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第20套量子力学自测题

第20套量子力学自测题
第20套量子力学自测题

量子力学自测题(20)

一.回答下列问题(共30分, 第1、2小题各10分,第3、4小题各5分)

1、下列波函数所描写的状态是否为定态?并说明其理由。

(1)、()()()1,E E i t i t x t x e

x e ψ??-=+ (1)、()()()()

2,()E E i x t i x t x t u x e v x e ψ--+=+ 2、描写粒子状态的波函数在坐标表象中为 ()t r , ψ ,在动量表象中为 ()t p C , ,在

力学量Q 表象中为矩阵

()()()()12n a t a t A t a t ?? ?

?

?

= ? ? ???

且它们都是归一化的,试指出()2,t r ψ ,)2 t ,p C 与()2t a n 的物理意义,并分别写

出用这三个波函数计算力学量()p r F ,平均值的表示式。

3、己知L L i L ?= ,试问x y z L L L 、

和是否一定不能同时测定?说明其原由或举例说明。

4、量子力学的波函数与经典的波场有何本质性的区别?

二、在动量表象中,求线性谐振子的能量本征函数(15分)

三、(16分) 在?z L 和 2?L 的共同本征态中,求 x

L 和y L 的平均值。 四.(25分) 设一体系未受微扰作用时只有两个非简并能级()01E 和()

02E ,现在受到微扰'?H 的作用,体系的哈密顿算符为

()

01E +b a H=

a ()

02E +b

其中a,b为常数,用微扰公式求能量至二级近似和波函数一级近似,然后再用直接的方法求能量算符的本征值,并将能量本征值与微扰法得到的能量二级近似值进行比较。

五、(14分) 一体系由三个全同玻色子组成,玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个?它们的波函数怎样用单粒子态构成?

第5套量子力学自测题

量子力学自测题5 一、填空题(本题20分) 1.Planck 的量子假说揭示了微观粒子 特性,Einstein 的光量子假说揭示了光的 性。Bohr 的氢原子理论解决了经典电磁场理论和原子的 之间的矛盾,解决了原子的 的起源问题。 2.力学量算符必须是 算符,以保证它的本征值为 。对一个量子体系进行某一力学量的测量时,所得到的测量值肯定是 当中的某一个,测量结果一般来说是不确定的,除非体系处于 。测量结果的不确定性来源于 。两个力学量同时具有确定值的条件是 。 二、(本题15分) 1.设算符a ?具有性质{} 1?,?,0?2==+a a a 。求证: (1)a a N ???+ ≡本征值必为实数。 (2)N N ??2= (3)N ?的本征值为0或者1。 2.利用对易式σσσi 2=?,求证: {}0,=j i σσ,),,,(z y x j i =,其中,j i σ σ,为 Pauli 矩阵。 三、(本题15分) 1.设氦原子中的两个电子都处于1s 态,(不简并)两个电子体系的空间波函数为 )()(),(2100110021r r r r ψψψ= (1)写出两个电子体系的四个可能的自旋波函数4321,,,χχχχ。 (2)写出对两个电子的交换反对称的总体波函数),,,(2121z z s s r r ?(同时考虑空间自 由度和自旋自由度)。 2.一电子处于自旋态)(2 1z z ↓+↑= ψ,求: (1)在自旋态ψ下,z S ?的可能测值与相应的几率。 (2)在自旋态ψ下,x S ?的可能测值与几率。 四、(本题15分) 设一个类氢离子的电荷数由Z 变成Z+1,试用微扰方法计算基态能量的一级近似值。已知:类氢离子的基态能量本征值和本征函数分别为 a e Z E n 222-=,a Zr e a Z - ? ? ? ??=2 /31001πψ

第1章 量子力学基础-习题与答案

一、是非题 1. “波函数平方有物理意义, 但波函数本身是没有物理意义的”。对否 解:不对 2. 有人认为,中子是相距为10-13 cm 的质子和电子依靠库仑力结合而成的。试用测不准关系判断该模型是否合理。 解:库仑吸引势能大大地小于电子的动能, 这意味着仅靠库仑力是无法将电子与质子结合成为中子的,这个模型是不正确的。 二、选择题 1. 一组正交、归一的波函数123,,,ψψψ。正交性的数学表达式为 a ,归一性的 表达式为 b 。 () 0,() 1i i i i a d i j b ψψτψψ** =≠=?? 2. 列哪些算符是线性算符------------------------------------------------------ (A, B, C, E ) (A) dx d (B) ?2 (C) 用常数乘 (D) (E) 积分 3. 下列算符哪些可以对易-------------------------------------------- (A, B, D ) (A) x ? 和 y ? (B) x ?? 和y ?? (C) ?x p 和x ? (D) ?x p 和y ? 4. 下列函数中 (A) cos kx (B) e -bx (C) e -ikx (D) 2 e kx - (1) 哪些是 dx d 的本征函数;-------------------------------- (B, C ) (2) 哪些是的22 dx d 本征函数;-------------------------------------- (A, B, C ) (3) 哪些是22dx d 和dx d 的共同本征函数。------------------------------ (B, C ) 5. 关于光电效应,下列叙述正确的是:(可多选) ------------------(C,D ) (A)光电流大小与入射光子能量成正比 (B)光电流大小与入射光子频率成正比 (C)光电流大小与入射光强度成正比 (D)入射光子能量越大,则光电子的动能越大 6. 提出实物粒子也有波粒二象性的科学家是:------------------------------( A )

