如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC

如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=?.点D ，E ，N 分别为棱PA ，P C ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA =AC =4，AB =2.

（Ⅰ）求证：MN ∥平面BDE ；

（Ⅱ）求二面角C -EM -N 的正弦值；

（Ⅲ）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE

求线段AH 的长.

本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分. 如图，以A 为原点，分别以AB ，AC ，AP 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得

A （0，0，0），

B （2，0，0），

C （0，4，0），P （0，0，4），

D （0，0，2），

E （0，2，2），M （0，0，1），N （1，2，0）.

（Ⅰ）证明：DE =（0，2，0），DB =（2，0，2-）.设(,,)x y z =n ，为平面BDE 的法向量， 则00DE DB ??=???=??n n ，即20220y x z =??-=?.不妨设1z =，可得(1,0,1)=n .又MN =（1，2，1-）

，可得