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2011年中考数学高分冲刺3 函数知识的三个支

中考高分冲刺－冲刺三

函数知识的三个支点

函数是“数与代数”部分最重要的内容之一，它在实际问题及综合性问题中都有着极为广泛的应用，而且在以后的数学乃至其他学科的学习中，也都发挥着基础性与工具性的作用。那么，怎样才算较好地掌握了函数知识呢？

从一道简单的数学题说起。

题目：若a满足不等式组

)

≤

那么，代数式)

)

(

最大值和最小值分别是多少？

简解：由所给的不等式组解得3

3≤

≤

-a

又)

)

(

-15

(

可将,

(2-

y其中3

3≤

≤

-a，看作是一段抛物线，该抛物线的对称轴为3

a且开口向上，可知原式在3

a时有最大值，21，在3

a时有最小值—15。

析评：以上解法的思考基础可分为三层：第一层，认识到这是个求函数最值的问题；第二层，求得这个函数的标准表示式为),

2≤

≤

y第三层，用二次函数的性质解决原来的问题。

由此可以看出：把未指明的函数总题恰当地归为函数问题。再定出其表达式，进而应用函数的性质解决问题，正是掌握与运用函数知识的三大支点。

函数知识的三个支点：

一、明意义：指总能在需要的情况下恰如其分地将问题归结为函数，即形成“函数思想”；

二、定表达式；

三、用性质：指恰当地运用函数的性质解决相应的问题。

一、明意义

1、函数“明意义”的基本体现

对函数相关的问题，能够从以下两个方面来观察、认识和把握：

①能从“总体感知”和“具体对应方式”两个视角来认识与考虑问题；

②能从“整体过程”和某些“特殊值的对应情况”来认识与考虑问题；

例1 如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其一边在同一水平纸上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内除去小正方形部分的面积为S（阴影部分），那么S与t的函数图象大致应为（）

A B C D

【观察与思考】“总体感知”：大正方形的面积为4，小正方形的面积为1，在小正方形平移的整个过

程中阴影部分面积变化的过程是

解：选A。

例2 已知：如图（1），点G是BC的中点，点H在AF上，动点P以每秒cm

2的速度沿图（1）

的边线运动，运动路径为：

相应的ABP

?的面积)

(

y关于运动时间)

t的函数图象如图（2），若,

6cm

AB=则下列四个结论中

正确的

个数有（）

A、图（1）中的BC边长是8cm

B、图（2）中的M点表示第4秒时y的值为242

C、图（1）中的CD长是4cm，

D、图（2）中的N点表示第12秒时y的值为182

2）（1）

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个

【观察与思考】若把点P由对应的图象分别记

为第Ⅰ段、

第Ⅱ段、第Ⅲ段、第Ⅳ段、第Ⅴ段，则从图（1）和图（2）的对应情况可知：

t t t

减至

4 3 3

定值

增值

G C D E F H

)

