03 不等式
第三章 不等式
一、考纲要求
1.明确不等式的意义，掌握不等式的主要性质，并能正确灵活地应用这些性质解决问题.
2.在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法的基础上掌握高次不等式和分式不等式的解法.
3.掌握一些简单的无理不等式的解法.
4.掌握一些简单绝对值不等式的解法.
5.掌握一些简单指数与对数不等式的解法.
6.能利用分类讨论的方法解含参数的不等式.
7.掌握不等式的证明，掌握证明不等式的比较法、综合法、分析法、数学归纳法、放缩法、反证法、换元法、判别式法.
8.掌握二个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理. 9.理解不等式｜a ｜－｜b ｜≤｜a ＋b ｜≤｜a ｜＋｜b ｜ 二、知识结构
1.不等式的基本概念.
(1)两个实数a 与b 之间具有以下性质；如果a-b 是正数，那么a ＞b ；如果a-b 是负数，那么a ＜b ；如果a-b 等于零，那么a ＝b ，反过来也对.即：
a-b ＞0?a ＞b a-b ＝0?a ＝b a-b ＜0?a ＜b (2)同解不等式：如果第一个不等式的解都是第二个不等式的解；并且第二个不等式的解也都是第一个不等式的解，那么这两个不等式叫做同解不等式.
2.不等式的性质 (1)基本性质
①a ＞b ?b ＜a(对称性)
②a ＞b ，b ＞c ?a ＞c(传递性) ③a ＞b ?a+c ＞b+c(加法单调性) ④a ＞b ，c ＞0?ac ＞bc
a ＞
b ，
c ＜0?ac ＜bc(乘法单调性) (2)运算性质
①a ＞b ，c ＞d ?a ＋c ＞b+d(同向不等式相加) ②a ＞b ，c ＜d ?a －c ＞b －d(同向不等式相减) ③a ＞b ＞0，c ＞d ＞0?ac ＞bd(同向不等式相乘)
④a ＞b ＞0，0＜c ＜d ?
c
a ＞
d
b (同向不等式相除)
⑤a ＞b ＞0?n a ＞n b (n ∈Z ，且n ＞1)(开方法则) ⑥a ＞b ＞0?a n ＞b n (n ∈Z ，且n ＞1)(乘方法则) 3.重要的基本不等式
(1)若a ∈R ，则｜a ｜≥0，a 2≥0 (2)若a 、b ∈R ，则a 2+b 2≥2ab (3)若a 、b ∈R +，则
2
b a +≥ab (当且仅当a=b 时等号成立)
(4)若a 、b 、c ∈R +，则
3
c
b a ++≥33
abc (当且仅当a=b=c 时等号成立)
(5)a ＞0时
｜x ｜＞a ?x 2＞a 2
?x ＜-a 或x ＞a ｜x ｜＜a ?x 2＜a ?-a ＜x ＜a
(6)若a 、b ∈R ，则｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a ±b ｜≤｜a ｜＋｜b ｜
4.解不等式的基本思想是化归为一元一次或一元二次不等式，主要依据是不等式的基本性质，要特别注意等价转化.
f(x)＞a ２
a ≥
0时，f(x)＞a ?
f(x)≥0 ①f(x)＞a
a ＜0时，f(x)＞a ?f(x)≥0 f(x)＜a ２ a ＞0时，f(x)＜a ?
f(x)≥0 ②f(x)＜a
a ≤0时，x Φ∈
f(x)≥0 ③f(x)＞g(x)? g(x)≥0
f(x)＞g(x)
f(x)≥0 f(x)≥0 ④f(x)＞g(x) g(x)≥0 或 f(x)＞［g(x)］２
g(x)＜0
f(x)≥0 ⑤f(x)＜g(x)? g(x)≥0
f(x)＜［g(x)］２
(6)指数不等式：转化为代数不等式. a f(x)＜a g(x)
(a ＞1) ?f(x)＜g(x)；
a f(x)＜a g(x)(0＜a ＜1＝ ?f(x)＞g(x)； a f(x)
＜b(a ＞0，b ＞0，a ≠b) ?f(x)2lga=lgb (7)对数不等式，转化为代数不等式.
log a f(x)＜log a g(x)
(a ＞1) ?0＜f(x)＜g(x)
log a f(x)＜log a g(x)(0＜a ＜1＝ ?f(x)＞g(x)＞0 (8)含有绝对值符号不等式
｜f(x)｜＜a(a ＞0) ?-a ＜f(x)＜a
｜f(x)｜＞a(a ＞0) ?f(x)＞a 或f(x)＜-a
另外，对于含有参数的不等式，要能正确地运用分类讨论方法求解. 5.证明不等式
不等式的证明的方法很多，主要应掌握比较法、分析法与不等式的解法 (1)一元一次不等式ax ＞b
①a ＞0时，解集为｛x ｜x ＞a ｝ ②a ＜0时，解集为｛x ｜x ＜a ｝
③a=0时，(ⅰ)b ≥0，解集为Φ；(ⅱ)b ＜0，解集为R
(2)一元二次不等式：(如下表)其中a ＞0，x 1，x 2是二次三项式ax 2
+bx+c=0的两实根，且x 1
①将f(x)的最高次项的系数化为正数； ②将f(x)分解为若干个一次因式的积；
③将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线； ④根据曲线显示出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集.
(4)分式不等式：先整理成一般形式)()(x g x f ＞0或)
()
(x g x f ≥0的形式，转化为整式不等式
求解，即：
)
()
(x g x f ＞0?f(x)2g(x)＞0 f(x)2g(x)＞0 )
()
(x g x f ≥0 (或f(x)=0或f(x)2g(x)＞0) g(x)≠0
然后用“根轴法”或化为不等式组求解.
(5)无理不等式：转化为有理不等式求解，常见类型有数学归纳法，另外，对反证法，放缩法和判别式法利用函数单调性等方法也应明确.
A.比较法：
a.求差比较法：a ＞b ?a-b ＞0；a ＜b ?a-b ＜0；a=b ?a-b=0
b.求商比较法：b ＞0，
b
a ＞1?a ＞
b ；b ＜0，
b
a ＞1?a ＜b
步骤：作差(或商)—变形—判断. B.综合法
利用某些已经证明的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所求证的不等式，这种证明方法叫综合法.综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个(组)已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证的不等式.
常用性质有： a.(a+b)２≥0；
b.若a 、b ∈R ，a 2+b 2≥2ab(当且仅当a=b 时取等号)；
c.若a ＞0，b ＞0，c ＞0，则有：
a+b ≥2ab (当且仅当a=b 时取等号)；
a+b+c ≥33abc (当且仅当a=b=c 时取等号)； a ３+b ３+c ３≥3abc(当且仅当a=b=c 时取等号). C.分析法：
从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题.如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所求证的不等式成立，这种证明方法叫分析法，分析法的思索路线是“执果索因”，即从求证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知不等式为止.
6.不等式的应用
利用不等式求最值，主要利用公式 n
n
21a a a +++ ≥n n 21a a a ，其中a i ＞0(i=1,2,…n)
(1)当a 1+a 2+…+a n =m （常数）时，乘积a 12a 2…a n 有最大值，其最大值为(n
m )n ，当且仅
当a 1=a 2=…＝a n 时取最大值.
(2)当a 12a 2…a n ＝N(常数)时，和a 1+a 2+…+a n 有最小值，其最小值为n N ，当且仅当a 1=a 2=…=a n 时取最小值.
利用此公式求最值，必须同时满足下面三个条件： ①各项均为正数； ②其和或积为常数； ③等号必须成立.
利用此公式求最值，只需掌握n=2，3时的情形. 三、知识点、能力点提示
(一)“相等”与“不等”的关系
“相等”和“不等”是现实世界物质形式中量与量的两种重要的关系，它们是相互关联，相互依存的，在一定的条件下，互相转化.在数学学习过程中，要注意“相等”与“不等”的相互关系，抓住实质性联系，通过“相等”与“不等”的转化，找到解决问题的途径，达到解决问题的目的.为便于说明，举例如下：
1.“相等”与“不等”相互转化. a)“相等”向“不等”的转化
例1 在ΔABC 中，已知lgtgA+lgtgc=2lgtgB.求证：3
π≤B ＜2
π
.
