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高数复习题2008.6

2007—2008学年度《高等数学》（2）期末考试复习大纲

一．函数的定义域、极限和连续（连续的定义）；

1．函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处连续是它在该点偏导数存在的： (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件；

(C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件．答（D ）

2．证明极限3

420

0lim y x y

x y x +→→不存在． [证明]：取不同的直线路径y=kx 233420

lim k

x k x kx x kx y x =+→=→ 沿不同的路径极限不同，故由定义二重极限不存在．

二．直线与平面的位置关系，空间曲线的切线，空间曲面的切平面；

1．在椭圆抛物面222y x z +=上求一点，使曲面在该点处的切平面垂直于直线

?=+=+0

302z y y x

解：切平面法向量：n={2x,4y ，－1}直线方向向量：s={3,-6,2} n//s ，所求切点：（-3/4,3/4,27/16）

2．求曲线2,1,1t z t

t y t t x =+=+=在t = 1处的切线及法平面方程．

解：t = 1 时 x = 1/2 , y = 2 , z = 1

()

22,

11,

111

==-=-

======t t t t t t t dt

dz t dt

dy t dt

切线方程：

124121-=

--=-z y x 法平面方程：()()01222141=-+--??? ??-z y x 3．求曲面x 2

－ 2 y 2 +2 z 2 = 1上过点（1,1,1）的切平面方程．解：F= x 2 －2 y 2 +2 z 2 – 1 F x =2x F y =－4y F z =4z 切平面方程为：2（x – 1）－4 ( y - 1) + 4 (z - 1) = 0

4．求曲面x 2+4y-z 2+5=0 垂直于直线z y x =-=-2

121的切平面方程．

解：设F(x,y,z)=x 2+4y-z 2

+5 F x =2x, F y =4, F z =-2z

22422z x -=

=解得切点：x 0=2 y 0=-2 z 0=-1

切平面 2x+2y+z+1=0

5．求曲面22232y xyz yz +-=在点(,,)--214处的切平面和法线方程．

对应的切平面法向量

{}{} n =-=---8642432,,,,

切平面方程

4231240()()()x y z +---+= 或43230x y z --+= 法线方程

x y z +=--=+-241342

6．求正数λ，使曲面λ=xyz 与椭球面12

2222=++c z b y a x 在某点有相同的切平面，

并写出切点的坐标(,,)a b c >>>000．

解：设在点(,,)x y z 000处相切

则 a y z x b x z y c x y z t 200020002000

=== 即 t

z c t y b t x a 202202202,,===λλλ

由此 3λ=t

及 a b c x y z t t 2223020202323527λλλ=== λ2

222

a b c ，故 λ=

abc

相应点是

??? ??--???? ??3,3,3,3,3,3c b a c b a

??? ??--???? ??--3,3,3

3,3,3c b a c b a 三．方向导数、复合函数求导（高阶）、隐函数求导和全微分

1．求函数2222z y x u ++=在点)1,1,1(0P 处沿P 0

方向的方向导数，其中O 为坐

标原点．

解：Gradu={2x,2y,4z} ;方向导数为：

{}3

831,3

14,2,2-=?

?????---?

2．求函数22y x u -=在（1，1）点沿{}3,4-=α方向的方向导数．

{}{}5

143,4512,2)1,1(=-?-=??l u 解：

3．求xyz z xy u -+=3在点P （1,2,3）沿分别与坐标轴正向成30○ ，45○，60○

角的方向上的方向导数．解：

()

()()()

()()2,

43,2,13,2,13,2,13,2,1-=-=??-=-=??xz x y

u yz y x

()

(

)(

)

2533,2,123,2,1=-=??xy

z z

2325.122

12522223425cos602cos45-4cos30---=?+?-?

-=+

4．函数),(y x z z =由方程1),(=++xz y yz x F 所确定，其中F 具有一阶连续偏导

数，求dz ．

解：x

F y F F z F z x

F y F z

F F z dy z dx z dz y x y x ?+??+?-

=?+??+?-

=+=212121211

1其中

5．设z =(1+xy )x ,求dz 解：

)1ln(ln ,xy x z x

dy y z dx x z dz +=????+??=

令先求 ()()??????

++++=??xy xy xy xy x z x 11ln 1 ()1

21-+=??x xy x y

z dy xy x dx xy x xy xy dz x x 1

2)1(1)1ln()1(-++?????

