???????=++=
??
???????
1
2
2
2222
??2?, 2d x x yy d r x y r
r ??-+ ?????
??
=-+=??
???????
设1???ux vy ?=+，由11??r ?⊥可列出如下方程： 11
12??0 0d u x vy
r r ??
?++ ????=→= 11
1
2???=1 1d v x uy
r z r ??
?+- ????=→=
1
2
1
2
2
-=
2y
y
u r d x y -=
????++?? ???????
，12
1
2
2
2
2=
2d d
x x v r d x y +
+
=????++?? ???????
，由此得到：
111
2?????d
x y
ux vy x y r r ?
+=+=-+，同理可得：
22
2
2???d x y
x y r r ?
-=-+
因此：
1201021212
()()()?? 22B P B P B P I I
r r μμ??ππ=+=
+ 010222
12???? (())(())2222
I I d d
yx x y yx x y r r μμππ=
-+++-+- 120122222
1212()()22?? ()2d d x I x I I I y x y r r r r μπ??
??+-?? ???=-+++?? ? ????? ???????
13、 内、外半径分别为a 、b 的无限长空心圆柱导体管中均匀分布着沿轴向流动的电流I ，求空间的磁
场B
；又当b a →、I 不变，重求B
。
解：这是一个轴对称的二维磁场，?()B B r ??
= ，B
只有??方向分量。且()B r ?只与坐标r 有关。此题适合在柱坐标系中求解。根据安培环路定律：
0L
B dl J ds μ?=??
??
，
可用于求解空间磁场分布，其中，L 是以r 为半径、垂直于z 轴的圆形闭合曲线，线上任何一点B ?均相同。
r a <区域：0J =
，即20B r ?π?=，因此：0, 0,B B ?==
a r
b <<区域：22?()
I
J z
b a π=
-
，在半径为r 的圆内，相铰链的电流为 2222
222222()()()()()I I I r a s r a b a b a b a πππ-=-=---，代入环路定律：
22022()
??2()
L r a B dl rB I b a ????πμ-?==-? ，解之，得到： 22022()
2()
I r a B r b a ?μπ-=
-， 22022
(), 2()
I r a B B a r b r b a ?μ??π-==<<- r b >区域：总电流为I ， 02L
B dl B r I ?πμ?=?=? ，
02I
B r ?μπ=
， 0, 2I B B r b r
?μ??π==>
当a b →时，电流以面电流密度2I b
π均与分布在r b =的圆柱面上，r b <的区域内，没有电流分布，
由安培环路定律得：
, 0r b B <=
0L
, 2r b B dl B r I ?πμ>?=?=?
02I
B r ?μπ=，0?2I B r
μ?π=
电磁场理论习题及答案7.
习题： 1. 在3z m =的平面内，长度0.5l m =的导线沿x 轴方向排列。当该导线以速度 24x y m v e e s =+在磁感应强度22363x y z B e x z e e xz T =+-的磁场中移动时，求 感应电动势。 解：给定的磁场为恒定磁场，故导线中的感应电动势只能是导线在恒定磁场中移动时由洛仑兹力产生的。有 ()in v B dl ε=??? 根据已知条件，得 2233()|(24)(363)|z x y x y z z v B e e e x z e e xz ==?=+?+- 210854(1236)x y z e x e x e x =-++- x dl e dx = 故感应电动势为 0.5 20[10854(1236)]13.5in x y z x e x e x e x e dx V ε=-++-?=-? 2.长度为l 的细导体棒位于xy 平面内，其一端固定在坐标原点。当其在恒定磁场 0z B e B =中以角速度ω旋转时，求导体棒中的感应电动势。 解：导体中的感应电动势是由洛仑兹力产生的，即 ()in v b dl ε=??? 根据已知条件，导体棒上任意半径r 处的速度为 v e r ωΦ= r dl e dr = 故感应电动势为 20000 1()()2 l l L in z r v b dl e r e B e dr B rdr B l V εωωωΦ=??=??==??? 3.试推出在线性、无耗、各向同性的非均匀媒质中的麦克斯韦方程。 解：考察麦克斯韦方程中的参量，利用它们与电场强度E 和磁感应强度B 的
