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函数单调性与导数教学设计(公开课)

函数单调性与导数教学设计(公开课)
函数单调性与导数教学设计(公开课)

函数的单调性和导数

胶南市第一中学姜世彩

一.教材分析:

1、教材的地位和作用

“函数单调性与导数”是人教版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修2-2第一章《导数及其应用》的内容。本节的教学内容属导数的应用,是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容,学好它既可加深对导数的理解,又可为后面研究函数的极值和最值打好基础。

由于学生在高一已经掌握了单调性的定义,并能用定义判定在给定区间上函数的单调性。通过本节课的学习,应使学生体验到,用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多(尤其对于三次和三次以上的多项式函数,或图象难以画出的函数而言),充分展示了导数解决问题的优越性。

根据新课标要求和教材的分析,并结合学生的认知特点,确定如下几个方面为本课的教学目标:

2、教学目标

知识与技能:1.探索函数的单调性与导数的关系

2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间

过程与方法:1.通过本节的学习,掌握用导数研究单调性的方法

2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合

思想、转化思想、分类讨论思想。

情感态度与价值观:通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结,培养学生的探索精神,引导学生养成自主学习的学习习惯。

对于函数单调性与导数,学生的认知困难主要体现在:用准确的数学语言描述函数单调性与导数的关系,这种由数到形的翻译,从直观到抽象的转变,对学生是比较

困难的。根据以上的分析和新课程标准的要求,我确定了本节课的重点和难点。3.教学的重点和难点

教学重点:探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。

教学难点:探索函数的单调性与导数的关系。

4、教材处理

本节课内容教材主要学习函数的单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性;利用导数信息绘制函数的大致图像;会求函数和的单调区间。

二.教法分析:

1.教学方法的选择:

为还课堂于学生,突出学生的主体地位,本节课拟运用“问题--- 解决”课堂教

学模式,采用发现式、启发式、讲练结合的教学方法。通过问题激发学生求知欲,使

学生主动参与教学实践活动,在教师的指导下发现、分析和解决问题,总结规律,培

养积极探索的科学精神。

2.教学手段的利用:

本节课采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量,通过数形结合,使抽象的知

识直观化,形象化,以促进学生的理解。

3.教学课堂结构

知识回顾—问题情境—新课探究—知识运用(例题精讲—变式训练—拓展延伸—

能力提升)—课堂小结—作业布置

三.学法分析:

为使学生积极参与课堂学习,我主要指导了以下的学习方法:

1.合作学习:引导学生分组讨论,合作交流,共同探讨问题;

2.自主学习:引导学生通过亲身经历,动口、动脑、动手参与数学活动;

3.探究学习:引导学生发挥主观能动性,主动探索新知。

四.教学过程:

(一)知识回顾

从已学过的知识(判断二次函数的单调性)入手,提出新的问题(判断三次函

数的单调性),引起认知冲突,激发学习的兴趣。

设计意图:通过复习回顾,巩固旧知,学生疑惑,逐步浮现本节课的探讨任务。

(二)问题情境

从具体的实际情景出发,提出本节课要探索的问题,函数的单调性与导数的关系。

设计意图:为学生提供一个联想的“源”,巧妙设问,把学习任务转移给学生;让学生完成对函数单调性与导数关系的第一次认识,明确研究课题。

(三)新课探究

观察四个函数的图像和求导数,从这四个函数的单调性与导数符号的关系,归纳总结导数的单调性与导数的关系。

设计意图:从具体的函数出发,让学生体会从特殊到一般,从具体到抽象的过程,降低思维难度,让学生在老师的引导下自主学习和探索,提高学习的成就感和自信心。

通过导数的几何意义来验证由具体函数所得到的结论,形成一般性结论。

设计意图:让学生经历观察、分析、归纳、发现规律的过程,体会函数单调性与导数的关系

(四)知识应用

理论的学习最终要回归于应用,帮我们解决问题。通过例题精讲—变式训练—拓展延伸—能力提升,让学生在具体的应用中深化对结论理解,巩固所学的知识,体会用导数判断函数单调性的优越性。具体题目设置详见课堂学案。

设计意图:让学生初步体会用导数的方法确定函数单调性的简便。

(五)课堂小结

通过这堂课的研究,我明确了,

我的收获与感受有,

我还有疑惑之处是。

(六)作业布置

采用分层作业的方式,体现分层教学。必做:课本例1(3)(4);课本第26页练习1,4;课本第31页习题

选做:《学案导学》第5页例2 变式2

五.效果期待

现代数学教学观念要求学生从“学会”向“会学”转变,本节课的设计从单调性与导数关系的发现到应用都有意识地营造一个较为自由的空间,意图让学生能主动地去观察、猜测、发现、验证,积极地动手、动口、动脑,使学生在学知识的同时形成方法。

预想整个教学过程突出三个注重: 1. 注重学生参与知识的形成过程,体验应用数学知识解决简单问题的乐趣。2. 注重师生间、同学间的互动协作、共同提高。 3.注重知能统一,让学生在获取知识的同时,掌握方法,灵活应用。

