(全)概率论与数理统计答案(东华大学出版)
第二章 离散型随机变量及其分布律
第二节 一维离散型随机变量及其分布律习题
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1、 一个口袋里有6只球，分别标有数字-3、-3、1、1、1、2，从中任取一个球，用ξ表
示所得球上的数字，求ξ的分布律。
解答：因为ξ只能取-3、1、2，且分别有2、3、1个，所以ξ的分布律为：
2、 在200个元件中有30个次品，从中任意抽取10个进行检查，用ξ表示其中的次品数，
问ξ的分布律是什么？
解答：由于200个元件中有30个次品，只任意抽取10个检查，因此10个元件中的次品数可能为0、1、2到10个。当次品数ξ为k 时，即有k 个次品时，则有10-k 个正品。所以：
ξ的分布律为：1030170
10
200
{},0,1,,10k k C C P k k C ξ-===。
3、 一个盒子中有m 个白球，n m -个黑球，不放回地连续随机地从中摸球，直到取到黑球
才停止。设此时取到的白球数为ξ，求ξ的分布律。
解答：因为只要取到黑球就停止，而白球数只有m 个，因此在取到黑球之前，所取到的白球数只可能为0
m 中的任意一个自然数。设在取到黑球时取到的白球数ξ等于k ，则第
1k +次取到是黑球，以i A 表示第i 次取到的是白球；_
i A 表示第i 次取到的是黑球。则ξ的
分布律为：
_
_
12112111
{}()()(|)
(|)
11,0,1,,1
1k k k k P k P A A A A P A P A A P A A A m m m k n m k m
n n n k n k
ξ++===--+-=????=--+-。
4、 汽车沿街道行驶，要通过3个有红绿灯的路口，信号灯出现什么信号相互独立，且红绿
灯显示时间相等。以ξ表示该车首次遇到红灯前已通过的路口数，求ξ的分布律。 解答：因为只有3个路口，因此ξ只可能取0、1、2、3，其中{3}ξ=表示没有碰到红灯。
以i A 表示第i 个路口是红灯，因红绿灯显示时间相等，所以()1/2i P A =，又因信号灯出现什么信号相互独立，所以123,,A A A 相互独立。因此ξ的分布律为：
_
11{0}()2
P P A ξ===
， _
_
12121{1}()()()4
P P A A P A P A ξ====
， {2}P ξ==_
_
_
_
1231231()()()()8
P A A A P A P A P A ==
， _
_
_
_
_
_
123123{3}()()()()1/8P P A A A P A P A P A ξ====。
5、 一实习生用同一台机器制造3个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率为
1
,(1,2,3)1
i p i i =
=+。用ξ表示3个零件合格品的个数，求ξ的分布律。 解答：因为利用同一台机器制造3个同种零件，因此可认为这3个零件是否合格是相互独立的，以i A 表示第i 个零件是合格的，则()1/(1)i P A i =+。因ξ表示零件的合格数，因此ξ的分布律为：
_
_
_
_
_
_
1231231111{0}()()()()(1)(1)(1)2344
P P A A A P A P A P A ξ====---=，
______
12312312311{1}()()()24
P P A A A P A A A P A A A ξ==++=， ___
1231231236
{2}()()()24
P P A A A P A A A P A A A ξ==++=，
1231{3}()24
P P A A A ξ===。 6、 设随机变量ξ的分布律为{},0,1,2,
!
k
P k c
k k λξ===，式中λ为大于0的常数。试
确定常数c 的值。 解答：因{},0,1,2,!
k
P k c
k k λξ===如果是随机变量ξ的分布律，则应该满足如下两个
条件：1、对任意的k ，{}0P k ξ=≥，因此可得0c ≥；2、
1{}k P k ξ∞
===∑0
!
k
k c k λ∞
==∑ce λ=，
所以可得c e
λ
-=。
7、 设在每一次试验中，事件A 发生的概率为0.3，当A 发生次数不少于3时，指示灯发出
信号。（1）若进行5次独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）若进行7次独立试
验，求指示灯发出信号的概率。
解答：因为进行的是独立试验，所以如进行n 次试验，则事件A 在n 次试验中发生的次数ξ服从参数为n 和()0.3p P A ==的二项分布。因为当A 在n 次试验中发生次数不少于3时，指示灯发出信号。因此，{}{3}P P ξ=≥发出信号3
{}n k P k ξ==
=∑3
0.30.7n
k k n k n
k C
-==∑。第
一小题中的n 等于5，第二小题中的n 等于7。计算即可。
8、 某交换台有50门分机，各分机是否呼叫外线相互独立，在单位时间内呼叫外线的概率
都是10%，问在单位时间内至少有3门以上的分机需要外线的概率是多少？
解答：同上一题，因为各分机是否呼叫外线相互独立，因此在单位时间里呼叫外线的分机束缚从参数为50和0.1的二项分布。所以所求的概率等于{3}1{0}P P ξξ≥=-={1}P ξ-=
{2}P ξ-=5049482
50*4910.950*0.9*0.10.90.12
=---
。 9、 把一个试验独立重复地做n 次，设在每次试验中事件A 出现的概率为p ，求在这n 次试
验中A 至少出现一次的概率是多少。
解答：同上一题，n 次试验中A 出现的次数服从参数为n 和p 的二项分布。因此，所要求的概率等于{1}1{0}1(1)n
P P p ξξ≥=-==--。 10、
甲乙两选手轮流射击，直到有一个命中为止，若甲命中率为0.6，乙命中率为0.7，
如果甲首先射击，求：
（1） 两人射击总次数ξ的分布律； （2） 甲射击次数1ξ的分布律； （3） 乙射击次数2ξ的分布律。
解答：因为轮流射击，直到有一个命中为止，且由甲首先射击。因此可以看到，如果由甲射中，则总的射击次数应为奇数，乙比甲少射一次，而由乙射中的话，则甲、乙两人射击次数相同。且可以知道，乙可能没有射击。而由题意可知，每次是否射中是相互独立的。令i A 表示甲第i 次射击时射中，则()0.6i P A =（1,2,
i =）；令i B 表示乙第i 次射击时射中，则
()0.7(1,2,)i P B i ==。由此可知：
（1）__
___
_
11
1111{21}()()()()k
k k k k P k P A B A B A P A P B P A ξ+=+==0.12*0.6k =，
0,1,
k
=
_
_
__
_
111
111{2}()()()()k
k k k P k P A B A B P A P B P B ξ-===10.12*0.28k -=，1,2,k
=
（2） _
__
_
__
_
_1111
1
1
111
1{}(
)()()()()k
k k k k k P k P A B A B P A B B A P A P B P
B ξ--==+= +__1
11111()
()()0.88*0.12,1,2,
k k k P A P B P A k ---=
=
（3） __
____
_
_
1211
1
1
111
1{}(
)()()()()k
k k k k k P k P A B A B P A B B A P A P B P
B ξ-+==+= _
_
1
111()()()0.352*0.12,1,2
k
k
k P A P B P A k -+=
=
21{0}()0.6P P A ξ===。 11、
一电话交换机每分钟收到的呼叫数服从4λ=的泊松分布。求（1）一分钟内恰好
有8次呼叫的概率；（2）一分钟内呼叫数大于9次的概率。 解答：因每分钟受到的呼叫数(4)ξ
π，因此84
4{8}8!