G C D E F H

（1）由Ⅰ的两端点横坐标，知由G 到C 运动2秒，可得GD=4cm ，即BC=8cm ；（2）M 点的纵坐标等于 );(24862

2cm S ABD =??=

? （3）图象Ⅱ两端点横坐标为2和4，可知)(4)(2)/(2cm s s cm CD =?=；

（4）由Ⅲ的两端点横坐标为4和7，知DE=6cm ，而EF=AB —CD=2cm ，可知Ⅳ的右端点的横坐标为8，再由Ⅴ的

两端点横坐标为8和12，推得FH=8cm ，从而

)(6814)(cm FH DE BC HA =-=-+=

所以，N 点的纵坐标等于2)(18662

cm S HAB =??=

? 解：应选D 。

【说明】对函数“明意义”，就要善于从自变量与函数值的对应关系入手，从原背景、关系式、图象三者的统一来认识和解决问题。

2、“明意义”的更高体现

对于函数意义的掌握，不仅是指对给定的函数能从恰当的角度对其进行研究，更为重要的是遇到具体问题时，能够而且善于把函数作为研究与解决的工具，即确立了这样的意识：

凡是涉及变化的量之间的对应关系的问题，就要想到用函数来研究和解决，这才是“明意义”的更高体现，才是“函数思想”深刻与强烈的表现。

例3 在五环图案内，分别填写五个数e d c b a ,,,,，如图，其中，

c b a ,,是三个连续

偶数e d c b a ,)(<<是两个连续奇数)(e d <，且满足,e d c b a +=++例如

请你在0到20

【观察与思考】可以看作一个函数问题，因为：

设c b a ,,表示的三个连续偶数为e d x x x ,);22(,2),22(+-表示的两个连续奇数为y x y y ,(12,12+-均为整数）。则有)12()12()22(2)22(++-=+++-y y x x x ，得x y 2

，只需x 和y 都是整数，如此一来，满足要求的x 、y 有无穷多对（只需x 取偶数即可）。如3,2==y x （这就得到题目中所举的例）；;12,8,9,6,6,4======y x y x y x ……而使五个数均在0和20之间的,除例子之外,就只有

9,6;6,4====y x y x 这两种情况了.

c d

解:

或

例4 如图,四边形ABCD 为边长等于4的菱形,?=∠60ABC ,点M 为边AD 上一点,点N 为边DC

上一点,

且AM=DN.[来源:学科网]

(1)当AM=DN=3时,求BMN ?的面积.

（2）是否存在点M 和点N ，使B M N ?的面积等于

5？若存在，请指出点M 和点N 的位置；若不存在，请说明理由。

【观察与思考】问题（1）和问题（2）都涉及到BMN ?的面积和AM （相应地DN ）之间的对应关系，而BMN ?的面积和AM 的值具有函数关系，因此如果把它们之间的函数关系搞清楚了，问题（1）、（2）就可迎刃而解了。

解：菱形的长为4，?=∠60ABC ，∴菱形的高为32。设AM 的长为,x BMN ?的面积为S 。则

MND BCN ABN ABCD S S S S S ???---=菱形

)4(21)4(322132214232?

-?--?-?-?=

x x x x 3434

+-=

x x （1）当3=x 时，由S 与x 的函数关系式得34

1334333432=+?-?=

S （2）由S 与x 的函数关系得33)2(4

2+-=x S 。这说明BMN ?的面积最小值为33，因此不存在

点M ，N 使332

5<=

?NMN S ——正是函数意识我们看到问题（1）、（2）的共同基础，并借助函数将问题顺利而明快地解决。由以上诸可知：

时时刻刻都注意从函数的角度来认识研究问题中变量之间的关系，恰当地建立函数关系，并运用函数的性质

将问题解决，这样的“主动精神”和“自觉行动”正体现了“函数思想”的极好确立。

二、定关系式

要用函数，就要善于确定函数关系式，而确定函数关系式的方法，基本上有三种：

1、用待定系数法确定函数关系式

用待定系数法确定函数关系式，应具备以下两个条件：

条件一，已知知道这个函数是一次函数、二次函数、或是反比例函数；

条件二，知道该函数满足的若干组对应值；一次函数需两组；二次函数需三组，反比例函数需一组。

实际上，待定系数法就是通过构造关于函数关系表达式中各项系数的方程，求出它们的值，从而使函数关系的表达式确定下来。

用待定系数法求函数关系地表达式，可分为这们两个层次：基本形式与复合形式。

（1）基本形式的待定系数法

这类问题的条件是直接地给出了确定函数所需要的对应值。现仅举一例。

例1 为了迎接暑期旅游，某旅行社推出了一种价格优惠方案：从现在开始，各条旅游线路的价格每人y （元）是原来价格每人x （元）的一次函数。现知道其中两条旅游线段原来旅游价格分别为每人2100元和2800元，而现在旅游的价格为每人1800元和2300元。（1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）