关系，将,,H B D E J E μεσ===代入即可，注意在非均匀媒质中,,μεσ是空间坐标的函数。 考察麦克斯韦第一方程，有 11 ()B H B B μ μμ ??=?? =??+?? 2 1 1 B B μμ μ =- ??+?? D E J J t t ε ??=+=+?? 所以 E B B J t μμμε μ ?????=++ ? 而 ()D E E E εεερ??=??=??+??=，于是，微分形式的麦克斯韦方程用E 和B 表示为 E B B J t μμμε μ ?????=++ ? B E t ???=- ? 0B ??= E E εερ??+??= 对于无耗媒质，0σ=，因此有0J =。 4.试由麦克斯韦方程推导出电流连续性方程J t ρ???=-?。 解：对麦克斯韦第一方程D H J t ???=+ ?两边取散度，得
电磁场与电磁波习题及答案
1 麦克斯韦方程组的微分形式 是：.D H J t ???=+? ,B E t ???=-? ,0B ?= ,D ρ?= 2静电场的基本方程积分形式为： 0C E dl =? S D d s ρ=? 3理想导体（设为媒质2）与空气（设为媒质1）分界面上，电磁场的边界条件为：4线性且各向同性媒质的本构关系方程是：5电流连续性方程的微分形式为：。 6电位满足的泊松方程为 ； 在两种完纯介质分界面上电位满足的边界 。7应用镜像法和其它间接方法解静 态场边值问题的理论依据是。8.电场强度E 的单位是， 电位移D 的单位是 。9．静电场的两个基本方程的微分 形式为 0E ??= ρ?= D ；10.一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安培力作用 3.0 0n S n n n S e e e e J ρ??=??=???=???=?D B E H 4.D E ε= ,B H μ= ,J E σ= 5. J t ρ ??=- ? 6.2ρ?ε?=- 12??= 12 12n n εεεε??=?? 7.唯一性定理 8.V/m C/m2 1.在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A ，并令 B A =?? 的依据是（c.0B ?= ） 2. “某处的电位0=?，则该处的电场强度0=E ” 的说法是（错误的 ）。 3. 自由空间中的平行双线传输线，导线半径为a , 线间距为D ，则传输线单位长度的电容为（ ) l n (0 1 a a D C -= πε ）。 4. 点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（ 1/r2 ）。 5. N 个导体组成的系统的能量∑==N i i i q W 1 21φ，其中i φ是（除i 个导体外的其他导体）产生的电位。 6.为了描述电荷分布在空间流动的状态，定义体积电流密度J ，其国际单位为（a/m2 ） 7. 应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性） 分布。 8. 如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一定为零 ）。 8. 真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度dB 随该点到电流元距离变化的规律为（1/r2 ）。 10. 半径为a 的球形电荷分布产生的电场的能量储存于 （整个空间 ）。 三、海水的电导率为4S/m ，相对介电常数为81，求频率为1MHz 时，位幅与导幅比值？ 三、解：设电场随时间作正弦变化，表示为： cos x m E e E t ω= 则位移电流密度为：0sin d x r m D J e E t t ωεεω?==-? 