2020年中考数学复习之挑战压轴题(解答题)：四边形综合题(15题)

2020年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：四边形综合题（15

题）

一、解答题（共15小题）

1．（2019?盘锦）如图，四边形ABCD是菱形，120

BAD

∠=?，点E在射线AC上（不包括点A和点)

C，过点E的直线GH交直线AD于点G，交直线BC于点H，且//

GH DC，点F在BC的延长线上，CF AG

=，连接ED，EF，DF．

（1）如图1，当点E在线段AC上时，

①判断AEG

?的形状，并说明理由．

②求证：DEF

?是等边三角形．

（2）如图2，当点E在AC的延长线上时，DEF

?是等边三角形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由．

2．（2019秋?雁塔区校级月考）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB AD

=，180

B D

∠+∠=?，

E，F分别是边BC，CD上的点，且

1

2

EAF BAD

∠=∠，则BE，EF，DF之间的数量关

系是．

（2）如图2，若E，F分别是边BC，CD延长线上的点，其他条件不变，则BE，EF，DF 之间的数量关系是什么？请说明理由．

（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处）北偏西30?的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70?的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动命令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50?的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观察到舰艇甲、乙分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O 连线的夹角70

EOF

∠=?，试求此时两舰艇之间的距离．

3．（2018?河西区二模）将一个等边三角形纸片AOB放置在平面直角坐标系中，点(0,0)

O，点(6,0)

B．点C、D分别在OB、AB边上，//

DC OA，23

CB=．

()I如图①，将DCB

?沿射线CB方向平移，得到△D C B

'''．当点C平移到OB的中点时，求点D'的坐标；

()

II如图②，若边D C''与AB的交点为M，边D B''与ABB

∠'的角平分线交于点N，当BB'多大时，四边形MBND'为菱形？并说明理由．

()

III若将DCB

?绕点B顺时针旋转，得到△D C B

''，连接AD'，边D C''的中点为P，连接AP，当AP最大时，求点P的坐标及AD'的值．（直接写出结果即可）．

4．（2017?潮阳区模拟）如图（1），在ABC

?中，AB AC

=，90

BAC

∠=?，AD BC

⊥于点D，20

BC cm

=，10

AD cm

=．点P从点B出发，在线段BC上以每秒2cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线l从点A沿AD出发，以每秒1cm的速度沿AD方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于M、N、E．当点P到达点C时，点P与直线l同时停止运动，设运动时间为t秒(0)

t>．

（1）在运动过程中（点P不与B、C重合），连接PN，求证：四边形MBPN为平行四边形；

（2）如图（2），以MN为边向下作正方形MFGN，FG交AD于点H，连结PF、PG，

当

10

3

t<<时，求PFG

?的面积最大值；

（3）在整个运动过程中，观察图（2）、（3），是否存在某一时刻t，使PFG

?为等腰三角形？

若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．

5．（2019?工业园区一模）如图①，在矩形ABCD 中，动点P 从点A 出发，以1/cm s 的速度沿AD 向终点D 移动，设移动时间为()t s ，连接PC ，以PC 为一边作正方形PCEF ，连接DE 、

DF ，设PCD ?的面积为2()y cm ，y 与t 之间的函数关系如图②所示．

（1）AB = cm ，AD = cm ；

（2）当t 为何值时，DEF ?的面积最小？请求出这个最小值； （3）当t 为何值时，DEF ?为等腰三角形？请简要说明理由．

6．（2017秋?市南区期末）如图，在平行四边形ABCD 中，AC BC ⊥，10AB =．6AC =．动点P 在线段BC 上从点B 出发沿BC 方向以每秒1个单位长的速度匀速运动；动点Q 在线段DC 上从点D 出发沿DC 的力向以每秒1个单位长的速度匀速运动，过点P 作PE BC ⊥．交线段AB 于点E ．若P 、Q 两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运

动随之停止，设运动时间为t 秒． （1）当t 为何值时，//QE BC ？

（2）设PQE ?的面积为S ，求出S 与t 的函数关系式：

（3）是否存在某一时刻t ，使得PQE ?的面积S 最大？若存在，求出此时t 的值； 若不存在，请说明理由．

（4）是否存在某一时刻t，使得点Q在线段EP的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；

若不存在，请说明理由．

7．（2019?湘潭）如图一，在射线DE的一侧以AD为一条边作矩形ABCD，53

AD=，CD=，点M是线段AC上一动点（不与点A重合），连结BM，过点M作BM的垂线交5

射线DE于点N，连接BN．

（1）求CAD

∠的大小；

（2）问题探究：动点M在运动的过程中，

①是否能使AMN

?为等腰三角形，如果能，求出线段MC的长度；如果不能，请说明理由．②MBN

∠的大小；若改变，请说明理由．∠的大小是否改变？若不改变，请求出MBN

（3）问题解决：

如图二，当动点M运动到AC的中点时，AM与BN的交点为F，MN的中点为H，求线段FH的长度．

8．（2019?抚顺）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边CD，BC上，且DE CF

=，点P 在射线BC上（点P不与点F重合）．将线段EP绕点E顺时针旋转90?得到线段EG，过点E作GD的垂线QH，垂足为点H，交射线BC于点Q．

（1）如图1，若点E是CD的中点，点P在线段BF上，线段BP，QC，EC的数量关系为．（2）如图2，若点E不是CD的中点，点P在线段BF上，判断（1）中的结论是否仍然成

立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

（3）正方形ABCD 的边长为6，3AB DE =，1QC =，请直接写出线段BP 的长．

9．（2019?舟山）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展． （1）温故：如图1，在ABC ?中，AD BC ⊥于点D ，正方形PQMN 的边QM 在BC 上，顶点P ，N 分别在AB ，AC 上，若BC a =，AD h =，求正方形PQMN 的边长（用a ，h 表示）．

（2）操作：如何画出这个正方形PQMN 呢？

如图2，小波画出了图1的ABC ?，然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：先在AB 上任取一点P '，画正方形P Q M N ''''，使点Q '，M '在BC 边上，点N '在ABC ?内，然后连结BN '，并延长交AC 于点N ，画NM BC ⊥于点M ，NP NM ⊥交AB 于点P ，PQ BC ⊥于点Q ，得到四边形PQMN ．

（3）推理：证明图2中的四边形PQMN 是正方形．

（4）拓展：小波把图2中的线段BN 称为“波利亚线”，在该线上截取NE NM =，连结EQ ，EM （如图3)，当90QEM ∠=?时，求“波利亚线” BN 的长（用a ，h 表示）． 请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．