这个问题的已知是三角形中量的一种相等关系，要求从相等的条件出发，去推证出关于另一(些)量的不等关系.虽说本题考查的是对数、三角函数、不等式的一些相关基础知识，并要求把分析法、综合法加以综合运用，但问题的实质却是某种“相等关系”向“不等关系”的转化，抓住这一实质特征，就可以找到解决问题的方法.当然要熟练掌握对数、三角函数及不等式的知识，在这里根据题意激活知识也是必不可少的.
简解：lgtgA+lgtgC=2lgtgB=lgtgA 2tgc ?tg 2
B=tgA 2tgc
tgB=tg(π-(A+C))=-B
tg 2
1tgC tgA -+
∴tgA+tgC=tgB(tg 2B －１) ∵tgA+tgC ≥2tgC tgA ?=2tgB 即 tg 2B-1≥2
∴tgB ≥3 ∵B ≥
3
π
……
这里，抓住了tg 2B=tgA 2tgC 这一相等关系及tgB=-tgC
tgA ?-+1tgC tgA 隐含关系.通过tgA+tgC
≥2tgC tgA ?这一恒成立的不等式得出关于tgB 的不等式，求解即得结论.
b)“不等”向“相等”的转化.
ⅰ)由实数理论知：若a ≥b 且a ≤b 则必有a=b ，这是由“不等”变为“相等”的典型模型，在数学运算中经常用到，例如：由(x-y)2≤0及隐含条件(x-y)2≥0可以导出(x-y)２＝0
ⅱ)添加变量使“不等”变“相等”.例如：由x+y ＞0?y ＞-x 可含y=-x+t ，这里t ＞0，从而把x,y 的“不等”关系转化为某种“相等”关系.
例2 已知a 、b 、c ∈R ，函数f(x)=ax ２＋bx+c ，g(x)=ax+b ，当-1≤x ≤1时，f(x)≤1 (1)证明：｜c ｜≤｜
(2)证明：当｜x ｜≤1时，｜g(x)｜≤2
(3)设a ＞0，当｜x ｜≤1时，g(x)的最大值是2，求f(x).
本题综合了函数、方程、不等式的知识与方法，由于是以证明不等式为主，对逻辑思维和推理论证能力的要求很高，难度很大，它以二次函数和一次函数为载体，侧重考查函数的概念，含绝对值的不等式的性质，函数的单调性等数学知识的综合灵活运用，并利用函数作为材料，考查恒等变形，放缩变形的方法和技能，等式和不等式的联系和转化.这里仅剖析第(3)小题.
已知告诉我们：对一切x ∈［-1,1］，g(x)≤2恒成立，这是不等的关系，由此(加上“a ＞0”)要得出f(x)的表达式，即给出一组值，使之分别与a 、b 、c 相等，很明显是“不等”向“相等”的转化.
简解如下：
∵a ＞0，∴g(x)=ax+b 是［-1,1］上的增函数，当x=1时，g(x)max =g(1)
即：a+b=g(1)=2=f(1)-f(0) ①
∵-1≤f(0)=f(1)-2≤1-2≤-1 ∴c=f(0)=-1
∵当-1≤x ≤1时f(x)≥-1恒成立，即f(x)≥f(0) ∴直线x=0是抛物线y=f(x)的对称轴，由此可得-a
b 2=0，即b=0代入①得a=2
∴f(x)=2x 2
-1
2.“相等”与“不等”的构造 从上可以看出，“相等”向“不等”的转化，其关键之处在于构建出相关的不等关系，再将这个不等关系向目标(不等式)作进一步的变形处理即可.
a)在“相等关系”中构造出“不等关系”：
途径：①利用重要不等式：ⅰ)a 2+b 2
≥2ab ⅱ)a 、b 、c ∈R ＋，
a+b ≥2ab ，a+b+c ≥33abc ⅲ)
a
b +b
a ≥2(a 、
b ＞0)等等
②利用函数单调性：f(x)是区间I 上的增函数，若x 1、x 2∈I ，则f(x ２)＜f(x １)；f(x)是区间I 上的减函数，若x 1、x 2∈I ，则f(x 1)＞f(x 2)；
③利用等量关系中的隐含条件，如
x ２
-１≥0 ｜x ｜≤a
y=1-x 2
? x 2+y 2=a 2?
y ≥0 ｜y ｜≤a
例3 已知a 、b ∈R 且a 2
1b -+b 2
1a -=1，求证a 2+b 2=1
这是一道脍炙人口的名题，其证法有多种，常见的方法有：平方法、三角法、几何法等，但另辟蹊径，巧用“相等”与“不等”，又可别开生面，证明如下：
证明：∵a
2
1b
-≤
2
b
-1a 2
2+ b
2
1a
-≤
2
a
-1b 2
2+两式相加得
a 2
1b -+b 2
1a - ≤1又已知a 2
1b -+b 2
1a - =1，则上述两不等式必同时取等号即a=21b - ,b=2
1a -
∴a 2+b 2=1
例4 求满足(x 2+2x+3)(y 2+1)=2的实数x,y 解：∵x 2+2x+3=(x+1)2+2≥2 y 2+1≥1
∴(x 2+2x+3)(y 2+1)≥2 当且仅当x 2+2x+3=2,y 2+1=1时成立解之得x=-1且y=0 b)在“不等”关系中构造“相等”关系.
x=rcos θ
途径：①设元构造.例：x 2+y 2≤1? (0≤r ≤1) y=rsin θ
②数形结合，构造函数(或方程).例：x -4x -52
≥x 可设y 1=x -4x
-52
,y 2=x
例5 求证：
n
n 2
＜
1
-n 2 (n ∈N ，n ≥2)
证明：∵2n
=(1+1)n
＝1+n+2
1)-n(n +…
∴n ≥2，n ∈N,右端展开式中的各项为正 ∴2n ＞
2
1)-n(n
即
n
n 2
＜
1
-n 2
例6 为使不等式x 2
+4xy+4y 2
+10x+ay+b ＞0对任意实数x 、y 恒成立，求实数a 、b 应满足的条件.
解：为使不等式恒成立，须且仅须x 2+4xy+4y 2
+10x+ay+b 为一个实数的平方加上一个正增量t ，可令x 2+4xy+4y 2+10x+ay+b=(x+2y+m)2+t=x 2+4xy+4y 2+2mx+4my+m 2+4
10=2m a=20 根据多项式相等的条件有： a=4m ?
b=m 2+t(t ＞0) b=25+t ＞25 所以当a=20,b ＞25时，原不等式恒成立. 例7 已知x 2+y 2≤1，求x+y 的最大值.
分析：这里，量x+y 与x 2+y 2的直接关系可以通过2(x 2+y 2)≥(x+y)2得出，还可以通过换元令x=rcos θ，y=rsin θ，则有r 2≤1
∴0≤r ≤1
∴x+y=rcos θ+rsin θ=2rsin(θ+4
π
)≤2 r ≤2 得出.
3.由不等进行估算
估计变数或式子的取值范围，对某些数学问题能起到挖掘隐含信息，找到思维的切入点，从而使困难的问题迎刃而解.
x+y=6 例8 求解方程组
z 2=xy-9
这是二个方程三个变量的方程组，按常规似乎有无数个解.但可对xy 进行估算，可知xy ＞9，否则z 2＜0,x+y ＞0
∵x ＞0,且y ＞0且6=x+y ≥2xy ?xy ≤9故z 2
=xy-9≤9-9=0
∴z=0且x=y=3
4.由不等推出矛盾：
反证法是“数学家最精良的武器之一”，它在数学解题中确有奇效，若能有意识地挖掘问题中潜在的不等关系，使两者联手，往往可以及时找到矛盾点——由不等导出矛盾.
例9 已知锐角α，β满足βαsin cos +α
β
sin cos =2，求证α+β＝2π
证明：假设α+β＞2
π，则α＞2
π-β，β＞2
π
-α
∵α，β，
2
π
-2，2
π
-β∈(0，
2
π
)
∴cos α＜cos(2
π
-β)＝sin β cos β＜cos(2
π
-α)=sin α
从而2=
β
αcos cos +
α
βsin log ＜β
βsin sin +
α
αsin sin =2矛盾
故α+β≤
2
π
，同理α+β≥
2
π
，∴α+β=2
π
(二)不等式与函数、方程的关系
前面谈到“不等”与“相等”的相互依存，转化，在不等式与函数、方程中尤为突出. 1.一元二次不等式与二次函数，一元二次方程的关系
(1)一元二次方程的根(二次函数图像与x 轴交点的横坐标)是对应一元二次不等式解集的端点值，由此可引申出解一元高次不等式的“根轴法”，可以由数形结合，根据函数图像求不等式的解集.
