π是无理数的证明

是无理数的证明

大家都知道是π无理数，但是它是如何证明的呢？我们下面就给出一个证明。首先给出π一个定义。

定义 }0cos ,0min{2=>=ααπ，即π是使0cos =α的最小正数的两倍。 按这个定义，利用定积分容易得到半径为r 的圆的面积为2r π，因此这样的定义是合理的。下面证明π是无理数。

利用反证法。设π是有理数，则2π也是有理数，于是存在正整数p ，q ，使得q p =2π。由于0!→n p n （∞→n ），因此存在正整数N ，使得1!

!

)1()(N x x x f N

N -=， 则f 满足

)1()(x f x f -=， )1()1()()()(x f x f k k k --=（ ,2,1=k ）

。 展开f 的表达式得

∑==N N

n n n x c N x f 2!1)(。 对其求导k 次（N k 20≤≤）得

∑=-+--=N k N n k n n k x c k n n n N x f 2}

,max{)()1()1(!1)( 。 若N k <≤0，显然Z ∈)0()(k f ，因此由)1()1()()()(x f x f k k k --=，知Z ∈)1()(k f ；若N k N 2≤≤，显然Z ∈=

k k c N k f !!)0()(，因此Z ∈)1()(k f 。

令)()1()()2(0x f q p x F j N j j j N j ∑=--=，则利用Z ∈)0()(k f ，Z ∈)1()(k f

得到

Z ∈)0(F ，Z ∈)1(F 。进一步计算得

()()()1()()1()()

1()

()1()()1()()(211)22()2(0

11)2(11111)2(02)22(02x f p x f q p x f q x f q p x f q p x f q p x f

q p x F x F N N N N N j N j j j N j j N j j j N j j N j j j N j j N j j j N j

πππ=+-=-+-=-+-=+''-++=-+-+=-+--=-+=-∑∑∑∑ 其中利用了f 是N 2次多项式，因此0)()22(=+x f N 。

再令x x F x x F x g πππcos )(sin )()(-'=，则

x x f p x x F x F x g N ππππsin )(sin )]()([)(22=+''='。

且)]0()1([1

)0()1(g g F F -=+π。利用Lagrange 中值定理得，存在)1,0(∈ξ，使得

πξξπξπ

sin )()(1)0()1(f p g F F N ='=+。 由f 的定义可知!1)(0N f <<ξ，于是!

1sin )(0N f <<ξπξ，因此 1!

sin )()0()1(0<<=+

怎样证明根号2是一个无理数

怎样证明2是一个无理数 2是一个非常著名的无理数， 第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲，2的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证. 换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明2是一个无理数，从而体会这一点. 证法1：尾数证明法.假设2是一个有理数，即2可以表示为一个分数的形式2=b a .其中(a,b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.由于完全平方数2b 的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个，因此22b 的尾数只能是0、2、8中的一个.因为222b a =，所以2a 与22b 的尾数都是0，因此2b 的尾数只能是0或5，因此a 与b 有公因数5，与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数. 这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数. 证法2：奇偶分析法.假设2=b a .其中(a, b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.可知a 是偶数，设a =2 c ,则2224b c =，222c b =，可知b 也是偶数，因此a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数. 希帕索斯就是用这种方法证明了2不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底. 证法3：仿上，得到222b a =，易见b >1，否则b=1，则2=a 是一个整数,这是不行 的.222b a =改写成a a b ?= 22.因为b >1，因此b 有素因子p ，因此p 整除2 a 或a ，总之，p 整除a ，因此p 同时整除a 与 b ，这与(a,b )=1矛盾. 证法4：仿上，得到222b a =，等式变形为))((222b a b a b a b -+=-=，因为b >1，因此存在素因子p ，p 整除a+b 或a-b 之一，则同时整除a+b 与a-b ，因此p 整除a ，因此p 是a 、b 的公因数，与(a,b )=1矛盾. 证法5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此m r m r r p p p a 2121=，n s n s s q q q b 2121=，其中m p p ,,1 与n q q ,,1 都是素数，m r r ,,1 与n s s ,1都是正整数，因此m r m r r p p p 2222121 =2n s n s s q q q 2222121 ，素数2在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此2是无理数.