10．（2019?吉林）性质探究

如图①，在等腰三角形ABC 中，120ACB ∠=?，则底边AB 与腰AC 的长度之比为 ． 理解运用

（1）若顶角为120?的等腰三角形的周长为83+，则它的面积为 ；

（2）如图②，在四边形EFGH中，EF EG EH

==．

①求证：EFG EHG FGH

∠+∠=∠；

②在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN．若120

EF=，直接写出

FGH

∠=?，10

线段MN的长．

类比拓展

顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为（用含α的式子表示）．

11．（2019?无锡）如图1，在矩形ABCD中，3

BC=，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向移动，作PAB

?关于直线PA的对称PAB

?'，设点P的运动时间为t s．

()

（1）若23

AB=．

①如图2，当点B'落在AC上时，显然PAB

?'是直角三角形，求此时t的值；

②是否存在异于图2的时刻，使得PCB

?'是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由．

（2）当P点不与C点重合时，若直线PB'与直线CD相交于点M，且当3

t<时存在某一时刻有结论45

∠=?”是否总

PAM

PAM

t>的任意时刻，结论“45∠=?成立，试探究：对于3

是成立？请说明理由．

12．（2019?绵阳）如图，在以点O为中心的正方形ABCD中，4

AD=，连接AC，动点E从点O出发沿O C

→以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C停止．在运动过程中，?的外接圆交AB于点F，连接DF交AC于点G，连接EF，将EFG

ADE

?沿EF翻折，得到EFH

?．

（1）求证：DEF

?是等腰直角三角形；

（2）当点H恰好落在线段BC上时，求EH的长；

（3）设点E运动的时间为t秒，EFG

?的面积为S，求S关于时间t的关系式．

13．（2019?岳阳）操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C'处．点P为直线EF上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN．

（1）如图1，求证：BE BF

=；

（2）特例感知：如图2，若5

CF=，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形

DE=，2

PMQN的周长；

（3）类比探究：若DE a

=．

=，CF b

①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；

②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系．（不要求写证明过程）

14．（2019?资阳）在矩形ABCD中，连结AC，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着B A C

⊥于点F，在矩形ABCD →→的路径运动，运动时间为t（秒)．过点E作EF BC

的内部作正方形EFGH．

（1）如图，当8

==时，

AB BC

①若点H在ABC

=；

?的内部，连结AH、CH，求证：AH CH

②当08t <…时，设正方形EFGH 与ABC ?的重叠部分面积为S ，求S 与t 的函数关系式； （2）当6AB =，8BC =时，若直线AH 将矩形ABCD 的面积分成1:3两部分，求t 的值．

15．（2019?益阳）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的边4AB =，6BC =．若不改变矩形ABCD 的形状和大小，当矩形顶点A 在x 轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D 始终在y 轴的正半轴上随之上下移动． （1）当30OAD ∠=?时，求点C 的坐标；

（2）设AD 的中点为M ，连接OM 、MC ，当四边形OMCD 的面积为

21

2

时，求OA 的长； （3）当点A 移动到某一位置时，点C 到点O 的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos OAD ∠的值．

2020年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：四边形综合题（15

题）

参考答案与试题解析

一、解答题（共15小题）

1．（2019?盘锦）如图，四边形ABCD 是菱形，120BAD ∠=?，点E 在射线AC 上（不包括点A 和点)C ，过点E 的直线GH 交直线AD 于点G ，交直线BC 于点H ，且//GH DC ，点

F 在BC 的延长线上，CF A

G =，连接ED ，EF ，DF ．

（1）如图1，当点E 在线段AC 上时， ①判断AEG ?的形状，并说明理由． ②求证：DEF ?是等边三角形．

（2）如图2，当点E 在AC 的延长线上时，DEF ?是等边三角形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由．

【考点】LO ：四边形综合题

【专题】554：等腰三角形与直角三角形；152：几何综合题；556：矩形 菱形 正方形；553：图形的全等

【分析】（1）①由菱形的性质得出//AD BC ，AB BC CD AD ===，//AB CD ，1

602

CAD BAD ∠=∠=?，由平行线的性质得出180BAD ADC ∠+∠=?，60ADC ∠=?，

60AGE ADC ∠=∠=?，得出60AGE EAG AEG ∠=∠=∠=?，即可得出AEG ?是等边三角形； ②由等边三角形的性质得出AG AE =，由已知得出AE CF =，由菱形的性质得出120BCD BAD ∠=∠=?，得出60DCF CAD ∠=?=∠，证明()AED CFD SAS ???，得出

DE DF =，ADE CDF ∠=∠，再证出60EDF ∠=?，即可得出DEF ?是等边三角形；

（2）同（1）①得：AEG ?是等边三角形，得出AG AE =，由已知得出AE CF =，由菱形的性质得出120BCD BAD ∠=∠=?，1

602

CAD BAD ∠=∠=?，得出60FCD CAD ∠=?=∠，证

明()AED CFD SAS ???，得出DE DF =，ADE CDF ∠=∠，再证出60EDF ∠=?，即可得出

DEF ?是等边三角形．

【解答】（1）①解：AEG ?是等边三角形；理由如下： Q 四边形ABCD 是菱形，120BAD ∠=?，

//AD BC ∴，AB BC CD AD ===，//AB CD ，1

602

CAD BAD ∠=∠=?，

180BAD ADC ∴∠+∠=?， 60ADC ∴∠=?， //GH DC Q ，

60AGE ADC ∴∠=∠=?， 60AGE EAG AEG ∴∠=∠=∠=?， AEG ∴?是等边三角形；

②证明：AEG ?Q 是等边三角形， AG AE ∴=， CF AG =Q ， AE CF ∴=，

Q 四边形ABCD 是菱形，

120BCD BAD ∴∠=∠=?， 60DCF CAD ∴∠=?=∠，

在AED ?和CFD ?中，AD CD EAD FCD AE CF =??

∠=∠??=?

，

()AED CFD SAS ∴???

DE DF ∴=，ADE CDF ∠=∠，

60ADC ADE CDE ∠=∠+∠=?Q ， 60CDF CDE ∴∠+∠=?，

即60EDF ∠=?，

DEF ∴?是等边三角形；

（2）解：DEF ?是等边三角形；理由如下： 同（1）①得：AEG ?是等边三角形， AG AE ∴=，

CF AG

=

Q，

AE CF

∴=，

Q四边形ABCD是菱形，

120

BCD BAD

∴∠=∠=?，

1

60

2

CAD BAD

∠=∠=?，

60

FCD CAD ∴∠=?=∠，

在AED

?和CFD

?中，

AD CD

EAD FCD AE CF

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

()

AED CFD SAS

∴???，

DE DF

∴=，ADE CDF

∠=∠，

60

ADC ADE CDE

∠=∠-∠=?

