高中数学第二章函数23函数的应用(Ⅰ)学习导航学案新人教B版1.

2.3 函数的应用(Ⅰ)

自主整理

1.直线型的函数模型 我们学过的正比例函数、一次函数等都是直线型的,它们在每个区间的变化率都一样. 解题时常设为:常函数型:y=C(C∈R ,C 为常数),

正比例型:y=kx(k≠0),

一次函数型:y=kx+b(k≠0).

当k>0时后两者都是增长型函数,k 的值越大增速越快,但最后趋势是远离坐标轴,变化率不变.

如在市场经济大潮中,普遍存在着最优化问题——最佳投资、最小成本等,常常归结为函数的最值问题,通过建立相应的目标函数,确定变量的限制条件,如果一个问题中有两个变量,且这两个变量对应法则是一次的关系,则可以用一次函数模型来解决.

2.抛物线型的模型(二次函数模型)

二次函数常设为y=ax 2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0)形式,其图象是抛物线,顶点坐标是(a b 2-,a

b a

c 442-),对称轴是直线x=a b 2-,a>0时,抛物线在对称轴左边单调下降,在对称轴右边单调递增,在x=a b 2-处有最小值a

b a

c 442-,经常需要用配方法求最值. 现在人们注重对普遍存在的诸如造价成本最低,而产出、利润最大、风险决策、最优化等问题的研究,透过实际问题的背景,抓住本质,挖掘隐含的数量关系,可抽象成二次函数的最值模型. 又如解决投物、射击、喷泉灌溉等物体运动的轨迹有某种规律,或者变量的变化具有二次函数关系的实际问题,可以通过直角坐标系由实际问题建立抛物线的数学模型,利用图象的性质可得到解答.

高手笔记

1.在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时,一是要注意自变量的取值范围,二是要检验所得结果,必要时运用估算和近似计算,以使结果符合实际问题的要求.

2.二次函数的最值模型是高考中常考问题,对于二次函数利用配方法求最值是重要方法和手段.

3.一般来说,若题中已给出数学模型,只要解模即可,较常用的方法是用待定系数法解模.

4.一个分段函数类型的应用问题,注意判断自变量在分段函数的哪一段取值范围内是这个题的解题关键.

5.实际问题解决步骤口诀:

(1)收集数据,画图提出假设;

(2)依托图表,理顺数量关系;

(3)抓住关键,建立函数模型;

(4)精确计算,求解数学问题;

(5)回到实际,检验问题结果.

名师解惑

1.应用题中列出函数的解析式一般有几种方法?

剖析:(1)待定系数法:已知条件中已给出了含参数的函数关系式,或可确定函数类别,此种情

形下应用待定系数法求出函数表达式中的相关参数(未知系数)的值,就可以得到确定的函数式.

(2)归纳法:先让自变量x 取一些特殊值,计算出相应的函数值,从中发现规律,再推广到一般情形,从而得到函数表达式.

(3)方程法:用x 表示自变量及其他相关的量,根据问题的实际意义,运用掌握的数学、物理等方面的知识,列出函数关系式,此种方法形式上和列方程解应用题相仿,故称为方程法,实际上函数关系式就是含x 、y 的二元方程.

2.解决函数应用题的关键点是什么？建立数学模型是解决数学问题的主要方法,数学建模一般分为识模、析模、建模、解模、验模五个步骤.我们应如何走好这5个步骤呢？ 剖析:(1)解决函数应用题的关键有两点:

一是实际问题数学化,即在理解的基础上,通过列表、画图,引入变量,建立直角坐标系等手段把实际问题翻译成数学问题,把文字语言翻译成数学符号语言.

二是对得到的函数模型进行解答,得出数学问题的解,要注重数学能力的培养.

(2)识模就是把应用问题的外部信息和自己已有的内部经验相对照,初步判断问题解决的方向;析模就是精读问题,做到“咬文嚼字”,抓住关键字词,化简转换问题,注意已知量,发现未知量,挖掘隐含量;建模是通过数学符号化,把问题转化为数学模型的过程;解模时我们可以借助计算机等数学工具对所建模型求解;由于应用问题本身的繁杂性、开放性,根据自己理解所建立的模型也有局限性,最后要对模型的解检验,或取或舍,或重新修正模型,直到满意为止.有些问题还需要我们利用信息技术收集数据、绘图、计算、拟合函数.

讲练互动

【例题1】用汽船拖载重量都是a 且满载货物的小船若干只,在两港之间来回运送货物.若每次拖4只小船,则一天可来回16次,若每次拖7只小船,则一天可来回10次,且每天来回次数是每次所拖小船只数的一次函数.若每天每次所拖小船只数不变,每天来回多少次,每次拖几只小船,才能使运货总重量达到最大?每天最大运货总重量是多少?

分析：运货总重量与每天小船来回的次数、每次所拖小船只数以及小船所载重量有关.由于小船载重量为定值,所以具体求出每天来回的次数与每次所拖小船只数的关系式是解决问题的关键.

