2011年江苏省南京市中考数学试卷(解析版)

2011年江苏省南京市中考数学试卷-解析版

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分,在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1、（2011?南京）的值等于（）

A、3

B、﹣3

C、±3

D、

考点：算术平方根。

分析：此题考查的是9的算术平方根，需注意的是算术平方根必为非负数．

解答：解：∵=3，

故选A．

点评：此题主要考查了算术平方根的定义，一个正数只有一个算术平方根，0的算术平方根是0．

2、（2011?南京）下列运算正确的是（）

A、a2+a3=a5

B、a2?a3=a6

C、a3+a2=a

D、（a2）3=a6

考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法。

专题：计算题。

分析：根据合并同类项法则、积的乘方和幂的乘方的法则运算．

解答：解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；

B、a2?a3=a2+3=a5≠a6，故本选项错误；

C、a3与a2不是同类项，不能合并，故本选项错误；

D、（a2）3=a2×3=a6，故本选项正确．

故选D．

点评：此题考查了幂的乘方与积的乘方、合并同类项等知识，属于基本题型．

3、（2011?南京）在第六次全国人口普查中，南京市常住人口约为800万人，其中65岁及以上人口占9.2%，则该市65岁及以上人口用科学记数法表示约为2%，则该市65岁及以上

人口用科学记数法表示约为（）

A、0.736×106人

B、7.36×104人

C、7.36×105人

D、7.36×106人

考点：科学记数法—表示较大的数。

专题：计算题。

分析：先计算出该市65岁及以上人口数，然后用科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

解答：解：该市65岁及以上人口：8000000×9.2%=736000（人）

将736 000人用科学记数法表示7.36×105人．

故选C．

点评：题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4、（2011?南京）为了了解某初中学校学生的视力情况，需要抽取部分学生进行调查．下列抽取学生的方法最合适的是（）

A、随机抽取该校一个班级的学生

B、随机抽取该校一个年级的学生

C、随机抽取该校一部分男生

D、分别从该校初一、初二、初三年级中各随机抽取10%的学生

考点：全面调查与抽样调查。

专题：应用题。

分析：本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．

解答：解：因为要了解初中的视力情况范围较大、难度较大，所以应采取抽样调查的方法比较合适，

本题考查的是调查方法的选择，正确选择调查方式要根据全面调查的优缺点再结合实际情况去分析，

故只有D符合实际并具有普遍性，

故选D．

点评：本题考查了调查方法的选择，正确选择调查方式要根据全面调查的优缺点再结合实际情况去分析，难度适中．

5、（2011?南京）如图是一个三棱柱．下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（）

A、B、

C、D、

考点：展开图折叠成几何体。

专题：几何图形问题。

分析：利用三棱柱及其表面展开图的特点解题．三棱柱上、下两底面都是三角形．

解答：解：A、折叠后有二个侧面重合，不能得到三棱柱；

B、折叠后可得到三棱柱；

C、折叠后有二个底面重合，不能得到三棱柱；

D、多了一个底面，不能得到三棱柱．

故选B．

点评：本题考查了三棱柱表面展开图，上、下两底面应在侧面展开图长方形的两侧，且都是三角形．

6、（2011?南京）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）

A、2

B、2+

C、2

D、2+

考点：一次函数综合题。

专题：综合题。

分析：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PO，PA．分别求出PD、DC，相加即可．

解答：解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PO，PA．

∵AE=AB=，PA=2，

PE==1．

PD=．

∵⊙P的圆心是（2，a），

∴DC=2，

∴a=PD+DC=2+．

故选B．

点评：本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．注意函数y=x与x轴的夹角是45°．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分,不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