?++++=故 6．求函数 u=e xyz 在点P 0(1,0,-1)沿1

0P 方向的方向导数．其中P 1的坐标为

(2,1,-1)．解：

因{}}0,1,1{)1(1,01,121

0=-----==P l

0cos ,2

cos ,21cos ===γβα故

{}{}0,1,0,,0

-==p xyz xyz xyz p xye xze yze gradu

方向导数{}220,21,210,1,00-=?

?????-=??p l u 7．设u=f (x,y,z ),而?(x 2，e y ，z )=0，y=sim x 其中f , ?具有一阶连续偏导数，且

0≠??x ?求dx du ．解：由已知

0cos 2321='

+'+'dx

x e x y ??? '

-'-=3

21cos .2???x e x dx dz y dx

dz f x f f dx du '+'+'=321cos

-'+'321cos f x f f '

'-'-3

21cos .2???x e x y 8．设z=z (x , y )由y z x z dt e x z xy

t ????=+?-,0

2确定，求．

解：

x dt e z xy

t -=?-0

x e y

z y e x z y x y x 22221--=??-=??

9．求函数22232z y x u ++=在点(1,1,4)处沿曲线??

???+===1332

t z t

y t

x 在该点切线方向的方向导数．

解：在点(1,1,4)处对应的t 0= 1，切线方向向量｛1,2t,9t 2｝t=1=｛1,2,9｝

cos α=861 cos β=862 cos γ=869

4,1,1(32)

4,1,1(||222=

++?z y x x

)4,1,1(322)4,1,1(||2

22=

=++??z y x y y

u 51

)4,1,1(323)4,1,1(||2

22=

++??z y x z

z u 4386

11386

951

1286

251

286

151

=??l

u 四．条件极值；

1．在圆122=+y x 的0,0≥≥y x 部分上找点P ，使其到点M (2,1)的距离为最小．

解：设所求点 ()22200)1()2(,-+-=y x d y x P 满足：最小，条件极值由拉格朗日乘数法设：

02)1(202)2(2)

1()1()2(222222=+=+-==+-=-++-+-=y x y y F x x F y x y x F y x λλλ

解出：

52,1500=

-=y x λ 2．利用多元函数求极值的方法，求点P （1，2，-1）到直线??

?=+-=+4

325

2z y x y x 的距离．设线上一点为()z y x ,,，()()()2222121++-+-=z y x d 令F=()()()()()43252121222-+-+-++++-+-z y x u y x z y x λ

?????????=+-=+=++==-+-==++-=4

325203)1(202)2(202)1(2z y x y x z F y F x F z y x μμλμλ的唯一解?????=

==2

123

2z y x

故2

3．利用拉格朗日乘数法，求椭圆抛物面z=x 2+2y 2到平面x+2y-3z=2的最短距离．解：点到平面的距离

9412

322

++--+=

+++++=

z y x C

B A D

Cz By Ax d

取目标函数()2232--+=z y x u 条件函数：0222=-+z y x

()

???

?=-+=---+-==+--+==+--+=-++--+=020)232(604)232(402)232(22)232(),,(22222z y x z y x F x z y x F x z y x F z

y x z y x z y x F z y x λλλλ构造解出驻点：8141424/16/26/1121,61,61=--+=?

? ??d 最短距离五．二重积分的计算（直角坐标和极坐标）；

1．设),(y x f 是连续函数，改变二次积分?

???--+a

a a

y x f dx dy y x f dx 0

02),(),(的顺序. 解:

???--+a

a a

y x f dx dy y x f dx 0

02),(),(＝??

-a

dx y x f dy 0

),(

2．更换积分次序：()()()??????-----+=y

x dx y x f dy dx y x f dy

dy y x f dx 241

,,,2

3．计算二次积分dy y dx x ??-2

231

sin

解： D ：1≤x ≤3 x-1≤y ≤2

改变积分顺序，得：0≤y ≤2, 1≤x ≤y+1

)4cos 1(2

1sin 21sin }sin sin )1{(sin 2

222

022

2-=-==

-+==?

