一元二次方程学案

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22.1 一元二次方程

一. 教学目标:

1.通过设置问题,建立数学模型,?模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义. 2.一元二次方程的一般形式及其有关概念. 3.解决一些概念性的题目.

二、教学重点:一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问

题.

三、教学难点:通过提出问题,建立一元二次方程的数学模型,?再由一元一次方程的概念迁移到一

一元二次方程学案

元二次方程的概念. 预习作业:(第1课时) 1.一元一次方程的概念: 2.解方程

14

2

312-+=-x x

一元二次方程学案

3.二元一次方程概念:

4. .解方程组 ?

?

?=+=-2435

2y x y x

5.分式方程的概念:

6. 解方程 32121---=-x

x

x

课堂练习:

1、)1(222

2+-=x x x 是一元二次方程吗?

2.下列方程不是一元二次方程的是 ( )

A.0)2)(2(=--x x

B. 462

+=y y C . 42

=x D. 02

3

=--z z z

P27 练习1、2

(第2课时)

课堂练习 课本28页练习1、2 习题 3 补充练习: 一、选择题

1.方程x (x-1)=2的两根为( ).

A .x 1=0,x 2=1

B .x 1=0,x 2=-1

C .x 1=1,x 2=2

D .x 1=-1,x 2=2 2.方程ax (x-b )+(b-x )=0的根是( ). A .x 1=b ,x 2=a B .x 1=b ,x 2=

1a C .x 1=a ,x 2=1

a

D .x 1=a 2,x 2=b 2 3.已知x=-1是方程ax 2+bx+c=0的根(b ≠0)

( )

. A .1 B .-1 C .0 D .2 二、填空题

1.如果x 2-81=0,那么x 2-81=0的两个根分别是x 1=________,x 2=__________. 2.已知方程5x 2+mx-6=0的一个根是x=3,则m 的值为________.

3.方程(x+1)2

(x+1)=0,那么方程的根x 1=______;x 2=________. 三、综合提高题 (选做题)

1.如果x=1是方程ax 2+bx+3=0的一个根,求(a-b )2+4ab 的值.

22.2.1降次--解一元二次方程

一、教学目标:1.理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题. 2.运用直接开平方法,即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”,转化为两

个一元一次方程.

3. 了解配方法的概念,掌握运用配方法解一元二次方程的步骤.

二、教学重点:1.运用开平方法解形如(x+m )2=n (n ≥0)的方程;领会降次──转化的数学思想. 2. 配方法的解题步骤

三、教学难点:1. 通过根据平方根的意义解形如x 2=n ,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m )

2

=n (n ≥0)的方程.

2.配方的方法 把常数项移到方程右边后,?两边加上的常数是一次项系数一半的平

方.

(第一课时)预习作业

1.解一元二次方程(1)92

=x (2)5)12(2

=-x (3)(2)1432

=-x

课堂练习:课本31页练习1(1)----(4)

(第二课时)复习课堂练习

1、解下列方程

(1)3x 2-1=5 (2)4(x-1)2-9=0

(3)16)5(2=+x (4)5)32(2

=-x

2课本31页1(5)(6)

(5)x 2-4x+4=5 (6)9x 2+6x+1=4

3、教材P 34 1、2(1)、(2) 教材P 42 习题 2. 补充作业

一、如图,在Rt △ACB 中,∠C=90°,AC=8m ,CB=6m ,点P 、Q 同时由A ,B ?两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动,它们的速度都是1m/s ,几秒后△PCQ ?的面积为Rt △ACB 面积的一半.

C A Q

http://m.wendangku.net/doc/d8f207b181c758f5f61f6787.html

P

二、选择题

1.将二次三项式x 2-4x+1配方后得( ). A .(x-2)2+3 B .(x-2)2-3 C .(x+2)2+3 D .(x+2)2-3 2.已知x 2-8x+15=0,左边化成含有x 的完全平方形式,其中正确的是( ). A .x 2-8x+(-4)2=31 B .x 2-8x+(-4)2=1 C .x 2+8x+42=1 D .x 2-4x+4=-11

3.如果mx 2+2(3-2m )x+3m-2=0(m ≠0)的左边是一个关于x 的完全平方式,则m 等于( ). A .1 B .-1 C .1或9 D .-1或9 二、填空题

1.方程x 2+4x-5=0的解是________.

2.代数式222

1

x x x ---的值为0,则x 的值为________.