其振幅值为：304510.dm r m m J E E ωεε-==? 传导电流的振幅值为：4cm m m J E E σ== 因此： 3112510 .dm cm J J -=? 四、自由空间中，有一半径为a 、带电荷量q 的导体球。 试求：（1）空间的电场强度分布；（2）导体球的电容。（15分） 四、解：由高斯定理 D S S d q =?得2 4q D r π= 24D e e r r q D r π== 空间的电场分布2 04D E e r q r επε== 导体球的电位 2 0044E l E r e r r a a a q q U d d d r a πεπε∞∞∞====??? 导体球的电容04q C a U πε= = 五、两块无限大接地导体板分别置于x=0和x=a 处，其间在x=x0处有一面密度为σ2C/m 的均匀电荷分布，如图所示。求两导体板间的电场和电位。（20分） 解：()2 102d 00;d x x x ?=<<()22 02d 0 d x x a x ?=<< 得： ()()11100;x C x D x x ?=+<< ()()2220x C x D x x a ?=+< <
电子信息工程专业“电磁场与微波技术”改革与实践
电子信息工程专业电磁场与微波技术改革与实践 电磁场与微波技术是我校电子信息工程专业主要专业基础课之一，随着通信技术的飞速发展，载波的频率不断提高，其基本理论、基本概念及分析方法在现代飞机通信系统、导航系统和雷达系统的应用越来越广泛。 2008年以来，为了适应宽口径人才培养的需要，这门课程的学时进行了大幅压缩，但工程教育改革和航空维修技术的发展对学生的知识和能力要求却不断提高。因此迫切需要对原电磁场与微波技术教学内容、教学方法和教学手段进行改革和建设，以有效解决学时压缩与知识、能力和素质培养之间的矛盾。 一、以需求为导向顶层设计一体化课程内容，优化知识结构 2008年以来，课程由原来的80学时减少到54学时。为解决知识面宽、学时少的问题，结合专业培养目标和航空电子系统专业课程需求进行顶层设计，明确课程在培养目标中的地位和要求，在此基础上，将课程涉及到的矢量分析与场论、电磁场与电磁波、微波技术基础、天线与电波等多门课程的教学内容结合前修课程普通物理、高等数学和后续课程雷达原理、通信系统、导航系统等课程内容进行一体化设计，整合教学内容，优化知识结构。加强课程内部及与相关课程教学内容的有机联系，使其相互支持。整合后的内容主要包括五大部分[1-2]。 1.电磁场理论的数学基础部分矢量分析与场论 主要讲授矢量的散度、旋度和标量的梯度等概念及运算。删除了与高等数学重复的推导和分析过程，重点讲授这些运算的物理概念及其在电磁场理论中的应用。实现了高等数学与矢量分析与场论的平滑过渡，也为学习电磁场理论奠定了基础。 2.电磁场理论基础 传统讲授方法是静电场、恒定电场、恒定磁场、时变电磁场、这样需要的学时较多。 对于航空电子系统，时变电磁场比静电场、恒定电场和恒定磁场更加重要。考虑到学生在大学物理中已有电磁学的基础，因此本章主要是在介绍电磁场中的基本场矢量，积分形式的麦克斯韦方程组的基础上，结合矢量分析重点阐述微分形式麦克斯韦方程组的各种场之间的共性和个性，重点分析理想介质中均匀平面波的传播特性、电磁波的极化、均匀平面波在理想介质中的传播和在不同媒质分界面上的垂直入射与斜入射，实现普通物理与电磁场理论基础内容的无缝对接。 3.微波技术基础 该部分是这门课程的核心内容，也是学习主要后续专业课程飞机通信系统、无电导航系统、雷达原理与系统的基础。讲授的内容主要包括传输线的分布参数、传输线的工作状态、圆图及其应用、阻抗匹配、矩形波导、微带线、微波网络和微波元件等内容。 该部分的内容克服了我国传统教材重理论轻应用的问题，大量实例结合机载电子系统和实际工程应用，从系统应用角度设计教学内容。 4.天线与电波传播 该部分内容是新增内容，在讲授天线和电波基本理论的基础上，将机载电子系统的相关知识融入教学中，如机载电子系统的各种天线的结构和辐射特性，各个系统的电波传播特性等，以便于后续专业课程的学习。 5.电磁场与微波实验 为加强对微波系统的认识，提高微波测试能力，开设了微波实验课程，实验项目主要有：微波系统的认识和调整，微波阻抗的测量与调配，电压驻波比测量，微波网络参量测量，定向耦合器的技术指标测量、电磁波的反射与折射等内容。尽管学时由原来的8学时压缩到6学时，但通过合理安排实验项目，实验项目却比原来增加了电磁场部分实验（电磁波的反射、折射），以及根据实验原理自主设计实验步骤的实验（定向耦合器性能指标的测量）。
