第2章 方差分析

第2章方差分析

2.1 概述

方差分析（analysis of variance）是数理统计的基本方法之一，是分析试验数据的一种有效工具。方差分析是在20世纪20年代初由英国统计学家费歇尔（R.A.Fisher）所创，最早用于生物学和农业实验，后在工业生产和科学研究中的许多领域广泛应用，取得良好的效果。

一、方差分析的必要性

在第1章中，我们已经讨论了两个正态总体均值相等的假设检验问题。但在实际生产中，经常遇到检验多个正态总体均值是否相等的问题。

例2-1 以淀粉为原料生产葡萄糖的过程中，残留有许多糖蜜，可作为生产酱色的原料。在生产酱色之前应尽可能彻底除杂，以保证酱色质量。为此，对除杂方法进行选择。在试验中选用五种不同的除杂方法，每种方法做四次试验，即重复四次，结果见表2-1。

表2-1 不同除杂方法的除杂量(g/kg)

本试验的目的是判断不同的除杂方法对除杂量是否有显著影响，以便确定最佳除杂方法。我们可以认为，同一除杂方法重复试验得到

的4个数据的差异是由随机误差造成的，而随机误差常常是服从正态分布的，这时除杂量应该有一个理论上的均值。而对不同的除杂方法，除杂量应该有不同的均值。这种均值之间的差异是由于除杂方法的不同造成的。于是我们可以认为，五种除杂方法所得数据是来自五个均值不同的五个正态总体，且由于试验中其它条件相对稳定，因而可以认为每个总体的方差是相等的，即五个总体具有方差齐性。这样，判断除杂方法对除杂效果是否有显著影响的问题，就转化为检验五个具有相同方差的正态总体均值是否相同的问题了，即检验假设

H0: μ1=μ2=μ3=μ4=μ5

对于这种多个总体样本均值的假设检验，第1章介绍的方法不再适用，须采用方差分析方法。

二、方差分析的基本思想

方差分析的实质就是检验多个正态总体均值是否相等。那么，如何检验呢？

从表2-1可见，20个试验数据（除杂量）是参差不齐的。数据波动的可能原因来自两个方面：一是由于因素的水平（即除杂方法）不同造成的，事实上，5种除杂方法下的数据平均值

之间确实有差

i

异；二是偶然失误造成的。从表中数据可见，每一种除杂方法下的4个数据虽然是相同条件下的试验结果，但仍然存在差异。这是由于试验中存在的偶然因素（如环境、原材料成分、测试技术等的微小而又随机的变化）引起的。我们把由因素的水平变化引起的试验数据波动称为条件误差；把由随机因素引起的试验数据波动称为随机误差或试验误差。

方差分析的中心要点是：把实验数据的总波动分解为两部分，一部分反映由条件误差变化引起的波动；另一部分反映由实验误差引起

的波动。即把数据的总偏差平方和T S 分解为反映必然性的各个因素的偏差平方和（S A 、S B …）与反映偶然性的误差偏差平方和（S e ），并计算它们的平均偏差平方和，再将二者进行比较，借助F 检验法，检验假设H 0：12μμ==……，从而确定因素对试验结果的影响是否显著。换言之，找出对试验数据起决定性影响的因素（即显著性或高度显著性因素）作为进行定量分析判断的依据。

2.2 单因素实验的方差分析

一、问题的提出

在进行一项实验中，如果只有一个因素在改变，而其他因素保持固定不变，就被称为单因素实验。因素变化所划分的等级（或条件）叫做水平（level ），对每个水平都要进行若干次重复实验，通常当作一个样本来看待，称为一个“处理”（treatment ）.

为了便于讨论，我们先给出单因素方差分析的一般提法：

设实验所考察的因素A 有m 个水平：A 1，A 2，…，i A ，…，A m ，在每个水平上重复进行r 次实验，每次实验的可能结果都是一个随机变量。同一条件下的r 次重复实验的可能结果是同一总体的一个样本。设水平i A 的第j 次实验值为x ij （i ＝1,2,…,m ；j ＝1,2,…,r ），可得实验数据及计算表的模式如下：

表2-2 单因素试验数据及计算表(水平重复数相等)

表中（1i x ,2i x ……ir x ）就是i A 的一个容量为r 的样本。对应于m 个总体，有m 个这样的样本值。试验之后就得到m 个样本值。问题就是要根据这m 个样本值，分析试验条件的变化对所考察的指标有无显著影响。实际上，就是要考察m 个总体的数学期望有无显著差异，因而这是一个假设检验的问题。

在表2-2中， ∑=?=r

j ij i x x 1，?=?==∑i r j ij i x r x r x 1

11

∑∑∑===???==m

i r

j ij m

i i x x x 11

1

∑∑∑==??=???===m i m i r j ij

i x n

x mr x m x 1111

11 mr n =

二、单因素方差分析的前提条件

单因素方差分析是建立在下述假设的基础上的：

1、每一水平上的实验结果是一个随机变量ij x （i 为第i 个水平，j 为第j 次试验），且服从正态分布。（1i x ,2i x ……ir x ）是第i 个水平的正态总体中抽出的一个简单随机样本，样本容量为r 。

2、所有m 个不同水平对应的m 个正态总体的方差是相等的，即具有方差齐性。ij x ～N （i μ，2σ）

3、m 个总体相互独立，样本与样本之间也相互独立，要检验的假设

是：

H 0：μ1=μ2=……=m μ

若拒绝H 0，则认为至少两个水平之间的差异是显著的，因素A 对实验结果有显著影响；反之，若接受原假设，则认为因素A 对试验结果无显著影响，试验结果在各水平之间的不同仅仅是由于随机因素引起的。

三、单因素方差分析的一般步骤 1. 偏差平方和的分解

把整个试验结果所得的每一观测值x ij 对其总平均值..x 的偏差进行平方并求总和，就是总的偏差平方和，用S T 表示，它反映了全部观测值间的总的差异情况。

S T =∑∑==??-m

i r

j ij x x 112)(

（2-1）

将式（2-1）进行分解 S T =∑∑==??-m i r

j ij x x 112)(

)