P e ξ-==，而{9}1{9}P P ξξ>=-≤
=4
104!
i i e i ∞
-=∑=0.008132。（查表得到） 12、
某路口有大量车辆通过，设每辆车在高峰时间（9点—10点）出事故的概率为
0.001，设某天的高峰时间有500辆车通过，问出事故的车数不少于2的概率（利用泊松定理来计算）。
解答：可以认为每辆车是否出事故是相互独立。则该天高峰时间车事故的车数
(500,0.001)B ξ，因500n =较大，而0.001p =较小，因此可利用泊松定理近似计算，
则令500*0.001λ=，即近似认为(0.5)ξπ。即{2}1{1}
P P ξξ≥=-≤0.5
20.5!
k i e k ∞
-==∑，查表可得等于0.090204。 13、
设车间内每月耗用某种零件的数量服从参数为3的泊松分布。问月初要备该种零
件多少个才能以0.999的概率保证当月的需要量？ 解答：因每月耗用零件的数量(3)ξ
π，要保证当月的需要量，则要求当月的耗用量ξ小
于等于月初所备的零件数x ，也就是1
3
03{}10.999!
i x i P x e i ξ--=≤=-=∑，查表可得10x ≥。
14、
设ξ服从泊松分布，且{1}{2}P P ξξ===，求{4}P ξ=。
解答：因()ξπλ，即1
2
{1}{2}1!
2!
P e
P e λ
λλλξξ--==
===
，由此可得2λ=，所以
44
2{4}4!
P e ξ-==。
15、
设ξ服从参数为λ的泊松分布，即{},0,1,2,
!
k
P k e
k k λ
λξ-===，求使得
{}P k ξ=达到极大值的k ，并证明你的结论。
解答：因1{1}/(){}(1)!!k k P k e e P k k k λλξλλξ+--=+==+1
k λ
=+,因此如果1k λ<+，则
{1}{}P k P k ξξ=+<=，而若1k λ>+，则{1}{}P k P k ξξ=+>=。所以，若存在正整
数l 使得1l l λ<<+，则{}P l ξ=取得最大；而若存在正整数l λ=，则{1}P l ξ=-与
{}P l ξ=同时达到最大。
16、
设随机变量(2,),(3,)B p B p ξ
η，若{1}5/9P ξ≥=，求{1}P η≥。
解答：因(2,),(3,)B p B p ξ
η
，所以25
{1}1{0}1(1)9
P P p ξξ=≥=-==--，由此可
得13p =。所以3119{1}1{0}1(1)327
P P ηη≥=-==--=。
17、 设有10个同类元件，其中有2只次品。装配仪器时从中任取1只，如果是次品则
扔掉重新任取一只。如再是次品，继续扔掉再任取一只。试求在取到正品前已取出的次品数的分布？
解答：因其中只有2只次品，所以取到正品前已取出的次品数ξ只可能取0、1、2，因此ξ的分布律为828218
{0},{1},{2}101091098
P P P ξξξ==
==?==??。
第三节 二维离散型随机变量及其分布律习题
Page 62
1、 设二维随机变量(,)ξη可能取的值为(0,0),(1,1),(1,1/3),(2,0),(2,1/3)--，相应的概率
为1/6,1/3,1/12,1/4,1/6。 （1） 列表表示其联合分布律； （2） 分别求出ξ和η的边缘分布律；
（3） 分别求ξ在0η=和1/3η=条件下的条件分布律； （4） 求{11}P ξη-≤+≤。
解答：由题意可得二维随机变量(,)ξη的联合分布律及ξ和η的边缘分布律为：
（3） 条件概率的定义得：0(1|0)05/12P ξη=-==
=，1/6(0|0)5/12P ξη===2
5
=，1/43(2|0)5/125P ξη====；11/121(1|)31/43P ξη=-===，1
(0|)03P ξη===，
11/62
(2|)31/43
P ξη====。
（4） 1
{11}(1,0){1,}{1,1}3P P P P ξηξηξηξη-≤+≤==-=+=-=+=-=
1(0,0){0,}{0,1}3P P P ξηξηξη+==+==+==7
12
=。
2、 在一个盒子中放6只球，上面分别标有号码1、1、2、2、2、3，不放回地随机摸2只
球，用ξ和η分别表示第一个与第二个球的号码。 （1） 求(,)ξη的联合分布律；
（2） 求ξ在2η=条件下的条件分布律； （3） 问ξ与η是否独立？为什么？
（4） 把摸球从不放回改成放回抽样，问此时ξ与η是否独立？ 解答：（1）(,)ξη的联合分布律为：
注：{2,2}{2}{2|2}6530
P P P ξηξηξ=======
?=。 （2）
{2}{1,2}{2,3}{3,2}P P P P ηξηξηξη====+==+==1530
=，因此，ξ在2η=
注：{2,2}6/302
{2|2}{2}15/305
P P P ξηξηη=====
===。
（3）因为
21010
{1,1}{1}{1}303030
P P P ξηξη===≠===?，所以ξ与η并不独立。 （4）当从不放回改成放回抽样时，因第二次摸到什么球与第一次毫无关系，因此由题意即
可得知这两个随机变量是相互独立的。
3、 用ξ和η分别表示某地区一天内新生婴儿的人数和其中的男孩人数，设ξ和η的联合分
布律为14
7.146.86{,},0,1,2,,0,1,,!()!
m n m P n m e n m n m n m ξη--===
==-。
（1） 试求ξ与η的边缘分布律；
（2） 求条件分布律{|}P n m ξη==和{|}P m n ηξ==
解答：显然由题意可知，男婴数不可能大于新生婴儿数，所以：
（1）1400
7.146.86{}{,}!()!m n m n
n
m m P n P n m e m n m ξξη--=======-∑∑
14
7.146.86!n
m
m n m n
m e C
n --==∑
141414(7.14 6.86),0,1,2!!
n n e e n n n --=?+==，
147.14 6.86{}{,}!()!m n m n m
n m P m P n m e m n m ηξη-∞
∞
-====
==
=-∑
∑140
7.14 6.86!()!m n m
n m e m n m --==?-∑
14
6.86
7.147.147.14,0,1,2!
!
m m e e
e
m m m --
=??=?=；
（2）14
6.86
7.14
7.146.86{,} 6.86!()!
{|},7.14{}()!
!m n m n m m
e
P n m m n m P n m e n m P m n m e m ξηξηη-----==-=====≥=-? 14
147.146.86{,}7.14 6.86!()!{|}(
)()14{}1414
!
m n m m m n m
n n e
P n m m n m P m n C P n e n ξηηξξ----==-======?，0,1,m n =。
4、 设二维随机变量(,)ξη的联合分布律如下表所示，问表中,x y 取什么值时，ξ和η独立。
解答：由二维随机变量的联合分布律及随机变量的独立性条件可知：
111111691833111{1,2}{1}{2}()939x y P P P x ξηξη?+=----=????=======?+??，得：29
19x y ?
=???
?=??