（2）王老师想参加该旅行社原价格为5600元的一条线路的暑期旅游，请帮王老师算出这条线路现在的价格。

【观察与思考】满足这个一次函数的两组数值为（1800，2100）和（2300，2800）。可用待定系数法求得解析式。

解：（1）设y 与x 的函数关系式为b kx y +=，

由题意，得 2300

2800,

18002100=+=+b K b k 解之，得

30075

b k

∴y 与x 的函数关系式为3007

x y [来源:学。科。网Z 。X 。X 。K] （2）当5600=x 时，430030056007

=+?=

y 元。 ∴王老师旅游这条线路现在的价格是4300元

（2）复合形式的待定系数法

所谓复合形式的待定系数法是指满足函数关系的“对应值”组，并未直接悉数给出，而是要先从条件中求出需要

1、用待定系数法；

2、用直接列式法；

3、借助等式导出法。

的“对应值”，而后再由待定系数求出函数关系表达式；或者通过其他条件直接构造关于函数系数的方程，得出表达式。

例2 如图，已知双曲线)0(>=

x x

y 经过矩形OABC 边AB 的中点F ，交BC 于点E ，且四边形OEBF 的面积为2，则=k 。

【观察与思考】因为点F ，E 均在双曲线)0(>=

x x

y 上，则 122

2141=?====??OEBF OABC OAF OCE S S S S 四边形矩形。

设点F 的坐标为2122)(=?==?=?OAF S a

a k a k a ，则

解：应填2 。

【说明】本题的解答需要对反比例函数性质以及与之相关矩形及其面积间的关系有深入的认识。

例3 如图，AOB Rt ?是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O 与原点重合，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，?=∠=30,3BAO OB 。将AOB Rt ?折叠，使BO 边落在BA 边上，点O 与点D 重合，折痕为BC ；

（1）求直线BC 的解析式；

（2）求经过B ，C ，A 三点的抛物线c bx ax y ++=2的解析式；若抛物线的顶点为M ，试判断点M 是否在直线BC 上，并说明理由。

【观察与思考】对于（1），先求出点C 的坐标，再用待定系数法求BC 的解析式；对于（2），用待定系数法求出过B ，C ，A 三点的抛物线的解析式，再验证它的顶点是否在BC 上。解：（1）

2.33,30,300,900,3===∴?=∠?=∠=AB A BA A B OB [来源:Z §xx §https://www.wendangku.net/doc/dd11250315.html,]

,DC OC BDC Rt BOC Rt =∴???

ACD Rt ? ∽,ABO Rt ?

,==-=∴

OC ，OC AO OC AB OB AC CD 得即,点C 的坐标为（1，0）

。设直线BC 的解析式为b bx y +=，则由

k b

+==03 解得

3=-=b k

（2）设过点B （3,0），C （1，0），A （3，0）的抛物线的解析式为)3)(1(--=x x a y ，

由?=a 3)3()1(-?-，解得3

a ∴所以抛物线的解析式为3

3)2(33)34(33)3)(1(3322--=+-=--=

x x x x x y ， x

其顶点M 的坐标为)3

3,2(-

， 3233

+?-≠-

， ∴点M 不在直线BC 上。

【说明】由以上两例可以看出，用待定系数法求函数关系式的多种变化与复合形式，解法的恰当选择基于对相关知识的融会贯通。

2、用“列式法”确定函数关系式

所谓用列式法确定函数关系的表达式，就是根据问题中的数量关系直接列出用自变量的代数式来表

示函数，这样的情况也是很多的。

例4 学校体育室准备添置20副乒乓球拍和若干乒乓球，两家体育用品商店的零售价都是每副乒乓球拍20元，每个乒乓球6.0元，且都表示对集体购买优惠：甲店买一副乒乓球拍赠送5个乒乓球，再对总价打9折；乙店统一按定价的8折出售。