3.已知(x+y )(x+y+2)-8=0,求x+y 的值,若设x+y=z ,则原方程可变为_______,?所以求出z 的值即为x+y 的值,所以x+y 的值为______. 三、综合提高题

1.已知三角形两边长分别为2和4,第三边是方程x 2-4x+3=0的解,求这个三角形的周长.

(第三课时) 1、(复习练习)解下列方程:

(1)2x 2=128 (2(x+17)2

=49

(3)x 2+6x+8=0 (4)x 2—4x —3=0

二、巩固练习

教材P 34 练习 2.(3)、(4)、(5)、(6). 例2.解下列方程

(1)2x 2+1=3x (2)3x 2—6x+4=0

补充练习 一、选择题

1.配方法解方程2x 2-

4

3

x-2=0应把它先变形为( ). A .(x-13)2=89 B .(x-23)2=0 C .(x-13)2=89 D .(x-13)2=10

9

2.下列方程中,一定有实数解的是( ). A .x 2+1=0 B .(2x+1)2=0 C .(2x+1)2+3=0 D .(

1

2

x-a )2=a 3.已知x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=0,则x+y+z 的值是( ). A .1 B .2 C .-1 D .-2 二、填空题

1.如果x 2+4x-5=0,则x=_______.

2.无论x 、y 取任何实数,多项式x 2+y 2-2x-4y+16的值总是_______数. 3.如果16(x-y )2+40(x-y )+25=0,那么x 与y 的关系是________. 三、综合提高题

1.用配方法解方程.

(1)9y 2-18y-4=0 (2)x 2

一元二次方程学案

2.已知:x 2+4x+y 2-6y+13=0,求22

2x y

x y -+的值.

22.2.3 公式法

(第1课时)课堂练习 1、解下列方程

(1)x 2=8 (2)x 2+2x+1=0

(3)x 2-6x+4=0 (4)x 2-2x+3=0

例4、一元二次方程2x 2-9x+8=0的根的情况是 。 A.有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 c.方程无实数根 D. 不能判定

课堂练习:1、不解方程,判定方程根的情况

(1)16x 2+8x=-3 (2)9x 2+6x+1=0

(3)2x 2-4x+2=0 (4)x 2-7x-18=0

例5、若关于x 的方程x 2+2x-k=0没有实数根,则k 的范围是 。 解:由题意得?﹤0

即b 2-4ac ﹤0

32-4×1×(-k )﹤0 解得k ﹤-1 课堂练习:

2、若关于x 的方程x 2-x-k=0有实数根,则k 的范围是 。

补充作业

一、选择题

1.以下是方程3x 2-2x=-1的解的情况,其中正确的有( ). A .∵b 2-4ac=-8,∴方程有解 B .∵b 2-4ac=-8,∴方程无解 C .∵b 2-4ac=8,∴方程有解 D .∵b 2-4ac=8,∴方程无解

2.一元二次方程x 2-ax+1=0的两实数根相等,则a 的值为( ). A .a=0 B .a=2或a=-2 C .a=2 D .a=2或a=0

3.已知k ≠1,一元二次方程(k-1)x 2+kx+1=0有根,则k 的取值范围是( ). A .k ≠2 B .k>2 C .k<2且k ≠1 D .k 为一切实数 二、填空题

1.已知方程x 2+px+q=0有两个相等的实数,则p 与q 的关系是________.

2.不解方程,判定2x 2-3=4x 的根的情况是______(?填“二个不等实根”或“二个相等实根或没有实根”).

(第2课时)

课堂练习:1、先判断方程的根的情况,再解方程

(1)3x2=15 (2)x2+2x-2=0 (3)x2+2+5x=0

例1.用公式法解下列方程.

(1)2x2-4x-1=0 (2)5x+2=3x2

(3)(x-2)(3x-5)=0 (4)4x2-3x+1=0

课堂练习

教材P37练习1.(1)、(2)、(5)、(6)

补充作业:

一、选择题

1.用公式法解方程4x2-12x=3,得到().

A.

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x=

3

2

-

B.

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x=

3

2

±

C.

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D.

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2

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2

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的根是().

A.x1

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x2

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B.x1=6,x2

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C.x1

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x2

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D.x1=x2

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3.(m2-n2)(m2-n2-2)-8=0,则m2-n2的值是().

A.4 B.-2 C.4或-2 D.-4或2

二、填空题

1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是________,条件是________.

2.当x=______时,代数式x2-8x+12的值是-4.

3.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2+2m-3=0有一根为0,则m的值是_____.