，验证可知正确。 5、 甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6和0.7。今各投3次，求 （1） 两人投中次数相等的概率； （2） 甲比乙投中次数多的概率； （3） 写出它们的联合分布律。
解答：以ξ表示甲投中的次数、η表示乙投中的次数。由题意，假设每次是否投中是相互独立的，则可得(,)ξη的联合分布律为：
其中：3333{,}0.60.40.70.3,,0,1,2,3i i i j j j
P i i C C i j ξη--===??=。由此可得：
{}0.0017280.0544320.1905120.0740880.32076P ξη==+++=
{}0.0077760.0116640.0058320.0816480.0408240.095256P ξη>=+++++
0.243=。
第四节离散型随机变量函数的分布律习题
Page 66
1、设ξ的分布律如下表所示，试求（1）ξ+2；（2）2ξ-；（3）2
ξ-的分布律。
(1)
解答：
由此得到：（1）2ξ+的分布律为：
（2）2
ξ-的分布律为：
（3）2
(1)ξ-的分布律为：
2、 设ξ与η独立，(,),(,)B m p B n p ξ
η,求ξ+η的分布律。
解答：因ξ与η独立，则0
{}{,}{}{}k k
i i P k P i k i P i P k i ξηξηξη==+==
==-===-∑∑
()
()
(1)
(1)
(1)
k
k
i
i
m i
k i k i
n k i k
m n k i k i m
n
m n
i i C p p C
p
p p p C
C -----+--===--=-∑∑()(1)
k k m n k n m C p p +-+=-，0,1,,()k m n =+，即(,)B m n p ξη++。
3、 12,,,n ξξξ相互独立，都服从0-1分布，其分布律为{1}i P p ξ==，{0}1i P p ξ==-，
1,2,
,i n =，求证：12(,)n
B n p ηξξξ=+++。
解答：因为12,,
,n ξξξ相互独立，都服从0-1分布，因此0
n
i i ηξ==∑的可能取的值为0,1,
n ，
事件{}k η==1{10}n k n k ξξ-到中有个取，个取，由此对任意k (0)k n ≤≤，{}P k η=
11(1)(0)(1)k k n k k k n k n n C P P C p p ξξ--====-，即η
(,)B n p 。
4、 设(,)ξη的联合分布律同第二章第三节中第2题，求（1）ξη+；（2）2ξ；（3）2ξηη-的分布律。
解答：因为(,)ξη的联合分布律如下表：
因此：
（1）ξη+的分布律为：
注：{3}{1,2}{
2,1}303030
P P P ξηξηξη+====+===+=
。 （2）2ξ的分布律为：
注：3
1
66315
{24}{2}{2,}30303030
j P P P j ξξξη========
++=∑。 （3）2ξηη-的分布律为：
注：3
1
66315
{20}{2}{2,}303030
30
j P P P j ξηηξξη=-====
===
++=∑。 5、 设(,)ξη的联合分布律如下表所示，
（1） 求η在1ξ=条件下的条件分布律； （2） 求max(,)V ξη=的分布律； （3） 求min(,)U ξη=的分布律； （4） 求(,)U V 的联合分布律； （5） 求W ξη=+的分布律。 解答：（1）5
0{1}{1,}0.010.020.040.050.060.080.26j P P j ξξη===
===+++++=∑，
注：{1,}
{|1},0,1,
,5{1}
P j P j j P ξηηξξ=====
==。
（2）max(,)V ξη=的分布律为：
注：3
2
{3}{max(,)3}{,3}{3,}i j P V P P i P j ξηξηξη========+==∑∑0.28=。
（3）min(,)U ξη=的分布律为：
注：5
2
{2}{min(,)2}{2,}{3,2}0.25i P U P P j P ξηξηξη=======+===∑。
（4）(,)U V 的联合分布律为：
注：{1,
3}{min(,)1,max(,)3}{1,3}{3,1}P U V P P P ξηξηξηξη========+== 0.050.020.07=+=。 （5）W ξη=+的分布律为：
注：3
{5}{5}{,5}i P W P P i i ξηξη===+==
==-∑0.090.060.050.040.24=+++=。
6、 设随机变量12,ξξ独立，分别服从参数为1λ与2λ的泊松分布，试证：
1111212
12
{|}(
)(1),0,1,2,,k
k n k n P k n C k n λλξξξλλλλ-=+==-
=++
解答：1122(),()ξπλξπλ，且1ξ与2ξ相互独立，所以（例2.13）：1212()ξξπλλ++。
因此：112121121212{,}{,}
{|}{}{}
P k n P k n k P k n P n P n ξξξξξξξξξξξξ=+===-=+==
=+=+=
1212{}{}{}
P k P n k P n ξξξξ==-=
+=1
2
1212()12!()!
()!
k
n k
n e
e k n k e n λλλλλλλλ----+-=
+1112121k
n k
k n C λλλλλλ-????=- ? ?++??
??
，
0,1,
k n =。
复习题
Page68
1、 掷两粒骰子，用ξ表示两粒骰子点数之和，η表示第一粒与第二粒点数之差，试求ξ和
η的联合分布律，并讨论ξ与η是否独立。
解答：以U 表示第一粒骰子的点数、V 表示第二粒骰子的点数，则由题意可知随机变量U 和V 相互独立，且1
{}{},,1,2,,66
P U i P V j i j ====
=。则ξ和η的联合分布律为： {,
}{,}{,}22
k l k l
P k l P U V k U V l P U V ξη+-===+=-==== {}{},2,3,,12;5,4,
,5
22
k l k l
P U P V k l +-==
===--
。
它们的联合分布表如下表：
由随机变量独立性的定义可知，ξ和η相互不独立。
2、 设,ξη相互独立，{},{
},,i j P i p P j q i j ξη====可取任意非负整数值，试求：{}P ξη=和{}P ξη≥。
解答：因,ξη相互独立，则0
{}{,}{}{}i
i
i i i P P i i P i P i p q ξηξηξη∞∞∞
=====
======?∑∑∑。
000
00
{}{,}{,}{}{}i
i
i i j i j P P i i P i j P i P j ξηξηξηξη∞
∞
∞
=====≥==≤======∑∑∑∑∑
00
i
i
j
i j p q
∞
===
?∑∑。
3、 在盒子中有N 只球，分别标上号码1,2,
,N ，现有放回地随机摸n 次球，设ξ是n 次
中得到的最大号码，试求ξ的分布律。 解答：令(1,2,
,)i i n η=表示第i 次摸到球的号码，则可得{}i k
P k N
η≤=
(1,,)k N =。
由题意可知每次摸到什么号码是相互独立的。而事件{}k ξ=12{,,}n k k k ηηη=≤≤≤
1{1,1}n k k ηη-≤-≤-。即1
{}{,}n P k P k k ξηη==≤≤1{1,1}n P k k ηη-≤-≤-
111({})({1}),1,2,
,n
n
n n k k P k P k k N N N ηη-????
=≤-≤-=-= ? ?????