7、（2011?南京）﹣2的相反数是 2 ．

考点：相反数。

分析：一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．﹣2的相反数是2．

解答：解：﹣2的相反数是2．

点评：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．

8、（2011?南京）如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥CD，则∠1=

36°．

考点：平行线的性质；多边形内角与外角。

专题：推理填空题。

分析：由已知l∥CD，所以∠1=∠2，又由正五边形ABCDE得∠BAE=540°÷5=108°，从而求出∠1的度数．

解答：解：∵l∥CD，正五边形ABCDE，

∴∠1=∠2，

∠BAE=540°÷5=108°，

∴∠1=∠2=180°﹣∠BAE，

即2∠1=180°﹣108°，

∴∠1=36°．

故答案为：36°．

点评：此题考查的知识点是平行线的性质及正多边形的性质，解题的关键是由正多边形的性质和已知得出答案．

9、（2011?南京）计算（+1）（2﹣）=．

考点：二次根式的混合运算。

分析：根据二次根式的混合运算直接去括号得出，再进行合并同类项即可．

解答：解：（+1）（2﹣），

=2﹣×+1×2﹣1×，

=2﹣2+2﹣，

=．

故答案为：．

点评：此题主要考查了二次根式的混合运算，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并注意认真计算防止出错．

10、（2011?南京）等腰梯形的腰长为5cm，它的周长是22cm，则它的中位线长为 6 cm．考点：梯形中位线定理；等腰梯形的性质。

专题：计算题。

分析：根据等腰梯形的腰长和周长求出AD+BC，根据梯形的中位线定理即可求出答案．

解答：解：∵等腰梯形的腰长为5cm，它的周长是22cm，

∴AD+BC=22﹣5﹣5=12，

∵EF为梯形的中位线，

∴EF=（AD+BC）=6．

故答案为：6．

点评：本题主要考查对等腰梯形的性质，梯形的中位线定理等知识点的理解和掌握，理解梯形的中位线定理[知道EF=（AD+BC）]是解此题的关键．

11、（2011?南京）如图，以0为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为

圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于．

考点：特殊角的三角函数值；等边三角形的判定与性质。

分析：根据作图可以证明△ABC是等边三角形，则∠AOB=60°，据此即可求解．

解答：解：∵OA=OB=AB，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠AOB=60°，

∴cos∠AOB=cos60°=．

故答案是：．

点评：本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确理解△ABC是等边三角形是解题的关键．12、（2011?南京）如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD

的面积为2cm2．

考点：菱形的性质；勾股定理。

分析：因为DE丄AB，E是AB的中点，所以AE=1cm，根据勾股定理可求出BD的长，菱形的面积=底边×高，从而可求出解．

解答：解：∵E是AB的中点，

∴AE=1，

∵DE丄AB，

∴DE==．

∴菱形的面积为：2×=2．

故答案为：2．

点评：本题考查菱形的性质，四边都相等，菱形面积的计算公式以及勾股定理的运用等．13、（2011?南京）如图，海边立有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形（弓形的弧是⊙O的一部分）区域内，∠AOB=80°．为了避免触礁，轮船P与A、B的张角∠APB 的最大值为40°．

考点：圆周角定理；三角形的外角性质。

分析：根据已知得出当P点在圆上时，轮船P与A、B的张角∠APB的最大，根据圆周角定理得出答案．

解答：解：∵海边立有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形（弓形的弧是⊙O 的一部分）区域内，∠AOB=80°．

∴当P点在圆上时，轮船P与A、B的张角∠APB的最大，

此时为∠AOB=80°的一半，为40°．

故答案为：40°．

点评：此题主要考查了圆周角定理的应用，根据条件得出当P点在圆上时，轮船P与A、B 的张角∠APB的最大是解决问题的关键．

14、（2011?南京）如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，BE=CF，连接AE、BF．将△ABE绕正方形的中心按逆时针方向旋转到△BCF，旋转角为α（0°＜α＜180°），则∠α= 90°．