六.板书设计

《3.3.1函数的单调性与导数》教学案

3.3.1《函数的单调性与导数》教学案 教学目标: 1.了解可导函数的单调性与其导数的关系; 2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间,对多项式函数一般不超过三次; 教学重点: 利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学难点: 利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程: 一.创设情景 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.下面,我们运用导数研究函数的性质,从中体会导数在研究函数中的作用. 二.新课讲授 1.问题:图3.3-1(1),它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像,图3.3-1(2)表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像. 运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别? 通过观察图像,我们可以发现: (1)运动员从起点到最高点,离水面的高度h 随时间t 的增加而增加,即()h t 是增函数.相应地,'()()0v t h t =>. (2) 从最高点到入水,运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少,即()h t 是减 函数.相应地,'()()0v t h t =<. 2.函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系. 如图3.3-3,导数'0()f x 表示函数()f x 在 点00(,)x y 处的切线的斜率. 在0x x =处,'0()0f x >,切线是“左下右上”式的,

1.3.1函数的单调性与导数教案

§1.3.1函数的单调性与导数 【教学目标】 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理; 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法。 【教学重点】利用导数判断函数单调性。 【教学难点】利用导数判断函数单调性。 【内容分析】 以前,我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数x 1,x 2∈I ,且当x 1<x 2时,都有f (x 1)<f (x 2),那么函数f (x )就是区间I 上的增函数. 对于任意的两个数x 1,x 2∈I ,且当x 1<x 2时,都有f (x 1)>f (x 2),那么函数f (x )就是区间I 上的减函数。 在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x 1)与f(x 2)的大小并不很容易. 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单。 【教学过程】 一、复习引入 1. 常见函数的导数公式: 0'=C ;1)'(-=n n nx x ;x x cos )'(sin =;x x sin )'(cos -=. 2.法则1 )()()]()([' ' ' x v x u x v x u ±=±. 法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=. 法则3 ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? . 3.复合函数的导数:设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x ),函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u ),则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数,且x u x u y y '''?= 或f ′x (? (x ))=f ′(u ) ?′(x ). 4.复合函数求导的基本步骤是:分解——求导——相乘——回代. 5.对数函数的导数: x x )'(ln = e x x a a log 1 )'(log =. 6.指数函数的导数:x x e e =)'(; a a a x x ln )'(=. 二、讲解新课 1. 函数的导数与函数的单调性的关系: 我们已经知道,曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数 342+-=x x y 的图像 可以看到: 在区间(2,∞+)内,切线的斜率为正,函数y=f(x) 的 y =f (x )=x 2-4x +3 切线的斜率 f ′(x ) (2,+∞) 增函数 正 >0 (-∞,2) 减函数 负 <0 3 2 1 f x () = x 2-4?x ()+3 x O y B A

1.3.1函数的单调性与导数教案

1.3.1函数的单调性与导数教案 谷城一中杨超 教学目标 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理; 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法 教学重点:探索函数的单调性与导数的关系,求单调区间. 教学难点:利用导数判断函数的单调性 教学过程 一.回顾与思考 1、函数单调性的定义是什么? 2、判断函数的单调性有哪些方法?比如判断y=x2的单调性,如何进行?(分别用定义法、图像法完成) 3、函数x =怎么判断单调性呢?还有其他方法吗? 22+ x y ln 二.新知探究函数的单调性与导数之间的关系 【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个Array基本的了解.函数的单调性与函数的导数一样都是反 映函数变化情况的,那么函数的单调性与函数的导数 是否有着某种内在的联系呢? 【思考】如图(1),它表示跳水运动中高度h随 时间t变化的函数2 =-++的图像,图 h t t t () 4.9 6.510 (2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函 数' ==-+的图像.运动员从起跳到最 v t h t t ()()9.8 6.5 高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别? 【引导】随着时间的变化,运动员离水面的高度的变化有什么趋势?是逐渐增大还是逐步减小? 【探究】通过观察图像,我们可以发现: (1)运动员从起点到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即() h t是增函数.相应地,' =>. v t h t ()()0 Array(2)从最高点到入水,运动员离水面的 高h随时间t的增加而减少,即() h t是减函 数.相应地' v t h t ()()0 =<, 【思考】导数的几何意义是函数在该点 处的切线的斜率,函数图象上每个点处的切 线的斜率都是变化的,那么函数的单调性与