。
4、 设在贝努里试验中（成功的概率为p ），直到第k 次成功出现就停止试验，到此时为止
所进行的试验次数为ξ，求证：11{}(1),,1,2,
k k n k
n P n C p p n k k k ξ---==-=++。
解答：假设到第k 次成功时已进行的试验次数为n ，则我们可以知道，在第n 次试验是成功的，并且在前1n -试验中有1k -次试验是成功的、有n k -次试验是不成功的，但显然的是：这1k -次成功的试验可以发生在前1n -试验中的任意1k -次。并且由于每次试验是相
互独立的，因此，我们可得11{}(1),,1,2,
k k n k
n P n C p p n k k k ξ---==-=++。
5、 作5次独立重复试验，设()1/3P A =，已知5次中A 至少有一次不发生。求A 发生次
数与A 不发生次数之比的分布律。
解答：以ξ表示A 在5次独立重复试验中发生的次数，则1
(5,)3
B ξ
。已知A 至少有一次
不发生，令η表示A 发生次数与A 不发生次数之比，则可知η的概率分布律为：
注：2{2}{|4}{2|4}3{4}P P P P ξηξξξξ==≤==≤=≤()()()
2
3
2
55
12380242113C ==-。 6、 设,ξη相互独立，且服从相同分布{}{}1/2,1,2,3,
n
P n P n n ξη=====。
（1） 求12ζξ=的分布律； （2） 求2ζξη=+的分布律。
解答：（1）11
{2}{22}{},1,2,2k
P k P k P k k ζξξ======
=；
（2）121
{}{}{,}{,}k i j k
i P k P k P i j P i k i ζξηξηξη-+====+==
=====-∑∑
111
1
111{}{}222k k i k i k
i i k P i
P k i ξη---==-=
==-=?=∑∑
，2,3,k =。
7、 设随机变量,ξη相互独立，下表列出了二维随机变量(,)ξη的联合分布律及关于ξ和关
于η的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。
解答：因随机变量,ξη相互独立，因此
2121{,}{}{}8
P x y P x P y ξηξη====== 21{}6P x ξ==?，即得：23{}4P x ξ==，继而得到11{}4P x ξ==，11{,}P x y ξη==1146
=? 124=，1311112{,}{}{,}{,}P x y P x P x y P x y ξηξξηξη====-==-==112=， 由18=121221{,}{}{}{}4P x y P x P y P y ξηξηη=======，得到21{}2
P y η==， 222123
{,}{}{,}8
P x y P y P x y ξηηξη====-===，31{}1{}P y P y ηη==-=
21{
}3P y η-==，233131
{,}{}{,}3
P x y P y P x y ξηηξη====-===。
第三章 连续型随机变量及分布
习题3.1（p.86）
1、 设随机变量ξ的分布律如下表所示，
试求ξ的分布函数，并利用分布函数求{}20≤≤ξP 。
解：()?????
??????≥
<≤<≤<≤<=27127385
3
124111031
00x x x x x x F
{}{}{}()()()()24
11
02411000220020=
-=-+-=≤<+==≤≤-
F F F F P P P ξξξ 2、 函数x sin 在下列范围内取值
⑴ []2/π,0；⑵ []π,0；⑶ []2/π3,0； 它是否可作为一个连续型随机变量的密度函数？
解：作为连续型随机变量的密度函数，()x f 在定义范围内满足
①()0≥x f ； ②
()1d =?+∞
∞
-x x f
⑴ 1d sin 2
π
=?
x x 且当[]2/π,0∈x 时，0sin ≥x ，
故可作为连续型随机变量的密度函数； ⑵ 12cos d sin π
0π
0≠=-=?
x x x ，故不可以作为连续型随机变量的密度函数；
⑶1cos d sin 23π0
2
3π
=-=?
x
x x ，但当[]2/π3,π∈x 时，0sin 随机变量的密度函数。 3、 要使下列函数成为密度函数，问式中的参数c b a ,,应满足什么条件（21,l l 是已知数）？ ⑴ ()() ?? ?>=-其它 e c x a x f c x b ； 解：()()() ()b a b a b a x a x x f c b c c x b c c x b c -= ?=== -∞+∞+-+∞ -+∞ ?? e e 1 d e d 1 c b a b ,1,0=-<∴任意。 ⑵ ()? ? ?≤≤-=其它 2 1l x l b x a x g 解：()??-== +∞ ∞ -2 1 d d 1l l x b x a x x g ①1l b <，()()2 1 21 2 d 12 l l l l b x a x b x a -? =-=?， ()() [ ]22 12 2=---∴b l b l a ②21l b l <≤，()()()()??? ? ??? ?-+ -- ?=???? ????-+-=??2 1 212 2d d 122l b b l l b b l b x x b a x b x x x b a ()() [ ]22 12 2=-+-∴b l b l a ③2l b ≥，()()() 2 1 2 1 12 d 12 l l l l x b a x x b a --? =-=? ， ()() [ ]22 22 1=---∴l b l b a 4、 设连续型随机变量ξ的分布函数为 ()1 100,1, ,03 ≥<≤ ???=x x x Ax x F ⑴求常数A ； ⑵求ξ的密度函数； ⑶求{ }5.0>ξP ，{}13.0≤≤ξP ，{}43>ξP 。 解：⑴ ()x F 连续，()()111 ===+ - F F A ，1=∴A ⑵ ()()?? ?<≤='=其它 1 032 x x x F x f ⑶ {}875.0d 35.015 .031 0.5 2 ==>? x x x P ＝ξ {}973.0d 313.01 3 .02==≤≤?x x P ξ {} { }{}64 37d 34343431 4 3 2 ==-<+>=>? x x P P P ξξξ 5、 设随机变量ξ的密度函数为 ()?????>≤=- ,e 0 ,042x Kx x x f x ⑴求未知常数K ； ⑵求{}11≤≤-ξP 。 解：⑴ ()K K x K x Kx x x f x x x 2e 24d e 2d e d 10 4 2 4 4 2 22 =?-=??? ? ??--=== +∞ -∞ +-∞ +-∞ +∞ -??? 2 1= ∴K ⑵ {}4 11 4 4 1 e 1e d e 2112 2- - --=-==≤≤-?x x x x P ξ 6、设随机变量ξ的密度函数为 1.自由基聚合是连锁聚合还是逐步聚合反应？自由基聚合特点是什么？请进行阐述。 ? 答：连锁聚合。。 ? 1.自由基聚合包含有链引发、链增长、链终止、链转移等基元反应，各步反应速率和活化能相差很大；其中链引发反应速率最小，是控制聚合过程的关键。 ? 2.慢引发，快增长，速终止。 ? 3. 从单体转化为大分子的时间极短，瞬间完成。体系中不存在聚合度递增的中间状态。聚合度与聚合时间基本无关 ? 反应连锁进行，转化率随时间的延长而增加； 单体浓度随聚合时间逐步降低，聚合物浓度逐步提高 。延长聚合时间是为了提高单体转化率。 ? 6.反应是不可逆的。 ? 7.少量阻聚剂（0.01-0.1%）足以使自由基聚合终止。 2．自由基聚合中，引发剂的分解反应为动力学一级反应，即分解速率Rd 与引发剂浓度[I]成正比。 如何计算半衰期t 1/2？ 3．什么是缩聚反应？缩聚反应的特点？ ? 单体间相互反应而成高分子化合物，同时还生成小分子(如水、氨等)的聚合反应叫做缩合聚合反应，简称缩聚反应。 ? 1. 没有特定的反应活性中心（等活性） ? 2.随着时间延长，DP 增加，单体转化率基本不变 ? 3. 无所谓链引发、链增长和链终止 ? 4. 是逐步、可逆平衡反应 ? 5. 所用单体至少有两个相互作用的官能团。 反应过程中有小分子析出，高聚物的化学组成与单体不同。 ? 6.复杂性。副反应 4．