()(2)()()]()[(2

2

11

2

????????==????--+-+-=-+-=∑∑∑∑∑∑∑∑x x x x x x x x x x x x i i ij i i ij m

i r

j i i ij

其中∑∑==????--m i r

j i i ij x x x x 11

))((

＝])()([1

1

∑∑=????=--r

j i ij i m i x x x x

＝]))(([11

1∑∑∑==????=--r j r

j i ij i m i x x x x

＝)])(([1

?????=--∑i i i m

i x r x x x

＝0)])(([1

=--?????=∑i i i m

i x x x x

又∵∑∑∑=???==???-=-m

i i m i r j i x x r x x 1

211

2

)()(

∴ S T =∑∑∑=???==?-+-m

i i m i r j i ij x x r x x 1

211

2

)()( （2-2）

令 S A ＝∑=???-m

i i x x r 1

2)( （2-3）

它表示各水平（条件）下的平均数与总平均数的偏差平方和，反映了因素A 的水平变化所引起的波动，称为组间偏差平方和或因素平方和。

令 ∑∑==?-=m

i r

j i ij e x x S 112)( （2-4）

它表示各条件（水平）下的试验值与该条件下的平均值之偏差的平方和。反映了随机误差引起的波动，称为组内偏差平方和或误差平方和。 ∴ S T = S A + S e （2-5） 这样，我们就将总的偏差平方和分解为组间偏差平方和与组内偏差平方和之和。

2. 偏差平方和的简化计算

为计算方便，在实际运算中，常用下列简便算法求S T 、S A 和S e 。 S T =∑∑

∑∑????==??+-=-)2()(2

2

112x x x x

x x ij ij

m

i r

j ij

22

2

2

2

2

2

22

21)(

)(22?

????

??

??????

???∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑

-=-=-=+-=+-=x n x n

x n x x m r x

x m r x m r x x x x x x ij ij ij ij ij

ij

令 Q T ＝∑∑==m i r

j ij x 11

2

CT=2)(1

??x n

则有 S T = Q T - CT （2-7） 式中：??x ——数据总和 CT ——修正项

n ——数据总个数 n=mr

m ——水平数， r ——每一水平重复试验次数 Q T ——各数据平方之和

同理：令 Q A ＝∑=?m i i x r 1

21

则 S A = Q A － CT （2-8） 一般先求出S T 和S A ，然后再利用

S e = S T － S A （2-9） 求出S e 。计算可在表2-2所示得数据计算表上进行。

3. 方差（平均偏差平方和）与自由度

偏差平方和的大小，与参加求和的项数有关，为了比较S A 与S e 的大小，应消除求和项数的影响，用它们的平均值进行比较。

由理论推导可知，S A 与S e 的平均值，不是把S A 和S e 分别除以相应的参与求和的项数，而应除以它们的自由度。S T 、S A 、S e 的自由度分别用f T 、f A 和f e 表示. 经理论分析可知：

f T =mr-1=n-1 f A =m-1 f e =mr-m=n-m

显然，有 f T ＝f A ＋f e （2－10） 上式为偏差平方和自由度分解公式。因为总自由度 f T =n-1是总的数据个数减1，而组间自由度f A ＝m －1是因素的水平数减1，都很好计

算。所以一般先求出f T和f A，然后再利用

f e＝f T（组内自由度）－f A（组间自由度）（2-11）求出组内自由度f e。

偏差平方和与相应的自由度之比称为平均偏差平方和，简称为均方和或均方或方差，方差＝均方＝均方和＝偏差平方和/自由度=平均偏差平方和

因此，组间方差V A和组内方差V e分别为

组间方差

V A=S A/f A（2-12）组内方差

V e= S e/f e（2-13）4.用F检验法进行显著性检验

若假设H0为真，即μ1=μ2=…=μm

那么全体样本可看作来自同一正态总体N（μ,σ2）。此时可证明S T/f T, S A/f A和S e/f e均为总体方差σ2的无偏估计值，所以比值F=V A/V e应接近于1，即各平均数之间不存在条件误差，纯属试验误差或随机误差。如果F值比1大得多，即V A显著地大于V e，就有理由认为原假设不成立，表明S A中不仅包括随机误差，而且包括因素A的水平波动引起的数据波动（称为因素误差），即因素A对试验结果影响显著。这种比较方差大小来判断原假设H0是否成立的方法，就是“方差分析”名称的由来。

由前面的讨论可知，只要知道此值F的概率分布，就可以用它作为检验假设的统计量。事实上，可以证明：当原假设H0成立时，S A 和S e分别为自由度（m-1）和（n-m）的 2变量，从而统计量F服从自由度f1=m-1和f2=n-m的分布。于是对给定的显著水平α，可查F

分布表求得临界值F

α，使P(F>Fα)=α。

若由样本值求得F≤F

α,则认为原假设H0成立，即认为条件的改

变对指标无显著影响；若F>F

α,则否定原假设H0，即认为因素A的改变对指标有显著影响。

关于α值的选取，视具体情况而定，通常取α＝0.01或0.05，从F分布表查出F0.01和F0.05。若F>F0.01,判定因素A对指标影响特别显著。称“某因素高度显著”,在方差分析表的“显著性”栏中记“**”；若F0.05

5.制定方差分析表

由以上讨论可知，方差分析的步骤基本上就是假设检验的步骤，特殊的只是检验用的统计量是由两个平均偏差平方和之比构成。这两个偏差平方和分别表示条件误差与试验误差，它们是由总的偏差平方和分解出来的。因此，在具体进行方差分析时，主要就是要计算这些偏差平方和。由于计算过程较繁，一般把计算结果列成简明的方差分析表，其格式如表2-3所示。

表2-3 方差分析表

四、单因素方差分析实例

现在仍以例2-1的试验数据为例，说明单因素方差分析的步骤，

表2-1数据的计算表见表2-4。 例：2-1 五种除杂方法 废糖蜜利用

解：1.计算偏差平方和及自由度

??x =6.5232.216.255

14

1=++=∑∑== i j ij x

CT=85.131076.5234

51

..)(122=??=

x n (13707.85) ?i x =∑=4

1

j ij x ，如：?1x = ∑=4

1

1j j x =25.6+22.2+28.0+29.8=105.6

Q T =∑∑===++=++=514

1

222

72.1395424.180724.28202.216.25i j ij x S T =Q T -CT=13954.72-13707.85=246.87 f T =mr-1=4×5-1＝19

Q A =∑∑==?=++==m i i i i x x r 151222.281.13839)0.856.105(4

1

411 S A =Q A -CT=13839.81-13707.85=131.96 f A =m-1=5-1=4 f e =n-m=20-5=15 或f e =f T -f A =19-4=15

S e =S T -S A =246.87-131.96＝114.91 2.计算方差和F 值 V A =S A /f A =131.96/4=32.99 V e =S e /f e =114.9/15=7.66 F=V A /V e =32.99/7.66=4.31 3.查F α值 F α＝F α(f A , f e ) F 0.05(4,15)=3.06， F 0.01(4,15)=4.89 4.列出方差分析表