第22套量子力学自测题参考答案

量子力学自测题(22)参考答案 1、(a ),(b )各10分 (a )能量有确定值。力学量(不显含t )的可能测值及概率不随时间改变。 (b )(n l m m s )→(n’ l’ m’ m s ’) 选择定则:l ?=1±,m ?=0,1±,s m ?=0 根据:电矩m 矩阵元-e →r n’l’m’ms’,n l m ms ≠0 2、(a )6分(b )7分(c )7分 (a )∧K 是厄米算符,所以其本征值必为实数。 (b )∧F ψ=λψ, ψ∧F =λψ K =ψ∧K ψ=i ψ∧F ∧G -∧G ∧F ψ =i λ{ψ∧G ψ-ψG ψ}=0 (c )(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧F 2+∧G 2-∧ K ψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G ) ψ=︱(∧F -i ∧G )ψ︱2≥0 ∴<∧F 2+∧G 2-∧ K >≥0,即2F +2G ≥K 3、(a),(b)各10分 (a) ∧H =ω∧z S +ν∧x S =2 ω[1001-]+2 ν[0110]=2 [ωνν ω -] ∧H ψ=E ψ,ψ=[b a ],令E =2 λ,则 [λωννλω---][b a ]=0,︱λων ν λω---︱ =2λ-2ω-2ν=0 λ=±22νω+,E 1=-2 22νω+,E 2=2 22νω+ 当ω?ν,22νω+=ω(1+22ων)1/2≈ω(1+222ων)=ω+ων22 E 1≈-2 [ω+ων22],E 2 =2 [ω+ων22]

(b )∧H =ω∧z S +ν∧x S =∧H 0+∧H ’,∧H 0=ω∧z S ,∧H ’=ν∧ x S ∧H 0本征值为ω 21±,取E 1(0)=-ω 21,E 2(0)=ω 21 相当本征函数(S z 表象)为ψ1(0)=[10],ψ2(0)=[01 ] 则∧ H ’之矩阵元(S z 表象)为 '11H =0,'22H =0,'12H ='21H =ν 21 E 1=E 1(0)+'11H + )0(2)0(12'21E E H -=-ω 21+0-ων 2241=-ω 21-ων241 E 2=E 2(0)+'22H +) 0(1)0(22'12E E H -=ω 21+ων241 4、E 1=2222ma π,)(1x ψ=?????0sin 2a x a π a x x a x ≥≤<<,00 x =dx x a ?021ψ=2sin 202a dx a x x a a =?π x p =-i ?=a dx dx d 011ψψ-i ?=a a x d a 020)sin 21(2π x xp =-i ??-=a a a x d a x x a i dx dx d x 00 11)(sin sin 2ππψψ = ?-a a x xd a i 02)(sin 1π =0sin [12a a x x a i π --?a dx a x 02]sin π =0+?=a i dx ih 0 2122 ψ 四项各5分 5、(i ),(ii )各10分

第8套量子力学自测题

量子力学自测题8 一、填空题(本题25分) 1.自由粒子平面波函数ikx ce x =)(ψ的动量不确定度=?p ,坐标不确定度=?x 。 2.波函数kx x cos )(=ψ是否自由粒子的能量本征态?答: 。如果是,能量本征值是 。该波函数是否是动量本征态?答: ,因为 。 3.设B A ??是两个互为不对易的厄米算符。在下列算符 (1)B A ?,?; (2)B A ??—A B ??; (3)2 ?A ; (4)B A ??+A B ?? 中,算符 和 的本征值必为实数。 4.设两个电子散射波的自旋波函数()↓↑+↑↓= 2 1χ,则散射波的空间波函数应为 。因此微分散射截面 。 5.设一个二能级体系的两个能量本征值分别为E 1和E 2,相应的本征矢量为21n n 和。则在能量表象中,体系Hamilton 量的矩阵表示是 ,体系的可能状态是 ,在各可能状态下,能量的可能测值是 ,相应的几率是 。 二、(本题15分) 1.已知在坐标表象中,自由粒子的坐标本征函数为 )()(0x x x -=δψ 求在动量表象中坐标的本征函数。 2.氢原子中的电子在径向坐标dr r r +→的球壳内出现的几率为 dr r r R dr r P nl nl 22)()(=。已知,0/2/30 1012)(a r e a r R -???? ??=,求IS 电子的径向几率最大的 位置。 三、(本题15分) 1.求证:iz y +=1ψ,ix z +=2ψ,iy x +=3ψ分别为角动量算符z y x l l l ?,?,?的本征值为 的本征态。 2.试证明:在电子的任意自旋态??? ? ??=b a χ下,只要22b a =,则自旋角动量z S ?的平均值必为零。 四、(本题15分) 1.已知),())((B A i B A B A ??+?=??σσσ其中,A 、B 为与Pauli 矩阵z y x σσσ,,对易的任意两个矢量算符。试证明:

第21套量子力学自测题参考答案

量子力学自测题(21) 1、已知一维运动的粒子在态)(x ψ中坐标x 和动量x p 的平均值分别为0x 和0p ,求在态 )()(0/0 x x e x x ip +=-ψ? 中坐标x 和动量x p 的平均值。 解:已知粒子在态)(x ψ中坐标x 和动量x p 的平均值分别为 0* )()(x dx x x x x == ?+∞ ∞-ψψ 0*)()(p dx x x i x p x =?? ? ? ???-= ?+∞ ∞ -ψψ 现粒子处在)(x ?态,坐标x 和动量x p 的平均值 )())(()()()()(000*00** =-=''-''=++==???∞ +∞ -+∞ ∞ -+∞ ∞ -x x x d x x x x dx x x x x x dx x x x x ψψψψ?? )()()]()()[()]([)()()(00*00/0/00*/0/0*/*00000=+-=''??? ?? '??-'+-=+??? ????-++-+= +??? ?? ??-+=??? ????-=????∞ +∞ -∞ +∞ ---+∞ ∞ --+∞∞-p p x d x x i x p dx x x x i e x x e p x x e dx x x e x i x x e dx x x i x p x ip x ip x ip x ip x ip x ψψψψψψψ?? 2、一体系服从薛定谔方程 ),(),(21)(22121221222 12r r E r r r r k m ψψ=?? ????-+?+?- (1)指出体系的所有守恒量(不必证明); (2)求基态能量和基态波函数。 解:(1)体系的哈密顿量为 2 212222122 122r r k m m H -+?-?-= 引入质心坐标R 和相对坐标r : )(2 121r r R += 21r r r -= 在坐标变换r R r r ,,21?下,体系的哈密顿量变为 2 22222 122kr M H r R +?-?-= μ 2/2m m M ==μ

第2套量子力学自测题

量子力学自测题(2) 一、填空题(本题20分) 1.在量子力学中,体系的量子态用Hilbert 空间中的 来描述,而力学量用 描述。力学量算符必为 算符,以保证其 为实数。当对体系进行某一力学量的测量时,测量结果一般来说是不确定的。测量结果的不确定性来源于 。 2.在量子力学中,一个力学量是否是守恒量只决定于 的性质,也就是说,决定于该力学量是否与体系的 对易,而与体系的 无关。一个力学量是否具有确定值,只决定于体系的 ,也就是说,决定于体系是否处于该力学量的 ,无论该力学量是否守恒量。 二、(本题15分) 1.设全同二粒子的体系的Hamilton 量为H ?(1,2,),波函数为ψ(1,2,),试证明 交换算符12 ?P 是一个守恒量。 2.设U ?是一个幺正算符,求证+?=U dt U d i H ??? 是厄米算符。 3.设y σ为Pauli 矩阵, (1)求证:θσθθσsin cos y i i e y += (2)试求:y i Tre θσ 三、(本题10分) 求证:z y x xyz ++=)(ψ是角动量平方算符2?l 的本征值为2 2 的本征函数。 四、(本题15分) 设一量子体系处于用波函数)cos sin (41 ),(θθπ?θψ?+=i e 所描述的量子态。 求:(1)在该态下,z l ?的可能测值和各个值出现的几率。 (2)z l ?的平均值。 如有必要可利用, θπcos 4310=Y ,?θπ i e Y ±±=sin 8311 。

五、(本题20分) 已知,在一维无限深方势阱中运动粒子的能量本征值和本征函数分别为 22 222m a n E n π=,a x n a n πψsin 2=, (n=1,2,3…) 设粒子受到微扰: ???????-='),(2,2)(?x a a k x a k x H a x a a x <<<<220 求基态(n=1)能量的一级近似值。 如有必要,可利用积分公式? +=y y y ydy y sin cos cos 。 六、(本题20分) 设),3,2,1( =n n 表示一维谐振子的能量本征态,且已知 ??????-+++= 121211n n n n n x α, ωαm = (1)求矩阵元n x m 2。 (2)设该谐振子在t=0时处于基态0,从t>0开始受微扰kt e x H 22-='的作用。 求:经充分长时时)(∞→t 以后体系跃迁到2态的几率。

曾谨言《量子力学教程》(第3版)笔记和课后习题复习答案考研资料

曾谨言《量子力学教程》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解完整版>精研学习网>免费在线试用20%资料 全国547所院校视频及题库资料 考研全套>视频资料>课后答案>往年真题>职称考试 目录 隐藏 第1章波函数与Schr?dinger方程 1.1复习笔记 1.2课后习题详解 1.3名校考研真题详解 第2章一维势场中的粒子 2.1复习笔记 2.2课后习题详解 2.3名校考研真题详解 第3章力学量用算符表达 3.1复习笔记 3.2课后习题详解 3.3名校考研真题详解 第4章力学量随时间的演化与对称性 4.1复习笔记 4.2课后习题详解 4.3名校考研真题详解

第5章中心力场 5.1复习笔记 5.2课后习题详解 5.3名校考研真题详解 第6章电磁场中粒子的运动 6.1复习笔记 6.2课后习题详解 6.3名校考研真题详解 第7章量子力学的矩阵形式与表象变换7.1复习笔记 7.2课后习题详解 7.3名校考研真题详解 第8章自旋 8.1复习笔记 8.2课后习题详解 8.3名校考研真题详解 第9章力学量本征值问题的代数解法9.1复习笔记 9.2课后习题详解 9.3名校考研真题详解 第10章微扰论 10.1复习笔记