(2)方程的条件根问题可以借助所设辅助函数与关于函数值的不等式，得出等价转化.
例10 2x ２
-3x=k 在［-1,1］内有实根，求实数k 的取值范围.
此题是有关一元二次方程根的个数讨论，通过构造二次函数，讨论其零值点的分布，借助不等式求出k 的范围.
解：设y=2x 2-3x-k=f(x)
①若方程2x 2
-3x-k=0在［-1，1］上有两根，则 Δ≥0
f(-1)≥0 9+8k ≥0
f(1)≥0 ? 2+3-k ≥0 解之得：-8
9≤k ≤-1
-1＜
4
3＜1 2-3-k ≥0
②若方程2x 2-3x-k=0在［-1,1］上仅有一根则 Δ＞0 k ＞-8
9
? ? -1≤k ≤5 f(-1)f(1)≤0 (5-k)(1-k)≤0 综上可知，k ∈［-8
9,5］
2.不等式与函数最值
(1)求函数的最大值与最小值涉及的范围极为广泛，可使用的方法很多，代数的，三角的，几何的问题中都有大量的求最值问题，求函数的值域也常归结为函数的最值；许多实际问题的应用题也能利用最值解决.
而最值问题往往归结为不等问题，用不等式的性质以及求解不等式的方法都可用于解决最值问题，代数课本上册P26例2实际上是两个极值定理，有着广泛的应用价值，(课本上虽为二个正数，但可推广到三、四个及多个的情形)在利用它解决问题时，要注意三个条件“一正、二定、三能等”即：①这几个数都必须是正数.例如：当xy=4，如果没有x 、y 都为正数这个条件，就不能说x+y 有最小值4，因为若x=y=-2虽满足xy=4但x+y=-4＜4.②这几个数必须满足条件“和为定值”或“积为定值”，如果找不出“定值”这个条件，就不能应用这两个定理.例如：当x ＞0时，求y=x 2+x
1的最小值，若写成y=x 2+
x
1≥2x
x 12
?
=2x (等号当
且仅当x 2=x
1即x=1时y min =21=2)则最小值为2，这是错误的.而应该是这样的：由于
x 2
2x
212
x
21
=4为定值，故y=x 2
+
x
1=x 2
+
x
21+
x
21≥332
21
21
x
x x ?
?
=
2
33
2，即y min ＝
2
33
2(显
然(
2
33
2)3
=4
27＜8 即
2
33
2＜2＝
③要保证等号能成立，如果等号不能成立，则求出的仍不是最值，例如：当0＜x ＜2
π
时
求y=sinx+sinx
4的最小值，尽管y=sinx+
sinx
4≥2x
sin 4sin ?
=4.但y min ＝４是错误的，因为
当sinx=
sinx
4时可推出sinx=2(sinx ＞0)不成立，这只能说y ＞4恒成立，因此y min ＞4必成
立，实际上由y=t+t
4在(0，1)上是单调减函数可知，当sinx=1时y min =5
(2)不等式与二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的最值
x ∈R 时
①当a ＞0时，x=-a
b 2时，y min =
a
4b -4ac 2
；当a ＜0，x=-
a
b 2时y max =
a
4b -4ac 2
②当x ∈［m,n ］(m ＜n ＝时，易画出图像(是抛物线的一部分)“看图说话”. 例
2
当a ＜0时，可依上表写出类似结论.
(3)重要函数y=x+c ，(a ＞0,x ＞0)的单调性.
利用不等式的性质可证明，y=x+ f(m) 在(o ，a )上是减函数，在QS ［a ，+∞)上是增函数.
例12 求y=
4
52
2
++x x 的最值
解：y=
4
142
2
+++x x ＝4x 2
++
4
12
+x
令t=4x 2
+≥2，于是y=t+t
1在［1,+∞)单调递增，可知t=2，即x=0时y min =
2
5
(三)不等式与几何的关系
数学关系实质上是反映现实生活中的量与量的关系的，因而往往具有一些实际意义(或几何意义)，不等关系也是这样.
1.构造几何图形证明不等式
1)对于一些含有“A+B ≥C ”结构的不等式问题，可联想“三角形两边之和大于第三边.”构造三角形证明
例13 x 、y 、z ∈R +，求证：-xy y x 22+ +yz -z y 22+＞xz y x -+22 简析：
x
2+y 2-xy=x 2+y 2-2xycos60°
由 y 2+z 2-yz=y 2+z 2-2yzcos60°联想到余弦定理，构造三棱锥 z 2+x 2-xz=x 2+z 2-2xzcos60° o-ABC 得证(如图)，AB=
xy -y x 2
2
+ BC=
yz -y 2
2z +
CA=xz -x 2
2z +及ΔABC 中，AB+BC ＞AC
2)对于一些含有“A 2B 或2
1(A+B)2C ”结构的不等式问题，可
联想面积证明之
例14 设a ＞c,b ＞c ＞0,求证：c)-c(a +)(c b c -≤ab 简析：∵(c -b )2+(c )2=(b )2 (
c -a )2+(
c )2=(
a
)2即勾股定理，
c)-c(a +)(c b c -=c (c -a +
c -b )联想到梯形面
积可用补形法构造一个梯形.(如图二)
3)对于含有“a 2+b 2=c 2
”结构的不等式问题，可联想长方体中的对角线与棱长的公式，构造长方体.
4)对于一些含有“(a-m)2
+(b-n)2
”或
2
2
C
bB aA B
A +++”结构的不等式问题可用解几中的两
点间的距离，点到直线的距离公式进行构图求证.
5)对含有“a 2+b 2=R 2
且aA+bB+C=0”结构的不等问题，可构造圆与直线的位置关系求证. 2.运用不等式知识解决几何最值
这类问题主要是通过建立目标函数之后，应用不等式知识(如函数单调性，基本不等式等)求出函数最值，这里不作详述.
(四)不等式与其它杂题 1.不等关系的探索.
现实生活中量与量的不等关系是普遍的、大量的，高考中探索性问题即包含对不等关系的探索，下面举例说明之：
例15 已知S n =1+
2
1+
3
1+…
n
1 (n ∈N),设f(n)=S 2n+1-S n+1.试确定m 的取值范围，使得对
于一切大于1的自然数，不等式f(n)＞m 恒成立.
分析：依题意f(n)=S 2n+1-S n+1=
2
n 1++
3n 1++…+
1
2n 1+ (n ∈N)由于f(n)无法求和化简，
故应把f(n)看作n 的函数，只须求出f(n)的最小值即可.
略解：∵f(n)=
2
n 1++
3
n 1++…+
12n 1
+ f(n+1)=3n 1++…+32n 1+ 且f(n+1)-f(n)=
2
2n 1++ 3
2n 1
+-2
n 1+=(
22n 1+-
4
2n 1
+)+(
3
2n 1+-4
2n 1+)＞0
∴f(n+1)＞f(n) (n ＞1，n ∈N)
∴f(2)是f(n)(n ＞1，n ∈N)的最小值f(2)=20
9
要使f(n)＞m 恒成立，只须f(2)＞m 恒成立，故m ＜20
9
例16 已知等差数列｛a n ｝和等比数列｛b n ｝中，a 1=b 1,a 2=b 2,a 1≠a 2,a n ＞0,n ∈N (1)试比较a 3,b 3及a 4,b 4的大小.
(2)推测a n 与b n 的大小，并证明你的结论. (结论：b n ＞a n 对任意n ∈N ，n ≥3成立)
简析：运用归纳法进行探测，猜出一般性的结果，用数学归纳法证明之.
例17 定义在(-1，1)上的函数f(x)满足(ⅰ)对任意x 、y ∈(-1，1)有
f(x)+f(y)=f(xy y
x ++1) (ⅱ)当x ∈(-1,0)时，有f(x)＞0，试研究f(51)+f(111)+…
+f(
1
3n n
12
++)与f(
2
1)的关系.