函数单调性与导数教案

3.3.1函数的单调性与导数 【三维目标】 知识与技能:1.探索函数的单调性与导数的关系 2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间 过程与方法:1.通过本节的学习,掌握用导数研究单调性的方法 2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形 结合思想、转化思想。 情感态度与价值观:通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结,培养学生的探索精神,引导学生养成自主学习的学习习惯。 【教学重点难点】 教学重点:探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。 教学难点:探索函数的单调性与导数的关系。 【教学方法】问题启发式 【教学过程】 一.复习回顾 复习 1:导数的几何意义 复习2:函数单调性的定义,判断单调性的方法,(图像法,定义法) 问题提出:判断y=x 2 的单调性,如何进行?(分别用图像法,定义法完成) 那么如何判断();,0,sin )(π∈-=x x x x f 的单调性呢?引导学生图像法,定义去尝试发觉有困难,引出课题:板书课题:函数的单调性与导数 二.新知探究 探究任务一:函数单调性与其导数的关系: 问题1:如图(1)表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数105.69.4)(2 ++-=t t t h 的图像,图(2)表示高台跳水运动员的速度5.68.9)(')(+-==t t h t V h 的图像. 通过观察图像, 运动员从起跳到最高点,以及从最高点 到入水这两段时间的运动状态有什么区别?此时你能发 现)(')(t h t h 和这两个函数图像有什么联系吗? 启发: 函数)(t h 在(0,a)上位增函数, 函数)('t h 在(0,a)

知识点一-导数与函数的单调性

1.函数的单调性:在某个区间( a,b )内,如果f (x) . 0 ,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增;如果f (x) :::0,那么函数y = f(x)在这个区间内单调递减?如果f(x)=0,那么函数y = f(x)在这个区间上是常数函数? 注:函数y = f (x)在(a,b )内单调递增,贝U f (x)亠0,f (x) . 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的充分不必要条件? 2.函数的极值:曲线在极值点处切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为 负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正. 一般地,当函数 y = f(x)在点沧处连续时,判断f(X。)是极大(小)值的方法是: (1)如果在X。附近的左侧f ' (x) 0 ,右侧f'(x)::: ,那么f(X0)是极大值. (2)如果在X o附近的左侧f '(X):::0 ,右侧f'(x) 0,那么f(X0)是极小值. 注:导数为0的点不一定是极值点 知识点一:导数与函数的单调性 方法归纳: 在某个区间(a,b )内,如果f (x) ?0,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增;如果「(x) :::0,那 么函数y二f(x)在这个区间内单调递减?如果f (x) =0,那么函数y二f(x)在这个区间上是常数函数?注:函数y = f (x)在(a,b )内单调递增,贝U f (x) _ 0 , f (x) 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的 充分不必要条件? 例1】(B类)已知函数f(x)=x3 bx2 cx d的图象过点P(0, 2),且在点M(-1, f(-1))处的切线方程为6x「y ?7 = 0 ? (I)求函数y = f(x)的解析式;(n)求函数y=f(x)的单调区间? 【解题思路】注意切点既在切线上,又原曲线上?函数f(x)在区间[a,b]上递增可得:f'(x)_0 ;函数 f (x)在区间[a,b]上递减可得:f'(x) E0. 3 【例2】(A类)若f(x)二ax x在区间[—1,1]上单调递增,求a的取值范围? 【解题思路】利用函数 f (x)在区间[a,b]上递增可得:f'(x)_0;函数f(x)在区间[a,b]上递减可得: f '(x)岂0.得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解 a 【例 3 】(B 类)已知函数f(x)=l nx,g(x) (a 0),设F(x^ f (x) - g(x). x (I)求函数F(x)的单调区间;

【公开课教案】《函数的单调性与导数》教学设计

《函数的单调性与导数》教学设计 【课题】函数的单调性与导数 【教材】湘教版《高中数学》选修2-2 【课时】1课时 【教材分析】 函数的单调性与导数是湘教版选修2-2第四章第三课第一节的内容.在学习本节课之前学生已经学习了函数及函数单调性等概念,对单调性有了一定的感性和理性的认识,同时在第二课中已经学习了导数的概念,对导数有了一定的知识储备. 函数的单调性是高中数学中极为重要的一个知识点.以前学习了利用函数单调性的定义、函数的图象来研究函数的单调性,学习了导数以后,利用导数来研究函数的单调性,是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用.同时,在本课第二节要学习利用导数研究函数的极值,学习了导数研究函数的单调性,对于研究利用导数求函数的极值有重要的帮助.因此,学习本节内容具有承上启下的作用. 【学生学情分析】 课堂学生为高二年级的的学生,学生基础普遍比较好,但是学习单调性的概念是在高一第一学期学过,因此对于单调性概念的理解不够准确,同时导数是高中学生新接触的概念,如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点. 在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算,初步接触了导数在几何中的简单应用,但对导数的应用还仅停留在表面上.本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判定函数的单调性. 【教学目标】 知识点:1.探索函数的单调性与导数的关系; 2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间. 能力点:1.通过本节的学习,掌握用导数研究单调性的方法. 2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想. 教育点:通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结,培养学生的探索精神,引导学生养成自主学习的学习习惯. 自主探究点:通过问题的探究,体会知识的类比迁移.以已知探求未知,从特殊到 一般的数学思想方法. 【教学重点】 利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间. 【教学难点】 ⒈探究函数的单调性与导数的关系; ⒉如何用导数判断函数的单调性. 【教学方法】 启发式教学 【课时安排】 1 课时 【教学准备】 多媒体课件. 【教学设计说明】