用反证法证明是无理数

据说最初发现 p q ，这里p和q是无公约数的正整数 传说毕达哥拉斯太珍惜这个发现，不打算公开这个结果。他的学生之一为了好奇，悄悄走进老师的家里偷文件，这方法才被公开出来。 我们下面介绍五个用反证法证明这结果，大家可以学习这种证明。 p q =，p，q是无公约数的整数。 (1)毕达哥拉斯方法： p q =两边平方得22 2 p q =，所以2p是偶数，因此p也须是偶数（因为奇数2k ＋1的平方后是4k2＋4k＋1＝2(2k2＋2k)＋1仍旧是奇数）。所以我们可以设p是2a的样子，代入上式得(2a)2＝2q2，即4a2=2q2两边同时消掉2可得2a2＝q2，即q也是偶数。 由于p，q都是偶数，它们有一个公约数2，这和我们最初假设p， q (2)利用整数的个位数性质：我们知道任何整数平方其最后一位数是等于原数最后一位数的平方后的最后一位数。例如（12）2＝144，最后一位数4=（2）2。而（17）2=289，（7）2=49，最后一位数是一样。 最后一位数可能出现0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。 因此任何数的平方最后一位数只可能是0，1，4，5，6，9。 因此2q2的最后一位数只可能是0，2或8。 由于p2的最后一位数可能是0，1，4，5，6，9。而且由P2=2q2，故必须有2q2最后一位数是0，因此推到q2的最后一位数是0或5。 可是如果P2的最后一位数是0，而q2的最后一位数是0或5的话，则P的最后一位数是0，q的最后一位数是0或5，这样5就能整除p和q，这和p，q无公约数的假定矛盾。 (3)利用素因子的性质： p q =得22 2 p q =，这里q要大于1，如果是等于1 ＝p，这是个整数，明显是不合理的。现在我们可以得到2 2 p q p ?? =? ? ?? ，我们知道： （一）任何整数不是素数就是合数。

高中数学 2.1证明中的几种常见错误总结 新人教A版选修2-2 (2)

证明中的几种常见错误总结 1. 偷换论题 例1 求证四边形的内角和等于0 360. 证明：设四边形ABCD 是矩形，则它的四个角都是直角，有 0000036090909090=+++=∠+∠+∠+∠D C B A ， 所以，四边形的内角和等于0 360. 剖析：上述推理过程是错误的.犯了偷换论题的错误.在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形. 2. 虚假论据 例2 已知2和3是无理数，试证32+也是无理数. 证明：依题设2和3是无理数， 而无理数与无理数的和是无理数， 所以32+也是无理数. 剖析：上述推理过程是错误的.犯了虚假论据的错误.使用的论据是：“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数.因此，原题的真假性仍无法断定. 3. 循环论证 例3 在ABC Rt ?中，090=∠C ，求证：222c b a =+. 证明：因为A c b A c a cos ,sin ==， ∴A c A c b a 222222cos sin +=+ =2 222)cos (sin c A A c =+. 剖析：上述推理过程是错误的.犯了循环论证的错误.本题的论证就是人们熟知的勾股定理.上述证明中用了“1cos sin 22=+A A ”这个公式，按照现行中学教材系统，这个公式是由勾股定理推出来的，这就间接地用待证命题的真实性作为证明的论据，犯了循环论证的错误. 4. 不能推出 例4 设81tan 51tan 21tan 2 0===∈γβαπγβα，，），且，（、、. 求证：4π γβα=++. 证明：因为γβγαβαγβαγβαγβαtan tan tan tan tan tan 1tan tan tan tan tan tan )tan( ----++=++

pi为无理数的简洁证法

π为无理数的比较简洁的证法 用反证法。 如果π为有理数，令πb a /=，其中均是整数且。对于任意自然数，构造 多项式b a ,0>b n ！ n bx a x x f n n )()(?=，先回忆一下一个多项式的系数与其各阶导数的关系。假设 0111)(a x a x a x a x g n n n n ++=??＋＋L 是任意一个次多项式，则常数项n )0(0g a =。对求导后，可以知道一次项的系数。一般的，不难归纳出的次项系数，其中表示表示的k 阶导数。 )(x g )0(1g a ′=)(x g k !/)0()(k g a k k =)()(x g k )()(x g k )(x g 现在令 n n bx a x x f n x g )()(!)(?==， 则显然是一个次的整系数多项式，最低次项为。根据上述多项式的求导规律，当时有，即；而当时为整数。注意到，这说明)(x g n 2n n x a n k <0!/)0()(==k k a k g 0)0()(=k g n k ≥k k a k g =!/)0()()(!)()()(x f n x g k k =n k <时，而当时为 整数，此时本身必为整数。总之，对于任意的，证明了都是整数。 0!/)0()(=k f k n k ≥!/)0(!)(k f n k )0()(k f k )0()(k f 因为已经假设了b a /=π，不难看出)()(x f x f ?=π，根据求导的简单性质可知 ， )()())1)(()(k k k x f x f ??=π从而 )()())1)(0()(k k k f f ?=π， 所以也总是整数。 )()πk f 从出发，再构造一个多项式 )(x f )()1()()()()()2()4()2(x f x f x f x f X F n n ?+?+?=L ， 不难看出 )()()(x f x F x F =+′′。