（1）设体育室外除了买20副乒乓球拍外，再需购买)60(≥x x 个乒乓球，若在甲店购买付款数额为1y （元），在乙店购买付款数额为2y （元），分别写出1y ，2y 关于x 的函数关系式。（2）就购买乒乓球数讨论在哪个店购买较合算？ [来源:Z&xx&https://www.wendangku.net/doc/dd11250315.html,]

【观察与思考】对于（1），可用直接列式法求出1y ，2y 关于x 的函数关系式。对于（2），实际是比较x 在什么范围时，两个函数中哪个函数值较小。

解：（1）[])100.(30654.0)205(6.020209.011≥+=?-+?=x y ，x y 即

)100.(32048.0),6.02020(8.022≥+=+?=x y x y 即

（2）假设购买x 个乒乓球时，甲商店合算，即21y y <，也即

32048.030654.0+<+x x ，解得3

1233

同理可得 213

233y ，y x <>时。

这就是说，当购买的乒乓球个数不超过233个时，在甲商店买合算；当购买的乒乓球个数超过233个时，在乙店买合算。

【说明】与实际相关的问题需建立函数关系式时，大都需要借助直接列式法。[来源:Z#xx#https://www.wendangku.net/doc/dd11250315.html,]

例5 如图，在，，BC ，AC C ，ABC Rt 3690==?=∠?中P 为AC 上一个动点，四边形PQRC 为矩形，其中点Q ，R 分别在AB ，BC 上，设AP 的长为x ，矩形PQRC 的周长为l ，求l 关于x 的函数关系式。

C B Q

【观察与思考】只需用x 表示出QP 和PC 即可。解：AQP Rt ? ∽,ABC Rt ?[来源:https://www.wendangku.net/doc/dd11250315.html,]

∴

x AP QP AC BC AP QP 2

21,21====即。 .12,2

2)6(222+-=?+-=+=∴x l x x QP PC l 即

【说明】相当多的几何图形中变量的对应关系，在建立函数关系式时，也多是利用“直接列式法”。

3、从某个等量关系中导出函数关系式

有时不易用自变量及已知数量把函数直接表示出来，可根据所给条件先建立包括“函数”、自变量、与已知数量的某个（或某些）等式，再从中导出函数关系式来。

例6 如图，已知直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P )0)(0,(

解：在PCA Rt BPO Rt

??和中，

的余角同为APC PCA （BPO ∠∠=∠ ）， BPO Rt ?∴∽PA

BO PO PCA Rt =∴

?,。 2,,2,+-=-==-=∴x PA y CA BO x PO .22+--=-∴x y x 从中解得)0.(2

12<+-=x x x y

【说明】几何图形中有关函数关系式的建立，有不少情况需借助这种“等式导出法”。

例7 某中学足球队参加全市中学足球联赛，比赛记分规则如下表。联赛共进行了12轮（即每队比赛了12场），该中学足球队共得19分。若胜的场数为x ，负的场数为y ，求y 关于x 的函数关系式。

【观察与思考】可借助胜、平、负的场数以及得分的关系导出y 关于x 的函数关系表达式。

解：设平的场数为z ，则根据条件有 19

12=+=++z x z y x

从两个等式中消去z ，得72-=x y 。

【说明】本题是从三个变量的两个等量关系中导出两个变量间的函数关系式。

当我们需要建立函数关系式时，可从以下三条途径中选择： 1、借助“待定系数法”； 2、运用“直接列式法”； 3、运用“等式导出法”。

三、用性质

函数的性质，主要是指一次函数、二次函数和反比例函数增减性和二次函数、反比例函数图象的对称性，以及二次函数图象的顶点坐标等。

对函数性质的考查，主要有两个层面：一是对给定的函数确定其某个方面的性质，二是利用函数的性质，解决某相关的问题。

1、确定指定函数的性质例1 写出一个图象经过点（-2，1），y 随x 的增大而减小的一次函数。

【观察与思考】要使一次函数具有“y 随x 的增大而减小”这一性质，且其图象经过点（-2，1），则只需这个一次函数的图象还经过点),(00y x 有无穷多个。因此，本题是开放性的题目，正确的答案有无穷多个，如选过点（0，0），则直线的解析式为x y 2

=。解：如x y 2

=。例2

(1)请在表内的空格中添入适当的数;

(2)设y =c bx x ++2

,当x 取何值时, y >0 ?