考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质。

分析：首先作出旋转中心，根据多边形的性质即可求解．

解答：解：∵四边形ABCD是正方形．

∴∠AOB=90°，

故α=90°．

故答案是：90°．

点评：本题主要考查了旋转的性质，以及正多边形的性质，正确理解正多边形的性质以及旋转角是解题的关键．

15、（2011?南京）设函数y=与y=x﹣1的图象的交点坐标为（a，b），则﹣的值为﹣

．

考点：反比例函数与一次函数的交点问题。

专题：计算题。

分析：把交点坐标代入2个函数后，得到2个方程，求得a，b的解，整理求得﹣的值即可．

解答：解：∵函数y=与y=x﹣1的图象的交点坐标为（a，b），

∴b=，b=a﹣1，

∴=a﹣1，

a2﹣a﹣2=0，

（a﹣2）（a+1）=0，

解得a=2或a=﹣1，

∴b=1或b=﹣2，

∴则﹣的值为．

故答案为：．

点评：考查函数的交点问题；得到2个方程判断出a，b的值是解决本题的关键．

16、（2011?南京）甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定：

①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6…按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1．当报到的数是50时，报数结束；

②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．在此过程中，甲同学需拍手的次数为 4 ．

考点：规律型：数字的变化类。

分析：根据报数规律得出甲共报数13次，分别为1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，41，45，49，即可得出报出的数为3的倍数的个数，即可得出答案．

解答：解：∵甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6…按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1．当报到的数是50时，报数结束；∴50÷4=12余2，

∴甲共报数13次，分别为1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，41，45，49，

∴报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．在此过程中，甲同学需拍手的次数为：9，21，33，45时，

所以一共有4次．

故答案为：4．

点评：此题主要考查了数字规律，得出甲的报数次数以及分别报数的数据是解决问题的关键．三、解答题（本大题共12小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17、（2011?南京）解不等式组，并写出不等式组的整数解．

考点：一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组。

分析：首先解出两个不等式的解集，然后求出公共解集，找出符合条件的整数解即可．

解答：解：，

由①得：x≥﹣1，

由②得：x＜2，

∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜2，

∴不等式组的整数解是：﹣1，0，1，

点评：此题主要考查了不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

18、（2011?南京）计算．

考点：分式的混合运算。

分析：首先把除法运算转化成乘法运算，然后找出最简公分母，进行通分，化简．

解答：解：原式=﹣?，

=﹣，

=+，

=，

=，

点评：此题主要考查了分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．

19、（2011?南京）解方程x2﹣4x+1=0．

考点：解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法。

分析：将原方程转化为完全平方的形式，利用配方法解答或利用公式法解答．

解答：解：（1）移项得，x2﹣4x=﹣1，

配方得，x2﹣4x+4=﹣1+4，

（x﹣2）2=3，

由此可得x﹣2=±，

x1=2+，x2=2﹣；

（2）a=1，b=﹣4，c=1．

b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×1=12＞0．

x==2±，

x1=2+，x2=2﹣．

点评：此题考查了解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．

（1）选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

（2）选择公式法解一元二次方程时，找准a、b、c的值是关键．

20、（2011?南京）某校部分男生分3组进行引体向上训练．对训练前后的成绩进行统计分析，相应数据的统计图如下．

（1）求训练后第一组平均成绩比训练前增长的百分数；

（2）小明在分析了图表后，声称他发现了一个错误：“训练后第二组男生引体向上个数没有变化的人数占该组人数的50%，所以第二组的平均成绩不可能提高3个这么多．”你同意小明的观点吗？请说明理由；

（3）你认为哪一组的训练效果最好？请提供一个解释来支持你的观点．

考点：条形统计图；扇形统计图。

专题：图表型。

分析：（1）用训练后的成绩减去训练前的成绩除以训练前的成绩乘以100%即可；

（2）求出第二组的平均成绩增加的个数与小明的说法相比较即可作出判断；

（3）可以从训练前后成绩增长的百分数去分析，也可以通过个数比较．

解答：解：（1）训练后第一组平均成绩比训练前增长的百分数是

×100%≈67%；

（2）我不同意小明的观点，因为第二组的平均成绩增加8×10%+6×20%+5×20%+0×50%=3个；

（3）本题答案不唯一，下列解法供参考．

我认为第一组的训练效果最好，因为训练后第一组的平均成绩比训练前增长的百分数最大．点评：本题考查了条形统计图和扇形统计图的知识，解决此类题目的关键是正确的识图，通过正确的识图，从中整理出进一步解题的信息．