Q，

60

CDF CDE

∴∠-∠=?，

即60

EDF

∠=?，

DEF

∴?是等边三角形．

【点评】本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．

2．（2019秋?雁塔区校级月考）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB AD

=，180

B D

∠+∠=?，

E，F分别是边BC，CD上的点，且

1

2

EAF BAD

∠=∠，则BE，EF，DF之间的数量关

系是EF BE DF

=+．

（2）如图2，若E，F分别是边BC，CD延长线上的点，其他条件不变，则BE，EF，DF 之间的数量关系是什么？请说明理由．

（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处）北偏西30?的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70?的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动命令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50?的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观察到舰艇甲、乙分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O 连线的夹角70

EOF

∠=?，试求此时两舰艇之间的距离．

【考点】LO ：四边形综合题

【专题】67：推理能力；152：几何综合题；553：图形的全等

【分析】（1）延长FD 到点G ．使DG BE =．连结AG ，证明ABE ADG ???，根据全等三角形的性质得到AE AG =，证明AEF AGF ???，得得EF FG =，证明结论；

（2）在CB 上截取BM DF =，连接AM ，证ABM ADF ???，推出AF AM =，

DAF BAM ∠=∠，求出EAM EAF ∠=∠，证FAE MAE ???，推出EF EM =，即可得出结

果；

（3）延长AE 、BF 相交于点C ，然后根据（1）中的方法可得两舰艇之间的距离． 【解答】解：（1）延长FD 到点G ，使DG BE =，连结AG ，如图1所示： 在ABE ?和ADG ?中，90BE DG

B ADG AB AD =??

∠=∠=???=?

，

()ABE ADG SAS ∴???， AE AG ∴=，BAE DAG ∠=∠， 1

2

EAF BAD ∠=∠Q ，

GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=∠， 在AEF ?和GAF ?中，AE AG EAF GAF AF AF =??

∠=∠??=?

，

()AEF AGF SAS ∴???， EF FG ∴=，

FG DG DF BE DF =+=+Q ，

EF BE DF ∴=+，

故答案为：EF BE DF =+；

（2）BE ，EF ，DF 之间的数量关系是：EF BE DF =-；理由如下： 在CB 上截取BM DF =，连接AM ，如图2所示： 180B D ∠+∠=?Q ，180ADC ADF ∠+∠=?，

B ADF ∴∠=∠，

在ABM ?和ADF ?中，AB AD B ADF BM DF =??

∠=∠??=?

，

()ABM ADF SAS ∴???，

AF AM ∴=，DAF BAM ∠=∠， BAD MAF ∴∠=∠， 2BAD EAF ∠=∠Q ， 2MAF EAF ∴∠=∠， MAE EAF ∴∠=∠，

在FAE ?和MAE ?中，AE AE FAE MAE AF AM =??

∠=∠??=?

，

()FAE MAE SAS ∴???，

EF EM BE BM BE DF ∴==-=-，

即EF BE DF =-；

（3）连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ，如图3所示： 3090(9070)140AOB ∠=?+?+?-?=?Q ，70EOF ∠=?， 1

2

EOF AOB ∴∠=∠，

OA OB =Q ，(9030)(7050)180OAC OBC ∠+∠=?-?+?+?=?，

∴符合（1）中的条件，即结论EF AE BF =+成立，

1.5(6080)210EF ∴=?+=（海里）． 答：此时两舰艇之间的距离是210海里．

【点评】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质等知识；通过作辅助线构建三角形全等是解题的关键．

3．（2018?河西区二模）将一个等边三角形纸片AOB放置在平面直角坐标系中，点(0,0)

O，点(6,0)

B．点C、D分别在OB、AB边上，//

CB=

DC OA，23

()I如图①，将DCB

'''．当点C平移到OB的中点时，求?沿射线CB方向平移，得到△D C B

点D'的坐标；

II如图②，若边D C''与AB的交点为M，边D B''与ABB

()

∠'的角平分线交于点N，当BB'多大时，四边形MBND'为菱形？并说明理由．

III若将DCB

()

''，连接AD'，边D C''的中点为P，连接?绕点B顺时针旋转，得到△D C B

AP，当AP最大时，求点P的坐标及AD'的值．（直接写出结果即可）．

【考点】LO ：四边形综合题 【专题】153：代数几何综合题

【分析】（Ⅰ）如图①中，作DH BC ⊥于H ．首先求出点D 坐标，再求出CC '的长即可解决问题；

（Ⅱ）当3BB '=时，四边形MBND '是菱形．首先证明四边形MBND '是平行四边形，再证明BB BC '='即可解决问题；

（Ⅲ）在ABP ?中，由三角形三边关系得，AP AB BP <+，推出当点A ，B ，P 三点共线时，AP 最大；

【解答】解：（Ⅰ）如图①中，作DH BC ⊥于H ．

AOB ?Q 是等边三角形，//DC OA ，

60DCB AOB ∴∠=∠=?，60CDB A ∠=∠=?， CDB ∴?是等边三角形， 23CB =Q DH CB ⊥， 3CH HB ∴=3DH =，

(63D ∴-3)，

3C B '=Q ， 233CC ∴'=， 233DD CC ∴'='=，

(33D ∴'+，3)．

（Ⅱ）当3BB '=时，四边形MBND '是菱形． 理由：如图②中，

ABC ?Q 是等边三角形， 60ABO ∴∠=?，

180120ABB ABO '∴∠=?-∠=?， BN Q 是ACC '∠的角平分线， 1

602

NBB ABB D C B ''∴∠'=∠=?=∠''，

//D C BN ''∴，//AB B D ''Q

∴四边形MBND '是平行四边形，

60ME C MCE '''∠=∠=?Q ，60NCC NC C ''∠=∠=?，

∴△MC B ''和NBB '?是等边三角形，

MC CE '∴=，NC CC '=， 23B C ''=Q

Q 四边形MBND '是菱形，

BN BM ∴=， 1

32

BB B C '''∴=

=

（Ⅲ）如图连接BP ，

在ABP ?中，由三角形三边关系得，AP AB BP <+，

∴当点A ，B ，P 三点共线时，AP 最大，

如图③中，在△D BC ''中，由P 为D C ''的中点，得AP D C ''⊥，3PD '= 3CP ∴=， 639AP ∴=+=，

在Rt APD '?中，由勾股定理得，22221AD AP PD '=+'= 此时15

(2

P ，33．

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的性质，平移和旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解（2）的关键是四边形MCND '是平行四边形，解（3）的关键是判断出点A ，C ，P 三点共线时，AP 最大．

4．（2017?潮阳区模拟）如图（1），在ABC ?中，AB AC =，90BAC ∠=?，AD BC ⊥于点D ，

20BC cm =，10AD cm =．点P 从点B 出发，在线段BC 上以每秒2cm 的速度向点C 匀速

运动，与此同时，垂直于AD 的直线l 从点A 沿AD 出发，以每秒1cm 的速度沿AD 方向匀速平移，分别交AB 、AC 、AD 于M 、N 、E ．当点P 到达点C 时，点P 与直线l 同时停止运动，设运动时间为t 秒(0)t >．