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1、课堂练习:解下列方程

(1)x2=12 (2)x2-2x-2=0 (3)2x2+3x-4=0

例1、解下列方程:

(1)2x 2=5 x (2)x 2-3x-10=0

(3)02)2(=-+-x x x (4)5)1)(3(=-+x x

2、课堂练习:课本40页1、2

(第2课时)

课堂练习:1、解下列方程

一元二次方程学案

(1)x 2-3x=0 (2)x 2-5x-6=0

(3)x 2-3x-2=0 (4)x 2-9=0

2、用教简便的方法解方程

(1 x 2-3x+2=0 y y 34)2(2

= 9)3)(3(2

2

=+-t t

3)2)(4(2=-y )3(3)3)(5(2+=+y y (6)x 2+12x+27=0

(7)70)2)(1(=+-x x )34(3)32)(8(2+=+x x

(1)x 2+7x+12=0 (2)x 2-10x+16=0

(3)x2+3x-10=0 (4)x2-6x-40=0

例1、设一元二次方程的5x+1= x2的两个根分别为x1、x2,

则x1+x2,==- 。x1、x= 。

课堂练习:课本42页练习1 ;

例:已知方程5x2+kx-6=0的根是2,求它的另一根及k的值.53页复习题4

一元二次方程学案

(第一课时)课堂练习:1、课本48页习题6(复习握手问题)

2、课本48页,习题2、3.

(第二课时)

课堂练习:1、课本53页复习题2

2、复习增长(降低)率、

(1)一件衣服原价100元,提价10%,售价是多少元?

(2)一件衣服原价100元,优惠10%,售价是多少元?

(3)一件衣服原价100元,提价10%,再降价10%,售价是多少元?

例2、市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m,求每年人均住房面积增长率.

课堂练习:课本43页习题12;

例1.某公司一月份营业额为1万元,第一季度总营业额为3.31万元,求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少?设该公司二、三月份营业额平均增长率为x.可列方程为。

补充作业:

1、某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨,三月份上升到7200吨,(1)这两个月平均

每月增长的百分率是多少?(2)求第一季度的产量。

2、某产品原来每件600元,由于连续两次降价,现价为384元,如果两个降价的百分数相同,求每次降价百分之几?

(第三课时)

例4、如图,在宽为26m,长为40m的矩形地面上,?修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路,余下的六个相同的部分作为耕地,要使得耕地的面积为144m2,道路的宽为多少?

http://m.wendangku.net/doc/d8f207b181c758f5f61f6787.html

例5.如图,要设计一本书的封面,封面长27cm,宽21cm,?正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,?如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,?应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1cm)?

级 练

学 习

步课堂练习:

1、课本48页习题6;

2、课本53页复习题8

补充作业:

1.如图,是长方形鸡场平面示意图,一边靠墙,另外三面用竹篱笆围成,若竹篱笆总长为35m,所围的面积为150m2,则此长方形鸡场的长、宽分别为_______.

一元二次方程学案

2、有一张长方形的桌子,长6尺,宽3尺,有一块台布的面积是桌面面积的2倍,并且铺在桌面上时,各边垂下的长度相同,求台布的长和宽各是多少?(精确到0.1尺)

3、如图(a)、(b)所示,在△ABC中∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm,点P从点A?开始沿AB 边向点B以1cm/s的速度运动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动.(1)如果P、Q分别从A、B同时出发,经过几秒钟,使S△PBQ=8cm2.

(a)

B

A

C

Q

http://m.wendangku.net/doc/d8f207b181c758f5f61f6787.html

P

(第4课时)

商品销售问题的数量关系复习

(1)相关量:标价,售价,进价(成本),利润,打折,利润率。

(2)数量关系式:①利润=售价-进价

②进价(1+利润率)=售价

一、关于变化问题的学习

例6、某商店经销一种销售成本为每千克40元的产品,?据市场分析,?若每千克50元销售,一个

月能售出500kg,销售单价每涨1元,月销售量就减少10kg,为了赚取8000元利润,

求:(1)每千克应降价多少元?

(1)此时的售价是多少元?

(2)此时的销售量是多少?

例7、金方超市服装柜在销售中发现:进货价为每件50元,销售价为每件90元的某品牌童装平均每天可售出20件.为了迎接“六一”国际儿童节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利.经市场调查发现:如果每件童装降价1元,那么平均每天就可多售出2件,要想平均每天销售这种童装盈利1200元,同时又要使顾客得到较多的实惠,那么每件童装应降价多少元?