简析：由(ⅰ)、(ⅱ)可知f(x)是(-1，1)上的奇函数且是减函数.
f(13n n 12++)=f(1-2)1)(n (n 1
++) =f(211111)21
(11
+-
?+++-
++n n n n )
=f(1n 1+)+f(-2n 1+)
=f(1n 1+)-f(2n 1+)
∴f(51)+f(111)+…+f(13n n 12++)
=［f(21)-f(31)］+［f(31)-f(41)］+…+［f(1n 1+)-f(2
n 1+)］
=f(
2
1)-f(
2
n 1+)＞f(
2
1)
(∵0＜
2
n 1
+＜1，∴f(
2
n 1
+)＜0)
2.不等式问题中的思维策略 1)反客为主
当从正面按常规方法不易得出问题的解时，可以变换角度从侧面入手寻找突破口. 例18 当｜p ｜≤2时，不等式2x-1＞p(x 2-1)恒成立，求x 的取值范围
x 2-1=0 x 2-1＞0 x 2
-1＜0 简析：若按常规思路，将问题转化为 或 或 2x-1＞0
1
-x
1-2x 2
＞2
1
-x
1-2x 2
＜-2
分别解三个不等式组获解，但太繁琐.
若“反客为主”将原不等式化为关于P 的不等式： (1-x 2)p+(2x-1)＞0构造函数f(p)=(1-x 2)p+2x-1 问题转化为对一切｜p ｜≤2，f(p)＞0恒成立 当1-x 2=0时易得x=1
f(-2)＞0 当1-x 2≠0时，当且仅当 解之得2
17-＜x ＜
2
3
1+且x ≠1
＞0 综上
2
17-＜x ＜
2
3
1+
2)以退为进
有时从问题的整体去思考颇为费解，但若退出局部着手，常能轻易找出问题的解决途径. 例19 在锐角ΔABC 中，求证：sinA+sinB+sinC ＞cosA+cosB+cosC
简析：观察此题，求证式整体与局部，三个角的三角函数有轮换的特征可退出局部考察A 、B 的关系是否有sinA ＞sinB
证明：∵A+B=π-C ＞2
π
∴
2
π
＞A ＞
2
π
-B ＞0 ∴sinA ＞sin(2
π
-B)=cosB
同理 sinB ＞cosC
sinC ＞cosA
三式相加得sinA+sinB+siC ＞cosA+cosB+cosC 四、能力训练
1.某广场中心要建一灯柱，广场边缘A 点距灯柱根部(B 点)100米，已知该点的照明亮度I 和灯光射到这点的光线与地面夹角θ的正弦成正比，和这点的光源P 的距离r 的平方成反比，若要使A 点获得最好的照明亮度，灯柱应建多高?(精确到0.1米)
本题考查三角函数、立体几何解决实际问题的能力，同时考查数形结合思想、成比例的概念，利用不等式求最值的方法.
2.已知x n =sin 2θ12sin 2θ22sin 2θ3…sin 2θ y n =1-(cos 2θ1+cos 2θ2+…+cos 2
θn )(n ∈N) (1)判断x 1与y 1，x 2与y 2的大小关系，加以证明. (2)猜想x n 与y n 的关系，并证明你的结论.
(3)若cos θn =(cos 4
π
)n+1，证明x n ＞2
1.
本题考查三角函数的恒等变形，不等式的证明及观察、归纳由特殊到一般的推理能力. 3.某科研所要到某药厂买100桶药剂作试验用，每天用一桶，无论多少桶每趟的运费都
是100元，而每桶药在科研所每天的储存保质费用需2元，问应分几趟(每趟购量相等)购买，才能使总的花费最省?(注：运回当天用一桶，不考虑买药剂的费用)
本题主要考查学生对实际问题的理解，建模(利用函数求最小值)和求解能力及等差数列的综合运用.
4.某县地处水乡，县政府计划从今年起用处理过的生活垃圾和工业废渣填河造池，(1)若该县以每年1%的速度减少填河面积，并为保持生态平衡，使填河总面积永远不会超过现有水面面积的
4
1，问今年所填面积最多只能占现有水面面积的百分之几?(2)水面的减少必然导
致蓄水能力的降低，为了保持其防洪能力不会下降，就要增加排水设备，设经费y(元)与当年所填土地面积x(亩)的平方成正比，比例系数为a ，又设每亩水面年平均经济收入为b 元，所填的每亩土地年平均收入为c 元，那么，要使这三项收入不少于支出，试求所填面积x 的最大值.(其中a 、b 、c 为常数).
本题考查由实际问题转化为等比数列的能力，及求函数最值的方法，建立数学模型的能力，阅读理解能力.
5.已知f(x)=x 2
+(lga+2)x+lgb,f(-1)=-2,且对任何实数都有f(x)≥2x ，求a 、b 的值. 本题考查一元二次不等式恒成立的充要条件和实数的性质，及由“不等”向“相等”转化的能力.
6.渔场中鱼群的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量，已知鱼群的年增长量y 吨和实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k ＞0)
(1)写出y 与x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域. (2)求鱼群的年增长量达到的最大值.
(3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求k 的取值范围. 本题考查二次函数区间上的最值，及不等式的实际应用.
7.m 为何值时，关于x 的方程x 2-2(m+2)x+m 2-1=0，(1)有两个正根；(2)有两个大于2的根；(3)一根在(0，1)内，另一根在(1，2)内.本题考查一元二次方程二次函数的图像，应用不等式与它们的关系进行问题转化的能力.
8.若a 、b 、c 、d ∈R ，且a 2+b 2=1，c 2+d 2=1，求证｜abcd ｜≤4
1，本题考查不等式的应用，
由相等关系向不等关系的转化.
9.求5x 23yz=7850中的数字x ，y ，z.
本题考查整数及不等式知识，由相等向不等的转化.
10.已知y=3x 2+2
-
arcsinx π
+x-2，求log 4y 的值.
本题考查反三角函数知识.
11.若正整数p 、q 、r 使方程px 2-qx+r=0在区间(0，1)内有两个不同的实根，求p 的最小值.
本题考查方程，不等式知识，分析问题解决问题的能力.
12.边长为5的菱形，它的一条对角线的长不大于6，另一条对角线的长不小于6，则这个菱形两对角线长度之和的最大值是多少?
本题考查几何极值与不等式的应用.
13.某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池(如图)由于地形限制，长宽都不能超过16米，如果池四周围壁建造单价为每米长400元，中间两道隔墙造单价为每米长248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计水池的长和宽，使总造价最低，并求出总造价.(45000元)
本题考查均值不等式，函数的单调性及用之求最值，建模能力，分析解决问题的能力.
14.某工厂现有资金a 万元(a ＞100)，由于坚持改革开放，生产蒸蒸日上，每年资金递增20%，每年底资助希望工程b 万元.(0＜b ＜0.2a)，若m(m ∈N)年后，该厂资金至少翻一番，求m 的最小值.
本题考查建模能力，不等式与数列知识
15.试用几何法证明：
2
b a +≥ab (a ＞0,b ＞0)
本题考查不等式的几何意义，构图法.
能力训练参考答案
1.解：设灯柱高为h 米，由题意 I=k 2sin θ/r 2(k 为正常数) r=100/cos θ
∴I 2=k 22sin 2θ/(100/cos θ)4=k 2sin 2θcos 4θ/108
=8
210
k 2
2
12(2sin 2θ)(cos 2θ)(cos 2θ) ≤8
10
2?k
(
3
cos cos sin 22
2
2
θ
θ++)3
=
8
2
10
274?k
(定值)
当且仅当2sin 2θ=cos 2θ 即tg θ=2/2时等式成立. A 点照明度最好，这时h=AB 2tg θ=1003
2
2=502=70.7米
故为使A 点获得最好的照明亮度，灯柱的高应为70.7米. 2.解(1)： x 1=sin 2θ1,y 1=1-cos 2θ1=sin 2θ 1 ∴x 1=y 1
x 2=sin 2θ1sin 2θ2,y 2=1-(cos 2θ1+cos 2θ2) x 2-y 2=sin 2θ1sin 2θ2-sin 2θ1+cos 2θ2
=-sin 2θ1cos 2θ2+cos 2θ2 =cos 2θ22cos 2θ1≥0
∴ x 2≥y 2≥2 (2)猜想x n ≥y n
证明：当n=1时，不等式成立，假设当n=k 时x k ≥y k 成立，即sin θ1sin 2θ2……sin 2
k ≥1-(cos 2θ1+cos 2θ2+…+cos 2
θk )
则x k+1=sin 2θ1sin 2θ2…sin 2k 2sin 2θk+1≥［1-(cos 2θ1+cos 2θ+…+cos 2θk )］sin 2θk+1 =［1-(cos 2θ1+cos 2θ2+…+cos 2θk )］［1-cos 2θk+1］
=［1-(cos 2θ1+cos 2θ2+…+cos 2θk +cos 2θk+1)］+cos 2θk+1(cos 2θ1+cos 2θ2+…+cos 2θK ) ≥1-(cos 2θ1+ cos 2θ2+…+cos 2θk +cos 2θk+1) =y k+1
∴n=k+1时，不等式成立. 故对n ∈N ，都有x n ≥y n
(3)x n ≥y n =1-(cos 2θ1+cos 2θ2+…+cos θn )
=1-［(
2
1)2+(
2
1)3+…+(
2
1)n+1］
=1-2
11)21(1)21(2-
??????-n
=1-
2
1+(
2
1)n+1＞
2
1
3.解：设每趟购x 桶，则共购
x
100趟，每趟的储存保质费为：
2(x-1)+2(x-2)+…+222+221=x(x-1)元 依题意，总花费y=100(x-1)+10000/x
=100x-10000/x-100
≥210000100?-100 =1900
当且仅当100x=10000/x 即x=10时等号成立.