+y dy

y y dy y y y dx

y dy I y 、

4．计算 I=y xydxd D

??D ：y = x +1, y = x/2 , y = 0, y = 1 所围成．

解：I=()

???=

-+=-1

02321

102411

2321dy y y y xydx dy y y 5．利用二重积分求不等式r ≤2cos θ, r ≤1所表达的区域的面积．解法一：利用直角坐标

332]arcsin 1[]12[232

3232

2232

321)

21(1-=-+-=-==?

???

------πy y y y dy y dx dy dxdy D

y y 解法二：利用极坐标

2332)cos 26(2[22

cos 20

=+=+=???

???

?πθθπ

θθθπ

ππ

πθ

d rdr d rdr d rdrd D

6．计算二重积分()??+D

dxdy y x 其中Ｄ：x 2+y 2≤1．

解：原积分＝

8cos 81

220

=+??????

dr r d dxdy y dxdy x C

θθ

7．利用极坐标计算

????-----+

R y R x y

R y

x y

dx e

dx e dy e

解：

()2

218

R R

r R

R y R x y R y

x y e rdr e d dx e

e dx e dy e --------=

???

?π

θπ

六．第一类曲线积分，第二类曲线积分，积分与路径无关；

1．计算曲线积分xydy dx y x L 2)(22++?．式中L 由极坐标方程?sin 2-=r 所表示

的曲线上从0=?到2

π?=的一段．

解：

y y

x Q 2=??=?? 积分与路径无关，选择沿坐标轴由点(2,0)到(0,1)

原积分＝3801

-=+??dy dx x

2．设),(,),(y x v v y x u u ==都是具有二阶连续偏导数的二元函数，且使曲线积分

L vdy udx 与

-2

L udy vdx 都与积分路径无关．试证：对于函数

),(,),(y x v v y x u u ==，恒有0,02

222222=??+??=??+??y

x v y u x u ．

0),(2222222222

2222=??+??=??+??=???=?????-=????=????=

??y

v x v y u x u y x v v y x v y

u x y v x

u y v x u x

y u 同理有：故代入有种二阶混合偏导相等，具有二阶连续偏导则两由于是有－知：解：由积分与路径无关 3．计算积分

式中L 是从点O (0，0)沿曲

线y =sin x 到点A (π，0)的弧段．

七．第一类曲面积分，第二类曲面积分，高斯公式；

1．设空间Ω区域由曲面222y x a z --=和平面0=z 所围，∑为Ω的表面外侧，求：

dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz x )1(2222++-??∑

解：原积分＝

2)sin cos 21()21(42000

2πθθθπ

a dz z r rdr d dv xyz a

r a v =+=+??????- 2．计算dxdy z dzdx y dydz x 3

33++??∑

，其中∑为球面1222=++z y x 的外侧．

解：由高斯公式，原积分＝

(

)

??????==++π

ππφφθ20

225

12sin 33dr r d d dv z y x v

3．计算

其中∑是z =1－x 2－y 2在xoy 面上方的部分

曲面的上侧．

解：补一平面块∑1：z =0,x 2+y 2≤1，取下侧，

∑和∑1围成立体Ω，由高斯公式

4．计算

I ＝??∑

++ydzdx xdydz zdxdy ∑：是柱面x 2 + y 2 = 1被平面z=0,z=3所截得的在第一卦限的部分的前侧．

解：I=?????=?=-+-1

223

0223cos 3211πθθπd dz x dx dz y dy

八．常数项级数的收敛性，绝对收敛和条件收敛九．幂级数的收敛域与和函数

1．试求幂函数∑∞

-+--1121

)

12(2)

1(n nx n n 的收敛域及和函数．

解：1)()

(lim

21<==+∞→x x u x u n

n n ρ收敛x=1与x=-1时数项级数一般项不趋于0，

故皆发散，收敛区间为(-1,1)．设和函数S(x)= ∑∞-+--1

121

)

12(2)

1(n nx n n

()

()11

1210

121121)(S x n x

x n x dx x S n n x

n n ∑?∑∞

-+∞

+=--=--= ()()∑∑∞

∞

-+-+=+=-='???

? ??--='11122

211211arctan ,111121x S x x n x S n n n n

()2

01arctan arctan )()(x x x x x dx x S x S x ++='

????=? 2．求幂级数n x n n ∑∞

的收敛区间及和函数． x

n n x

n n n

n n e x x S e x S xe x n x x n dx S xS x n n

x x n n S R a a )1()1()!1(1)!1(1)!1(!)