课堂练习:

1、某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡,一种贺年卡平均每天可售出500张,每张盈利0.3元,为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,调查发现,如果这种贺年卡的售价每降低0.1元,那么商场平均每天可多售出100张,?商场要想平均每天盈利120元,每张贺年卡应降价多少元?

2、某商店经营一批季节性小家电,每个成本40元,经市场预测,定价为50元,可销售200个,定价每个增加1元,销售量将减少10个,若商店进货后全部销售完,赚了2000元,问进货多少个,定价多少?

3.某商店把进价8元的商品按每件10元出售,每天可销售200件,现采用提高售价,减少进货量

的方法增加利润,已知这种商品每涨价0.5元,每天的销量就减少10件,若经营的这种商品要达到每天获利640元,售价应定为多少元?

4.某商店的某种贺年卡平均每天可售出500张,每张盈利0.3元,为减少库存,商场决定采取适

当的降价措施,若贺年卡每降价0.1元,商场每天可多售出300张,商场要想使这种贺年卡平均每天可盈利160元,则每张何年卡应降价多少元?

5、某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?

6、某商店进了一批服装,进价为每件50元.按每件60元出售时,可销售800件;若单价每提高1元,则其销售量就减少20件.今商店计划获利12000元,问销售单价应定为多少元?此时应进多少件服装?

应用题补充练习:

1、某百货商店服装柜在销售中发现:“宝乐”牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了

迎接“六?一”国际儿童节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,减少库存.经市场调查发现:如果每件童装每降价4元,那么平均每天就可多售出8件.要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元,那么每件童装应降价多少元?

2、云南省是我国花卉产业大省,一年四季都有大量鲜花销往全国各地,花卉产业已成为我省许多

地区经济发展的重要项目.近年来某乡的花卉产值不断增加,2003年花卉的产值是640万元,2005年产值达到1000万元.

(1)求2004年、2005年花卉产值的年平均增长率是多少?

(2)若2006年花卉产值继续稳步增长(即年增长率与前两年的年增长率相同),那么请你估计2006年这个乡的花卉产值将达到多少万元?3、商场某种新商品每件进价是120元,在试销期间发现,当每件商品售价为130元时,每天可销售70件,当每件商品售价高于130元时,每涨价1元,日销售量就减少1件.据此规律,请回答:(1)当每件商品售价定为170元时,每天可销售多少件商品商场获得的日盈利是多少?

(2)在上述条件不变,商品销售正常的情况下,每件商品的销售价定为多少元时,商场日盈利可达到1600元?(提示:盈利=售价-进价)

4、某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品,该商店可以自行定价.据市场调查,该商品的售价与销售量的关系是:若每件售价a元,则可卖出(320-10a)件,但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%.如果商店计划要获利400元,则每件商品的售价应定为多少元?需要卖出这种商品多少件?

(每件商品的利润=售价-进货价)

5、春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游,推出了如下收费标准:某单位组织员工去天水湾风景区旅游,共支付给春秋旅行社旅游费用27 000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游?

一元二次方程学案

6、、某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克.经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6 000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?

7、今年,我国政府为减轻农民负担,决定在5年内免去农业税.某乡今年人均上缴农业税25元,若两年后人均上缴农业税为16元,假设这两年降低的百分率相同.

(1)求降低的百分率;

(2)若小红家有4人,明年小红家减少多少农业税?

(3)小红所在的乡约有16000农民,问该乡农民明年减少多少农业税?

7、美化城市,改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容.某市区近几年来,通过拆迁旧房,植草,栽树,修建公园等措施,使城区绿地面积不断增加.(1)根据图中所提供的信息,回答下列问题:2006年底的绿地面积为60公顷,比2005年底增加了4公顷;在2004年,2005年,2006年这三年中,绿地面积增加最多的是2005年;

(2)为满足城市发展的需要,计划到2008年底使城区绿地总面积达到72.6公顷,试求2008年底绿地面积对2006年底的增长率.

一元二次方程学案

8、有一面积为150m2的长方形鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长18 m),另三边用竹篱笆围成,如果

篱笆的总长为35 m,求鸡场的长与宽各为多少?

一元二次方程学案

9、如图,某小区在宽20m,长32m的矩形地面上修筑同样宽的人行道(图中阴影部分),余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为540m2,求道路的宽.

一元二次方程学案

10、新华商场为迎接家电下乡活动销售某种冰箱,每台进价为2500元,市场调研表明;当销售价定为2900元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4台,商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元?

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