证明：无理数比有理数多。

证明：无理数比有理数多 证明之前需要清楚以下几个概念和定义。 1、有理数包含整数和分数，任意一个有理数可以化成a/b，a、b为整数且b不等于0 2、无理数是无限不循环小数，是一切不属于有理数的实数。 3.证明两个数集一样多可以用一一对应的方法。可数集合是指能和自然数一一对应的集合。 例如偶数2 4 6 8 10…… 自然数1 2 3 4 5 6 7 8…… 任意一个自然数n，都可以有偶数2n与之对应。 所以整数与偶数一样多。偶数集是一个可数集合。 --------------------------------------------------------------------------------------- 首先证明，任意两个可数集的合集仍为可数集。 设集合A={a1,a2,a3...},B={b1,b2,b3...}且A,B集合均为可数集合 也就是 A: a1 a2 a3 ... B: b1 b2 b3 ... 分别与自然数相对应 1 2 3 ... 1 2 3 ... 则AB合集{a1,b1,a2,b2,a3,b3...} 可与自然数一一对应 a1 b1 a2 b2 a3 b3 ... 1 2 3 4 5 6 ... 所以两个可数集的合集是可数集。 下面证明有理数是可数集，也就是有理数和自然数一样多。

有理数可以化成a/b,a,b皆为整数且b不为0,将它化成集合C=(a,b) 因为a为整数，b为不为0的整数，所以a、b都是可数的。 设a=1,则可以得到新的集合Ca={(1,1),(1,-1),(1,2),(1,-2)...} 因为b是可数的，所以Ca集合也是可数的。 设b=1,得到集合Cb={(1,1),(-1,1),(2,1),(-2,1)...} 同上，Cb也是可数集合。 根据前一证明，两个可数集的合集可数，所以Ca与Cb的合集C为可数集合，即有理数为可数集，所以有理数和自然数一样多。 然后证明，实数集是不可数的。 设一个无理数H=0.abcdefgh.... ,a,b,c,d,e,f,g,h..是1-8间的正整数。 假设a=4,b=2,c=3,d=4,e=7,f=6,g=3,h=5,... 则H=0.42347635... 假设0和1间的所有实数是可数的。 设它的集合X={x1,x2,x3,...} x1 x2 x3 x4 x5 .... 1 2 3 4 5 .... 设a和x1小数点第一位不同 b和x2的小数点第一位不同 c和x3的小数点第一位不同

经典证明：几乎所有有理数都是无理数的无理数次方

一个无理数的无理数次方是否有可能是一个有理数？这是一个非常经典的老问题了。答案是肯定的，证明方法非常巧妙：考虑根号 2 的根号 2 次方。如果这个数是有理数，问题就已经解决了。如果这个数是无理数，那么就有： 我们同样会得到一个无理数的无理数次方是有理数的例子。 这是一个典型的非构造性证明的例子：我们证明了无理数的无理数次方有可能等于有理数，但却并没有给出一个确凿的例子。毕竟我们也不知道，真实情况究竟是上述推理中的哪一种。那么，真实情况究竟是上述推理中的哪一种呢？Gelfond-Schneider 定理告诉我们，假设α 和β 都是代数数，如果α 不等于0 和1 ，并且β 不是有理数，那么α 的β 次方一定是超越数。根据这一定理我们可以立即看出，根号 2 的根号 2 次方真的是一个无理数，实际情况应该是上述推理中的后者。 那么，是否存在一个无理数a ，使得a 的a 次方是有理数呢？最近，Stan Dolan 证明了这样一个结论：事实上，几乎所有(1, ∞) 里的有理数都是某个无理数a 的 a 次方。 注意到当x 大于1 时，函数f(x) = x x是连续单调递增的，因而对于所有(1, ∞) 里的有理数r ，一定存在唯一的a ，使得a a = r 。不妨假设a 是一个有理数，它的最简分数形式是n / m 。如果m = 1 ，那么我们会有平凡解n n = r 。下面我们证明，m 是不可能大于 1 的，否则会产生矛盾。 假设有理数r 的最简分数形式是c / b ，于是我们有： (n / m)n / m = c / b 或者说： n n · b m = m n · c m 注意到，m n是n n · b m的约数。然而，m 和n 是互质的，m n与n n没有公共因子，因而m n一定是b m的约数。同理，b m是m n · c m的约数，但由于b

根号2是无理数的8种证明

1 2是无理数的8种证明 南京师大附中江宁分校 叶军 2是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.“危机”过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲，2的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好见证. 换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳”，上面悬挂着许多有趣的方法，从中可以窥见数学的趣味.我们准备从不同的角度来证明2是一个无理数，以体会这一点. 证法1：尾数证明法.假设2是一个有理数，即2可以表示为一个分数的形式2=b a .其中(a,b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.由于完全平方数2b 的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个，因此22b 的尾数只能是0、2、8中的一个.因为222b a =，所以2a 与22b 的尾数都是0，因此2b 的尾数只能是0或5，因此a 与b 有公因数5，与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数. 这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数. 证法2：奇偶分析法.假设2=b a .其中(a,b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.可知a 是偶数，设a =2c ,则2224b c =，222c b =，可知b 也是偶数，因此a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数. 希帕索斯就是用这种方法证明了2不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底. 证法3：仿上，得到222b a =，易见b >1，否则b=1，则2=a 是一个整数,这是不行的.222b a =改写成a a b ?=22.因为b >1，因此b 有素因子p ，因此p 整除2a