10.2课后习题详解 10.3名校考研真题详解 第11章量子跃迁 11.1复习笔记 11.2课后习题详解 11.3名校考研真题详解 第12章其他近似方法 12.1复习笔记 12.2课后习题详解 12.3名校考研真题详解 内容简介 隐藏 本书是曾谨言主编的《量子力学教程》(第3版)的学习辅导书,主要包括以下内容: (1)梳理知识脉络,浓缩学科精华。本书每章的复习笔记均对该章的重难点进行了整理,并参考了国内名校名师讲授该教材的课堂笔记。因此,本书的内容几乎浓缩了该教材的所有知识精华。 (2)详解课后习题,巩固重点难点。本书参考大量相关辅导资料,对曾谨言主编的《量子力学教程》(第3版)的课后思考题进行了详

量子力学考试题

量子力学考试题 (共五题,每题20分) 1、扼要说明: (a )束缚定态的主要性质。 (b )单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。 2、设力学量算符(厄米算符)∧ F ,∧ G 不对易,令∧K =i (∧F ∧G -∧G ∧ F ),试证明: (a )∧ K 的本征值是实数。 (b )对于∧ F 的任何本征态ψ,∧ K 的平均值为0。 (c )在任何态中2F +2 G ≥K 3、自旋 /2的定域电子(不考虑“轨道”运动)受到磁场作用,已知其能量算符为 S H ??ω= ∧ H =ω∧ z S +ν∧ x S (ω,ν>0,ω?ν) (a )求能级的精确值。 (b )视ν∧ x S 项为微扰,用微扰论公式求能级。 4、质量为m 的粒子在无限深势阱(0

(a )能量有确定值。力学量(不显含t )的可能测值及概率不随时间改变。 (b )(n l m m s )→(n’ l’ m’ m s ’) 选择定则:l ?=1±,m ?=0,1±,s m ?=0 根据:电矩m 矩阵元-e → r n’l’m’m s ’,n l m m s ≠0 2、(a )6分(b )7分(c )7分 (a )∧ K 是厄米算符,所以其本征值必为实数。 (b )∧ F ψ=λψ,ψ∧ F =λψ K =ψ∧ K ψ=i ψ∧F ∧G -∧ G ∧F ψ =i λ{ ψ∧ G ψ-ψG ψ}=0 (c )(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧ F 2 +∧ G 2 -∧ K ψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )ψ=︱(∧ F -i ∧ G )ψ︱2≥0 ∴<∧ F 2 +∧ G 2-∧ K >≥0,即2F +2 G ≥K 3、(a),(b)各10分 (a) ∧ H =ω∧ z S +ν∧ x S =2 ω[1001-]+2 ν[0110]=2 [ων ν ω -] ∧ H ψ=E ψ,ψ=[b a ],令E =2 λ,则 [λωννλω---][b a ]=0,︱λων ν λω---︱ =2λ-2ω-2ν=0 λ=±22νω+,E 1=-2 22νω+,E 2=2 22νω+ 当ω?ν,22νω+=ω(1+22ων)1/2≈ω(1+2 22ων)=ω+ων22 E 1≈-2 [ω+ων22],E 2 =2 [ω+ων22] (b )∧ H =ω∧z S +ν∧ x S =∧H 0+∧H ’,∧ H 0=ω∧ z S ,∧ H ’=ν∧ x S ∧ H 0本征值为ω 21± ,取E 1(0)=-ω 21,E 2(0) =ω 21 相当本征函数(S z 表象)为ψ1(0)=[10],ψ2 (0)=[01 ] 则∧ H ’之矩阵元(S z 表象)为

第11套量子力学自测题

量子力学自测题(11) 一、(30分)回答下列问题: (1)何谓微观粒子的波粒两象性? (2)波函数(,)r t ψ是用来描述什么的?它应该满足什么样的自然条件?2(,)r t ψ的物理意义是什么? (3)分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态? (4)物理上可观测量应该对应什么样的算符?为什么? (5)坐标x 分量算符与动量x 分量算符?x p 是对易关系是什么?并写出两者满足的不确定关系。 (6)厄米算符?F 的本值n f 与本征矢|n >分别具有什么性质? 二(20分)设氢原子处于 2110311021111(,,)()(,)()(,)()(,)2r R r Y R r Y r Y ψθ?θ?θ?θ?-=-的状态上,求能其量、角动量平方及角动量Z 分量的可能取值与相应的取值概率,进而求出它们的平均值。 三、(25分)设厄米算符?H 的本征矢为n ,{n 构成正交归一完备函数系,定义一个算符 n m n m U =),(? (1)计算对易??,(,)H U m n ????