导数与函数的单调性练习题

2.2.1导数与函数的单调性 基础巩固题: 1.函数f(x)= 21 ++x ax 在区间(-2,+∞)上为增函数,那么实数a 的取值范围为( ) A.021 C.a>2 1 D.a>-2 答案:C 解析:∵f(x)=a+221+-x a 在(-2,+∞)递增,∴1-2a<0,即a>2 1 . 2.已知函数f (x )=x 2+2x +a ln x ,若函数f (x )在(0,1)上单调,则实数a 的取值范围是( ) A .a ≥0 B .a <-4 C .a ≥0或a ≤-4 D .a >0或a <-4 答案:C 解析:∵f ′(x )=2x +2+a x ,f (x )在(0,1)上单调, ∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(0,1) 上恒成立,即2x 2+2x +a ≥0或2x 2+2x +a ≤0在(0,1)上恒成立, 所以a ≥-(2x 2+2x )或a ≤-(2x 2+2x )在(0,1)上恒成立.记g (x )=-(2x 2+2x ),02 [解析] 若y ′=x 2+2bx +b +2≥0恒成立,则Δ=4b 2-4(b +

函数的单调性与导数教学设计

《函数的单调性与导数》教学设计 教材分析 1、内容分析 导数是微积分的核心概念之一,是高中数学教材新增知识,在研究函数性质时有独到之处,体现了现代数学思想.本节的教学内容属导数的应用,是在学习了导数的概念、运算和几何意义的基础上学习的内容.学好它既可加深对导数的理解,又为研究函数的极值和最值打下了基础. 由于学生在高一已经掌握了函数单调性的定义,并会用定义判定函数在给定区间上的单调性.通过本节课的学习应使学生体验到,用导数判断函数的单调性比用定义要简捷的多(尤其对于三次和三次以上的多项式函数,或图像难以画出的函数而言),充分展示了导数的优越性. 2、学情分析 在必修一中,学生学习了单调函数的定义,并会用定义判断或证明函数在给定区间上的单调性,在前几节,学生学习了导数的概念、几何意义及运算法则,已经掌握了利用导数研究函数单调性的必备知识. 用定义证明函数在给定区间的单调性的方法是作差、变形、判断符号.而对大部分函数而言,变形环节是非常繁琐,甚至是无法做到的,并且不清楚“给定区间”是如何给出的,这就要求同学们积极探索更好的方法来判断函数的单调性和探求函数的单调区间,以此来激发学生的学习兴趣. 教学目标 依据新课标纲要和学生已有的认知基础和本节的知识特点,我制定了以下教学目标: 1、知识与技能目标: 借助于函数的图象了解函数的单调性与导数的关系;培养学生的观察能力、归纳能力,增强数形结合的思维意识.

2、过程与方法目标: 会判断具体函数在给定区间上的单调性;会求具体函数的单调区间. 3、情感、态度与价值观目标: 通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结,引导学生养成自主学习的学习习惯。 教学重点、难点 教学重点:1、利用导数判断函数的单调性. 2、会求不超过三次的多项式的单调区间。 教学难点:1、函数的单调性与导数的关系 2、提高灵活应用导数法解决有关函数单调性问题的能力. 教学重难点的解决方法 通过问题激发学生求知欲,使学生主动参与教学实践活动,在教师的指导下发现、分析和解决问题;通过几何画板的动态演示,使抽象的知识直观化、形象化,以促进学生的理解. 教法设计: 1、自主探究法:让学生自己发现问题,自己归纳总结,自己评析解题对错,从而提高学生的参与意识和数学表达能力. 2、比较法:对同一个问题,采用不同的方法,从中体会导数法的优越性. 教学媒体 根据本节课的教学要求及学生学习的需要,我对本节课的教学媒体设计如下 1:多媒体辅助教学:制作直观,有效地多媒体课件,可以节省课堂时间,也给学生直观认识和感觉; 2:投影仪的辅助教学:利用投影把学生的解题过程及方法及时展示,可以提高学生学习数学的兴趣. 课型:新授课 教学过程 教学过程设计意图

已知函数单调性求参数范围公开课教案

已知函数单调性求参数范围 教学目标 1.知识与技能:学会利用导数来解决已知单调性求参数范围问题; 2.过程与方法:通过实例讲解,归纳,解决问题的方法; 3.情感与态度:通过问题的解决,体会转化思想的应用. 教学重点 已知单调性,利用导数求参数范围. 教学难点 不同问题的处理方法. 教学过程 (一)知识梳理 函数y =f (x )的导数为)('x f y =,对于区间(a ,b ). 1.若y =f (x )的单调区间为(a ,b ),则? ??==0)('0)('b f a f 2.若y =f (x )在区间(a ,b )上单调递增(递减),则)0)('(0)('≤≥x f x f 在(a ,b )上恒成立. (二)典例分析 例1 函数)(ln )(22R a ax x a x x f ∈+-=的单调递减区间是),1(+∞,求a 的值. 例2 函数)(ln )(22R a ax x a x x f ∈+-=在),1(+∞上是减函数, 求a 的取值范围. 例3 函数)0(22 1ln )(2<--=a x ax x x f 在定义域内单调递增,求a 的取值范围. 例4 函数1331)(223+-+=x m mx x x f 在区间)3,2(-上是减函数,求m 的取值范围. 例5已知R a ∈,函数3)1()(223+-+-=x a ax x x f 在)0,(-∞和),1(+∞上都是增函数, 求a 的取值范围.