无理数教学案

无理数教学案 课题：无理数 课型：新授课 课程标准： 1、了解无理数的概念； 2、能用有理数估计一个无理数的大致范围。 学习内容与学情分析： 1.激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情； 2.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神； 3.了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的献身精神。 学习目标： 1、通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际北景和引入的必要性； 2、借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想； 3、会判断一个数是有理数还是无理数。 教学重点难点： 重点：1、无理数概念的探索过程； 2、用计算器进行无理数的估算； 3、了解无理数与有理数的区别，并正确进行判断。 难点：1、无理数概念的建立及估算； 2、用所学定义正确判断所给数的属性。 教学过程： 一、创设问题情境,引入新课： 同学们,我们上了好多年的学,学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢? 我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题。 二、讲授新课 1、问题的提出 请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形。 经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请同学们把自己拼的图展示

一下。 同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师。 现在我们一齐把大家的做法总结一下： 下面再请大家共同思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a，则a应满足什么条件呢？ 大家说得都有道理，前面我们已经总结了有理数包括整数和分数，那么a 是整数吗？a是分数吗？请大家分组讨论后回答。 （小组交流，分组起来回答见解） 经过大家的讨论可知，在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数，所以a 不是有理数，但在现实生活中确实存在像a这样的数，由此看来，数又不够用了。 2、做一做：投影片 (1)在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ (2)设该正方形的边长为b，则b应满足什么条件？ (3)b是有理数吗？ 请大家先回忆一下勾股定理的内容。 在这个题中，两条直角边分别为1和2，斜边为b，根据勾股定理得b2=12+22，即b2=5，则b是有理数吗？请举手回答。 （学生积极回答问题） 大家分析得很准确，像上面讨论的数a，b都不是有理数，而是另一类数——无理数。我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的，我们一方面应积极地学习这些经验，另一方面我们也不能死搬教条，要大胆质疑，如不这样科学就会永远停留在某处而不前进。

有关有理数与无理数的证明

狄利克雷函数（Dirichlet Function），在实数上处处不连续的证明(2006年10月25日修改版)声明：前天下午在与曲建勋的讨论中找到其证明方式 本证明过程，最关键的两个步骤，由我和曲建勋分别提出，在此对曲建勋表示感谢，并郑重声明，并非我一人完成此证明 √2代表根号2 证明过程我写得很啰嗦，尤其是前面三个命题，可能有些人会认为太显而易见了，但为了严谨我还是写出来了，高人可以略过其证明过程 前提：1、任何有理数均可写成既约分数p/q (p,q∈Z 且q≠0) 2、任何无理数据不可写成这样的形式，且均可写成无限不循环小数 3、任何实数必定属于有理数或无理数中的一类，且不能同时属于两类数 命题1：任何有理数与无理数相加结果都是无理数 证明：假设命题不成立 设p/q (p,q∈Z 且q≠0)为任意有理数 X为任意无理数 则p/q+X=m/n (m,n∈Z 且n≠0) X=m/n-p/q=(mq-np)/(n*q) 则根据前提1，X为有理数，与假设矛盾 故假设不成立，命题1成立 命题2：任何无理数除以非零有理数结果都是无理数 证明：假设命题不成立 设p/q (p,q∈Z 且q≠0,p≠0)为任意非零有理数 X为任意无理数 则X/(p/q)=m/n (m,n∈Z 且n≠0) X=(p*m)/(q*n) 则根据前提1，X为有理数，与假设矛盾 故假设不成立，命题2成立 命题3：√2为无理数 证明：假设命题不成立 则√2为有理数，设√2=p/q (p,q∈Z 且q≠0) 2=(p*p)/(q*q) 则p必须是偶数 ∵p/q是既约分数 ∴q是奇数 ∴设p=2n q=2m+1(m,n∈Z)

(完整word版)证明根号2为无理数的方法

试证明2是无理数. 证明：易知2是方程022=-x 的一个根，设它有有理根,a b 即)0(2≠=a a b 先证明一个引理：若整系数方程： 0...02211=+++++--a ax x a x a x a n n n n )0(0≠?a a n 有有理根p q 0(≠pq 且q p ,互质)，则有： p a n ，q a 0. 证明：把p q x =代入原方程，得： 0...02211=++??? ? ??++???? ??+???? ??--a p q a p q a p q a p q a n n n n ，两边同乘n p ，得: .00...0122211== +++++----n n n n n n n n p p a aqp p q a p q a q a 那么，由于0≠p ，所以一定有0p ，那么一定有： ....0122211n n n n n n n p a aqp p q a p q a q a p +++++---- 由于n p p p ,...,,2都满足被p 整除，那么有：n n q a p ，又因1),(=q p ，所以有： .n a p 同理，由于0≠q ，所以一定有0q ，那么一定有： ....0122211n n n n n n n p a aqp p q a p q a q a q +++++---- 由于n q q q ,...,,2都满足被q 整除，那么有：n p a q 0，又因1),(=q p ，所以有： q a 0. 回到原命题，由于0)2(1≠-?，1)2,1(=-，所以方程022=-x 的有理根 a b 满足： 1a ，2-b .22,1±=?±=±=?a b b a 经检验，2±都不是方程022=-x 的根，那么022=-x 无有理根，即2为无理数. ...D E Q