(2)证明???(,)(,)(,)nq U m n U p q U m p δ+= (3)计算阵迹??r k T F k F k =<>∑ (4)若算符?A 的矩阵元为?,mn A m A n =<>证明 ,??(,)mn m n A A U m n =∑ {} ),(??q p U A T A r pq += 四、(25分)自旋为2 ,固有磁矩为=u s γ(其中γ为实常数)的粒子,处于均匀外磁场0??=B B k 中,设t=0时粒子处于2 x s =的状态。 (1)求出t>0时的波函数; (2)求出t>0时?x s 与?z s 的可测值及相应的取值概率。 五、(25分)已知二维谐振子的哈密顿算符为)(2 12??22220y x M M p H ++=ω,对其施加微扰xy W λ-=?后,利用微扰论求W H H ???0 +=基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。 六、(25分)设粒子处于Y lm (θ,?)态,求该态中L x , L y , L z 的平均值.

量子力学12套内部模拟试题

561 模拟试题 试题1 一. (20分)设氢原子处于 ()()()()()()()?θ?θ?θ?θψ,Y R 2 1,Y R 2 1,Y R 2 1,,112110311021-- - = r r r r 的状态上,求其能量、角动量平方及角动量z 分量的可能取值与相应的取值几率,进而求出它们的平均值。 二. (20分)作一维运动的粒子,当哈密顿算符为()x V p H +=μ 2??20时, 能级是0 n E ,如果哈密顿算符变成μαp H H ?? ?0+=(α 为实参数),求变化后 的能级n E 。 三. (20分)质量为μ的粒子处于如下的一维位势中 ()()()x V x c x V 0+-=δ 其中, ()???>≤ =0 ,0 ,01 0x V x x V 且 >c ,01>V , 求其负的能量本征值。 四.(20分)已知在2L 与z L 的共同表象中,算符y L ? 的矩阵形式为

562 ???? ? ??--=0i i 0i 0i 0 2? y L 求y L ? 的本征值和归一化的本征矢。 五.(20分)两个线谐振子,它们的质量皆为μ,角频率皆为ω, 加上微扰项21 ?x x W λ-=(2 1,x x 分别为两个谐振子的坐标)后,用微扰论求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。 试题2 一.(20分)质量为m 的粒子作一维自由运动,如果粒子处于 ()kx A x 2 sin =ψ的状态 上,求其动量p ?与动能T ?的取值几率分布及平均值。 二. (20分)质量为m 的粒子处于如下一维势阱中 ()??? ??>>≤≤<∞=a x V a x x x V )0(0 ,00 .0 若已知该粒子在此势阱中存在一个能量2 0V E = 的状态,试确定此势 阱的宽度a 。 三. (20 分)体系的三维空间是由三个相互正交的态矢1u 、2 u 和3u 构成的,以其为基矢的两个算符H ?和B ?的矩阵形式如下

第11套量子力学自测题

量子力学自测题(11) 一、(30分)回答下列问题: (1)何谓微观粒子的波粒两象性? (2)波函数(,)r t ψ 是用来描述什么的?它应该满足什么样的自然条 件?2(,)r t ψ 的物理意义是什么? (3)分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态? (4)物理上可观测量应该对应什么样的算符?为什么? (5)坐标x 分量算符与动量x 分量算符?x p 是对易关系是什么?并写出两者满足的不确定关系。 (6)厄米算符?F 的本值n f 与本征矢|n >分别具有什么性质? 二(20分)设氢原子处于 2110311021111(,,)()(,)()(,)()(,)2r r Y R r Y R r Y ψθ?θ?θ?θ?-= -的状态上,求 能其量、角动量平方及角动量Z 分量的可能取值与相应的取值概率,进而求出它们的平均值。 三、(25分)设厄米算符?H 的本征矢为n ,{}n 构成正交归一完备函数系,定义一个算符 n m n m U =),(? (1)计算对易??,(,)H U m n ????

(2)证明???(,)(,)(,)nq U m n U p q U m p δ+= (3)计算阵迹??r k T F k F k =<>∑ (4)若算符?A 的矩阵元为?,mn A m A n =<>证明 ,??(,)mn m n A A U m n =∑ {} ),(??q p U A T A r pq += 四、(25分)自旋为2 ,固有磁矩为= u s γ(其中γ为实常数)的粒子, 处于均匀外磁场0??= B B k 中,设t=0时粒子处于2 x s = 的状态。 (1)求出t>0时的波函数; (2)求出t>0时?x s 与?z s 的可测值及相应的取值概率。 五、(25分)已知二维谐振子的哈密顿算符为)(212??22220y x M M p H ++= ω,对其施加微扰xy W λ-=?后,利用微扰论求W H H ???0 +=基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。 六、(25分)设粒子处于Y lm (θ,?)态,求该态中L x , L y , L z 的平均值. 量子力学自测题(11)答案 一、(30分)回答下列问题: (1)何谓微观粒子的波粒两象性? 解 微观粒子既不是粒子,也不是波。更确切地说,它既不是经典意义下的粒子,也不是经典意义下的波,但是,它即具有经典粒子的属性(具有确定的质量、电荷与自旋),又具有经典波动的属性(具有干涉及衍射现象)。严格地说,微观粒子就是微观粒子,粒子与波只是微观粒子的两种不同属性。如果硬是要用经典的概念来理解它的话,那么,微观粒子既具有经典粒子的属性又具有经典波动的属性,是经典粒子与经典波动这一矛盾的综合体。