,(0lim

1111011

11121

+=+==-=-==-==+∞-∞∞==∑∑?∑∑∞

-∞

∞

-∞

+∞→设　收敛区间＝解：ρ

3．求幂级数∑∞

+=-1

)1(n n

n x 的收敛区间与和函数．解：1R =，收敛区间为[0,2)

设1()n n t s t n

+∞

==∑，则1

11(),()l n (1)1n n s t t

s t t t

∞-='===---∑．故∑∞

+=-1

)1(n n

n x 的和函数为()ln(2)s x x =--．

4．求幂级数1

n n

n x n -∞

=∑的收敛区间与和函数．

解：收敛区间为[3,3)-．设11()3

n n n x s x n -∞

==∑， 1

111(())()333n

n n n n n x x xs x n x -∞

∞

==''===

-∑∑．故??

???=≠--=0310)3ln(1

3ln )(x x x x x x s ． 5．求幂级数()n n n x n n ∑∞

=-2

ln 1的收敛域．当x=1时，是绝对收敛还是条件收敛？

并给出证明．

解：1ln 1)1ln(lim lim

1=?++=∞→+∞→n n

n n a a n n

n n 收敛半径R ＝1

当x=1时

令 ()x x x f ln =，()2

1x x x f -=' 当 e x >时，()0<'x f ()x f 单调减当 3≥n ()()11+=+>=n a n f n f n a 又 0ln lim lim ==∞→∞→n

n a n n n

故()∑∞=-3

ln 1n n n n 为莱布尼兹级数收敛，从而原级数收敛．一般项加绝对值后，当2>n 时， n

n n 2ln ln >，

故 ∑∞

=1ln n n

n 发散．

故原级数条件收敛．当x= -1时即∑∞

=1ln n n

n 由上面讨论知发散．

收敛区间(-1,1]

高等数学(一)第三章(下)练习题

高等数学（一）（第三章练习题）一、单项选择题 1.设函数y=2x 2，已知其在点x 0处自变量增量3.0x =?时，对应函数增量y ?的线性主部为-0.6，则x 0=（） A.0 B.1 C.-0.5 D.-4 2.设某商品的需求函数为Q=a-bp ，其中p 表示商品价格，Q 为需求量，a 、b 为正常数，则需求量对价格的弹性=EP EQ （） A.bp a b -- B. bp a b - C. bp a bp -- D. bp a bp - 3.设y=lnsinx,则dy=（） A.-cotx dx B.cotx dx C.-tanx dx D.tanx dx 4.设y=a x (a>0,a ≠1),则y (n) = =0x （） A.0 B.1 C.lna D.(lna)n 5.若函数f(x)在点x 0处自变量增量Δx=0.25，对应函数增量Δy 的线性主部为2，则函数在该点的导数值=')x (f 0（） A.4 B.8 C.0.5 D.0.125 6.设某商品的供给函数为S=a+bp ，其中p 为商品价格，S 为供给量，a,b 为正常数，则该商品的供给价格弹性=EP ES （） A.bp a bp + B.bp a b + C.bp a bp +- D. bp a b +- 7．设产品的利润函数为L （x ）,则生产x o 个单位时的边际利润为（） A ． 00x )x (L B ．dx ) x (dL C ． x x dx )x (dL = D ． )dx ) x (L (dx d 8．设f(x)=x 15+3x 3-x+1,则f (16)（1）=（） A ．16! B ．15! C ．14! D ．0 9设某商品的需求函数为D(P)=475-10P-P 2,则当P = 5时的需求价格弹性为（） A.0.25 B.-0.25 C.100 D.-100 10．已知某商品的成本函数为500302)(++=Q Q Q C ，则当产量Q =100时的边际成本（） A ．5 B ．3 C ．3.5 D ．1.5 11．设某商品的需求量D 对价格p 的需求函数为D =50-5 p ，则需求价格弹性函数为( ) A. 250-p p B.p p -250 C.51 p p -250 D.51 250 -p p

高等数学下册试题(题库)及参考答案

高等数学下册试题库一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， |AB |= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 解由公式（6-21）有 2 1112)1(211)1(1221cos 2222222 121= ++?-++?-+?+?= ??= n n n n α，因此，所求夹角 32 1 arccos π α= =． 5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ．解由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有 ?? ?=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的平面方程 01=-+y x 6．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2