（1）在运动过程中（点P 不与B 、C 重合），连接PN ，求证：四边形MBPN 为平行四边形；

（2）如图（2），以MN 为边向下作正方形MFGN ，FG 交AD 于点H ，连结PF 、PG ，当10

03

t <<

时，求PFG ?的面积最大值； （3）在整个运动过程中，观察图（2）、（3），是否存在某一时刻t ，使PFG ?为等腰三角形？若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．

【考点】LO ：四边形综合题

【分析】（1）证出//l BC ，得出比例式

AM AN

AB AC

=

，证出AM AN =，得出ME NE =，因此22MN AE t ==，证出MN BP =，即可得出四边形MBPN 为平行四边形；

（2）由正方形的性质得出22FG MN MF AE t ====，求出103DH AD AH t =-=-，得出21525

3()233

PFG S FG DH t ?=

=--+

g ，由二次函数的最值即可得出答案； （3）利用勾股定理得：222(103)PF t =-，222(103)(10)PG t t =-+-，22(2)FG t =，分三种情况讨论，得出方程，解方程即可． 【解答】（1）证明：l AD ⊥Q ，BC AD ⊥， //l BC ∴，

∴

AM AN AB AC

=

， AB AC =Q ，

AM AN ∴=，90BAC ∠=?Q ， ME NE ∴=， 22MN AE t ∴==， 2BP t =Q ， MN BP ∴=，

∴四边形MBPN 为平行四边形；

（2）解：Q 四边形MFGN 是正方形， 22FG MN MF AE t ∴====， 2EH MF t ==Q ，

103DH AD AH t ∴=-=-，

211525

2(103)3()2233

PFG S FG DH t t t ?∴=

=??-=--+

g ， 30a =-

03

t <<

， ∴当53t =

时，PFG S ?最大253

=；

（3）解：存在，当307

t ±=

或5t =或10t =时，PFG ?为等腰三角形；理由如下： 利用勾股定理得：222(103)PF t =-，222(103)(10)PG t t =-+-，又22(2)FG t =， 当PF FG =时，则222(103)(2)t t -=，

解得：t =

当PF PG =时，2222(103)(103)(10)t t t -=-+-， 解得：5t =，或0t =（舍去）；

当FG PG =时，222(2)(103)(10)t t t =-+-， 解得：10t =，或10

3

t =（舍去）；

综上所述，t 或5t =或10t =时，PFG ?为等腰三角形． 【点评】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定、正方形的性质、等腰三角形的判定、二次函数的最值、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大．

5．（2019?工业园区一模）如图①，在矩形ABCD 中，动点P 从点A 出发，以1/cm s 的速度沿AD 向终点D 移动，设移动时间为()t s ，连接PC ，以PC 为一边作正方形PCEF ，连接DE 、

DF ，设PCD ?的面积为2()y cm ，y 与t 之间的函数关系如图②所示．

（1）AB = 2 cm ，AD = cm ；

（2）当t 为何值时，DEF ?的面积最小？请求出这个最小值； （3）当t 为何值时，DEF ?为等腰三角形？请简要说明理由．

【考点】LO ：四边形综合题 【专题】152：几何综合题

【分析】（1）根据图②三角形PCD 的面积，可得矩形的长和宽；

（2）由题意得：AP t =，5PD t =-，根据三角形面积公式可得y 与t 的关系式，由图②得：1

2

DEF PDC EFPC S S S ??+=正方形，代入可得结论；

（3）当DEF ?为等腰三角形时，分四种情况进行讨论，根据全等三角形的性质计算PD 和AP 的长，可得t 的值．

【解答】解：（1）由图②知：5AD =， 当0t =时，P 与A 重合，1

52y AD CD =??=，

1

552

CD ??=， 2CD cm =，

Q 四边形ABCD 是矩形，

2AB CD cm ∴==，

故答案为：2，5；

（2）由题意得：AP t =，5PD t =-， 112(5)522y CD PD t t ∴==-=-g g g ，

Q 四边形EFPC 是正方形，

1

2

DEF PDC EFPC S S S ??∴+=正方形，

222PC PD CD =+Q ，

22222(5)1029PC t t t ∴=+-=-+，

2020年中考数学挑战压轴题(含答案)

2020 挑战压轴题中考数学 精讲解读篇 因动点产生的相似三角形问题 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点． （1）求直线AB的函数表达式； （2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t＜2）是射线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值． 2．如图，已知BC是半圆O的直径，BC=8，过线段BO上一动点D，作AD⊥BC 交半圆O于点A，联结AO，过点B作BH⊥AO，垂足为点H，BH的延长线交半圆O于点F． （1）求证：AH=BD； （2）设BD=x，BE?BF=y，求y关于x的函数关系式； （3）如图2，若联结FA并延长交CB的延长线于点G，当△FAE与△FBG相似时，求BD的长度．

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（3，0）、B（0，m）（m＞0），tan∠BAO=2． （1）求直线AB的表达式； （2）反比例函数y=的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BD＜BC），当AD=2DB时，求k1的值； （3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y=的图象于点F，分别联结OE、OF，当△OEF∽△OBE时，请直接写出满足条件的所有k2的值． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=7，点D是边CA延长线的一点，AE⊥BD，垂足为点E，AE的延长线交CA的平行线BF于点F，连结CE交AB于点G． （1）当点E是BD的中点时，求tan∠AFB的值； （2）CE?AF的值是否随线段AD长度的改变而变化？如果不变，求出CE?AF的值；如果变化，请说明理由； （3）当△BGE和△BAF相似时，求线段AF的长．

中考数学压轴题解题方法大全及技巧

专业资料整理分享 中考数学压轴题解题技巧 湖北竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是

列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想：

中考数学四边形经典证明题含答案

1．如图，正方形ABCD 和正方形A ′OB ′C ′是全等图形，则当正方形A?′OB ′C ′绕正方形 ABCD 的中心O 顺时针旋转的过程中． （1）四边形OECF 的面积如何变化． （2）若正方形ABCD 的面积是4，求四边形OECF 的面积． 解：在梯形ABCD 中由题设易得到： △ABD 是等腰三角形，且∠ABD=∠CBD=∠ADB=30°． 过点D 作DE ⊥BC ，则DE=1 2BD=23，BE=6 ．过点A 作AF ⊥BD 于F ，则AB=AD=4． 故S 梯形ABCD =12+43． 2．如图，ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，EF ⊥AC 交CD 于E ，交AB 于F ，问四边形AFCE 是菱形吗？请说明理由． 解：四边形AFCE 是菱形． ∵四边形ABCD 是平行四边形． ∴OA=OC ，CE ∥AF ． ∴∠ECO=∠FAO ，∠AFO=∠CEO ． ∴△EOC ≌△FOA ，∴CE=AF ． 而CE ∥AF ，∴四边形AFCE 是平行四边形． 又∵EF 是垂直平分线，∴ AE=CE ．∴四边形AFCE 是菱形． 3．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，?垂足分别为E 、F ．求证：（1）△BDE ≌CDF ．（2）△ABC 是直角三角形时，四边形AEDF 是正方形．