从元素组成和产物结构、DP 和单体转化率、可逆性、基元反应等，说出缩聚反应与加聚反应的不同点有哪些？ 自由基聚合是加聚反应 ·缩聚反应主链由C O H 和其他杂原子组成，产物主链机构为杂链高分子。。加聚主链只有C H , 产物主链为碳链。 ·缩聚随着时间延长，DP 增加，单体转化率基本不变。加聚反之 ·缩聚可逆。加聚反之 ·缩聚机缘反应是官能团反应，加聚由链引发，增长，转移，终止反应组成 5．高分子的化学反应有哪些？请分别举出一些例子。 ? 聚合度基本不变的反应：侧基和端基变化（纤维素化学反应） ? 聚合度变大的反应：交联、接枝、嵌段、扩链 ? 聚合度变小的反应：降解，解聚 6．高聚物的分子间作用力有什么？各有什么特点？ [I]k dt d[I] R d d =-=RT E d d d d e A k k t -===693 .0693.02ln 21 全国2011年4月自学考试概率论与数理统计（二） 课程代码：02197 选择题和填空题详解 试题来自百度文库 答案由王馨磊导师提供 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为（ A ） A ．C B A B ．C B A C ．C B A D ．C B A 2．设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5 1, P (B )=5 3, 则P (A ∪B )= ( B ) A ．253 B ．2517 C ．5 4 D ．2523 3．设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( C ) A ．0.352 B ．0.432 C ．0.784 D ．0.936 解：P{X ≥1}=1- P{X=0}=1-(1-0.4)3=0.784,故选C. 4．已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2＜X ≤4}= ( C ) A ．0.2 B ．0.35 C ．0.55 D ．0.8 解：P {-2＜X ≤4}= P {X =-1}+ P {X =2}=0.2+0.35=0.55，故选C. 5．设随机变量X 的概率密度为4 )3(2 e 2 π21)(+-= x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( ) A ．2,3- B ．-3, 2 C ．2,3 D ．3, 2 与已知比较可知：E(X)=-3，D(X)=2，故选B. 6．设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为? ??≤≤≤≤=,,0, 20,20,),(其他y x c y x f 则常数 c = ( A ) A ．4 1 B ．2 1 C ．2 D ．4 解：设D 为平面上的有界区域，其面积为S 且S>0，如果二维随机变量 （X ，Y ）的概率密度为 则称 （X ，Y ）服从区域D 上的均匀分布， 实例1 发行彩票的创收利润某一彩票中心发行彩票 10万张, 每张2元. 设头等奖1个, 奖金 1万元, 二等奖2个,奖金各 5 千元;三等奖 10个, 奖金各1千元; 四等奖100个, 奖金各100元; 五等奖1000个, 奖金各10 元.每张彩票的成本费为 0.3 元, 请计算彩票发行单位的创收利润.解：设每张彩票中奖的数额为随机变量X , 则X 10000 5000 1000 100 10 0p 51/1052/10510/105100/1051000/100p 每张彩票平均能得到奖金 05512()10000500001010E X p =? +?++? 0.5(),=元每张彩票平均可赚20.50.3 1.2(), --=元因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为：100000 1.2120000().?=元实例2 如何确定投资决策方向?某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为 30%，可得利润8万元 ， 失败的机会为70%，将损失 2 万元．若存入银行，同期间的利率为5% ，问是否作此项投资?解：设 X 为投资利润，则 X 8 -2p 0.3 0.7()80.320.71(),E X =?-?=万元存入银行的利息:故应选择投资.1050.5(),%?=万元实例3 商店的销售策略某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式，记使用寿命为X （以年计），规定1,1500;12,2000;23,2500; 3,3000.X X X X ≤<≤<≤>一台付款元一台付款元一台付款元一台付款元10,1e ,0,()100, 0.x X x f x x Y -?>?=??≤? 设寿命服从指数分布概率密度为试求该商店一台家用电器收费的数学期望定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术、电气课校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料、电气设备调试高中中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并 第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜 色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序） 例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件 例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？ 关于“概率论与数理统计”课程中案例教学的研究“概率论与数理统计”是理工院校绝大部分理工科专业重要的基础课程，它是 从数量化的角度来研究现实世界中的一类不确定现象及其规律性的一门应用数学学科。在当前现代化的教学改革之中，加强案例的应用，对提高学生在应用数学方面的兴趣和创新能力具有重要意义。本文将结合相关案例探讨案例法在“概率论与数理统计”课程教学中的应用与研究。 标签：概率论与数理统计；课程案例；教学改革 以往的教学内容、教学方法、教学手段已不能满足新形势下的教学要求，应改变“重理论，轻应用”的思想。案例教学是以培养学生的能力为目标，以相关案例为媒介，以分析案例为切入点，以与学生共同探究为主的一种教学手段和方法。案例教学法是一种创新的教学理念，有利于调动教师与学生教和学的积极性，实现师生之间、学生与学生之间的多方面的互动，能够促进理论与实践有效地结合，实现理论向实践的转化，能够培养学生的创造性思维和分析处理实际问题的能力。 1.案例教学引入到“概率论与数理统计”课程的实践 下面我们通过两个案例来说明案例教学在“概率论与数理统计”课程中的作用。 全概率公式和贝叶斯公式是概率论的重点和难点，它们都反映了“因果”的概率规律，然而区别在于：全概率公式做出的是“由因溯果”的推断，而贝叶斯公式则是“由果溯因”。 案例1：某市统计局三名统计员登录一批工业经济调查表，王宁登录了38%，李红登录了40%，张建登录了22%。根据以往的经验，王宁的出错率为1%，李红的出错率为2%，张建的出错率为0.8%。局长从三人登录的调查表中随机抽取一张，试问该表有误的概率是多少？另外，若发现这张表有误，试问是王宁登录的可能性是多少？ 让学生从问题出发，体会“由因溯果”和“由果溯因”，思考如何正确地使用全概率公式和贝叶斯公式来解决上述两个概率问题。另外，注意贝叶斯公式归根结底是个条件概率问题。 另外，一个随机变量如果受到许多随机因素的影响，而其中每个因素都起不到主导作用（作用微小），则它近似服从正态分布。这就是中心极限定理所要表明的结论。这个定理也是结合案例讲解更加清楚明了。 案例2：一盒同型号的螺丝钉共100个，已知该型号的螺丝钉的重量是一随机变量，期望值是100克，标准差是10克，求一盒螺丝钉的重量超过10.2千克 第1章随机事件及其概率 （1）排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 （6）事件的关系与运算①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称 事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的 第一章测试题 一、选择题 1．