2007量子力学试题(A)卷

2006~2007郑州大学物理工程学院物理专业量子力 学试题(A 卷) (说明: 考试时间120分钟,共5页,满分100分)计分人: 复查人: 一. 填空题(每题2分,共20分) 1. 微观粒子具有 二象性, 德布罗意公 式为E= , p= . 2. 一个微观粒子的状态由波函数),(t x ψ描述, 那么在区间b x a ≤≤,发现这个粒子的几率是 3.在0=t 时刻,一个一维谐振子处于基态和第一激发态的迭加态)(2 1)(2 1)(10x x x ψψ+ = ψ,则能量的期待值是 3. 对氢原子,不考虑电子的自旋,能级的简并度为 ,考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时,能级的简并度为 . 5. 对易关系=],[2 x p x 6.费米子组成的全同粒子体系的波函数是______________,玻色子所组成的全 同粒子体系的波函数是_________ 。 7.一个微观粒子的状态由波函数),(t x ψ描述,在动量表象相应的波函数为=),(t p c 8.电子自旋角动量满足的对易关系是=?S S 9.泡利不相容原理是指 10.线性谐振子占有数表象的产生与湮灭算符作用在谐振子能量本征函数 上,有=+ ∧n a ψ ,=∧ n a ψ 。

二.选择题(每题只有一个答案是正确的,每题5分,共20分) 1.设粒子处于态2021103 121CY Y Y ++ = ψ,ψ为归一化波函数,lm Y 为归一化的球谐函数,则系数C 和∧ z L 的期待值为. (A )6 1, 3 (B ) 3 1, 6 (C ) 2 1, 3 (D ) 6 1, 2.如果∧A 和∧ C 是厄米算符,并且0,≠?? ? ???∧∧C A 则下列是厄米算符为 (A) ∧ ∧ C A (B) ∧ ∧ A C (C) ∧ ∧ ∧ ∧ +A C C A (D) ∧ ∧ ∧ ∧ -A C C A 3. 假定角动量平方算符21?J 和22?J 的本征值分别为2 2 和24 3 ,如果J ? = 1?J +2? J , 则可能是2?J 本征值的选择为 (A )2 2 4 3,2 (B )2 2 43,415 (C ) 2 2 4 5, 4 11 (D ) 2 2 2 15 , 2 3 4.由5个无相互作用的玻色子组成的一维谐振子体系,其基态能量为 (A )ω 5 (B )ω 2 5 (C )ω )2 15(+ (D )ω )2115(+

第10套量子力学自测题参考答案

量子力学测试题10参考答案 1、一质量为m 的粒子沿x 正方向以能量E 向x=0处势垒运动。当0≤x 时,势能为零;当 0>x 时,势能为E V 4 3 0=。问在x=0处粒子被反射的几率多大? 解:S-eq 为 ???≥=+''≤=+''0 000 22 221211x k x k ψψψψ 其中221/2 mE k = 4//)(221202 2k V E m k =-= 由题意知 0≤x 区域 既有入射波,又有反射波;0≥x 区域仅有透射波 故方程的解为 x ik x ik re e 111-+=ψ 0≤x x ik te 22=ψ 0≥x 在x=0处,ψ及ψ'都连续,得到 t r =+1 t k r k 2 )1(11=- 由此解得912 ==r R 注意 透射率2 t T ≠ 因为12k k ≠ 将 x ik e 1,x ik re 1-,x ik te 2分别代入几率流密度公式 ?? ? ????-??- =**2ψψψψ x x m i j 得 入射粒子流密度 m k j 1 0 = 反射粒子流密度 2 1r m k j R -= 透射粒子流密度 2 2t m k j T = 由此得 反射率 9 12 0=== r j j R R 透射率 9 8 2120===t k k j j T T 1=+T R 2、计算 (1)?],[2 =r L (2)设),(p x F 是p x ,的整函数,则?],[=F p 解:(1)0],[],[],[],[2=+=+==βγαβγγβαβγββαβαβββααεεx x i x x i x x L x L x x x L r L 因为将第二项哑标作更换γβ? γβαβγγβαγββγαβγεεεx x i x x i x x i -== 所以 0],[2=r L

量子力学-第四版-卷一-(曾谨言-著)习题答案第5章-1

第五章: 对称性及守恒定律 P248设粒子的哈密顿量为 )(2??2r V p H +=μ 。 (1) 证明 V r p p r dt d ??-=? μ/)(2。 (2) 证明:对于定态 V r T ??=2 (证明)(1)z y x p z p y p x p r ??????++=? ,运用力学量平均值导数公式,以及对易算符的公配律: ]?,??[1)??(H p r i p r dt d ?=? ]?,??[H p r =? =)],z y (2) ?[r ? x x x x p x p p x p p x ?????]?,??[23 2-= x x x x x x p x p p x p p x p p x ???????????22 23-+-= x x x x x p p x p p p x ?]?,?[??]?,?[2+= 222?2??x x x p i p i p i =+= (4) ],?[?????????????],??[V p x p V x V p x p x V V p x V p x x x x x x x =-=-=

x V x i ??=?? (5) 将(4)(5)代入(3),得: }{)???(]?,??[222z V z y V y x V x i p p p i H p r z y x ??+??+??+++=? μ }?{2V r p i ??+= μ 代入(1),证得题给公式: V r p p r dt d ??-=? μ 2?)( (6) 的平均值,按前述习题2的结论,其 则=?p r dt d 由前式 P249 ) (2)库仑场 T V 2-= (3)T V n Cr V n 2,== (解)先证明维里定理:假设粒子所在的势场是直角坐标),,(z y x 的n 次齐次式,则不论n 是正、负数,势场用直角坐标表示的函数,可以表示为以下形式,式中V假定是有理函数(若是无理式,也可展开成级数): ∑=ijk k j i ijk z y x C z y x V ),,( (1)