19．证明：（1）,90D BC BD CD DE AB DF AC BED CFD B C 是的中点 △BDE ≌△CDF ． （2）由∠A=90°，DE ⊥AB ，DF ⊥AC 知： AEDF BED CFE DE DF 四边形是矩形 矩形AEDF 是正方形．4．如图，ABCD 中，E 、F 为对角线AC 上两点，且AE=CF ，问：四边形EBFD 是平行四边形吗？为什么？ 解：四边形EBFD 是平行四边形．在 ABCD 中，连结BD 交AC 于点O ， 则OB=OD ，OA=OC ．又∵AE=CF ，∴OE=OF ． ∴四边形EBFD 是平行四边形．5．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝3 cm ，BC ＝4 cm ．现将A ，C 重合，使纸片 折叠压平，设折痕为EF ，试求AF 的长和重叠部分△AEF 的面积． 【提示】把AF 取作△AEF 的底，AF 边上的高等于AB ＝3． 由折叠过程知，EF 经过矩形的对称中心，FD ＝BE ，AE ＝CE ＝AF ．由此可以在△ABE 中使用勾股定理求AE ，即求得AF 的长． 【答案】如图，连结AC ，交EF 于点O ， 由折叠过程可知，OA ＝OC ， ∴O 点为矩形的对称中心．E 、F 关于O 点对称，B 、D 也关于O 点对称． ∴BE ＝FD ，EC ＝AF ，

2020年版挑战中考数学压轴题详解(115页)

目录 第一部分函数图象中点的存在性问题 1.1 因动点产生的相似三角形问题 例1 上海市中考第24题 例2 苏州市中考第29题 例3 黄冈市中考第25题 例4 义乌市中考第24题 例5 临沂市中考第26题 例6 苏州市中考第29题 1.2 因动点产生的等腰三角形问题 例1 上海市虹口区中考模拟第25题 例2 扬州市中考第27题 例3 临沂市中考第26题 例4 湖州市中考第24题 例5 盐城市中考第28题 例6 南通市中考第27题 例7 江西省中考第25题 1.3 因动点产生的直角三角形问题 例1 山西省中考第26题 例2 广州市中考第24题 例3 杭州市中考第22题 例4 浙江省中考第23题 例5 北京市中考第24题 例6 嘉兴市中考第24题 例7 河南省中考第23题 1.4 因动点产生的平行四边形问题 例1 上海市松江区中考模拟第24题 例2 福州市中考第21题 例3 烟台市中考第26题 例4 上海市中考第24题 例5 江西省中考第24题 例6 山西省中考第26题 例7 江西省中考第24题 1.5 因动点产生的梯形问题 例1 上海市松江中考模拟第24题 例2 衢州市中考第24题 例4 义乌市中考第24题

例5 杭州市中考第24题 例7 广州市中考第25题 1.6 因动点产生的面积问题 例1 苏州市中考第29题 例2 菏泽市中考第21题 例3 河南省中考第23题 例4 南通市中考第28题 例5 广州市中考第25题 例6 扬州市中考第28题 例7 兰州市中考第29题 1.7 因动点产生的相切问题 例1 上海市杨浦区中考模拟第25题 例2 河北省中考第25题 例3 无锡市中考第28题 1.8 因动点产生的线段和差问题 例1 天津市中考第25题 例2 滨州市中考第24题 例3 山西省中考第26题 第二部分图形运动中的函数关系问题 2.1 由比例线段产生的函数关系问题 例1 宁波市中考第26题 例2 上海市徐汇区中考模拟第25题 例3 连云港市中考第26题 例4 上海市中考第25题 2.2 由面积公式产生的函数关系问题 例1 菏泽市中考第21题 例2 广东省中考第22题 例3 河北省中考第26题 例4 淮安市中考第28题 例5 山西省中考第26题 例6 重庆市中考第26题 第三部分图形运动中的计算说理问题 3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 例1 南京市中考第26题 例2 南昌市中考第25题 3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题 例1 上海市黄浦区中考模拟第24题 例2 江西省中考第24题

平行四边形专项练习题样本

平行四边形专项练习题 一．选择题( 共12小题) 1．在下列条件中, 能够判定一个四边形是平行四边形的是( ) A．一组对边平行, 另一组对边相等 B．一组对边相等, 一组对角相等 C．一组对边平行, 一条对角线平分另一条对角线 D．一组对边相等, 一条对角线平分另一条对角线 2．设四边形的内角和等于a, 五边形的外角和等于b, 则a与b的关系是( ) A．a＞b B．a=b C．a＜b D．b=a+180°3．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形, 相邻纸片之间互不重叠也无缝隙, 其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1, 另两张直角三角形纸片的面积都为S2, 中间一张正方形纸片的面积为S3, 则这个平行四边形的面积一定能够表示为( ) A．4S1 B．4S2 C．4S2+S3 D．3S1+4S3 4．在?ABCD中, AB=3, BC=4, 当?ABCD的面积最大时, 下列结论正确的有( ) ①AC=5; ②∠A+∠C=180°; ③AC⊥BD; ④AC=BD． A．①②③B．①②④C．②③④ D．①③④ 5．如图, 在?ABCD中, AB=6, BC=8, ∠C的平分线交AD于E, 交BA的延

长线于F, 则AE+AF的值等于( ) A．2 B．3 C．4 D．6 6．如图, 在?ABCD中, BF平分∠ABC, 交AD于点F, CE平分∠BCD, 交AD于点E, AB=6, EF=2, 则BC长为( ) A．8 B．10 C．12 D．14 7．如图, 在?ABCD中, AB=12, AD=8, ∠ABC的平分线交CD于点F, 交AD 的延长线于点E, CG⊥BE, 垂足为G, 若EF=2, 则线段CG的长为( ) A． B．4 C．2 D． 8．如图, 在?ABCD中, AB＞AD, 按以下步骤作图: 以点A为圆心, 小于AD的长为半径画弧, 分别交AB、 AD于点E、 F; 再分别以点E、 F为圆心, 大于EF的长为半径画弧, 两弧交于点G; 作射线AG交CD于点H, 则下列结论中不能由条件推理得出的是( ) A．AG平分∠DAB B．AD=DH C．DH=BC D．CH=DH

初中中考数学压轴题及答案(精品)

中考数学专题复习——压轴题 1. 已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D. （1） 求该抛物线的解析式； （2） 若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积； （3） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由. （注：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为??? ? ??--a b ac a b 44,22） 2. 如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于 R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =． （1）求点D 到BC 的距离DH 的长； （2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由． 3在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ． （1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？ （3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ 4.如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB 是等边三角形，点A 的坐标是(0，4)，点B 在第一象限，点P 是x 轴上的一个动点，连结AP ，并把ΔAOP 绕着点A 按逆时针方向旋转.使边AO 与AB 重合.得到ΔABD.（1）求直线AB 的解析式；（2）当点P 运动到点（3，0）时，求此时DP 的长及点D 的坐标；（3）是否存在点P ，使ΔOPD 的面积等于43，若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.