高数期末考试试题及答案[1]

北京邮电大学2009-2010学年第二学期《高等数学》（下）期末试题（A2） 1．极限2 221lim 1x x y x y x +→∞→??+= ? ? ?2e ． 2．设()2y z x y x ?=++，其中?具有连续二阶偏导数，则2z x y ???=2x ()''21()ln 1y x y x y x ?-+++． 3．曲面arctan()z xy =在点(1,1,)4 P π处的法线方程为 4112 2 1 1 1 z x y π ---= = -． 4．函数z (,,)21f x y z z e xy =-++在点（2,1,0 ）处的方向导数的最大值为 5．设2x u v z y u vz ?=-++?=+? 确定u=u(x,y,z),v=(x,y,z),则u x ?=?12z zu -+． 6．幂函数21 (1)9n n n x ∞ =-∑的收敛区域是 (2,4)- ． 7．设2 ,10 ()1,01x x f x x x --<≤?=?-<≤?，是周期为2的周期函数，则其傅里叶级数在点x=4处收敛于 12 ． 8．设2222y z R ++=∑：x 外侧，则2223/2 ()xdydz ydzdx zdxdy x y z ++=++∑ ??4π． 9．已知22A=y +2z +xy ,=x +y +z ,i j k B i j k ，则div (A )B ? =3224x y z x z ---． 10．设L 为取正向的圆周x 2+y 2=9，则曲线积分 2 (22)(4)L xy y dx x x dy -+-?= 18π- ．（用格林公式易）二（8分）．将函数f(x)= 2 12565x x x ---在点x 0=2处展开成泰勒级数，并指出其收敛域．解：若用泰勒级数 2() 0000 000''()()()()()()'()()2! ! n n f x x x f x x x f x f x f x x x n --=+-++++

高等数学1试卷(附答案)

一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 1．由曲线2cos r θ=所围成的图形的面积是 π 。 2．设由方程22x y =所确定的隐函数为)(x y y =，则2y dy dx x = - 。 3．函数2 sin y x =的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为2 44 1()3 x x o x -+。 4． 1 1 dx =? 。 5．函数x x y cos 2+=在区间?? ? ???20π，上的最大值为 6 π +。 6． 222222lim 12n n n n n n n n →∞?? +++ ?+++? ? = 4 π。二、选择题（共7小题，每小题3分，共21分） 1. 设21cos sin ,0 ()1,0x x x f x x x x ? +

暨南大学《高等数学I 》试卷A 考生姓名：学号： 3. 1 +∞=? C 。 A ．不存在 B ．0 C ．2π D ．π 4. 设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f '=，0 lim ()1x f x →''=-，则下列叙述正确的是 A 。 A ．(0)f 是()f x 的极大值 B ．(0)f 是()f x 的极小值 C ．(0)f 不是()f x 的极值 D ．(0)f 是()f x 的最小值 5.曲线2x y d t π-=?的全长为 D 。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6. 当,a b 为何值时，点( 1, 3 )为曲线3 2 y ax bx =+的拐点？ A 。 A ．32a =- ，92b = B. 32a =，9 2b =- C ．32a =- ，92b =- D. 32a =，92 b = 7. 曲线2x y x -=?的凸区间为 D 。 A.2(,)ln 2-∞- B.2(,)ln 2-+∞ C.2(,)ln 2+∞ D.2(,)ln 2 -∞ 三、计算题（共7小题，其中第1～5题每小题6分，第6~7题每小题8分，共46分） 1. 2 1lim cos x x x →∞?? ?? ? 解：()2 1 cos lim , 1 t t t x t →==原式令 )0 0( cos ln lim 2 0型t t t e →= （3分） t t t t e cos 2sin lim ?-→= 12 e - = （6分）

高等数学(下册)期末复习试题及答案

一、填空题（共21分每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ???+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π +． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*．二、解答题（共18分每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 2032z y x z y x 的平面方程．解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域．解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)

???Ωv z y x f d ),,(???-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-=D y x y x e I d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-=2020d d 2r r e I r πθ??-- =-20220)(d d 212r e r πθ?-?-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分每题7分） 1．设v ue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ．解：)2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求y z x z ????,．解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分 ?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有向弧段．解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-? =022 (7分) 4．设曲线积分?++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，