【观察与思考】当40==x x 和时,均有代数式的值y =3,可知对应的抛物线的对称轴为x =2,顶点坐标为(2,-1),

因此有以下的解:

解:(1)由已知令1)2(2

2--=++=x c bx x y

03,01====∴，y x ，y x 时时.

(2)341)2(2

+-=--=x x x y ,可知抛物线开口向上,并与x 轴交于点(1,0)和(3,0),

.031>><∴y ，x ，x 均有时或时当

【说明】由以上两例看出,熟练而恰当地运用函数的性质,可使问题的解决思路明晰,过程简捷.

2、运用函数的性质解决相关的实际问题或数学问题

例3 按右图所示的流程，输入一个数据x ，根据y 与x 的关系式就输出一个数据y ，这样可将一组数据变换成另一组新的数据。要使任意一组都在

20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：

（ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；

（ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。

（1）若y 与x 的关系式是)100(x p x y -+=，请说明：当2

=p 时，这种变换满足上述两个要求；

（2）若按关系式)0()(2>+-=a k h x a y 将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式，（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）。

【观察与思考】对于（1），只要根据一次函数的性质即可说明。

对于（2），实际上是依据（ⅰ）、（ⅱ）两条要求去确定)0()(2>+-=a k h x a y 中的系数。解：（1）原式即.502

+=x y 该函数y 随x 的增大而增大，满足（ⅱ），又，当x =20时，y =60，当x =100时，

y =100，满足（ⅰ）。可知，当2

p 时，这种变换满足要求。（2）可有多种答案。现取,)20(,202k x a y h +-==即

令

a k a +-?=+-?=22)20100(100)2020(60

解得 60)20(160

1,60,16012=-===x y k a 即满足要求。

【说明】Ⅰ.对于本题的(2).只要抛物线开口向上,对称轴)20(≥=h h x ,横坐标在20～100之间的抛物线段夹在直线10060==y y 和之间,都是满足要求的.

Ⅱ.由本题可以看出:对函数“明意义”, “定关系式”, “用性质”的统一结合是多么重要和有效!

例4 草莓种植大户张华现在有22吨草莓等售,有两种销售渠道,一是往省城直接批发给零售商,二是在本地市场零售,:

受客观因素影响,

(1)若一部分草莓运往省城批发给零售商,其余在本地市场零售,请写出销售22吨草莓所获纯利润y (元)与运往省城直接批发给零售商的草莓量x (吨)之间的函数关系式;

(2)怎样安排这22吨草莓的销售渠道,才使张华所获纯利润最大?并求出最大纯利润.

【观察与思考】先求出y 关于x 的函数关系式,再借助函数的性质,解决相应的实际问题. 解：（1）所求函数关系式为：

),22(20001200x x y -+=即 44000800+-=x y 。

（2）由于草莓必须在10天内售完，则有

,10224

≤-=x x

解之，得2216.16≤≤≥x x 即。在函数44000800+-=x y 中，∴<-,0800 y 随x 的增大而减小， ∴当x =16时，y 有最大值31200（元）

。 616,4416,61622=÷=÷=-。

答：用4天时间运往省城批发，6天时间在本地零售，可使纯利润最大，最大利润为31200元。

【说明】本题实际问题的解决，正是借助了所求出的函数性质。

借助于函数性质解决实际问题或数学中的问题，主要使用：

1、一次函数在某个范围的增减性；

2、抛物线顶点坐标的意义，抛物线的对称性，抛物线和横轴交点的意义，二次函数的增减性；

3、反比例函数的增减性；

4、函数和方程、不等式之间的关系。

练习题

1、在物理实验课上，小明用弹簧测力计将长方体铁块A 悬于盛有水的水糟中，使铁块完全浸没于水中，（如图所示），然后匀速向上提起。直至铁块完全露出水面一定高度，则图中能反映弹簧测力计的读数y （单位：N ）与铁块被提起的高度x （单位：cm ）之间的函数关系的大致图象是（

x )(cm

x (cm) x (cm)

x (cm)