故分10趟购买，每趟购买10桶总费用最省.
4.解：(1)设该县现有水面面积为M(亩)，今年所填面积为x(亩)，则由条件知x+x(1-1%)+x(1-1%)2
+…≤
4
1M
即：lim ∞
→n x 2
%)
11(11%)
-(1-1n
--≤
4
1M
∴100x ≤
4
1M
即：x ≤M/400
故今年所填面积最多只能占现有水面面积的0.25% (2)由条件可知：cx-(ax 2+bx)≥0 ∴ax 2+(b-c)x ≤0 当c-b ≤0时
a
b -
c ≤x ≤0，不能填池.
当c-b ＞0时 0≤x ≤a
b -
c ，所填面积的最大值为
a
b -
c 亩
5.解：f(-1)=1-(lga+2)+lgb=-2即lga-lgb=1
∵f(x)≥2x 对任何x 都成立即x 2
+(lga+2)x+lgb ≥2x 恒成立
∴Δ=(lga)2
-4(lga-1)≤0 ∴lga=2 即a=100
代入lga-lgb=1 得b=10 6.解(1)由题意得y=kx(1-m x ) (0＜x ＜m ＝ (2)y=-m
k (x-
2
m )2+2
km +
4
km ，当x=
2m 时y max =km/4 (3)依题意有：0＜x+y ＜m 即0＜2
m +
4
km
＜m
∴-2＜k ＜2但k ＞0 ∴0＜k ＜2
x 1＞0 x 1+x 2＞0 7.解(1)∵ ?
x 2＞0 x 12x 2＞0 ∴原方程有两正根的充要条件是 Δ=4(m+2)2-4(m 2-1)≥0 x 1+x 2=2(m+2)＞0 x 1x 2=m 2-1＞0 m ≥-4
5
解得： m ＞-2
m ＜-1或m ＞1 即当-4
5≤m ＜-1或m ＞1时，原方程有两正根.
x 1＞2 x 1-2＞0 (x 1-2)+(x 2-2)＞0
(2)∵ ? ? ? x 2＞2 x 2-2＞0 (x 1-2)(x 2-2)＞0
x 1+x 2-4＞0 Δ≥0 m ≥-
4
5
? 2(m+2)-4＞0 ? m ＞0
x 1x 2-2(x 1+x 2)+4＞0 (m 2-1)-4(m+2)+4＞0 m ＜-1或m ＞5 即当m ＞5时原方程有两个大于2的根.
(3)设f(x)=x 2-2(m+2)x+m 2-1，它的图像是开口向上的抛物线如图，方程f(x)=0的有两实根x 1,x 2且满足0＜x 1＜1＜x 2＜2的充要条件是
f(0)=m 2
-1＞0 f(1)=m 2-2m-4＜0
f(2)=m 2
-4m-5＞0 解得：
m ＜-1或m ＞1
1-5＜m ＜1+5 m ＜-1或m ＞5
∴当1-5 ＜m ＜-1时，及方程有两个实根，且一根位于(0，1)内，另一根位于(1，2)内.
8.证一：1=a 2+b 2≥2｜ab ｜ ∴1≥4｜abcd ｜即｜abcd ｜≤
4
1
1=c 2+d 2≥2｜cd ｜
证二：∵a 2+b 2=1,c 2+d 2=1
∴令a=cos α,b=sin α,c=cos β,d=sin β 则｜abcd ｜=｜sin αcos αsin βcos β｜=4
1｜sin2αcos β2｜≤
4
1
(∵｜sin2α｜≤1,｜sin2β｜≤1)
9.解：∵3yz 表示一个百位数是3的三位数. ∴300≤3yz ＜400 ∴
400
7850＜5x ≤257850即9＜10x+5＜27
∴x=2 ∴3yz ＝
5
7850x =25
7850=314
∴y=1,Z=4
10.解：依题意arcsinx ≥2
π
但-
2
π
≤arcsinx ≤
2
π
∴必有arcsinx=2
π
∴x=1,y=2 ∴log 4y=
2
1
q 2＞4pr ①
11.解：依题意知： p+r-q ＞0 ②其中p,q,r ∈N
2p q
＜1 ③
由(2)可设q=p+r-t,其中t ≥1,代入(1)得p+r-t ＞2pr 整理成(p )2-2
pr +(r )2
-t ＞0即
p ＞r +t (p ＜r 2t ＝与②③矛盾
＝
∴p ＞(r +t )2取r=t=1得p ＞(1+1)2
=4 ∴p ≥5即Pmin=5 此时q=5,r=1
12.解：设菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O 点，AC ≥6,BD ≤6，则 AO 2+BO 2=25
(1)令AO=3+x,BO=3-y(x ≥0,y ≥0)
AO ≥3≥BO
由知，x,y 不同时为零且x ＞0,AO 2+BO 2=(3+x)2+(3-y)2
=25 即(x-y)2+6(x-y)+9=16-2xy ?x-y=±2xy -16-3
AC+BD=2(3+x)+2(3-y)=12+2(x-y)
当且仅当y=0时，x-y 取得最大值1，∴AC+BD 的最大值是14. 13.解：设污水池长为x 米，则宽为
x
200米，于是总造价为y=400(2x+
x
20032)+24832
0＜x ≤16 3
x
2+803200=800(x+
x
324)+16000
0＜x
200≤16
(若用x+
x
324≥2x
x 324?
=36，等号当且仅当x=
x
324即x=18成立但x ?(0,16))
0＜x ≤16
由 解之得：125≤x ≤16,而函数f(x)=x+x
18在［12.5,16］上为减函数
0＜
x
100≤16 ∴f(x)=x+
x
324≥16+
16
324=16+
4
81
这时x=16 ∴y ≥800(16+16
324)+16000=45000元，即最低造价为45000元.
14.解：1.年后有资金a(1+20%)-b=56-b 2.……(
5
6a-b)(1+20%)-b=(
5
6)2a-5
6b-b
m 年后有资金(5
6)m a-(
5
6)m-1b-(5
6)m-2b-…-5
b b-b=(
5
6)m a-5b 2(
5
6)m +5b
由题可知(5
6
)m a-5b(5
6)m +5b ≥2a 即(
5
6)m (a-5b)≥2a-5b(a ＞5b)
∴(56)m ≥
5b -a 5b -2a =2+
5b
-a 5b ＞2
又(
5
6)＜2,( 5
6)2
=
25
36＜2，(5
6)3
=
125
216＜2，(
5
6)4
＝
625
1296＝2+
625
46＞2
∴m ≥4,即m 的最小值为4
15.证明：如图
∵S ΔBCE +S ΔBAF ≥S □ABCD (a =b ]即D 、E 重合时取等号) 即
2
b a +≥ab
不等式知识点详解
考试内容： 不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求： （1）理解不等式的性质及其证明． （2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法． （5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │ §06. 不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念 （1） 不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a ?>- （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式. （4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 （1）a b b a （对称性） （2）c a c b b a >?>>,（传递性） （3）c b c a b a +>+?>（加法单调性） （4）d b c a d c b a +>+?>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-?<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >?>>0,. （7）bc ac c b a 0,（乘法单调性） （8）bd ac d c b a >?>>>>0,0（同向不等式相乘） (9)0,0a b a b c d c d >><（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>? <（倒数关系） （11）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若 （2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么 .2 a b +≤（当仅当a=b 时取等号） 极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.