高等数学下册试题及答案解析word版本

高等数学（下册）试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为。二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小；（D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（）（A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；

高数2试题及答案(1)

模拟试卷一一、单项选择题（每题3分，共24分） 1、已知平面π：042=-+-z y x 与直线1 1 1231: -+=+=-z y x L 的位置关系是（）（A ）垂直（B ）平行但直线不在平面上（C ）不平行也不垂直（D ）直线在平面上 2、=-+→→1 123lim 0xy xy y x （）（A ）不存在（B ）3 （C ）6 （D ）∞ 3、函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ???2及x y z ???2在区域D 内连续是这两个二阶混合偏导数在D 内相等的（）条件. （A ）必要条件（B ）充分条件（C ）充分必要条件（D ）非充分且非必要条件 4、设 ??≤+=a y x d 224πσ，这里0 a ，则a =（）（A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0 5、已知 ()()2 y x ydy dx ay x +++为某函数的全微分，则=a （）（A ）-1 （B ）0 （C ）2 （D ）1 6、曲线积分=++?L z y x ds 2 22（），其中.1 10:222???==++z z y x L （A ） 5 π （B ）52π （C ）53π （D ）54π 7、数项级数 ∑∞ =1 n n a 发散，则级数 ∑∞ =1 n n ka （k 为常数）（）（A ）发散（B ）可能收敛也可能发散（C ）收敛（D ）无界 8、微分方程y y x '=''的通解是（）（A ）21C x C y += （B ）C x y +=2 （C ）22 1C x C y += （D ）C x y += 2 2 1 二、填空题（每空4分，共20分） 1、设xy e z sin =，则=dz 。

高等数学下考试题库(附答案)复习过程

《高等数学》试卷1（下）一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρρρ??+=++-=2,2，则有（）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是（）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+p D.1≥p 8.幂级数∑∞ =1n n n x 的收敛域为（）. A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1- 9.幂级数n n x ∑∞=?? ? ??02在收敛域内的和函数是（）.

高数上试题及答案

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（）. （A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（）.

大一下学期高等数学考试题

大一下学期高等数学考试题 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.

一、单项选择题（6×3分） 1、设直线，平面，那么与之间的夹角为() 、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（） A.充分条件 B.充分必要条件 C.必要条件 D.既非充分又非必要条件 3、设函数，则等于（） . C． D. 4、二次积分交换次序后为（） . . 5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（） A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散C.不能确定其敛散性 6、设是方程的一个解，若，则在处（） A.某邻域内单调减少 B.取极小值

C.某邻域内单调增加 D.取极大值二、填空题（7×3分） 1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影＝ 2、设，，那么 3、D为，时， 4、设是球面，则＝ 5、函数展开为的幂级数为 6、＝ 7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为三、计算题(4×7分) 1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为1，求。 2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。 3、计算二重积分，其中 4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。 5、求级数的和。

四、综合题(10分) 曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。五、证明题(6分) 设收敛，证明级数绝对收敛。一、单项选择题（6×3分） 1、A 2、C 3、C 4、B 5、A 6、D 二、填空题（7×3分） 1、2 2、 3、 4、 5、6、07、三、计算题(5×9分) 1、解：令则，故 2、解：令则所以切平面的法向量为：切平面方程为： 3、解：＝＝＝ 4、解：令，则当，即在x轴上方时，线积分与路径无关，选择由（0，1）到（2，1）则

大学高等数学下考试试题库及答案

《高等数学》试卷6（下）一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π =b a 3. 设有直线1158 :121x y z L --+== -和26:23 x y L y z -=??+=?，则1L 与2L 的夹角为（）（A ） 6π；（B ）4π；（C ）3π；（D ）2 π . 4.两个向量a 与b 垂直的充要条件是（）. A.0=?b a B.0 =?b a C.0 =-b a D.0 =+b a 5.函数xy y x z 33 3 -+=的极小值是（）. A.2 B.2- C.1 D.1- 6.设y x z sin =，则 ?? ? ????4,1πy z ＝（）. A. 2 2 B.22- C.2 D.2- 7. 级数 1 (1)(1cos ) (0)n n n α α∞ =-->∑是（）（A ）发散；（B ）条件收敛；（C ）绝对收敛；（D ）敛散性与α有关. 8.幂级数∑∞ =1 n n n x 的收敛域为（）. A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1- 9.幂级数n n x ∑∞ =??? ??02在收敛域内的和函数是（）. A. x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 二.填空题（4分?5）