表2-5 方差分析表

由于F0.05(4,15)

故拒绝原假设H0，即不同除杂方法对除杂效果有显著影响。

2.3 双因素试验的方差分析

上面讨论了单因素试验的方差分析，即考虑一个因素对试验结果是否有显著影响的问题，但在实际中，影响实验结果的因素往往不只一个而是多个，这时要分析多个因素的作用。若同时考虑两个因素对试验结果的影响，就要对两个因素试验进行方差分析，称双因素试验的方差分析。对于双因素试验的方差分析，其基本思想和方法与单因素试验的方差分析相似，关键在于如何把总的偏差平方和进行分解。前提条件仍然是要满足相互独立、方差齐性和正态分布三个条件。所不同的是，在双因素试验中，有可能出现交互作用。

一、双因素无重复试验的方差分析

1.问题的一般提法

某项试验要同时考察因素A和B对试验结果的影响，因素A取A1， A2，…A a共 a个水平，因素B取B1， B2，…B b共 b个水平。A和B两因素的每种水平搭配A i B j各进行一次独立试验，共进行a×b＝n次试验，试验数据为x ij，这n个试验数据如表2-7所示。

水平搭配共进行a×b=n次试验

表2-7 双因素无重复试验数据及计算表

表中

行求和： ∑==b

j ij i x x 1. （i ＝1，2，……，a ）

行平均数：..1i i x b

x =

列求和：∑==a

i ij j x x 1

. （j ＝1，2，……，b ）

列平均数：j j x a

x ..1

=

总数据和：∑∑∑∑

=======b

j j a i i b

j ij

a

i x x x

x 1

.1

.1

1

..

总平均数：..x =x ../ab=x ../n n=ab

要求分别检验A 、B 两因素对试验结果有无显著影响，即检验假设：

H 01:因素A 无显著影响 H 02:因素B 无显著影响 2. 双因素无重复试验方差分析步骤

（1） 偏差平方和的分解

为了构造检验用的统计量，与单因素方差分析一样，先对偏差平方和进行分解。

S T =∑∑

==-b

j ij

a

i x x

1

2..1)(

=∑∑

==-+-++--b

j j i j i ij

a

i x x x x x x x x

1

2 (1)

)]()()[(

)

()(2)()(2)()(2)()()(......

(2)

...2...2....x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x x x

j i j j i ij

i j i ij j i j i ij

--+-+--+-+--+-+-++--=∑∑∑∑∑∑

∑∑

∑∑∑

∑

不难证明，后三项交叉积均为零，例如

)]()([){(}

)]()[(){()]

()[()

)(( (1)

...1

....1...1....1...1. (1)

=----=----=+---=-+--∑∑∑∑∑∑∑=======x x x x b x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

i i a

i i b

j j i ij a i i b

j j i ij a i i b

j i j i ij

a

i

（.11..111i b

j ij b j ij i i x b x b x b x b x =∴==∑∑==

又..1

.1.1.1.11

....,11111x b x x b x a ab x ab x ab x ab x b

j j b

j j b j j b j j b

j ij a

i =∴=====∑∑∑∑∑∑====== ） ∴S T =∑∑

∑∑

∑∑

======+--+-+-b

j j i ij

a

i b

j j

a

i b

j ij

a

i x x x x

x x

x x

1

2 (1)

12

...1

1

2

..1)()()(

=∑∑

∑∑====+--+-+-b

j j i ij

a

i b

j j a

i i x x x x

x x a x x b 1

2 (1)

1

2

...1

2

...)()()(

令 S A = ∑=???-a

i i x x b 1

2)(

S A 为因素A 各水平间（即各行间）的偏差平方和，反映了因素A 对

试验结果的影响； 令 S B = ∑=???-b

j j x x a 12)(

S B 为因素B 各水平间（即各列间）的偏差平方和，反映了因素B 对试验结果的影响； S e =∑∑

==+--b

j j i ij

a

i x x x x

1

2....1)(

S e 为误差的偏差平方和，即组内偏差平方和，反映了试验误差的大小。 因此，是（2-15）可简记为

S T =S A ＋S B +S e （2-16） （2）偏差平方和的简化计算

S T =S A +S B +S e =∑∑==-a i b j ij x x 11

2

..)(=∑∑==a i b

j ij x 11

2

-n

1

(x ..)2 = Q T -CT （2-17）

S A =b 2

1...)(∑=-a

i i x x =

b 1

∑=a

i i x 1

2.-n

1

(x ..)2=Q A -CT （2-18） S B =a 2

1

...)(∑=-b

j j x x =

a 1

∑=b

j j x 1

2.-n

1

(x ..)2=Q B -CT （2-19） S e =∑∑==--a

i b

j j i ij x x x 11

..)(=S T -S A -S B （2-20）

（3）计算自由度和方差 S T 的自由度 f T =ab-1=n-1 S A 的自由度 f A =a-1 S B 的自由度 f B =b-1

S e 的自由度 f e =f T -f A -f B =(a-1)(b-1) 行间方差：V A =S A /f A =S A /(a-1) 列间方差：V B =S B /f B =S B /(b-1) 误差方差：V e =S e /f e =S e /[(a-1)(b-1)] （4）显著性检验

可以证明：若假设H01为真，则统计量F A＝V A/V e服从自由度为（f A, f e）的F分布。若假设H02为真，则统计量F B＝V B/V e服从自由度为（f B, f e）的F分布。