(三)课时小结 本节课主要介绍了已知函数单调性来利用导数求参数范围. (四)备用练习 1.函数)0(3)(223>+-+=a x a ax x x f 在[-1,1]上没有极值点, 求a 的值. 2.函数)0(1)(2>+=a ax e x f x 在R 上为单调函数, 求a 的取值范围. 3.函数1)5()1()(23-++-+=x k x k x x g 在区间) (3,0上有极值点,求参数k 的取值范围。 (五)作业布置 <<状元之路>>第48页 11,12

《导数与函数的单调性》教学设计

《导数与函数的单调性》教学设计 【教学目标】 1. 知识与技能 (1)会用导数解决函数的单调性问题。 (2)能利用导数概念形成过程中的基本思想分析一些实际问题,并建立他们的导数模型。 2. 过程与方法通过利用导数研究函数单调性问题的过程,体会从特殊到一般的数形结合的研究方法。 3. 情感态度与价值观 (1)通过导数方法研究单调性的问题,体会不同数学知识间的内在联系,认识数学是一个有机整体。 (2)通过导数研究单调性的基本不骤的形成和使用,是的学生认识到导数使一些复杂问题变的有矩可循,因而认识到导数的实用价值。 【教学重难点】 重点:利用导数的方法判定函数的单调性。 难点:导数与函数单调性的关系。 【教学设计思路】通过观察发现,启发引导,探究导函数与函数单调性之间的联系,得出结论。 【教学方法】观察发现,启发引导。 【教学手段】运用多媒体和板书。 【教学过程】 1. 问题激发,新课导入教师:我们知道,对于函数y=f(x) 来说,导数y=f’(x) 刻画的是y 在x点的瞬时变化率,函数的单调性描述的是y 随x的增加而减少,两者都是刻画函数的变化,那么,导数与函数单调性之间有什么关系呢? 2. 实践感知,新知形成教师:用多媒体展示几个函数的解析式,让学生求出以上6个函数的导函数。 (1)y=f(x)=2x+5 (2)y=f(x)=-3x+4 (3)y=f(x)=2x (4)y=f(x)=(12)x (5)y=f(x)=log3x (6)y=f(x)=log12x 学生: (1)f’(x)=2 (2)f’(x)=-3 (3)f’(x)=2xln2 (4)f’(x)=(12)xln12 (5)f’(x)=1xln3 (6)f’(x)=1xln12 教师:用多媒体展示这6个函数的图像,以及导函数的图像,并让学生观察各个点导函数的值与函数单调性有什么关系?同学间可以相互交流,(因制作了flash动画,只要教师拖动切点在曲线上运动,就能看到每一点切线斜率的值) 学生:函数(1)(3)(5)上各点的斜率都是正的,函数(2)(4)(6)上各点切线的斜率都是负的。 教师:我们知道各点切线的斜率就是各点的导数值。 学生: 函数(1)(3)(5)的导数是正的,函数(1)(3)(5)就是递增的,函数(2)(4)(6)的导数都是负的,函数(2)(4)(6)就是递减的。

专题一:导数与函数的单调性

专题一:导数与函数的单调性 题型一:求函数的单调区间 1.函数()2 ln f x x x =的减区间为( ) A. ( B. ?+∞???? C. ?-∞ ?? D. ? ?? 2.设()f x '是函数()f x 的导函数,()f x '的图象如图所示,则()y f x =的图象是( ) A B C D 3.设函数f (x )在R 上可导,其导函数为f ′(x ),且函数f (x )在x =-2处取得极小值,则函数y =xf ′(x )的图像可能是( ) A B C D 4. 判断函数2x y x e =-的单调性. 题型二: 含有参数的单调区间 1. 求函数()1x f x e ax =--的单调区

2. 求函数()21ln 2f x x ax =+的单调区间 3.讨论函数()()2112x f x x e ax =--的单调性 题型三:已知单调性求参数取值范围 1. 已知()1x f x e ax =--在区间[]-2,3为减函数,求a 的取值范围。 2. 已知()()3212+33 f x x bx b x =+++在R 上是单调递增函数,求b 的范围。若函数()f x 不是单调函数b 范围又是多少? 3.已知()2 1+x e f x ax =在R 是单调函数,求a 的取值范围 4.若函数()22ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间()1,1k k -+内不是单调函数,求实数k 的取值范围 5.()()21ln 202 f x x ax x a =--≠存在单调递减区间,求a 的取值范围。