1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. 设L 为取正向的圆周：22 1x y +=，则曲线积分 2(22)d (4)d L xy y x x x y -+-=? ____________. 5. .级数1 (2)n n x n ∞ =-∑的收敛区间为____________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4. ．计算1 d d y x y x x ? . 试卷6参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2 --y y x . 4. ()n n n n x ∑ ∞ =+-0 1 21. 5.()x e x C C y 221-+= . 三.计算题 1. ()()[]y x y x y e x z xy +++=??cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=??cos sin .

大一高数试题及答案.doc

大一高数试题及答案一、填空题（每小题１分，共１０分）１．函数 2 2 111arcsin x x y -+ -=的定义域为______________________。２．函数 2e x y += 上点（０，１）处的切线方程是______________。３．设ｆ（X ）在0x 可导,且A (x)f'=，则h h x f h x f h ) 3()2(l i m 000--+→ ＝ _____________。４．设曲线过（０，１），且其上任意点（x ，y ）的切线斜率为2x ，则该曲线的方程是 ____________。５．=-?dx x x 4 1_____________。６．=∞→x x x 1 sin lim __________。７．设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。９．微分方程 22 233)(3dx y d x dx y d +的阶数为____________。 ∞ ∞ １０．设级数 ∑ ａn 发散，则级数 ∑ ａn _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题。(１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）１．设函数 x x g x x f -== 1)(,1 )(则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（） ①x 1 1- ②x 1 1- ③ x -11 ④x

２．11 sin +x x 是（） ①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量３．下列说法正确的是（） ①若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 连续，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 可导 ②若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可导，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不连续 ③若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可微，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 极限不存在 ④若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不连续，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不可导４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有 0)(",0)('>

(word完整版)高数一试题及答案,推荐文档

《高等数学(一) 》复习资料一、选择题 1. 若23lim 53 x x x k x →-+=-，则k =（） A. 3- B.4- C.5- D.6- 2. 若21lim 21 x x k x →-=-，则k =（） A. 1 B.2 C.3 D.4 3. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的切线方程为( ) A.22y x =+ B.22y x =-+ C.23y x =+ D.23y x =-+ 4. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的法线方程为( ) A.122y x =+ B.122y x =-+ C.132y x =+ D.1 32 y x =-+ 5. 211 lim sin x x x →-=( ) A.0 B.3 C.4 D.5 6.设函数0()(1)(2)x f x t t dt =+-?，则(3)f '=（） A 1 B 2 C 3 D 4 7. 求函数43242y x x =-+的拐点有（）个。 A 1 B 2 C 4 D 0 8. 当x →∞时，下列函数中有极限的是（）。 A. sin x B. 1x e C. 21 1x x +- D. arctan x 9.已知'(3)=2f ，0(3)(3) lim 2h f h f h →--=( ) 。 A. 32 B. 3 2- C. 1 D. -1 10. 设42()=35f x x x -+,则(0)f 为()f x 在区间[2,2]-上的（）。

A. 极小值 B. 极大值 C. 最小值 D. 最大值 11. 设函数()f x 在[1,2]上可导，且'()0,(1)0,(2)0,f x f f <><则()f x 在(1,2)内( ) A.至少有两个零点 B. 有且只有一个零点 C. 没有零点 D. 零点个数不能确定 12. [()'()]f x xf x dx +=?( ). A.()f x C + B. '()f x C + C. ()xf x C + D. 2()f x C + 13. 已知2 2 (ln )y f x =，则y '=( C ) A.2222(ln )(ln )f x f x x ' B. 24(ln )f x x ' C. 224(ln )(ln ) f x f x x ' D. 222(ln )()f x f x x ' 14. ()d f x ? =( B) A.'()f x C + B.()f x C.()f x ' D.()f x C + 15. 2ln x dx x =?( D ) A.2ln x x C + B. ln x C x + C.2ln x C + D.()2ln x C + 16. 211 lim ln x x x →-=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 17. 设函数0()(1)(2)x f x t t dt =-+?，则(2)f '-=（） A 1 B 0 C 2- D 2 18. 曲线3y x =的拐点坐标是( ) A.(0,0) B.( 1,1) C.(2,2) D.(3,3) 19. 已知(ln )y f x =，则y '=( A ) A. (ln )f x x ' B.(ln )f x ' C.(ln )f x D.(ln ) f x x 20. ()d df x =?( A) A.()df x B.()f x C.()df x ' D.()f x C +