第8套量子力学自测题+答案

量子力学自测题8参考答案 一、填空题 1.0,∞ 2.是,m k 222 ,否,)(21cos ikx ikx e e kx -+=,可见,它是两个动量本征态ikx e 和ikx e -的叠加态 3.A B B A A ????,?2+ 4. []{} r e f f e e r ikr r ik r ik /)()(2 1)(-?-?--+-=θπθθψ, 2 )()()(θπθθσ--=f f 5.??? ? ? ?21 0E E ,121221121,、E 、E E n C n 、C n 、n +或、1,2E 1、2 2212 1 C C C +或 2 2 2 12 2 C C C + 二、1.解 可通过Fourier 变换得到动量表象中坐标的本征函数: dx e x p px i x ?-= )() 2(1)(2/10ψπ? dx e x x px i ?--= )() 2(1 02/1δπ 02/1) 2(1px i e -=π 可见,在动量表象中,坐标的本征值为x 0的本征函数是 002 /1) 2(1)(px i x e p -=π? 2.由于电子在dr r r +→的球壳内出现的几率为dr r r R dr r P nl nl 2 2 )()(=,几率密度,即几率分布函数2 2 )()(r r R r P nl nl =,对1s 电子的径向几率最大的位置应有 0)()(221010==r r R dr d dr r dP 把)(10r R 代入上式得

022*******=??? ? ??--r a r e a a r 0120=??? ? ? ?-a r r r=0或r=a 0 (r=0舍去) 可见,1s 电子的径向几率最大的位置是r=a 0。 三、1.证明 因为 ???? ????-??-=y z z y i l x ?,??? ????-?? -=z x x z i l y ?,???? ????-??-=x y y x i l z ? 因此, 11)()(?ψψ =+=+=+???? ? ???-??-=iz y y z i iz y y z z y i l x 可见,1ψ是x l ?的本征值为 的本征态。同理可证明, 22?ψψ =y l ,3 3?ψψ =z l 2.证明 在自旋态χ下,z S ?的平均值 )(2 10 012)(?2 2**b a b a b a S S z z -=???? ?????? ??-==+ χχ 可见,只要z S b a ?,2 2 =的平均值必为零。 四、1.证明 由)())((B A i B A B A ??+?=??σσσ可看出,当A=B 时, )()(22A A i A A ??+=?σσ 当A 的三个分量Ax,Ay,Az 互为对易时,上式中的0=?A A ,当A 的三个分量Ax,Ay,Az 互 为不对易时,0≠?A A 。 对2)(p ?σ,由于i j j i p p p p =(对易),所以 2)(p ?σ=2p 但对2 )(l ?σ,由于l 的三个分量不对易,且有l l i l =?,因此 l l l i i l l ?-=?+=?σσσ 22)()( 2.证明 根据平均值的定义, ))(?),((t A t A ψψ=

第4套量子力学自测题

量子力学自测题4 一、(共25分) 1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点?(4分) 2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态?(6分) 3、全同玻色子的波函数有什么特点?并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。(4分) 4、在一维情况下,求宇称算符P ?和坐标x 的共同本征函数。(6分) 5、简述测不准关系的主要内容,并写出时间t 和能量E 的测不准关系。(5分) 二、(15分)已知厄密算符B A ?,?,满足1??22==B A ,且0????=+A B B A ,求 1、在A 表象中算符A ?、B ?的矩阵表示; 2、在A 表象中算符B ?的本征值和本征函数; 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。 三、(15分)线性谐振子在0=t 时处于状态 )21e x p (3231)0,(2 2x x x ααπαψ-??????-=,其中 μωα=,求 1、在0=t 时体系能量的取值几率和平均值。2、0>t 时体系波函数和体系能量 的取值几率及平均值 四、(15分)当λ为一小量时,利用微扰论求矩阵 ??? ?? ? ?++λλλλλλ 2330 3220 21 的本征值至λ的二次项,本征矢至λ的一次项。 五、(10分)一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成? 量子力学自测题 4参考答案 一、1、厄密算符的本征值是实数,本征矢是正交、归一和完备的。 2、在无穷远处为零的状态为束缚态;简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况;将波函数中坐标变量改变符号,若得到的新函数与原来的波函数相同,则称该波函数具有偶宇称。 3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为: [])()()()(21 12212211q q q q S ????φ+=