《函数的单调性》公开课教案

1.3.1:《函数的单调性》 一、本节内容在教材中的地位与作用: 《函数的单调性》是人教版高中数学必修一第一章第三节第一课时的内容,该内容包括函数的单调性的定义与判断及其证明。这节通过对具体函数图像的归纳和抽象,概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义,明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的。教材中从形和数来判断函数的增减性。函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续,它和后面的函数最值性和奇偶性,合称为函数的简单性质。函数的单调性为进一步学习函数其它性质提供了方法依据。同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。 二、学情、教法分析: 按现行新教材结构体系,学生只学过一次函数、二次函数、反比例函数,所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。 对于函数单调性,学生的认知困难可能存在以下两个方面的问题: (1)要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降,这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的; (2)单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容,而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的. 因此,在教学过程中,要注意学生第一次接触代数形式的证明,为使学生能迅速掌握代数证明的格式,要注意让学生在内容上紧扣定义贯穿整个学习过程,在形式上要从有意识的模仿逐渐过渡到独立的证明。 三、教学目标 1.知识与技能: (1)使学生理解函数单调性和最值的概念,并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性和最值。  (2)能够利用函数的单调性及最值进行综合运用。 (3)启发学生发现问题和提出问题,培养学生分析问题、认识问题和解决问题的能力。 2.过程与方法:

高中数学函数的单调性公开课优秀教学设计

如对您有帮助,请购买打赏,谢谢您! 一、教学内容分析: 函数的单调性是学生在掌握了函数的概念,函数的表示方法等基础知识后,学习的函数的第一个性质,主要刻画了函数在其定义域内某区间上图像(上升或下降)的变化趋势,为进一步学习函数其它性质提供了方法依据,如在研究函数的值域、最大值、最小值等性质中有着重要应用,而且在解决比较数的大小、解不等式、证明不等式、数列的性质等数学问题时也有重要的应用。同时它又是后续研究指数函数、对数函数以及三角函数性质的基础。所以函数的单调性在高中数学中具有核心知识地位和承上启下的重要作用。 二、教学目标设置: (一)知识与技能: 1.用准确的数学语言归纳、抽象概括增函数和减函数的定义,并能正确理解单调性的定义; 2.利用图像和定义判断函数的单调性,能正确书写单调区间,并能用单调性定义证明函数在给定区间上的单调性; 3.培养学生抽象概括能力、类比化归能力及数形结合思想方法的运用能力。 (二)过程与方法: 1. 通过学生熟悉的现实问题创设情境,引出本节课题函数单调性,同时借助多媒体的直观演示,让学生观察图像(上升?下降?)变化趋势,过渡到在区间上用自变量x和相应函数f(x)的变化进行语言表述; 2.设置问题引导学生自主探究、尝试、归纳、总结,师生互相讨论交流,最终形成严格的数学概念; 3.形成概念后,引导学生自主探究,通过生生互动,师生互动,达到让学生从多种形式认识概念的本质含义,从而加深学生对概念的理解;巩固练习问题(1)为了加深学生对单调性定义中自变量取值“任意”性的理解,是一个很好的问题;问题(2)的变式题体现了“逆向思维”,深化对定义的理解;问题(3)通过教师的引导,针对于数学基础较好、思维较为活跃的一部分学生,对判断方法进行适当的深入和拓展,加深学生对单调性定义的更

《函数的单调性与导数》-教学设计

《函数的单调性与导数》-教学设计

《函数的单调性与导数》教学设计 一、设计理念 基于新课标提出的教学要面向全体学生、提倡探究性学习,我倡导“主动参与,乐于探究,交流合作与联系实际”的教学理念,借助多媒体的简洁性、直观性和交互性,注重与现实生活的紧密性,充分调动每位学生的学习热情,建立以“学为主体、教为主导、疑为主轴、动为主线”的教学模式。 二、教学分析 (一)教学内容分析 《函数的单调性与导数》是人教版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修2-2第一章《导数及其应用》的内容.本节课主要学习函数的单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性;会求函数的单调区间.本节的教学内容属于导数的应用,是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容,学好它既可加深对导数的理解,又可为后面研究函数的极值和最值打好基础. (二)教学对象分析 学生在高一时已经掌握了函数单调性的定义,并会用定义、图像的方法解决函数单调性问题。高二的学生对高中的数学体系已经有了一定的认识,具有了较强的分析问题、解决问题的能力. (三)教学环境分析 针对学生面临的问题和本课的重难点,我决定运用文字、视频、几何画板等多媒体资源进行辅助教学,多媒体教学具有信息量大、直