阅读课程-无理数(1)

阅读课程 为什么说2不是有理数 一、中国数学家对无理数的研究： 中国古代在处理开方问题时，不可避免地碰到了无理根数。中国早期的开方术见于刘徽的《九章算术》少广、勾股两章，起源于长度的测度。已知面积求正方形边长；已知体积求立方体棱长；已知圆面积求圆的直径；已知球体积求球的直径或直角三角形勾、股、弦互求。《九章算术》“少广”章的开(平)方术有“若开之不尽者，为不可开，当以面命之”，“令不加借算而命分，则常微少；其加借算而命分，则又微多。其数不可得而定。……故惟以面命之，为不失耳”，这说明刘徽认识到“加不加借算命分”都得到是精确值，只有用被开方数的方根表示才是精确的，接着他在“开方术注”中提一种更为精确的表示方根近似值的方法，即求微数法：“不以面命之，加定法如前，求其微数。微数无名者以为分子，其一退以十为母，其二退以百为母。退之弥下，其分弥细，则朱幂虽有所弃之数，不足言之”，就是用10进制小数来无限逼近无理数[3]。中算学家没有像希腊人那样在发现无理数时出现逻辑上的困难，又能顺利地将理数运算规则推广到无理数，因此把数学向前推进的同时，并没有深究无理数与有理数实质上的不同。由于并没有经历过西方的数学危机革命，中国的数学仍停留在“算术”阶段，在筹算开平方和开立方的基础上，我国从1世纪开始，逐渐摸索数值解高次方程的一般规律。北宋数学家贾宪，在前人的基础上，发明了开任意次幂的“增乘开方法”，它是我国古代数学史上一项杰出创造，是一个非常有效和高度机械化的算法，公元1819年英国数学家霍纳才得出同样的算法。贾宪的“增乘开方法”不仅适用于开任意高次方，而且能得出高次方程的数值解法。经过200多年的不断改善，到13世纪上半叶，由秦九韶最后完成完整的体系——秦九韶求实根法，即解高次方程的“正负开方术”。其方程的各系数可正可负，可以是整数或小数，开方得到无理根时，秦九韶发挥了刘徵首创的计算“微数”的思想，用十进小数作无理根的近似值。这一时期，数学人才辈出，有北宋的沈括、贾宪和刘益;南宋的秦九韶、杨辉；元代的李冶、朱世杰、郭守敬等，使宋元时期的数 学达到了中国古代数学的顶峰，尤其在代数领域达到了西方望尘莫及的水平

证明根号2是无理数的八种方法

怎样证明 是一个无理数 2 2 是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的 代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家 们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲， 2 的发现是人们对真理的追求、 探索以致明朗的一个极好例证. 换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根 “晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法， 值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明 2 是一个无理数，从而体会这一点. a 证法 1：尾数证明法.假设 2 是一个有理数，即 2 可以表示为一个分数的形式 2 = . b 其中(a ,b )=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .由于完全平方数 的尾数只能是 0、1、4、5、 a 2 b 2 b 2 6、9 中的一个，因此 2 的尾数只能是 0、2、8 中的一个.因为 2 ，所以 与2 的尾 b 2 a 2 b 2 a 2 b 2 数都是 0，因此 的尾数只能是 0 或 5，因此 a 与 b 有公因数 5，与(a ,b)=1 矛盾！因此 2 是 b 2 无理数. 这个证法可以证明被开方数的尾数是 2、3、7、8 的平方根都是无理数. a 证法 2：奇偶分析法.假设 2 = .其中(a , b )=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .可知 a a 2 b 2 b 是偶数，设 a=2 c ,则 4 2 ， 2 ，可知 b 也是偶数，因此 a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1 c 2 b 2 b 2 c 2 矛盾！因此 2 是无理数. 希帕索斯就是用这种方法证明了 2 不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任 何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬 身海底. 证法 3：仿上，得到 2 ，易见 b>1，否则 b=1，则 2 =a 是一个整数,这是不行的. a 2 b 2 a a 改写成 2 .因为 b>1，因此 b 有素因子 p ，因此 p 整除 或 a ，总之，p 整除 a ， a 2 2b 2 b a 2 2 因此 p 同时整除 a 与 b ，这与(a ,b )=1 矛盾. 证法 4：仿上，得到 2 ，等式变形为b a b (a b )(a b) ，因为 b>1，因此 a 2 b 2 2 2 2 ， 存在素因子 p p 整除 a+b 或 a-b 之一，则同时整除 a+b 与 a-b ，因此 p 整除 a ，因此 p 是 a 、 b 的公因数，与(a ,b )=1 矛盾. 证法 5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地 写成素数幂的积的形式，因此 a p p p ，b q q q ，其中 , , 与 , , p p q q r r r m s s s 1 2 1 2 n 1 2 m 1 2 n 1 1 m n

π是无理数的证明

π是无理数的证明 大家都知道是π无理数，但是它是如何证明的呢？我们下面就给出一个证明。首先给出π一个定义。 定义 }0cos ,0min{2=>=ααπ，即π是使0cos =α的最小正数的两倍。 按这个定义，利用定积分容易得到半径为r 的圆的面积为2r π，因此这样的定义是合理的。下面证明π是无理数。 利用反证法。设π是有理数，则2π也是有理数，于是存在正整数p ，q ，使得q p =2π。由于0!→n p n （∞→n ），因此存在正整数N ，使得1!

无理数的发现 确定

无理数的发现──第一次数学危机 大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此。这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的"危机"，从而产生了第一次数学危机。 到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第５卷中。欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！ 无穷小是零吗？──第二次数学危机 18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。他指出："牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量０，应用二项式（x+0）n，从中减去xn 以求得增量，并除以０以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让０消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的手续──先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量。"他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，"dx为逝去量的灵魂"。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。 18世纪的数学思想的确是不严密的，直观的强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级数求和的任意性，符号的不严格使用，不考虑连续就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础。悖论的产生--- 第三次数学危机 数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。 1897年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。两年后，康托发现了很相似的悖论。1902年，罗素又发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质："理发师是否自己给自己刮脸？"如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。 罗素悖论使整个数学大厦动摇了。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第２卷末尾写道："一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之

无理数的存在性证明及应用(本科)大学论文

本科毕业论文无理数e的存在性证明及应用

目录 1 引言 (1) 2 文献综述 (1) 2.1 国内外研究状况现状 (1) 2.2 国内研究状况现状评价 (1) 3 e的发现及定义 (1) 3.1 e的发现及符号表示 (1) 3.2 e的定义 (5) 3.2.1收敛级数定义 (5) 3.2.2极限定义 (6) 3.3 e的意义 (7) 4 e的存在性与无理性证明 (8) 4.1 e的存在性证明 (8) 4.2 e的无理性证明 (11) 5 e的应用 (11) 5.1 e在求极限中的应用 (11) 5.2 正态分布——概率论中的e (13) 5.3 生活实际问题 (13) 5.4 银行复利率问题 (14) 6 结论 (16) 6.1 主要发现 (16) 6.2 启示 (16) 6.3 局限性 (16) 6.4 努力方向 (16) 参考文献 (17)

1 引言 一位著名的学者曾说过：“如果没有数和数的性质，世界上任何事物本身或其与别的事物的关系都不能为人所清楚了解”. 确实，人类文明的发展与进步得益于人们对数的研究与实践. 甚至有些数极为重要，譬如大家所熟悉的0和1，还有其它更加重要的常数，如π，i ，ω，e ，人们习惯分别称它们为圆周率、虚数单位、黄金分割数、纳皮尔常数. 关于前三者的论述文章非常多，而e 似乎是一个习以为常的数,不被人们所重视. 它随着科技发展越来越多地出现在微积分、概率统计等学科中；它是今天银行业中对银行家最有帮助的一个数，此外在考古学中古生物年限的鉴定中也有涉及. 目前，初等数学教材以及理工科相关教材中对于e 通常作如下定义：“在科学技术中常常使用无理数e ，它的前十位小数是2.7182818284……，以其为底的对数叫做自然对数，为了简便，N 的自然对数N e log 记为N ln ，以e 为底的指数函数x e 和自然对数函数 x ln 在高等数学中占有极重要地位”.那么，常数e 到底是一个怎样的一个数呢？其值是如何而来的？在十进制的数系统里，用这样奇怪的数为底，难道会比以10为底的常用对数更自然吗？它还有哪些方面的应用？ 2 文献综述 2.1 国内外研究状况现状 在所查阅到的国内外参考文献[1-15]中，文献[1]论述了对数与e 的起源之间的关系、表示形式、无理性与超越性；文献[2]论述了无理数e 的极限表示形式；文献[3]简单介绍了数e 的近似计算及超越性证明；文献[4-7]介绍了数e 的对数表的编制及发展过程；文献[8]论述了无理数e 在科学技术中占有重要地位及其应用并给出了e 的无理性简洁证明；文献[9-15]介绍了e 的发现历史过程和性质. 2.2 国内研究状况现状评价 在所查阅到的国内外参考文献[1-15]中，大多是针对e 的无理性证明进行研究，研究比较分散，没有系统地归纳和研究，对e 的产生背景及应用的研究不多. 3 e 的发现及定义 3.1 e 的发现及符号表示 早在15,16世纪，随着天文和航海等技术研究的广泛兴起，解决天文计算的困难成

反证法证明题(简单)

反证法证明题 例1. 已知A ∠，B ∠，C ∠为ABC ?内角. 求证：A ∠，B ∠，C ∠中至少有一个不小于60o . 证明：假设ABC ?的三个内角A ∠，B ∠，C ∠都小于60o ， 即A ∠<60o ，B ∠<60o ，C ∠<60o ， 所以O 180A B C ∠+∠+∠<， 与三角形内角和等于180o 矛盾， 所以假设不成立，所求证结论成立. 例2. 已知0a ≠，证明x 的方程ax b =有且只有一个根. 证明：由于0a ≠，因此方程ax b =至少有一个根b x a = . 假设方程ax b =至少存在两个根， 不妨设两根分别为12,x x 且12x x ≠， 则12,ax b ax b ==， 所以12ax ax =， 所以12()0a x x -=. 因为12x x ≠，所以120x x -≠， 所以0a =，与已知0a ≠矛盾， 所以假设不成立，所求证结论成立. 例3. 已知332,a b +=求证2a b +≤. 证明：假设2a b +>，则有2a b >-， 所以33(2)a b >-即3238126a b b b >-+-， 所以323281266(1)2a b b b b >-+-=-+. 因为2 6(1)22b -+≥ 所以332a b +>，与已知332a b +=矛盾. 所以假设不成立，所求证结论成立. 例4. 设{}n a 是公比为的等比数列，n S 为它的前n 项和. 求证：{}n S 不是等比数列. 证明：假设是{}n S 等比数列，则2213S S S =?，

即222111(1)(1)a q a a q q +=?++. 因为等比数列10a ≠， 所以22(1)1q q q +=++即0q =，与等比数列0q ≠矛盾， 所以假设不成立，所求证结论成立. 例5. . m ，n m n =. 所以m = 即222m n =， 所以2m 为偶数，所以m 为偶数. 所以设*2()m k k N =∈， 从而有2242k n =即222n k =. 所以2n 也为偶数，所以n 为偶数. 与m ，n 互为质数矛盾. . 例6. 已知直线,a b 和平面，如果,a b αα??，且//a b ，求证//a α。 证明：因为//a b , 所以经过直线a , b 确定一个平面β。 因为a α?，而a β?， 所以 α与β是两个不同的平面． 因为b α?，且b β?， 所以b αβ=. 下面用反证法证明直线a 与平面α没有公共点．假 设直线a 与平面α有公共点P ，则P b αβ∈=， 即点P 是直线 a 与b 的公共点， 这与//a b 矛盾．所以 //a α. 例7．已知0 < a , b , c < 2，求证：(2 - a )c ， (2 - b )a ，(2 - c )b 不可能同时大于1 证明：假设(2 - a )c ， (2 - b )a ，(2 - c )b 都大于1， 即 (2 - a )c>1, (2 - b )a>1, (2 - c )b>1，

无理数证明

Pi为无理数证明 这个证明属于Ivan Niven。假设pi=a/b，我们定义（对某个n）： f(x) = (x^n) * (a-bx)^n / n! F(x) = f(x) + ... + (-1)^j * f^(2j)(x) + ... + (-1)^n * f^(2n)(x) 这里f^(2j)是f的2j次导数. 于是f和F有如下性质（都很容易验证）: 1)f(x)是一个整系数多项式除以n!。 2)f(x) = f(Pi - x) 3)f在(0,pi)区间上严格递增，并且x趋于0时f(x)趋于0， x趋于pi时f(x)趋于pi^n * a^n / n! 4)对于0 <= j < n, f的j次导数在0和pi处的值是0。 5)对于j >= n, f的j次导数在0和pi处是整数（由1)可知）。 6)F(0)和F(pi)是整数（由4)，5)可知）。 7)F + F'' = f 8)(F'·sin - F·cos)' = f·sin （由7)可知）。 这样，对f·sin从0到pi进行定积分，就是 (F'(pi)sin(pi)-F(pi)cos(pi)) - (F'(0)sin(0)-F(0)cos(0)) =F(pi)+F(0) 由6)可知这是个整数。 问题在于如果把n取得很大，由3)可知f·sin从0到pi进行定积分必须严格大于0严格小于1。矛盾，证毕。 e是无理数的证明 证明:e=1+1/1!+1/2!+1/3!+... 假设e=p/m,(p,m为整数)显然e可表示为j/m!(j为整数). 由e=1+1/1!+1/2!+1/3!+...得e的展开式的前m+2项为 e=1+1/1!+1/2!+1/3!+...+1/m!很明显此m+2项可表示为k/m!,(k为整数),而后的无穷项为 1/(m+1)!+1/(m+2)!+...=1/m!(1/(m+1)+1/(m+1)(m+2)+...)<1/m!(1/(m+1)+1/(m+1 )^2+...)=1/m!m<1/m!. 由m+2项可表示为k/m!,(k为整数),而后的无穷项<1/m!得e不可表示为j/m!(j为整数).这与假设矛盾. 故e为无理数. 是无理数的证明 证明:e=1+1/1!+1/2!+1/3!+... 假设e=p/m,(p,m为整数)显然e可表示为j/m!(j为整数).

用无理数证明万物皆数

‘无理数’证明‘万物皆数’ 这好像是一个天方夜谭的理论命题证明，‘万物皆数’是早期数学家们对数学严密性的自豪和无比信赖的表述，‘无理数’的出现产生了第一次数学危机，“第一次数学危机告诉我们，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的”[1]。‘无理数’对‘万物皆数’好似是给予了致命一击，实质，‘无理数’的出现恰恰是可给予‘万物皆数’更加明确的证明，这个证明将凸显数学是自然绝对公理的体现，是‘数’来自自然要回归自然必要性的体现。 根据‘数’的出生史和宏观物质体的单元性、可分切性进行理论分析。按人的宏观物体分切意识去均匀切分一个物体D，如数学‘穷竭法’之理论意识，对于大自然大宇宙整体来说，最全面、最科学、最简洁、最直接、最一般的表述应该为： { D/(2n) } = {δi〔i=1、2、3...(2n)〕} (1) 式(1)的这种表述是物质不灭公理的绝对表述形式，式(1)等号(=)左侧意味着是人类宏观物质体可变化的形式表述；等号右侧是人类微观物质单元实体必须存在的形式表述。δ表示宏观物体D被切分后的单元体，i表示物体D被切分成各个单元客体的脚标，即：‘记号’，这样，‘自然数’就会与大自然物质各个单元客体壹壹对应产生有机结合；这样凸显了‘自然数’的‘顺序位置’功能和‘数集’功能，也是‘万物皆数’这个还没被数学证明的数学家自豪感的基本形式表述；这样可以把人类宏观一些事物对比计量标识表述统一到‘大自然最终事实存在标识’表述，就会知道数学为什么有“‘无限小量’、‘最终比’、‘最终也变为相等’、‘最终比是等量比’、‘永远不会超过它’” [2]等等数学极限理论说道和证明成就。 在此，我们都必须要特意自问思考一下：没有一点人为意识行为影响存在、贯穿大自然大宇宙的‘光’，为什么其速度是绝对最快的？有限的？没有加速和减速过程凸显不变速性质？只要我们把经过物理各种实验证实的‘光’的各种天性行为性质特点列为是已知条件，作为分析问题过程中的理论界桩，这些具有天性的理论界桩能毫不留情的控制住人类任何人对此问题的理论逻辑结论的自由度

无理数 的存在性证明及应用毕业论文

无理数e的存在性证明及应用毕业论文 目录 1 引言 (1) 2 文献综述 (1) 2.1 国外研究状况现状 (1) 2.2 国研究状况现状评价 (1) 3 e的发现及定义 (1) 3.1 e的发现及符号表示 (1) 3.2 e的定义 (5) 3.2.1收敛级数定义 (5) 3.2.2极限定义 (6) 3.3 e的意义 (7) 4 e的存在性与无理性证明 (8) 4.1 e的存在性证明 (8) 4.2 e的无理性证明 (11) 5 e的应用 (11) 5.1 e在求极限中的应用 (11) 5.2 正态分布——概率论中的e (13) 5.3 生活实际问题 (13) 5.4 银行复利率问题 (14)

6 结论 (16) 6.1 主要发现 (16) 6.2 启示 (16) 6.3 局限性 (16) 6.4 努力方向 (16) 参考文献 (17) 1 引言 一位著名的学者曾说过：“如果没有数和数的性质，世界上任何事物本身或其与别 的事物的关系都不能为人所清楚了解”. 确实，人类文明的发展与进步得益于人们对数 的研究与实践. 甚至有些数极为重要，譬如大家所熟悉的0和1，还有其它更加重要的 常数，如π，i ，ω，e ，人们习惯分别称它们为圆周率、虚数单位、黄金分割数、纳 皮尔常数. 关于前三者的论述文章非常多，而e 似乎是一个习以为常的数,不被人们所重 视. 它随着科技发展越来越多地出现在微积分、概率统计等学科中；它是今天银行业中 对银行家最有帮助的一个数，此外在考古学中古生物年限的鉴定中也有涉及. 目前，初等数学教材以及理工科相关教材中对于e 通常作如下定义：“在科学技术中 常常使用无理数e ，它的前十位小数是2.7182818284……，以其为底的对数叫做自然对 数，为了简便，N 的自然对数N e log 记为N ln ，以e 为底的指数函数x e 和自然对数函数 x ln 在高等数学中占有极重要地位”.那么，常数e 到底是一个怎样的一个数呢？其值是 如何而来的？在十进制的数系统里，用这样奇怪的数为底，难道会比以10为底的常用 对数更自然吗？它还有哪些方面的应用？