方程与不等式之二元一次方程组易错题汇编及答案
方程与不等式之二元一次方程组易错题汇编及答案 一、选择题 1．下面几对数值是方程组233, 22 x y x y +=?? -=-?的解的是（ ） A ．1, x y =?? =? B ．1, 2x y =?? =? C ．0, 1 x y =?? =? D ．2, 1x y =?? =? 【答案】C 【解析】 【分析】 利用代入法解方程组即可得到答案. 【详解】 23322x y x y +=?? -=-?① ② ， 由②得：x=2y-2③， 将③代入①得：2（2y-2）+3y=3， 解得y=1， 将y=1代入③，得x=0， ∴原方程组的解是0 1x y =??=? ， 故选：C. 【点睛】 此题考查二元一次方程组的解法：代入法或加减法，根据每个方程组的特点选择恰当的解法是解题的关键. 2．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五人出七，不足三，问人数、羊价各几何?”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少?设合伙人数为x 人，羊价为y 钱，根据题意，可列方程组为（ ）. A ．545 73y x y x =+??=-? B ．54573y x y x =-??=+? C ．545 73y x y x =+??=+? D ．545 73y x y x =-??=-? 【答案】C 【解析】 【分析】 根据羊价不变即可列出方程组. 【详解】 解：由“若每人出5钱，还差45钱”可以表示出羊价为：545y x =+，由“若每人出7钱，
还差3钱”可以表示出羊价为：73y x =+，故方程组为545 73y x y x =+?? =+? .故选C. 【点睛】 本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意，明确羊价不变是列出方程组的关键. 3．若是关于x 、y 的方程组 的解，则(a+b)(a ﹣b)的值为( ) A ．15 B ．﹣15 C ．16 D ．﹣16 【答案】B 【解析】 【分析】 把方程组的解代入方程组可得到关于a 、b 的方程组，解方程组可求a ，b ，再代入可求（a+b ）（a-b ）的值． 【详解】 解：∵ 是关于x 、y 的方程组 的解， ∴ 解得 ∴（a+b ）（a-b ）=（-1+4）×（-1-4）=-15． 故选：B ． 【点睛】 本题考查方程组的解的概念，掌握方程组的解满足方程组中的每一个方程是解题关键． 4．某出租车起步价所包含的路程为0～2km ，超过2km 的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了7km ，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km ，付了28元．设这种出租车的起步价为x 元，超过2km 后每千米收费y 元，则下列方程正确的是（ ） A ．7161328x y x y +=??+=? B ．()7216 1328x y x y ?+-=?+=? C ．()716 13228x y x y +=??+-=? D ．()()7216 13228x y x y ?+-=??+-=?? 【答案】D 【解析】 【分析】 根据津津乘坐这种出租车走了7km ，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km ，付了28元可列方程组．
不等式与不等式组(知识总结-试题和答案)
初中精品数学精选精讲 学科：数学任课教师：授课时间：年月姓名年级课时 教学课题不等式与不等式组 教学目标 （知识点、考点、能力、方法）知识点：不等式及性质，一元一次不等式，一元一次不等式组。 考点：不等式的解集，一元一次不等式及一元一次不等式组的解法，列一元一次不等式组解实际问题。 能力：能判断及解不等式组及不等式组，通过具体实例建立不等式，探索不等式的基本性质。 方法：了解一般不等式的解、解集以及解不等式的概念；然后具体研究一元一次不等式、一元一次不等式组的解、解集、 难点 重点 一元一次不等式及一元一次不等式组的解法.实际问题与一元一次不等式（组） 课堂教学过程 课前 检查 作业完成情况：优□良□中□差□建议______________________________________________ 一、知识点大集锦 不等式与不等式组 １.熟悉知识体系 ２．不等式与不等式组的概念 不等式：用“大于号”、“小于号”、“不等号”、“大于等于”或“小于等于”连接并具有大小关系的式子，叫做不等式。 不等式组：几个不等式联立起来，叫做不等式组．（注意：当有A 性质l:不等式的两边都加上(或减去)同一个数（或式子），不等号的方向不变； 性质2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变； 性质3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变２． ５.解不等式组 解不等式组，可以先把其中的不等式逐条算出各自的解集，然后分别在数轴上表示出来。 （1） 求出不等式组中每个不等式的解集 （2） 借助数轴找出各解集的公共部分 （3） 写出不等式组的解集 求公共部分的规律:大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无解. 以两条不等式组成的不等式组为例， ①若两个未知数的解集在数轴上表示同向左，就取在左边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃“同小取小” ②若两个未知数的解集在数轴上表示同向右，就取在右边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃“同大取大” ③若两个未知数的解集在数轴上相交，就取它们之间的值为不等式组的解集。若x 表示不等式的解集，此时一般表示为a 第九章不等式与不等式组 第一节、知识梳理 一、学习目标 1.掌握不等式及其解（解集）的概念，理解不等式的意义. 2.理解不等式的性质并会用不等式基本性质解简单的不等式. 3.会用数轴表示出不等式的解集. 二、知识概要 1.不等式：一般地，用不等号“＞”、“＜”表示不等关系的式子叫做不等式. 2.不等式的解：一般地，在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 3.不等式的解集：一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，称之为此不等式的解集. 4.一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式. 5.不等式的性质： 性质一：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变. 性质二：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 性质三：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变. 6.三角形中任意两边之差小于第三边. 三、重点难点 重点是不等式的基本性质及其应用，难点是不等式和不等式解集的理解. 四、知识链接 本周知识由以前学过的比较大小拓展而来，又为解决实际问题提供了一个解题的工具，并为以后学的不等式组打下基础. 五、中考视点 不等式也是经常考到的内容，经常出现在选择题、填空题中，以解不等式为主.有时在一些解答题中也要用到不等式，利用不等关系求范围等. 1. 常用的不等号有哪些？ 常用的不等号有五种，其读法和意义是： （1）“≠”读作“不等于”，它说明两个量是不相等的，但不能明确哪个大哪个小. （2）“＞”读作“大于”，表示其左边的量比右边的量大. （3）“＜”读作“小于”，表示其左边的量比右边的量小. （4）“≥”读作“大于或等于”，即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量. （5）“≤”读作“小于或等于”，即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量. 2. 如何恰当地列不等式表示不等关系？ （1）找准题中不等关系的两个量，并用代数式表示. （2）正确理解题目中的关键词语，如：多、少、快、慢、增加了、减少了、不足、不到、不大于、不小于、不超过、非负数、至多、至少等的确切含义. （3）选用与题意符合的不等号将表示不等关系的两个量的代数式连接起来. 根据下列关系列不等式：a的2倍与b的的和不大于3.前者用代数式表示是2a+ b.“不大于”就是“小于或等于”. 列不等式为：2a+b≤3. 3. 用数轴表示不等式注意什么？ 用数轴表示不等式要注意两点：一是边界；二是方向.若边界点在范围内则用实心点表示，若边界点不在范围内，则用空心圆圈表示；方向是对于边界点而言，大于向右画，而小于则向左画. 在同一个数轴上表示下列两个不等式：x＞-3；x≤2. 专题：基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的基本不等式： ①，、)(2 22 22 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤ ?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③， 、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链： b a 11 2 +2 a b +≤≤≤2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞ ；单调递减区间：(0, ，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+ >-的最小值。 解析：21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1)x x x x --=+++>- 1≥312≥+52=， 当且仅当 2 11 (1) 22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①2 3 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析：① 3 0,3202 x x <<->∴， ∴2 3(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3(32)[ ]13 x x x ++-≤=， 当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。 ② 0,sin 0,cos 02 x x x π << >>∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求2y 的最大值。 2 4 2 sin cos y x x =?2 2 2 sin sin cos x x x =??222 1(sin sin 2cos )2x x x =??22231sin sin 2cos 4( )2327 x x x ++≤?=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π < < tan x ?=tan x arc =时 “=”号成立，故 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y + ∈R ，求4 ()f x x x =+ )10(≤ 第九章 不等式与不等式组 一、知识结构图 二、知识要点 （一、）不等式的概念 1、不等式：一般地，用不等符号（“＜”“＞”“≤”“≥”）表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。