设A, B, C 为任意三个事件，则与A 一定互不相容的事件为 （A ）C B A ?? （B ）C A B A ? （C ） ABC （D ）)(C B A ? 2.对于任意二事件A 和B ，与B B A =?不等价的是 （A ）B A ? （B ）A ?B （C ）φ=B A （D ）φ=B A 3．设A 、B 是任意两个事件，A B ?，()0P B >，则下列不等式中成立的是（ ） .A ()()P A P A B < .B ()()P A P A B ≤ .C ()()P A P A B > .D ()()P A P A B ≥ 4．设()01P A <<，()01P B <<，()()1P A B P A B +=，则（ ） .A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立 .D 事件A 与B 互不独立 5．对于任意两事件A 与B ，()P A B -=（ ） .A ()()P A P B - .B ()()()P A P B P AB -+ .C ()()P A P AB - .D ()()() P A P A P AB +- 6．若A 、B 互斥，且()()0,0P A P B >>，则下列式子成立的是（ ） .A ()()P A B P A = .B ()0P B A > .C ()()()P AB P A P B = .D ()0P B A = 7．设A 、B 、C 为三个事件，已知()()0.6,0.4P B A P C AB ==，则()P BC A =（ ） .A 0.3 .B 0.24 .C 0.5 .D 0.21 8．设A ，B 是两个随机事件，且0 《概率论与数理统计》 第一章概率论的基本概念 (2) §2．样本空间、随机事件..................................... 2.. §4 等可能概型（古典概型）................................... 3.. §5．条件概率.............................................................. 4.. . §6．独立性.............................................................. 4.. . 第二章随机变量及其分布 (5) §1随机变量.............................................................. 5.. . §2 离散性随机变量及其分布律................................. 5..§3 随机变量的分布函数....................................... 6..§4 连续性随机变量及其概率密度............................... 6..§5 随机变量的函数的分布..................................... 7..第三章多维随机变量. (7) §1 二维随机变量............................................ 7...§2边缘分布................................................ 8...§3条件分布................................................ 8...§4 相互独立的随机变量....................................... 9..§5 两个随机变量的函数的分布................................. 9..第四章随机变量的数字特征.. (10) 概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 111 21 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)= ()()i n i i B A P B P ∑=1 《概率论与数理统计》课程标准 一、课程概述 （一）课程定位 《概率论与数理统计》(Probability Theory and Mathematical Statistics)，由概率论和数理统计两部分组成。它是研究随机现象并找出其统计规律的一门学科，是广泛应用于社会、经济、科学等各个领域的定量和定性分析的科学体系。从学科性质讲，它是一门基础性学科，它为建筑专业学生后继专业课程的学习提供方法论的指导。 （二）先修后续课程 《概率论与数理统计》的先修课程为《高等数学》、《线性代数》等，这些课程为本课程的学习奠定了理论基础。 《概率论与数理统计》的后续课程为《混凝土结构设计》、《地基与基础》等课程。通过该课程的学习可为这些课程中的模型建立等内容的知识学习奠定良好的基础,在教学中起到了承上启下的作用。 二.课程设计思路 本课程的基本设计思路是极力用较为通俗的语言阐释概率论的基本理论和数理统计思想方法;理论和方法相结合，以强调数理统计理论的应用价值。总之,强调理论与实际应用相结合的特点,力求在实际应用方面做些有益的探索，也为其它学科的 进一步学习打下一个良好的基础。 三、课程目标 《概率论与数理统计》是一门几乎遍及所有的科学技术领域以及工农业生产和国民经济各部门之中。通过学习该课程使学生掌握概率、统计的基本概念，熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法，并能用所掌握的方法具体解决工程实践中所遇到的各种问题。 （一）能力目标 力求在简洁的基础上使学生能从整体上了解和掌握该课程的内容体系，使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如地应用这些理论。 （二）知识目标 1.理解掌握概率论中的相关概念和公式定理； 2.学会应用概率论的知识解决一些基本的概率计算； 3.理解数理统计的基本思想和解决实际问题的方法。 （三）素质目标 1.培养学生乐于观察、分析、不断创新的精神； 2.培养具有较好的逻辑思维、较强的计划、组织和协调能力； 3.培养具有认真、细致严谨的职业能力。 四、课程内容 根据能力培养目标的要求，本课程的主要内容是随机事件、随机变量、随机向量、数字特征、极限定理。具体内容和学时分配见表4-1。 表4-1 课程内容和学时分配 物化练习卷 班级学号：姓名： 一、选择题（10题,各1分） 1.1mol 单原子理想气体从298K，20 2.65kPa 经历①等温可逆过程; ②绝热可逆过程; ③等压; 三条途径膨胀使体积增加到原来的2倍，所作的功分别为W1,W2, W3，三者的关系是: ( B ) (A) W1> W2> W3 (B) W2> W1> W3 (C) W3> W2> W1 (D) W3> W1> W2 2、理想气体在绝热条件下，经恒外压压缩至稳定，此变化中的体系熵变?S体及环境熵?S环 应为： ( C ) A. ?S体 > 0, ?S环< 0 B. ?S体 < 0, ?S环 > 0 C. ?S体> 0, ?S环= 0 D. ?S体< 0, ?S环= 0 3、已知苯一乙醇双液体系中，苯的沸点是353.3K, 乙醇的沸点是351.6K, 两者的恒沸组成为：含乙醇47.5%(摩尔分数)，沸点为341.2K。今有含乙醇77.5%的苯溶液，在达到气、液平衡后，气相中含乙醇为y2，液相中含乙醇为x2。问：下列结论何者正确？ ( C ) A. y2 >x2 B.y2 =x2 C. y2 《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文 Probability theory 概率论 mathematical statistics 数理统计 deterministic phenomenon 确定性现象 random phenomenon 随机现象 sample space 样本空间 random occurrence 随机事件 fundamental event 基本事件 certain event 必然事件 impossible event 不可能事件 random test 随机试验 incompatible events 互不相容事件 frequency 频率 classical probabilistic model 古典概型 geometric probability 几何概率 conditional probability 条件概率 multiplication theorem 乘法定理 Bayes's formula 贝叶斯公式 Prior probability 先验概率 Posterior probability 后验概率 Independent events 相互独立事件 Bernoulli trials 贝努利试验 random variable 随机变量 probability distribution 概率分布 distribution function 分布函数 discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布 random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布 Poisson distribution 泊松分布 geometric distribution 几何分布 probability density 概率密度 continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布 numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望 variance 方差 moment 矩 central moment 中心矩 n-dimensional random variable n-维随机变量 two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布 joint distribution law 联合分布律 joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律 概率论与数理统计MOOC课程中的案例设计 发表时间：2018-07-06T10:44:29.247Z 来源：《防护工程》2018年第5期作者：郭珂琪 [导读] 概率论与数理统计是工程数学非常重要的组成部分，甚至有西方学者提出：在大数据时代，统计比微积分更基础。 北京计算机技术及应用研究所北京 100854 摘要：概率论与数理统计是工程数学非常重要的组成部分，甚至有西方学者提出：在大数据时代，统计比微积分更基础。在西方，这门课是几乎所有大学生都要学习的必修课程，在我国，概率论与数理统计也是理工，农林，经管，医药卫生等各领域学生的必修课程，如何让学生学好这门课程一直是很多教师关注的热点。这门课程成为MOOC 课程，可以面向更多的学生，整合并充分利用优质教育资源，方便不同专业的交流；但同时也面临了学生专业跨度大，数学基础差别大的困难。针对这样的学生群体，该课程的MOOC 课程制作面临更大的挑战，必须深入浅出，形象生动，难度层次递进，且有连贯性，才能达到更好的教学效果，并有效降低学生辍学率。 关键词：MOOC 课程；概率论与数理统计；案例教学；概率统计 随着各种MOOC资源平台的涌现和推广，新的在线教学模式—MOOC已经成为大学教育中不可忽视的一种教育模式。MOOC对学校而言，能更好地整合教育资源；对学生而言，能更好地锻炼自学、思考和反思的能力。但MOOC也存在一些较难克服的障碍，对于内容抽象、学习难度大的课程，基础有欠缺、自制力缺乏的学生的辍学率始终居高不下，故可以预见，在较长时期内，部分学生还是会选择以传统课堂教学课程为主的学习方式。对于这门内容抽象、学习难度大的课程，如何保证学生课下自学的效果，不影响课程内容的进度，成为翻转课堂实施的一个关键问题，MOOC相关课程的资源便成为学生课下自学中最好的辅助；同时在课上讨论中，为了更好地提高学生的兴趣，锻炼学生的思考能力，也可以适当结合和借鉴MOOC灵活开放的教学方式。 一、案例教学对概率论与数理统计课堂教学的意义 在概率论与数理统计课堂教学中积极提倡案例教学是十分必要的，并具有其独特的意义。 1、概率论与数理统计的教学目标，既有学习理论方面的目标，又有实践层面的目标，既培养学生具有扎实的概率统计基础理论，又能将该理论和实践结合起来。而案例教学能将理论和实践很好地结合起来，可以使两个目标得以同时实现，且在两者结合方面拉近了距离，使得理论不再是空中楼阁，而是活生生的理论，实践也不是盲目的实践，而是有指导、有方向、有目的的实践。概率论与数理统计是一门应用性很强的学科，很适合用案例教学方法来组织课堂教学。 2、概率论与数理统计是一门研究随机现象的学科，在学习中有许多难点，需辅以案例教学才能理解概率论与数理统计的思想方法、基本原理和统计工具。概率论与数理统计这门课程不同于以往学习的确定性数学，其中随机变量、分布函数、大数定理、中心极限定理、极大似然估计方法以及假设检验的思想方法等都是该课程中难以理解的内容，如果教师在课堂教学上照本宣科，只强调教学过程的理论性、严谨性和逻辑性而脱离实际应用，学生要真正掌握和理解概率统计思想方法和概率统计模型是很困难的，必须从案例出发，才能清晰地阐明其概念和统计思想，必须通过案例的描述、假设、建模与求解，演示理论与方法的应用过程。 3、在概率论与数理统计课堂教学中实施案例教学也是教学改革的必然要求。案例教学法是把案例作为一种教学工具，把学生引导到实际问题中去，通过分析与相互讨论，调动学生的主动性和积极性，并提出解决问题的基本方法和途径的一种教学方法，它是连接理论和实践的桥梁。将理论教学与实际案例有机地结合起来，使得课堂讲解生动而清晰，可收到良好的教学效果。同时案例教学可以促进学生全面地看问题，从数量的角度分析事物的变化规律，使概率与数理统计的思想和方法在现实生活中得到更好的应用，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。 二、案例教学在概率论与数理统计课堂教学中的运用 案例教学一般适合于既要注重理论教学，又注重实际操作的课程，而概率论与数理统计作为一门应用性很强的随机学科，在课堂上很适合采用案例教学方法，根据该学科的特点，在案例教学时应按照以下步骤组织实施： 1、案例的选择。选择合适的案例是整个案例教学的核心，同时也是一项十分复杂的工作，这主要是由于大学各理工科的专业性质不同，对案例的选择也不同，一般来说，所选择的案例要与相应专业比较接近，这样才能调动学生学习的积极性，以达到好的教学效果。因而在选择案例时需把握以下几点：一要考虑案例的实用性；二要考虑案例的典型性；三要考虑案例的针对性。根据案例的选择原则，这就要求我们在选择案例时要深入各个相关专业进行调研，与专业教师交流探讨，对专业教材阅读分析，收集专业课程中使用概率论与数理统计知识的案例和学生感兴趣的案例，安排教研活动组织专题讨论，进行分类汇总，编写《概率论与数理统计案例选编》，对于来自各个学科专业的数学应用案例，要有问题的提出和分析，有模型的建立与求解，有应用的讨论和评注。 2、明确案例教学思路，做好案例教学设计。根据教学内容，结合学生的专业特点，从概率论与数理统计案例选编中选取合适案例，选取好案例后，要合理分配好课堂上案例讨论与分析的时间，选择好教学方法和教学手段，并以多媒体的形式在课堂上呈现。概率论与数理统计从内容到方法与以往的数学课程有本质的不同，因此其基本概念的引入就显得更为重要。在教学中，应首先从案例出发引入概率统计的相关概念、概率统计的基本原理、统计方法，然后再选择合适案例来说明概率统计原理与方法的应用。当然，在课堂上不是要一味地讲解案例，也不是案例越多越好，而是要把握好案例与课堂知识点的结合，不能公式化，在教学过程中要充分体现“实践—理论—实践”的认识过程，做到理论与实际的有机结合。 3、有效组织案例教学，做好案例的讨论、分析。案例的讨论与分析是案例教学的中心环节，对案例进行讨论的目的是提出解决问题的途径与方法，可以从自身角度出发来剖析案例，说明自己的观点和看法，教师要掌握讨论的进程，让学生成为案例讨论的主体，同时把握好案例讨论的重点和方向，进行必要的引导。同时在组织案例教学时要辅以各种有效的教学方法，如启发式教学、讨论式教学，让学生积极参与，大胆发表意见，提出观点，深入思考，激发学生的学习热情及科研兴趣，使案例教学效果达到最佳，培养学生运用概率统计原理解决实际问题的能力。 4、案例的总结。案例总结是保证和提高案例教学质量的必备环节。