电磁场与微波技术基础
天津市高等教育自学考试课程考试大纲 课程名称：电磁场与微波技术基础课程代码：0910 第一部分课程性质与目标 一、课程性质与特点 电磁场与微波技术基础是高等教育自学考试通信工程专业的一门专业基础课，是在完成高等数学和高频电子线路课程的学习后开设的必修课程之一，本课程在整个课程体系中是后续众多通信专业课的生长点和发展的基础。 本课程重点论述了工程电磁场的基本理论和技术，内容涵盖了电场、磁场、时变场、电磁波、传输线、波导和天线等。通过学习可以使考生较全面的了解电磁场及微波领域的基本理论和基本内容，为今后学习和工作打下坚实的基础。 二、课程目标与基本要求 本课程的目标是使学生通过本课程的学习和辅导考试，进行有关工程电磁场基础理论和技术方面的培养和训练，使学生对电磁场、微波和天线领域有相当程度的了解，为今后学习和工作创造一个知识面宽广的环境。 课程基本要求如下： 1、熟悉工程电磁场中数学分析方法。 2、掌握静电场中电场、电位和电能的计算，了解静电场基本性质。 3、掌握恒定磁场中磁场和磁能的计算，了解引入矢量磁位的必要性并熟悉恒定磁场的基本性质。 4、掌握时变场中法拉第电磁感应定律和麦克斯韦关于位移电流的概念。 5、熟悉麦克斯韦方程组数学表达式及其物理意义。 6、熟悉电磁场中的边界条件及其应用。 7、掌握坡印廷矢量概念。 8、学习电磁波在两种不同介质界面上的垂直入射和斜入射，掌握有关公式。 9、学习传输线基本理论，掌握分布参数、特性阻抗、输入阻抗、反射系数、电压驻波比基本概念及相关表达式，熟悉传输线阻抗匹配的意义和应用。 10、学习波导中波型（TE模和TM模）的概念，了解矩形波导中模的截止频率和主摸传输的概念。 11、学习天线有关知识，了解天线的基本参数。 三、与本专业其他课程的关系 本课程在通信工程专业的教学计划中被列为专业基础课，安排在学完高频电子线路之后和通信专业课之前时间内开设。本课程的学习是后续通信专业课程（如移动通信、通信技术等）的基础。 第二部分考核内容与考核目标 第一章矢量分析 一、学习目的与要求 通过本章学习，熟悉矢量分析中矢量符号表示法，矢量加减运算、两矢量点积和叉积运算规则，三种坐标系（笛卡尔、圆柱和球坐标）表示方法和相互间的转换。
电磁场复习题
《电磁场与电磁波基础》复习题 一、 填空题： （第一章）（第二章）（第三章）（第四章）（第五章）（第六章） （第一章） 1、直角坐标系下，微分线元表达式 z e y e x e l z y x d d d d ++= 面积元表达式 2、圆柱坐标系下，微分线元表达式z e e e l z d d d d ++=φρρφρ， 面积元表达式z e l l e S z d d d d d φρρφρρ == z e l l e S z d d d d d ρφρφφ ==φρρφρd d d d d z z z e l l e S == 3、圆柱坐标系中，ρe 、e ? 随变量? 的变化关系分别是φρφ e e =??，ρφφe -e =?? 4、矢量的通量物理含义是 矢量穿过曲面的矢量线的总和； 散度的物理意义是 矢量场中任意一点处通量对体积的变化率； 散度与通量的关系是 散度一个单位体积内通过的通量。 5、散度在直角坐标系 F z F y F x F V S d F F div Z Y X S V ??=??+??+??=??=?→?0lim 散度在圆柱坐标系 z F F F F div Z ??+??+??=φρρρρφρ1)(1 6、矢量微分算符（哈密顿算符）?在直角坐标系的表达式为 z z y y x x e e e ??+??+??=? 圆柱坐标系 z e z ??+??+??=? φρρφρe e 球坐标系分别 ? θθφθ??+??+??=?sin e e r e r r r 7、高斯散度定理数学表达式 ???=??V s S d F dV F ，本课程主要应用的两个方面分别是 静电场的散度 、 恒定磁场的散度 ；
电磁场理论习题及答案1