观性强的特点,能提高教学效率,取得更好的教学效果,因此在多媒体教室授课. 三、教学目标 根据新课标要求和对教材的分析,并结合学生的认知特点,确定如下几个方面为本课的教学目标: (一)知识与技能 1.探索函数的单调性与导数的关系; 2.会利用导数判断函数的单调性并会求函数的单调区间; 3.探索三次函数的单调性与系数之间的关系. (二)过程与方法 1.通过对函数单调性与导数关系的探究,让学生经历从具体到抽象,从感性到理性,从特殊到一般的认知过程; 2.培养学生观察、分析、归纳、抽象的能力和语言的表达能力,领会由特殊到一般,一般到特殊的数学方法,渗透数形结合思想和化归的思想. (三)情感态度价值观 1.通过创设情境,激发学生学习数学的情感,培养其严谨治学的态度; 2.通过在教学过程中让学生多动手、细观察、勤思考、善总结,培养学生的探究精神. 四、教学重难点 对于函数的单调性与导数的关系,学生的认知困难主要体现在:

函数的单调性与导数教案

函数的单调性与导数教案 一、目标 知识与技能:了解可导函数的单调性与其导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间。 过程与方法:多让学生举命题的例子,培养他们的辨析能力;以及培养他们的分析问题和解决问题的能力; 情感、态度与价值观:通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。 二、重点难点 教学重点:利用导数研究函数的单调性,会求不超过4次的多项式函数的单调区间 教学难点:利用导数研究函数的单调性,会求不超过4次的多项式函数的单调区间 三、教学过程: 函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.我们以导数为工具,对研究函数的增减及极值和最值带来很大方便. 四、学情分析 我们的学生属于平行分班,没有实验班,学生已有的知识和实验水平有差距。需要教师指导并借助动画给予直观的认识。 五、教学方法

发现式、启发式 新授课教学基本环节:预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 六、课前准备 1.学生的学习准备: 2.教师的教学准备:多媒体课件制作,课前预习学案,课内探究学案,课后延伸拓展学案。 七、课时安排: 1课时 八、教学过程 (一)预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性。 提问 1.判断函数的单调性有哪些方法? (引导学生回答“定义法”,“图象法”。) 2.比如,要判断y=x2的单调性,如 何进行?(引导学生回顾分别用定义法、图象法完成。) 3.还有没有其它方法?如果遇到函数: y=x3-3x判断单调性呢?(让学生短时 间内尝试完成,结果发现:用“定义法”,

导数与函数的单调性(word解析版)

导数与函数的单调性 【考纲要求】 (1)了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). (2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次). 【命题规律】 利用导数研究函数的单调性是高考的热点问题,常常会考查利用导数研究含参函数的单调性,极值. 预计2018年的高考将会在大题中考查利用导数研究函数单调性的问题,命题形式会更加灵活、新颖. 【典型高考试题变式】 (一)原函数与其导函数的图像问题 例1.【2017浙江高考】函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如图所示,则函数()y f x =的图像可能是( ). 【答案】 D C.

【解析】导数大于零,原函数递增,导数小于零,原函数递减,对照导函数图像和原函数图像.故选D . 【方法技巧归纳】在(,)a b 内可导函数()f x ,'()f x 在(,)a b 任意子区间内都不恒等于0. '()0()f x f x ≥?在(,)a b 上为增函数.'()0()f x f x ≤?在(,)a b 上为减函数.且 导函数单调性可以判原函数图像的凹凸性:若)('x f 大于0且递增,则原函数)(x f 图像递增且下凹;若大于0且递减,则原函数)(x f 图像递增且上凸. 【变式1】【2018河北内丘中学8月月考(理)】设函数()f x 的导函数为()f x ', 若()f x 为偶函数,且在()0,1上存在极大值,则()f x '的图象可能为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据题意,若f (x )为偶函数,则其导数f ′(x )为奇函数,结合函数图象可以排除B . D ,又由函数f (x )在(0,1)上存在极大值,则其导数图象在(0,1)上存在零点,且零点左侧导数值符号为正,右侧导数值符号为负, 结合选项可以排除A ,只有C 选项符合题意;本题选择C 选项.

导数与函数的单调性练习题

导数练习(三)导数与函数的单调性 基础巩固题: 1.函数f(x)= 2 1 ++x ax 在区间(-2,+∞)上为增函数,那么实数a 的取值范围为( ) 21 >2 1 >-2 2.已知函数f (x )=x 2 +2x +a ln x ,若函数f (x )在(0,1)上单调,则实数a 的取值范围是( ) A .a ≥0 B.a <-4 C .a ≥0或a ≤-4 D .a >0或a <-4 3.函数f (x )=x +9 x 的单调区间为________. 4 函数3 2x x y -=的单调增区间为 ,单调减区间为___________________ 5.确定下列函数的单调区间:(1)y =x 3-9x 2+24x (2)y =3x -x 3 6.函数y =ln(x 2 -x -2)的单调递减区间为__________. 7.已知y =13x 3+bx 2 +(b +2)x +3在R 上不是单调增函数,则b 的范围为________. 8.已知x ∈R ,求证:e x ≥x +1. 9.已知函数32 ()f x x bx cx d =+++的图象过点P (0,2),且在点M (-1,f (-1))处的切线方程为076=+-y x .(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式;(Ⅱ)求函数y=f(x)的单调区间. 11.已知函数f(x)=x 3-2 1x 2 +bx+c.(1)若f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,求b 的取值范围; 12.已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在(2,+∞)上是增函数,试确定实数a 的取值范围.

