2018版高中数学人教B版必修二学案：2.2.2 第1课时 直线的点斜式方程

2.2.2 直线方程的几种形式 第1课时 直线的点斜式方程

[学习目标] 1.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程.2.结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y 轴上的截距的含义

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[预习导引]

1.直线方程的几种形式

如果直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0，b )，代入直线点斜式方程化简得y ＝kx ＋b ，则称b 为直线l 在y 轴上的截距.

要点一 直线的点斜式方程

例1 求满足下列条件的直线的点斜式方程. (1)过点P (－4,3)，斜率k ＝－3； (2)过点P (3，－4)，且与x 轴平行； (3)过P (－2,3)，Q (5，－4)两点.

解 (1)∵直线过点P (－4,3)，斜率k ＝－3，

由直线方程的点斜式得直线方程为y －3＝－3(x ＋4)，

(2)与x 轴平行的直线，其斜率k ＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y －(－4)＝0×(x

－3)， 即y ＋4＝0.

(3)过点P (－2,3)，Q (5，－4)的直线的斜率k PQ ＝－4－35－(－2)＝－7

7＝－1.

又∵直线过点P (－2,3)， ∴直线的点斜式方程为

y －3＝－(x ＋2).

规律方法 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x 0，y 0)→定斜率k →写出方程y －y 0＝k (x －

x 0).

(2)点斜式方程y －y 0＝k ·(x －x 0)可表示过点P (x 0，y 0)的所有直线，但x ＝x 0除外. 跟踪演练1 过点(－1,2)，且倾斜角为135°的直线方程为________. 答案 x ＋y －1＝0 解析 k ＝tan 135°＝－1， 由直线的点斜式方程得

y －2＝－(x ＋1)，即x ＋y －1＝0.

要点二 直线的斜截式方程

例2 根据条件写出下列直线的斜截式方程. (1)斜率为2，在y 轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－2；

(3)倾斜角为60°，与y 轴的交点到坐标原点的距离为3.

解 (1)由直线方程的斜截式方程可知，所求直线方程为y ＝2x ＋5. (2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k ＝tan 150°＝－3

3.

由斜截式可得方程为y ＝－

3

3

x －2. (3)∵直线的倾斜角为60°， ∴其斜率k ＝tan 60°＝3，

∵直线与y 轴的交点到原点的距离为3， ∴直线在y 轴上的截距b ＝3或b ＝－3. ∴所求直线方程为y ＝3x ＋3或y ＝3x －3.

规律方法 1.本题(3)在求解过程中，常因混淆截距与距离的概念，而漏掉解“y ＝3x －3”.

2.截距是直线与x 轴(或y 轴)交点的横(或纵)坐标，它是个数值，可正、可负、可为零. 跟踪演练2 写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率是3，在y 轴上的截距是－3； (2)倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5； (3)倾斜角是30°，在y 轴上的截距是0.

解 (1)由直线方程的斜截式可得，所求直线方程为y ＝3x －3.

(2)由题意可知，直线的斜率k ＝tan 60°＝3，所求直线的方程为y ＝3x ＋5. (3)由题意可知所求直线的斜率k ＝tan 30°＝3

3，

由直线方程的斜截式可知，直线方程为y ＝33

x . 要点三 直线过定点问题

例3 求证：不论m 为何值，直线l ：y ＝(m －1)x ＋2m ＋1总过第二象限. 证明 方法一 直线l 的方程可化为

y －3＝(m －1)(x ＋2)，

∴直线l 过定点(－2,3)，

由于点(－2,3)在第二象限，故直线l 总过第二象限. 方法二 直线l 的方程可化为

m (x ＋2)－(x ＋y －1)＝0.

令??? x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，解得???

x ＝－2，y ＝3.

∴无论m 取何值，直线l 总经过点(－2,3). ∵点(－2,3)在第二象限，∴直线l 总过第二象限.

规律方法 本例两种证法是证明直线过定点的基本方法，方法一体现了点斜式的应用，方法二体现代数方法处理恒成立问题的基本思想.

跟踪演练3 已知直线y ＝(3－2k )x －6不经过第一象限，求k 的取值范围.

解 由题意知，需满足它在y 轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则?

??

－6≤0，3－2k ≤0，得k

≥3

2

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