解：设汽船每次拖x 只小船,每天来回y 次,每天的运货量为w.

由题意设y=kx+b(k≠0),

则有???=+=+10,

b 7k 16,b 4k

解得k=-2,b=24.

∴y=-2x+24.于是w=axy=ax(-2x+24)

=-2a(x-6)2+72a.

当x=6时,w max =72a.

此时y=12.

因此每天来回12次,每次拖6只小船时能使运货重量最大,最大为72a.

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此题所研究的函数与多个自变量有关,可以通过寻求这些变量间的关系代入后达到减少变量个数的目的,最终形成函数求最大(小)值的问题.

变式训练

1.工厂的质量检验车间积压着部分产品待检,与此同时,流水线传送带按一定速度送来待检产品.如果打开一部质检机,需半小时可使待检产品全部通过质量检验,同时打开两部质检机,

只需10分钟便可将待检产品全部通过质量检验.现因生产需要在5分钟内将待检产品全部通过质量检验,此时最少要同时打开几部质检机?

分析：每部质检机每分钟质检产品件数、传送带每分钟送来的产品数是列式计算的关键. 解：依题意,设积压的待检产品为x 件,每部质检机每分钟质检y 件,传来的待检产品每分钟

增加z 件,则???????=+=+,10210,3030y

z x y z x 解得???==2z.y 30z,x 若同时打开3部质检机,质检时间t=y

tz x 3+,将x=30z,y=2z 代入,得t=6>5.若同时打开4部质检机,质检时间t=y

tz x 4+,将x=30z,y=2z 代入,得t=730<5. 故最少要同时打开4部质检机才能在5分钟内将待检产品全部通过检验.

【例题2】从2005年11月15日起,国家对邮政资费进一步进行了调整.其中投寄外埠平信新的资费标准是:每封信的质量不超过20克付邮资1.2元,超过20克而不超过40克付邮资

2.4元,超过40克而不超过60克付邮资

3.6元,依次类推.试画出每封不超过100克的信函应付的邮资y(元)与信函质量x(克)之间的函数关系图象.

分析：随着信函质量的变化,所付的资费也不相同,而且资费也不是连续变化的,所以这是一个分段函数问题,可以先写出这个函数再作其图象.

解：y=?????????≤<≤<≤<≤<≤≤,

10080,0.6,8060,8.4,6040,6.3,4020,4.2,200,2.1x x x x x

函数图象如图2-3-1所示

.

图2-3-1

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分段函数指的是自变量在不同的区域对应的法则不同的函数,处理分段函数问题,一定要根据自变量的不同选择相应的解析式.

变式训练

2.通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间.讲座开始时,学生的兴趣激增,中间有一段不太长的时间,学生的兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明,用f(x)表示学生掌握和接

受概念的能力,x 表示提出和讲授概念的时间(单位:分),有以下的公式:

f(x)=??

???≤<+-≤<≤<++-.3016,1073,1610,

59,100,436.21.02x x x x x x (1)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强？能维持多长时间？

(2)开讲后5 min 与开讲后20 min 比较,学生的接受能力何时强一些？

(3)一道数学难题,需要55的接受能力以及13 min 时间,老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题？

分析：以分段函数作为数学模型,体会解决实际问题时的基本方法:提出问题→收集数据→整理、分析数据→建立函数模型→解决问题,这是一个完整的过程.

解：(1)当0

f(x)=-0.1x 2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9,

故f(x)递增,最大值为f(10)=-0.1×(-3)2+59.9=59.

显然,当16

f(x)<-3×16+107=59.

因此,开讲后10 min,学生达到最强的接受能力(值为59),并维持6 min.

(2)f(5)=-0.1×(5-13)2+59.9=59.9-6.4=53.5,

f(20)=-3×20+107=47<53.5,

因此开讲后5 min 学生的接受能力比开讲后20 min 强一些.

(3)当0

-0.1×(x -13)2=-4.9,(x-13)2=49.

所以x=20或6.但0

故x=6.

当16

31. 因此学生达到(或超过)55的接受能力的时间为1731-6=113

1<13(min), 所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题.

【例题3】一位运动员在距篮下4米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距

图2-3-2

离为2.5米时,达到最大高度为3.5米,然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.

(1)建立如图2-3-2所示的直角坐标系,求抛物线的解析式.

(2)该运动员身高1.8米,在这次跳投中,球在头顶上方0.25米处出手,问:球出手时,他跳离地面的高度是多少？

分析：根据投球时球的运动轨迹、弹道轨迹、跳水时人体的运动轨迹、抛物线形桥孔等设计的二次函数应用问题屡见不鲜.解决此类问题需以顶点坐标、对称轴、特殊点为突破口.

解：(1)由于抛物线的顶点是(0,3.5),故可设其解析式为y=ax 2+3.5.