量子力学第一章课外练习题

第一章绪论 一、填空题 1、1923年,德布洛意提出物质波概念,认为任何实物粒子,如电子、质子等,也具有波动性,对于质量为1克,速度为1米/秒的粒子,其德布洛意波长为0.123A(保留三位有效数字)。 2、自由粒子的质量为m,能量为E,其德布罗意波长为h/p=h/√2mE(不考虑相对论效应)。 3、写出一个证明光的粒子性的:康普顿效应的发现,从实验上证实了光具有粒子性。 4、爱因斯坦在解释光电效应时,提出光的频率决定光子的能量,光的强度只决定光子的数目概念。 5、德布罗意关系为p=h/λ n(没有写为矢量也算正确)。 7、微观粒子具有波粒二象性。 8、德布罗意关系是粒子能量E、动量P与频率ν、波长λ之间的关系,其表达式为E=hv 9、德布罗意波长为λ,质量为m的电子,其动能为已知。 10、量子力学是反映微观粒子运动规律的理论。 11、历史上量子论的提出是为了解释的能量分布问题。用来解释光电效应的爱因斯坦公式为已知。 12、设电子能量为4电子伏,其德布罗意波长为待定nm。 13、索末菲的量子化条件为在量子理论中,角动量必须是h的整数倍, E待定。 应用这个量子化条件可以求得一维谐振子的能级= n 14、德布罗意假说的正确性,在1927年为戴维孙和革末所做的电子衍射

实验所证实,德布罗意关系(公式)为见P11。 15、1923年,德布洛意提出物质波概念,认为任何实物粒子,如电子、质子等,也具有波动性。根据其理论,质量为 ,动量为p的粒子所对应的物质波的频率为,波长为若对于质量为1克,速度为1米/秒的粒子,其德布洛意波长为待定(保留三位有效数字)。 16、1923年,德布罗意提出物质波概念,认为任何实物粒子,如电子、质子等,也具有波动性,对于经过电压为100伏加速的电子,其德布洛意波长为0.123A(保留三位有效数字)。 二、选择题 1、利用爱因斯坦提出的光量子概念可以成功地解释光电效应。 A. 普朗克 B. 爱因斯坦 C. 玻尔 D. 波恩 2、1927年C和等人所做的电子衍射试验验证了德布洛意的物质波假设。 A. 夫兰克赫兹 B. 特恩革拉赫 C. 戴维逊盖末 D. 康普顿吴有训 3、能量为0.1eV的自由中子的德布罗意波长为B A. 0.92? B.1.23? C. 12.6? D.0.17 ? 4、一自由电子具有能量150电子伏,则其德布罗意波长为可算 A.1 A B.15 A C.10 A D.150 A 5、普朗克在解决黑体辐射时提出了 A。 A、能量子假设 B、光量子假设 C、定态假设 D、自旋假设 6、证实电子具有波动性的实验是 D 。 A、戴维孙——革末实验 B、黑体辐射

量子力学试题及答案!(完整资料).doc

【最新整理,下载后即可编辑】 2002级量子力学期末考试试题和答案 B卷 一、(共25分) 1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点?(4分) 2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态?(6分) 3、全同玻色子的波函数有什么特点?并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。(4分) 4、在一维情况下,求宇称算符P?和坐标x的共同本征函数。(6

分) 5、简述测不准关系的主要内容,并写出时间t 和能量E 的测不准关系。(5分) 二、(15分)已知厄密算符B A ?,?,满足1??22==B A ,且0????=+A B B A ,求 1、在A 表象中算符A ?、B ?的矩阵表示; 2、在A 表象中算符B ?的本征值和本征函数; 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。 三、(15分)线性谐振子在0=t 时处于状态 )21exp(3231)0,(2 2x x x ααπαψ-??????-= ,其中 μω α=,求 1、在0=t 时体系能量的取值几率和平均值。 2、0>t 时体系波函 数和体系能量的取值几率及平均值 四、(15分)当λ为一小量时,利用微扰论求矩阵 ??? ?? ? ?++λλλλλλ 23303220 21 的本征值至λ的二次项,本征矢至λ的一次项。 五、(10分)一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?

一、1、厄密算符的本征值是实数,本征矢是正交、归一和完备的。 2、在无穷远处为零的状态为束缚态;简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况;将波函数中坐标变量改变符号,若得到的新函数与原来的波函数相同,则称该波函数具有偶宇称。 3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为: [])()()()(21 12212211q q q q S ????φ+= 4、宇称算符P ?和坐标x 的对易关系是:P x x P ?2],?[-=,将其代入测不准关系知,只有当0?=P x 时的状态才可能使P ?和x 同时具有确定值,由)()(x x -=δδ知,波函数)(x δ满足上述要求,所以)(x δ是算符 P ?和x 的共同本征函数。 5、设F ?和G ?的对易关系k ?i F ?G ?G ?F ?=-,k 是一个算符或普通的数。以F 、G 和k 依次表示F ?、G ?和k 在态ψ中的平均值,令 F F ?F ?-=?,G G ?G ?-=?, 则有 4 2 2 2 k )G ?()F ?(≥???,这个关系式称为测不准关系。 时间t 和能量E 之间的测不准关系为: 2 ≥ ???E t 二、1、由于1?2=A ,所以算符A ?的本征值是1±,因为在A 表象中,算符A ?的矩阵是对角矩阵,所以,在A 表象中算符A ?的矩

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