13.已知函数 2 3 2()4()3 f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数,求实数a 的取值范围. 14.已知函数d ax bx x x f +++=2 3 )(的图象过点P (0,2),且在点M (-1,)1(-f )处的切线方程076=+-y x ,(1)求函数)(x f y =的解析式;(2)求函数)(x f y =的单调区间。 15.已知函数f (x )=2x -b (x -1) 2,求导函数f ′(x ),并确定f (x )的单调区间. 强化提高题: 16.设f (x )、g (x )是R 上的可导函数,f ′(x ),g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数,且满足f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x )<0,则当a f (b )g (x ) B .f (x )g (a )>f (a )g (x ) C .f (x )g (x )>f (b )g (b ) D .f (x )g (x )>f (b )g (a ) 17.若函数y =x 3-ax 2 +4在(0,2)内单调递减,则实数a 的取值范围是____________. 18.已知函数f (x )=ax -ln x ,若f (x )>1在区间(1,+∞)内恒成立,实数a 的取值范围为________. . 19.函数y =x 2e -x 的单调递增区间是________. 20 若32 ()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 增函数,则,,a b c 的关系式为是 _______________ 21.若函数y =- 3 4x 3 +bx 有三个单调区间,则b 的取值范围是________.

1.3.1 函数的单调性与导数

1.3.1 函数的单调性与导数 知识要点 1,函数的单调性与其导函数的关系:在某个区间(),a b内,如果,那么函数() =在这个区间内单 y f x y f x =在这个区间内单调递增;如果,那么函数() f x在这个区间内为常函数。 调递减;如果恒有,那么函数() 内,这时,函数的图像就比较;反之,函数的图像就比较。 教材拓展 求函数单调区间的步骤与方法: (1) (2) (3) (4) 典型例题

知识点一,求函数的单调区间 例1,求下列函数的单调区间 (1)()3f x x x =- (2)1x y e x =-+ (3)ln y x x =- (4) 12y x = 变式训练1,求函数)0y a =>的单调区间 知识点二,判断函数的单调性 例2,已知a R ∈,讨论函数()2ax f x x e =?的单调区间 变式训练2,已知()()10,11 x x a f x a a a -=>≠+,讨论()f x 的单调性 知识点三,求参数的取值范围 例3,已知函数()()()()3212,f x x a x a a x b a b R =+--++∈ (1)若函数()f x 的图像过原点,且在原点处的切线斜率是3-,求,a b 的值; (2)若函数()f x 在区间()1,1-上不单调,求a 的取值范围。 变式训练3,若函数()325f x ax x x =-+-在R 山单调递增,求a 的取值范围 作业练习

水平基础题 1.函数y =x sin x +cos x ,x ∈(-π,π)的单调增区间是( ) A.? ???-π,-π2和????0,π2 B.????-π2,0和??? ?0,π2 C.? ???-π,-π2和????π2,π D.????-π2,0和??? ?π2,π 2.下列命题成立的是( ) A .若f (x )在(a ,b )内是增函数,则对任何x ∈(a ,b ),都有f ′(x )>0 B .若在(a ,b )内对任何x 都有f ′(x )>0,则f (x )在(a ,b )上是增函数 C .若f (x )在(a ,b )内是单调函数,则f ′(x )必存有 D .若f ′(x )在(a ,b )上都存有,则f (x )必为单调函数 3.(2007·福建理,11)已知对任意实数x ,有f (-x )=-f (x ),g (-x )=g (x ),且x >0时,f ′(x )>0,g ′(x )>0,则x <0时( ) A .f ′(x )>0,g ′(x )>0 B .f ′(x )>0,g ′(x )<0 C .f ′(x )<0,g ′(x )>0 D .f ′(x )<0,g ′(x )<0 4.已知函数f (x )=ax -ln x ,若f (x )>1在区间(1,+∞)内恒成立,实数a 的取值范围为________. 5.设函数f (x )=x 3-3ax 2+3bx 的图象与直线12x +y -1=0相切于点(1,-11). (1)求a 、b 的值; (2)讨论函数f (x )的单调性. 水平提升题 6.f (x )是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf ′(x )+f (x )≤0,对任意正数a 、b ,若a 2f (1) 8.(2010·江西理,12)如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为S (t )(S (0)=0),则导函数y =S ′(t )的图像大致为 ( ) 9.函数 y =ln(x 2-x -2)的单调递减区间为__________. 10.若函数y =x 3-ax 2+4在(0,2)内单调递减,则实数a 的取值范围是____________. 11.求证:方程x -12 sin x =0只有一个根x =0. 12.已知函数y =ax 与y =-b x 在(0,+∞)上都是减函数,试确定函数y =ax 3+bx 2+5的单调区间.

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