不等号主要包括： ＞ 、 ＜ 、 ≥ 、 ≤ 、 ≠ 。 2、不等式的解：使不等式左右两边成立的未知数的值，叫做不等式的解。 3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集（即未知数的取值范围）。 4、解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 5、不等式的解集可以在数轴上表示，分三步进行：①画数轴②定界点③定方向。规律：用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画，等于用实心圆点，不等于用空心圆圈。 ????????????????????????????????与实际问题 组一元一次不等式法 一元一次不等式组的解不等式组一元一次不等式组性质性质性质不等式的性质一元一次不等式不等式的解集不等式的解不等式不等式相关概念不等式与不等式组)(321 （二、）不等式的基本性质 不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向 不变 。 用字母表示为：如果b a >，那么c b c a ±>±；如果b a <，那么c b c a ±<± ； 不等式的性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 正数 ，不等号的方向 不变 。 用字母表示为： 如果0,>>c b a ，那么bc ac >(或c b c a >)；如果0,> 方程与不等式之二元一次方程组难题汇编及答案 一、选择题 1．若关于x ，y 的方程组4510(1)8x y kx k y +=?? --=?中x 的值比y 的相反数大2，则k 是（ ） A ．-3 B ．-2 C ．-1 D ．1 【答案】A 【解析】 【分析】 根据“x 的值比y 的相反数大2”得出“x=-y+2”，再代入到方程组的第一个方程得到y 的值，进而得出x 的值，把x ，y 的值代入方程组中第二方程中求出k 的值即可. 【详解】 ∵x 的值比y 的相反数大2， ∴x=-y+2， 把x=-y+2代入4x+5y=10得，-4y+8+5y=10， 解得，y=2， ∴x=0， 把x=0，y=2代入kx-(k-1)y=8，得k=-3. 故选A. 【点睛】 此主要考查了与二元一次方程组的解有关的问题，解题的关键是列出等式“x=-y+2”. 2．如果方程组3921ax y x y +=?? -=?无解，则a 为（ ） A ．6 B ．－6 C ．9 D ．－9 【答案】B 【解析】 【分析】 用代入法或加减法把未知数y 消去，可得方程(6)12a x +=，由原方程无解可得60a +=，由此即可解得a 的值. 【详解】 把方程21x y -=两边同时乘以3，再与方程39ax y +=相加，消去y 得： 693ax x +=+，即(6)12a x +=， ∵原方程无解， ∴60a +=， 解得6a =-. 故选B. 【点睛】 本题考查了二元一次方程组解的问题，明白“关于某一个未知数的一元一次方程无解，则这 个未知数的系数为0”是解答本题的关键. 3．若关于x，y的方程组 2 { x y m x my n -= += 的解是 2 { 1 x y = = ，则m n -为（） A．1 B．3 C．5 D．2【答案】D 【解析】 解：根据方程组解的定义，把 2 1 x y = ? ? = ? 代入方程，得： 41 2 m m n -= ? ? += ? ，解得： 3 5 m n = ? ? = ? ．那么 |m-n|=2．故选D． 点睛：此题主要考查了二元一次方程组解的定义，以及解二元一次方程组的基本方法． 4．二元一次方程2x+y＝5的正整数解有（） A．一组B．2组C．3组D．无数组 【答案】B 【解析】 【分析】 由于要求二元一次方程的正整数解，可分别把x=1、2、3分别代入方程，求出对应的值，从而确定二元一次方程的正整数解． 【详解】 解：当x=1，则2+y=5，解得y=3， 当x=2，则4+y=5，解得y=1， 当x=3，则6+y=5，解得y=-1， 所以原二元一次方程的正整数解为，． 故选B． 【点睛】 本题考查了解二元一次方程：二元一次方程有无数组解；常常要确定二元一次方程的特殊解． 5．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身10个或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有120张白铁皮，设用x张制盒身，y张制盒底，得方程组 ( ) A． 120 4010 x y y x += ? ? = ? B． 120 1040 x y y x += ? ? = ? C． 120 4020 x y y x += ? ? = ? D． 120 2040 x y y x += ? ? = ? 【答案】C 【解析】 【分析】 首先根据题意可以得出以下两个等量关系：①制作盒身的白铁皮张数+制作盒底的白铁皮的张数=120，②盒身的个数×2=盒底的个数，据此进一步列出方程组即可. 不等式与不等式组知识概念 1.用符号“＜”“＞”“≤”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。 2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 4.一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。 5.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成 6.了一个一元一次不等式组。 7.定理与性质 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 本章内容要求学生经历建立一元一次不等式（组）这样的数学模型并应用它解决实际问题的过程，体会不等式（组）的特点和作用，掌握运用它们解决问题的一般方法，提高分析问题、解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识。 第十章数据的收集、整理与描述 一．知识框架 1.全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。 2.抽样调查：调查部分数据，根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。 3.总体：要考察的全体对象称为总体。 4.个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。 5.样本：被抽取的所有个体组成一个样本。 6.样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。 7.频数：一般地，我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。 8.频率：频数与数据总数的比为频率。 9.组数和组距：在统计数据时，把数据按照一定的范围分成若干各组，分成组的个数称为组数，每一组两个端点的差叫做组距。 本章要求通过实际参与收集、整理、描述和分析数据的活动，经历统计的一般过程，感受统计在生活和生产中的作用，增强学习统计的兴趣，初步建立统计的观念，培养重视调查研究的良好习惯和科学态度。 第二章 方程（组）与不等式(组) 方程与方程组解法总结 一元一次方程等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。 解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。 一元二次方程的解法 (1）配方法 (2)分解因式法 (3)公式法 解一元二次方程的步骤： （1）配方法的步骤： 先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 (2)分解因式法的步骤： 把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 (3)公式法 就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 4）韦达定理 利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=- a b ，二根之积= a c 也可以表示为1x +2x =-a b ,21x x =a c 。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用 5）一元一次方程根的情况 利用根的判别式I 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； II 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； III 当△<0时，一元二次方程没有实数根（在这里，学到高中就会知道，这里有2个虚数根） 难点提示: 1.一元二次方程的根的判别式： △=b 2+4ac ，当△>0 方程有两个不相等的实数根；当△=0 时 方程有两个相等的实数根；当△<0 方程没有实数根。 2.根与系数的关系： 若一元二次方程2ax +bx+c=0（a≠0）的两根为12,x x ，则1x +2x =- a b ，1x 2x ·= a c 。 反过来，以12,x x 为根的一元二次方程是(x-1x )(x-2x )=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程 2 ax +bx+c=0（a≠0）。 特殊的：对二次项系数为1的方程2x +px+q=0的两根为12,x x 时，那么1x +2x =-p ，1x . 2x =q 。反之，以1x ，2x 为根的一元二次方程是：(x-1x )(x-2x )=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程：2x +px+q=0。 3.解分式方程的数学思想是转化为整式方程，方法为去分母法和换元法。 注意事项： 1.不等式的基本性质中 不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。用式子表示：如果a>b ，且c<0，那么ac 一元一次不等式和一元一次不等式组（三） 一．选择题 1.下列各式，是一元一次不等式的为（） A.x+2y+2020>0 B.-x>2009 C.2009/y-5<0 D.(x-2008)(x+2009)>0 2.下列说法中错误的是（） A.10不是x≥11的解 B.0是x<1的解 C.x>1是不等式x+2008>2008 D.x=-2009是x+2008<0 3.下列几种说法中正确的是（） A.如果a>b,则ac2>bc2(c≠0) B.如果ax>-a,则x C.如果a 不等式与不等式组知识点归纳 一、不等式的概念 1．不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。 2．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。 3．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。 4．解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 5．用数轴表示不等式的解集。 二、不等式的基本性质 1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 2．不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 3．