2、如图DEF ABC ??和是两个形状大小完全相同的等腰直角三角形，?=∠=∠90DEF B ，点B ，C ，E ，F 在同一直线上，现从点C ，E 重合的位置出发，让ABC ?在直线EF 上向右作匀速运动，而DEF ?位置不动，设两个三角形重合部分面积为y ，运动的距离为x ，下面表示y 与x 的函数关系的图象大致

是（）

A B C D

3、如图，要使输出值 y 大于100，则输入最小正整数x 是。

4、温度与我们的生活息息相关，你仔细观察过温度计吗？如图是一个温度计实物示意图，左边的刻度是摄氏度（℃），右边的刻度是华氏温度（℉），设摄氏温度为x （℃），华氏温度为y （℉），则y 是x 的一次函数。（

1）仔细观察图中数据，试求出y 与x 之间的函数表达式；（2）当摄氏温度为15℃时，求华氏温度为多少？

5、如图，矩形ABCD 中，其中BC=2AB ，P 为边BC 上任意一点，（不与B ，C 重合），连结AP ，作AP PQ ⊥，

x x x x

A B C E D

F -20 32

℃

交射线CD 于点Q 。

探究：当点P 在BC 边上运动时，点Q 可能在边CD 的延长线上吗？并说明理由。

6、如图，直线1l 与x 轴和y 轴分别交于点A （4，0），点B （0，5），现将直线1l 绕坐标原点O 沿顺时针方向

旋转90°，得到直线2l ，则直线2l 的解析为。

[来源:Z§xx§https://www.wendangku.net/doc/dd11250315.html,]

[来源:学_科_网]

7、已知一次函数)0,,(≠+=k b k b kx y 是常数x 与y 的部分对应值如下表所示：

那么不等式0<+b kx 的解集是（）

A 、0

B 、0>x

C 、1

D 、1>x

8、鞋子的“鞋码”和鞋长（cm

（1）分析上表：（2）设鞋长为x ，“鞋码”为y ，求y 与x 之间的函数关系式？

9、已知抛物线c bx ax y ++=2

经过点（2，-3），对称轴为1=x ，与x 轴的两个交点距离为4，求这

条抛物线的解析式。

10、为了方便市民乘车，公共汽车公司推出了公共IC 卡业务，并给予购卡人以下优惠：每购买10元便

赠送2元（即卡上显示金额为12元）。但第一次购买需交办卡费10元，以后可直接往上充值，不再交办卡费。

（1）写出首次办卡，卡上显示金额y （元）与实际付款x （元）之间的函数关系式；

（2）小李用200元新办了这种公共IC 卡，发现卡上金额比自己估计的少了2元，你知道小李是怎样计算的吗？卡上显示的会是多少呢？

[来源:学科网ZXXK]

11、在边长为6cm 的正方形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别按

的方向同时出发，以s cm /1的速度匀

速运动。

（1）证明四边形EFGH 是菱形；

（2）写出四边形EFGH 的面积)(2cm S 关于运动时间)(s t 的函数关系式，t 取何值时四边形EFGH 的面积最小？最小值是多少？

12、在⊙O 的内接ABC ?中，AB+AC=12，BC AD ⊥垂足为D ，且AD=3，设⊙O 的半径为y ，AB 的长

A B ， B C ， C D ， D

A H

为x。

（1）求y与x的函数关系式；

（2）当AB的长等于多少时，⊙O的面积最大，并求出⊙O的最大面积。

中考数学函数知识点汇总

2012广州中考数学二次函数知识点 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质（1）抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0a 时，开口向上；当0 a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0