对案例的总结一般要包括以下内容：一是对讨论过程进行总结，对于一个案例，让学生提出各种观点及其案例所包含的概率统计原理，让学生通过分析和评价案例，掌握正确处理和解决复杂多变的现实 概率论与数理统计基本知识点 一、概率的基本概念 1．概率的定义: 在事件上的一个集合函数P ，如果它满足如下三个条件： （1）非负性 A A P ?≥,0)( （2）正规性 1)(=ΩP （3）可列可加性 若事件,...,2,1,=n A n 两两互斥 则称P 为概率。 2．几何概型的定义: 若随机试验的样本空间对应一个度量有限的几何区域S ，每一基本事件与S 内的点一一对应，则任一随机事件A 对应S 中的某一子区域D 。（若事件A 的概率只与A 对应的区域D 的度量成正比，而与D 的形状及D 在S 中的位置无关。）==（每点等可能性）则称为几何概型。 的度量 对应区域的度量 对应区域S D )()()(Ω=Ω= A m A m A P 3．条件概率与乘法公式： 设A,B 是试验E 的两个随机事件，且0)(>B P ,则称) () ()|(B P AB P B A P = 为事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率。（其中)(AB P 是AB 同时发生的概率） 乘法公式：)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 4．全概率公式与贝叶斯公式： （全概率公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则有∑== n i i i A B P A P B P 1 )|()()(。 （贝叶斯公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则∑== =?n k k k i i A B P A P A B P A P B A P n i 1 ) |()() |()()|(,,...,2,1。 5．事件的独立性： 两事件的独立性：（定义）设A 、B 是任意二事件，若P(AB)= P(A)P(B)，则称事件A 、B 是相互独立的。（直观解释）A 、B 为试验E 的二事件，若A 、 B 的发生互不影响。 二、随机变量和分布函数: 概率论与数理统计 学习报告 学院 学号： 姓名： 概率论与数理统计学习报告 通过短短一学期的学习，虽然学习、研究地并不深入，但该课程的每一处内容都有不同的奇妙吸引着我，让我对它在生活中饰演的角色充满遐想；它将我带入了一个由随机变量为桥梁，通过表面偶然性找出其内在规律性，从而与其它的数学分支建立联系的世界，让我对这种进行大量的随机重复实验，通过分析研究得出统计规律性的过程产生了极大地兴趣。我很喜欢这门课程，但也不得不说课后在它上面花的时间并不多，因此学得还不深入，但它真的深深地吸引了我，我一定会找时间进一步深入地学习它。 先简单地介绍一下概率论与数理统计这门学科。 概率论是基于给出随机现象的数学模型，并用数学语言来描述它们，然后研究其基本规律，透过表面的偶然性，找出其内在的规律性，建立随机现象与数学其他分支的桥梁，使得人们可以利用已成熟的数学工具和方法来研究随机现象，进而也为其他数学分支和其他新兴学科提供了解决问题的新思路和新方法。数理统计是以概率论为基础，基于有效的观测、收集、整理、分析带有随机性的数据来研究随机现象，进而对所观察的问题作出推断和预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议。 概率论与数理统计是研究随机现象及其规律性的一门数学学科。研究随机现象的规律性有其独特的思想方法，它不是寻求出现每一现象的一切物理因素，不能用研究确定性现象的方法研究随机现象，而是承认在所研究的问题中存在一些人们不能认识或者根本不知道的 随机因素作用下，发生随机现象。这样，人们既可以通过试验来观察随机现象，揭示其规律性，作出决策，也可根据实际问题的具体情况找出随机现象的规律，作出决策。 至今，概率论与数理统计的理论与方法已经广泛应用于自然科学、社会科学以及人文科学等各个领域中，并随着计算机的普及，概率论与数理统计已成为处理信息、制定决策的重要理论和方法。它们不仅是许多新兴学科，如信息论、控制论、排队论、可靠性论以及人工智能的数学理论基础，而且与其他领域的新兴学科的相互交叉而产生了许多新的分支和边缘学科，如生物统计、统计物理、数理金融、神经网络统计分析、统计计算等。 概率论应用随机变量与随机变量的概率分布、数字特征及特征函数为数学工具对随机现象进行描述、分析与研究，其前提条件是假设随机变量的概率分布是已知的；而数理统计中作为研究对象的随机变量的概率分布是完全未知的，或者分布类型已知，但其中的某些参数或某些数字特征是未知的。概率论研究问题的方法是从假设、命题、已知的随机现象的事实出发，按一定的逻辑推理得到结论，在方法上是演绎式的。而统计学的方法是归纳式的，从所研究地对象的全体中随机抽取一部分进行试验或观测，以获得试验数据，依据试验数据所获取的信息，对整体进行推断，是归纳而得到结论的。因此掌握它特有的学习方法是很重要的。 在学习的过程中，不论是老师提出的一些希望我们课后讨论的问题还是自己在做作业看书过程中遇到的一些问题都引发了我的一些 一、《概率论与数理统计（经管类）》考试题型分析： 题型大致包括以下五种题型，各题型及所占分值如下： 由各题型分值分布我们可以看出，单项选择题、填空题占试卷的50%，考查的是基本的知识点，难度不大，考生要把该记忆的概念、性质和公式记到位。计算题和综合题主要是对前四章基本理论与基本方法的考查，要求考生不仅要牢记重要的公式，而且要能够灵活运用。应用题主要是对第七、八章内容的考查，要求考生记住解题程序和公式。结合历年真题来练习，就会很容易的掌握解题思路。总之，只要抓住考查的重点，记住解题的方法步骤，勤加练习，就能够百分百达到过关的要求。二、《概率论与数理统计（经管类）》考试重点说明：我们将知识点按考查几率及重要性分为三个等级，即一级重点、二级重点、三级重点，其中，一级重点为必考点，本次考试考查频率高；二级重点为次重点，考查频率较高；三级重点为预测考点，考查频率一般，但有可能考查的知识点。第一章随机事件与概率 1．随机事件的关系与计算 P3-5 （一级重点）填空、简答事件的包含与相等、和事件、积事件、互不相容、对立事件的概念 2．古典概型中概率的计算 P9 （二级重点）选择、填空、计算记住古典概型事件概率的计算公式 3. 利用概率的性质计算概率 P11-12 （一级重点）选择、填空 ,（考得多）等，要能灵活运用。 4. 条件概率的定义 P14 （一级重点）选择、填空记住条件概率的定义和公式： 5. 全概率公式与贝叶斯公式 P15-16 （二级重点）计算记住全概率公式和贝叶斯公式，并能够运用它们。一般说来，如果若干因素（也就是事件）对某个事件的发生产生了影响，求这个事件发生的概率时要用到全概率公式；如果这个事件发生了，要去追究原因，即求另一个事件发生的概率时，要用到贝叶斯公式，这个公式也叫逆概公式。 6. 事件的独立性（概念与性质） P18-20（一级重点）选择、填空定义：若，则称A与B 相互独立。结论：若A与B相互独立，则A与，与B 与都相互独立。 7. n重贝努利试验中事件A恰好发生k次的概率公式 P21（一级重点）选择、填空在重贝努利试验中，设每次试验中事件的概率为（），则事件A恰好发生。第二章随机变量及其概率分布 8．离散型随机变量的分布律及相关的概率计算 P29，P31（一级重点）选择、填空、计算、综合。记住分布律中，所有概率加起来为1，求概率时，先找到符合条件的随机点，让后把对应的概率相加。求分布律就需要找到随机变量所有可能取的值，和每个值对应的概率。 9. 常见几种离散型分布函数及其分布律 P32-P33（一级重点）选择题、填空题以二项分布和泊松分布为主，记住分布律是关键。本考点基本上每次考试都考。 10. 随机变量的分布函数 P35-P37（一级重点）选择、填空、计算题记住分布函数的定义和性质是关键。要能判别什么样的函数能充当分布函数，记住利用分布函数计算概率的公式：①；②其中；③。 11. 连续型随机变量及其概率密度 P39（一级重点）选择、填空重点记忆它的性质与相关的计算，如①；；反之，满足以上两条性质的函数一定是某个连续型随机变量的概率密度。③；④ 设为的东华大学物理与化学考研习题集介绍
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