一． 1.对于矢量A u v，若A u v＝ e u u v x A＋y e u u v y A＋z e u u v z A， x 则： e u u v?x e u u v＝；z e u u v?z e u u v＝； y e u u v?x e u u v＝；x e u u v?x e u u v＝ z 2.对于某一矢量A u v，它的散度定义式为； 用哈密顿算子表示为 3.对于矢量A u v，写出： 高斯定理 斯托克斯定理 4.真空中静电场的两个基本方程的微分形式为 和 5.分析恒定磁场时，在无界真空中，两个基本场变量之间的关系为，通常称它为 二.判断：（共20分，每空2分）正确的在括号中打“√”，错误的打“×”。 1.描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。（） 2.标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。（） 3.梯度的方向是等值面的切线方向。（） 4.恒定电流场是一个无散度场。（） 5.一般说来，电场和磁场是共存于同一空间的，但在静止和恒定的情况下，电场和磁场可以独立进行分析。（） 6.静电场和恒定磁场都是矢量场，在本质上也是相同的。（）
7.研究物质空间内的电场时，仅用电场强度一个场变量不能完全反映物质内发生的静电现象。（ ） 8.泊松方程和拉普拉斯方程都适用于有源区域。（ ） 9.静电场的边值问题，在每一类的边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解都是唯一的。（ ） 10.物质被磁化问题和磁化物质产生的宏观磁效应问题是不相关的两方面问题。（ ） 三.简答：（共30分，每小题5分） 1.用数学式说明梯无旋。 2.写出标量场的方向导数表达式并说明其涵义。 3.说明真空中电场强度和库仑定律。 4.实际边值问题的边界条件分为哪几类？ 5.写出磁通连续性方程的积分形式和微分形式。 6.写出在恒定磁场中，不同介质交界面上的边界条件。 四.计算：（共10分）半径分别为a,b(a>b),球心距为c(c 电磁场与微波技术 080904 （一级学科：电子科学与技术） 本学科是电子科学与技术一级学科下属的二级学科，是1990年由国务院学位办批准的博士学位授予点，同时承担接收博士后研究人员的任务，2003年被批准为国防科工委委级重点学科点。本学科专业内容涉及电磁场理论、微波毫米波技术及其应用，主要领域包括电磁波的产生、传播、辐射、散射的理论和技术，微波和毫米波电路系统的理论、分析、仿真、设计及应用，以及环境电磁学、光电子学、电磁兼容等交叉学科内容。多年来在多种军事和国民经济应用的推动下，本学科在天线理论与技术、电磁散射与逆散射、电磁隐身技术、微波毫米波理论与技术、光电子技术、电磁兼容、计算电磁学与电磁仿真技术、微波毫米波系统工程与集成应用等方面的研究形成了鲜明的特色，取得了显著成果。其主要研究方向有： 1.计算电磁学及其应用：设计、研究、开发高精度、高效率电磁计算算法；研究高效精确电磁计算算法在目标特性、微波成像及遥感、电磁环境预测、天线分析和设计等方面的应用。 2.微波/毫米波电路设计理论与技术：研究有源元器件与电路模型、与微电子、微机械工艺相关的材料器件等模型的建立及参数提取；研究低相噪频率源技术，微波/毫米波单片集成电路设计，基于微机械（MEMS）的微波/毫米波开关、移相器和滤波器设计。 3.电磁波与物质的相互作用：研究电磁散射和逆散射算法，军事装备目标特性测试技术，隐身目标测试技术，目标散射中心三维成像技术；研究轻质、宽频、自适应智能隐身材料。 4.微波/毫米波系统理论与集成应用技术：设计、研究、开发特殊环境下的微波/毫米波系统；研究微波/毫米波测试技术；研究天线设计理论与技术。 一、培养目标 掌握坚实的电磁场与微波技术以及相应学科的基础理论，具有系统的专门知识，熟练应用计算机，掌握相应的实验技术，掌握一门外国语，学风端正，具备独立从事科学研究工作和独立担负专门技术工作的能力，能胜任科研、生产单位和高等院校的研究、开发、教学或管理等工作。 二、课程设置 一 习题答案（第二章） 2.4 由E =-?? 已知?=+2ax b 得2E a =-??=- x ax 根据高斯定理：0 .E ?= ρ ε得 电荷密度为： 00.E ==? -2a ρεε 2.6 取直角坐标系如图所示，设圆盘位于xoy 平面，圆盘中心与坐标原点重合 方法1： 由 ' 04s s ds R ρ?=πε? 在球坐标系求电位值，取带点坐标表示源区电磁场与微波技术
电磁场课后习题答案