平行四边形综合性质及经典例题

一对一个性化辅导教案

平行四边形的性质与判定 平行四边形及其性质(一) 一、 教学目标： 1． 理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质． 2． 会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证． 3． 培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力． 二、 重点、难点 1． 重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用． 2． 难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 三、 课堂引入 1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象 平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗 你能总结出平行四边形的定义吗 (1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)表示：平行四边形用符号“ ”来表示． 如图，在四边形ABCD 中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD 是平行四边形．平行四边形ABCD 记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”． ①∵AB ?50?360?360?180行 四边形的面积计算 六、随堂练习 1．在平行四边形中，周长等于48， ① 已知一边长12，求各边的长 ② 已知AB=2BC ，求各边的长 ③ 已知对角线AC 、BD 交于点O ，△AOD 与△AOB 的周长的差是10，求各边的长 2．如图，ABCD 中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm ，AC+BD=14cm ，则△OBC 的周长是____ ___cm ．

3．ABCD 一内角的平分线与边相交并把这条边分成cm 5，cm 7的两条线段，则ABCD 的周长是__ ___cm ． 七、课后练习 1．判断对错 （1）在ABCD 中，AC 交BD 于O ，则AO=OB=OC=OD ． （ ） （2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等． （ ） （3）平行四边形的两组对边分别平行且相等． （ ） （4）平行四边形是轴对称图形． （ ） 2．在 ABCD 中，AC ＝6、BD ＝4，则AB 的范围是_ ____ __． 3．在平行四边形ABCD 中，已知AB 、BC 、CD 三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是 ． 4．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB ＝15cm ，AD ＝12cm ，AC ⊥BC ，求小路BC ，CD ，OC 的长，并算出绿地的面积． （一） 平行四边形的判定 一、教学目标： 1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法． 2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题． 3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题． 二、重点、难点 重点：平行四边形的判定方法及应用． 难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用． 四、课堂引入 1．欣赏图片、提出问题． 展示图片，提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形你是怎样判断的 2．【探究】：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗

最新中考数学压轴题汇总

中考数学压轴题汇总（一） 17.（2005浙江台州）如图，在平面直角坐标系内，⊙C 与y 轴相切于D 点，与x 轴相交于A （2，0）、B （8，0）两点，圆心C 在第四象限. （1）求点C 的坐标； （2）连结BC 并延长交⊙C 于另一点E ，若线段．．BE 上有一点P ，使得 AB 2＝BP·BE ，能否推出AP ⊥BE ？请给出你的结论，并说明理由； （3）在直线．．BE 上是否存在点Q ，使得AQ 2＝BQ·EQ ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，也请说明理由. [解] （1） C （5，-4）； （2）能。连结AE ，∵BE 是⊙O 的直径， ∴∠BAE=90°. 在△ABE 与△PBA 中，AB 2＝BP· BE , 即AB BE BP AB , 又 ∠ABE=∠PBA, ∴△ABE ∽△PBA . ∴∠BPA=∠BAE=90°, 即AP ⊥BE . （3）分析：假设在直线EB 上存在点Q ，使AQ 2＝BQ· EQ. Q 点位置有三种情况： ①若三条线段有两条等长，则三条均等长,于是容易知点C 即点Q ； ②若无两条等长，且点Q 在线段EB 上，由Rt △EBA 中的射影定理知点Q 即为AQ ⊥EB 之垂足； ③若无两条等长，且当点Q 在线段EB 外，由条件想到切割线定理，知QA 切⊙C 于点A.设Q()(,t y t ),并过点Q 作QR ⊥x 轴于点R,由相似三角形性质、切割线定理、勾股定理、三角函数或直线解析式等可得多种解法. 解题过程： ① 当点Q 1与C 重合时，AQ 1=Q 1B=Q 1E, 显然有AQ 12＝BQ 1· EQ 1 , ∴Q 1(5, -4)符合题意； ② 当Q 2点在线段EB 上， ∵△ABE 中，∠BAE=90°

中考数学平行四边形综合练习题附答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=?，对角线AC 平分BAD ∠. （1）如图1，若120DAB ∠=?，且90B ∠=?，试探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由. （2）如图2，若将（1）中的条件“90B ∠=?”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由. （3）如图3，若90DAB ∠=?，探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由. 【答案】（1）AC AD AB =+.证明见解析；（2）成立；（3）2AD AB AC +=.理由 见解析. 【解析】 试题分析：（1）结论：AC=AD+AB ，只要证明AD= 12AC ，AB=1 2 AC 即可解决问题； （2）（1）中的结论成立．以C 为顶点，AC 为一边作∠ACE=60°，∠ACE 的另一边交AB 延长线于点E ，只要证明△DAC ≌△BEC 即可解决问题； （3）结论：AD +AB ＝2AC ．过点C 作CE ⊥AC 交AB 的延长线于点E ，只要证明△ACE 是等腰直角三角形，△DAC ≌△BEC 即可解决问题； 试题解析：解：（1）AC=AD+AB ． 理由如下：如图1中， 在四边形ABCD 中，∠D+∠B=180°，∠B=90°， ∴∠D=90°， ∵∠DAB=120°，AC 平分∠DAB ， ∴∠DAC=∠BAC=60°， ∵∠B=90°，

∴AB＝1 2 AC，同理AD＝ 1 2 AC． ∴AC=AD+AB． （2）（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E， ∵∠BAC=60°， ∴△AEC为等边三角形， ∴AC=AE=CE， ∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=120°， ∴∠DCB=60°， ∴∠DCA=∠BCE， ∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°， ∴∠D=∠CBE，∵CA=CE， ∴△DAC≌△BEC， ∴AD=BE， ∴AC=AD+AB． （3）结论：AD+AB＝2AC．理由如下： 过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=90°， ∴DCB=90°， ∵∠ACE=90°， ∴∠DCA=∠BCE， 又∵AC平分∠DAB， ∴∠CAB=45°， ∴∠E=45°． ∴AC=CE． 又∵∠D+∠ABC=180°，∠D=∠CBE，

2018挑战中考数学压轴题((全套)含答案与解析)