对给定的显著性水平α，由F分布表查的F A,α和F B,α

若F A>F A,α, 则拒绝H01;反之，则接受H01，

若F B>F B,α, 则拒绝H02,反之，则接受H02。

(5)列出方差分析表

表2-8 双因素无重复试验方差分析表

3.双因素无重复试验方差分析实例

例2-2（p.55～56）

二、双因素等重复试验的方差分析（略）请自学

第二章 常用统计技术(1)方差分析

第二章常用统计技术 第二章常用统计技术 【考试趋势】 单选4-5题，多选6-8题，综合分析7-8题。总分值30-40分。总分170分。占比20%左右。 【大纲考点】 一、方差分析 (一)方差分析基本概念 1．掌握因子、水平和方差分析的三项基本假定 2．熟悉方差分析是在同方差假定下检验多个正态均值是否相等的统计方法（难点） (二)方差分析方法 1．掌握单因子的方差分析方法(平方和分解、总平方和、因子平方和、误差平方和，自由由度、f比、显著性) （重点） 2．了解重复数不等情况下的方差分析方法。（难点） 二、回归分析 主要研究定量因子，也就是变量分析 (一)散布图与相关系数 1.掌握散布图的作用与做法 2.掌握样本相关系数的定义、计算及其检验方法（重点，难点） (二)一元线性回归 1．掌握用最小二乘估计建立一元线性回归方程的方法（重点，难点） 2．掌握一元线性回归方程的检验方法（重点，难点） 3．熟悉一元线性回归方法在预测中的应用 (三)了解可化为一元线性回归的曲线回归问题 三、试验设计 三、试验设计

(一)基本概念与正交表 1．了解试验设计的必要性 2．熟悉常用正交表及正交表的特点 (二)正交试验设计与分析 1．熟悉使用正交表进行试验设计的步骤 2．掌握无交互作用的正交试验设计的直观分析法与方差分析法 3．熟悉贡献率的分析方法 4．了解有交互作用的正交试验设计的方差分析法 5．熟悉最佳水平组合的选取 【考点解读】 三种统计技术的特点：新版教材第74页。 第一节方差分析 第一节方差分析 一、方差分析 1、三项基本假定-(掌握p75) 为什么要方差分析？目的和用途。方差分析不是简单分析方差，通过方差分析因子的显著与否。方差只是手段。对结果的影响是否显著。要用到假设检验。零假设，备择假设。 但是假设检验的前提条件是：正态分布，等方差，观测相互独立。也就是大纲里讲的三项基本假定。 2、方差分析的统计检验-(掌握p76) 那么如何在同方差假定下检验多个正态均值是否相等呢？其实统计检验的 问题。大家想一下，零假设，备择假设是什么？ 同一个因子，有不同水平，每个水平重复多次试验就得到一个分布。有几个水平就有几个分布，方差分析是看分布的均值是否相等。相等，说明因子变动对结果没影响，相差越大就越显著！ 3、单因子的方差分析-(掌握p76-79)

第10章单因素方差分析

第10章 单因素方差分析 单因素方差分析(0ne-Way ANOV A)，又称一维方差分析，它能够对单因素多个独立样本 的均数进行比较，可以用10种检验方法对变量间的均数进行两两比较(即多重比较检验)并给出方差分析表，还可以作出5种类型图形(Type of plots)和2种均数图形(Means plot options) 10.1 单因素方差分析的计量资料 [例10—1] 某社区随机抽取了30名糖尿病患者、IGT 异常人和正常人进行载脂蛋白 (mg ／dL)测定，结果示于表10—1。试问3组人群的载脂蛋白测定结果含量是否相同？(倪宗瓒．卫生统计学．第4版，北京：人民卫生出版社，2001.50) 组别（B ） 载脂蛋白测定 糖尿病(1) 85.7 105.2 109.5 96.0 115.2 95.3 110.0 100.0 125.6 111.0 106.5 96.0 124.5 105.1 76.4 95.3 110.0 95.2 99.0 120.0 144.0 117.0 110.0 109.0 103.0 123.0 127.0 121.0 159.0 115.0 IGT 异常(2) 正常人(3) 本例是一个完全随机设计的单因素方差分析。已建立SAS 数据集文件并保存Sasuser.onewav4。 (1)进入SAS ／Win(v8)系统，单击Solutions －Analysis －Analyst ，得到分析家窗口。 (2)单击File-open By SAS Name —Sasuser-0neway4—0K ，调入数据文件。 (3)在“分析家”窗口单击Statistics-ANOV A-One way ANOV A ，得到图10—1所示对话框。本例因变量(Dependent)为A(载脂蛋白)，单击A —Dependent 。自变量(1ndependent)： B(3种人的组别)，单击B —Independent 。 图10.1 0ne —way ANOV A ：0neway4(单因素方差分析)对话框 (4)单击Tests 按钮，得到图10—2所示对话框。在此对话框的ANOV A(F —检验)选项 中可进行如下设置。 Analysis of variance ，方差分析。 Welch ’s variance-weighted ANOV A ，威尔奇方差—权重方差分析。 Tests for equal variance ，相等方差检验，即方差齐性检验。 Barlett ’s test ，巴特尼特检验。 Brown-Forsythe test ，布朗—福塞斯检验。 Levene ’s test ，列文检验。本例以上都选。

第10章 方差分析与试验设计

第10章 方差分析与试验设计 三、选择题 1.方差分析的主要目的是判断 （ ）。 Ａ. 各总体是否存在方差 Ｂ. 各样本数据之间是否有显著差异 Ｃ. 分类型自变量对数值型因变量的影响是否显著 Ｄ. 分类型因变量对数值型自变量的影响是否显著 2.在方差分析中，检验统计量Ｆ是 （ ）。 Ａ. 组间平方和除以组内平方和 Ｂ. 组间均方除以组内均方 Ｃ. 组间平方除以总平方和 Ｄ. 组间均方除以总均方 3.在方差分析中，某一水平下样本数据之间的误差称为 （ ）。 Ａ. 随机误差 Ｂ. 非随机误差 Ｃ. 系统误差 Ｄ. 非系统误差 4.在方差分析中，衡量不同水平下样本数据之间的误差称为 （ ）。 Ａ. 组内误差 Ｂ. 组间误差 Ｃ. 组内平方 Ｄ. 组间平方 5.组间误差是衡量不同水平下各样本数据之间的误差，它 （ ）。 Ａ. 只包括随机误差 Ｂ. 只包括系统误差 Ｃ. 既包括随机误差，也包括系统误差 Ｄ. 有时包括随机误差，有时包括系统误差 6.组内误差是衡量某一水平下样本数据之间的误差，它 （ ）。 Ａ. 只包括随机误差 Ｂ. 只包括系统误差 Ｃ. 既包括随机误差，也包括系统误差 Ｄ. 有时包括随机误差，有时包括系统误差 7.在下面的假定中，哪一个不属于方差分析中的假定 （ ）。 Ａ. 每个总体都服从正态分布 Ｂ. 各总体的方差相等 Ｃ. 观测值是独立的 Ｄ. 各总体的方差等于0 8.在方差分析中，所提出的原假设是210:μμ=H = ···=k μ，备择假设是（ ） Ａ. ≠≠H 211:μμ···k μ≠ Ｂ. >>H 211:μμ···k μ> Ｃ. <