21、（2011?南京）如图，将?ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．（1）求证：△ABF≌△ECF；

（2）若∠AFC=2∠D，连接AC、BE，求证：四边形ABEC是矩形．

考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定。

专题：证明题。

分析：（1）先由已知平行四边形ABCD得出AB∥DC，AB=DC，?∠ABF=∠ECF，从而证得△ABF≌△ECF；

（2）由（1）得的结论先证得四边形ABEC是平行四边形，通过角的关系得出FA=FE=FB=FC，AE=BC，得证．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，AB=DC，

∴∠ABF=∠ECF，

∵EC=DC，∴AB=EC，

在△ABF和△ECF中，

∵∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC，

∴△ABF≌△ECF．

（2）∵AB=EC，AB∥EC，

∴四边形ABEC是平行四边形，

∴FA=FE，FB=FC，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABC=∠D，

又∵∠AFC=2∠D，

∴∠AFC=2∠ABC，

∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，

∴∠ABF=∠BAF，

∴FA=FB，

∴FA=FE=FB=FC，

∴AE=BC，

∴四边形ABEC是矩形．

点评：此题考查的知识点是平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质及举行的判定，关键是先由平行四边形的性质证三角形全等，然后推出平行四边形通过角的关系证矩形．22、（2011?南京）小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍．小颖在小亮出发后50min 才乘上缆车，缆车的平均速度为180m/min．设小亮出发x min后行走的路程为y m，图中的折线表示小亮在整个行走过程中y与x的函数关系．

（1）小亮行走的总路程是3600 m，他途中休息了20 min；

（2）①当50＜x＜80时，求y与x的函数关系式；②当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少？

考点：一次函数的应用。

专题：应用题。

分析：（1）纵坐标为小亮行走的路程，其休息的时间为纵坐标不随x的值的增加而增加；（2）根据当50＜x＜80时函数图象经过的两点的坐标，利用待定系数法求得函数的解析式即可．

解答：解：（1）3600，20；

（2）①当50≤x≤80时，设y与x的函数关系式为y=kx+b，

根据题意，当x=50时，y=1950；当x=80时，y=3600

∴

解得：

∴函数关系式为：y=55x﹣800．

②缆车到山顶的线路长为3600÷2=1800米，

缆车到达终点所需时间为1800÷180=10分钟

小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间为10+50=60分钟，

把x=60代入y=55x﹣800，得y=55×60﹣800=2500

∴当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是3600﹣2500=1100米．

点评：本题考查了一次函数的应用，解决此类题目最关键的地方是经过认真审题，从中整理出一次函数模型，用一次函数的知识解决此类问题．

23、（2011?南京）从3名男生和2名女生中随机抽取2014年南京青奧会志愿者．求下列事件的概率：

（1）抽取1名，恰好是女生；

（2）抽取2名，恰好是1名男生和1名女生．

考点：列表法与树状图法；概率公式。

专题：数形结合。

分析：（1）女生人数除以学生总数即为所求概率；

（2）列举出所有情况，看恰好是1名男生和1名女生的情况数占总情况数的多少即可．

解答：解：（1）5名学生中有2名女生，，所以抽取1名，恰好是女生的概率为；

（2）共有20种情况，恰好是1名男生和1名女生的情况数有12种，所以概率为

．

点评：考查求概率问题；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的关键．

24、（2011?南京）已知函数y=mx2﹣6x+1（m是常数）．

（1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；

（2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．

考点：抛物线与x轴的交点；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征。专题：计算题。

分析：（1）根据解析式可知，当x=0时，与m值无关，故可知不论m为何值，函数y=mx2﹣6x+1的图象都经过y轴上一个定点（0，1）．

（2）应分两种情况讨论：①当函数为一次函数时，与x轴有一个交点；

②当函数为二次函数时，利用根与系数的关系解答．

解答：解：（1）当x=0时，y=1．

所以不论m为何值，函数y=mx2﹣6x+1的图象都经过y轴上一个定点（0，1）；

（2）①当m=0时，函数y=﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点；

②当m≠0时，若函数y=mx2﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2﹣6x+1=0有两个相等的实数根，