高数下期末复习题(解答题)

1.求曲面6322 2 2 =++z y x 在点 ()1,1,1P 处的切平面方程和法线方程. 2.设z=z(x,y)由方程y z z x ln =所确定，求y z x z ????, 3.设 g ,f y x g )xy (f z 其中 ??? ? ??++=为可微函数，求 y x z ????z ， 4. 设),(v u f 具有二阶连续偏导数，且满足 2222 1f f u v ??+=??，又 )](2 1,[),(2 2y x xy f y x g -=,求.22 22y g x g ??+?? 5.将正数a 分成三个正数之和，使它们的乘积为最大. 6.设长方体内接于半径为R 的半球,问长

方体各边为多少时,其体积为最大. 7.求椭球面 142222=++z y x 与平面07=-++z y x 之间的最短距离. 8.设),(y x z z =是由0),(=++nz y mz x F 确定的函数，其中F 是可微函数,m 、n 是常数,求y z n x z m ??+?? 9.计算二重积分?? +D dxdy y x 22 ，其中 D 是由圆周 y y x 22 2 =+所围成的闭区域. 10.设函数)(t f 在),0[+∞上连续，且满足方程，dxdy y x f e t f t y x t )2 1()(2 222 422 4?? ≤+++ =π求)(t f . 11.求三重积分??? Ω zdxdydz ，其中Ω为球面42 22 =++z y x 与抛物面 z y x 32 2 =+所围成的闭区域

12.求由曲面2 2 5y x z --=与物面z y x 42 2 =+所围成的立体体积。 13.计算 ?-+++-=L dy x y dx y x I )635()42(，其中L 为三顶点分别为(0, 0)、(3, 0)和（3， 2）的三角形正向边界. 14.计算? L xds ,其中曲线L 为直线y=x 及抛物线2 x y =所围成的区域的边界 15.计算曲线积分 ?-+++- L dy x y dx y x )635()42(其中L 为从点(0,0)到点(3,2)再到点(4,0)的折线段. 16.问当 a 取何值时,曲线积分 ? --+-) 2,1() 0,1(2232dy )y x 2xy (a dx )y xy 6(与路径无关,并计算此曲线积分的值. 17.设函数)(x f 在),(∞+∞-内具有一阶连续

高数试题及答案

课程名称高等数学I （A ）解答一选择题（4小题，每题4分，共16分） 1．下列数列收敛的是（ C ）。 (A) n n x n n 1] 1)1[(++-= (B) n n n x )1(-= (C) n x n n 1)1(-= (D) n n x n 1-= 2．已知函数231)(22+--=x x x x f 下列说法正确的是（ B ）。 (A) )(x f 有2个无穷间断点 (B) )(x f 有1个可去间断点，1个无穷间断点 (C) )(x f 有2个第一类间断点 (D) )(x f 有1个无穷间断点，1个跳跃间断点 3．设 ?????>≤=1,1,3 2)(23x x x x x f ，则)(x f 在x =1处的（ B ）。 (A) 左右导数都存在 (B) 左导数存在，右导数不存在 (C) 左导数不存在，右导数存在 (D) 左、右导数都不存在 4．函数 2)4(121++ =x x y 的图形（ B ） (A) 只有水平渐近线 (B) 有一条水平渐近线和一条铅直渐近线 (C) 只有铅直渐近线 (D) 无渐近线二填空题（4小题，每题4分，共16分） 1．x x x 23sin lim 0→＝__3/2_________ 2. x x e y x sin ln 2-+=则='y _2e x +1/x －cos x _ 3．已知隐函数方程：024=-+y xe x 则='y －(4+e y ) / （x e y ） 4．曲线332x x y +=在 x = 1 处对应的切线方程为： y =11x -6 . 三解答题（5小题,每题6分，共30分）

(完整版)高等数学试题及答案

《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日星期三考试时间：120 分钟一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin