高考数学一轮复习第九章平面几何第讲双曲线练习理新人教A创新

【创新设计】（全国通用）2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解

析几何 第6讲 双曲线练习 理 新人教A 版

基础巩固题组 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1.(20152广东卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝5

4

，且其右焦点为F 2(5，0)，则双

曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 23＝1

B.x 29－y 2

16＝1 C.

x 2

16

－y 29

＝1 D.x 23－y 2

4

＝1 解析 因为所求双曲线的右焦点为F 2(5，0)且离心率为e ＝c a ＝54

，所以c ＝5，a ＝4，b

2

＝c 2

－a 2

＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 2

9＝1，故选C.

答案 C

2.(20162南昌模拟)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线倾斜角为π

6

，则双曲

线C 的离心率为( ) A.2或 3

B.23

3

C.2或233

D.2

解析 由题意b a ＝33，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝13，e ＝23

3

，

故选B. 答案 B

3.(20152天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲

线的一个焦点在抛物线y 2

＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.

x 221－y 2

28

＝1 B.

x 228－y 2

21

＝1 C.x 23－y 2

4

＝1

D.x 24－y 2

3

＝1 解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，又渐近线过点(2，3)，所以2b

a

＝3，

即2b ＝3a ，①

抛物线y 2

＝47x 的准线方程为x ＝－7，

由已知，得a 2＋b 2＝7，即a 2＋b 2

＝7，② 联立①②解得a 2

＝4，b 2

＝3， 所求双曲线的方程为x 24－y 2

3＝1，选D.

答案 D

4.(20152全国Ⅰ卷)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 2

2－y 2

＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，

若MF 1→2MF 2→

<0，则y 0的取值范围是( ) A.? ?

???－

33

，33 B.? ?

?

??－

36，36 C.? ????－223，223

D.? ????

－233

，233

解析 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， 不妨设F 1(－3，0)，F 2(3，0)，

所以MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→

＝(3－x 0，－y 0).

∵MF 1→2MF 2→＝x 20－3＋y 20＝3y 2

0－1＜0，所以－33

答案 A

5.如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 2

4＋y 2

＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B

分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点.若四边形AF 1BF 2为矩形，则

C 2的离心率是( )

A. 2

B. 3

C.32

D.62

解析 |F 1F 2|＝2 3.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0).

∵|AF 2|＋|AF 1|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ， ∴|AF 2|＝2＋a ，|AF 1|＝2－a . 在Rt △F 1AF 2中，∠F 1AF 2＝90°， ∴|AF 1|2

＋|AF 2|2

＝|F 1F 2|2

， 即(2－a )2

＋(2＋a )2

＝(23)2

， ∴a ＝2，∴e ＝c a

＝3

2＝6

2

.故选D. 答案 D

二、填空题

6.已知F 为双曲线C ：x 29－y 2

16＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点.若PQ 的长等于虚轴长的2倍，

点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________. 解析 由x 29－y 2

16＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.

∴|PQ |＝4b ＝16>2a .

又∵A (5，0)在线段PQ 上，∴P ，Q 在双曲线的右支上， 且PQ 所在直线过双曲线的右焦点，

由双曲线定义知?

????|PF |－|PA |＝2a ＝6，

|QF |－|QA |＝2a ＝6，

∴|PF |＋|QF |＝28.

∴△PQF 的周长是|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44. 答案 44

7.已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，

若边MF 1的中点P 在双曲线上，则双曲线的离心率是________.

解析 因为MF 1的中点P 在双曲线上，|PF 2|－|PF 1|＝2a ，△MF 1F 2为正三角形，边长都是2c ，所以3c －c ＝2a ，所以e ＝c a

＝23－1

＝3＋1.

答案

3＋1

8.过双曲线C ：x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .

若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________.

解析 如图，F 1，F 2为双曲线C 的左，右焦点，将点P 的横坐标

2a 代入x 2a 2－y 2b

2＝1中，得y 2＝3b 2

，

不妨令点P 的坐标为(2a ，－3b )， 此时kPF 2＝

3b c －2a ＝b

a

，得到c ＝(2＋3)a ， 即双曲线C 的离心率e ＝c a

＝2＋ 3. 答案 2＋ 3 三、解答题

9.(20162江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，

且过点P (4，－10). (1)求双曲线的方程；

(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→2MF 2→

＝0. (1)解 ∵e ＝2，

∴可设双曲线的方程为x 2

－y 2

＝λ(λ≠0).

∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线的方程为x 2

－y 2＝6.

(2)证明 法一 由(1)可知，a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝

m 3＋23，kMF 2＝m

3－23

，

kMF 12kMF 2＝

m 29－12＝－m 2

3

.∵点M (3，m )在双曲线上，

∴9－m 2

＝6，m 2

＝3，

故kMF 12kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→2MF 2→

＝0. 法二 由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，

MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→

＝(23－3，－m )，

∴MF 1→2MF 2→＝(3＋23)3(3－23)＋m 2＝－3＋m 2

， ∵点M (3，0)在双曲线上，∴9－m 2

＝6，即m 2

－3＝0， ∴MF 1→2MF 2→

＝0.

10.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2，0)，实轴长为2 3. (1)求双曲线C 的方程；

(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 左支交于A 、B 两点，求k 的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围.

解 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0).