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 说明： ①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。 ②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。 例: 1．已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰是1，2，3，则a 的取值范围是 。 2．已知关于x 的不等式组???-≥->-1250 x a x 无解，则a 的取值范围是 。 3．不等式组??? ??>+≤+022 10 42x x 的整数解为 。 4．如果关于x 的不等式（a-1）x 基本不等式 一、知识梳理 二、极值定理 （1）两个正数的和为常数时，它们的积有 ； 若0,0,a b a b M >>+=，M 为常数，则ab ≤ ；当且仅当 ，等号成立.简述为，当0,0,a b a b M >>+= ，M 为常数，max ()ab = . （2）两个正数的积为常数时，它们的和有 ； 若0,0,a b ab P >>=，P 为常数，则a b +≥ ；当且仅当 ，等号成立.简述为，当0,0,a b ab P >>= ，M 为常数，min ()a b += . (,)2 a b a b R ++≤ ∈，求最值时应注意以下三个条件： 应用基本不等式的经典方法 方法一、直接利用基本不等式解题 例1、（1）若0,0,4a b a b >>+=，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．1 1 2ab > B ．1 1 1a b +≤ C 2≥ D. 2211+8a b ≤ （2）不等式2162a b x x b a +<+对任意(),0,a b ∈+∞ 恒成立，则实数x 的取值范围是（ ） A ．(2,0)? B ．(,2)(0,)?∞?+∞ C ．(4,2)? D ．(,4)(2,)?∞?+∞ （3）设,,1,1x y R a b ∈>>，若3,x y a b a b +，则11 x y +的最大值为 ( ) A ．2 B ．32 C ．1 D ．12 方法二：凑项（增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于构造条件，通过乘或除常数、拆因式、平方等方式进行构造） 例2、（1）已知54x <，求函数1 445y x x =+?的最大值； （2）已知，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 方法三：“1”的巧妙代换 命题点1、“1”的整体代换 例3、（1）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是( ) A ．245 B ．285 C ．5 D ．6 （2）已知0,0,x y >>且21x y +=,求1 1 x y +的最小值. 0,2b a ab >>=2 2 a b a b +?(],4?∞?(),4?∞?(],2?∞?(),2?∞? 方程与不等式之二元二次方程组全集汇编及解析 一、选择题 1．222620x y x xy y -=??--=? 【答案】42x y =??=? 或22x y =??=-? . 【解析】 【分析】 先将原方程组化为两个二元一次方程组，然后求解即可． 【详解】 解：原方程组变形为 ( )()2620x y x y x y -=??-+=? ∴2620x y x y -=??-=? 或260x y x y -=??+=? ∴原方程组的解为 42x y =??=? 或22x y =??=-? . 故答案为：42x y =??=? 或22x y =??=-? . 【点睛】 本题考查二次方程组的解，将二次方程组化为一次方程组是解题的关键． 2．解方程组 【答案】原方程组的解为：， 【解析】 【分析】 把第一个方程代入第二个方程，得到一个关于x 的一元二次方程，解方程求出x ，把x 代入第一个方程，求出y 即可. 【详解】 解： 把①代入②得：x 2-4x （x +1）+4（x +1）2=4， x 2+4x =0， 解得：x =-4或x =0， 当x =-4时，y =-3， 当x =0时，y =1， 所以原方程组的解为：，． 故答案为：，． 【点睛】 本题考查了解高次方程，降次是解题的基本思想. 3．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx+1经过A （﹣1，0），B （1，1）两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）阅读理解： 在同一平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝k 1x+b 1（k 1，b 1为常数，且k 1≠0），直线l 2：y ＝k 2x+b 2（k 2，b 2为常数，且k 2≠0），若l 1⊥l 2，则k 1?k 2＝﹣1． 解决问题： ①若直线y ＝2x ﹣1与直线y ＝mx+2互相垂直，则m 的值是____； ②抛物线上是否存在点P ，使得△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）M 是抛物线上一动点，且在直线AB 的上方（不与A ，B 重合），求点M 到直线AB 的距离的最大值． 【答案】（1）y ＝﹣ 12x 2+12x+1；（2）①-12 ；②点P 的坐标（6，﹣14）（4，﹣5）；（35. 【解析】 【分析】 （1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据垂线间的关系，可得PA ，PB 的解析式，根据解方程组，可得P 点坐标； （3）根据垂直于x 的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得MQ ，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得面积的最大值，根据三角形的底一定时面积与高成正比，可得三角形高的最大值 【详解】 解：（1）将A ，B 点坐标代入，得 10(1)11(2)a b a b -+=??++=? ， 初中数学 不等式与不等式组 中考试题（含答案） 一、 填空题 1.（2009年北京市）不等式325x +≥的解集是 . 2.（2009年泸州）关于x 的方程x kx 21=-的解为正实数，则k 的取值范围是 3．（2009年吉林省）不等式23x x >-的解集为． 4、（2009年遂宁）把不等式组的解集表示在数轴上，如图所示，那么这个不等式组的解集是 . 5．(2009年云南省)不等式组40320x x ->??+>? 的解集 是 . 6.（2009年包头）不等式组3(2)412 1.3 x x x x --?? +?>-??≥，的解集是 ． 7.（2009年莆田）甲、乙两位同学参加跳高训练，在相同条件下各跳10次，统计各自成绩 的方差得22 S S <乙甲，则成绩较稳定的同学是___________．（填“甲”或“乙”） 8．(2009年南充)不等式5(1)31x x -<+的解集是 ． 9.(2009年南充)不等式5(1)31x x -<+的解集是 ． 1-．（2009年甘肃白银）不等式组103x x +>??>-? ，的解集是 ． 11.（2009年宁波市）不等式组60 20x x -? 的解是 ． 12.(2009年义乌)不等式组 210 x o x -≤?? >?的解是 13、（2009江西）不等式组23732 x x +>??->-?， 的解集是 ． 14（2009年湘西自治州）3.如果x －y ＜0，那么x 与y 的大小关系是x y ．（填＜或＞符号） 15.（2009年烟台市）如果不等式组2 223 x a x b ?+???-?的解是 ． 17.（2009年新疆乌鲁木齐市）某公司打算至多用1200元印制广告单．已知制版费50元，每印一张广告单还需支付0.3元的印刷费，则该公司可印制的广告单数量x （张）满足的不等式为 ． 18．（2009年孝感）关于x 的不等式组12 x m x m >->+?? ?的解集是1x >-，则m = ▲ ． 19．（2009年厦门市）已知2ab =．（1）若3-≤b ≤1-，则a 的取值范围是____________．（2）若0b >，且2 2 5a b +=，则a b +=____________． 20．(2009武汉)．如图，直线y kx b =+经过(21)A ，，(12)B --，两点，则不等式 1 22 x kx b >+>-的解集为 ． 专题二《方程与不等式》 ●中考点击 考点分析： 命题预测：方程与方程组始终是中考命题的重点内容，近几年全国各地的中考试题中，考查方程和方程组的分值平均占到25%，试卷涉及的主要考点有方程和方程组的解法；一元二次方程根的判别式以及根与系数关系的简单运用；列方程和方程组解应用题三大类问题．其中列一元一次方程求解商品利润问题以选择题为主；一元二次方程的解法以选择题和解答题为主；根的判别式及根与系数的关系以选择题和解答题为主，但难度一般不大；列二元一次方程组解应用题以解答题为主，主要考查解工程类、方案设计类及愉策类问题．结合2007－2008年的中考题不难看出，课改区对方程（组）的考题难度已经有所降低，如根与系数关系的运用，课改区几乎不再考查． 不等式与不等式组的分值一般占到5－8%左右，其常见形式有一元一次不等式（组）的解法，以选择题和填空题为主，考查不等式的解法；不等式（组）解集的数轴表示及整数解问题，以选择题和填空题为主；列不等式（组）解决方案设计问题和决策类问题，以解答题为主．近年试题显示，不等式（组）的考查热点是其应用，即列不等式（组）求解实际生活中的常见问题． 由此可见，在方程（组）与不等式（组）这一专题中，命题趋势将会是弱化纯知识性的考题，而更加热衷于数学知识在生活中的应用问题． ●难点透视 例1解方程： 2 241 1 1 x x x x - = -+- ． 【考点要求】本题考查了分式方程的解法． 【思路点拨】去分母将分式方程转化为整式方程是解分式方程的基本方法，验根只需将结果代入最简公分母即可． 原方程变形为 ) 1)(1(41 21 -+= +- -x x x x x 方程两边都乘以)1)(1(-+x x ，去分母并整 理得022 =--x x ，解这个方程得1,221-==x x ．经检验，2=x 是原方程的根，1 -=x 是原方程的增根．∴原方程的根是2=x ． 【答案】2=x ． 【方法点拨】部分学生在解分式方程时，往往不能拿到全部分数，其中很多人是因为忘记检验．突破方法：牢牢记住分式方程必须验根，检验这一步不可缺少． 高中数学不等式的分 类、解法 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 高中数学简单不等式的分类、解法 一、知识点回顾 1.简单不等式类型：一元一次、二次不等式， 分式不等式，高次不等式，指数、对数不等 式，三角不等式，含参不等式，函数不等式， 绝对值不等式。 2.一元二次不等式的解法 解二次不等式时，将二次不等式整理成首 项系数大于0的一般形式，再求根、结合图像 写出解集 3三个二次之间的关系： 二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系(见复习教材P228) 二次函数的零点---对应二次方程的实根----对应二次不等式解集区间的端点 4.分式不等式的解法 法一：转化为不等式组；法二：化为整式不等式；法三：数轴标根法 5.高次不等式解法 法一：转化为不等式组；法二：数轴标根法 6.指数与对数不等式解法 a>1时)()()()(x g x f a a x g x f >?>； 0)()()(log )(log >>?>x g x f x g x f a a 0初中不等式与不等式组超经典复习
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