第一部分函数图象中点的存在性问题 §1．1因动点产生的相似三角形问题 例1 2014 年衡阳市中考第 28 题 例2 2014 年益阳市中考第 21 题 例3 2015 年湘西州中考第 26 题 例4 2015 年张家界市中考第 25 题 例5 2016 年常德市中考第 26 题 例6 2016 年岳阳市中考第 24 题 例 72016年上海市崇明县中考模拟第25 题 例 82016年上海市黄浦区中考模拟第26 题 §1．2因动点产生的等腰三角形问题 例9 2014 年长沙市中考第 26 题 例10 2014 年张家界市第 25 题 例11 2014 年邵阳市中考第 26 题 例12 2014 年娄底市中考第 27 题 例13 2015 年怀化市中考第 22 题 例14 2015 年长沙市中考第 26 题 例15 2016 年娄底市中考第 26 题 例 162016年上海市长宁区金山区中考模拟第25 题例 172016年河南省中考第 23 题

§1．3因动点产生的直角三角形问题 例19 2015 年益阳市中考第 21 题 例20 2015 年湘潭市中考第 26 题 例21 2016 年郴州市中考第 26 题 例22 2016 年上海市松江区中考模拟第 25 题 例23 2016 年义乌市绍兴市中考第 24 题 §1．4因动点产生的平行四边形问题 例24 2014 年岳阳市中考第 24 题 例25 2014 年益阳市中考第 20 题 例26 2014 年邵阳市中考第 25 题 例27 2015 年郴州市中考第 25 题 例28 2015 年黄冈市中考第 24 题 例29 2016 年衡阳市中考第 26 题 例 302016年上海市嘉定区宝山区中考模拟中考第24 题例 312016年上海市徐汇区中考模拟第 24 题 §1．5因动点产生的面积问题 例32 2014 年常德市中考第 25 题 例33 2014 年永州市中考第 25 题

河北省中考数学压轴题汇总

2010/26．（本小题满分12分） 某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售 价格y （元/件）与月销量x （件）的函数关系式为y= 1 100 x ＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需 支出广告费62500元，设月利润为w 内（元）（利润=销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为150 1 元/件，受各种不确定因素影响，成本为a 元/件（a 为常数，10≤a ≤40），当月销量为x （件）时，每月还需缴纳 100 2 x 元 的附加费，设月利润为w 外（元）（利润=销售额－成本－附加费）． （1）当x=1000时，y =元/件，w 内=元； （2）分别求出w 内，w 外与x 间的函数关系式（不必写x 的取值范围）； （3）当x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内 销售月利润的最大值相同，求a 的值； （4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还 是在国外销售才能使所获月利润较大？ 参考公式：抛物线 2(0) yaxbxca 的顶点坐标是 2 b4acb (,) 2a4a ． 2011/26．(本小题满分12分) 如图15，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长的速度运动t （t ＞0） 秒，抛物线y=x 2 ＋bx ＋c 经过点O 和点P.已知矩形ABCD 的三个顶点为A （1，0）、B （1，－5）、D （4，0）. ⑴求c 、b （用含t 的代数式表示）； ⑵当4＜t ＜5时，设抛物线分别与线段A B 、CD 交于点M 、N. ①在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值； 21 8 ②求△MPN 的面积S 与t 的函数关系式，并求t 为何值时，S= ； ③在矩形ABCD 的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分 成数量相等的两部分，请直接．．写出t 的取值范围. y ADP O －1 1 x N M BC 图15 2012/26．（12分）如图1和2，在△ABC 中，AB=13，BC=14，cos ∠ABC=． 探究：如图1，AH ⊥BC 于点H ，则A H=，AC=，△ABC 的面积S △ABC=； 拓展：如图2，点D 在AC 上（可与点A ，C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E ，F ， 设BD=x ，AE=m ，CF=n （当点D 与点A 重合时，我们认为S △ABD=0）

2017年中考复习特殊四边形综合题

特殊四边形综合题 1．如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP． （1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？ （2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明； ，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y （3）在平移变换过程中，设y=S △OPB 的最大值． 2．已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE上一定点（其中EP＜PD） （1）如图1，若点F在CD边上（不与D重合），将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G． ①求证：PG=PF；②探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．（2）拓展：如图2，若点F在CD的延长线上（不与D重合），过点P作PG⊥PF，交射线DA于点G，你认为（1）中DF、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由． 3．已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE=a，CF=b． （1）如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值； （2）当△AEF是直角三角形时，求a、b的值；

（3）如图3，探索∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由． 4．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于点E，F，且∠MAN始终保持45°不变． （1）求证：=； （2）求证：AF⊥FM； （3）请探索：在∠MAN的旋转过程中，当∠BAM等于多少度时，∠FMN=∠BAM？写出你的探索结论，并加以证明． 5．如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，F为DE的中点，且∠BFC=90°． （1）当E为BC中点时，求证：△BCF≌△DEC； （2）当BE=2EC时，求的值； （3）设CE=1，BE=n，作点C关于DE的对称点C′，连结FC′，AF，若点C′到AF的距离是，求n的值．

中考数学压轴题解题技巧及训练完整版

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中考数学压轴题解题技巧 （完整版） 数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。 函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。 几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求x的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x 的值。 解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思想方法。 一是运用函数与方程思想。以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式、研究其性质。 二是运用分类讨论的思想。对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。 三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考和探究。 解中考压轴题技能技巧： 一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止“捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停

深圳十年中考数学压轴题汇总

200621．如图9，抛物线2812(0)y ax ax a a =-+<与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），抛物线上另有一点C 在第一象限，满足∠. (1)(3分)求线段OC 的长. 解： (2)(3分)求该抛物线的函数关系式． 解： (3)(4分)在x 轴上是否存在点P ，使△P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 解：200622．(10分)如图10-1 ⊙M 交 x 轴于 A B 、两点，交y 轴于 C D 、两点，且C A 的坐标为（－2，0），AE 8= (1)(3分)求点C 的坐标. 解： (2)(3分)连结MG BC 、，求证：MG ∥BC 证明： (3)(４分 ) 如图10-2，过点 D 作⊙M 的切线，交x 轴于点的圆周上运动时， PF OF 解： 200722．如图6，在平面直角坐标系中，正方形AOCB OD OB =，BD 交OC 于点E ． （1）求BEC ∠的度数． （2）求点E 的坐标． （3）求过B O D ，， 5== ② 1== ；③ ==等运算都是分母有理化） 200723．如图7x 相交于A B ，两点． （1）求线段AB 的长． （2）若一个扇形的周长等于（1大面积是多少？ （3）如图8，线段AB M ，分别求出 图6