统计学(贾俊平版)第十章答案解析

第十章习题 10.1 H0:三个总体均值之间没有显著差异。 H1: 三个总体均值之间有显著差异。 答：方差分析可以看到，由于P=0.1078>0.01,所以接受原假设H0。说明了三个总体均值之间没有显著差异。 10.2 H0:五个个总体均值之间相等。 H1: 五个总体均值之间不相等。

答：方差分析可以看到，由于P=1.02E-05<0.01,所以拒接原假设H0。说明了五个总体均值之间不相等。 10.3 H0:四台机器的装填量相等。 H1: 四台机器的装填量不相等 答：方差分析可以看到，由于P=0.00068<0.01,所以拒接原假设H0。说明了四台机器装填

10.4 H0:不同层次管理者的满意度没有差异。 H1: 不同层次管理者的满意度有差异. 答：方差分析可以看到，由于P=0.000849<0.05,所以拒接原假设H0。说明了不同层次管理者的满意度有差异。 10.5 H0：3个企业生产的电池平均寿命之间没有显著差异。 H1: 3个企业生产的电池平均寿命之间有显著差异 单因素方差分析

平方和df 均方 F 显著性组间615.600 2 307.800 17.068 .000 组内216.400 12 18.033 总数832.000 14

答：方差分析可以看到，由于P=0.00031<0.01,所以拒接原假设H0。说明了不同3个企业生产的电池平均寿命之间有显著差异。 通过SPSS分析（1,2,3代表A,B,C公司），通过显著性对比可知道A和B以及B和C 公司有差异。 10.6 H0：不同培训方式对产品组装的时间没有显著影响。 H1: 不同培训方式对产品组装的时间没有显著影响。 答：方差分析可以看到，由于P=0.00196<0.05,所以拒接原假设H0。说明了不同培训方式对产品组装的时间没有显著影响。 10.8

第十章 协差分析

197 第十章 协方差分析 第一节 协方差分析的意义 协方差分析有二个意义，一是对试验进行统计控制，二是对协方差组分进行估计，现分述如下。 一、对试验进行统计控制 为了提高试验的精确性和准确性，对处理以外的一切条件都需要采取有效措施严加控制，使它们在各处理间尽量一致，这叫试验控制。但在有些情况下，即使作出很大努力也难以使试验控制达到预期目的。例如：研究几种配合饲料对猪的增重效果，希望试验仔猪的初始重相同，因为仔猪的初始重不同，将影响到猪的增重。经研究发现：增重与初始重之间存在线性回归关系。但是，在实际试验中很难满足试验仔猪初始重相同这一要求。这时可利用仔猪的初始重(记为x )与其增重(记为y )的回归关系，将仔猪增重都矫正为初始重相同时的增重，于是初始重不同对仔猪增重的影响就消除了。由于矫正后的增重是应用统计方法将初始重控制一致而得到的，故叫统计控制。统计控制是试验控制的一种辅助手段。经过这种矫正，试验误差将减小，对试验处理效应估计更为准确。若y 的变异主要由x 的不同造成(处理没有显著效应)，则各矫正后的y '间将没有显著差异(但原y 间的差异可能是显著的)。若y 的变异除掉x 不同的影响外，尚存在不同处理的显著效应，则可期望各y '间将有显著差异(但原y 间差异可能是不显著的)。此外，矫正后的y '和原y 的大小次序也常不一致。所以，处理平均数的回归矫正和矫正平均数的显著性检验，能够提高试验的准确性和精确性，从而更真实地反映试验实际。这种将回归分析与方差分析结合在一起，对试验数据进行分析的方法，叫做协方差分析(analysis of covariance )。 二、估计协方差组分 在第八章曾介绍过表示两个相关变量线性相关性质与程度的相关系数的计算公式： ∑∑∑----= 2 2)()())((y y x x y y x x r 若将公式右端的分子分母同除以自由度(n -1)，得 ? ? ? ? ? ?--????? ?-----= ∑∑∑)1()() 1()()1/())((2 2 n y y n x x n y y x x r （10-1） 其中 1 )(2--∑n x x 是x 的均方MS x ，它是x 的方差2x σ的无偏估计量；

统计学第十章(方差分析)

第十章 方差分析 一、单项选择题： 1.在方差分析中，（ ）反映的是样本数据与其组平均值的差异。 A.总离差平方和 B.组间离差平方和 C.抽样误差 D.组内离差平方和 2.∑∑=??? ? ??k 1i 2 1-j ij n i i x x ——是（ ） 。 A.组内平方和 B.组间平方和 C.总离差平方和 D.因素B 的离差平方和 3.∑∑=??? ? ??k 1i 2 1-j ij n i i x x ——是（ ） 。 A.组内平方和 B.组间平方和 C.总离差平方和 D.总方差 4.单因素方差分析中，计算F 统计量，其分子与分母的自由度各位（ ）。 A.k ，n B.k ，n-k C.k-1，n-k D.n-k ，k-1 5.方差分析基本原理是（ ）首先提出的。 A.费雪 B.皮尔逊 C.泰勒 D.凯特勒 6.组间离差平方和反映的是（ ）。 A.抽样误差 B.系统误差 C.随机误差 D.总误差 7.组内离差平方和反映的是（ ）。 A.抽样误差 B.系统误差 C.随机误差 D.总误差 8.单因素方差分析的对立和假设是（ ）。 A.μμμk 21=== B.差距不显著，，，μμμk 21 C.不是全部相等，，，μμμk 21 D.全部不相等，，，μμμk 21 9.单因素方差分析的零假设是（ ）。 A.μμμk 21=== B.差距不显著，，，μμμk 21 C.不是全部相等，，，μμμk 21 D.全部不相等，，，μμμk 21 10.在方差分析中，若F k -n 1,-k 05.0F ） （>，则统计推论是（ ）。

spss教程第二章均值比较检验与方差分析要点

第二章均值比较检验与方差分析 在经济社会问题的研究过程中，常常需要比较现象之间的某些指标有无显著差异，特别当考察的样本容量n比较大时，由随机变量的中心极限定理知，样本均值近似地服从正态分布。所以，均值的比较检验主要研究关于正态总体的均值有关的假设是否成立的问题。 ◆本章主要内容： 1、单个总体均值的 t 检验（One-Sample T Test）； 2、两个独立总体样本均值的 t 检验（Independent-Sample T Test）； 3、两个有联系总体均值均值的 t 检验（Paired-Sample T Test）； 4、单因素方差分析（One-Way ANOVA）； 5、双因素方差分析（General Linear Model Univariate）。 ◆假设条件：研究的数据服从正态分布或近似地服从正态分布。 在Analyze菜单中，均值比较检验可以从菜单Compare Means，和General Linear Model得出。如图2.1所示。 图2.1 均值的比较菜单选择项 §2.1 单个总体的t 检验（One-Sample T Test）分析 单个总体的 t 检验分析也称为单一样本的 t 检验分析，也就是检验单个变量的均值是否与假定的均数之间存在差异。如将单个变量的样本均值与假定的常数相比较，通过检验得出预先的假设是否正确的结论。

例1：根据2002年我国不同行业的工资水平（数据库SY-2），检验国有企业的职工平均年工资收入是否等于10000元，假设数据近似地服从正态分布。 首先建立假设：H0：国有企业工资为10000元； H1：国有企业职工工资不等于10000元 打开数据库SY-2，检验过程的操作按照下列步骤： 1、单击Analyze →Compare Means →One-Sample T Test，打开One-Sample T Test 主对话框，如图2.2所示。 图2.2 一个样本的t检验的主对话框 2、从左边框中选中需要检验的变量（国有单位）进入检验框中。 3、在Test Value框中键入原假设的均值数10000。 4、单击Options按钮，得到Options对话框（如图2.3），选项分别是置信度（默认项是95％）和缺失值的处理方式。选择后默认值后返回主对话框。 图2.3 一个样本t检验的Options对话框 5、单击OK，得输出结果。如表2.1所示。 表2.1（a）.数据的基本统计描述 One-Sample Statistics

第2章单因素方差分析

第12章方差分析（Analysis of V ariance） 方差分析是鉴别各因素效应的一种有效统计方法，它是通过实验观察某一种或多种因素的变化对实验结果是否带来显著影响，从而选取最优方案的一种统计方法。 在科学实验和生产实践中，影响一件事物的因素往往很多，每一个因素的改变都有可能影响产品产量和质量特征。有的影响大些，有的影响小些。为了使生产过程稳定，保证优质高产，就有必要找出对产品质量有显著影响的那些因素及因素所处等级。方差分析就是处理这类问题，从中找出最佳方案。 方差分析开始于本世纪20年代。1923年英国统计学家R.A. Fisher 首先提出这个概念，（ANOV A）。因当时他在Rothamsted农业实验场工作，所以首先把方差分析应用于农业实验上，通过分析提高农作物产量的主要因素。Fisher1926年在澳大利亚去世。现在方差分析方法已广泛应用于科学实验，医学，化工，管理学等各个领域，范围广阔。 在方差分析中，把可控制的条件称为“因素”（factor），把因素变化的各个等级称为“水平”或“处理”（treatment）。 若是试验中只有一个可控因素在变化，其它可控因素不变，称之为单因素试验，否则是多因素试验。下面分别介绍单因素和双因素试验结果的方差分析。 1.1 单因素方差分析（One Way Analysis of Variance） 1.一般表达形式 2.方差分析的假定前提 3.数学模形 4.统计假设 5.方差分析：（1）总平方和的分解；（2）自由度分解；（3）F检验 6.举例 7.多重比较 1.1.1 一般表达形式 首先通过一个例子引出单因素方差分析方法。某农业科研所新培养了四种水稻品种，分别用A1，A2，A3，A4表示。每个品种随机选种在四块试验田中，共16块试验田。除水稻品种之外，尽量保持其它条件相同（如面积，水分，日照，肥量等），收获后计算各试验田中产量如下表： 通过这些数据要考察四个不同品种的单位产量，是否有显著性差异。类似的例子很多，如劳动生产率差异，汽车燃油消耗，金属材料淬火温度等问题。上述问题可控实验条件是“种子”。所以种子是因素。把不同的品种A1，A2，A3，A4称为“水平”。1，2，3，4表示试验

第10章__方差分析与试验设计

第10章 方差分析与试验设计 三、选择题 1. Ｃ 2. Ｂ 3. Ａ 4. Ｂ 5. Ｃ 1.方差分析的主要目的是判断 （ ）。 Ａ. 各总体是否存在方差 Ｂ. 各样本数据之间是否有显著差异 Ｃ. 分类型自变量对数值型因变量的影响是否显著 Ｄ. 分类型因变量对数值型自变量的影响是否显著 2.在方差分析中，检验统计量Ｆ是 （ ）。 Ａ. 组间平方和除以组内平方和 Ｂ. 组间均方除以组内均方 Ｃ. 组间平方除以总平方和 Ｄ. 组间均方除以总均方 3.在方差分析中，某一水平下样本数据之间的误差称为 （ ）。 Ａ. 随机误差 Ｂ. 非随机误差 Ｃ. 系统误差 Ｄ. 非系统误差 4.在方差分析中，衡量不同水平下样本数据之间的误差称为 （ ）。 Ａ. 组内误差 Ｂ. 组间误差 Ｃ. 组内平方 Ｄ. 组间平方 5.组间误差是衡量不同水平下各样本数据之间的误差，它 （ ）。 Ａ. 只包括随机误差 Ｂ. 只包括系统误差 Ｃ. 既包括随机误差，也包括系统误差 Ｄ. 有时包括随机误差，有时包括系统误差 6. Ａ 7. Ｄ 8. Ｄ 9. Ａ 10.Ａ 6.组内误差是衡量某一水平下样本数据之间的误差，它 （ ）。 Ａ. 只包括随机误差 Ｂ. 只包括系统误差 Ｃ. 既包括随机误差，也包括系统误差 Ｄ. 有时包括随机误差，有时包括系统误差 7.在下面的假定中，哪一个不属于方差分析中的假定 （ ）。 Ａ. 每个总体都服从正态分布 Ｂ. 各总体的方差相等 Ｃ. 观测值是独立的 Ｄ. 各总体的方差等于0 8.在方差分析中，所提出的原假设是210:μμ=H = ···=k μ，备择假设是（ ） Ａ. ≠≠H 211:μμ···k μ≠ Ｂ. >>H 211:μμ· ··k μ> Ｃ. <