所以△=（﹣6）2﹣4m=0，m=9．

综上，若函数y=mx﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点或一次函数与x轴的交点，是典型的分类讨论思想的应用．

25、（2011?南京）如图，某数学课外活动小组测量电视塔AB的高度．他们借助一个高度为30m的建筑物CD进行测量，在点C处测得塔顶B的仰角为45°，在点E处测得B的仰角为37°（B、D、E三点在一条直线上）．求电视塔的高度h．

（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。

分析：在Rt△ECD中，根据三角函数即可求得EC，然后在Rt△BAE中，根据三角函数即可求得电视塔的高．

解答：解：在Rt△ECD中，tan∠DEC=，

∴EC=≈=40（m），

在Rt△BAE中，tan∠BEA=，

∴=0.75，

∴h=120（m），

答：电视塔的高度约为120m．

点评：本题主要考查了仰角俯角的定义，正确理解三角函数的定义是解决本题的关键．26、（2011?南京）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．

（1）当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；

（2）已知⊙O为△ABC的外接圆．若⊙P与⊙O相切，求t的值．

考点：圆与圆的位置关系；勾股定理；直线与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质。专题：几何综合题；动点型。

分析：（1）根据已知求出AB=10cm，进而得出△PBD∽△ABC，利用相似三角形的性质得出圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径，即可得出直线AB与⊙P相切；

（2）根据BO=AB=5cm，得出⊙P与⊙O只能内切，进而求出⊙P与⊙O相切时，t的值．解答：解：（1）直线AB与⊙P相切，

如图，过P作PD⊥AB，垂足为D，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∵A B=6cm，BC=8cm，

∴AB=10cm，

∵P为BC中点，

∴PB=4cm，

∵∠PDB=∠ACB=90°，

∠PBD=∠ABC，

∴△PBD∽△ABC，

∴，

即，

∴PD=2.4（cm），

当t=1.2时，PQ=2t=2.4（cm），

∴PD=PQ，即圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径，

∴直线AB与⊙P相切；

（2）∵∠ACB=90°，

∴AB为△ABC的外接圆的直径，

∴BO=AB=5cm，

连接OP，

∵P为BC中点，∴PO=AC=3cm，

∵点P在⊙O内部，∴⊙P与⊙O只能内切，

∴5﹣2t=3，或2t﹣5=3，

∴t=1或4，

∴⊙P与⊙O相切时，t的值为1或4．

点评：此题主要考查了相似三角形的性质与判定以及直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系，正确判定直线与圆的位置关系是重点知识同学们应重点复习．

27、（2011?南京）如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC 中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．

（1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE丄CD，垂足为E．试说明E是△ABC的自相似点；

（2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．

①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；

②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．

考点：相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形的内切圆与内心；作图—复杂作图。

专题：作图题；几何综合题。

分析：（1）根据已知条件得出∠BEC=∠ACB，以及∠BCE=∠ABC，得出△BCE∽△ACB，即可得出结论；

（2）①根据做一角等于已知角即可得出△A BC的自相似点；

②根据∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC=∠2∠PBC=2∠A，∠ACB=2∠BCP=4∠A，即可得出各内角的度数．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上的中线，

∴CD=AB，

∴CD=BD，

∴∠BCE=∠ABC，

∵BE⊥CD，∴∠BEC=90°，

∴∠BEC=∠ACB，

∴△BCE∽△ACB，

∴E是△ABC的自相似点；

（2）①如图所示，

做法：①在∠ABC内，作∠CBD=∠A，；

②在∠ACB内，作∠BCE=∠ABC，BD交CE于点P，

则P为△ABC的自相似点；

②∵P是△ABC的内心，