OM OC OD ，，的长，并验证等式 222 111 OC OD OM += 是否成立． （4）如图9，在Rt ABC △中，90ACB =o ∠，CD AB ⊥，垂足为D ，设BC a =，AC b =， AB c =．CD b =，试说明：222 111 a +=． 2+bx 点， 3 1 ． F ，使以点A 、 C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度． （4）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积. 200922．如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB . （1）求点B 的坐标； （2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由. （4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 200923．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y =－2x －8两点，点P （0，k ）是y 轴的负半轴上的一个动点，以P （1）连结PA ，若PA =PB ，试判断⊙P 与x （2）当k 为何值时，以⊙P 与直线l 201022．（本题9分）如图9，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0AD 在x 轴上，其中A （－2,0），B （－1, －3）． （1）求抛物线的解析式；（3分） （2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 的坐标；（2分） （3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．（4分） 图7 图8 图9

最新特殊平行四边形综合练习题

特殊平行四边形综合练习题 考点综述： 特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是四边形的必考内容之一，主要出现的题型多样，注重考查学生的基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。内容主要包括：矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系，掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。 典型例题：（基础简单题） 例1：在下列命题中，正确的是（ ） A ．一组对边平行的四边形是平行四边形 B ．有一个角是直角的四边形是矩形 C ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 例2：如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若OA ＝2，则BD 的长为（ ）。 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 例3：如图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O E ，为AB 的中点，且OE a =，则菱形ABCD 的周长为（ ） A ．16a B ．12a C ．8a D ．4a 例4：已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE CG =，连接BG 并延长交DE 于F ． （1）求证：BCG DCE △≌△； （2）将DCE △绕点D 顺时针旋转90o 得到DAE '△，判断四边形E BGD '是什么特殊四边 形？并说明理由． 实战演练：（中档题） 1.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ） A .等腰梯形 B .正方形 C .平行四边形 D .矩形 笔记：中点四边形（补充知识点） （1）连接四边形各边中点： （2）连接平行四边形各边中点： （3）连接矩形各边中点： （4）连接菱形各边中点： （5）连接正方形各边中点： A 、顺次连接对角线相等的四边形各边的中点所得到的图形是： ． B 、顺次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点所得到的图形是： ． C 、顺次连接对角线垂直且相等的四边形各边的中点所得到的图形是 ： ． A B C D E F E ' G

中考数学压轴题精选及答案(整理版)

20XX 年全国各地中考数学压轴题精选 1、（黄石市20XX 年）（本小题满分9分）已知⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点，点1 O 在⊙2O 上，C 为⊙2O 上一点（不与A ，B ，1O 重合） ，直线CB 与⊙1O 交于另一点D 。 （1）如图（8），若 AC 是⊙2O 的直径，求证：AC CD =； （2）如图(9)，若C 是⊙1O 外一点，求证：1O C AD ⊥； （3）如图（10），若C 是⊙1O 内一点，判断（2）中的结论是否成立。 2、（黄石市20XX 年）（本小题满分10分）已知二次函数 2248y x mx m =-+- （1）当2x ≤时，函数值 y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围。 （2）以抛物线 2248y x mx m =-+-的顶点A 为一个顶点作该抛物线的内接 正三角形 AMN （M ，N 两点在抛物线上） ，请问：△AMN 的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。 （3）若抛物线 2248y x mx m =-+-与x 轴交点的横坐标均为整数，求整数m 的值。

3、（20XX 年广东茂名市）如图，⊙P 与y 轴相切于坐标原点O （0，0） ，与x 轴相交于点A （5，0），过点A 的直线AB 与 y 轴的正半轴交于点B ，与⊙P 交于点C ． （1）已知AC=3，求点Ｂ的坐标； （４分） （2）若AC=a , D 是O Ｂ的中点．问：点O 、P 、C 、D 四点是否在同一圆上？请说明 理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为1O ，函数 x k y = 的图象经过点1O ，求k 的值（用含a 的代数式表示）． 4、庆市潼南县20XX 年）如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,∠ ACB =90,AC =BC ,OA =1，OC =4，抛物线2y x bx c =++经过A ，B 两点，抛物 线的顶点为D ． （1）求b ,c 的值； （2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点(点A 、B 除外)，过点E 作x 轴的 垂线 交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标； （3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛 物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由. 第3题图 χ y

特殊平行四边形：证明题

特殊平行四边形之证明题 题型一：菱形的证明 1、如图，在三角形ABC 中，AB ＞ AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻 折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是( ) A. DE 是△ABC 的中位线 B. AA '是BC 边上的中线 C. AA '是BC 边上的高 D. AA '是△ABC 的角平分线 2．已知：如图，在ABCD Y 中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC △． （1）求证：BE DG =； （2）若60B ∠=°，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论． 3、将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′ 处，折痕为EF ． （1）求证：△ABE ≌△AD ′F ； （2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论． 4.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，交AC 于点O ，CE ∥AB 交MN 于E ，连结AE 、CD ． （1）求证：AD ＝CE ； （2）填空：四边形ADCE 的形状是 ． 5.两个完全相同的矩形纸片ABCD 、BFDE 如图7放置，AB BF =，求证： 四边形BNDM 为菱形． D A E N M O A B C D E F D ′ A D G C B F E

6.如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ， 连结BE ， CE . （1）求证：△ABE ≌△ACE （2）当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由. 7.如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把ACD △沿CA 方向平移得到A C D '''△． （1）证明A AD CC B '''△≌△； （2）若30ACB ∠=°，试问当点C '在线段AC 上的什么位置时，四边形ABC D ''是菱形，并请 说明理由． 8．在菱形 ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，56AB AC ==，． 点D 作DE AC ∥交BC 的延长线于点E ． （1）求BDE △的周长； （2）点P 为线段BC 上的点，连接PO 并延长交 AD 于点Q ．求证：BP DQ =． 9．如图，在△ABC 和△DCB 中，AB = DC ，AC = DB ，AC 与DB 交于点M ． （1）求证：△ABC ≌△DCB ； （2）过点C 作CN ∥BD ，过点B 作BN ∥AC ，CN 与BN 交于点N ，试判断线段BN 与CN 的数量关系，并证明你的结论． C D E M A B F N A Q D E B P C O C B A D A ' C '（第19 D ' A D M

2017挑战中考数学压轴题(第七版精选)

k 第一部分 函数图象中点的存在性问题 1.1 因动点产生的相似三角形问题 1.如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°． （1）求这条抛物线的表达式； （2）连结OM ，求∠AOM 的大小； （3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标． 图1 2.如图1，已知抛物线211(1)444 b y x b x = -++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ． （1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说 明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任 意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由． 图1

3.如图1，已知抛物线的方程C1： 1 (2)() y x x m m =-+-(m＞0)与x轴交于点B、C，与y 轴交于点E，且点B在点C的左侧． （1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE的面积； （3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标； （4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 图1 4.如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）． （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标； （2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标； （3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 图1 图2