第10章__方差分析与试验设计

第10章方差分析与试验设计 三、选择题 1.Ｃ 2.Ｂ 3.Ａ 4.Ｂ 5.Ｃ 1.方差分析的主要目的是判断（）。 Ａ.各总体是否存在方差 Ｂ.各样本数据之间是否有显著差异 Ｃ.分类型自变量对数值型因变量的影响是否显著 Ｄ.分类型因变量对数值型自变量的影响是否显著 2.在方差分析中，检验统计量Ｆ是（）。 Ａ.组间平方和除以组内平方和Ｂ.组间均方除以组内均方 Ｃ.组间平方除以总平方和Ｄ.组间均方除以总均方 3.在方差分析中，某一水平下样本数据之间的误差称为（）。 Ａ.随机误差Ｂ.非随机误差Ｃ.系统误差Ｄ.非系统误差 4.在方差分析中，衡量不同水平下样本数据之间的误差称为（）。 Ａ.组内误差Ｂ.组间误差Ｃ.组内平方Ｄ.组间平方 5.组间误差是衡量不同水平下各样本数据之间的误差，它（）。 Ａ.只包括随机误差 Ｂ.只包括系统误差 Ｃ.既包括随机误差，也包括系统误差 Ｄ.有时包括随机误差，有时包括系统误差 6.Ａ 7.Ｄ8.Ｄ9.Ａ10.Ａ 6.组内误差是衡量某一水平下样本数据之间的误差，它（）。 Ａ.只包括随机误差 Ｂ.只包括系统误差 Ｃ.既包括随机误差，也包括系统误差 Ｄ.有时包括随机误差，有时包括系统误差 7.在下面的假定中，哪一个不属于方差分析中的假定（）。 Ａ.每个总体都服从正态分布Ｂ.各总体的方差相等 Ｃ.观测值是独立的Ｄ.各总体的方差等于0 8.在方差分析中，所提出的原假设是0:=···= ，备择假设是（） 12 k Ａ.1:12···kＢ.1:12···k Ｃ. 1:···kＤ.1:1,2,···,k不全相等 12 9.单因素方差分析是指只涉及（）。 Ａ.一个分类型自变量Ｂ.一个数值型自变量 Ｃ.两个分类型自变量Ｄ.两个数值型因变量 10.双因素方差分析涉及（）。 Ａ.两个分类型自变量Ｂ.两个数值型自变量 Ｃ.两个分类型因变量Ｄ.两个数值型因变量 11.Ｂ12.Ｃ

统计学第10章方差分析教材

第10章方差分析 适用：多个均值是否相等的检验(分类数据与数值型数据) 10.1 方差分析引论 例消费者与产品生产者、销售者或服务的提供者之间经常发生纠纷。当纠纷发生后，消费者通常会向消费者协会投诉。为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在零售业、旅游业、航空公司、家电制造业分别抽取了一些企业作为样本。其中零售业7家、旅游业6家、航空公司5家、家电制造业5家。每个行业所抽取的这些企业，假定他们在服务对象、服务内容、企业规模等方面基本相同。然后统计最近一年中消费者对这23家企业的投诉次数，结果如下表： 消费者协会想了解这几个行业之间的服务质量是否有显著性差异。

10.1.1 分析 服务质量 显著性差异 ↓ ↓ 投诉次数 均值不相等 转化为数学表达： 01234:H μμμμ=== 没有显著性差异 1:H 上面的等式不全相等 有显著性差异 一般假设检验的解决方法： 121314232434 ,,,,,μμμμμμμμμμμμ====== 更好的方法：方差分析 没有显著性差异?不同的行业服务质量一样，行业对服务质量没有显著影响

有显著性差异 不同的行业服务质量不一样，行业对服务质量有显著影响 从行业对服务质量影响的角度来分析平均服务质量的差异问题 术语: 因素：一个独立的随机变量，是方差分析研究的对象————企业所属行业类型 水平：因素的内容————各个行业: 零售业、旅游业、航空公司、家电制造 10.1.3 方差分析的原理： 1 观察值之间差异的原因 A 由于选取样本的随机性引起的差异 B 由于因素中的不同水平形成的差异——系统性差异(行业不同,服务质量不同) 2 水平内部与水平之间差异的类型 A 水平内部的差异只包含随机性差异 (同行业企业服务质量的差异) B 水平之间的差异既包含随机性差异又包含系统性差异

时间序列分析讲义第10章协方差平稳向量过程

第十章 协方差平稳向量过程和向量自回归模型 在时间序列理论当中，涉及到向量时间序列的主要有两部分内容，一部分是多元动态系统，另一部分是向量自回归模型的估计和检验。在本章当中，我们主要讨论一些基本概念。 §10.1 向量自回归导论 仍然利用小写字母表示随机变量或者实现，只是现在讨论1?n 向量之间的动态交互作用。假设一个p 阶向量自回归模型可以表示为)(p VAR ： t p t p 2t 21t 1t εY ΦY ΦY Φc Y +++++=--- (10.1) 其中p 1ΦΦ ,是n n ?阶系数矩阵，t ε是白噪声向量，满足： ? ? ?≠=Ω=t s t s E ,0,)(t s εε 其中Ω是n n ?阶正定矩阵。 可以利用分量形式将上述方程组的第一个方程表示为： t p t n p n p t p p t p t n n t t t n n t t t y y y y y y y y y c y 1,)(1,2)(12,1)(112,) 2(12,2)2(122,1)2(111 ,) 1(11,2)1(121,1)1(1111εφφφφφφφφφ++++++++++++++=--------- (10.2) 由此可见，在)(p VAR 模型当中，每个变量都表示成为常数项和其他所有变量的p 阶自回归的形式。此时与一元情形的一个显著的不同是，每个方程的残差项之间可能是相关的。 利用滞后算子形式，可以将)(p VAR 模型表示成为： t t p 21εc ΦΦΦ+=----y L L L I p n ][2 (10.3) 其中滞后算子多项式的元素可以表示成为： p p ij ij ij ij ij L L L L )(2)2()1()(φφφδ----= Φ 其中j i ij ==,1δ，j i ij ≠=,0δ 定义10.1 如果一个向量过程的一阶矩和二阶矩与时间无关，则称其是协方差平稳过程。此时下述变量与初始时间t 无关： )(t E y 和)(j t t E -'y y 命题10.1 如果一个向量过程满足)(p VAR 模型，且该过程是向量协方差平稳过程，则该过程的性质有： (1) 该过程的均值向量可以表示成为： c ΦΦΦI μp 211][-----= n (10.4) (2) )(p VAR 模型可以表示成为中心化形式： 12()()()()t t t t p t ----=-+-++-+12p y μΦy μΦy μΦy με (10.5) §10.2 向量自回归方程的表示和平稳性条件 与将高阶线性差分方程表示为一阶差分方程一样，我们也可以将一个普通的VAR (p )模型表示成为VAR (1) 的形式。为此，我们定义更高阶的向量为： 1(,,,)np ?'=t t-1t-p+1ξy -μy -μy -μ )0,,0,(1'=? t np V ε