由已知得：a ＝3，c ＝2，再由a 2

＋b 2

＝c 2

，得b 2

＝1， ∴双曲线C 的方程为x 2

3

－y 2

＝1.

(2)设A (x A ，y A )、B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 2

3

－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2

－62kx －9＝0.

由题意知?????1－3k 2

≠0，

Δ＝36（1－k 2

）>0，x A ＋x B ＝62k 1－3k 2

<0，x A x B ＝－91－3k 2

>0，

解得33

∴当

3

3

62k

1－3k

2， ∴y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2) ＝k (x A ＋x B )＋22＝22

1－3k

2.

∴AB 的中点P 的坐标为? ????32k

1－3k 2，21－3k 2.

设直线l 0的方程为：y ＝－1

k

x ＋m ，

将P 点坐标代入直线l 0的方程，得m ＝42

1－3k 2.

∵

33

<0.∴m <－2 2. ∴m 的取值范围为(－∞，－22).

能力提升题组 (建议用时：20分钟)

11.(20162柳州、北海、钦州三市联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b

2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2

＝8x 有

一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则双曲线的渐近线方程为( ) A.x ±2y ＝0

B.2x ±y ＝0

C.x ±3y ＝0

D.3x ±y ＝0

解析 抛物线y 2

＝8x 的焦点坐标为(2，0)，准线方程为直线x ＝－2，∵双曲线x 2a 2－y 2b

2＝1(a

＞0，b ＞0)与抛物线y 2

＝8x 有一个公共的焦点F ，则双曲线的半焦距c ＝2，∴a 2

＋b 2

＝4①，又∵|PF |＝5，∴点P 的横坐标为3，代入抛物线y 2

＝8x 得y ＝±26，则P (3，±26)，

∵点P 在双曲线上，则有9

a 2－24

b 2＝1②，联立①②，解得a ＝1，b ＝3，∴双曲线x 2a 2－y 2b

2＝

1的渐近线方程为y ＝±3x . 答案 D

12.(20162太原二模)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的

直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A ，B ，若|AB |＝|AF 2|，∠F 1AF 2＝90°，则双曲线的离心率为( ) A.

6＋3

2

B.6＋ 3

C.5＋22

2

D.5＋2 2

解析 ∵|AB |＝|AF 2|，∠F 1AF 2＝90°，∴|BF 2|＝2|AF 2|.又由双曲线的定义知|BF 1|－|BF 2|＝2a ，

∴|AF 1|＋|AB |－2|AF 2|＝2a ，即|AF 1|＋(1－2)2|AF 2|＝2a .又|AF 2|－|AF 1|＝2a ，∴|AF 2|＝2(2＋2)a ，

|AF 1|＝2(1＋2)a .在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|2

＋|AF 2|2

＝|F 1F 2|2

，即[2(2＋2)a ]2

＋[2(1＋

2)a ]2

＝(2c )2

，∴c 2

a

2＝9＋62，∴e ＝9＋62＝6＋ 3.故选B.

答案 B

13.(20142浙江卷)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近

线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|PA |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________.

解析 由?

????x －3y ＋m ＝0，y ＝b a x ，得点A 的坐标为? ????am 3b －a ，bm 3b －a ，

由?

????x －3y ＋m ＝0，y ＝－b

a x ，得点B 的坐标为? ????－am 3

b ＋a ，bm 3b ＋a ， 则AB 的中点C 的坐标为? ??

??a 2m 9b 2－a 2，3b 2

m 9b 2－a 2， 而k AB ＝1

3，由|PA |＝|PB |，可得AB 的中点C 与点P 连线的斜率为－3，即k CP ＝3b 2

m 9b －a

a 2m

9b 2－a

2－m ＝

－3，化简得? ????b a 2

＝1

4

，

所以双曲线的离心率e ＝1＋? ??

??b a 2

＝1＋14＝52

. 答案

52

14.(20162兰州诊断)已知曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的方程为y ＝3x ，

右焦点F 到直线x ＝a 2c 的距离为3

2

.

(1)求双曲线C 的方程；

(2)斜率为1且在y 轴上的截距大于0的直线l 与双曲线C 相交于B 、D 两点，已知A (1，0)，若DF →2BF →

＝1，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.

(1)解 依题意有b a ＝3，c －a 2c ＝3

2

，

∵a 2

＋b 2

＝c 2

，∴c ＝2a ，∴a ＝1，c ＝2，∴b 2

＝3， ∴双曲线C 的方程为x 2

－y 2

3

＝1.

(2)证明 设直线l 的方程为y ＝x ＋m (m ＞0)，

B (x 1，x 1＋m )，D (x 2，x 2＋m )，BD 的中点为M ， 由?

????y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1得2x 2－2mx －m 2－3＝0，

∴x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－

m 2＋3

2

，

又DF →2BF →

＝1，即(2－x 1)(2－x 2)＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝1， ∴m ＝0(舍)或m ＝2，

∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－72，M 点的横坐标为x 1＋x 2

2

＝1，

∵DA →2BA →

＝(1－x 1)(1－x 2)＋(x 1＋2)(x 2＋2)＝5＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＝5－7＋2＝0， ∴AD ⊥AB ，∴过A 、B 、D 三点的圆以点M 为圆心，BD 为直径， ∵点M 的横坐标为1，∴MA ⊥ x 轴. ∴过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.