又由于抛物线过(1.5,3.05),

于是求得a=-0.2.

∴抛物线的解析式为y=-0.2x2+3.5.

(2)当x=-2.5时,y=2.25.

∴球出手时,他距地面高度是2.25-1.8-0.25=0.20(米).

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解这类问题一般分为以下四个步骤:

(1)建立适当的直角坐标系(若题目中给出,不用重建).

(2)根据给定的条件,找出抛物线上已知的点,并写出坐标.

(3)利用已知点的坐标,求出抛物线的解析式.①当已知三个点的坐标时,可用一般式y=ax2+bx+c求其解析式;②当已知顶点坐标为(k,h)和另外一点的坐标时,可用顶点式y=a(x-k)2+h求其解析式;③当已知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为(x1,0)、(x2,0)时,可用双根式y=a(x-x1)(x-x2)求其解析式.

(4)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标,从而使问题获解.

变式训练

3..(2007山东东营一模,文20)某商店将进货价每个10元的商品按每个18元售出时,每天可卖出60个.商店经理到市场上做了一番调查后发现,若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每提高1元,则日销售量就减少5个;若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每降低1元,则日销售量就增加10个.为了每日获得最大利润,此商品的售价应定为每个多少元？分析：本题主要考查数学建模及处理数据的能力.恰当地设未知数,利用每日利润=销售量×每个利润,每个利润=售价-进价,建立函数关系式,转化为求分段函数的最值.

解：设此商品每个售价为x元时,每日利润为y元.

当18≤x<30时,有y=［60-5(x-18)］(x-10)=-5(x-20)2+500,

即在商品提价时,当x=20时,每日利润y最大,最大利润是500元.

当10

即在商品降价时,当x=17时,每日利润y最大,最大利润是490元.

∵500>490,∴此商品的售价应定为每个20元.

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［思考与讨论］

对例3中的“客房问题”你有什么体会？在现实问题中,有没有与它类似的问题？如果有,请举例说明.

答:解决函数应用题的流程图是:

解决函数应用题的基本步骤是:

第一步:认真读题,缜密审题,确切理解题意,明确问题实际背景,然后进行科学的抽象、概括,将实际问题转化成实际问题,即实际问题数学化.

第二步:运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题,得出函数问题的解.

第三步:将所得函数问题的解代入实际问题进行验证,看是否符合实际,并对实际问题作答.

【例题1】一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元,卖出的价格是每份0.30元,卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月(以30天计算)有20天每天可卖出400份,其余10天只能卖250份,但每天从报社买进报纸的份数都相同,问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？

分析：本题所给条件较多,数量关系比较复杂,可以列表分析.

解：设每天从报社买进x 份(250≤x≤400).

y 在x∈［250,400］上是一次函数.

∴x=400元时,y 取得最大值870元,

即每天从报社买进400份时,每月获得利润最大,最大利润为870元.

【例题2】WAP 手机上网每月使用量在1小时以上,500分钟以下(包括500分钟)按30元记费;超过500分钟按0.15元/分钟记费.假如上网时间过短,在1小时内(包括1小时),在1分钟以下不记费,1分钟以上(包括1分钟)按0.5元/分钟记费.WAP 手机上网不收通话费和漫游费.问:

(1)小周12月份用WAP 手机上网20小时,要付多少上网费？

(2)小周10月份付了90元的上网费,那么他这个月用手机上网多少小时？

(3)如果用电脑上网包月为60元/月或120元/月,你会选择WAP 手机上网吗？你是用哪一种方式上网的？

分析：这是一个分段函数问题,列出函数的解析式后分段求解即可.

解：设使用WAP 手机上网的时间为x 分钟,由已知条件可知,当上网时间不超过60分钟时,以每分钟0.5元递增计费;当上网时间超过60分钟但不超过500分钟时,一律按30元收费;超过500分钟时,在30元基础上,再增加0.15元/分钟.故所付上网费

y=??

???>-+≤<≤≤.500),500(15.030,50060,

30,601,5.0x x x x x (1)当x=20×60=1 200(分钟)时,应将1 200代入第三段解析式,得y=135,小周要付135元上网费.

(2)90元已经超过30元,所以上网时间超过500分钟,由解析式可得x=900,小周这个月用手机上网900分钟,即15小时.

(3)如果现在直接用电脑上网每月60元,从图形可以看出,上网时间较短时,用手机上网较合算,上网时间较长时,用电脑上网更合算.

因为30+0.15(x-500)=60,x=700,所以当每月上网在700分钟以下时用WAP 手机上网合算; 当每月上网700分钟时,两种方式一样;当每月上网700分钟以上时,电脑上网更合算.如果直接用电脑上网每月120元,则由于30+0.15(x-500)=120时,x=1 100,所以每月上网在1 100分钟以下时,用WAP 手机上网合算;当每月上网1 100分钟时,两种方式一样;当每月上网1 100分钟以上时,电脑上网更合算.

图2-3-3