第8讲单因素方差分析与多重比较

方差分析 方差分析(analysis of variance ), 简称ANOV A，由英国统计学家，后人为纪念Fisher ，以F命名方差分析的统计量，故方差分析又称F 检验。 样本均数的差异，可能有两种原因所致。首先可能由随机误差所致随机误差包括两种成分：个体间的变异和测量误差两部分；其次可能是由于各组所接受的处理不同，不同的处理引起不同的作用和效果，导致各处理组之间均数不同。一般来说，个体之间各不相同，是繁杂的生物界的特点；测量误差也是不可避免的，因此第一种原因肯定存在。而第二种原因是否存在，这正是假设检验要回答的问题。 方差分析的基本思想是将所有观察值之间的变异（称总变异）按设计和需要分解成几部分。如完全随机设计资料的方差分析，将总变异分解为处理间变异和组内变异两部分，后者常称为误差。将各部分变异除以误差部分，得到统计量F值，并根据F值确定P值作推断。 由于方差分析是根据实验设计将总变异分成若干部分，因此设计时考虑的因素越多，变异划分的越精细，各部分变异的涵义越清晰明确，结论的解释也越容易，同时由于变异划分的精细，误差部分减小，提高了检验的灵敏度和结论的准确性。 方差分析可用于： （1）两个或多个样本均数间的比较 （2）分析两个或多个因素的交互作用 1

（3）回归方程的假设检验 （4）方差齐性检验 多个样本均数间比较的方差分析应用条件为： （1）各样本必须是相互独立的随机样本（独立性） （2）各样本均来自正态总体（正态性） （3）相互比较的各样本的总体方差相等（方差齐性） 一、完全随机设计的方差分析 医学实验中，根据某一实验因素，用随机的方法，将受试对象分配到各组，各组分别接受不同的处理后，观察各种处理的效果，比较各组均数之间有无差别。临床研究中，还可能遇到：比较几种不同疗法治疗某种疾病后某指标的变化，以评价它们的疗效；或比较某种疾病不同类型之间某一指标有无差别等。这些都是一个因素不同水平（或状态）间几个样本均数的比较，可用单因素的方差分析（one-way ANOV A）来处理此类资料。

第10章单因素方差分析

第10章单因素方差分析 单因素方差分析(0ne-Way ANOV A)，又称一维方差分析，它能够对单因素多个独立样本的均数进行比较，可以用10种检验方法对变量间的均数进行两两比较(即多重比较检验)并给出方差分析表，还可以作出5种类型图形(Type of plots)和2种均数图形(Means plot options) 10.1 单因素方差分析的计量资料 [例10—1] 某社区随机抽取了30名糖尿病患者、IGT异常人和正常人进行载脂蛋白(mg／dL)测定，结果示于表10—1。试问3组人群的载脂蛋白测定结果含量是否相同？(倪宗瓒．卫生统计学．第4版，北京：人民卫生出版社，2001.50) 本例是一个完全随机设计的单因素方差分析。已建立SAS数据集文件并保存Sasuser.onewav4。 (1)进入SAS／Win(v8)系统，单击Solutions－Analysis－Analyst，得到分析家窗口。 (2)单击File-open By SAS Name—Sasuser-0neway4—0K，调入数据文件。 (3)在“分析家”窗口单击Statistics-ANOV A-One way ANOV A，得到图10—1所示对话框。本例因变量(Dependent)为A(载脂蛋白)，单击A—Dependent。自变量(1ndependent)：B(3种人的组别)，单击B—Independent 。 图10.1 0ne—way ANOV A：0neway4(单因素方差分析)对话框 (4)单击Tests按钮，得到图10—2所示对话框。在此对话框的ANOV A(F—检验)选项中可进行如下设置。 Analysis of variance，方差分析。 Welch’s variance-weighted ANOV A，威尔奇方差—权重方差分析。 Tests for equal variance，相等方差检验，即方差齐性检验。 Barlett’s test，巴特尼特检验。 Brown-Forsythe test，布朗—福塞斯检验。 Levene’s test，列文检验。本例以上都选。

第10章 方差分析

郑州轻工业学院数学与信息科学系 第十章：方差分析 概率统计教研组

方差分析是英国大统计学家费歇尔（R.A.Fisher）在20世纪20年代创立的．起初用于农田间试验结果的分析，随后迅速发展完善，被广泛应用于在工、农业生产，经济、管理领域，工程技术和科学研究中． 方差分析与回归分析方法有许多相似之处，但又有本质区别，回归分析研究两个或多个数值型变量之间的关系，而方差分析是研究分类变量对数值型变量的影响，从形式上看，方差分析是比较多个总体均值是否相等，但本质上它所研究的是变量之间的关系. 本章学习单因素方差分析和双因素方差分析的基本理论和方法.

●【营销策略问题】 某苹果汁厂家开发了一种新产品——浓缩苹果汁，一包该果汁与水混合可产生1升的普通苹果汁．该产品有三点特性可以吸引消费者的注意： 1.它比目前市场销售的罐装苹果汁方便． 2.由于市场上的罐装苹果汁事实上也是通过浓缩果汁制 造而成，因此新产品的质量至少不会差于罐装果汁． 3.新产品的生产成本要略低于罐装苹果汁． 营销经理需要决定的是如何宣传这种新产品，她可以通过强调产品的便利性、高品质或价格优势的广告来推销，还可以使用两种媒体中的一种来刊登广告：电视和报

●【营销策略问题】 为了决定采用何种广告战略，她分别在6个小城市开展试验． 在城市1，营销的重点是宣传浓缩果汁的便利性（例如很方便地就可以从商店搬回家，占用更少的冰箱空间等），广告采用电视形式； 在城市2，营销的重点依然是便利性，但广告采用报纸形式； 在城市3，营销的重点是大力宣传产品的质量（画面上“普通的”购买者正在讨论果汁的口味如何纯正），广告采用电视形式；